Caldeira para Produção de Água Quente - ?· Água Quente Modelação e controlo. No presente trabalho…

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29 de Novembro de 2013

Caldeira para

Produo de

gua Quente

Modelao e controlo.

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I

Autores e mbito

Este relatrio foi

realizado pelos alunos

da FEUP Andr

Ferreira, Antnio

Coimbra, Tiago

Simes, Francisco

Lencastre e Vasco

Branco, no mbito

da unidade

curricular Sistemas

de Controlo.

Caldeira para Produo de gua Quente Modelao e controlo.

No presente trabalho pretende-se modelar e controlar uma caldeira

eltrica de resistncia. Para tal determinou-se um modelo eltrico

equivalente ao do sistema, a partir do qual se determinaram as equaes

diferenciais que regem o sistema. Essas equaes foram convertidas em

diagramas de blocos, com os quais foram efetuadas simulaes num

software comercial.

In this work, we intend to model and control an electric water heater.

For this purpose an electric model was created, from which the

differential equations that explain the workings of the system were

determined. These equations were then converted into block diagrams,

with which some simulations were made in a commercial software.

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ndice Introduo ...................................................................................................................................... 1

Caldeira Eltrica Para Aquecimento de gua ........................................................................... 2

Determinao da constante de tempo do elemento de aquecimento............................. 6

Determinao da constante de tempo para a parede ....................................................... 7

Clculo do caudal mssico mximo............................................................................................ 9

Forma diferencial do modelo no linear da caldeira .............................................................. 12

Elemento resistivo ................................................................................................................... 12

Determinao do modelo eltrico ..................................................................................... 12

Determinao da forma diferencial do modelo resistivo............................................... 14

Caldeira eltrica ....................................................................................................................... 15

Linearizao do sistema ............................................................................................................. 18

Representao do modelo linearizado por funes de transferncia .................................. 21

Representao dos modelos em diagramas de blocos ........................................................... 25

Diagrama de blocos do modelo no linearizado ................................................................ 25

Diagrama de blocos do modelo linearizado ........................................................................ 26

Implementao no Matlab ........................................................................................................ 29

Sem controlador....................................................................................................................... 29

Modelo no linearizado ...................................................................................................... 29

Modelo linearizado ............................................................................................................. 31

Com controlador proporcional .............................................................................................. 33

Modelo no linearizado ...................................................................................................... 33

Modelo linearizado ............................................................................................................. 35

Com controlador proporcional e integral ............................................................................ 40

Modelo no linearizado ...................................................................................................... 40

Modelo linearizado ............................................................................................................. 42

Concluses.................................................................................................................................... 45

Bibliografia ................................................................................................................................... 46

Anexos .......................................................................................................................................... 47

Anexo A .................................................................................................................................... 47

Anexo B ..................................................................................................................................... 48

Blocos em srie ..................................................................................................................... 48

Blocos em paralelo............................................................................................................... 48

Ramo de Feedback .............................................................................................................. 49

Introduo

Em engenharia importante saber como se comporta um sistema dinmico.

Dada a complexidade da grande maioria dos sistemas em que trabalhamos,

necessrio ter conhecimentos que permitam determinar e controlar

automaticamente o comportamento destes sistemas. este o objetivo a que a cadeira

de Sistemas de Controlo atende.

Por forma a por em prtica alguns dos conhecimentos adquiridos ser feita a

modelao de um sistema trmico, mais propriamente o aquecimento de gua numa

caldeira eltrica. Para uma melhor compreenso deste sistema, ser necessrio

seguir alguns passos, tais como:

Fazer a descrio do funcionamento caldeira;

Traduzir o sistema trmico para um sistema eltrico pela analogia reo-

eltrica;

Estabelecer as equaes que regem o sistema;

Analisar a necessidade de linearizar as equaes em torno de um

determinado ponto de funcionamento;

Obter a(s) funo(es) transferncia do sistema;

Representar o sistema em diagramas de blocos;

Fazer a implementao num programa de simulao;

Testar o seu funcionamento para diferentes condies de trabalho;

Estudar o efeito da introduo de controladores.

Seguir os passos anteriormente referidos ser os objetivos do presente trabalho.

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Caldeira Eltrica Para Aquecimento de gua

As caldeiras so dispositivos cuja funo elevar a temperatura de um fluido

utilizando um determinado elemento de aquecimento. No caso presente estuda-se

uma caldeira eltrica resistncia, com de potncia mxima cujo reservatrio

tem as caratersticas descritas na tabela.

Tabela 1 Propriedades da caldeira em estudo

Caratersticas do reservatrio da caldeira

Material Ao inox 18Cr 8Ni

Para modelar o sistema, considerou-se que um certo caudal de gua, , entra

unicamente por uma entrada, a uma temperatura mdia de entrada, , e sai a uma

determinada temperatura, por uma sada. Esse caudal pode ser regulado por

uma vlvula reguladora de caudal. Dentro da caldeira existe uma resistncia, ou

elemento resistivo, responsvel pelo aquecimento da gua, devido gerao interna

de calor por efeito Joule, aquando da passagem de corrente eltrica.

Figura 1 Representao esquemtica de uma caldeira eltrica de resistncia.

