i UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA DISSERTAO DE MESTRADO ANLISE DE DEFORMAES EM VIGAS COM COMPORTAMENTO GEOMETRICAMENTE NO-LINEAR Autor: Ivan Henrique Gonalves Orientador: Prof. Dr. Wlamir Carlos de Oliveira Co-Orientador: Prof. Dr. Paulo Shigueme Ide Itajub, Maro de 2006 ii UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA DISSERTAO DE MESTRADO ANLISE DE DEFORMAES EM VIGAS COM COMPORTAMENTO GEOMETRICAMENTE NO-LINEAR Autor: Ivan Henrique Gonalves Orientador: Prof. Dr. Wlamir Carlos de Oliveira Co-Orientador: Prof. Dr. Paulo Shigueme Ide Curso: Mestrado em Engenharia Mecnica rea de Concentrao: Projeto e Fabricao Dissertao submetida ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica como parte dos requisitos para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia Mecnica Itajub, Maro de 2006 MG. - Brasil iii UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA DISSERTAO DE MESTRADO ANLISE DE DEFORMAES EM VIGAS COM COMPORTAMENTO GEOMETRICAMENTE NO-LINEAR Autor: Ivan Henrique Gonalves Orientador: Prof. Dr. Wlamir Carlos de Oliveira Co-Orientador: Prof. Dr. Paulo Shigueme Ide Composio da Banca Examinadora: Prof. Dr. Danilo Amaral UFMG Prof. Dr. Sebastio Simes da Cunha Jr. - IEM/UNIFEI Prof. Dr. Paulo Shigueme Ide IEM/UNIFEI Prof. Dr.Wlamir Carlos de Oliveira, Presidente IEM/UNIFEI iv Dedicatria minha esposa Mariana, aos meus filhos Jos Henrique e Pedro Henrique, minha irm Vnia e aos meus pais Jos e Clia. v Agradecimentos Deus e Nossa Senhora Aparecida que me imburam de fora. Aos meus Orientadores, Wlamir Carlos de Oliveira e Paulo Shigueme Ide, pela competncia, dedicao, pacincia e amizade. Ao CNPq, atravs do Programa de bolsas, pelo apoio financeiro. vi Sejabomcomosoutros.Adistnciaquevoccaminhanavidavaidependerdasua ternura com os jovens, da sua compaixo com os idosos, sua compreenso com aqueles que lutam, da sua tolerncia com os fracos e os fortes. Porque algum dia na vida voc poder ser um deles. George Washington Carver vii Resumo GONALVES,I.H.(2005),AnlisedeDeformaesemVigascomComportamento GeometricamenteNo-Linear,Itajub,171p.Dissertao(MestradoemProjetoe Fabricao) - Instituto de Engenharia Mecnica, Universidade Federal de Itajub. Apresentam-senestetrabalhoquatromtodosaproximadosparaobtenodos deslocamentosverticaiseangularesdevigascomcomportamentogeometricamenteno-linear.Comobasedecomparao,serutilizadaumavigaengastadaembalano,comum carregamento concentrado em sua extremidade livre. A forma da linha elstica que determina osdeslocamentosobtidadeumaequaodiferencialno-lineardesegundaordem,cuja soluoexatanoatualmenteconhecida.Oprimeiro,omtododesoluolinearque consiste em desprezar o termo da equao diferencial que contm o quadrado da declividade, possibilitando a utilizao de soluo analtica para obteno da linha elstica. O segundo, o mtodo numrico de Runge-Kutta 4 ordem na soluo da equao diferencial em sua forma completa.Oterceiromtodoosistemapseudolinearequivalente,cujasoluopossuiuma curvadedeflexoigualaoproblemano-linearinicial.Nestemtodoosistemapodeser resolvido aplicando-se a anlise linear. O quarto o mtodo dos elementos finitos aplicado na anlise linear e no-linear de vigas. Tais mtodos tero seus resultados comparados tanto para pequenos como para grandes deslocamentos e deformaes angulares. Conclui-se que, para as estruturasconvencionais,comoporexemplo,nautilizaoemestruturasqueutilizam materiaiscomoaoealumnio,omtodolinearadequado.Noentanto,paramateriaisque possibilitamgrandesdeformaesnoregimeelstico,comoalgunspolmeros,umoutro mtodo dentre os estudados deve ser utilizado. Palavras-chave:Vigas, No-Linearidade, Deformaes, Elementos Finitos. viii Abstract GONALVES,I.H.(2005),AnalysisoftheDeformationsonBeamswithNonlinear GeometricBehavior,Itajub,171p.Dissertao(MestradoemProjetoeFabricao)- Instituto de Engenharia Mecnica, Universidade Federal de Itajub. Isshowinthisworkfourapproximatedmethodssolutionstoobtaintheverticaland angulardisplacementsofacantileverbeamwithgeometricallynonlinearbehavior.To comparethesolutionswillbeusedabeamunderaconcentratedloadinitsfreeend.The problemisrepresentedbythesecondordernonlineardifferentialequationwhoseexact solution is not available in the literature. The first method is the linearization of the equation that consists of despising the term of the differential equation that contains the square of the slope,facilitatingtheuseofanalyticsolutionforobtainingoftheelasticline.Thesecondis thefourthorderRunge-Kuttamethodinthesolutionofthedifferentialequationinits completesform.Thethirdmethodisthepseudolinearequivalentsystemwhosesolution resultsinthesamedeflectioncurveoftheinitialnonlinearproblem.Inthislastmethod,the nonlinear differential problem is transformed into a system that can be solved using the linear analysis. The fourth is finite elements method applied in the linear and nonlinear analysis of beams.Suchmethodswillhaveitscomparedresultssomuchforsmallasforgreat displacementsandangulardeformations.Theconclusionarethatfortheconventional structures,suchasstructuresthatusematerialsassteelandaluminum,thelinearmethodis acceptable.Whileformaterialsthatallowlargedeformationsintheelasticregime,assome polymeric ones, another method among them studied should be used.Keywords:Beams, Nonlinearity, Strains, Finite Elements. ix Sumrio SUMRIO_________________________________________________________________I LISTA DE FIGURAS______________________________________________________ VI LISTA DE TABELAS _____________________________________________________ IX SIMBOLOGIA __________________________________________________________ XX LETRAS LATINAS ______________________________________________________ XX LETRAS GREGAS ______________________________________________________XXI SUPERESCRITOS_______________________________________________________XXI SUBSCRITOS___________________________________________________________XXI ABREVIATURAS ______________________________________________________ XXII SIGLAS _______________________________________________________________ XXII CAPTULO 1 ______________________________________________________________ 1 INTRODUO ____________________________________________________________ 1 1.1 Reviso da Literatura----------------------------------------------------------------------------- 1 1.2 Contedo------------------------------------------------------------------------------------------- 2 CAPTULO 2 ______________________________________________________________ 4 A TEORIA DA LINHA ELSTICA____________________________________________ 4 2.1 Introduo ----------------------------------------------------------------------------------------- 4 2.2 Equao da Linha Elstica------------------------------------------------------------------- 6 CAPTULO 3 ______________________________________________________________ 9 FORMULAO LINEAR ___________________________________________________ 9 3.1 Introduo ----------------------------------------------------------------------------------------- 9 3.2 Anlise Linear de uma Viga Engastada-------------------------------------------------------- 9 3.3 Princpio da Superposio ----------------------------------------------------------------------12 CAPTULO 4 _____________________________________________________________ 13 FORMULAO NO-LINEAR MTODO DE RUNGE KUTTA 4 ORDEM _______ 13 4.1 Introduo ----------------------------------------------------------------------------------------13 4.2 Problemas de Valor Inicial ---------------------------------------------------------------------16 4.3 Mtodos de Passo Um Mtodos de Runge-Kutta -----------------------------------------17 4.4 Mtodo de Runge-Kutta de 1 Ordem Mtodo de Euler---------------------------------18 x 4.5 Mtodo de Runge-Kutta de 2 Ordem--------------------------------------------------------18 4.6 Forma Geral dos Mtodos de Runge-Kutta de 2 Ordem----------------------------------22 4.7 Mtodos de Runge-Kutta de Ordens Superiores--------------------------------------------23 4.7.1 Mtodo de Runge-Kutta 3 Ordem ------------------------------------------------------24 4.7.2 Mtodo de Runge-Kutta 4 Ordem ------------------------------------------------------24 4.7.3 Algortmo----------------------------------------------------------------------------------25 CAPTULO 5 _____________________________________________________________ 26 FORMULAO PSEUDOLINEAR EQUIVALENTE______________________________ 26 5.1 Introduo ----------------------------------------------------------------------------------------26 5.2 Formulao ---------------------------------------------------------------------------------------26 5.3 Carregamento e Rigidez na Geometria da Deformao ------------------------------------31 5.4 Viga em Balano de Seo Transversal Varivel -------------------------------------------34 5.5 Viga em Balano de Seo Transversal Constante-----------------------------------------43 CAPTULO 6 _____________________________________________________________ 48 ELEMENTO FINITO DE VIGA______________________________________________ 48 6.1 Introduo ----------------------------------------------------------------------------------------48 6.2 Funo de Deslocamento Transversal --------------------------------------------------------49 6.3 Relao Deformao-Deslocamento ----------------------------------------------------------51 6.4 Mariz de Rigidez do Elemento de Viga-------------------------------------------------------52 6.5 Mtodo do Trabalho Equivalente--------------------------------------------------------------54 6.6 Energia Potencial --------------------------------------------------------------------------------56 6.7 Mtodo Clssico para Obteno de [K]E-----------------------------------------------------60 6.8 Anlise Linear por MEF ------------------------------------------------------------------------64 6.9 Anlise No-Linear por MEF ------------------------------------------------------------------66 6.10 Sobre o Programa Computacional -----------------------------------------------------------69 CAPTULO 7 _____________________________________________________________ 72 VALIDAO DAS EQUAES APRESENTADAS NOS CAPTULOS 3 a 5 ________ 72 7.1 Introduo ----------------------------------------------------------------------------------------72 7.2 Validao da Soluo Linear Apresentada no Captulo 3 ----------------------------------72 7.3 Validao da Soluo pelo Mtodo de Runge-Kutta Apresentada no Captulo 4 -------74 7.4 Validao da Soluo Pseudolinear Equivalente Apresentada no Captulo 5 -----------76 CAPTULO 8 _____________________________________________________________ 78 RESULTADOS ___________________________________________________________ 78 xi 8.1 Introduo ----------------------------------------------------------------------------------------78 8.2 Viga de Alumnio--------------------------------------------------------------------------------79 8.2.1 Soluo Linear -----------------------------------------------------------------------------81 8.2.2Formulao No-Linear Mtodo de Runge Kutta ----------------------------------82 8.2.3 Soluo Pseudolinear---------------------------------------------------------------------93 8.2.4 Soluo pelo Mtodo de Elementos Finitos-------------------------------------------99 8.3 Viga de Ao ------------------------------------------------------------------------------------ 100 8.3.1 Soluo Linear --------------------------------------------------------------------------- 102 8.3.2Formulao No-Linear Mtodo de Runge Kutta -------------------------------- 102 8.3.3 Soluo Pseudolinear ------------------------------------------------------------------ 104 8.3.4 Soluo pelo Mtodo de Elementos Finitos----------------------------------------- 104 8.4 Viga de Acrlico ------------------------------------------------------------------------------- 104 8.4.1 Soluo Linear --------------------------------------------------------------------------- 107 8.4.2Formulao No-Linear Mtodo de Runge Kutta -------------------------------- 107 8.4.3 Soluo Pseudolinear------------------------------------------------------------------109 8.4.4 Soluo pelo Mtodo de Elementos Finitos----------------------------------------- 