cap 1 - matrizes

7
M ATRIZES 1 1. MATRIZES Introdução Os primeiros registros que se tem notícia sobre matrizes datam de 250 a.C. na antiga China sob a forma de tabelas que auxiliavam na resolução de sistemas de equações lineares. Muito tempo depois é que a teoria das matrizes estava, de fato, formulada. Portanto, matrizes nada mais são do que tabelas. Como as matrizes são tabelas, daremos alguns exemplos de matrizes nesse formato: Exemplo 1.1: Poluentes da atmosfera que saem dos escapamentos de automóveis: Monóxido de Carbono Hidrocarbonetos Òxidos Nitrosos Enxofre Fuligem Gasolina 27,7 2,7 1,2 0,22 0,21 Álcool 16,7 1,9 1,2 0 0 Diesel 17,8 2,9 13,0 2,72 0,81 Gás Natural 6,0 0,7 1,1 0 0 A matriz acima possui 4 linhas e 5 colunas (corpo da tabela), então dizemos que essa matriz é do tipo 4 x 5. Exemplo 1.2: Perfil de alguns alimentos: Gordura Saturada (g) Colesterol (mg) Bife Magro (100g) 2,7 56,0 Carne de porco (100g) 3,2 80,0 Fígado (100g) 2,5 372,0 Iogurte desnatado (1 copo) 1,8 11,0 Leite integral (1 copo) 5,1 33,0 Lula (100g) 0,4 153,0 Óleo de coco (1 colher sopa) 0 11,8 Óleo de milho (1 colher sopa) 0 1,7 Ovo 1,7 274,0 A matriz acima possui 9 linhas e 2 colunas, então dizemos que essa matriz é do tipo 9 x 2 Conceitos Chamamos matriz de ordem m por n a um quadro (ou tabela) de n m números dispostos em m linhas e n colunas. Neste caso dizemos que a matriz tem ordem m por n. Os números que formam a matriz são chamados elementos da matriz. Ao lado temos um exemplo de matriz 3x4. Podemos denotar as matrizes por colchetes ou por duas barras de cada lado. Abaixo temos mais dois exemplos de matrizes sendo a primeira uma matriz 2x2 e a segunda uma matriz 3x2. Exemplo 1.3: 3 5 4 0 2 3 3 1 1 0 2 1 0 0 3 8 4 0 1 2 matriz 2 x 2 matriz 3 x 2 determinante de uma matriz 3 x 3 ATENÇÃO: A representação com uma barra de cada lado indica o determinante da matriz.. Representação Os nomes das matrizes são representados por letras maiúsculas: A, B, C, ... Os elementos são representados por letras minúsculas. Em geral os elementos são representados por letras minúsculas acompanhadas de um índice duplo que se refere à posição ocupada pelo elemento na matriz, denotada por LC a onde L é a linha e C é a coluna. 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 z c y b x a A x a 32 31 22 21 12 11 a a a a a a A

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matrizes

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  • MATR IZE S

    1

    1. MATRIZES

    Introduo

    Os primeiros registros que se tem notcia sobre matrizes datam de 250 a.C. na antiga China sob a forma de tabelas que auxiliavam na resoluo de sistemas de equaes lineares. Muito tempo depois que a teoria das matrizes estava, de fato, formulada. Portanto, matrizes nada mais so do que tabelas. Como as matrizes so tabelas, daremos alguns exemplos de matrizes nesse formato:

    Exemplo 1.1: Poluentes da atmosfera que saem dos escapamentos de automveis:

    Monxido de Carbono Hidrocarbonetos xidos Nitrosos Enxofre Fuligem

    Gasolina 27,7 2,7 1,2 0,22 0,21

    lcool 16,7 1,9 1,2 0 0

    Diesel 17,8 2,9 13,0 2,72 0,81

    Gs Natural 6,0 0,7 1,1 0 0

    A matriz acima possui 4 linhas e 5 colunas (corpo da tabela), ento dizemos que essa matriz do tipo 4 x 5.

