cap 1 - matrizes
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MATR IZE S
1
1. MATRIZES
Introduo
Os primeiros registros que se tem notcia sobre matrizes datam de 250 a.C. na antiga China sob a forma de tabelas que auxiliavam na resoluo de sistemas de equaes lineares. Muito tempo depois que a teoria das matrizes estava, de fato, formulada. Portanto, matrizes nada mais so do que tabelas. Como as matrizes so tabelas, daremos alguns exemplos de matrizes nesse formato:
Exemplo 1.1: Poluentes da atmosfera que saem dos escapamentos de automveis:
Monxido de Carbono Hidrocarbonetos xidos Nitrosos Enxofre Fuligem
Gasolina 27,7 2,7 1,2 0,22 0,21
lcool 16,7 1,9 1,2 0 0
Diesel 17,8 2,9 13,0 2,72 0,81
Gs Natural 6,0 0,7 1,1 0 0
A matriz acima possui 4 linhas e 5 colunas (corpo da tabela), ento dizemos que essa matriz do tipo 4 x 5.
Exemplo 1.2: Perfil de alguns alimentos:
Gordura Saturada (g) Colesterol (mg)
Bife Magro (100g) 2,7 56,0
Carne de porco (100g) 3,2 80,0
Fgado (100g) 2,5 372,0
Iogurte desnatado (1 copo) 1,8 11,0
Leite integral (1 copo) 5,1 33,0
Lula (100g) 0,4 153,0
leo de coco (1 colher sopa) 0 11,8
leo de milho (1 colher sopa) 0 1,7
Ovo 1,7 274,0
A matriz acima possui 9 linhas e 2 colunas, ento dizemos que essa matriz do tipo 9 x 2
Conceitos
Chamamos matriz de ordem m por n a um quadro (ou tabela) de nm nmeros dispostos em m linhas e n colunas. Neste caso dizemos que a matriz
tem ordem m por n. Os nmeros que formam a matriz so chamados elementos da matriz. Ao lado temos um exemplo de matriz 3x4.
Podemos denotar as matrizes por colchetes ou por duas barras de cada lado. Abaixo temos mais dois exemplos de matrizes sendo a primeira uma matriz 2x2 e a segunda uma matriz 3x2.
Exemplo 1.3:
3
54
02
3
3
11
02
100
384
012
matriz 2 x 2 matriz 3 x 2 determinante de uma matriz 3 x 3
ATENO: A representao com uma barra de cada lado indica o determinante da matriz..
Representao
Os nomes das matrizes so representados por letras maisculas: A, B, C, ...
Os elementos so representados por letras minsculas.
Em geral os elementos so representados por letras minsculas acompanhadas de um
ndice duplo que se refere posio ocupada pelo elemento na matriz, denotada por LCa
onde L a linha e C a coluna.
34333231
24232221
14131211
zc
yb
xa
A
zc
yb
xa
A
3231
2221
1211
aa
aa
aa
A
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MATR IZE S
2
Podemos ento representar uma matriz genrica recorrendo s reticncias como mostrada ao lado ou simplesmente escrevendo:
nmij
aA
.
Alguns tipos especiais de matrizes
Matriz linha e matriz coluna (vetores)
Uma matriz linha uma matriz de ordem 1 por n e uma matriz coluna uma matriz de ordem n por 1. Essas matrizes tambm so chamadas de vetores: vetor linha e vetor coluna.
Exemplo 1.4:
1
52
7
1
A naaaaB ...321
Matriz coluna
Matriz quadrada
Chamamos uma matriz de matriz quadrada quando o nmero de linhas e o nmero de colunas so iguais.
Se uma matriz tem n linhas por n colunas ento dizemos simplesmente que uma matriz de ordem n. Abaixo ( direita) temos um exemplo de matriz de ordem 3.
Chamamos de diagonal principal e diagonal secundria os elementos dispostos da seguinte maneira:
*
*
*
*
*
*
33311
260
501
diagonal principal diagonal secundria diagonal secundria diagonal principal
Por exemplo, os elementos da diagonal principal da matriz acima ( direita) so 1 6 e 3 e os elementos da diagonal secundria so 5, -6 e -1.