109 8.5 Mtodo de Elementos Finitos Aplicado a Outros Casos---------------------------------- 110 8.5.1 MEF Aplicado a Viga em Balano Sujeita a Carga Distribuda------------------- 110 8.5.2 MEF Aplicado a Viga Bi-Apoiada Sujeita a Carga Concentrada ----------------- 113 8.5.3 MEF Aplicado a Viga Bi-Apoiada Sujeita a Carga Distribuda ------------------115 8.6 Anlise de Uma Viga de Concreto ---------------------------------------------------------- 117 8.7 Ensaio Prtico Utilizando um Rgua de Acrlico------------------------------------------ 119 8.7.1 Introduo -------------------------------------------------------------------------------- 119 8.7.2 Condies da Viga Ensaiada ----------------------------------------------------------- 119 8.7.3 Resultados do Ensaio Prtico ---------------------------------------------------------- 121 8.7.4 Resultados Tericos --------------------------------------------------------------------- 122 8.7.5 Anlise Comparativa entre os Resultados Tericos de Prticos ------------------- 123 CAPTULO 9 ____________________________________________________________ 125 CONCLUSES E SUGESTES_____________________________________________ 125 9.1 Introduo -------------------------------------------------------------------------------------- 125 9.2 Concluses para o Caso da Viga N 1 de Alumnio--------------------------------------- 126 9.2.1 Comparao entre as solues no-linear (Runge-Kutta) e pseudolinear -------- 126 9.2.2 Comparao entre as solues linear e pseudolinear-------------------------------- 128 9.2.3 Comparao entre as solues linear e MEF----------------------------------------- 129 xii 9.3 Concluses para o Caso da Viga N 2 de Alumnio--------------------------------------- 129 9.3.1 Comparao entre as solues no-linear (Runge-Kutta) e pseudolinear -------- 130 9.3.2 Comparao entre as solues linear e pseudolinear-------------------------------- 131 9.3.3 Comparao entre as solues linear e MEF----------------------------------------- 132 9.4 Concluses para o Caso da Viga N 3 de Ao --------------------------------------------- 134 9.4.1 Comparao entre as solues no-linear (Runge-Kutta) e pseudolinear -------- 134 9.4.2 Comparao entre as solues linear e pseudolinear-------------------------------- 135 9.4.3 Comparao entre as solues linear e MEF----------------------------------------- 136 9.5 Concluses para o Caso da Viga N 4 de Ao --------------------------------------------- 137 9.5.1 Comparao entre as solues no-linear (Runge-Kutta) e pseudolinear -------- 137 9.5.2 Comparao entre as solues linear e pseudolinear-------------------------------- 138 9.5.3 Comparao entre as solues linear e MEF----------------------------------------- 139 9.6 Concluses para o Caso da Viga N 5 de Acrlico ---------------------------------------- 141 9.6.1 Comparao entre as solues no-linear (Runge-Kutta) e pseudolinear -------- 141 9.6.2 Comparao entre as solues linear e pseudolinear-------------------------------- 143 9.6.3 Comparao entre as solues linear e MEF----------------------------------------- 144 9.7 Concluses para o Caso da Viga N 6 de Acrlico ---------------------------------------- 144 9.7.1 Comparao entre as solues no-linear (Runge-Kutta) e pseudolinear -------- 145 9.7.2 Comparao entre as solues linear e pseudolinear-------------------------------- 145 9.7.3 Comparao entre as solues linear e MEF----------------------------------------- 147 9.8 Concluses sobre o MEF Aplicado a Viga em Balano Sujeita a Carreg. Distribudo148 9.9 Concluses sobre o MEF Aplicado a Viga Bi-Apoiada Sujeita a Carga Concentrada 149 9.10 Concluses sobre o MEF Aplicado a Viga Bi-Apoiada Sujeita a Carga Distribuda 151 9.11 Concluses sobre o MEF Aplicado a Viga de Concreto -------------------------------- 152 9.12 Concluses Finais ---------------------------------------------------------------------------- 153 9.13 Sugestes para Trabalhos Futuros --------------------------------------------------------- 157 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS_________________________________________ 158 APNDICE A ___________________________________________________________ 160 ALGORTMO DE RUNGE-KUTTA _________________________________________ 160 APNDICE B____________________________________________________________ 163 DEFINIO DO PASSO h NA APLICAO DO MT. DE RUNGE-KUTTA _______ 163 B.1 Definio do Passo h-------------------------------------------------------------------------- 163 B.2 Simulao de Passos h------------------------------------------------------------------------ 164 xiii APNDICE C____________________________________________________________ 165 DEFLEXO DAS VIGAS PELO MTODO DOS MOMENTOS DE REA__________ 165 C.1 Introduo-------------------------------------------------------------------------------------- 165 C.2 Teoremas Relativos as reas do Diagrama de Momentos------------------------------- 165 C.2.1 Primeiro Teorema ----------------------------------------------------------------------- 166 C.2.2 Segundo Teorema ----------------------------------------------------------------------- 168 C.3 Aplicao a Vigas em Balano -------------------------------------------------------------- 170 xiv Lista de Figuras Figura2.1(a)Deformaodevigadeseouniformeembalano;(b)Diagramadecorpo livre do elemento da viga. ------------------------------------------------------------------------ 5 Figura 3.1 Viga submetida a pequenos deslocamentos. ------------------------------------------10 Figura 4.1 Representao grfica do Mtodo de Euler Aperfeioado --------------------------19 Figura5.1Vigaembalanocomestreitamento,carregadacomumcarregamento uniformemente distribudo 0w . -----------------------------------------------------------------27 Figura5.2(a)configuraonodeformadadeumsegmentodecomprimentodearcodx0; (b) configurao deformada de dx0 ..-----------------------------------------------------------31 Figura 5.3 grfico de diversos casos de (x).. ----------------------------------------------------33 Figura 5.4 Viga em balano. (a) elemento original de rigidez varivel; (b) diagrama do momento 'eMdo sistema pseudolinear com a forma aproximada por trs segmentos de reta; (c) sistema pseudolinear equivalente de rigidez constante----------------------------36 Figura 5.5 Viga em balano.de seo constante--------------------------------------------------43 Figura 6.1 Elemento de viga. ------------------------------------------------------------------------48 Figura6.2(a)Configuraonodeformadadaviga;(b)Configuraodeformadadaviga; (c) inclinao na linha----------------------------------------------------------------------------51 Figura 6.3 Sentidos positivos dos momentos, rotaes, foras e deslocamentos nodais. ----53 Figura 6.4 Conveno de sinais usada na teoria elementar de viga. ----------------------------53 Figura 6.5 Elemento de viga submetido a um carregamento distribudo q(x). ----------------54 Figura6.6Elementodevigacomcarregamentouniformedistribudoeasforasnodais equivalentes.---------------------------------------------------------------------------------------56 Figura 6.7 Elemento de viga. ------------------------------------------------------------------------57 Figura 8.1 Viga em balano.de seo constante. --------------------------------------------------79 xv Figura 8.2 Viga em balano.com representao da deformada. ---------------------------------82 Figura 8.3 Viga em balano.com indicao de inicio do eixo x. --------------------------------84 Figura 8.4 'eMao longo da viga N de alumnio. -------------------------------------------------97 Figura 8.5 Viga em balano sujeita a carga distribuda.----------------------------------------- 110 Figura 8.6 Viga bi-apoiada sujeita a carga concentrada. ---------------------------------------- 112 Figura 8.7 Viga bi-apoiada sujeita a carga distribuda.------------------------------------------ 114 Figura 8.8 Viga em balano de seo constante. ------------------------------------------------- 116 Figura 8.9 Viga em balano de seo constante, representada em escala. ------------------- 118 Figura 8.10 Representao da viga deformada pelo carregamento P de 1,77 [N].---------- 120 Figura9.1VariaoporcentualentresoluoPseudolineareRunge-Kutta-vigaN1de alumnio. ----------------------------------------------------------------------------------------- 125 Figura9.2VariaoporcentualentresoluoPseudolineare Linear - viga N 1 de alumnio.-------------------------------------------- 126 Figura 9.3 Variao porcentual entre sol. Pseudolinear e Linear para viga N 2 de alumnio. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 130 Figura 9.4 Variao porcentual entre sol. MEF e Linear - viga N 2 de alumnio. --------- 131 Figura9.5Variaoporcentualentresol.Pseudolineare Linear para viga N 3 de ao. ------------------------------------------------ 134 Figura9.6Variaoporcentualentresol.Pseudolineare Linear - viga N 4 de ao. ------------------------------------------------------- 137 Figura9.7Variao porcentual entre sol. MEF e Linear - viga N 4 de ao. ------------------------------------------------------------------------------- 138 Figura9.8VariaoporcentualentrePseudolineareRunge-Kutta - viga N 5 de acrlico. -------------------------------------------------- 140 Figura9.9Variaoporcentualentresol.Pseudolineare Linear para viga N 5 de acrlico.------------------------------------- 141 Figura9.10Variaoporcentualentresol.Pseudolineare Linear - viga N 6 de acrlico. ------------------------------------------------ 144 xvi Figura 9.11 Variao porcentual entre sol. MEF e Linear - viga N 6 de acrlico. ------------------------------------------------------------------------ 145 Figura 9.12 Variao porcentual entre sol. MEF e Linear - viga em balano sujeita a carregamento distribudo.------------ 147 Figura 9.13 Variao porcentual entre sol. MEF e Linear - viga bi-apoiada sujeita a carregamento concentrado. ---------- 148 Figura 9.14 Variao porcentual entre sol. MEF e Linear - viga bi-apoiada sujeita a carregamento distribudo.-------------- 150 Figura9.15Comparaoporcentualdodeslocamentonapontadavigaentreas metodologias pseudolinear e linear, seo 0,01 x 0,04 [m] (pequenas sees) e 2,5 [m] de comprimento. -------------------------------------------------------------------------------- 154 Figura9.16Comparaoporcentualdodeslocamentonapontadavigaentreas metodologias pseudolinear e linear, seo 0, 1 x 0,3 [m] e 3 [m] de comprimento. --- 154 FiguraC.1(a)Vigasubmetidaaumcarregamentoarbitrrio;(b)diagramadavariaode EI M / ; (c) declividades nos pontos F e G; (d) tangentes linha elstica em F e G. - 165 Figura C.2 PontosPe 'Psituados entre F e G e separados de uma distnciadx . -------- 166 Figura C.3 Elemento de rea( )dx EI M . -------------------------------------------------------- 167 Figura C.4 rea limitada pelo diagrama( ) EI Me 1x a distncia do centride da rea at o eixo vertical que passa por F. --------------------------------------------------------------- 167 Figura C.5 Variao Viga em balano. ----------------------------------------------------------- 168 xvii Lista de Tabelas Tabela 7.1 Caractersticas da viga da soluo de Dorn & Mc Craken (1981). ----------------73 Tabela 7.2 Resultados comparativos Dorn & Mc Craken (1981) vs Dissertao. ------------74 Tabela 7.3 Caractersticas da viga da soluo Campos F (2001). ------------------------------74 Tabela 7.4 Resultados comparativos Campos F (2001) vs Dissertao. ----------------------75 Tabela 7.5 Caractersticas da viga da soluo de Fertis (1993). ---------------------------------76 Tabela 7.6 Resultados comparativos Fertis (1993) vs Dissertao. -----------------------------77 Tabela 7.7 Desvios Percentuais dos Resultados. --------------------------------------------------77 Tabela 8.1 Caractersticas das vigas de alumnio. -------------------------------------------------79 Tabela 8.2 Resultados da soluo linear - vigas de alumnio. -----------------------------------82 Tabela 8.3 Valores de - vigas de alumnio. -----------------------------------------------------84 Tabela 8.4 Dados para clculo dos deslocamentos - mtodo de Runge-Kutta. ----------------85 Tabela 8.5 Resultados do mtodo Runge-Kutta - vigas de alumnio.