Capítulo 16

Ondas 1

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Capítulo 16 – Ondas I

Tipo de Ondas

Ondas Longitudinais e Transversais Comprimento de Onda e Frequência A velocidade de uma Onda Progressiva Energia e Potencia de uma Onda Progressiva A equação de Onda Superposição de Ondas Interferência de Ondas Ondas Estacionárias Ressonância

Tipos de Ondas

Capítulo 16 – Ondas I

Ondas Mecânicas: Entre elas estão as ondas do

mar e as ondas. São governadas pelas leis de

Newton e existem apenas em um meio material,

como água e ar.

Ondas eletromagnéticas: São por exemplo a luz

visível, a luz ultravioleta, as ondas de rádio e tv,

as microondas e os raios X. Estas não precisam

de um meio material para se propagar, podem se

propagar no vácuo. No vácuo elas se propagam

com velocidade c ~ 3x108 m/s

Ondas de matéria: Estão associadas a elétrons, prótons e outras partículas

elementares, e mesmo átomos e moléculas. Elas sáo chamadas de ondas de

matéria porque normalmente pensamos nessas partículas como elementos

básicos da matéria.

Ondas Longitudinais e Transversais

Capítulo 16 – Ondas I

Onda transversal: os deslocamentos do meio são perpendiculares ou transversais à direção de propagação da onda ao longo do meio.

Onda longitudinal: as partículas do meio oscilam ao longo da mesma direção de propagação da onda.

Comprimento de Onda e Frequência (em um tempo qualquer)

Capítulo 16 – Ondas I

Comprimento de onda λ de uma onda é a

distância (paralela à direção de propagação) entre

repetições da forma da onda.

2k No SI: 1 radiano por metro = 1 rad/m

Número de Onda k determina quantos radianos da onda estão contidos em 1 m.

tkxsenytxy m,

Equação que descreve a posição vertical, y, em termos de cada elemento da

“corda” e do tempo . Nessa equação ym, k e ω são constantes.

Amplitude ym de uma onda é definida pela

grandeza física que multiplica a função seno (ou

cosseno), neste caso, consiste no máximo

deslocamento dos elementos da onda.

Comprimento de Onda e Frequência (Considerando um elemento x da corda)

Capítulo 16 – Ondas I

Frequência Angular ω determina quantos

radianos são percorridos em cada segundo.

T

2 No SI: 1 radiano por segundo = 1 rad/s

tkxsenytxy m,

Equação que descreve a posição vertical, y, em termos de cada elemento da

“corda” e do tempo . Nessa equação ym, k e ω são constantes.

Período T de uma onda é definido pelo intervalo

de tempo característico de uma repetição da

onda. (Subida e descida de um elemento da onda

ou intervalo de tempo necessário para que a crista

alcance a posição da crista vizinha).

Comprimento de Onda e Frequência

Capítulo 16 – Ondas I

Os Sinais que antecedem a Frequência Angular ω

determinam a direção do sentido de propagação da

onda.

- ω : indica sentido positivo de propagação no eixo x

+ ω : indica sentido negativo de propagação no eixo x

tkxsenytxy m,

Equação que descreve a posição vertical, y, em termos de cada elemento da

“corda” e do tempo . Nessa equação ym, k e ω são constantes.

A Constante de Fase Φ de uma onda determina o

deslocamento y do elemento x = 0 de uma corda no

instante t = 0.

As figuras ao lado representam ondas progressivas

senoidais no instante t = 0 com uma conste de fase Φ

de (a) 0 rad e (b) π/5 rad.

Comprimento de Onda e Frequência

Capítulo 16 – Ondas I

tkxsenytxy m,

Capítulo 16 – Ondas I

tkxsenytxy m ,

Considerar a mesma onda em dois instantes

diferentes de tempo. Nessa situação a fase da

onda permanece constante!

fTk

v

Velocidade da onda

constante tkx

Como determinar a velocidade de propagação de uma onda?

Derivando dos dois lados temos:

0dt

dxk

O mesmo raciocínio pode ser obtido por meio

das equações da cinemática:

vtx f

vvT

Capítulo 16 – Ondas I

Exemplo 16.2) pg. 122

Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação y(x,t) = 0,00327sen(72,1x

– 2,72t), onde as constantes estão no SI.

a) Qual a amplitude da onda?

b) Qual o comprimento de onda, o período e a frequência da onda?

c) Qual a velocidade da onda?

d) Qual a velocidade transversal do elemento da corda x = 12,3 cm no instante t = 2,2 s?

