cap 1 a cap 6 - conjuntos e funções.docx

MatemticaFrente IICAPTULO 1 INTRODUO A CONJUNTOS

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1 O QUE UM CONJUNTO?O conjunto um dos primeiros conceitos que aprendemos no estudo da matemtica, sendo sua definio muito semelhante que usamos na linguagem de nosso dia-a-dia. A palavra conjunto nos remete a coletividade. Quando dizemos um conjunto de pessoas ou o conjunto das vogais, logo pensamos em vrias pessoas juntas ou nas 5 vogais do alfabeto.Formalmente, a matemtica define o conjunto como qualquer coleo de objetos distintos, chamados elementos. Observemos, porm, que um conjunto pode ter apenas um, nenhum ou mesmo infinitos elementos, conforme veremos mais a frente.

2 REPRESENTAO DE CONJUNTOS

De modo geral daremos nome aos conjuntos atravs de uma letra maiscula do nosso alfabeto. Todo processo de representao de um conjunto tem como propsito principal indicar todos os elementos que o constituem. Assim, na representao, deve ficar claro se qualquer elemento pertence ou no ao conjunto.Existem trs formas de representao que so bastante teis e, portanto, muito utilizadas. ent essencial que todos os alunos se tornem bastante confortveis com essas representaes. No necessrio porm que se memorizem seus nomes.So elas:

2.1Citao dos elementos

Quando um conjunto descrito pela enumerao de seus elementos. Tal enumerao se d entre chaves, e cada elemento separado por uma vrgula ou por um ponto e vrgula.

EXEMPLOS:- O conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}- O conjunto dos divisores de vinte: {1, 2, 4, 5, 10, 20}- O conjunto dos dias da semana: {domingo, segunda, tera, quarta, quinta, sexta, sbado}

Esse modo de representao tambm permite a descrio de conjuntos com infinitos elementos enumerveis. Basta utilizar reticncias antes de fechar as chaves.

EXEMPLOS:- Conjunto dos nmeros pares: {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}- Conjunto dos nmeros inteiros negativos: {-1, -2, -3, ...}- Conjunto dos nmeros primos: {2, 3,5, 7, 11, ...}

Tal notao tambm utilizada quando temos um nmero grande de elementos

EXEMPLOS:- Conjunto dos naturais entre 0 e 500: {0, 1, 2, 3, ..., 500}- Conjunto dos dias do ano: {1 de janeiro, ..., 31 de dezembro}- Conjunto dos inteiros entre 10 e 10: {-10, -9, ..., 9, 10}

2.2Atravs de uma propriedadePodemos tambm representar um conjunto atravs de uma propriedade exclusiva de todos os seus elementos. Tal representao feita da seguinte maneira:A = {x / x tem a propriedade P}

EXEMPLOS:- B = {x inteiro / x divisor de 3} um modo de representar B = {-3, -1, 1, 3}, pois estes so os nicos quatro nmeros que tanto so inteiros quanto so divisores de 3.- C = {x real / 3 < x 6}b) {x / 0x = 2}c) {x / x inteiro e x2 = 3}d) {x / 2x + 1 = 7}

5. Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}a) Escreva com smbolos as seguintes sentenas- 3 elemento de A- 1 no est em B- B subconjunto de A- B igual a A- 4 pertence a B

b) Classifique as sentenas anteriores como verdadeiras ou falsas

6.(MACK-SP) Seja o conjunto A={3,{3}}, quais as proposies abaixo so corretas:

a) 3Ab) {3} Ac){3} A

7.(MACK-SP) Seja o conjunto A={{1},{2},{1,2}} quais as proposies abaixo so corretas:

a){1} Ab) {1} Ac) {1}{2}A

d) 2 Ae){1}{2}A

8. Sendo A = {1, 2}, B= {2, 3}, C = {1, 3, 4} e D = {1, 2, 3, 4}.

Classifique como V ou F as sentenas abaixo:

a) A C b) A Bc) B C

d) D Bc) C = Df) A C

9. Quais das igualdades abaixo so verdadeiras?a) {a, a, a, b, b} ={a, b}b) {x / x2 = 4} = {x / x 0 e x3 4x = 0}c) {x / 2x + 7 = 11} = {2}d) {x / x < 0 e x 0 } =

10. Diga se verdadeira ou falsa cada um das sentenas abaixo:a)

0 { 0, 1, 2, 3, 4 }b) { a } { a, b }

c) {0}d) 0 e)

{a} f) a {a, {a}}g)

a} { a, {a} }h) {, {a}}i)

{, {a}}j) {a, b} {a, b, c, d}

GABARITO

1.A={a,e,m,t,i,c} B={verde,amarelo,azul e branco}C={Acre, Amazonas, Amap,Alagoas}

2. A= {x N/ x par} ou (xN/x divisvel por 2}

B= {x N/x 1)c) {x R / x -5}d) {x R /-3 x < 5 ou 8 x 11}

(obs: A visualizao dos problemas fica mais simples se desenharmos cada intervalo na reta real)

GABARITO

43.a)[0,3] b) ]2,5[ c) {7} d) vazio44. a) [-2,7] b) ]3,10[

45.a) vaziob) [0,3] [7,9] c) I d) ]- ,7[ ]9,+ [46. a) ]1,2] b) (-,-1) U (1,) c) (-,-5] d)[-3,5) U [8,11]

MatemticaFrente IICAPTULO 4 RELAES E FUNES



1 - PARES ORDENADOS

Na Teoria dos conjuntos definimos como par qualquer conjunto que contenha exatamente 2 elementos.

EXEMPLOS:- Se A = {1, 3}, A um par pois um conjunto que possui 2 elementos- Se B = {c, t}, B um par pois um conjunto que possui 2 elementos- Se C = {1, {2}}, C um par pois possui 2 elementos, mesmo que sejam de naturezas diferentes pois um deles um nmero e o outro um conjunto unitrio- Se D = {2, 3, 4}, D no um par, mas trs subconjuntos de D so pares, no caso, {2,3}, {2, 4}, {3, 4}.

Um detalhe interessante de se notar sobre os pares que devido definio de igualdade entre conjuntos teremos:

{1, 3} = {3, 1}{c, t} = {t, c}{1,{2}} = {{2},1}

Ou seja, a ordem com que escrevemos os elementos no muda o par, ele continua o mesmo. Ou seja, no interessa a ordem dos elementos.Porm, na Matemtica h a necessidade de se distinguir dois pares pela ordem dos elementos.