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3

Determinao das constantes de tempo

Determinao das constantes de tempo atravs dos resultados experimentais.

As propriedades do material de isolamento da caldeira so desconhecidos bem

como as caractersticas trmicas do elemento de aquecimento. Essas propriedades

sero necessrias para uma correta modelao do sistema. Portanto, com vista

determinao das mesmas realizou-se uma experincia para estudo da evoluo da

temperatura ao longo do tempo. Dessa experincia ser possvel determinar as

constantes de tempo do elemento resistivo e da parede que, como se ver mais

frente, se relacionam com as suas propriedades trmicas.

A experincia foi realizada numa sala climatizada a 20C onde a caldeira,

fechada e cheia de gua, fez um estgio para homogeneizao da temperatura aps

o qual foi aquecida potncia de 75KW at aos 40C, instante em que desligada. A

caldeira manteve-se fechada at que a temperatura da gua retornasse

temperatura da sala.

A evoluo da temperatura no interior da caldeira est representada nos

grficos que se seguem, gerados com o software Matlab, a partir dos dados

experimentais recolhidos.

O primeiro grfico, figura 2, representa os 4 minutos iniciais da experincia,

amostrados com um perodo de 1s.

Figura 2 Evoluo da temperatura da gua na caldeira, em aquecimento.

O segundo est representada toda a experincia que durou cerca de 6 dias,

sendo feitas amostragens a cada 30 minutos.

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Figura 3 Evoluo da temperatura da gua na caldeira, em arrefecimento.

A potncia eltrica fornecida ao elemento de aquecimento da caldeira pode ser

regulada atravs de um amplificador eletrnico de potncia. Isto permite o ajuste

contnuo da potncia fornecida de forma a assegurar a permanncia do sistema num

determinado regime permanente de funcionamento.

Se a ao de controlo sobre o elemento de aquecimento num determinado

instante resultar simplesmente numa transio instantnea ascendente de um estado

de no fornecimento de potncia para um de fornecimento da mesma, a ao pode

ser pode ser vista graficamente como uma funo de degrau unitrio.

Figura 4 Representao grfica de uma funo em degrau unitrio.

Como se poder verificar frente, se no existir fornecimento de potncia, o

sistema em estudo de primeira ordem, visto que assim o so as equaes que

regem o seu funcionamento. A resposta temporal de um sistema de primeira ordem

a um degrau unitrio est representada no grfico que se segue.

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Figura 5 - Resposta a um degrau unitrio por um sistema de primeira ordem [2]

Note-se que a resposta tanto mais prxima do regime permanente ou estado de

equilbrio, quanto maior for o tempo decorrido aps o degrau. Se a resposta se

traduzir por uma variao unitria de um estado de referncia para o regime

permanente verifica-se que, aps 4 perodos de tempo atingido 98.2% do regime

permanente. Regra geral assume-se que sistema est em regime permanente aps

estes 4 perodos uma vez que o ganho em aproximao ao regime a partir deste

instante no justifica o tempo despendido.

A constante de tempo equivalente a um perodo de tempo ou seja, ao tempo

decorrido at que se atingem ( ) do regime

permanente.

A curva de aquecimento anteriormente apresentada segue exatamente o

comportamento tpico de uma resposta a um degrau unitrio. Esta analogia permite

o clculo da constante de tempo que se apresenta mais a frente.

A curva de arrefecimento por sua vez apresenta um comportamento tpico da

resposta a um impulso unitrio. primeira vista, se a ao de controlo foi do tipo

degrau unitrio este comportamento no era esperado porm, note-se que aps um

tempo o elemento de aquecimento desligado. Ora, o tempo em que o elemento de

aquecimento est ligado (aproximadamente 1 minuto) comparado com o necessrio

para que a temperatura retorne temperatura ambiente (6 dias) faz com que o

degrau passe a ser considerado como um impulso. No fundo o sistema responde a

um pico de potncia. Esta influncia do aumento do domnio do tempo explicada

na figura que se segue.

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Figura 6 Influncia do domnio temporal na caraterizao da resposta.

A resposta temporal de um sistema de primeira ordem a um impulso unitrio

est representada no grfico que se segue.

Figura 7 Resposta a um impulso unitrio[2]

Mais uma vez, a constante de tempo equivalente a um perodo de tempo ou

seja, ao tempo decorrido at que se atingem ( ) do valor

de partida ou (1-0.368=63.2%) do regime permanente.

Determinao da constante de tempo do elemento de aquecimento

Sabendo que o elemento de aquecimento foi desligado quando a temperatura

da gua atingiu 40C, possvel verificar o comportamento do mesmo a partir desse

instante por anlise dos dados experimentais recolhidos, ou seja, a resposta ao

degrau pode caracterizar-se segundo a funo do grfico anterior para ,

instante em que se atinge a temperatura de 40C e se desliga a caldeira e que se

apresenta seguidamente.

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Figura 8 - Curva de aquecimento aps corte de potncia com a constante de tempo assinalada.

Assim sendo, e de acordo com o exposto no ponto anterior, a constante de

tempo para o elemento de aquecimento o tempo necessrio a atingir 63.2% da

temperatura mxima aps o corte de potncia ou, por outras palavras, 63.2% da

diferena de temperaturas entre o instante em que se deixa de fornecer potncia ao

elemento de aquecimento e se entra em regime permanente.