---------------------------92 Tabela 8.6 Condies iniciais para soluo pseudolinear - viga N 1 de alumnio -----------92 Tabela 8.7 Clculo de 'eM- viga N 1 de alumnio. Tabela 8.8 Resultados dos deslocamentos e deformaes angulares - vigas de alumnio.---98 Tabela 8.9 Resultados dos deslocamentos e deformaes angulares - vigas de alumnio.---99 Tabela 8.10 Caractersticas das vigas de ao.--------------------------------------------------- 100 Tabela 8.11 Resultados da soluo linear- vigas de ao.-------------------------------------- 101 Tabela 8.12 Valores de - vigas de ao. -------------------------------------------------------- 102 Tabela 8.13 Resultados do mtodo Runge-Kutta - vigas de ao.------------------------------ 102 Tabela 8.14 Resultados de deslocamentos e deformaes angulares - vigas de ao. ------- 103 Tabela 8.15 Resultados de deslocamentos e deformaes angulares - vigas de ao. ------- 104 Tabela 8.16 Caractersticas das vigas de acrlico.---------------------------------------------- 105 Tabela 8.17 Resultados da soluo linear - vigas de acrlico. --------------------------------- 106 xviii Tabela 8.18 Valores de - vigas de acrlico.--------------------------------------------------- 107 Tabela 8.19 Resultados do mtodo Runge-Kutta - vigas de acrlico. ------------------------- 107 Tabela 8.20 Resultados de deslocamentos e deformaes angulares para vigas de acrlico.108 Tabela 8.21 Resultados de deslocamentos e deformaes angulares para vigas de acrlico.109 Tabela 8.22 Caractersticas da viga em balano sujeita a carga distribuda. ----------------- 110 Tabela 8.23 Resultados obtidos pela soluo linear e pelo mtodo de elementos finitos. - 111 Tabela 8.24 Caractersticas da viga bi-apoiada sujeita a carga concentrada. ---------------- 112 Tabela 8.25 Resultados obtidos pela soluo linear e pelo mtodo de elementos finitos. - 113 Tabela 8.26 Caractersticas da viga bi-apoiada sujeita a carga distribuda. ------------------ 114 Tabela 8.27 Resultados obtidos pela soluo linear e pelo mtodo de elementos finitos. - 115 Tabela 8.28 Caractersticas da viga em balano sujeita a carga concentrada. --------------- 116 Tabela 8.29 Resultados obtidos pela sol. linear / MEF /mt. pseudolinear. ----------------- 117 Tabela 8.30 Caractersticas da viga de acrlico. ------------------------------------------------- 119 Tabela 8.31 Cargas P e tenses normais.--------------------------------------------------------- 119 Tabela 8.32 Resultados do ensaio prtico. ------------------------------------------------------- 120 Tabela 8.33 Resultados do equacionamento terico. ------------------------------------------- 121 Tabela 8.34 Desvios percentuais.------------------------------------------------------------------ 122 Tabela 9.1 Resultados da viga N 1 de alumnio. ----------------------------------------------- 124 Tabela 9.2 Desvio porcentual entre Runge-Kutta e Pseudolinear - viga N 1 de alumnio. 125 Tabela 9.3 Desvio porcentual entre Pseudolinear e Linear - viga N 1 de alumnio. ------- 126 Tabela 9.4 Resultados da viga N 2 de alumnio. ----------------------------------------------- 128 Tabela 9.5 Desvio porcentual entre Runge-Kutta e Pseudolinear - viga N 2 de alumnio. 129 Tabela 9.6 Desvio porcentual entre Pseudolinear e Linear - viga N 2 de alumnio. ------- 129 Tabela 9.7 Desvio porcentual entre MEF e Linear - viga N 2 de alumnio. ---------------- 131 Tabela 9.8 Resultados da viga N 3 de ao. ------------------------------------------------------ 132 Tabela 9.9 Desvio porcentual entre Runge-Kutta e Pseudolinear - viga N 3 de Ao. ----- 133 Tabela 9.10 Desvio porcentual entre Pseudolinear e Linear - viga N 3 de ao. ------------ 134 Tabela 9.11 Resultados da viga N 4 de ao. ---------------------------------------------------- 135 Tabela 9.12 Desvio porcentual entre Runge-Kutta e Pseudolinear - viga N 4 de Ao.---- 136 Tabela 9.13 Desvio porcentual entre Pseudolinear e Linear - viga N 4 de ao. ------------ 136 Tabela 9.14 Desvio porcentual entre MEF e Linear - viga N 4 de ao. --------------------- 138 Tabela 9.15 Resultados da viga N 5 de acrlico.------------------------------------------------ 139 Tabela 9.16 Desvio porcentual entre Runge-Kutta e Pseudolinear - viga N 5 de acrlico. 140 Tabela 9.17 Desvio porcentual entre Linear e Pseudolinear - viga N 5 de acrlico. ------- 141 xix Tabela 9.18 Resultados da viga N 6 de acrlico.------------------------------------------------ 142 Tabela 9.19 Desvio porcentual entre Runge-Kutta e Pseudolinear - viga N 6 de acrlico. 143 Tabela 9.20 Desvio porcentual entre Pseudolinear e Linear - viga N 6 de acrlico. ------- 144 Tabela 9.21 Desvio porcentual entre MEF e Linear - viga N 6 de acrlico.----------------- 145 Tabela 9.22 Desvio porcentual entre MEF e Linear - viga em balano sujeita a carregamento distribudo.--------------------------------------------------------------------------------------- 146 Tabela 9.23 Desvio porcentual entre MEF e Linear - viga bi-apoiada sujeita a carregamento concentrado. ------------------------------------------------------------------------------------- 148 Tabela 9.24 Desvio porcentual entre MEF e Linear - viga bi-apoiada sujeita a carregamento distribudo.--------------------------------------------------------------------------------------- 149 Tabela 9.25 Desvio porcentual entre MEF, linear e pseudolinear - viga de concreto em balano sujeita a carga concentrada. --------------------------------------------------------- 151 Tabela B.1 Resultados para diversos passos h - viga de acrlico. ----------------------------- 162 xx Simbologia Letras Latinas 'y ou dx dyprimeira derivada da funo) (x y M momento fletorNm r raio de curvatura m E mdulo de elasticidade longitudinalPa I momento de inrciam4 Area da seo transversalm2 0x coordenada medida ao longo do comprimento do arco deformado m P carregamento concentrado N B ponto na extremidade livre da viga no deformada 'Bponto na extremidade livre da viga deformada Aponto na extremidade engastada da viga x coordenada na direo do eixo da vigam ) (0x g variao de xEem relao ao valor referncia 1E) (0x f variao de xIcom relao ao valor referncia 1IL comprimento da vigam 0w carga distribudaN/m xh variao da altura da vigam xxi n estreitamento da viga yeixo perpendicular ao eixo da viga ' '22y ou dx y dsegunda derivada da funo) (x yqcarga uniformemente distribudaN/m zeixo perpendicular ao plano xy Nfuno de forma Vfora cortante Wcarregamento Letras Gregas deslocamento angular da vigarad deslocamento horizontal da vigam 2 2 uderivada parcial segunda de) , ( y x u deslocamento transversalm Superescritos lcomprimento Ttransposta Subscritos x direo ydireo xxii eelemento Abreviaturas geom.geomtrico mx.mximo dist.distribudo conc.concentrada Siglas IEMInstituto de Engenharia Mecnica PVIProblema de valor inicial LNLinha neutra MEFMtodo de Elementos Finitos PVCProblema de valor de contorno Captulo 1 INTRODUO 1.1 REVISO DA LITERATURA Aformadalinhaelsticadevigaspodeserobtidaatravsdasoluolinearizadada equaodiferencialno-lineardesegundaordem,comomostradoemlivrosdeResistncia dos Materiais (Beer & Johnston, 1995), Mecnica dos Materiais (Hibbeler, 1997) e Teoria da Elasticidade(Timoshenko&Goodier,1980).Istoemsetratandodeprojetosdeestruturas convencionais,comoporexemplo,nautilizaoemestruturasqueutilizammateriaiscomo ao e alumnio.Emprojetosestruturais,importanteminimizaropesodecadaelemento.Acrescente utilizao de materiais polimricos, que podem suportar grandes deslocamentos sem exceder olimiteelstico,levaauminteressenaanlisedeestruturasflexveis.Eventualmente,tais materiaispodemsubstituirosconvencionais.Defato,desdeofimdaSegundaGuerra Mundial,ocampodosmateriaisfoivirtualmenterevolucionadopeloadventodospolmeros sintticos(CallisterJr.,2002).Osmateriaissintticospodemserproduzidosabaixocusto. Suaspropriedadesmecnicas,emalgunscasos,sosuperioresaoutrosmateriaisde engenharia,poispossuem,tipicamente,baixasdensidadesepodemserextremamente flexveis. Em algumas aplicaes, peas metlicas podem ser substitudas por plsticos. 2Devidogeometriadasdeformaesdosmateriaispolimricos,ocomportamento dessasestruturasno-linear.Variaesnaseotransversalsofreqentementeutilizadas paraatenderosrequisitosdeforasepesos.Emalgunscasos,noprojetodeestruturas, engenheirosearquitetosusamelementosdeseotransversalvarivelparamelhorara estticaarquitetnica.Estruturascomcomportamentono-lineareseotransversalvarivel noadmitemautilizaodoprincipiodasuperposio,oquetornacomplexaasoluo (Fertis, 1993). interessante determinar se a linearizao da equao inicial que no linear, pode ser realmenteaplicadaparaoscasostradicionais.Paraosnovosmateriaisquevmsendo desenvolvidospelaengenharia,necessriodefinirquaismtodosdesoluopodemser utilizados.1.2 CONTEDO Nocaptulo1faz-seumarevisodaliteratura.Mostra-sequeexistemsolues simplificadasparaadeterminaodosdeslocamentosverticaiseangularesdeumaviga. Salienta-sequeparadeterminadosmateriais,taissoluespodemnofornecerresultados confiveis, sendo necessrio ento a utilizao de solues completas. Aconhecidateoriadaelsticadiscutidanocaptulo2,assimcomoosmtodos utilizados para obter sua equao. Nocaptulo3,aequaodiferencialno-lineardesegundaordemlinearizada. Considera-sepequenoodeslocamentoangularaqueavigaestsujeita.Portanto, desprezado na equao o termo que contm a declividade elevada ao quadrado, pois o mesmo temvalordesprezvelquandocomparadocomaunidade.Apstalsimplificao,aequao obtidapassaaserumaequaodiferenciallineardesegundaordem,queregeo comportamento da linha elstica para uma soluo linear. No captulo 4, a equao diferencial ordinria no-linear de segunda ordem, resolvida pelomtodonumricodeRunge-Kutta4Ordem.Asvantagensdasoluoatravsdetal mtodo so enumeradas, assim como a aplicabilidade do mesmo. 3Nocaptulo5,oproblemainicialno-linearresolvidousando-seumsistema pseudolinearequivalente,quepossuiumacurvadedeflexoigualaoproblemano-linear inicial.Quandoosistemapseudolinearequivalentederigidezconstanteobtido,ateoria elementardasdeflexeslinearespodeserusada.Osdeslocamentosverticaiseangulares obtidos,seroidnticosaquelesdoelementono-linearoriginalderigidezconstanteou varivel. No captulo 6, o mtodo de elementos finitos utilizado para a formulao do elemento devigasujeitoaflexo,umprogramacomputacionaldesenvolvidoparaaanliselineare no-linear de vigas. Nocaptulo7,oequacionamentodesenvolvidonoscaptulos3,4e5aplicadoem exemplos descritos pela bibliografia. A validao do desenvolvimento terico obtida atravs daverificaodosdesviosdesprezveisentreosresultadosfornecidosporesse equacionamento e os resultados da bibliografia. Nocaptulo8,asteoriasanteriormenteexpostassoaplicadasadiversosexemplos prticosdevigas.Osresultadosobtidossoanalisadosnocaptulo9,determinandoas condiesdeaplicaoparaosdiversostiposdeteoriaestudados.Soapresentadasainda sugestes para trabalhos futuros. O apndice A traz um algoritmo do mtodo de Runge-Kutta 4 Ordem, o apndice B faz uma discusso do passo h ideal na aplicao desse mtodo. O apndice C trata do mtodo dos momentos de rea na determinao dos deslocamentos de vigas. 4 Captulo 2 A TEORIA DA LINHA ELSTICA2.1 INTRODUO Fertis (1993) apresenta o seguinte histrico da teoria da elstica. A teoria que examina asdeformaeselsticasdevigasretassujeitasaumaf1exoeumprocessoclssico,foi desenvolvidonosculoXVIIIporJacobBernoulli,peloseuirmomaisnovoJohann BernoullieLeonhardEuler.Oprimeirotrabalhopublicadoqueserefereagrandes deslocamentos de elementos flexveis foi escrito por Euler em 1774. Euler, em seu trabalho, exps que a inclinaodx dyno pode ser omitida da expresso da curvatura, a menos que a deflexosejamuitopequena.EsteproblematambmfoianalisadoporLagrange.Como mostrado mais tarde por Plana, a soluo de Lagrange continha resultados errneos.AleideEuler-BernoulliextensivamenteusadaafirmaqueomomentofletorM inversamenteproporcionalaoraiodecurvaturar dacurvaproduzidapelaaodo carregamento, isto , EIMdxdr= =01 (2.1) 5onde E o mdulo de elasticidade longitudinal do material, I o momento de inrcia da seo transversal em relao linha neutra LN, a inclinao no ponto 0x , o qual medido ao longo do comprimento do arco como mostrado na Figura 2.1a. Em coordenadas retangulares ( x , y ), a Equao (2.1) escrita como EIMdxdydxy dr =(((