EXEMPLO:No sistema de equaes abaixo:

x + y = 3x y = 1

Temos que x = 2 e y = 1 soluo desse problema, mas x = 1 e y = 2 no o . Se representssemos por um conjunto, teramos que {1, 2} soluo mas {2, 1} no . O que uma contradio pois {1, 2} = {2, 1}.Por isso muitas vezes um par no ser suficiente para fornecer uma resposta de um problema, da precisaremos definir um conjunto especial, cuja ordem dos elementos o tornar diferente. Trata-se do par ordenado.A notao de par ordenado um pouco diferente da dos conjuntos, ao invs de chaves deve-se usar parntesis.

EXEMPLO:

- Par ordenado cujo primeiro elemento o nmero 4 e o segundo o nmero 2: (4; 2)- Par ordenado cujo primeiro elemento o nmero 7 e o segundo o nmero 3: (7; 3)

Um par ordenado continua sendo um par, ou seja, contm 2 elementos, porm, agora a ordem desses elementos importante para definir um par. Ou seja:

(1, 3) (3, 1)(c, t) (t, c)(1,{2}) ({2},1)

Uma outra maneira de deixar claro que a ordem dos elementos no par ordenado importante seria apresentar a definio da igualdade entre pares ordenados:

(a, b) = (c, d) a = ce b = d

Ou seja, um par ordenado s ser igual a outro se, e somente e, o primeiro elemento dos dois pares forem iguais e o segundo elemento dos dois pares forem iguais.A rigor um par ordenado no um conjunto, portanto ERRADO dizer, por exemplo, que:

- (6,7) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

- (6,7) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

- {2} (5,2)

- 2 (5,2)

2 - REPRESENTAO GRFICA DO PAR ORDENADO

Representa-se um par ordenado graficamente atravs de um ponto sobre um espao bidimensional, um plano. Esse plano chamado plano cartesiano. Nada mais do que um plano definido por duas retas ortogonais (ou seja, perpendiculares entre si). So elas:

- O eixo das abscissas, tambm conhecido como o eixox, ser uma reta onde representaremos o nmero real que ocupa o primeiro lugar no par ordenado. Por isso, a partir de agora, sempre que tivermos um par (xP, yP), vamos nos referir a xP como a abscissa do par ordenado.

- O eixo das ordenadas, tambm conhecido como o eixo y, ser uma reta onde representaremos o nmero real que ocupa o segundo lugar no par ordenado. Por isso, a partir de agora, sempre que tivermos um par (xP, yP), chamaremos yp de ordenada do par ordenado.Daqui para frente, tanto na matemtica quanto na fsica, trabalharemos bastante com o grfico cartesiano e com a representao de pares ordenados cccccccnele atravs de funes, por isso, importante que voc, caro aluno, esteja familiarizado com sua aparncia e como pares ordenados so representados nele.

Definiremos como origem do plano cartesiano como o ponto de encontro do eixo das abscissas com o eixo das ordenadas. Esse ponto ser a marca zero da contagem nesses eixos, que se dar da seguinte maneira:

- No eixo das abscissas contamos os nmeros positivos para a direita e os nmeros negativos para a esquerda.- No eixo das ordenadas contamos os nmeros positivos para cima e os nmeros negativos para baixo.Posicionar um ponto (xP, yP) no plano cartesiano semelhante a jogar batalha naval, ou xadrez por computador. Marcamos a distncia xP no eixo x e ento erguemos na vertical uma reta suporte (geralmente tracejada). Marcamos ento a distncia yP no eixo y e construmos uma segunda reta suporte s que dessa vez horizontal. O ponto P de encontro dessas duas retas suporte a representao grfica do par ordenado (xP, yP).Definimos no plano cartesiano 4 diferentes quadrantes:1o quadrante espao acima do eixo x e direita do eixo y2o quadrante espao acima do eixo x e esquerda do eixo y3o quadrante espao abaixo do eixo x e esquerda do eixo y4o quadrante espao abaixo do eixo x e direita do eixo y

EXEMPLOS:Observe, a ttulo de exemplo, a representao grfica do ponto (xP, yP):

Como vimos xP marcado no eixo das abscissas e yP no eixo das ordenadas.Foram traadas as retas suporte vertical x atravs de xP e a reta suporte horizontal y atravs de yP.Finalmente encontrado o ponto P, encontro de x com y que a representao grfica de (xP, yP).Nessa figura fica fcil de notar a localizao dos quatro quadrantesDevido semelhana com um sistema de orientao geogrfica, ou seja, um sistema de coordenadas, qualquer par ordenado (xP, yP) tambm pode ser chamado de coordenada de seu ponto correspondente.Como podemos ver, o par (xP, yP) que deu origem ao ponto P da figura tem abscissa igual a 7 (ou seja xP = 7) e ordenada igual a 8 (ou seja, yP = 8). Portanto P a representao grfica do par ordenado (7, 8).Da mesma maneira qualquer outro par ordenado pode ser representado no plano cartesiano.

EXEMPLO:Observe a representao dos seguintes pontosA(3, 4) B(7,1) C(1, -1) D(7, -7) E(-4, 3) F(-4,2) G(-7, -2) H(-4, -4)

3 PRODUTO CARTESIANO

Sejam A e B dois conjuntos no vazios. Define-se produto cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos so todos pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento, ou seja x, pertence ao conjunto A , e o segundo elemento, ou seja y, pertence ao conjunto B.Matematicamente:

A x B = {(x, y) / x A e y B}

A simbologia A x B se l: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por BSe A ou B for o conjunto vazio, definiremos o produto cartesiano como o conjunto vazio. Ou seja

A x = x B = x =

EXEMPLO:Se tomarmos os conjuntos A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}, O conjunto A x B ser o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) que tm x vindo do conjunto A (ou seja, x 1 ou 2) e tem y vindo do conjunto B (ou seja, y 1, 2 ou 3). Assim teremos que:A x B = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 1),(2, 2),(2, 3)}Analogamente, se fizssemos B x A teramos o conjunto de todos os pares (x, y) que tem x vindo do conjunto B (ou seja, X 1, 2 ou 3) e tem y vindo do conjunto A (ou seja, y 1 ou 2). Assim teremos que:B x A = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 1),(3, 2)}Desde exemplo podemos notar uma importante propriedade do produto cartesiano:

A x B B x A(A x B DIFERENTE de B x A)

O produto cartesiano e essa propriedade so mais facilmente compreendidos com a ajuda da representao dos pares ordenados no plano cartesiano:

Podemos tambm calcular o produto cartesiano de um conjunto A por ele mesmo, ou seja A x A (tambm indicado como A2 ).