( ) ( )

Da leitura dos dados recolhidos no ensaio verifica-se que:

Para

Para

Um perodo corresponde assim a:

Esta a constante de tempo do elemento de aquecimento.

Determinao da constante de tempo para a parede

A determinao da constante de tempo da parede seguiu uma metodologia

idntica ou seja, foi calculado o tempo necessrio a atingir 36.8% da diferena de

temperaturas entre o instante em que se atinge a temperatura mxima de 45 e se

entra em regime permanente que igual temperatura ambiente de .

( ) ( )

Da leitura dos dados recolhidos no ensaio verifica-se que:

Para

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Para ( )

Um perodo corresponde assim a:

Sendo esta a constante de tempo da parede.

Figura 9 - Curva de arrefecimento com ponto a constante de tempo assinalada.

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Clculo do caudal mssico mximo A potncia da caldeira encontra-se limitada a 75kW. Alm disso, estabeleceu-se

que a temperatura da gua sada deve ser 60C, e uma determinada extenso da

variao da temperatura de entrada da gua e do ambiente onde se insere a caldeira.

Por isso til determinar o caudal mximo que a caldeira consegue aquecer

satisfazendo essas condies. Para tal faz-se uma anlise termodinmica ao sistema.

Para saber o caudal mximo que a caldeira pode aquecer, aplica-se a 1 lei da

termodinmica a um volume de controlo que a rodeie.

( )

Desprezando as variaes locais de energia cintica, qumica, potencial e de

presso tem-se

O fluxo de calor pode ser decomposto nas partes que entram e saem e,

relativamente energia interna, sabe-se que . Assim,

O fluxo de calor que entra vem da potncia da fornecida resistncia, o fluxo de

calor que sai pode ser determinado aplicando a analogia reo-eltrica

Figura 10 Aplicao da analogia reo-eltrica parede da caldeira e obteno da resistncia equivalente.

( ) (1)

O caudal mximo ocorre quando mxima, isto , 12+5C, visto que quanto

mais prximo dos 60C entrar a gua, menos tempo tem de passar na caldeira e

portanto maior o caudal que pode passar. Tambm quanto menores forem as perdas

calorficas para o exterior mais parte da potncia pode ir diretamente para a gua, e

pela mesma lgica, maior o caudal que pode. As perdas para o exterior so menores

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quanto mais perto dos 60C estiver a ( ). Assim, para o caudal mximo

Visto que ir variar entre 17 e 60C optmos, por simplificao, por usar o

valor mdio e assumindo que varia aproximadamente linearmente. Ser tambm

para esse valor que se ir buscar as propriedades da gua s tabelas necessrias.

Para determinar a torna-se necessrio conhecer a sua relao com a constante

de tempo.

Para o caso em estudo,

(2)

Visto que a constante de tempo foi obtida para o ensaio realizado

(arrefecimento), ser para as condies em que o mesmo foi realizado que se far

este clculo. Ento, para

Vendo no anexo A, e interpolando entre os dois valores de temperatura

tabelados obtm-se

( )

E a massa de gua que se encontra dentro da caldeira durante do arrefecimento

obtida sabendo o volume da gua e a densidade a 32.5C

Tendo , e substituindo os valores em (2) .

Finalmente substituindo todos os valores em (1) obtm-se o caudal mssico

( )

Caso se conseguisse melhorar o isolamento da caldeira, de maneira a anular a

parcela fluxo de calor perdido para o ambiente situao ideal o caudal mximo

que a caldeira conseguiria aquecer aumentaria. Assim a eq. (1) passaria a

( )

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O que, substituindo os valores presentes na tabela acima, daria

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Forma diferencial do modelo no linear da caldeira

Elemento resistivo

Determinao do modelo eltrico

Para simplificar a construo do modelo faz-se uma analogia eltrica para as

variveis reais. Para a construo dessa analogia facilita o uso de um modelo real

trmico (fig. 8). Este modelo representa o elemento de resistncia, , a uma

temperatura, , o qual atravessado por uma potncia, , e que por isso gera um

fluxo de calor, por efeito Joule, . O elemento resistivo encontra-se rodeado de gua

.

Figura 11 Esquema simplificativo do modelo real da resistncia.

Seguem-se, ento, os passos descritivos da construo do modelo eltrico

baseado neste modelo trmico.

As 2 temperaturas representam os 2

nveis de tenso. Existe ainda ,

uma temperatura de referncia, que

corresponde a um nvel de potencial

igualmente nulo.

Como a variao da T ambiente ao

longo do tempo pode ser desprezada,

significa que o ambiente impe essa T,

e da eletricamente ser uma fonte de

tenso a impor a tenso .

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13

O ambiente constitui tambm uma

resistncia trmica de conveco, a qual

pode ser substituda por uma resistncia

eltrica.

Visto que a prpria resistncia eltrica

tem a capacidade de armazenar alguma

energia trmica, algo que pode ser

verificado pelo facto de mesmo depois

de desligada a corrente, a gua ainda

aquecer um pouco, significa que, em

termos eltricos, estamos na presena de

um elemento capacitivo.