|.|

\|+=2322211(2.2) As Equaes (2.1) e (2.2) sero detalhadamente estudadas a seguir. Figura 2.1 (a) Deformao de viga de seo uniforme em balano; (b) Diagrama de corpo livre do elemento da viga. 62.2 - EQUAO DA LINHA ELSTICA A forma exata da deformada de um elemento flexvel chamada de elstica. Alguns problemassimplesdaelsticaforam,inicialmente,investigadosporBernoulli,Lagrange, EulerePlana.OutrassoluestambmforamobtidasporFresch-Fay(Fertis,1993).Uma viga flexvel em balano, de seo uniforme, sob a ao de um carregamentoPconcentrado na extremidade livre, mostrada na figura 2.1a. Aconfiguraoparagrandesdeformaesdavigaembalanocausadaporum carregamentoP ,tambmmostradanafigura2.la.Nota-sequenaextremidadelivre,o pontoBmove-se para o ponto 'Bdurante a deformao do elemento. O smbolo usado para denotar o deslocamento horizontal do pontoB . A viga considerada como inextensvel. Assim o comprimento do arco 'ABda deformada igual ao comprimento inicialAB . Usandoodiagramadecorpo(Almeida,Labegalini&Oliveira,1984)livrenafigura 2.1b, a expresso para o momento fletor xM, em 00 L x Px Mx = ( 2.3) Em coordenadas retangulares, a Equao de Euler-Bernoulli dada por () | |x xxI EMyy =+232' 1' '( 2.4) onde xE o mdulo de elasticidade longitudinal do material do elemento e xIo momento de inrcia da rea da seo transversal com relao linha neutra. Substituindo a Equao (2.3) na Equao (2.4) e assumindo queEeIso uniformes ao longo da viga, pode-se obter () | |EIPxyy=+232' 1' '( 2.5) A Equao (2.4) pode tambm ser escrita em termos de comprimento de arco 0x como x x xMdxdI E =00 0( 2.6) 7Usando a Equao (2.3) e assumindo queEeIso constantes, tem-se EIPxdxd=0(2.7) Derivando a Equao (2.7) uma vez com relao a 0x , onde cos0x x = , obtm-se cos202EIPdxd= (2.8) Considerando ) ( ) (0 0 1 1x f x g I E I Ex x= (2.9) onde) (0x g representaavariaode xE emrelaoaovalordereferncia 1E ,e) (0x frepresenta a variao de xIcom relao ao valor de referncia 1I .Derivando a Equao (2.6), obtm-se cos ) ( ) (000 0 1 10xVdxdx f x g I Edxd =)`(2.10) Para elementos de seo transversal uniforme e de material linearmente elstico, tem-se que0 , 1 ) ( ) (0 0= = x f x g . AsEquaes(2.5)e(2.8)soequaesdiferenciaisnolinearesdesegundaordem, cujassoluesexatasnosoatualmenteconhecidas.Soluesporintegraiselpticas completaseincompletasforamutilizadasporpesquisadores,comoporexemplo,Frisch-Fay (Fertis,1993).Emborasejammuitocomplicadas,elaspodemserusadasparasoluode problemassimplesdevigasuniformesenvolvendoapenascarregamentosconcentrados (Gradsnteym e Ryzhik, 1986). A dificuldade associada a este mtodo est no fato de que no pode ser aplicado a uma viga com carregamento distribudo e/ou com rigidez varivelEI . As solues de tais equaes, envolvendo sries de potncia, tambm so extremamente difceis de serem obtidas, pois a rotao expressa como uma funo de 0xpor utilizao de sries de Maclaurin, isto : 8..... ) ( ' ' '! 3) () ( ' '! 2) () ( ' ) ( ) ( ) (20200 0+ + + + = cc xcc xc c x c x (2.11) ondec opontoarbitrriotomadoaolongodocomprimentodoarcodoelemento deformado. A dificuldade na utilizao da aproximao por sries de potncia advm quedependedex e 0x ,oquetorna,conseqentemente,aequaodiferencialemumaequao integraldiferencialcujasoluoporanlisedesriesdepotnciaextremamentedifcil (Fertis, 1993). AssoluesdasEquaes(2.5)e(2.8)serodiscutidasemdetalhesnoscaptulos posteriores, onde os mtodos de soluo linear, mtodo numrico de Runge-Kutta, mtodo do sistemapseudolinearequivalenteeomtododoselementosfinitosseroutilizadosparaa soluo de tais problemas. 9 Captulo 3 FORMULAO LINEAR3.1 INTRODUO As Equaes (2.4) e (2.6) so equaes diferenciais de segunda ordem no lineares que expressam a forma exata da deformada da viga. Nas aplicaes convencionais, estas equaes solinearizadasdesprezando-seoquadradodainclinao 'y naEquao(2.4),cujovalor bemmenoremcomparaocomaunidade.Estalinearizaopermitida,quandose considerapequenoosdeslocamentosangulares,quandocomparadoscomocomprimentoda viga. 3.2 - ANLISE LINEAR DE UMA VIGA ENGASTADAA Equao (2.4), reproduzida abaixo, fornece a curvatura de uma curva plana. () | |x xxI EMyy =+232' 1' '(3.1) 10Neste caso, quando 'yfor pequeno quando comparado a unidade, tem-se que () | | 1 ' 1232 + y (3.2) Portanto, a Equao (3.1), pode ser reescrita como EIPxdxy d=22(3.3) AEquao(3.3)umaequaodiferenciallineardesegundaordem.Integrando-sea equao duas vezes em relao a x , so obtidos os deslocamentos e deformaes angulares.O procedimento para a determinao das deformaes de uma viga engastada mostrada na Figura 3.1 mostrado a seguir. Figura 3.1 Viga submetida a pequenos deslocamentos A primeira integrao da Equao (3.3) fornece = Pxdx dxdxy dEI22(3.4) ento, 122CPxdxdyEI + = (3.5) NaextremidadefixaL x = tem-seque0 = dx dy .Substituindoestacondiode contorno na Equao (3.5), vem que 11 1220 CPL+ = (3.6) ento, 221PLC = (3.7) Portanto, 2 22 2PL PxdxdyEI = (3.8) A integrao da Equao (3.8) escrita como dxPLdxPxdxdxdyEI2 22 2 = (3.9) resultando em 22 32 6Cx PL PxEIy + = (3.10) Aoutracondiodecontornoque,naextremidadefixaL x = ,ovalordeynulo, ento 23 32 60 CPL PL+ = (3.11) Portanto, 3 633 3 32PL PL PLC == (3.12) que substitudo na Equao (3.10) fornece 3 2 63 2 3PL x PL PxEIy + = (3.13) Pela teoria linear, portanto, a flechaye a declividadedx dyso expressas por 12 ||.|

\|+ =3 2 63 2 3L x L xEIPy (3.14) ||.|

\| + = =2 22 2L xEIPtgdxdy (3.15) 3.3 PRINCPIO DA SUPERPOSIOEsteprincpioafirmaqueoefeitoprovocadoemumaestruturapordeterminado carregamentocombinado,podeserobtidodeterminando-seseparadamenteosefeitosdos vrioscarregamentos,ecombinando-seosresultadosobtidos.Duascondiessefazem necessrias para a aplicao do princpio. Aprimeiracondiodeterminaquecadaefeitosejadiretamenteproporcionalcarga que o produziu. Asegundacondiodeterminaqueadeformaocausadaporqualquerdos carregamentos pequena e no afeta as condies de aplicao dos outros carregamentos. No caso de estado mltiplo de carregamentos, a primeira condio ser satisfeita se as tensesnoexcederemolimitedeproporcionalidadedomaterial,enquantoasegunda condioficasatisfeitaseastensesdeumadasfacesnocausarememoutrafacedo elemento deformao que possa alterar o clculo das tenses nessa segunda face. Para uma viga submetida a vrios carregamentos distribudos ou concentrados, torna-se convenientecalcularseparadamenteasflechasedeclividadesprovocadasgraasacadaum dos carregamentos e aplicar o princpio da superposio. A flecha e a declividade provocadas pelocarregamentototalsoentodeterminadaspelasomavetorialdosvaloresencontrados para cada carregamento isoladamente. 13 Captulo 4 FORMULAO NO-LINEAR MTODO DE RUNGE-KUTTA 4.1 INTRODUO Equaesdiferenciaisaparecemcomgrandefreqnciaemmodelosquedescrevem quantitativamentefenmenosemdiversasreas,comoporexemplo,mecnicadosfluidos, fluxodecalor,vibraes,reaesqumicasenucleares,economia,biologia,resistnciados materiais, etc. Seumaequaodiferencialtemapenasumavarivelindependente,entoelauma equao diferencial ordinria (Ruggiero e Lopes, 1997). Este o tipo de equao que surge no caso estudado neste trabalho. So exemplos de equaes diferenciais ordinrias, 0 122 2= + ++ =+ =y ' y ) y ( ' ' yy x ' yy xdxdy(4.1) 14Se a equao diferencial envolve mais que uma varivel independente, ento ela uma equao diferencial parcial, como por exemplo, 02222=+yuxu(4.2) sendoque) , ( y x u u = e 22 u indicaaderivadaparcialsegundade) , ( y x u emrelaos variveis x e y.A soluo de uma equao diferencial ordinria uma funo da varivel independente. Assim, i)y y dx dy = =' temcomo soluo xe a x y = ) ( ,R aii)0' ' '= u satisfeita para) ( ) (2x p x u = , onde) (2x p qualquer polinmio de grau 2. Isto ilustra um fato bem geral: uma equao diferencial possui uma famlia de solues e no apenas uma. Aequaodoexemplo(i)deprimeiraordem,aopassoqueadoexemplo(ii)de terceiraordem.Assim,ordemdeumaequaodiferencialamaisaltaordemdederivao que aparece na equao.Umaequaodiferencialordinriaditalinearseafunoesuasderivadasaparecem linearmente na equao. Assim,y x y x =' linear, e ) ( ' '0 ' ) 1 ( ' '2x f e uy y y yu= += + +(4.3) so no-lineares. Como ilustram os exemplos (i) e (ii), uma equao diferencial no possui soluo nica. Paraindividualizarumasoluo,tem-sedeimporcondiessuplementares.Emgeral,uma equao de ordemm requerm condies adicionais a fim de se ter uma nica soluo. Em princpio, estas condies podem ser de qualquer tipo, por exemplo, 15 6 ) 3 ( ' 5 ) 2 (5 ) 4 ( '1 ) 0 (= + ==y yyy(4.4) Se,dadaumaequaodeordemm,afuno,assimcomosuasderivadasatordem 1 m ,soespecificadasemummesmoponto,entotem-seumproblemadevalorinicial, PVI, como so os casos 1 ) 0 () ( '==yy x y(4.5) e 3 . 3 ) 0 ( ' ' ; 2 . 2 ) 0 ( ' ; 1 . 1 ) 0 () ( ) 1 ( ' cos ' ' ) 1 ( ' ' '2 2 2= = =+ + = + + +y y yy x sen y x y x xy y x y(4.6) Se, em problemas envolvendo equaes diferenciais ordinrias de ordemm,2 m , as m condies fornecidas para busca de soluo nica no so todas dadas num mesmo ponto, ento tem-se um problema de valor de contorno, PVC.UmexemplodeproblemadecontornoodeumavigadecomprimentoL sujeitaa umacargauniformeq .Se,noponto00 = x estavigaestaengastada,eemL xL = elaest somente apoiada, este problema descrito pelo seguinte problema de contorno, 0 ) ( ' ' ) (0 ) 0 ( ' ) 0 () ( ) () (= == == +L y L yy yq x ky x yiv(4.7) onde k uma constante que depende do material da viga. 16AocontrriodoqueocorrecomosPVI,comumqueproblemasdecontornono tenhamunicidadedesoluo.Porexemplo,paratodo R ,) 1 ( ) ( x x y + = soluodo PVC, 0 ) 1 ( ' 2 ) 1 (0 ) 1 (0 ' '= = =y yyy(4.8) 4.2 - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL A razo mais forte de se introduzir mtodos numricos para obter solues aproximadas deproblemasdevalorinicial,PVI,adificuldadedeencontrar,analiticamente,assolues da equao. Em muitos casos, a teoria garante existncia e unicidade de soluo, mas no se sabe qual a expresso analtica desta soluo.O mtodo de Runge-Kutta, que ser apresentado, se baseia no seguinte PVI (Ruggiero e Lopes, 1997) 0 0) () , ( 'y x yy x f y==(4.9) Constri-se nx x x ..., , ,2 1igualmenteespaados,emboranosejanecessrio,ouseja: h x xi i= +1,... , 1 , 0 = i. Calculam-se, em seguida, as aproximaes) (i ix y y nestes pontos, usando informaes anteriores.Separacalcular jy seusarapenas 1 jy ,omtododefinidoserpassosimplesou passo um. Porm, se forem usados mais valores, definido por mtodo de passo mltiplo.Trabalhando com PVI de primeira ordem, tem-se uma aproximao inicial) (0x ypara a soluo.Assim,osmtodosdepassoumsoclassificadoscomoauto-iniciantes.Jparaos 17mtodos de passo mltiplo deve-se lanar mo de alguma estratgia como, por exemplo, usar mtodos de passo simples na obteno das aproximaes iniciais necessrias. Outras caractersticas dos mtodos de passo simples so: i) em geral, deve-se calcular o valor de) , ( y x fe suas derivadas em muitos pontos; ii) apresentam dificuldades em estimar o erro.4.3 - MTODOS DE PASSO UM - MTODOS DE RUNGE-KUTTA Aidiabsicadestesmtodosaproveitarasqualidadesdosmtodosdesriede Taylor,eaomesmotempoeliminaradesvantagemqueconsistenoclculodederivadasde ) , ( y x f que,comosabe-se,tornaosmtodosdesriedeTaylor(RuggieroeLopes,1997) computacionalmente inviveis.Pode-sedizerqueosmtodosdeRunge-Kuttadeordemp secaracterizampelastrs propriedades: i) so de passo um;ii)noexigemoclculodequalquerderivadade) , ( y x f ,masapresentao inconveniente de calcular) , ( y x fem vrios pontos, e iii)apsexpandir) , ( y x f porTaylor,parafunodeduasvariveisemtornode ) , (n ny x eagruparostermossemelhantes,suaexpressocoincidecomadomtododesrie de Taylor de mesma ordem. 184.4 MTODO DE RUNGE-KUTTA DE 1 ORDEM MTODO DE EULER O mtodo de Euler um mtodo de srie de Taylor de 1 ordem, como ... , 2 , 1 , 0 ,'1= + =+n hy y yn n n(4.10) Ento, ... , 2 , 1 , 0 , ) , (1= + =+n y x hf y yn n n n(4.11) omtododeEulerquesatisfazastrspropriedadesmencionadasnoitemanteriorqueo caracterizam como um mtodo de Runge-Kutta de ordem1 = p .4.5 MTODO DE RUNGE KUTTA DE 2 ORDEM Serexposto,inicialmente,ummtodoparticularqueomtododeHeun,oumtodo de Euler aperfeioado, pois ele tem uma interpretao geomtrica bastante simples.Conformeoprprionomeindica,estemtodoconsisteemfazermudanasnomtodo de Euler para assim conseguir um mtodo de ordem mais elevada.Na figura 4.1 tem-se a representao grfica do Mtodo de Euler aperfeioado. 19 Figura 4.1 - Representao grfica do Mtodo de Euler aperfeioado Dada a aproximao) , (n ny x , supe-se a situao ideal em que a curva desenhada com linha cheia seja a soluo y(x) da equao. Isto s acontece em) , (0 0y x . Peloponto ) , (n ny x traadaareta 1L cujocoeficienteangular) , ('n n ny x f y = ,ou seja,) , ( ) ( ) ( ) ( :'1 1 n n n n n n ny x f x x y y x x y x z L + = + = (4.12) Assim, dado o passo h, tem-se 1 1 1 1) ( ) (+ += + =n n ny h x z x z (4.13) do mtodo de Euler, que pode ser denotado por 1 + ny (4.14) Seja, ) , ( ) , (1 1'+ += + + n n n n ny x hy y h x P (4.15) 20um ponto da reta L1. Por P traada a reta 2L ,| | ) , ( ) ( ) ( ) ( :' '2 2 n n n n n ny h y h x f h x x y h y x z L + + + + + = (4.16) cujo coeficiente angular ) , ( ) , (1 1'+ += + +n n n n ny x f y h y h x f (4.17) A reta pontilhada 0Lpassa porPe tem por inclinao a mdia das inclinaes das retas 1Le 2L ,ou seja, sua inclinao | |2) , ( ) , ('n n n n ny h y h x f y x f + + +(4.18) A retaLpassa por) , (n ny xe paralela reta 0L , donde | | 2 / ) , ( ) , ( ) ( ) ( :'n n n n n n ny h y h x f y x f x x y x z L + + + + = (4.19) O valor fornecido para 1 + nypelo mtodo de Euler aperfeioado ) ( ) (1 += +n nx z h x z , ou seja| | ,... 2 , 1 , 0 , ) , ( ) , (2'1= + + + |.|