EXEMPLO:Se A {a, b} teremos que:

A x A = {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}Ou A2 = {(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}Podemos ter um dos conjuntos sendo um intervalo. Se o primeiro conjunto for um intervalo a representao grfica do produto feita atravs de segmentos de reta paralelos ao eixo x, enquanto que se o segundo conjunto for um intervalo a representao feita atravs de segmentos de reta paralelos ao eixo y.

EXEMPLO:

Sendo A = {x R / 1 < x 3} (ou seja, A = ]1,3] ) B = {1, 2, 3}As representaes dos dois possveis produtos so:

Podemos ter tambm o produto de dois conjuntos que sejam ambos intervalos. Nesse caso a representao grfica desse produto um retngulo cheio (com o interior hachurado), com arestas macias para bolas fechadas e arestas tracejadas para bolas abertas.

EXEMPLO:

Se A = {x R / 1 < x 4}

B = {x R / 2 x < 6}Teremos as seguintes representaes grficas:

Antes de comear um novo tpico interessante enunciar uma propriedade do produto cartesiano que talvez voc, caro aluno, j tenha percebido:

n(A x B) = n(A) x n(B)

Em outras palavras, o nmero de elementos do produto cartesiano de A por B igual ao produto algbrico do nmero de elementos de A pelo nmero de elementos de B.

EXEMPLO:Se A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}, ento n(A) = 2 e n(B) = 3. Pela frmula acima temos que: n(A x B) = n(A) x n(B)n(A x B) = 2 x 3n(A x B) = 6

O que verdadeiro visto que:B x A = {(1, 1),(1, 2),(2, 1),(2, 2),(3, 1),(3, 2)}

4 RELAO BINRIA

Sejam A = {2, 3, 4, 5} e B = {3, 5, 6}Sabemos agora calcular seu produto cartesiano:A x B = {(2, 3),(2, 5),(2, 6),(3, 3),(3, 5),(3, 6),(4, 3),(4, 5),(4, 6),(5, 3),(5, 5),(5, 6)}.

Vamos agora tomar um subconjunto especfico do produto cartesiano A x B, que ser chamado de R (R A x B). Este subconjunto dever ser formado por todos os pares ordenados de A x B tais que a soma a abscissa com a ordenada d um nmero par, ou seja:

R = {(x, y) A x B / x + y par}

Analisando cada elemento de A x B e tomando s aqueles que satisfazem a condio do conjunto R, conclumos que:

R = {(2, 6),(3, 3),(3, 5),(4, 6),(5, 3),(5, 5)}

Observe no plano cartesiano a como R est relacionado a A x B. Na figura, os elementos de R esto circulados:

O diagrama de Venn tambm bastante til para ilustrar esta relao:

Nesse caso o conjunto R chamado uma relao binria que relaciona os elementos de A em B. O conjunto R formado por pares (x, y) em que o elemento x de A associado a um elemento y de B mediante um certo critrio de relacionamento ou correspondncia. Nesse caso, o critrio de correspondncia que x + y fosse par.

Definamos ento de maneira mais precisa o conceito de relao binria (que normalmente chamamos apenas de relao).

DEFINIO:Dados dois conjuntos A e B, chama-se relao binria de A em B todo subconjunto R de A x B, ou seja:

R relao binria de A em B R A x B

Quando o par (x, y) pertence relao R, escrevemos xRy

(x, y) R xRyUtilizaremos as seguintes nomenclaturas j consagradas:A conjunto de partida da relao RB conjunto de chegada da relao R, tambm conhecido como contradomnio.

Exerccio Resolvido 1

Se A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4} , quais so os elementos da relao binria R = {(x, y) / x < y} de A em B?

Resoluo

Primeiramente, achemos o produto cartesiano A x B:

A x B = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),(3,1), (3,2), (3,3), (3,4),(4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}

Em seguida, selecionemos apenas os pares que satisfazem a condio imposta por R, ou seja, ter a ordenada (y) maior que a abscissa (x). O conjunto R ser ento dado por:

R={(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 3),(2, 4),(3, 4)}


Se A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } , quais so os elementos da relao binria R de A em B assim

Resoluo

Fazem parte da relao os pares ordenados (x, y) tais que x A, y B e y = x + 2.Utilizando representaes grficas podemos dar a resposta das seguintes maneiras:


SeA = {-1, 0, 1, 2}, quais so os elementos da relao R = {(x, y) A2 / x2 = y2}?

Resoluo

Lembrando que A = A x A, o produto cartesiano dado por:

A x A = {(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2)}

Fazendo a representao grfica, notamos que:R = {(0, 0),(1, 1),(1, -1),(-1, -1),(-1, 1),(2, 2)}

(Lembre-se, se x = y implica x = y ou x = -y)

5 DOMNIO E IMAGEM

Introduziremos agora dois conceitos muito importantes no entendimento de funes - que constituem a maior parte do nosso curso e uma provvel questo de vestibular onde quer que seja so eles o domnio e imagem

5.1 Domnio

Seja R um relao de A em B. Chama-se domnio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R, ou seja, dos elementos das abscissas de cada par ordenado que pertence a R. Matematicamente:

x D y, y B / (x, y) R(L-se x pertence a D se existe y pertencente a B tal que o par (x,y) pertence relao R)

Decorre da definio que D A

5.2 Imagem

Seja R um relao de A em BChama-se imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R.

yImx, x A / (x, y) R

Decorre da definio que Im B


Se A = { 0, 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, qual o domnio e a imagem da relao R = {(x, y) AxB / y mltiplo de x}?