Visto que a prpria resistncia eltrica

tem a capacidade de armazenar alguma

energia trmica, algo que pode ser

verificado pelo facto de mesmo depois

de desligada a corrente, o facto de a

gua ainda aquecer um pouco, significa

que estamos na presena de um

elemento capacitivo.

Uma parte dessa corrente ser para aquecer a prpria resistncia

( ), a outra ir para a gua. Finalmente tambm se pode

representar o elemento de tenso nula, ou ligao terra, obtendo-se, assim, o

modelo eltrico final que representa o modelo trmico.

Figura 12 Modelo eltrico representativo do elemento resistivo.

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Tabela 2 - Resumo das variveis do sistema e suas anlogas eltricas

Tipo Varivel real Varivel eltrica Nome

Potencial Temperaturas Nveis de tenso

Fluxo Fluxos de calor Correntes eltricas ( )

Resistncia,

Capacitncia

Resistncias trmicas,

Capacidades trmicas

Resistncias eltricas,

Els. Capacitivos

Determinao da forma diferencial do modelo resistivo

Tendo ento o modelo eltrico, passa-se a tratar o sistema como se este fosse

unicamente eltrico. Assim, para se poder determinar a equao diferencial que

descreve o elemento de aquecimento, comea-se por aplicar a 1 lei de Kirchoff ao n

de cima. Tem-se

Pela analogia entre sistema trmico e eltrico sabe-se que

. A capacidade

trmica pode ser substituda pela sua componente especfica ( ) e pela massa ( ).

(3)

Como no sabemos , nem a sua derivada em ordem ao tempo, aplica-se a lei de

Ohm entre os terminais da resistncia

Explicitando em ordem a

(4)

Derivando ambos os membros em ordem ao tempo

( )

Como

no varia com o tempo (a resistncia tem um valor constante e definido) e

. Assim tem-se

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(5)

Entrando com as eq. (4) e (5) em (3) fica-se com

Simplificando

No se conhecem os valores das variveis , e . neste ponto que entra

anlise feita anteriormente sobre as constantes de tempo, uma vez que

Onde foi o obtido da curva de aquecimento da gua. Assim,

(6)

Que a equao diferencial que modela o comportamento da resistncia.

Caldeira eltrica

Modelo eltrico

Seguindo a mesma lgica que para o elemento resistivo, desenha-se o modelo

trmico e o respetivo modelo eltrico.

.

Figura 13 Representao dos modelos trmico e eltrico para a caldeira.

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Tabela 3 Significado das variveis do sistema presentes no modelo eltrico

Varivel Significado

Fluxo de calor gerado na resistncia por efeito Joule transferido para a gua

Fluxo de calor fornecido pelo caudal de entrada

Resistncia trmica entre o fluido e a parede da caldeira

Fluxo de calor perdido pelo isolamento da caldeira

Temperatura da parede da caldeira

Resistncia trmica da parede (isolamento) da caldeira

Temperatura do ambiente onde se encontra a caldeira

Capacidade trmica da parede

Capacidade trmica da gua

Temperatura da gua entrada

Temperatura da gua sada

Fluxo de calor fornecido pelo caudal de sada

Calor especfico a presso constante da gua

O ensaio elaborado do aquecimento da gua, seguido de arrefecimento, permite

conhecer a resistncia trmica da gua, das paredes e do ambiente, em conjunto, .

A constante de tempo do ensaio de arrefecimento permite conhecer tambm a

energia total acumulada, ( ). Tendo estes factos

em conta, pode-se simplificar o modelo eltrico para o representado na figura em

baixo.

Figura 14 Modelo eltrico da caldeira simplificado.

Determinao da forma diferencial da caldeira eltrica

Aplicando a 1 lei de Kirchoff ao n de cima

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Sabendo que

e

tem-se

A resistncia total indiretamente dada no ensaio do arrefecimento, pela

constante de tempo de arrefecimento .

Para se obter o modelo da caldeira eltrica ainda, necessrio entrar com a

equao respetiva ao elemento resistivo

Obtendo-se assim um sistema de equaes

{

Sabendo que , reescreve-se a equao acima como

{

( )

(7)

Que o sistema de equaes de descrevem o funcionamento do sistema. Como se

pode verificar por substituio do termo comum, , este sistema resultar numa

nica equao diferencial de 2 ordem.

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Linearizao do sistema No captulo anterior obtiveram-se as duas equaes diferenciais que modelam o

funcionamento do sistema. No entanto, a primeira no linear porque apresenta o

produto de duas funes temporais, caudal e temperatura.

Os modelos no lineares de um sistema podem ser utilizados para a simulao

numrica do seu comportamento mas no podem ser utilizados nos procedimentos

do Controlo Clssico de sntese de controladores, que requerem modelos lineares.

Este problema contornado encontrando-se modelos lineares que constituem uma

aproximao ao modelo original e que so vlidos localmente, isto , em torno de

um ponto de funcionamento.

Para o caso em estudo, o modelo vai ser linearizado para o ponto de

funcionamento dado, em regime permanente, para os dados contidos na tabela 3.

Tabela 4 Caratersticas do ponto de funcionamento em torno do qual se linearizar o sistema.