Simbolicamente podemos escrever que os elementos da diagonal principal so os elementos jia , onde
ji . Os elementos da diagonal secundria so os elementos jia onde 1 nji .
ATENO: Somente matrizes quadradas tm diagonal principal e diagonal secundria.
Matriz diagonal e matriz identidade
Uma matriz quadrada jiaA chamada matriz diagonal quando 0jia , ji . Uma matriz jiaI chamada identidade (ou matriz unidade) quando uma matriz diagonal tal que 1iia .
Exemplo 1.5:
10
02A
4000
0000
0030
0001
B
100
010
001
3I
10
012I
Exemplos de matriz diagonal Exemplos de matriz identidade
Matriz triangular superior e matriz triangular inferior
Uma matriz quadrada jiaA chamada triangular superior quando 0jia , ji . Uma matriz quadrada jiaA chamada triangular inferior quando 0jia , ji .
Matriz linha
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
.......................................
...
...
321
2232221
1131211
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MATR IZE S
3
Exemplo 1.6:
2000
1000
8030
0421
A
200
410
253
B Exemplos de matriz triangular superior.
Exemplo 1.7:
32
01A
0021
0230
0024
0003
B Exemplos de matriz triangular inferior.
Matriz nula (ou matriz zero)
Uma matriz O tal que todos os seus elementos so nulos chamada matriz nula.
Exemplo 1.8:
0000
0000
0000
0000
O
00000
00000
00000
O 0000O
Matriz Oposta
A matriz oposta de uma matriz A uma matriz B obtida de A quando trocamos os sinais de todos os
elementos de A.
Exemplo 1.9: Seja
410
302A . Ento a matriz oposta de A :
410
302A .
Matriz transposta
Dada uma matriz mnA chamamos matriz transposta de A a matriz nmtA , onde as linhas da matriz A
passam a ser colunas da matriz tA e as colunas de A passam a ser as linhas de tA .
Exemplo 1.10: Seja
410
302A . Ento a matriz transposta de A :
43
10
02tA .
Igualdade de matrizes
Dizemos que duas matrizes so iguais quando os elementos que ocupam posies iguais so iguais. Logo uma condio necessria que as matrizes tenham mesma ordem para que possam ser iguais.
Exemplo 1.11: As matrizes A e B abaixo sero iguais se e somente se 8x e 2y . As matrizes A e C
abaixo no sero iguais quaisquer que sejam os valores de x e y.
46
2 xA
46
8yB
26
8yC
Exerccios (em aula)
1) Nos meses de janeiro, fevereiro e maro os preos mdios dos ovos foram $4,00, $3,00 e $5,00 respectivamente.
a) Escreva a matriz Preo Mdio: Ms x Preo. Qual a ordem dessa matriz?
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MATR IZE S
4
b) Essa um tipo especial de matriz? Qual?
c) Escreva a matriz transposta da matriz Preo mdio. Qual a ordem dessa matriz?
2) Sabe-se que os ovos so classificados, segundo seu tamanho, em Extra, Tipo A e Tipo B (existem mais!). Os preos mdios do ovo tipo Extra foram, em janeiro, fevereiro e maro, $4,00, $3,00 e 5,00, respectivamente, do Tipo A foram $3,50, $2,50 e $4,50 e do Tipo B foram $3,00, $2,00 e $4,00. Escreva a matriz Preo Mdio no Trimestre: Ms x Preo. Essa um tipo especial de matriz? Qual?
3) Uma fbrica de doces produziu em 4 semanas consecutiva as seguintes quantidades: 120, 180, 100 e 80 quilos de figada, 50, 90, 40 e 30 quilos de pessegada. Escreva a matriz Quantidade Produzida: Semana x Doce. Essa um tipo especial de matriz? Qual?
4) Escreva a matriz 33xij
bB sabendo que
ji
jibij
se 0
se 1. Essa um tipo especial
de matriz? Qual? Qual a ordem dessa matriz?