    Exemplo 1.2: Perfil de alguns alimentos:

    Gordura Saturada (g) Colesterol (mg)

    Bife Magro (100g) 2,7 56,0

    Carne de porco (100g) 3,2 80,0

    Fgado (100g) 2,5 372,0

    Iogurte desnatado (1 copo) 1,8 11,0

    Leite integral (1 copo) 5,1 33,0

    Lula (100g) 0,4 153,0

    leo de coco (1 colher sopa) 0 11,8

    leo de milho (1 colher sopa) 0 1,7

    Ovo 1,7 274,0

    A matriz acima possui 9 linhas e 2 colunas, ento dizemos que essa matriz do tipo 9 x 2

    Conceitos

    Chamamos matriz de ordem m por n a um quadro (ou tabela) de nm nmeros dispostos em m linhas e n colunas. Neste caso dizemos que a matriz

    tem ordem m por n. Os nmeros que formam a matriz so chamados elementos da matriz. Ao lado temos um exemplo de matriz 3x4.

    Podemos denotar as matrizes por colchetes ou por duas barras de cada lado. Abaixo temos mais dois exemplos de matrizes sendo a primeira uma matriz 2x2 e a segunda uma matriz 3x2.

    Exemplo 1.3:

    3

    54

    02

    3

    3

    11

    02

    100

    384

    012

    matriz 2 x 2 matriz 3 x 2 determinante de uma matriz 3 x 3

    ATENO: A representao com uma barra de cada lado indica o determinante da matriz..

    Representao

    Os nomes das matrizes so representados por letras maisculas: A, B, C, ...

    Os elementos so representados por letras minsculas.

    Em geral os elementos so representados por letras minsculas acompanhadas de um

    ndice duplo que se refere posio ocupada pelo elemento na matriz, denotada por LCa

    onde L a linha e C a coluna.

    34333231

    24232221

    14131211

    zc

    yb

    xa

    A

    zc

    yb

    xa

    A

    3231

    2221

    1211

    aa

    aa

    aa

    A

  • MATR IZE S

    2

    Podemos ento representar uma matriz genrica recorrendo s reticncias como mostrada ao lado ou simplesmente escrevendo:

    nmij

    aA

    .

    Alguns tipos especiais de matrizes

    Matriz linha e matriz coluna (vetores)

    Uma matriz linha uma matriz de ordem 1 por n e uma matriz coluna uma matriz de ordem n por 1. Essas matrizes tambm so chamadas de vetores: vetor linha e vetor coluna.

    Exemplo 1.4:

    1

    52

    7

    1

    A naaaaB ...321

    Matriz coluna

    Matriz quadrada

    Chamamos uma matriz de matriz quadrada quando o nmero de linhas e o nmero de colunas so iguais.

    Se uma matriz tem n linhas por n colunas ento dizemos simplesmente que uma matriz de ordem n. Abaixo ( direita) temos um exemplo de matriz de ordem 3.

    Chamamos de diagonal principal e diagonal secundria os elementos dispostos da seguinte maneira:

    *

    *

    *

    *

    *

    *

    33311

    260

    501

    diagonal principal diagonal secundria diagonal secundria diagonal principal

    Por exemplo, os elementos da diagonal principal da matriz acima ( direita) so 1 6 e 3 e os elementos da diagonal secundria so 5, -6 e -1.

    Simbolicamente podemos escrever que os elementos da diagonal principal so os elementos jia , onde

    ji . Os elementos da diagonal secundria so os elementos jia onde 1 nji .

    ATENO: Somente matrizes quadradas tm diagonal principal e diagonal secundria.

    Matriz diagonal e matriz identidade

    Uma matriz quadrada jiaA chamada matriz diagonal quando 0jia , ji . Uma matriz jiaI chamada identidade (ou matriz unidade) quando uma matriz diagonal tal que 1iia .

    Exemplo 1.5:

    10

    02A

    4000

    0000

    0030

    0001

    B

    100

    010

    001

    3I

    10

    012I

    Exemplos de matriz diagonal Exemplos de matriz identidade

    Matriz triangular superior e matriz triangular inferior

    Uma matriz quadrada jiaA chamada triangular superior quando 0jia , ji . Uma matriz quadrada jiaA chamada triangular inferior quando 0jia , ji .