Varivel Valor a tomar

Os termos, do sistema de equaes, que precisam de ser linearizados so

( )

(8)

( )

(9)

(10)

Para linearizar faz-se uma expanso em srie de Taylor reduzida aos termos de 1

ordem (nico termo linear). A expanso em srie de Taylor pode ser definida como

( ) ( )

( )( )

Que reduzida aos termos de primeira ordem fica

( ) ( ) ( )( )

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Figura 15 Significado grfico da linearizao de uma funo em torno de um ponto pela expanso em srie de Taylor.

Aplicando ao caso em estudo e tendo em conta que ambas as funes e

dependem de duas variveis e portanto tero dois termos, um para cada derivada

parcial, tem-se

( ) ( )

|

( )

|

( )

( ) ( )

|

( )

|

( )

Estas equaes podem ser simplificadas e expressas segundo os termos que

interessam para o sistema de equaes. Observando a equao respetiva a ,

juntamente com a eq. (8)

( )

Para resolver as derivadas parciais tem-se em vista a eq. (7) o que d

|

|

Assim, e sabendo que

(11)

(12)

Substitui-se na equao respetiva a

O mesmo raciocnio se pode aplicar a obtendo-se

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a P

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Substituindo ambas as equaes em (10)

Reescrevendo a equao anterior de modo a se ter pequenas variaes de todas as

variveis

Reorganizando

( )

Alm disso, pode-se observar na equao (7) que, em regime permanente,

{

( )

Donde, por manipulaes algbricas, se conclui que os termos e so nulos

e, portanto

( )

( )

O sistema de equaes linearizado em torno do ponto de funcionamento 0 que

representa o funcionamento da caldeira, explicitando as dependncias temporais

fica ento

{

( )

( )

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Representao do modelo linearizado por funes de transferncia

Para se poder obter as funes de transferncia, torna-se necessrio conhecer as

transformadas de Laplace das funes de sada e entrada visto que

( ) { }

{ }|

( )

( )

A aplicabilidade do conceito de funo transferncia limita-se a sistemas de

equaes diferenciais lineares invariveis no tempo. A funo de transferncia de

um sistema um modelo matemtico que expressa a equao diferencial no

domnio de Laplace que relaciona a varivel de sada com a varivel de entrada.

Aplicando as transformadas de Laplace a cada membro

( )

( ) ( )

( ( ) ( )) ( ) ( )

( )

Sabendo que

{ ( )} ( )

{

} ( ) ( )

Como se tem um modelo variacional, i.e., que traduz as variaes do sistema em

torno de um ponto de funcionamento e portanto que no ponto de funcionamento

so zero, o segundo termo anula-se. Assim, aplica-se em cima, e obtm-se

( )

( ) ( )

( ( ) ( )) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ( ) ( )) ( ) ( )

( )

Introduzindo nesta equao a que diz respeito ao fluxo de calor do elemento

resistivo depois de aplicada a transformada de Laplace

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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a P

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Passa-se a ter uma nica equao

( )

( ) ( )

( ( ) ( )) ( ) ( )

( )

Manipulando algebricamente, e lembrando o objetivo de obter uma funo de

transferncia para cada entrada, e que seja da forma da eq. 13 comea-se por

remover os denominadores de todos os termos

( )

( )

( )

( )

( )

(13)

Sendo o ganho estacionrio, a frequncia natural de oscilao do processo e

o fator de amortecimento.

Comea-se por passar para o o outro lado da equao

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Multiplicando por para se obter sem qualquer denominador e pondo

em evidncia

( ) (

)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

De seguida passam-se todos os denominadores do lado direito da equao para o

lado esquerdo. Primeiro

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23

( ) (

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E depois

( )( ) (

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Depois aplica-se a propriedade distributiva entre os 2 e 3 membros do lado

esquerdo da equao

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Observando a eq. (13) , e sabendo que o termo a multiplicar por ir passar a

denominador do lado direito da eq., pe-se em evidncia

( )( ( ) )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Passa-se ento esse termo para denominador, deixando apenas do lado

esquerdo

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Para se poder obter o termo por si s, multiplica-se numerador e denominador

por

( )

[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

Separando as funes de transferncia para cada varivel de entrada obtm-se

finalmente

C

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( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

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ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

25

Representao dos modelos em diagramas de blocos Um sistema de controlo geralmente consiste em vrios componentes com funes

relacionadas com as equaes que descrevem o sistema, o que o torna bastante

difcil de ser analisado. Para facilitar a sua compreenso e explicitar mais claramente

as funes desempenhadas pelos componentes e o fluxo de sinais, a engenharia de

controlo utiliza um diagrama denominado Diagrama de Blocos.

Deste modo, os componentes de um sistema so representados por blocos e so

integrados por meio de linhas que indicam os sentidos de fluxos de sinais entre os

blocos. Estes diagramas so assim utilizados para representar as relaes de

dependncia entre as variveis que interessam cadeia do controlo.