Resoluo

Temos que R = {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4)}

Logo, da definio temos:

D = {2, 3, 4} Im = {2, 3, 4, 6}

Utilizando o esquema das flechas, percebemos que D o conjunto dos elementos de A dos quais partem flechas e que Im o conjunto dos elementos aos quais chegam flechas:

(A regio mais escura do lado esquerdo representa o domnio D, e a regio sombreada do lado direito, a imagem Im)

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. D as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo:

2. Assinale no plano cartesiano os pontos:A(2,-3) B(0, 4) C(-4,-5) D(-1, 0) E(0, 5) F(5, 4) G(3, 0) H(-3, 2) I(0,5; 2,5)

3.Dados os conjuntosA = {1, 2, 3} B = {-2, 1} C = {-1, 0, 2}Represente pelos elementos e pelo grfico cartesiano os seguintes produtos:a) A x B b) B x A c) A x Cd) C x A e) B2 f) C2

4. Dados os conjuntos

A = {x R / 1 x 3}B = {x R / -2 x 2}

C = {x R / -4 x 1}Represente graficamente os seguintes produtos:a) A x B b) B x C c) A x Cd) C x B e) A2 f) C2

5.Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {x R / 1 x 4}, represente graficamente os conjuntos:

a)A x Bb)B x A c)(A x B) (B x A)

6. Sejam os conjuntos A, B e C tais que A B C. Estabelea as relaes de est contido entre os conjuntos A x A, A x B, A x C, B x A, B x B, B x C, C x A, C x B, C x C

7. Sabendo que {(1, 2),(4, 2)} A2 e n(A2) = 9. Determine o conjunto A e o respectivo produto cartesiano A.

8.Sabendo que {(1, -2),(3, 0)} A2 e n(A2) = 16. Determine os elementos do conjunto A

9. Considerando A B,{(0, 5),(-1, 2),(2, -1)} A x B e n(A x B) = 12, represente graficamente A x B pelos seus elementos.

10. Sejam F = { 1, 2, 3, 4 } e G = {3, 4, 7 }. Determine o nmero de elementos de F x G , G x F, G x G, F x F.

11. Dados os conjuntos A = [{0, 1} { x R / 2 x 3}] e B = {x R / 1 x 2}, represente graficamente A x B e B x A.

12.Seja Z o conjunto dos nmeros inteiros. Sejam ainda os conjuntos

A = {x Z / -1 < x 2} e B = {3, 4, 5}. Qual o nmero de elementos do conjunto D = {(x, y) A x B / y x + 4}?

13.Enumere os pares ordenados, represente por meio de flechas e faa o grfico cartesiano das relaes binrias de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} definidas por:

a) x R y x + y = 2b) x T y x = y

c) x V y x + y > 2d) x W y ( x-y )2 = 1

14. Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares ordenados e construa o grfico cartesiana da relao R em A dada por:

R = {(x, y) A2 / mdc(x, y) = 2}15. Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, enumere os pares ordenados e construa o grfico cartesiana da relao R em A dada por:

x R y x e y so primos entre si

16. Dado o conjunto A = {m Z / -7 m 7}, construa o grfico cartesiano da relao binria R em A definida por:

x R y x2 + y2 = 2517.Estabelea o domnio e imagem das seguintes relaes:a) {(1, 1),(1, 3),(2, 4)}b) {(-2, 4),(-1, 1),(3, -7),(2, 1)}c) {(2,1),(1,3),(5, 2)}d) {(1 + 2, 2),(1 - 3, 1)}18. Estabelea o domnio e a imagem das relaes binrias do exerccio 13.19. Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {-2, -1, 0, 1, 2} e R a relao binria definida por

x R y x = y2a) Encontre os pares ordenados de R.b) Enumere os elementos do domnio e da imagem de R.c) Faa o grfico cartesiano de R.20. Qual o domnio da relao

21. Se R a relao binria de A = {x R / 1 x 6} em B = {x R / 1 x 4}, definida por:

x R y x = 2ya) fornea a representao cartesiana de A x Bb) fornea a representao cartesiana de Rc) o domnio e a imagem de R

22. Se R e S so relaes binrias de A = {x Z / -2 x 5} em B = { x Z / -2 x 3} definidas por

x R y 2 divide x - y

x S y (x - 1)2 = (y - 2)2a) D as representaes cartesianas de R e de Sb) D o domnio e a Imagem de R e de Sc) Encontre o conjunto R S

GABARITO

1.A(4,2) B(-4,6) C(-6,-3) D(5,-5) E(0,4) F(-3,0) G(0,5)

6.AxAAxBAxCCxC

BxABxBBxCCxC

CxACxBCxC

7.A={1,2,4} A={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2), (4,4)}

8.A={-2,0,1,3} A={(-2,-2), (-2,0), (-2,1), (-2,3), (0,-2), (0,0), (0,1), (0,3), (1,-2), (1,0), (1,1), (1,3), (3,-2), (3,0), (3,1), (3,3)}

9.A={-1,0,5} e B={-1,0,2,5} AxB={(-1,-1), (-1,0), (-1,2), (-1,5), (0,-1), (0,0), (0,2), (0,5), (2,-1), (2,0), (2,2), (2,5), (5,-1), (5,0), (5,2), (5,5)}

10.12,12,9,16 12.6

13.a) (-2,4),(-1,3),(0,2),(1,1),(2,0) b) (-2,-2),(-2,2),(2,-2),(2,2),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1),(0,0)c) (-1,4),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4) d) (-2,-1),(-2,-3),(-1,0),(-1,-2),(0,-1),(0,1),(1,2),(1,0),(2,3),(2,1)

14.(2,2)(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4)

15.(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5),(3,1), (3,2), (3,4), (3,5),(4,1), (4,3), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3),(5,4), (5,6),(6,1), (6,5)}

16.(-5,0),(-4,-3),(-4,3),(-3,-4),(-3,4),(0,-5),(0,5),(3,-4),(3,4),(4,-3),(4,3),(5,0)

17. a) D={1,2} I={1,3,4} b)D={-2,-1,2,3} I={-7,1,4} c)D={1,2,5} I={1, 2,3} d) D={1 + 2, 1 - 3} I={2,1}

18.a) D={-2,-1,0,1,2} e I={0,1,2,3,4)} b) D={-2,-1,0,1,2} I={-2,-1,0,1,2} c) D={-1,0,1,2} I={1,2,3,4} d) D={-2,-1,0,1,2} I=(-3,-2,-1,0,1,2,3}

19. a)(0,0),(1,-1),(1,-2),(4,-2),(4,2) b) D={0,1,4}20.R-{-2,2} 21.c) D=[1,2] I=[2,4]

(obs: As questes cuja resposta envolve representao grfica esto sem gabarito, mas tente, por favor, resolv-las mesmo assim, pois resolveremo-nas em sala na medida do possvel)

MatemticaFrente IICAPTULO 5 FUNES DEFINIO



1 - O CONCEITO DE FUNO

Dadas condies de associao entre os elementos de um conjunto A com um conjunto B possvel obter uma infinidade de relaes binrias entre estes dois conjuntos.Dependendo de como essa relao, ela pode ser classificada com um nome especial. Atendidas duas simples condies, uma relao pode ser chamada de funo.

Seja R uma relao de A em B, R ser chamada funo se e somente se:11 - Todos os elementos de A esto relacionados com um elemento de BQuer dizer que nenhum elemento de A pode ficar de fora dos pares ordenados da relao2 - Cada elemento de A est relacionado com apenas um elemento de B, ou seja, s pode haver um par ordenado com cada elem3 ento do conjunto A.