\|+ =+n y h y h x f y x fhy yn n n n n n n(4.20) Estemtododepassoumesutilizaclculosde) , ( y x f ,noenvolvendosuas derivadas. Assim, para verificar se ele realmente um mtodo de Runge-Kutta de 2 ordem, deve-se verificar se sua frmula concorda com a do mtodo de srie de Taylor at os termos de 2 ordem emh , ) , ( ) , (2) , (2) , (2 21 n n x n n n n x n n n ny x f y x fhy x fhy x f h y y||.|

\|+||.|

\|+ + =+(4.21) com 21) ( ' ' '! 3) (121+=+nx nyhx e (4.22) NomtododeEuleraperfeioadodeve-setrabalharcom) , ('n n ny h y h x f + + . Desenvolvendo) , ( y x fpor Taylor em torno de) , (n ny x , | |2 2) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( 2 ) ( ) , (21) )( , ( ) ( ) , (n y y n n y x n xxn n n y n n n x n ny y f y y x x f x x fy y y x f x x y x f ) , y (x f (x , y) f + ++ + + = (4.23) com entrexe nxeentreye ny . Assim, ((

+ + ++ + + = + +2' '2' ') , ( ) , ( 2 ) , (2) , ( ) , (n y y n y x x xn n y n n x n n n n ny f y f fh y h y x f y x f ) , y (x f ) y h h , y (x fn (4.24) o mtodo de Euler aperfeioado fica {( ) ( ) ( ) | | } , ) , ( , ) , ( 2 ,2) , ( ) , ( ) , ( ) , (2221y y n n y x n n x xn n y n n n n x n n n n n nf y x f f y x f fhy x f y x f h y x f h y x f ), y (x fhy y+ ++ + + + + =+(4.25) ento, | |( ) ( ) ( ) | |. , ) , ( , ) , ( 2 ,4) , ( ) , ( ) , (22321 y y n n y x n n x xn n y n n n n x n n n nf y x f f y x f fhy x f y x f y x fh), y (x f h y y+ ++ + + + =+(4.26) Esta frmula concorda com a do mtodo de srie de Taylor at os termos de ordem 2h , provando assim ser um mtodo de Runge-Kutta de 2 ordem. 224.6 FORMA GERAL DOS MTODOS DE RUNGE-KUTTA DE 2 ORDEM Omtodo deEuler aperfeioado um mtodo de Runge-Kutta de segunda ordem que pode-se enquadrar a uma classe mais geral de mtodos do tipo, ) , ('2 1 2 1 1y h b y h b x f a h ), y x ( f a h y yn n n n n n n+ + + + =+(4.27) Para o mtodo de Euler aperfeioado, 1 ,211 ,212 21 1= == =b ab a(4.28) ParaobtenodaformageraldomtododeRunge-Kuttadesegundaordem,quatro parmetros livres 1a , 2a , 1be 2bsero utilizados. Para que haja concordncia com a srie de Tayloratostermosdeordem 1h necessrioapenasumparmetro.Considerandoagora ) , ('2 1 n n nhy b y h b x f + + calculadopelasriedeTaylorde) , ( y x f emtornode) , (n ny x ,v-se que, para haver concordncia desta frmula com a do mtodo de srie de Taylor at os termos de ordem 2hso necessrios mais dois parmetros, visto que h a considerar os termos xf h2 e yf h2.Oltimoparmetroqueresta,obviamente,nosuficienteparaqueseexija concordncia at os termos de ordem de 3h .Porm,comquatroparmetrosdisponveiseapenastrsexigncias,tm-seuma infinidade de mtodos de Runge-Kutta de 2 ordem.Como, em termos ) , ( ) , ( ) , () , (22 1'2 1 h y x f y x fh b ), y (x f h b y x fy h b y h b x fn n y n n n n x n nn n n+ + + =+ +(4.29) | | em termos32 1 21 1 h ) , y (x ) f , y (x h f b ) , y (x f hb ) , y (x f h a), y (x f h a y yn n y n n n n n n nn n n n+ + ++ + =+(4.30) 23Ento, em termos3 22 221 2 2 1 1 h ), y (x ) f , y (x f h ) b (a) , y (x f h ) b (a ), y (x f ) h a (a y yn n y n nn n x n n n n++ + + + =+(4.31) Assim, para haver concordncia com o mtodo de srie de Taylor at os termos em 2h preciso, conforme j foi observado, que 212112 21 22 1=== +b ab aa a(4.32) que fornece um sistema de trs equaes e quatro variveis.Escolhendo um dos parmetros arbitrariamente, como por exemplo02 = w a , tem-se w b bw a2112 11= = =(4.33) A forma geral dos mtodos de Runge-Kutta de segunda ordem , portanto, dada por .... , 2 , 1 , 0 , )) , (2,2( ) , ( ) 1 (1=((

+ + + + =+n y x fwhywhx f w y x f w h y yn n n n n n n n(4.34) 4.7 MTODOS DE RUNGE-KUTTA DE ORDENS SUPERIORES Deformaanloga,mtodosdeRunge-Kuttadeterceiraordem,quartaordem,etc, podemserobtidos.Nosprximositensseromencionadasasfrmulasparaosmtodosde Runge-Kutta de terceira e quarta ordens. 244.7.1 MTODO DE KUNGE-KUTTA TERCEIRA ORDEM )43,43()2,2() , (943192231213 2 1 1kyhx f h kkyhx f h ky x f h kk k k y yn nn nn nn n+ + =+ + ==+ + + =+(4.35) 4.7.2 MTODO DE KUNGE-KUTTA QUARTA ORDEM ( )) , ()2,2()2,2() , (2 2613 4231214 3 2 1 1k y h x f h kkyhx f h kkyhx f h ky x f h kk k k k y yn nn nn nn nn n+ + =+ + =+ + ==+ + + + =+(4.36) Deve-seatentaraofatodequeosmtodosdeRunge-Kutta,apesardeseremauto-iniciveis, pois so de passo um, e no trabalharem com derivadas de) , ( y x f , apresentam a desvantagemdenohaverparaelesumaestimativasimplesparaoerro,oqueinclusive poderia ajudar na escolha do passoh . 254.7.3 ALGORTMO No apndice A mostrado um algoritmo de uma rotina baseada em mtodos de Runge-Kuttapararesoluodeproblemasdevalorinicialquefoiutilizadanaobtenodos resultados apresentados neste trabalho. 26 Captulo 5 FORMULAO PSEUDOLINEAR EQUIVALENTE5.1 INTRODUO Neste captulo, o problema inicial da viga no-linear ser resolvido usando um sistema pseudolinearequivalentequepossuiumacurvadedeflexoigualaoproblemainicial.Em outraspalavras,oproblemano-linearinicialtransformadoemumsistemaquepodeser resolvidoaplicando-seaanliselinear.Avigapodetermomentodeinrciaemdulode elasticidadevarivelaolongodeseucomprimento,eaindacondiesvariveisde carregamento. O sistema pseudolinear equivalente sempre ser de rigidez uniforme ao longo docomprimento,masseucarregamentopodeservarivel.Autilizaodessametodologia simplifica as solues de problemas de grandes deslocamentos, como os que sero discutidos nos captulos 8 e 9.5.2 FORMULAO A obteno de um sistema pseudolinear equivalente de rigidez constante (Fertis, 1993), podeseriniciadaempregando-sealeideEuler-BernoullidadapelaEquao(2.4).Esta equao escrita novamente abaixo. 27 () | |x xxI EMyy =+232' 1' '(5.1) ondeomomentofletor xM ,mdulodeelasticidade xE ,eomomentodeinrcia xI ,so assumidos como variveis ao longo da viga. Figura 5.1 - Viga em balano com estreitamento, com carregamento uniformemente distribudo 0w . Acurvaturadoelemento,querepresentadapelotermodoladoesquerdodaEquao (5.1) de natureza geomtrica. Isto requer que os parmetros xM , xEe xI no lado direito da equao, tambm estejam associados com a configurao deformada do elemento. Quando o carregamentonoelementoconcentradoe/oudistribudo,e/ouomomentodeinrciada seotransversalvarivel,asexpressesparaestesparmetrosso,emgeral,integraisde Equaes no-lineares da deformao, e contm funes de deslocamento horizontal. Isto , o momentofletor xM ,profundidade xh doelemento,eomomentodeinrcia xI ,sotodos funesdex e 0x .Istofacilmenteobservadoaoseexaminaraconfiguraodeumaviga embalanoestreitanaextremidadelivre,comomostraaFigura5.1.Portanto,omomento fletor xM deveserdefinidocomrespeitoaosegmentodeformado.Poroutrolado,o 28carregamentosobreosegmentonodeformadodoelemento,nomodificaosegmento deformado. Na Figura 5.1 n a relao da variao da altura h. A rigidez varivel x xI E pode ser expressa como ) ( ) (1 1x f x g I E I Ex x= (5.2) onde) (x g representaavariaode xE comrespeitoaovalordereferncia 1E e ) (x f representa a variao de xIcom respeito ao valor de referncia 1I . Se o elemento possui E eI constantesportodooelemento,ento00 , 1 ) ( ) ( = = x f x g eEI I E I Ex x= =1 1.Neste caso, se preferido, a constanteEIpode ser tomada como o valor referente da rigidez 1 1I E ; no entanto, isto no obrigatrio.Por substituio da Equao (5.2) em (5.1), obtm-se () | |) ( ) (1' 1' '1 1 232x f x gMI Eyyx =+(5.3) Integrando-se duas vezes a Equao (5.3), a expresso para o deslocamento verticalypode ser escrito como | | + +)`+ =2 12321 1) ( ) () ' ( 11) ( C dx C dx dxx f x gMyI Ex yx(5.4) onde 1C e 2C soasconstantesdeintegraoquepodemserdeterminadasusando-seas condies de contorno do elemento.Para um elemento de rigidez constante 1 1I E , com comprimento e sistema de referncia idnticos aos usados pela Equao (5.4), a expresso para a deflexo eypode ser escrita como | | + +)`+ ='2'12321 1) ' ( 11C dx C dx dx M yI Eye e e(5.5) onde eM momentofletoremqualquerseotransversalx e '1C e '2C soconstantesde integrao. 29As curvas de deflexoye eydadas pelas Equaes (5.4) e (5.5), respectivamente, so idnticas se '1 1C C =e '2 2C C= (5.6) e | | | | )`+ =)`+ dx dx M y dx dxx g x fMye ex232232) ' ( 1) ( ) () ' ( 1 (5.7) AscondiesnaEquao(5.6)sosatisfeitasseosdoiselementosforemiguaisem comprimento e condies de contorno. A Equao (5.7) satisfeita se ' 'y ye =e se ) ( ) ( x g x fMMxe = (5.8) Nestas condies, tem-se | | | |) ( ) () ' ( 1 ) ' ( 1232232x g x fMy M yxe e+ = + (5.9) Parapequenasdeflexes,aEquao(5.9)sereduznaEquao(5.8),pois( )2 'ey e ( )2'y somuitopequenoscomparadoscomaunidade,portanto,podemseromitidos.Deste modo,parapequenasdeflexes,odiagramademomento eM dosistemaequivalente,de rigidezconstante 1 1 I E ,podeserobtidodaEquao(5.8).Damesmamaneiraparaafora cortante eVe carregamento eWque podem ser obtidos pela derivada da Equao (5.8), isto , ((