Diagrama de blocos do modelo no linearizado O sistema de equaes diferenciais no linearizado que descrevem o sistema da

caldeira

{

( )

A partir dele obteve-se o diagrama de blocos seguinte:

()

()

()

()

()

+ + +

+

+

+

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

Diagrama de blocos do modelo linearizado

Relativamente ao modelo linearizado, o seu diagrama de blocos :

Por simplificaes a este diagrama de simulao, possvel, pelo princpio da

sobreposio, chegar s funes de transferncia para cada varivel de entrada. A

simplificao consegue-se considerando que todas as entradas so iguais a zero exceto

aquela a que se pretende conhecer a resposta. Numa tentativa de confirmar as funes

de transferncia obtidas analiticamente aplicou-se o procedimento apenas a P(s). As

regras usadas para a simplificao do diagrama encontram-se descritas no anexo B.

()

()

()

()

( )

+ +

+ + +

()

+

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

27

()

0

( )

+ +

+ + +

()

+

()

+ +

+

()

1

2

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

()

+ -

()

3

1

2

()

()

3

4

()

()

4

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

29

Implementao no Matlab A simulao do comportamento do sistema ser obtida pela introduo dos

modelos obtidos anteriormente, neste software. O plano ser

Implementar no Matlab os dois modelos, sem controlador, e verificar o impacto da alterao das variveis de entrada;

Para os dois modelos, adicionar um controlador proporcional e verificar para diferentes valores de ganho como varia o tempo de resposta e o erro associado.

Fazer anlise relativa ao ganho timo, sobre-elongao, instabilidade, tempo de acomodao

Avaliar o comportamento do modelo para diferentes valores das variveis de entrada;

Estudar o impacto da introduo de uma ao de controlo integral (controlador PI), de modo a avaliar a influncia desta ao.

Sem controlador Neste sistema, a ao de controlo independente da sada. Quer isto dizer, o

valor de sada no ir influenciar em nada a potncia em uso. Esse valor ser

definido no incio da simulao e assim o permanecer, algo que se poder verificar

nos grficos para ambos os modelos. Trata-se, pois, de um sistema de malha aberta,

controlado manualmente.

Modelo no linearizado

Figura 16 Diagrama do modelo no linearizado sem controlador implementado no Matlab. Representadas as condies para caudal mximo.

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

De seguida apresentam-se os resultados obtidos das diversas simulaes.

kg/s

kg/s

kg/s

Para a primeira simulao verifica-se o aumento da temperatura at aos 60C de

acordo com o previsto analiticamente pelas leis termodinmicas. Note-se que o

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

31

caudal mximo foi calculado exatamente nas condies que permitem a sua

maximizao, isto , todas as temperaturas envolvidas so as mximas.

Seguidamente diminuiu-se a temperatura de entrada para o mnimo admissvel

nas condies de projeto, 7C. Constatou-se, como era de esperar, que baixando a

temperatura de entrada no possvel atingir a temperatura desejada na sada para

o caudal mximo, mesmo fornecendo a potncia mxima.

Na terceira simulao diminuiu-se o caudal para metade do caudal mximo.

Sendo o caudal menor e no se controlando a potncia fornecida, verificou-se que a

temperatura desejada era ultrapassada atingindo-se a temperatura de ebulio da

gua e colocando em risco a integridade da caldeira.

Percebe-se assim que sem controlador impossvel garantir a temperatura

desejada sada sem ter que controlar a potncia manualmente. O sistema no se

adapta s perturbaes introduzidas, isto , qualquer desvio em relao s condies

de determinao do caudal mximo feitas analiticamente traduz-se numa resposta

diferente do sistema e que, se implementado num sistema real, pode mesmo colocar

em perigo o operador.

Modelo linearizado

O modelo implementado no Matlab o da figura em baixo. Os valores a

introduzir para as variveis de entrada so valores variacionais relativos ao ponto

de funcionamento. Por exemplo, introduzir na entrada um

significa que o caudal a passar pela caldeira de

Por este motivo torna-se necessrio introduzir sempre a variao de alguma

varivel de entrada para se poder observar alguma variao de .

Figura 17 Modelo linearizado sem controlador.

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

kg/s

kg/s

Para uma diminuio de caudal verifica-se, mantendo todas as outras entradas

fixas, um aumento da temperatura de sada. Esta situao de esperar uma vez que

a massa de gua demora mais tempo desde que entra at que sai e portanto mais

energia trmica lhe transferida.

Para um aumento da temperatura de entrada da gua na caldeira sem

controlador verifica-se que sada, esse aumento gradual. Com efeito, s cerca de

10 minutos depois de gua ser enviada para a caldeira 13C mais quente, que

sada esse aumento se verifica na totalidade.

Esse aumento gradual deve-se transferncia de calor da gua mais quente a

entrar para a gua dentro da caldeira com capacidade trmica .

Aps anlise de ambos os modelos sem controlador, conclui-se que no uma

soluo vivel visto que o ajuste da potncia deixado ao cargo do operador que

deve recalcular e ajustar a potncia a ser fornecida ao sistema sempre que alguma

outra varivel de entrada se altere.

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

33

Com controlador proporcional Adicionando um controlador proporcional ao modelo, o controlo da potncia

deixar de ser manual e passar a ser automtico. Assim, deixa-se agora de ter uma

entrada com um valor fixo de potncia, imposto manualmente antes da simulao, e

passam-se a ter valores variveis, obtidos de acordo com o controlador adicionado e

o erro em relao temperatura de sada da gua pretendida.