A compreenso se torna mais simples atravs de exemplos:

EXEMPLO:Seja R a relao de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {1, 2, 3, 4} representada pelo seguinte diagrama de flechas:

A relao R no uma funo porque o elemento 1 do conjunto A no est relacionado a nenhum elemento do conjunto B. Assim a condio nmero 1 no foi atendida.

EXEMPLO:Seja V a relao de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {1, 2, 3, 4} representada pelo seguinte diagrama de flechas:

A relao V no uma funo porque o elemento 1 do conjunto A est relacionado com dois elementos do conjunto B e portanto no atende condio de nmero 2.

EXEMPLOS:Seja F a relao de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {1, 2, 3, 4} representada pelo seguinte diagrama de flechas:

A relao F uma funo, pois como podemos observar todos os elementos de A esto relacionados com elementos de B (condio 1) e cada elemento de A est relacionado com apenas um elemento de B (condio 2).

bom salientar que nem todos os elementos do conjunto B precisam estar relacionados, e elementos do conjunto Bpodem estar relacionados com mais de um elemento do conjunto A.EXEMPLO:Seja F a relao de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {1, 2, 3, 4} representada pelo seguinte diagrama de flechas:

A relao F uma funo, pois, como podemos observar, todos os elementos de A esto relacionados com elementos de B (condio 1) e cada elemento de A est relacionado com apenas 1 elemento de B (condio 2 ).

Podemos ento escrever a seguinte defino matemtica de funo:

L se: f uma funo de A em B se, e somente se, para qualquer x pertencente a A, existe um, e apenas um,y pertencente a B tal que o par (x, y) pertena relao f

Reconhecendo funes atravs de diagramas de flechas:

Para verificar se um dado diagrama de flechas representa uma funo basta verificar duas coisas:1- No pode haver elemento de A do qual no parta nenhuma flecha2- No pode haver elemento de A do qual partam mais do que uma flecha

2 FUNES NO PLANO CARTESIANO

A partir de agora, veremos o comportamento de funes no plano cartesiano. importantssimo que voc, caro aluno, esteja lembrado da representao de pontos no plano cartesiano, conforme vimos aula passada.Podemos verificar pela representao cartesiana de f de A em B se f ou no uma funo:

basta verificarmos se qualquer reta vertical paralela ao eixo y que passe pelos x A encontra sempre o grfico de f em um s ponto.

EXEMPLOS:

1 Seja A = {x R / -1 x 3} e f uma relao de A em B representada no plano cartesiano da seguinte forma:

A relao f de A em B, funo pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissas x A encontra sempre o grfico de f em um s ponto.

2 Seja agora A = {x R / -2 x 2} e f uma relao de A em B representada da seguinte forma no plano cartesiano:

A relao f de A em R no funo pois h retas verticais conduzidas pelos pontos de abscissas x A que encontram o grfico de f em dois pontos: Um acima do eixo x(do lado de cima) e outro abaixo do eixo x.

3- Seja agora A = {x R / 0 x 4} e f uma relao de A em B dada pelo seguinte grfico:

A relao f de A em R, com A = {x R / 0 x 4} representada ao lado, no funo pois h retas verticais conduzidas pelos pontos de abscissas x = 1 (sendo que 1 A) no encontra o grfico de f.

Observamos, porm, que f seria funo de A em R se A fosse diferente: A = {x R / 2 x 4}. Neste caso, toda reta vertical passando por pontos pertencentes a A encontrariam o grfico em um e somente um ponto.

3 IMAGEM DE UM ELEMENTO

til pensar numa funo como uma mquina. Essa mquina usa como matria prima os elementos x do conjunto A. E depois de manufaturados esta matria prima se torna o produto final y do conjunto B.Analisemos sob essa analogia a expresso f(x) = 2x + 1f(x) significa que a matria prima x foi colocada dentro da mquina f( ). Quando essa matria prima entra na mquina, ela sofre a manufatura que, no caso, indicado por 2x + 1, em outras palavras, a mquina f( ) pega o produto x e ento multiplica-o por 2 e soma 1, fornecendo o produto final.Suponhamos que o x utilizado pela mquina fosse o nmero 3. Estaramos ento procurando f(3). Uma vez que 3 colocado dentro da mquina f( ) ela vai multiplic-lo por 2 e somar 1. O resultado ento ser 7 que o y.Matematicamente temos o seguinte:f(x) = 2x + 1f(3) = 2.3 + 1f(3) = 6 + 1f(3) = 7Quando escrevemos f(a) = b, lemos que b imagem de a. Logo na funo f(x) = 2x + 1, temos que 7 imagem de 3. importante salientar que x no necessariamente precisa ser um nmero. Podemos substituir letras ou at mesmo expresses algbricas no lugar de x:

EXEMPLOS:1 - Se f(x) = x2 1 e substituirmos x por 2y 1f(x) = x2 1 f(2y 1) = (2y 1)2 1 f(2y 1) = (4y2 4y + 1) 1f(2y 1) = 4y2 4yAssim a imagem em f de 2y 1 4y2 4y. Ou mesmo por outra funo2 - Se f(x) = 4x 5 e substituirmos x por g(x)f(x) = 4x 5 f(g(x)) = 4g(x) 5 Assim a imagem em f de g(x) 4g(x) 5

EXERCCIOS PROPOSTOS

23) Estabelea se cada um dos esquemas das relaes abaixo define ou no uma funo de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}. Justifique.

a)

b)

c)

d)

24) Quais dos esquemas abaixo definem um funo de A = {0, 1, 2} em B = {-1, 0, 1, 2}?

a)

b)

c)

d)

25) Qual a notao das seguintes funes de R em R?a) f associa cada nmero real ao seu opostob) g associa cada nmero real ao seu cuboc) h associa cada nmero real ao seu quadrado menos 1d) k associa cada nmero real ao nmero 2

26) Qual a notao das seguintes funes?a) f funo de Q em Q que associa cada nmero racional ao seu oposto somado a 1.b) g funo de Z em Q que associa cada nmero inteiro potncia de base 2 desse nmero.c) h funo de R* em R* que associa cada nmero ao seu inverso.