= =) ( ) () (x g x fMdxdMdxdVxe e(5.10) cos) ( ) (cos ) (22((

= =x g x fMdxdVdxdWxe e(5.11) onde1 cos parapequenasrotaes doelemento.Osistemaequivalente,derigidez constante,nestecasolinear,eateoriadepequenasdeflexeslinearespodeserusadapara solucion-lo. 30Quandoasdeflexeserotaessograndes,( )2 'y e( )2'ey ,nopodemseromitidos. AsEquaes(5.3)e(5.9)levamparaumaanlisedopseudolinearequivalente.Omomento 'eM dosistemapseudolinearequivalentederigidezconstante 1 1 I E deveserobtidoda equao | | | |xe xe eMx g x fZx g x fMy M y M) ( ) ( ) ( ) () ' ( 1 ) ' ( 1232232 '= + = + = (5.12) onde | |232) ' ( 1 y Ze+ = (5.13) e( )'y arctg = representa a inclinao do sistema no-linear inicial. Se00 , 1 ) ( ) ( = = x g x f , o sistema no-linear inicial ter uma rigidez uniformeI E .Aforacortante 'eV eocarregamento 'eW dosistemapseudolinearequivalentede rigidez constante pode ser determinado atravs da expresso: | |xee e eMx g x fZdxdM ydxdMdxdV((

= + = =) ( ) (' ) ' ( 1 ) ' (232 '(5.14) | | cos) ( ) (cos ' ) ' ( 1 cos ) ' (2223222'xee e eMx g x fZdxdM ydxdVdxdW((

= + = = (5.15) Quandoosistemapseudolinearequivalentederigidezconstanteobtido,ateoria elementardasdeflexeslinearespodeserusadapararesolv-lo.Asdeflexeserotaes obtidasseroidnticasdaquelasdoelementono-linearoriginalderigidezvarivel.Isto adequado,poisodiagramademomentoequivalente eM naEquao(5.8)corrigido, multiplicando-se este pela expresso| |232 ') ( 1 y + , como mostrado na Equao (5.12).A fim de simplificar a matemtica em considerao, os clculos de 'eVe 'eW , ou eVe eW ,ainclinaododiagramademomentorepresentadapelaEquao(5.12),oupela(5.8), pode ser aproximada por linhas retas criteriosamente selecionadas. Assim, o pseudolinear de rigidezconstante 1 1 I E sersemprecarregadoporpoucoscarregamentosconcentrados.Esta 31simplesaproximaopermiteasoluodeumalargaextensodecomplexosproblemasde deflexo,possibilitandoaobtenoderesultadosprecisos.Istotambmproduzumcaminho conveniente para a resoluo de problemas de grandes deslocamentos, onde a rigidezEIe os carregamentos variam arbitrariamente, ao longo do comprimento do elemento.5.3 CARREGAMENTO E RIGIDEZ NA GEOMETRIA DA DEFORMAOA fim de aplicar o mtodo discutido na Seo 5.2, deve-se notar que as expresses para omomentofletor xM eomomentodeInrcia xI sogeralmente,funesno-linearesde grandes deformaes do elemento, isto , ) , (0x x M Mx = (5.16) ) , (0 1x x f I Ix = (5.17) ondex a abscissa do eixo da configurao deformada do elemento, 0x o comprimento do arco do segmento deformado e 1I o momento de inrcia referencial. Tambm, deve-se notar aqui,queomomentofletorequivalente eM ,ou 'eM ,deveserdefinidocomarespectiva configurao deformada do elemento, onde a exata soluo para eM , eV e eW so funes do deslocamento horizontal) (x do elemento. Figura 5.2 - (a) configurao no deformada de um segmento de comprimento de arco 0dx ; (b) configurao deformada de 0dx. 32Objetivandoreduziracomplexidadedestesproblemas,expressa-seocomprimentodo arco) (0x x emtermosdedeslocamentohorizontal) (x doelemento,onde) ( 0 x L x , isto ) ( ) (0x x x x + = (5.18) Aexpressopara) (0x x umafunointegraldadeformao,quepodeserexpressa como | | dx x y x xx+ =020) ( ' 1 ) ( (5.19) AderivaodaEquao(5.18)podeseriniciadaconsiderando-seumsegmento 0dxantesedepoisdadeformao,comomostradonaFigura5.2.Aplicandooteoremade Pitgoras, | | | | | |2 2 20dy dx dx + = (5.20) Assumindo-se que ) (0x d dx dx + = (5.21) e substituindo na Equao (5.20), obtm-se | | | | | |2 2 2) ( dy dx x d dx + = + (5.22) ou| | { } dx x y x d dx212) ( ' 1 ) ( + = + (5.23) A integral da Equao (5.23) com o respectivoxpermite que: | | dx x y x xx+ = +02) ( ' 1 ) ( (5.24) a qual apresenta resultados idnticos aos das Equaes (5.18) e (5.19).Paravigasondepermitidoomovimentoemumadesuasextremidadesnadireo horizontal,talcomovigasembalano,vigassimplesmenteapoiadas,etc.,expresses 33aproximadas para a variao de ) (x podem ser usadas, facilitando a soluo do problema. Os casos de) (x investigados (Fertis, 1993), e que fornecem resultados mais precisos, so = = constante ) (x (5.25) 0) (Lxx = (5.26) 0) (Lxx = (5.27) ||.|

\| = 02sen ) (Lxx(5.28) ondeodeslocamentohorizontaldaextremidademvele) (0 = L L .Umgrficoda variao de) (x dado pelas Equaes (5.25) a (5.28) mostrado na Figura 5.3.0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,00,20,40,60,81,0(x) / x / Lo (x/L0) (x/L0)(0,5) sin(x/2L0) Figura 5.3 - Grfico de diversos casos de (x). 34Os diversos casos examinados por Fertis e Afonta, e Fertis e Lee (Fertis, 1993), indicam queumasoluorazovelcomumdesvioemtornodetrsporcentooumenor,podeser obtida usando-se a Equao (5.25). Isto significa que a variao do momento fletor) (x M , e conseqentemente a deformao do elemento, so dependentes das condies de contorno de ) (x naextremidademveldoelemento,einsensvelparaavariaode) (x entreas extremidadesdoelemento.Istoparticularmenteverdadequandoasdeformaessomuito grandes. Deve ser notado aqui que a Equao (5.25) uma fronteira superior, como indicado pelo grfico na Figura 5.3. A variao do momento de inrcia xIde um elemento flexvel, como j apresentado, tambm uma funo no-linear da deformao. Para elementos uniformes com estreitamento equepossuemapenascarregamentosconcentrados,avariaodaaltura) (x h doelemento pode ser aproximada pela expresso hL xnn x h((

+ =11) 1 ( ) ( (5.29) ondex aabscissadospontosdoeixodoelementonestaconfiguraodeformada,nrepresentaoestreitamento,h refere-sealtura,eL ocomprimentodoelementono deformado.OdesviodetrsporcentooumenorqueassociadoautilizaodaEquao (5.29)consideradopequenoparaaplicaesprticas.Sobreestaadoo,asoluodo elementoflexvelquepossuiapenascarregamentosconcentradosnorequerautilizaode Equaes integrais ou o uso das Equaes (5.25) a (5.28) (Fertis, 1993).5.4 VIGA EM BALANO DE SEO TRANSVERSAL VARIVELConsiderando uma viga em balano com estreitamento, como na Figura 5.4, que possui umcarregamentoconcentradoP ,naextremidadelivreB .OmdulodeelasticidadeE assumidocomoconstante,eomomentodeinrcia xI em) ( 0 L x ,ondeo deslocamento horizontal da extremidade livreB , dado pela expresso 35| | ) () 1 (1 ) (1230 03x f I xLnI x fh bIB B x=((

+ = = (5.30)onde 123h bIB = (5.31) | | { } dx y xx+ =02120) ( ' 1 (5.32) 30) 1 (1 ) (((

+ = xLnx f (5.33) sendoba largura constante do elemento euma varivel secundria dependente dex . Da Figura 5.4.a, o momento fletor xMpara cadaxa partir da extremidade livreC: Px Mx = (5.34) Substituindo as Equaes (5.30) e (5.34) na Equao (5.3), com1 ) ( = x g , vem que | || |30212232) ) ( ' ( 1) 1 (1) ' ( 1' ')`++ =+xBd yLnxI EPyy (5.35) A Equao diferencial (5.35) em funo de uma integral cuja soluo complexa.A soluo pode ser simplificada usando-se a expresso aproximada por) (x hdada pela Equao (5.29). Ento,) ( ) 1 ( 112133x f IL xnh bIx=((

+ = (5.36) 1231h bI IB = = (5.37) 3) 1 ( 1 ) (((

+ =L xn x f (5.38) 36 Figura 5.4 - Viga em balano: (a) elemento original de rigidez varivel; (b) diagrama do momento 'eMdo sistema pseudolinear com a forma aproximada por trs segmentos de reta; (c) sistema pseudolinear equivalente de rigidez constante. 37Desta forma substituindo-se na Equao (5.3), | |{ }33232 ) ( ) 1 () () ' ( 1' ' + =+L x nxI EL PyyB(5.39) IntegrandoaEquao(5.39),ondeparasedeterminaraconstantedeintegrao,a condio de contorno de rotao zero em) ( = L x considerada (Munem e Foulis, 1982). As seguintes constantes so definidas para simplificar a integrao, b La nAEIL PB= = = ) () 1 () (3(5.40) Portanto a Equao (5.39) torna-se, | || |3232) ' ( 1' 'b axxAyy+ =+(5.41) Fazendo a substituio z y = ' (5.42) na Equao (5.41), ( )| |32321'b ax xAzz+ =+(5.43) Fazendo dxdzz = ' (5.44) que substitudo em (5.43) e integrando uma vez membro a membro, 38 ( )| |dxb axxAzdzxxzz32320 01+ =+ (5.45) Cujos termos sero resolvidos separadamente. Resolvendo o 1 Termo de (5.45): Fazendo a seguinte substituio de variveis, d dztg z2sec ==(5.46) ento ( ) ( ) ( ) = = =+=+zzzzzzzzzzdd dtgdzdz0 0 0 0 0cossecsecsec1sec123222322232 (5.47) Portanto ( ) sen dzdzzzzz= =+ 0 0cos1232(5.48) Substituindo de volta: ( ) 21 sensentg z= = (5.49) Elevando ambos os termos ao quadrado: 39 ( )( )( )( )2122222 2 22 2 2 22 2 2 22 2 21111zzsensenzzsen z zsen z sen zsen sen z zsen sen z+==++ =+ == = (5.50) Portanto, ( )( )zzzzzzsenzdz0021223211+= =+ (5.51) Resolvendo o 2 Termo de (5.45): Multiplicando e dividindo por a, | | | |dxb axx aaAdxb ax xAxxxx + =+0 03 3(5.52) Somando e subtraindo b, | | | | | || | | | | | | | )`++ =)`+++)`+++ =+ + xxxxxxxxxxdxb ax bdxb axaAdxb ax bb axb axaAdxb ax bb axb axaAdxb axb b axaA0 0 00 03 2 3 33 3 31(5.53) Portanto, 40 | | | | | | )`++ =+ xxxxxxdxb ax bdxb axaAdxb axxA0 0 03 2 31(5.54) Resolvendo separadamente as duas integrais por partes, | |( )xxxxxxb ax aduuadx a du b ax u ondedxb ax0001 1 1122+ == + = +(5.55) e | |( )xxxxxxb x a abduuabdx a du b ax u ondedxb axb0002 33211++ == + = +(5.56) Ento, | |( )( )| | ( )(((

+ + =+(((

+++ =+xxxxxxxxxxb x a ab b x aaAdxb axxAb ax abb ax a aAdxb ax xA0000 02 32 322 221(5.57) Portanto, aps soluo do 2 Termo (5.57) e do 1 Termo (5.51), voltando em (5.45), 41 ( )| |( )( )( )( ) ( ) (((

+ + =+(((

++ =++ =+== === 2 2 22122021232322 22122 211000 0b b ab b ab x ab x aaAzzb ax ab b x aaAzzdxb axxAzdzx xb L xz zzxxzz(5.58) Denominando o ltimo termo) (x Q , por ( ) ( ) (((

++++=2 2 2 2 21 2) 1 2 (22) (a b aa bb ax ab axA x Q (5.59) Fazendo as substituies de volta das Equaes (5.40) em (5.59), ( )((

+ + =2 2 223) ( ) 1 ( 2) 1 2 () ( ) 1 ( ) 1 ( 2) ( ) 1 ( 2 ) () (n L nnL x n nL x nEIL Px QB(5.60) Substituindo (5.60) em (5.58), ( )( )) (' 1') (1212212x Qyyx Qzz=+=+(5.61) Elevando ambos os termos ao quadrado, 42 ( ) | |2122 2 22 2 2 22 2 2 2) ( 1) (') ( ) ) ( 1 ( ') ( ' ) ( '' ) ( ) ( 'x Qx Qyx Q x Q yx Q y x Q yy x Q x Q y== = + =(5.62) Portanto, | | { }212) ( 1) () ( 'x Qx Qx y= (5.63) Onde, ( ) (((

