Gráficos em Papel Monolog - Decaimento Radioativo

1) Tabela de Dados

As atividades, em função do tempo, de uma amostra radioativa, encontram-se na tabela apresentada abaixo.

a) Explicitar esses valores em gráficos em papel milimetrado comum e em papel monolog, calculando, a partir deste último, a meia-vida e a constante de decaimento desta amostra.

b) Qual a contagem para t = 0 ?

Tempo(h)

Atividade(CPM)

0 110000,5 95351 8190

1,5 70402 60503 44654 32955 24306 18007 13308 9809 72010 53011 39512 290

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2) Gráficos

No final deste trabalho, encontram-se os seguintes gráficos:

- Gráfico em papel milimetrado: Equação Exponencial

- Gráfico em papel monolog: Reta

- Gráfico do Excel: Equação Exponencial

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3) Linearização da Equação Exponencial

Onde:

A = atividade radioativa no tempo t (medida em cpm = contagens por minuto)A0 = Atividade inicial = Constante de decaimento (peculiar a cada elemento radioativo) e = base dos logaritmos naturais = 2,718281828...

Aplicando o logaritmo (base 10) a ambos os membros:

Obs.: Apliquei o logaritmo de base 10 para facilitar o uso do papel monolog, que também está em base 10.

Fazendo:

Ficamos com:

y = b + at

log A = log A0 + (log e) t

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4) Coeficiente Angular da Reta (papel monolog)

4.1) Pontos da reta ajustada "manualmente", utilizados nestes cálculos:

Ponto 1 = (12, 300)Ponto 2 = (11, 410)

Como os pontos estão em papel monolog, na verdade correspondem a:

Ponto 1 = (12, log 300)Ponto 2 = (11, log 410)

4.2 Coeficiente angular:

a = 2,477121255 - 2,612783857

Portanto:

a = -0,135662602

4.3 Coeficiente Linear:

A reta ajustada "manualmente" corta o eixo vertical no valor 11000 (aproximadamente).

Como o eixo vertical está em escala logaritmica, na verdade o valor em que a reta corta o eixo vertical é:

log (11000) = 4,041393.

Portanto:

b = 4,041393

4.4 Equação da Reta

y = at + b

y = - 0,135662602t + 4,041393

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No item 3, tínhamos que: y = at + b

log A = (log e) t + log A0

Então:

y = - 0,135662602t + 4,041393

log A = - 0,135662602t + 4,041393

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5) Cálculo dos Parâmetros da Equação de Decaimento Exponencial ()

5.1 Cálculo de

No item 3, tínhamos que:

(log e) = a

(lembrando que e = 2,718281828... )

Ou:

Dos cálculos do item 4.2, temos que: a = -0,135662602.

Então:

5.2 Cálculo de A0

No gráfico do papel monolog, podemos constatar que para t = 0, a atividade é 11000. Portanto:

A0 = 11000

Apenas para efeito de conferência dos resultados, vamos calcular A0.

Também tínhamos, no item 3, que:

b = log A0

Dos cálculos do item 4.3, temos que:

b = log (11000) = 4,041393.

Substituindo em b = log A0, ficamos com:

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4,041393 = log A0

log A0 = 4,041393

(que se lê: "o logaritmo de A0 na base 10 é 4,041393)

Então, pela definição de logaritmo:

A0 = 104,041393

A0 = 11000

5.3 Equação Exponencial:

Uma vez obtidos os parâmetros A0 e , temos a seguinte equação:

Utilizando o recurso "ajustar linha de tendência" do Excel, aplicando a "tendência exponencial", a expressão resultante foi esta:

Observação:

A diferença entre os parâmetros da expressão podem ser explicados pelo fato da reta, no papel monolog, ter sido traçada "manualmente", e não utilizando o método dos mínimos quadrados.

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6) Dedução da Equação da Meia-Vida

Meia-vida: Tempo necessário para que a atividade de uma fonte radioativa chegue à metade do seu valor inicial.

O decaimento radioativo é dado por:

Obs.: Na expressão acima, considerei o sinal negativo no expoente, para indicar que a equação é uma exponencial decrescente.

A0 é a atividade radioativa inicial. Então, a meia-vida corresponde ao tempo no qual a atividade (A) será metade da atividade inicial, ou seja, quando:

Substituindo na expressão acima, temos:

Dividindo ambos os membros por A0:

Aplicando o ln a ambos os membros:

Aplicando a propriedade "o logaritmo de uma potência é o expoente multiplicado pelo logaritmo":

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Como ln e = 1:

Aplicando a propriedade "o logaritmo de uma divisão é diferença entre o logaritmo do numerador e o logaritmo do denominador":

Como ln 1 = 0:

Isolando t:

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