A adio de um controlador proporcional ir produzir uma ao de controlo

proporcional ao erro de temperatura verificado.

( ) ( ( ))

Assim, a potncia trmica ser tanto maior quanto maior for o erro de

temperatura. No entanto, se o erro de temperatura se anular o controlador deixa de

fornecer calor gua e esta no aquece. essa a razo pela qual o erro de

temperatura nunca atingir zero mas sim um valor que assegure algum fluxo de

calor. Esse valor poder ser tanto mais prximo do valor pretendido quanto maior

for o ganho do controlador. Isto significa, ento, que aumentar o ganho proporcional

dever aumentar a preciso do sistema diminui o erro permanente sendo,

contudo, de esperar uma diminuio da sua estabilidade.[1]

Modelo no linearizado

Em baixo e na pgina seguinte apresentam-se o mesmo diagrama de blocos do

modelo no linearizado, mas agora com controlador proporcional e as simulaes

efetuadas.

Figura 18 Modelo no linearizado com controlador proporcional e limite de potncia a 75kW.

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

kg/s

kg/s

kg/s

Tendo em conta os pontos referidos introdutoriamente, experimentaram-se

vrios valores de sucessivamente maiores.

Como seria de esperar, para o menor valor de ganho, 1 kW/C, no se conseguiu

atingir a temperatura desejada. O sistema diminuiu a potncia mesmo sem atingir a

temperatura desejada e encontrou um ponto de equilbrio para o regime

permanente que se encontra muito longe do pretendido.

Para o valor de ganho 10 vezes superior o erro em regime permanente passa a

cerca de 7C abaixo da temperatura desejada. Note-se que h uma quebra de

potncia quando a temperatura prxima da desejada.

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

35

Para o valor de ganho superior o erro praticamente se anula, o que timo, mas

trazendo a consequncia indesejada da instabilidade do sistema. A determinao do

ganho timo resultaria em estabelecer um compromisso entre estabilidade e erro, e

encontrar um valor de ganho que satisfizesse essas exigncias.

kg/s

kg/s

Nas duas ltimas simulaes, e comparando com a simulao para o mesmo

caudal mas sem controlador, pode-se observar o correto funcionamento do

controlador ao reduzir a potncia para compensar a reduo de caudal, de modo a

manter a temperatura da gua na sada a 60C. De notar que o aumento do ganho

diminuiu ligeiramente o erro de regime permanente tendo no entanto aumentado a

instabilidade, sem nenhuma reduo visvel no tempo de acomodao.

Modelo linearizado

Para se poder estudar a influncia do valor do ganho optou-se por impor uma

variao do caudal poderia ter sido outra varivel de entrada para se observar a

resposta do sistema, sob a forma do ajuste de potncia. Como o ponto de

funcionamento em uso para um caudal metade do mximo, ento ter de ser

calculada a potncia necessria para esse caudal, que ser a potncia correspondente

ao ponto de funcionamento. Aplicando a equao j demonstrada para o clculo do

caudal mximo, entra-se com as condies respetivas ao ponto de funcionamento.

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

( ) (1)

( )

Assim, no modelo ser necessrio limitar a variao de potncia entre

[

].

Figura 19 Diagrama do modelo linearizado com controlador proporcional e

limitador da variao da potncia a

.

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

37

kg/s

Erro -10 C

kg/s

Erro -1.6 C

kg/s

Erro -0.18 C

kg/s

Erro -0.025C

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

kg/s

Erro +15 C

kg/s

Erro +2.6C

kg/s

Erro +0.3C

Relativamente ao aumento do ganho, em ambos os casos, traduz-se

reduo do erro em regime permanente, ;

aumento da instabilidade do sistema sob a forma de o aumento da frequncia de oscilao; o aumento do tempo de acomodao; o aumento da sobre-elongao.

Efetivamente para valores de ganho elevados, o sistema nunca chega a estabilizar.

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

39

O aumento do caudal foi respondido pelo controlador por um aumento da

potncia fornecida. Na verdade, para um caudal de

, substitudo na

equao (1) resulta numa potncia necessria de 55.4kW, ou seja, um aumento de

18kW. relativamente ao ponto de funcionamento. Observando o grfico parece ser

esse o valor da potncia do qual o controlador se procurou aproximar.

Em relao ao aumento de para 50C, substituindo na equao (1) com

e

C resulta numa potncia necessria de

8.83kW o que significa uma variao de potncia de . Mais uma vez o valor

de regime permanente da potncia observado no grfico parece ser correto.

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

Com controlador proporcional e integral Um dos inconvenientes verificados do uso nico do controlador proporcional

foi a existncia de uma diferena permanente entre a temperatura de sada

pretendida e a verificada. Foi possvel diminuir esse erro mas custa de estabilidade

do sistema.

A adio de um controlador integral ao sistema ir corrigir o 1 problema. A

ao integral vai atuar no processo ao longo do tempo enquanto existir diferena

entre o valor desejado e o valor medido.

( ) ( )

Com efeito, o sinal de correo integrado no tempo. Enquanto a ao

proporcional atua de forma instantnea quando acontece um distrbio em degrau, a

ao integral vai atuar de forma lenta at eliminar por completo o erro.