+ + =2 2 2 23) ( ) 1 ( 2) 1 2 () ( ) 1 ( ) 1 ( 2) ( ) 1 ( 2 ) () (n L nnL x n nL x nEIL Px QB(5.64) SendoodeslocamentohorizontalnaEquao(5.63)desconhecido.Ovalorde pode ser determinado a partir da Equao,| | + =Ldx y L0212) ' ( 1 (5.65) peloprocessodetentativaeerro,isto,assume-seumvalorparanaEquao(5.63)e integra-se a Equao (5.65) para determinar o valor do comprimentoL . O procedimento deve serrepetidoparavriosvaloresde,atqueocorretocomprimentoL sejaobtido. Conhecido o, os valores de 'yem) ( 0 L xpodem ser obtidos pelo uso da Equao (5.63).Destemodo,conhecido 'y ,osvaloresdequalquerx dodiagramademomento 'eMdosistemapseudolinearderigidezconstante BI E ,podeserdeterminadousando-sea Equao (5.12). 435.5 VIGA EM BALANO DE SEO TRANSVERSAL CONSTANTEPara o caso de uma viga em balano de seo constante, pode-se obter 'ye conforme abaixo. Figura 5.5 - Viga em balano de seo constante. ParaaFigura5.5,faz-seaintegraodaEquao(2.5),quereproduzidanovamente como () | |I Ex Pyy=+232' 1' '( 5.66) Fazendo a substituio, z y = ' (5.67) em (5.66), ( )I E x Pzz=+2321'(5.68) Tem-se que, 44 dxdzz = ' (5.69) Substituindo em (5.68) e integrando uma vez membro a membro, ( )dxEIPxzdzxxzz =+0 02321(5.70) Resolvendo os termos separadamente, Resolvendo o 1 Termo de (5.70). Fazendo a seguinte substituio de variveis, d dztg z2sec ==(5.71) ento, ( ) ( ) ( ) = = =+=+zzzzzzzzzzdd dtgdzdz0 0 0 0 0cossecsecsec1sec123222322232 (5.72) Portanto, ( ) sen dzdzzzzz= =+ 0 0cos1232(5.73) Substituindo de volta, ( ) 2sen 1sen= = tg z (5.74) Elevando ambos os termos ao quadrado: 45 ( )( )( )( )2122222 2 22 2 2 22 2 2 22 2 21111zzsensenzzsen z zsen z sen zsen sen z zsen sen z+==++ =+ == = (5.75) Portanto, ( ) ( )zzzzzzsenzdz00 2122321 1 += =+ (5.76) Resolvendo o 2 Termo de (5.70). dx xEIPdxEIPxxxxx =0 0(5.77) Portanto, (((

=xxxxxEIPdx xEIP0022(5.78) Ento, aps a soluo do 2 Termo (5.78) e do 1 Termo (5.76), voltando em (5.70), 46 ( )( )( )( )(((

=+(((

=+=+= === 2 212112 221220212232000 0L xEIPzzxEIPzzdx xEIPzdzx xL xz zzxxzz(5.79) Chamando de) (x Go segundo termo. ( ) | |2 22) ( = L xI EPx G (5.80) Substituindo (5.80) em (5.79), ( )( )) (' 1') (1212212x Gyyx Gzz=+=+(5.81) Elevando ambos os termos ao quadrado, ( ) | |2122 2 22 2 2 22 2 2 2) ( 1) (') ( ) ) ( 1 ( ') ( ' ) ( '' ) ( ) ( 'x Gx Gyx G x G yx G y x G yy x G x G y== = + =(5.82) Portanto, 47 | | { }212) ( 1) () ( 'x Gx Gx y= (5.83) Onde, ( ) | |2 22) ( = L xEIPx G (5.84) Agora,agrandedeformaoyem 00 L x podeserobtidaintegrandoaEquao (5.83)eimpondocondiodecontornodedeslocamentoverticalzeroem 0L x = ,paraa determinaodaconstantedeintegrao.Noentanto,estaEquao) (x G em(5.84)uma funo do deslocamento horizontal desconhecido da extremidade livre da viga. O valor de pode ser determinado a partir da Equao: | | dx y LL2102 0) ' ( 1+ = (5.85) porumprocessodetentativaeerro.Isto,assume-seumvalordenaEquao(5.83)e ento integra-se a Equao (5.85) para se determinar o comprimentoL . O procedimento deve ser repetido para vrios valores de at o valor correto deLser obtido. Conforme descrito anteriormente, os valores de y podem ser determinados atravs da Equao (5.12) e da teoria elementar das deflexes lineares. 48 Captulo 6 ELEMENTO FINITO DE VIGA 6.1 INTRODUO A formulao do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) para o elemento de viga sujeito flexo apresentada neste captulo. O elemento de viga mostrado na Figura 6.1 considerado reto com rea da seo transversal A, momento de inrcia I da rea da seo transversal em relao ao eixo centroidal paralelo ao eixo z (perpendicular ao plano xy), comprimentole mdulo de elasticidade longitudinal E. O material considerado linear e elstico. Figura 6.1 Elemento de viga. Cada n do elemento tem um deslocamento transversal na direo y e uma rotao em torno do eixo z. O elemento de viga tem, no total, quatro graus de liberdade. 496.2 FUNO DE DESLOCAMENTO TRANSVERSAL Os deslocamentos transversais so 1ye 2ye as rotaes 1 e 2 . As foras nodais so representadas por yf1 e yf2 e os momentos por 1me 2m , como mostrado na Figura 6.1, a equao diferencial da viga (Oliveira, 2006) 0) (44=dxx y dEI (6.1) onde) (x y a funo de deslocamento transversal na direo do eixo y. A funo de deslocamento transversal pode ser expressa como 3423 2 1) ( x a x a x a a x y + + + = (6.2) e pode ser colocada como uma funo dos graus de liberdade nodais 1y , 1 , 2ye 2 . O nmero de termos no polinmio deve ser igual ao nmero de graus de liberdade do elemento. Esta funo preserva a continuidade das deflexes, mas no das inclinaes ao longo da superfcie do elemento. Para fins prticos, entretanto, em muitos casos, a preciso da soluo baseada na equao (6.2) aceitvel (Ugural, 1981). Utilizando a equao (6.2) tem-se, nos pontos nodais, que ( )( )( )( )24 3 2 23423 2 1 22 11 13 200l lll l l la a adxdya a a a y yadxdya y y+ + = =+ + + = == == =(6.3) A soluo para) 4 . . , 1 ( = i ai do sistema formado pelas equaes (6.3) 2223121342 221 1231 21 11 2 1 21 3 2 3 l l l lllll+ + = + ===y y ay y aay a (6.4) 50Levando os valores de iada equao (6.4) na equao (6.2), tem-se que ( ) ( ) ( ) ( )32 122 1322 1 2 121 11 221 3) ( x y y x y y x y x y((

+ + +((

+ + + = l lll ou, ( ) ( )13 2 2 3313 2 33213 21) ( l l lll llx x x y x x x y + + + =( ) ( )22 2 3322 3313 21 l llllx x y x x + + + (6.5) Denotando por ( )( )( )( )2 2 3342 3333 2 2 3323 2 33113 21213 21l lllll l lll llx x Nx x Nx x x Nx x N =+ =+ =+ =(6.6) a equao (6.5) pode ser escrita como 2 4 2 3 1 2 1 1) ( N y N N y N x y + + + =(6.7) onde, na formulao isoparamtrica do MEF, 1N , 2N , 3Ne 4Nso chamadas de funes de forma para o elemento de viga (Zienkiewicz, 1989). A equao (6.7) pode ser colocada como | |)`=22114 3 2 1) (yyN N N N x y(6.8) Chamando de| | Na matriz formada pelas funes de forma e fazendo 51{ })`=2211yyde (6.9) pode-se expressar a equao (6.8) na forma matricial como | | { }ed N x y = ) ( (6.10) onde, | | | |4 3 2 1N N N N N = (6.11) 6.3 RELAO DEFORMAO-DESLOCAMENTOA relao deformao-deslocamento axial deduzida como sendo ( )dxduy xx= , (6.12) onde u a funo de deslocamento axial. Figura 6.2 (a) Configurao no deformada da viga; (b) Configurao deformada da viga; (c) inclinao na linha. 52Considerando a configurao deformada da viga mostrada na Figura 6.2.b, a relao do deslocamento axial com o deslocamento transversal dxx dyy u) ( = (6.13) Vale relembrar a hiptese bsica da teoria elementar de viga que a seo reta da viga (tal como a seo ABCD mostrada na Figura 6.2.b) que plana antes da deformao devido a flexo permanece plana aps a deformao. Esta seo em geral gira de um ngulodx x dy ) ( . A substituio da Equao (6.13) na Equao (6.12), obtm-se ( )22) (,dxx y dy y xx = (6.14) Da teoria elementar de viga, o momento de flexo e a fora de cisalhamento so (Beer e Johnston, 1995), 3322) ( ) (dxx y dEI Qdxx y dEI M = = (6.15) 6.4 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE VIGA Em todos os ns da viga, usaremos as seguintes convenes de sinais: - Os momentos so positivos no sentido anti-horrio; - As rotaes so positivas no sentido anti-horrio; - As foras so positivas no sentido positivo do eixo y; - Os deslocamentos so positivos no sentido positivo do eixo y. Os sentidos positivos dos momentos, rotaes, foras e deslocamentos nodais so mostrados na Figura 6.3 53 Figura 6.3 Sentidos positivos dos momentos, rotaes, foras e deslocamentos nodais. A conveno de sinais usada na teoria elementar de viga para as foras positivas de cisalhamento Q e para os momentos positivos de flexo M mostrada na Figura 6.4. Figura 6.4 Conveno de sinais usada na teoria elementar de viga. Aplicando as Equaes (6.5) e (6.15), podemos obter as foras de cisalhamento e os momentos de flexo nodais, como ( )( )( )( )( )( )( )( )222 1213 222 22 2 1 13 332 2222 1213 221 12 2 1 13 331 14 6 2 66 12 6 122 6 4 606 12 6 120 l l l llll llll l l lll ll+ + = = = + = = =+ + = = =+ + = = =y yEIdxy dEI M my yEIdxy dEI Q fy yEIdxy dEI M my yEIdxy dEI Q fyy(6.16) Colocando a Equao (6.16) na forma matricial, vem { })`(((((

= =)`22112 22 2322114 6 2 66 12 6 122 6 4 66 12 6 12yyEIfmfmfeyyl l l ll ll l l ll ll(6.17) 54sendo que ||(((((

=22 234 .6 122 6 46 12 6 12lll l ll llSimEIKe(6.18) a matriz de rigidez do elemento de viga. 6.5 MTODO DO TRABALHO EQUIVALENTE Quando o elemento de viga recebe carregamento distribudo, este deve ser substitudo por foras e momentos nodais de tal forma que provoquem o mesmo efeito na viga quando submetida ao carregamento distribudo real. O mtodo do trabalho equivalente ser aplicado para substituir a carga distribuda por um conjunto de cargas concentradas nodais. Esse mtodo baseado no conceito de que o trabalho do carregamento distribudo igual ao trabalho de cargas concentradas equivalentes para deslocamentos nodais equivalentes. O mtodo do trabalho equivalente usado a seguir para o elemento de viga submetido a um carregamento distribudo) (x qmostrado na Figura 6.5. Figura 6.5 Elemento de viga submetido a um carregamento distribudo) (x q . O trabalho devido ao carregamento distribudo =l0.) ( ) ( dx x y x q Wdist(6.19) O trabalho devido s foras nodais concentradas 55 2 2 1 1 2 2 1 1 .y f y f m m Wy y conc+ + + = (6.20) As foras e momentos nodais podem ser determinados fazendo . . conc distW W = . Usando as Equaes (6.19) e (6.20) com . . conc distW W = , tem-se que + + + = l02 2 1 1 2 2 1 1) ( ) ( m m y f y f dx x y x qy y(6.21) Usando a Equao (6.5) e com) (x q =constante, iremos obter o trabalho devido ao carregamento uniformemente distribudo como, ( )( ) ( ) ( )2 122 1 2 122 1 12104 2232) ( ) ( + + + + = l l lllllq y y q qy y q q y q dx x y x q(6.22) Igualando as Equaes (6.21) e (6.22) com11 = y ,02 = y ,01 = e02 = teremos 2 21l ll l q q q q fy = + = (6.23) Analogamente, fazendo01 = y ,12 = y ,01 = e02 = , tem-se que 2 22l ll q q q fy = + = (6.24) Fazendo, agora, todos os deslocamentos iguais a zero exceto, primeiramente, para 1e, posteriormente, para 2 , obtemos 12 4 3222 2221l lllq q q q m = + = (6.25) 12 4 32 2 22l l lq q q m = = (6.26) A Figura 6.6 ilustra o elemento de viga com carregamento uniforme distribudo e as foras nodais equivalentes. 56 Figura 6.6 Elemento de viga com carregamento uniforme distribudo e as foras nodais equivalentes. 6.6 ENERGIA POTENCIAL O princpio da energia potencial mnima pode ser usado para determinar a matriz de rigidez do elemento de viga. A energia potencial total de um elemento V Up = (6.27) onde a energia de deformao U para uma viga dada por dV Ux xV =21(6.28) e a energia potencial devido a carregamento distribudo e cargas nodais concentradas por ( ) ( ) = =+ + =Si ii i i iy yM y F dS x y x P V2121 (6.29) O primeiro termo do lado direito da Equao (6.29) representa a energia potencial devido ao carregamento transversal distribudo) x ( Py. Considere um elemento de viga como mostrado na Figura 6.7. 57 Figura 6.7 Elemento de viga. O diferencial de volume dx dA dV =(6.30) e o diferencial de rea sobre a qual age as foras de superfcie dx b dS = (6.31) onde b a largura constante da viga. Levando as Equaes (6.30) e (6.31) nas Equaes (6.28) e (6.29), a expresso da energia potencial total, Equao (6.27), torna-se ( ) ( ) ( ) =+ = x Aii i i iy y A x x pM y F dx x y x P b dx dl02121 (6.32) A derivada de segunda ordem do deslocamento transversal) (x y ( )( ) ( ) ( ) ( ) | |222 1213 222 6 12 6 4 6 6 121 l l l l l ll + + + = x y x x y xdxx y d(6.33) que na forma matricial, torna-se ( ))`(((