27) Quais das relaes de R em R, cujos grficos aparecem abaixo, so funes? Justifique.a) b)

c) d)

e) f)

28) Seja f uma funo de Z em Z definida por f(x) = 3x 2. Calcule:a) f(2) b) f(3) c) f(0) d) f(2) e) f(-1)

29) Seja f uma funo de R em R definida por f(x) = x2 3x + 4. Calcule:a) f(2) b) f(0,5) c) f(3) d) f(-1) e) f( 1/3 ) f) f(1 - 2)

30) Seja P o nico nmero natural que primo e par. Sendo f(x) = (0,25)-x + x 1, determine o valor de f(P).

31) Seja f a funo de R em R assim definida:

f(x) = 1 se x Q

f(x) = x + 1se x QCalcule:a) f(3) b) f(2) c) f(3 - 1)d) f( -7/3 ) e) f(4) f) f(0,75)

32) Seja a funo f de R em R definida porf(x) = (2x 3)/5 . Qual o elemento do domnio que tem 3/4 como imagem?

33) Seja a funo de {1} em R, definida por f(x) =

Qual o elemento do domnio que tem imagem 2?

34) Quais so os valores do domnio da funo real definida por f(x) = x2 5x + 9 que produzem imagem igual a 3?

35) A funo f de R em R tal que, para todo x real, f(3x) = 3f(x). Se f(9)= 45, calcule f(1).

36) A funo f: RR tem a propriedade: f(m.x) = m.f(x) para m R e x R. Calcule f(0).

37) dada uma funo real tal que:- f(x).f(y) = f(x + y)- f(1) = 2- f(2) = 4Calcule f( 3 + 2 ).

38) D o domnio das seguintes funes reais:a-) f(x) = 3x + 2

b-)

39) Seja f uma funo, definida no conjunto dos nmeros naturais, tal que:f(n + 1) = 2f(n) + 3a-) Supondo f(0) = 0, calcule f(1), f(2), f(3), f(4), ... e descubra a frmula geral para f(n)b-) Descubra a frmula geral para f(n)

40) Seja f uma funo, definida no conjunto dos nmeros naturais, tal que:f(n + 1) = f(n) + 2na-) Supondo f(0) = 3, calcule f(1), f(2), f(3) e f(4).b-) Descubra a frmula geral para f(n)

41) Estabelea o domnio e a imagem das funes abaixo:a) b)

c) d)

42) Sendo x 4, determine o conjunto imagem da funo f(x) = .

43) Nos grficos as funes abaixo representadas, determine o conjunto imagem.a) b)

c) d)

e) f)

44) Considerando que os grficos abaixo so funes, estabelea o domnio e a imagem

a) b)

c) d)

e) f)

45) Se f: A B uma funo e se D A, chamamos de imagem de D pela funof ao conjunto definido por:

f(D) = {y B / existe x D tal que f(x) = y}

Se g a funo de R em R cujo grfico estrepresentado ao lado, determine a imagemg( [5; 9] ) do intervalo fechado [5; 9].

46. (FUVEST - 2011) Sejam f(x) = 2x 9 e g(x) = x + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das razes da equao f(g(x)) = g(x) igual a:a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

47. (UFPA)Dada a funo f de A ={0, 1, 2} em B = {-2, -1, 0, 1, 2} definida por f(x) = x1, qual o conjunto imagem de f ?a) {-1, 0, 1} b) {-2, -1- 0, 1, 2} c) {0, 1, 2}d) {-2, -1, 0} e) {0, -1, 2}

48. (UNICAMP) Se D R o domnio da funo

ento podemos afirmar que D igual a:a) [-1; 1]b) [1, )c) (-1; 1]d) [-1; 1)e) (-1; 1)

49. (UFC) O grfico

a) Representa um funo f: [a;b] Rb) No representa um funo f: [a;b] R porque existe y em R que no imagem de qualquer x em [a; b]c) No representa um funo f: [a;b] R porque existe elemento x em [a; b] com mais de uma imagem.d) Representa uma funo f: [a;b] [p; d]

50. (PUC-SP) A funo de Euler definida para todo natural n > 1 da seguinte maneira: (n) o nmero de nmeros naturais primos menores do que n. Quanto vale (12)?a) 4b) 5c) 3d) 6e) 0

51. (CESGRANRIO) Se ,ento f( -0,5 ) :a) 5/24b) 5/32c) 5/8d) 5/32e) 5/8

GABARITO

23.a) No, pois no sai flecha do nmero 2b) No, pois o 1 aponta para 2 nmeros diferentesc) Simd) Sim

24. b) No sai flecha do nmero 2, logo no funoc) No sai flecha do nmero 1, logo no funo

As funes so a e d

25.a) f(x) = -xb) g(x) = xc) h(x) = x - 1d) k(x) = 2

26. a) f:QQ, f(x) = -x+1b) g:ZQ, g(x) = 2xc)h:R*->R*, h(x) = 1/x

27. a e e.

28. a) 4 b) 7 c) -2 d)32 2 e)-5

29.a) 2 b) 2,75 c) 7 - 33 d) 8 e) 28/9 f) 4 + 2

30. O nico natural primo e par 2. f(2) = (0,25)-2 + 2 - 1 = 17

31. a) 1 b)2 + 1 c)3 d)1 e) 1 f)1

32. Um nmero tem -3/4 como imagem significa que f(x) = -3/4, logo (2x-3)/5 = -3/4, x = -3/8

33. f(x) = 2 (3x+2)/(x-1) = 2, x = -434. f(x) = 3 x-5x+9 = 3 x-5x+6 = 0 Resolvendo a equao: x = 2 ou x = 335. 5 36. 0 37. 32

38. Lembre-se, o domnio um conjunto!

a){x R} ou simplesmente R

b) {x R / x1} c) R d) {x R / x -2}

e) {x R / x > -1} f) {x R / x -3/2}

g) {x R / x 2 e x -2}

h) {x R / x > -2 e x 2}

i){x R / x 3}

39.a) f(1) = 3, f(2) = 9, f(3) = 21, f(4) = 45b) f(n) = 2n+1 + 2n 3

40.a) f(1) = 5, f(2) = 9, f(3) = 17, f(4) = 33b) f(n) = 2n+1+ 1

41.a) D = {0,1,2} e Im = {-1,0,1}b) D = {-1,0,1,2} e Im = {1,2}c) D = {-1,0,1} e Im = {-2}d) D = {-2,0,1,2} Im = {-2,-1,0,2}

42. Im = {f(x) R / f(x)2}43. a) Im = {-2,2}b) Im = [-2,2]c) Im = {1} U [2,+)d) Im = Re) Im = R+f) Im = (-,1]

44.a) D = {-3,-2,-1,0,1,2,3}Im = {-2,1,2,3,4}b) D = [-2,3], Im = [-3,2]c) D = [-3,3], Im = [-3,3]d) D = [-3,3] {-2,-1,0,1,2}Im = [-1,2)e) D = [-3,3], Im = [-2,3]f) D = [-3,3) {-2,-1,0,1,2}Im = {-3,-2,-1,0,1,2}