Como inconvenientes, pode aumentar a sobre-elongao, na resposta ao degrau,

do sistema controlado e tende a diminuir a sua estabilidade.

Modelo no linearizado

Em baixo apresenta-se o modelo implementado e algumas das simulaes corridas

no Matlab.

Figura 20 Diagrama do modelo no linearizado com controlador proporcional e integral e limitador da potncia a .

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

41

5 e

10

kg/s

Erro

(t=1ks)

-2C

0C

5 e

10

kg/s

Erro

(t=1ks)

-2C

0C

5

kg/s

Erro

(t=10ks) 0C

Na 1e na 2 simulao pode-se observar a influncia do aumento do ganho

integral que reduz o tempo de acomodao.

Entre as 2 e 3 simulaes pode-se observar o efeito do controlador integral na

sua totalidade, ao diminuir completamente o erro deixado pelo controlador

proporcional, ao fim de um perodo de tempo de 10 000s.

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

Para os valores de ganho utilizados no se observou grandes variaes da

estabilidade do sistema, exceto na 3 simulao que apresentou oscilaes at ao

tempo de acomodao.

Modelo linearizado

Seguem-se o modelo implementado no Matlab e algumas das simulaes efetuadas.

Figura 21 Diagrama do modelo linearizado com controlador proporcional e integral

e limitador da variao da potncia a

.

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

43

5 e 10

kg/s

Erro

(t=1ks) -1C

5

kg/s

Erro

(t=10ks) 0C

5

kg/s

Erro +2.6 e 1

C

5 e 10

kg/s

Erro -0.18 e -

0.18 C

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

A adio do controlador integral veio mais uma vez agir sobre o erro

permanente, anulando-o, algo observado na totalidade para a 2 simulao, que tem

um perodo de tempo superior. Portanto, com a adio do controlador integral

verificou-se um aumento da preciso do sistema.

Tal como com o modelo no linearizado, com o aumento do ganho integral

verifica-se uma reduo do tempo de acomodao, observado pelo anulamento mais

veloz do erro. Essa diferena observada significativamente com o aumento de

para 50C mas muito ligeiramente para o aumento de caudal para 0.3kg/s. Estas

simulaes revelam que o processo se caracteriza por ter constante de tempo grande

(mudanas lentas).

A associao P+I torna-se ineficiente e uma terceira ao faz-se necessrio para

acelerar a correo. A esta ao d-se o nome de ao derivativa, mas no ser

estudada neste trabalho.

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

45

Concluses

Durante o curso deste trabalho calculou-se o caudal mximo que a caldeira pode

aquecer. Como no eram conhecidas as propriedades do isolamento da caldeira nem

as caractersticas trmicas do elemento de aquecimento, calcularam-se as constantes

de tempo para ambos.

Determinaram-se as equaes diferenciais que descrevem o sistema, tendo-se

observado que uma delas deveria ser linearizada, o que foi feito, em torno de um

ponto de funcionamento para temperaturas mximas e metade do caudal mximo.

A partir da equao obtida obtiveram-se as funes transferncia para cada varivel

de entrada tanto por meio analtico como por simplificao do diagrama de blocos

desenhado para o modelo linearizado.

De seguida passou-se fase da simulao, que foi feita com recurso a um

software comercial, e onde se implementaram os diagramas de blocos desenhados

para ambos os modelos, no linear e linear. Para cada um deles, estudou-se o efeito

da variao de algumas variveis de entrada, bem como o impacto da adio de um

controlador proporcional e mais tarde de um integral.

Verificou-se que a adio do controlador proporcional permitia um controlo da

caldeira deficiente, sendo que para valores baixos do ganho decorria um erro

permanente, e para valores altos instabilidade do sistema.

A adio do controlador integral veio corrigir o erro permanente, se bem que

apenas aps um largo perodo de tempo, pelo que uma terceira ao de controlo

seria necessria.

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

Bibliografia

[1] Almeida, Fernando Gomes de (2013). Apontamentos MIEM - Sistemas de Controlo [Apresentaes powerpoint].

[2] Ogata, Katsuhiko (2010). Engenharia de Controle Moderno 5 Edio. Prentice Hall. [3] Apontamentos de Sistemas de Controlo (2010). Escola Superior Nutica Infante D.

Henrique, DEM. Disponvel em [ http://www.enautica.pt/publico/professores/jemilio/pdf/RECICLAGEM/Modulo4-Sist_Controlo.pdf ]

[4] Neto, Evandro de Figueiredo, Cardoso, Robson Santos, et. all. (1999) Fundamentos de Controle de Processo. Disponvel em [http://sistemas.eel.usp.br/docentes/arquivos/5817066/157/Controle.pdf]

[5] Sodr, Ulysses (2003). Transformadas de Laplace. [Material de aulas] [6] Kodama, Takeshi. Expanso em srie de Taylor de uma Funo [Material de aulas]

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

47

Anexos

Anexo A

C

ald

eira

par

a P

rod

u

o d

e

gu

a Q

uen

te

Anexo B

Blocos em srie

Blocos em paralelo

() () ()

1

()

() () () ()

()

()

2

()

()

() ()

()

()

Cal

dei

ra p

ara

Pro

du

o

de

g

ua

Qu

ente

49

Ramo de Feedback

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3/4

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