𝜆 =2𝜋

𝑘 𝑇 =

2𝜋

𝜔 𝑇 =

1

𝑓

𝑣 =𝜆

𝑇

tkxydt

txdytxu m cos)(

,,

Capítulo 16 – Ondas I

A figura abaixo mostra a velocidade transversal em função do tempo, para um ponto de

uma corda situado em x = 0, quando uma onda passa por ele. A escala do eixo vertical é

definida por us = 4 m/s. Qual é o valor de ? (0,64 rad)

tkxydt

txdytxu m cos)(

,,

tkxutxu m cos,

mm yu

Velocidade de uma Onda em uma Corda Esticada

Capítulo 16 – Ondas I

Podemos aproximar a crista da onda na corda por

uma trajetória circular com arco Δl e raio R. A

corda está esticada por uma tensão τ. No eixo x a

tensão se anula restando apenas duas componentes

do eixo y. Nessa condição temos:

𝐹 = Δ𝑚𝑣2

𝑅= 2𝜏𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Para ângulos pequenos, senθ ~ θ: 2𝜃 =

Δ𝑙

𝑅

Δ𝑚 = µΔ𝑙

µΔ𝑙𝑣2

𝑅= 𝜏

Δ𝑙

𝑅 𝑣 =

𝜏

µ Velocidade em uma corda esticada por

uma tensão τ.

Energia e Potencia de uma Onda Progressiva

Capítulo 16 – Ondas I

A energia cinética de um elemento infinitesimal da

corda pode ser descrito por: 𝐾 =Δ𝑚𝑢(𝑥, 𝑡)2

2

𝐾 =Δ𝑚[𝑦𝑚 −𝜔 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]2

2

[𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)]méd = 1/2

𝐾𝑚é𝑑 =𝜇𝑑𝑥(𝑦𝑚𝜔)2

4

𝑃 =𝑑𝐸

𝑑𝑡= 2

𝑑𝐾𝑚é𝑑

𝑑𝑡= 2

𝜇𝑑𝑥(𝑦𝑚𝜔)2

4𝑑𝑡

𝑃 =𝜇𝑣(𝑦𝑚𝜔)2

2

Potência média de uma onda em uma corda.

𝐸 = 𝐾𝑚é𝑑 + 𝑈𝑚é𝑑

𝐾𝑚é𝑑 = 𝑈𝑚é𝑑

𝐸 = 2𝐾𝑚é𝑑

Capítulo 16 – Ondas I

Exemplo 16.4)

Na figura abaixo, duas cordas foram amaradas uma na outra com um nó e esticadas

entre dois suportes rígidos. As cordas tem massas específicas lineares de µ1 =

1,4x10-4 kg/m e µ2 = 2,8x10-4 kg/m. Os comprimentos são L1 = 3,0 m e L2 = 2,0 m.

A tensão na corda é de 400 N. Dois pulsos são enviados simultaneamente em direção

ao nó a partir dos suportes. Qual dos pulsos chega primeiro?

Resposta: O pulso que chegará primeiro

é aquele que completa o percurso no

menor tempo.

𝑣 =𝜏

µ

𝑡1 =𝐿1

𝑣1= 𝐿1

µ1

𝜏= 1,77𝑥10−3𝑠

𝑡2 =𝐿2

𝑣2= 𝐿2

µ2

𝜏= 1,67𝑥10−3𝑠 A onda 2 chega antes ao nó.

Capítulo 16 – Ondas I

Para que uma equação possa ser usada para descrever o comportamento de uma

onda, ela deverá satisfazer a condição abaixo:

2

2

22

2 ),(1),(

t

txy

vx

txy

Capítulo 16 – Ondas I

Fig.: Exemplos de Reflexão de um pulso ondulatório em uma corda com extremidade fixa

e com extremidade livre.

Quando uma onda atinge as fronteiras do meio,

ocorre reflexão da onda inteira ou de uma parte da

onda. Ex: corda com extremidade fixa, som ecoando,

etc.

Capítulo 16 – Ondas I

O que acontece quando duas ondas senoidais se passam simultaneamente

na mesma região?

Fig.: Superposição de dois pulsos ondulatórios se

deslocando em sentidos opostos.

Ocorre um combinação de ondas, uma superposição.

t,xyt,xyt,xy 21

Princípio de Superposição

Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma onda resultante ou onda total.

Ondas superpostas não se afetam multuamente.

Capítulo 16 – Ondas I

O fenômeno de combinação de ondas recebe o nome de INTERFERÊNCIA.

Ex. Duas ondas, de mesma amplitude e comprimento de onda se propagam no

MESMO SENTIDO de uma corda, sofrem interferem para produzir uma onda resultante

senoidal que se propaga nesse mesmo sentido.

Fig.: (a), (b) e (c) Ondas se propagando. (f), (g) e (h) onda sultante y’(x,t).

tkxsenyt,xy m 1

tkxsenyt,xy m2

txytxytxy ,,,´ 21

Capítulo 16 – Ondas I

22

1cos2,´

tkxsenytxy m

A interferência do ponto de vista matemático:

tkxsenyt,xy m 1

tkxsenyt,xy m2

txytxytxy ,,,´ 21

tkxsenytkxsenytxy mm),('

BABAsensenBsenA 2

1cos

2

12

tkxtkxtkxtkxsenytxy m 2

1cos

2

12),('

tkxA

tkxB

Amplitude Componente

Periódica

Capítulo 16 – Ondas I

Interferência

nLLL 12

Interferência Construtiva:

2)12(12

nLLL

n2

Interferência Destrutiva:

ou

)12( nou

...2,1,0n ...2,1,0n

Capítulo 16 – Ondas I

Exemplo 2. Duas ondas senoidais iguais, propagando-se no mesmo sentido em uma corda, interferem entre si. A amplitude ym das ondas é 9,8 mm e a diferença de fase entre elas é 100°. a) Qual a amplitude y’m da onda resultante e qual é o tipo de interferência? (13mm) b) Que diferença de fase, em radianos, faz com que a amplitude da onda resultante

seja 4,9 mm? (0,26 rad)

Capítulo 16 – Ondas I

Exemplo:

Uma antena transmite uma sinal de rádio de f = 100,1 MHz. Um rádio receptor

localizado a 20 km de distância da antena, sente uma interferência quando

um avião sobrevoa exatamente na metade da distância entre a antena e o

rádio. A interferência ocorre devido a sobreposição do sinal que sai da antena

e chega ao rádio, e, do sinal que sai da antena e é refletido pelo avião

chegando ao rádio. Determine a altura mínima que o avião necessita voar

para geral tal interferência.

fc

mx

x

f

c3

101.100

1036

8

A condição de interferência destrutiva será

satisfeita quando a diferença entre os dois

caminhos será meio comprimento de onda.

x x

d

h

22

dx

4

3

2

20000x

mx 75,10000

222 hdx

22 dxh

mh 5,122

Capítulo 16 – Ondas I

Ondas Estacionárias

Ondas estacionárias são obtidas a partir da interferência de duas ondas

idênticas (de mesma amplitude, k e ω) mas que se movem em SENTIDOS

OPOSTOS.

A analise dos 5 instantes que aparecem na figura acima nos mostram que a onda

resultante possui pontos que nunca se movem ditos de nós. Os pontos da onda

resultante que podem atingir de máxima amplitude são chamados de anti-nós.

Capítulo 16 – Ondas I

Ondas Estacionárias

Capítulo 16 – Ondas I

Ondas Estacionárias

tkxsenytxy m ,1

tkxsenytxy m ,2

tkxsenytkxsenytxy mm ),('

BABAsenBAsen 2

1cos

2

12

tkxtkxtkxtkxsenytxy m 2

1cos

2

12),('

tkxsenytxy m cos)(2,´

tkxB

tkxA

txytxytxy ,,,´ 21

Posições dos nós:

... 2, 1, 0, n para ,2

nx

Posições dos antinós:

... 2, 1, 0, n para ,22

1

nx

Capítulo 16 – Ondas I

A condição de ressonância é satisfeita quando o espaço de confinamento, o

comprimento útil da corda, equivale a um multiplo inteiro de meios

comprimentos de onda.

Fig.: Cada corda do violino oscila

naturalmente com uma ou mais

frequências harmônicas.

Fig.: onda em corda esticada.

Ressonância

Capítulo 16 – Ondas I

Fig.: onda em corda esticada. (a)

n = 1: Primeiro harmônico; (b) n =

2: segundo harmônico; (c) n = 3:

terceiro harmônico.

...) 3, 2, 1,(n 2

nL

...) 3, 2, 1,(n 2

n

Ln

As frequências de ressonância correspondem

a esses comprimentos de onda.

...) 3, 2, 1,(n 2

L

vn

vf

n

n

Onde n é o número harmônico.

Ressonância

Capítulo 16 – Ondas I

Exemplo 16.8) pg. 138 2. A figura mostra a oscilação ressonante de uma corda de massa m = 2,500g e comprimento L = 0,80m sob uma tensão F = 325 N. (a) Qual é o comprimento de onda das ondas transversais responsáveis pela onda estacionária mostrada na figura e qual o número harmônico n? (b) Qual é a frequência das ondas transversais e das oscilações dos elementos de corda? (c) Qual o módulo máximo da velocidade um do elemento da corda que oscila no ponto de coordenada x = 0,180 m? (0,40 m e 4; 806 Hz; 6,26 m/s )

Capítulo 16 – Ondas I

Exemplo: 1 - A menor frequência de ressonância de uma certa corda de violino é a da nota lá de concerto (440 Hz). Qual é a frequência (a) do segundo e (b) do terceiro harmônico simples? (880 Hz; 1320 Hz) 2 - Uma corda sujeita a uma tensão de 200 N e fixa nas duas extremidades oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por: Onde x = 0 em uma das extremidade da corda, x está em metros e t está em segundos. Quais são (a) o comprimento da corda, (b) a velocidade das ondas na corda e (c) a massa da corda? (d) Se a corda oscila no terceiro harmônico de uma corda estacionária, qual o período de oscilação? (4m; 24 m/s; 1,4 kg; 0,1 s)

txsenmtxy 12cos2)10,0(,´

Lista de Exercícios:

1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 26, 29, 33, 41, 43, 51, 79, 85, 93

Referências HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. Vol.2. TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v.1. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v.2.

Capítulo 16 – Ondas I