    Matriz linha

    mnmmm

    n

    n

    aaaa

    aaaa

    aaaa

    A

    ...

    .......................................

    ...

    ...

    321

    2232221

    1131211

  • MATR IZE S

    3

    Exemplo 1.6:

    2000

    1000

    8030

    0421

    A

    200

    410

    253

    B Exemplos de matriz triangular superior.

    Exemplo 1.7:

    32

    01A

    0021

    0230

    0024

    0003

    B Exemplos de matriz triangular inferior.

    Matriz nula (ou matriz zero)

    Uma matriz O tal que todos os seus elementos so nulos chamada matriz nula.

    Exemplo 1.8:

    0000

    0000

    0000

    0000

    O

    00000

    00000

    00000

    O 0000O

    Matriz Oposta

    A matriz oposta de uma matriz A uma matriz B obtida de A quando trocamos os sinais de todos os

    elementos de A.

    Exemplo 1.9: Seja

    410

    302A . Ento a matriz oposta de A :

    410

    302A .

    Matriz transposta

    Dada uma matriz mnA chamamos matriz transposta de A a matriz nmtA , onde as linhas da matriz A

    passam a ser colunas da matriz tA e as colunas de A passam a ser as linhas de tA .

    Exemplo 1.10: Seja

    410

    302A . Ento a matriz transposta de A :

    43

    10

    02tA .

    Igualdade de matrizes

    Dizemos que duas matrizes so iguais quando os elementos que ocupam posies iguais so iguais. Logo uma condio necessria que as matrizes tenham mesma ordem para que possam ser iguais.

    Exemplo 1.11: As matrizes A e B abaixo sero iguais se e somente se 8x e 2y . As matrizes A e C

    abaixo no sero iguais quaisquer que sejam os valores de x e y.

    46

    2 xA

    46

    8yB

    26

    8yC

    Exerccios (em aula)

    1) Nos meses de janeiro, fevereiro e maro os preos mdios dos ovos foram $4,00, $3,00 e $5,00 respectivamente.

    a) Escreva a matriz Preo Mdio: Ms x Preo. Qual a ordem dessa matriz?

  • MATR IZE S

    4

    b) Essa um tipo especial de matriz? Qual?

    c) Escreva a matriz transposta da matriz Preo mdio. Qual a ordem dessa matriz?

    2) Sabe-se que os ovos so classificados, segundo seu tamanho, em Extra, Tipo A e Tipo B (existem mais!). Os preos mdios do ovo tipo Extra foram, em janeiro, fevereiro e maro, $4,00, $3,00 e 5,00, respectivamente, do Tipo A foram $3,50, $2,50 e $4,50 e do Tipo B foram $3,00, $2,00 e $4,00. Escreva a matriz Preo Mdio no Trimestre: Ms x Preo. Essa um tipo especial de matriz? Qual?

    3) Uma fbrica de doces produziu em 4 semanas consecutiva as seguintes quantidades: 120, 180, 100 e 80 quilos de figada, 50, 90, 40 e 30 quilos de pessegada. Escreva a matriz Quantidade Produzida: Semana x Doce. Essa um tipo especial de matriz? Qual?

    4) Escreva a matriz 33xij

    bB sabendo que

    ji

    jibij

    se 0

    se 1. Essa um tipo especial

    de matriz? Qual? Qual a ordem dessa matriz?

    5) Escreva a matriz oposta de 22

    jiaA

    com jia ji . Quais os elementos da

    diagonal secundria?

    6) Sendo

    00

    2 baaA uma matriz

    nula calcule a e b.

    7) A matriz transposta de

    654

    321A

    a matriz

    36

    25

    14

    ? Justifique!

    8) Quais os elementos da diagonal principal e diagonal secundria das matrizes do exerccio anterior?

    9) Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 8?

  • MATR IZE S

    5

    10) Seja um sistema linear de m equaes e n incgnitas:

    mnmnmm

    nn

    nn

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    ...

    ..............................................

    ...

    ...