=2211323 323 222 6 12 6 4 6 6 12yyx x x xdxx y dll lllll lll (6.34) ou simplesmente, 58 ( )| | { }ed Bdxx y d=22 (6.35) sendo | |(((

=323 3232 6 12 6 4 6 6 12ll lllll lll x x x xB(6.36) Levando a Equao (6.35) na Equao (6.14) a qual relaciona a deformao com o deslocamento, a deformao xem termos dos deslocamentos e rotaes nodais expressa como | |{ }e xd B y = (6.37) A relao tenso-deformao dada por { } ||{ }e eD =(6.38) sendo que para o elemento de viga, tem-se { }x e = (6.39a) || | | E E D = = (6.39b) e { }x e =(6.39c) Inserindo a Equao (6.37) na Equao (6.38) com o uso das Equaes (6.39b) e (6.39c), obtm-se { } | || |{ }e ed B E y = (6.40) ou { } { } | | | | { } | | E B d y E B d yT TeT T TeTe = = (6.41) A energia potencial total, Equao (6.32), pode ser colocada como 59{ } { } ( ) { } { } = ll0 0.) (21AconceTe y eTe pf d dx x y x bP dx dA (6.42) Substituindo as Equaes (6.37) e (6.41) na Equao (6.42), vem que, { } | | | |{ } ( ) { } { } = AconceTe eT Te pf d dx x y x q dx dA d B B d E yl l0. 20) (21(6.43) e, usando a Equao (6.10), tem-se que { } | | | |{ } ( ){ } | | { } { } = AconceTeT Te eT Te pf d dx N d x q dx dA y d B B dEl l0. 20 2(6.44) Usando a definio de momento de inrcia de rea como =AdA y I2(6.45) a energia potencial p expressa como uma funo de{ }ed . Com E e I constantes, a Equao (6.44) torna-se { } | | | |{ } ( ){ } | | { } { } = l l0 0.2conceTeT Te eT Te pf d dx N d x q dx d B B dEI(6.46) Diferenciando o funcional p(Bathe, 1996) da Equao (6.46) com relao aos deslocamentos nodais 1y , 1 , 2y e 2e igualando a zero cada uma das equaes para minimizar p , iremos obter um sistema de quatro equaes que escritas na forma matricial tornam-se | | | | { } ( ) | | { } = ||.|

\| l l0.00conceTeTf dx N x q d dx B B EI (6.47) Representando o vetor fora nodal total como a soma das foras nodais devido ao carregamento distribudo e das foras nodais concentradas, temos que { } ( ) | | { }+ =l0. conceTef dx N x q f (6.48) 60onde a soluo da integral que aparece na Equao (6.48) resulta no vetor de cargas nodais equivalentes ao carregamento distribudo) (x q . O resultado dessa integral, no caso em que q ) x ( q = = constante, pode ser confirmado como mostrado na Seo 6.5 pelo mtodo do trabalho equivalente. Usando a Equao (6.48), a Equao (6.47) torna-se | | | | { } { }e eTf d dx B B EI =||.|

\|l0(6.49) Desde que{ } | | { }e e ed K f = , identificamos pela Equao (6.49) que|| | | | |=l0dx B B EI KTe(6.50) Com o uso da Equao (6.36), a matriz eK] [da Equao (6.50) pode ser avaliada na forma explcita como ||(((((

=22 234 .6 122 6 46 12 6 12lll l ll lSimLEIKe(6.51) a qual representa a matriz de rigidez do elemento de viga. 6.7 MTODO CLSSICO PARA OBTENO DE [K]E Cada deslocamento nodal do elemento de viga tem duas componentes: uma deflexo y na direo do eixo y e uma rotao na direo do eixo z, conforme Figura 6.1. A rotao relacionada com a inclinao como dxdy= (6.52) Como o vetor de deslocamentos nodal para o elemento de viga 61{ })`=2211yyde(6.53) A funo de deslocamento que define a deflexo de um ponto qualquer do elemento escolhida, como na Seo 6.2, ser um polinmio de terceira ordem da forma 3423 2 1) ( x a x a x a a x y + + + =(6.54) A Equao (6.54) aplicada para os quatro deslocamentos nodais 1y , 1 , 2ye 2como 22 4 2 3 2 2232 422 3 2 2 1 221 4 1 3 2 1131 421 3 1 2 1 13 2 03 2 0x a x a adxdyx a x a x a a yx a x a adxdyx a x a x a a ynn+ + + = =+ + + =+ + + = =+ + + =(6.55) As Equaes (6.55) podem ser colocadas na forma matricial como )`((((((

=)`432122 23222 221 13121 122113 2 1 013 2 1 01aaaax xx x xx xx x xyy (6.56) ou, concisamente { } | |{ }e ea C d =(6.57) sendo que | |((((((

=22232222211312113 2 1 013 2 1 01x xx x xx xx x xC (6.58) 62Os parmetros iapodem ser relacionados atravs da Equao (6.57) como { } | |{ }e ed C a1 = (6.59) A Equao (6.58) mostra que a matriz| | C dependente apenas das coordenadas dos pontos nodais do elemento. A Equao (6.54) pode ser reescrita como | |)`=43213 21 ) (aaaax x x x y (6.60) ou | | { }ea P x y = ) ((6.61) sendo que| | | |3 21 x x x P = (6.62) A substituio da Equao (6.59) na Equao (6.61) fornece | | | | { }ed C P x y1) (=(6.63) Usando a Equao (6.62), a substituio da Equao (6.54) na Equao (6.14) resulta em | | { } ( )e xa Pdxdydxy dy222 = = ou seja | | { }e xa x y 6 2 0 0 = (6.64) Fazendo | | | | x H 6 2 0 0 =(6.65) 63a Equao (6.64) torna-se | | { }e xa H y = (6.66) A relao deformao-deslocamento obtida com a substituio da Equao (6.59) em (6.66) resultando em | | | | { }e xd C H y1 = (6.67) Comparando a Equao (6.37) com a Equao (6.67), identificamos que | | | | | |1 = C H B (6.68) Com o uso das Equaes (6.38) e (6.67), o funcional p da Equao (6.42) pode ser representado por ||| || |{ } ( ) | || | { } ( ) { } { } = ll0 0. 1 1) ( ) (21AconceTe y eTe pf d dx x y x bP dx dA d C H y d C H D yUsando as Equaes (6.10) e (6.68) e como|| ||TD D = , { } | | ||| |{ } ( ) { } | | { } { } = l0. 221conceTeT Te yVeT Te pf d dx N d x bP dV d B D B d yFazendo|| || D y D2 *=tem-se que { } | | || | | { } { } ( )| | { } { }.0*21conceTeTyTe eVT Te pf d dx N x bP d d dV B D B d ||.|

\|||.|

\|= l que minimizado com relao a{ }edresulta em | | || | | { } ( )| | { }.0* conceTy eVTf dx N x bP d dV B D B + =||.|

\| l fornecendo| | { } { }e e ef d K = , sendo que 64|| | | || | |=VTedV B D B K*(6.69) Para um elemento de viga de comprimentol , a matriz| | Cda Equao (6.58) | |(((((

=((((((

=23 222 23222 221 13121 13 2 1 010 0 1 00 0 0 13 2 1 013 2 1 01l ll l lx xx x xx xx x xC (6.70) A inversa de| | C | |(((((((

=2 3 2 32 211 2 1 21 3 2 30 0 1 00 0 0 1l l l lllllC (6.71) Substituindo as Equaes (6.65) e (6.71) na Equao (6.68), tem-se que | |(((

=323 3232 6 12 6 4 6 6 12ll lllll lll x x x xB (6.72) Inserindo a Equao (6.72) na Equao (6.69) com|| E y D2 *=edx dA dV = , a integrao fornece ||(((((

=22 234 .6 122 6 46 12 6 12lll l ll llSimI EKe(6.73) que a matriz de rigidez do elemento de viga para anlise linear. 6.8 ANLISE LINEAR POR MEF A expresso da Equao (6.17) leva a 65 | | { } { }e e ef d K =(6.74) para o equilbrio de foras nodais do elemento. A equao que governa a viga inteira ||{ } { } F X K = (6.75) onde || ||=NlineareK K1e{ } { }=Nef F1 (6.76) sendo que||lineareK a matriz encontrada pela Equao (6.73). A matriz de rigidez global|| Kda viga e o vetor de fora nodal global{ } Fso determinadas pela superposio das matrizes de rigidez e do vetor de foras nodais de todos os Nelementos, respectivamente. O procedimento geral para a soluo de problemas de vigas pelo MEF pode ser resumido atravs dos seguintes passos: (1) Determinar||lineareKatravs da Equao (6.73) em termos das propriedades do elemento. Gerar|| ||=NlineareK K1 (2) Determinar{ }efatravs da Equao (6.23) Equao (6.26) em termos das cargas concentradas e equivalentes. Gerar{ } { }=Nef F1 (3) Determinar os deslocamentos nodais{ } Xda Equao (6.75) satisfazendo as condies de contorno. Gerar os deslocamentos nodais a nvel de elemento{ }ed . (4) Determinar a tenso xnos elementos atravs da Equao (6.40). 666.9 ANLISE NO-LINEAR POR MEF Para grandes deflexes da viga, o plano mdio sofre deformaes durante a flexo. A relao deformao-deslocamento, nestes casos, dada por (Ugural, 1981), 221|.|

\|+ =dxdydxdux (6.77) A deformao no plano mdio do elemento representada por 221|.|

\|= =dxdyx (6.78) Pela lei de Hooke, a tenso no plano mdio e a deformaoso relacionadas por E = (6.79) Usando a Equao (6.54), podemos escrever que 24 3 23 2 0 x a x a adxdy+ + + = = que pode ser colocada como | |)`=432123 2 1 0aaaax x (6.80a) ou simplesmente como | |{ }ea S = (6.80b) onde | | | |23 2 1 0 x x S = (6.81) Aplicando a Equao (6.59), temos que 67| | | |{ } || { }e ed G d C Sdxdy= = =1 (6.82) na qual || | | | |1 = C S G (6.83) A expresso da energia potencial devido deformao no linear, Equao (6.78), dxdxdy Alinear nop|.|

\|= l022(6.84) Agora, a expresso da energia potencial total representada pela soma da energia potencial dada pela Equao (6.32) e da energia potencial devida deformao no linear, Equao (6.84), ou seja ( ) ( ) ( ) dxdxdy bhM y F dx x y x P b dx dx Aii i i iy y A x x p |.|

\|+ + = =ll020212 21 (6.85) A minimizao da energia potencial das trs primeiras parcelas da Equao (6.85) foi feita na Seo 6.6 que resultou na Equao (6.49). Falta agora minimizar a parcela da energia potencial devido deformao no-linear, Equao (6.84). Levando a Equao (6.82) na Equao (6.84), tem-se que | | | |{ } ( ) | | | |{ }dx d C S d C SAeoTelinear nop1 12 = l ou { } | | | | | || | { }eTTTelinear nopd dx C S S C dA||.|

\|= 1012l(6.86) A minimizao de linear nopresulta em uma matriz que conhecida como matriz de tenses iniciais ou matriz de tenses geomtricas do elemento de viga como sendo 68|| | | | | | | | |101 . ||.|

\|=C dx S S C A KTTgeomel(6.87) A matriz de rigidez total do elemento , portanto, || || ||. geomelinearetotaleK K K + =(6.88) O procedimento generalizado para resolver problemas de vigas com grandes deflexes resumido nos seguintes passos: (1)Assumirvalorzeroparaatensoinicial ,ouseja,fazer|| | | 0.=geomeK .Aplicaro procedimento (passos 1 a 3) da Seo 6.7para obter||lineareKe{ }ef . Gerar|| ||=NlineareK K1. Usar{ } { }=Nef F1 da Seo 6.7 em termos das cargas concentradas e equivalentes e resolvendo| |{ } { } F X K = , determinar os deslocamentos nodais{ }eda nvel de elemento. (2) Determinaradeclividadeemumpontointernodoelemento(p