5) Escreva a matriz oposta de 22
jiaA
com jia ji . Quais os elementos da
diagonal secundria?
6) Sendo
00
2 baaA uma matriz
nula calcule a e b.
7) A matriz transposta de
654
321A
a matriz
36
25
14
? Justifique!
8) Quais os elementos da diagonal principal e diagonal secundria das matrizes do exerccio anterior?
9) Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 8?
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MATR IZE S
5
10) Seja um sistema linear de m equaes e n incgnitas:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
..............................................
...
...
2211
22222121
11212111
. Podemos associar
a ele as seguintes matrizes:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
B
...
...............
...
...
21
222221
111211
chamada matriz incompleta chamada matriz completa
Por exemplo, dado o sistema
62
432
zyx
zyx temos
121
132A e
6121
4132B
como matrizes incompleta e completa respectivamente1. Escreva as matrizes completa e incompleta dos
seguintes sistemas:
a)
62
432
zyx
zyx b)
012
2432
xy
zyx
Exerccios propostos
1 - Uma editora imprimiu no ano de 1998 as seguintes quantidades de livros: 3 romances, 4 aventuras, 5 romances juvenis e 2 policiais. Escreva a matriz Produo 1998: Ano x Livros. Resposta:
25431998PJAR
2 - Dona Maria foi feira e comprou 4 dzias de ovos, duas dzias de bananas, trs mas e 5 quilos de feijo. Dona Augusta foi mesma feira e comprou 1 dzia de ovos, 3 dzias de banana, 2 quilos de feijo e 3 quilos de arroz. Escreva a matriz Compras na Feira: Pessoa x Produto. Resposta:
3231
5324
Augusta
Maria
FMBO
3 - Escreva a matriz transposta da matriz do exerccio anterior. Resposta:
35
23
32
14
4 - Um agricultor dispe de 4 qualidades de adubo com as seguintes caractersticas:
a) Cada quilograma do adubo I contm 10g de nitrato, 10g de fosfato e 100g de potssio.
b) Cada quilograma do adubo II contm 10g de nitrato, 100g de fosfato e 30g de potssio.
c) Cada quilograma do adubo III contm 50g de nitrato, 20g de fosfato e 20g de potssio.
d) Cada quilograma do adubo IV contm 20g de nitrato, 40g de fosfato e 35g de potssio.
Escreva a matriz Caractersticas dos Adubos: Adubo x Quantidades. Resposta:
354020
202050
3010010
1001010
IV
III
II
I
PFN
1 As matrizes so particularmente teis para soluo computacional de sistemas de equaes lineares pois
estas so tratadas como matrizes pelos algoritmos (e que so vistos na disciplina Clculo Numrico).
-
MATR IZE S
6
5 - Escreva a matriz incompleta dos seguintes sistemas de equaes lineares:
a)
04
132
yx
zyx b)
4
32
zy
zx c)
ttx
yxz
xyx
3
23
13
Resposta: a)
014
132 b)
110
102 c)
2001
0113
0012
6 - Dada a matriz 23
jiaA , com jia ji , escreva a matriz oposta de A. Resposta:
54
43
32
A
7 - Determine a matriz real quadrada A de ordem 2, definida por
jii
jia
ji
ji se 1
se 2
2. Resposta:
65
82A
8 - Escreva as ordens das matrizes anteriores e os respectivos nomes (retangular, quadrada, linha, ...)