    2211

    22222121

    11212111

    . Podemos associar

    a ele as seguintes matrizes:

    mnmm

    n

    n

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    ...

    ............

    ...

    ...

    21

    22221

    11211

    mmnmm

    n

    n

    baaa

    baaa

    baaa

    B

    ...

    ...............

    ...

    ...

    21

    222221

    111211

    chamada matriz incompleta chamada matriz completa

    Por exemplo, dado o sistema

    62

    432

    zyx

    zyx temos

    121

    132A e

    6121

    4132B

    como matrizes incompleta e completa respectivamente1. Escreva as matrizes completa e incompleta dos

    seguintes sistemas:

    a)

    62

    432

    zyx

    zyx b)

    012

    2432

    xy

    zyx

    Exerccios propostos

    1 - Uma editora imprimiu no ano de 1998 as seguintes quantidades de livros: 3 romances, 4 aventuras, 5 romances juvenis e 2 policiais. Escreva a matriz Produo 1998: Ano x Livros. Resposta:

    25431998PJAR

    2 - Dona Maria foi feira e comprou 4 dzias de ovos, duas dzias de bananas, trs mas e 5 quilos de feijo. Dona Augusta foi mesma feira e comprou 1 dzia de ovos, 3 dzias de banana, 2 quilos de feijo e 3 quilos de arroz. Escreva a matriz Compras na Feira: Pessoa x Produto. Resposta:

    3231

    5324

    Augusta

    Maria

    FMBO

    3 - Escreva a matriz transposta da matriz do exerccio anterior. Resposta:

    35

    23

    32

    14

    4 - Um agricultor dispe de 4 qualidades de adubo com as seguintes caractersticas:

    a) Cada quilograma do adubo I contm 10g de nitrato, 10g de fosfato e 100g de potssio.

    b) Cada quilograma do adubo II contm 10g de nitrato, 100g de fosfato e 30g de potssio.

    c) Cada quilograma do adubo III contm 50g de nitrato, 20g de fosfato e 20g de potssio.

    d) Cada quilograma do adubo IV contm 20g de nitrato, 40g de fosfato e 35g de potssio.

    Escreva a matriz Caractersticas dos Adubos: Adubo x Quantidades. Resposta:

    354020

    202050

    3010010

    1001010

    IV

    III

    II

    I

    PFN

    1 As matrizes so particularmente teis para soluo computacional de sistemas de equaes lineares pois

    estas so tratadas como matrizes pelos algoritmos (e que so vistos na disciplina Clculo Numrico).

  • MATR IZE S

    6

    5 - Escreva a matriz incompleta dos seguintes sistemas de equaes lineares:

    a)

    04

    132

    yx

    zyx b)

    4

    32

    zy

    zx c)

    ttx

    yxz

    xyx

    3

    23

    13

    Resposta: a)

    014

    132 b)

    110

    102 c)

    2001

    0113

    0012

    6 - Dada a matriz 23

    jiaA , com jia ji , escreva a matriz oposta de A. Resposta:

    54

    43

    32

    A

    7 - Determine a matriz real quadrada A de ordem 2, definida por

    jii

    jia

    ji

    ji se 1

    se 2

    2. Resposta:

    65

    82A

    8 - Escreva as ordens das matrizes anteriores e os respectivos nomes (retangular, quadrada, linha, ...)

    9 - Definimos trao de uma matriz (quadrada) como sendo a soma dos elementos da sua diagonal principal. Calcule o trao das seguintes matrizes:

    a) 3 b)

    23

    42 c)

    43

    21 d)

    301

    240

    311

    Respostas; a) 3 b) 0 c) 5 d) 2

    10 - Obtenha x para que seja verificada a igualdade

    x

    x

    3

    1

    23

    21 2. Resposta: 2

    Exerccios Complementares

    1 - Numa classe existem 8 rapazes e 10 moas, sendo que 4 rapazes so louros, os outros so morenos com exceo de um que negro; 3 moas so louras, 6 so morenas e uma ruiva. Escreva a matriz Distribuio:

    Sexo x Tipo. Resposta:

    1063

    0134

    Moas

    Rapazes

    RNML

    2 - No jogo treino da seleo da universidade experimentaram 4 novos atacantes: X, Y, Z e W. Verificou-se que X chutou 9 bolas em gol, Y chutou 10, Z chutou 12 e W chutou 15. Foram defendidas 2, 4, 3 e 1 respectivamente. S X e Z marcaram, sendo 1 gol de X e 1 gol de Z. Chutaram na trave: Y uma vez e Z tambm uma vez. Escreva a matriz Resultados: Jogadores x Resultados. Essa um tipo especial de matriz?