45. [2,5]46. d47. a48. c49. c50. d51. e



MatemticaFrente IICAPTULO 6 FUNES NOTVEIS

1- FUNES INJETORA E SOBREJETORA

Iniciaremos aqui o estudo de dois tipos de funes bastante conhecidas e abordadas nos grandes vestibulares, as funes injetoras e sobrejetoras. Para isso, precisamos estar familiarizados com os conceitos de domnio e imagem, vistos no Captulo 4 desta apostila. Vamos relembrar ento estes conceitos:

REVISANDO...Seja R uma relao de A em B. Chama-se domnio de f o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a f.

x D y, y B / (x, y) f

Chama-se imagem de f o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a f.

yImx, x A / (x, y) f

Algo interessante de se notar que nas relaes poderia haver elementos de A que no eram relacionados com outro de B. Em outras palavras, alguns elementos de A no so usados numa relao. Logo o mximo que podemos dizer que D A.J nas funes, por definio, todos os elementos de A devem ter imagem em B, por isso podemos afirmar que para todas as funes D = A, ou seja, o domnio de toda funo igual ao conjunto A sob o qual est definida.Existem funes que possuem algumas caractersticas interessantes quanto sua imagem. Essas sero estudadas agora.

1.1 Funes injetoras

Dizemos que uma funo injetora quando cada y Im relacionado com a apenas um x A. Em linguagem matemtica temos:

L-se f funo injetora de A em B se, e somente se, para qualquer y pertencente imagem de f, existe um, e apenas um, x pertencente a A, tal que o par ordenado (x, y) pertence a f.

Uma conseqncia muito importante desta definio nos permite escrever a seguinte propriedade das funes injetoras:

Seja uma funo f e dois nmeros x e y do seu domnio. Se f injetora, f(x) = f(y)x = y

EXEMPLO:1 - Seja a relao abaixo:

A relao f uma funo, pois como podemos observar todos os elementos de A esto relacionados com elementos de B e cada elemento de A est relacionado com apenas 1 elemento de B.Mas f no uma funo injetora, pois o elemento 2 do conjunto B est relacionado com mais do que um elemento de conjunto A.

2 - Seja f a relao de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {1, 2, 3, 4} representada pelo seguinte diagrama de flechas:

\

A relao f uma funo, pois como podemos observar todos os elementos de A esto relacionados com elementos de B e cada elemento de A est relacionado com apenas 1 elemento de B.Alm disso, f uma funo injetora, pois cada elemento de Im est relacionado com apenas um elemento de A


Dada a funo f:RR, f(x) = 2x +1. f injetora? Justifique.

RESOLUO:

Para demonstrar que uma funo injetora, siga os seguintes passos:

1. monte a equao f(x) = f(y)2. desenvolva a equao, tentando chegar na igualdade x = y

No caso acima, temos: f(x) = f(y) 2x + 1 = 2y + 12x = 2y x = y. Se conseguimos chegar na igualdade x = y, significa que a funo injetora


Dada a funo f:RR+, f(x) = x + 4, f injetora? Justifique

RESOLUO:

Intuitivamente, percebemos que a funo no injetora, pois f(2) = 2 + 4 = 8, e f(-2) = (-2) + 4 = 8. Temos ento 2 elementos do domnio que tm a mesma imagem. Veja que se seguirmos os passos do Exerccio Resolvido 1, temos:

f(x) = f(y)x + 4 = y + 4x = yx = y ou x = -y

Ou seja, quaisquer dois nmeros opostos possuem a mesma imagem.

Podemos verificar pela representao cartesiana de f de A em B se f ou no uma funo injetora: basta verificarmos se qualquer horizontal reta paralela ao eixo x que passe pelos y Im encontra sempre o grfico de f em um s ponto.

EXEMPLOS:

1 - A relao f de A em R, com A = {x R / -1 x 3}

representada ao lado, funo injetora, pois toda reta horizontal conduzida pelas ordenadas y Imencontra sempre o grfico de f em um s ponto.

2 - J a relao f de A em R, com A = { x R / -2 x 2} representada ao lado, no uma funo injetora, pois existem retas horizontais que encontram o grfico da funo mais do que uma s vez.

1.2 Funes sobrejetoras

Chamamos de funo sobrejetora aquela em que todo conjunto B usado como imagem. Ou seja, se todos os elementos de B estiverem relacionados com pelo menos um elemento de A. Matematicamente temos:

L-se f funo sobrejetora de A em B se e somente se para qualquer y pertencente B, existe pelo menos um x pertencente a A, tal que o par ordenado (x, y) pertence a f.Outra maneira de dizer que uma funo sobrejetora seria dizer: Im = B

EXEMPLOS:1 - Seja f a relao de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {1, 2, 3, 4} representada pelo seguinte diagrama de flechas:

A relao f uma funo, pois como podemos observar todos os elementos de A esto relacionados com elementos de B, e cada elemento de A est relacionado com apenas um elemento de B.Alm disso, f uma funo sobrejetora, pois todo elemento de B est relacionado com pelo menosum elemento de A

2 - Seja f a relao de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {1, 2, 3, 4} representada pelo seguinte diagrama de flechas:

A relao f uma funo, pois todos os elementos de A esto relacionados com elementos de B e cada elemento de A est relacionado com apenasum elemento de B. Mas f no uma funo sobrejetora, pois o elemento 4 do conjunto B no est relacionado nenhum elemento de conjunto A.

OBS.: Quando quisermos saber se uma dada funo ou no sobrejetora, no podemos nos esquecer de analisar com muito carinho o seu contradomnio

EXEMPLO:1 A funo f:RR, f(x) = 5x+3 sobrejetora, pois, para todo y pertencente ao contradomnio, se tomarmos x = (y-3)/5, teremos f(x) = f((y-3)/5) = 5(y-3)/5 + 3 = y. Assim, f sobrejetora

2 A funo g(x) = (x+2)/(x-3) no sobrejetora, pois no conseguimos encontrar um valor de x para o qual g(x) = 1, pois nesse caso teramos: (x+2)/(x-3) = 1x+2 = x-32 = -3, o que um absurdo.

1.3 Funes bijetoras

Diremos que uma funo bijetora quando ela for, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Matematicamente:

L-se f funo bijetora de A em B se, e somente se, para qualquer y pertencente B, existe um, e apenas um, x pertencente a A, tal que o par ordenado (x, y) pertence a f.