9 - Definimos trao de uma matriz (quadrada) como sendo a soma dos elementos da sua diagonal principal. Calcule o trao das seguintes matrizes:
a) 3 b)
23
42 c)
43
21 d)
301
240
311
Respostas; a) 3 b) 0 c) 5 d) 2
10 - Obtenha x para que seja verificada a igualdade
x
x
3
1
23
21 2. Resposta: 2
Exerccios Complementares
1 - Numa classe existem 8 rapazes e 10 moas, sendo que 4 rapazes so louros, os outros so morenos com exceo de um que negro; 3 moas so louras, 6 so morenas e uma ruiva. Escreva a matriz Distribuio:
Sexo x Tipo. Resposta:
1063
0134
Moas
Rapazes
RNML
2 - No jogo treino da seleo da universidade experimentaram 4 novos atacantes: X, Y, Z e W. Verificou-se que X chutou 9 bolas em gol, Y chutou 10, Z chutou 12 e W chutou 15. Foram defendidas 2, 4, 3 e 1 respectivamente. S X e Z marcaram, sendo 1 gol de X e 1 gol de Z. Chutaram na trave: Y uma vez e Z tambm uma vez. Escreva a matriz Resultados: Jogadores x Resultados. Essa um tipo especial de matriz?
Qual? Resposta:
00115
11312
10410
0129
W
Z
Y
X
TGDC
3 - Um grupo de pesquisadores estudou trs tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) eles determinaram que:
a) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.
b) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C.
c) O alimento III tem 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades e vitamina C e no contm vitamina B.
Escreva a matriz Constituio dos Alimentos: Alimento x Quantidade de vitamina. Resposta:
303
532
431
III
II
I
CBA
4 - A seguinte igualdade verdadeira? Justifique!
3
1042
2
52
21
33
215,0
279
41 Resposta: No.
5 - Calcular x e y de modo que se verifique a igualdade:
539
212
49
242x
y. Resposta: ver [8] pg. 387
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MATR IZE S
7
6 - Quais das igualdades abaixo so verdadeiras?
a)
12
30
01
23 b)
043
021
43
21 c)
00
42
31
043
021 d)
12
01
12
012
Resposta: Somente a ltima
7 - Escreva as matrizes abaixo:
a) 32
jiaA , sendo ija ji
b) 23
jibB , sendo ji
jib
1 . Resposta: a)
642
321A
b) Ver [2] pg. 10
8 - Considere o seguinte problema: temos que transportar produtos das vrias origens onde esto estocados para vrios destinos onde so necessrios. Os custos unitrios de transporte de cada origem para
cada destino esto mostrados na figura ao lado onde Cij o custo
unitrio de transporte de cada origem i para o destino j. Escreva a matriz Custo Unitrio de Transporte.
2
9 - Um grafo uma estrutura de abstrao que representa um conjunto de elementos denominados ns (ou vrtices) e suas relaes de interdependncia (as arestas). Podemos representar grafos por diagramas como no exerccio anterior. Outra forma de representao do grafos atravs de matrizes. Como voc representaria, matricialmente, o grafo ilustrado ao lado?
3
10 - Na figura ao lado temos representada uma rede de comunicao em cinco locais, numerados de 1 5, com transmissores de potncias distintas. Nela vemos que o transmissor 1 pode transmitir diretamente para o transmissor 3 mas o transmissor 3 no pode transmitir diretamente para o transmissor 1 (veja as direes das setas). Escreva a matriz que representa esse grafo convencionando que os valores da matriz sero 0 e 1 para representar a transmisso direta ou no. (Dica: Veja o exerccio 16, pg. 13 de [4])
Dica de Leitura
Para reforar os conceitos vistos aqui:
Leia e faa alguns exerccios contidos em [2] (pg. 8-13) e [1] (pg. 169-173).
Leia as pginas 1-4 do livro [4] e as pginas 8-10 de [5].
Para os cursos de computao interessante ver [11] pginas 204-205, em particular a seo 5.2 sobre Representaes Computacionais de Grafos nas pginas 243-245 e os exerccios das pginas 248-249.
2 Exemplo tirado do livro Pesquisa Operacional para os cursos de economia, administrao e cincias
contbeis, MEDEIROS, MEDEIROS, GONALVES, MUROLO, Ed. Atlas, pgina 96. 3 Definio de grafo retirada de Otimizao Combinatria e Programao Linear modelos e algoritmos, M.
C. Goldbarg e H. P. L. Luna, Ed. Campus. Veja Representao de Matriz de Adjacncia na pgina 593.
1
2
3 4
5 6