    Qual? Resposta:

    00115

    11312

    10410

    0129

    W

    Z

    Y

    X

    TGDC

    3 - Um grupo de pesquisadores estudou trs tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) eles determinaram que:

    a) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.

    b) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C.

    c) O alimento III tem 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades e vitamina C e no contm vitamina B.

    Escreva a matriz Constituio dos Alimentos: Alimento x Quantidade de vitamina. Resposta:

    303

    532

    431

    III

    II

    I

    CBA

    4 - A seguinte igualdade verdadeira? Justifique!

    3

    1042

    2

    52

    21

    33

    215,0

    279

    41 Resposta: No.

    5 - Calcular x e y de modo que se verifique a igualdade:

    539

    212

    49

    242x

    y. Resposta: ver [8] pg. 387

  • MATR IZE S

    7

    6 - Quais das igualdades abaixo so verdadeiras?

    a)

    12

    30

    01

    23 b)

    043

    021

    43

    21 c)

    00

    42

    31

    043

    021 d)

    12

    01

    12

    012

    Resposta: Somente a ltima

    7 - Escreva as matrizes abaixo:

    a) 32

    jiaA , sendo ija ji

    b) 23

    jibB , sendo ji

    jib

    1 . Resposta: a)

    642

    321A

    b) Ver [2] pg. 10

    8 - Considere o seguinte problema: temos que transportar produtos das vrias origens onde esto estocados para vrios destinos onde so necessrios. Os custos unitrios de transporte de cada origem para

    cada destino esto mostrados na figura ao lado onde Cij o custo

    unitrio de transporte de cada origem i para o destino j. Escreva a matriz Custo Unitrio de Transporte.

    2

    9 - Um grafo uma estrutura de abstrao que representa um conjunto de elementos denominados ns (ou vrtices) e suas relaes de interdependncia (as arestas). Podemos representar grafos por diagramas como no exerccio anterior. Outra forma de representao do grafos atravs de matrizes. Como voc representaria, matricialmente, o grafo ilustrado ao lado?

    3

    10 - Na figura ao lado temos representada uma rede de comunicao em cinco locais, numerados de 1 5, com transmissores de potncias distintas. Nela vemos que o transmissor 1 pode transmitir diretamente para o transmissor 3 mas o transmissor 3 no pode transmitir diretamente para o transmissor 1 (veja as direes das setas). Escreva a matriz que representa esse grafo convencionando que os valores da matriz sero 0 e 1 para representar a transmisso direta ou no. (Dica: Veja o exerccio 16, pg. 13 de [4])

    Dica de Leitura

    Para reforar os conceitos vistos aqui:

    Leia e faa alguns exerccios contidos em [2] (pg. 8-13) e [1] (pg. 169-173).

    Leia as pginas 1-4 do livro [4] e as pginas 8-10 de [5].

    Para os cursos de computao interessante ver [11] pginas 204-205, em particular a seo 5.2 sobre Representaes Computacionais de Grafos nas pginas 243-245 e os exerccios das pginas 248-249.

    2 Exemplo tirado do livro Pesquisa Operacional para os cursos de economia, administrao e cincias

    contbeis, MEDEIROS, MEDEIROS, GONALVES, MUROLO, Ed. Atlas, pgina 96. 3 Definio de grafo retirada de Otimizao Combinatria e Programao Linear modelos e algoritmos, M.

    C. Goldbarg e H. P. L. Luna, Ed. Campus. Veja Representao de Matriz de Adjacncia na pgina 593.

    1

    2

    3 4

    5 6