EXEMPLOS:1 A funo f:RR, f(x) = x bijetora2 A funo g:RR+, g(x) = 2x3+1 bijetora

2 - MONOTONICIDADE

O estudo da monotonicidade de uma funo concerne os seus intervalos de crescimento e constncia. Quanto a essa caracterstica as funes sero classificadas de cinco maneiras. Obviamente existem funes que no se enquadraro em nenhuma dessas classificaes, mas essas podero ser divididas em intervalos que por sua vez se enquadraro.Os cinco tipo de funes monotnicas so:

2.1 Funes constantes

So chamadas funes constantes aquelas que possuem por imagem um nico elemento, ou seja, independente do valor de x, f(x) sempre ser o mesmo nmero, sempre ser constante. Matematicamente temos:

f funo constante x A, f(x) = c, onde c uma constante real

A representao grfica da funo constante sempre ser uma reta paralela ao eixo x cruzando o eixo y justamente no nico elemento da sua imagem.

EXEMPLONesse exemplo est ilustrada a seguinte funo constante: f: R R tal que f(x) = 3Ou seja, para qualquer valor de x real, f(x) sempre ter como resultado o nmero 3.

A funo constante f: R R, tal que f(x) = 0, recebe o nome especial de funo nula, ou identicamente nula. Para qualquer x real, o valor de f(x) ser sempre nulo.

2.2 Funes estritamente crescentes

So chamadas funes estritamente crescentes as funes em que quanto maior for o x, maior ser f(x). Em outras palavras a funo sempre cresce quando caminhamos ao longo do eixo x.Se tomarmos dois x diferentes x1 e x2 do domnio D da funo estritamente crescente, sabendo que x2 maior do que x1, pelo fato da funo ser estritamente crescente, poderemos afirmar com certeza que f(x2) sermaior do que f(x1).Matematicamente definimos a funo estritamente crescente da seguinte maneira:

Graficamente a funo estritamente crescente tem a seguinte caracterstica: medida que a funo caminha para a direita em x, ela sempre caminha para cima em y.

EXEMPLOS:

2.3 Funes crescentes

So chamadas funes crescentes aquelas que apresentam pedaos estritamente crescentes e pedaos constantes. Nada mais do que a mistura das ultimas duas. Na funo crescente, se tomarmos dois x diferentes x1 e x2 do domnio D, sabendo que x2 maior do que x1, pelo fato da funo ser crescente, poderemos afirmar com certeza que f(x2) ser maior do que f(x1), ou f(x2) ser igual a f(x1).Matematicamente definimos a funo crescente da seguinte maneira:

O grfico da funo crescente uma mistura do grfico da funo constante com o grfico da funo estritamente crescente

2.4 Funes estritamente decrescentes

So chamadas funes estritamente decrescentes as funes em que quanto maior for o x, menor ser f(x). Em outras palavras a funo sempre decresce quando caminhamos ao longo do eixo x.Se tomarmos dois x diferentes x1 e x2 do domnioDda funo estritamente decrescente, sabendo que x2 maior do que x1, pelo fato da funo ser estritamente decrescente, poderemos afirmar, com certeza, que f(x2) ser menor do que f(x1).Matematicamente definimos a funo estritamente decrescente da seguinte maneira:

Graficamente a funo estritamente decrescente tem a seguinte caracterstica: medida que a funo caminha para a direita em x, ela sempre caminha para baixo em y.

EXEMPLO

2.5 Funes decrescentes

So chamadas funes decrescentes aquelas que apresentam pedaos estritamente decrescentes e pedaos constantes. Nada mais do que a mistura das duas. Na funo decrescente, se tomarmos dois x diferentes x1 e x2 do domnio D, sabendo que x2 maior do que x1, pelo fato da funo ser decrescente, poderemos afirmar com certeza que f(x2) ser menor do que f(x1), ou f(x2) ser igual a f(x1).Matematicamente definimos a funo decrescente da seguinte maneira:

O grfico da funo decrescente uma mistura do grfico da funo constante com o grfico da funo estritamente decrescente.

EXEMPLO

interessante notar que todas as funes estritamente decrescentes so funes decrescentes. As funes decrescentes, em outros livros, tambm podem ser chamadas de funo no crescentes.

EXERCCIOS PROPOSTOS

52. Prove que as funes abaixo so injetoras:a) f:R R, f(x) = ax + b, com a0b) g:R R, g(x) = x + 2x

53. Seja a funo f:[2,5] [0,20] definida por f(x) = 2x+5. Analise se f ou no sobrejetiva. Justifique.

53. Seja

54. (UFF-RJ) Considere as funes f, g e h, todas definidas em [m,n] com imagens em [p,q], representadas atravs dos grficos a seguir:

Pode-se afirmar que: a) f bijetiva, g sobrejetiva e h no injetivab) f sobrejetiva, g injetiva e h no sobrejetivsc) f no injetiva, g bijetiva e h injetivad) f injetiva, g no sobrejetiva e h bijetivae) f sobrejetiva, g no injetiva e h sobrejetiva

55. Sejam a, b, c e d nmeros reais com a b e c d. Suponha que f : [a, b] [c,d] uma funo estritamente crescente (isto , x1> x2f(x1) > f(x2) ) e sobrejetiva. Ento podemos afirmar corretamente que:a) f[(a + b)/2] = (c + d)/2 b) f(a) = c e f(b) = dc) f(a) + f(b)[c, d]d) f(b) - f(a)[c, d]e) |f(a)| < |f(b)|

56. (UF-SC) Considere a funo f:RR dada por f(x) = |2x - 5|. Sobre essa funo, correto afirmar:

a)f injetorab)o valor mnimo assumido por f zeroc)o grfico intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,-5)d)o grfico de f uma retae)f uma funo par

57. (UFPE)Sejam A e B conjuntos com m e n elementos, respectivamente. Analise as seguintes afirmativas e classifique cada uma como verdadeira ou falsa:a) Se f:AB uma funo injetora, ento m nb) Se f:AB uma funo sobrejetora, ento m nc) Se f:AB funo bijetora, ento m = nd) Se f:AB uma funo bijetora, ento o grfico de f um subconjunto de A x B com m.n elementose) Se m = n, existem infinitas funes bijetores f:AB

58. (UEL-PR) Seja f a funo de R em R dada por:f(x) = x 1 se x1f(x) = -x + 1 se x

cap 1 a cap 6 - conjuntos e funções.docx

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