cálculo numérico_newton

Calculo NumericoSolucao de Equacoes em Uma Variavel

Metodo de Newton

Joao Paulo Gois

Universidade Federal do ABC

1

1Apresentacao baseada nos slides do prof. John Carroll, Dublin City University e no Livro Analise Numerica

(Burden & Faires)

Roteiro

Derivacao do Metodo de Newton

Exemplo usando o Metodo de Newton e a Iteracao de PontoFixo

Convergencia do Metodo de Newton

Consideracoes Finais em Aplicacoes Praticas

Roteiro

Metodo de Newton

O Metodo de Newton (ou Newton-Raphson) e um dos mais podero-sos e conhecidos metodos numericos para o problema de encontrarraizes

Derivando o Metodo de Newton

Derivacao

Suponha que f C2[a, b]. Considere p0 [a, b] umaaproximacao de p tal que f (p0) 6= 0 e |p p0| e pequenoConsidere a expansao da serie de Taylor para f(x) em tornode p0 e avaliado em x = p

f(p) = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2

2f ((p))

onde (p) esta entre p e p0.

Como f(p) = 0, temos

0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2

2f ((p))

Derivacao

Suponha que f C2[a, b]. Considere p0 [a, b] umaaproximacao de p tal que f (p0) 6= 0 e |p p0| e pequeno

Considere a expansao da serie de Taylor para f(x) em tornode p0 e avaliado em x = p

f(p) = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2

2f ((p))

0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2

2f ((p))

Derivacao

f(p) = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2

2f ((p))

0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2

2f ((p))

Derivacao

f(p) = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2

2f ((p))

0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2

2f ((p))

0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2

2f ((p))

Derivacao (cont.)

O Metodo de Newton e derivado assumindo que, como|p p0| e pequeno, (p p0)2 e menor ainda, logo

0 f(p0) + (p p0)f (p0)

Isolando p, temos:

p p0 f(p0)f (p0)

p1

0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2

2f ((p))

Derivacao (cont.)

0 f(p0) + (p p0)f (p0)

Isolando p, temos:

p p0 f(p0)f (p0)

p1

0 = f(p0) + (p p0)f (p0) + (p p0)2

2f ((p))

Derivacao (cont.)

0 f(p0) + (p p0)f (p0)

Isolando p, temos:

p p0 f(p0)f (p0)

p1

Metodo de Newton

p p0 f(p0)f (p0)

p1

Metodo de Newton

Metodo de Newton: A partir da aproximacao inicial p0, gera-se umasequencia {pn}n=0 por:

pn = pn1 f(pn1)f (pn1)

, n 1

Metodo de Newton

p p0 f(p0)f (p0)

p1

Metodo de Newton

Metodo de Newton: A partir da aproximacao inicial p0, gera-se umasequencia {pn}n=0 por:

, n 1

Interpretacao Geometrica do Metodo de Newton

CAPITULO 3. EQUACOES NAO LINEARES 68

3.3 Metodo de Newton

O metodo de Newton e uma das tecnicas mais populares para se determinar razes de equacoes naolineares. Existem varias maneiras de deduzir o metodo de Newton, a que apresentaremos aqui e baseadano metodo de iteracao linear. Assim, para descrever tal metodo, consideremos a equacao (3.2), isto e:

(x) = x+A(x)f(x) , com f 0(x) 6= 0 , (3.6)

onde a funcao A(x) deve ser escolhida de tal forma que A(x) 6= 0.Vimos pelo Teorema 3.4 que temos garantia de convergencia se max| 0(x)| < 1 para x 2 I. Assim se

escolhermos A(x) tal que 0(x) = 0, teremos que para x 2 I, (I suficientemente pequeno), max | 0(x)| < 1,garantindo entao a convergencia do metodo.

Derivando (3.6) em relacao a x, obtemos:

0(x) = 1 + A0(x)f(x) + A(x)f 0(x).

Fazendo x = x, segue que:

0(x) = 1 + A(x)f 0(x) , pois f(x) = 0 ,

e colocando:

0(x) = 0, teremos A(x) = 1f 0(x)

6= 0 desde que f 0(x) 6= 0 .

Tomando entao: A(x) = 1f 0(x) , obtemos (x) = x

f(x)f 0(x) e o processo iterativo entao

definido por:

xk+1 = xk f (xk)f 0 (xk)

(3.7)

e chamado Metodo de Newton, que converge sempre que |x0 x| for suficientemente pequeno.

Uma interpretacao geometrica do metodo de Newton e dada na Figura 3.9.

f(xk)

x xk+1

xk

f(x)

x

6

-

Figura 3.9

Dado xk, o valor xk+1 pode ser obtido graficamente tracando-se pelo ponto (xk, f(xk)) a tangente a` curvay = f(x). O ponto de intersecao da tangente com o eixo dos x determina xk+1.

Pela Lei da Tangente

f (xk) = tg =f(xk)

xk xk+1

xk xk+1 = f(xk)f (xk)

xk+1 = xk f(xk)f (xk)

(x) = x+A(x)f(x) , com f 0(x) 6= 0 , (3.6)

0(x) = 1 + A0(x)f(x) + A(x)f 0(x).

0(x) = 1 + A(x)f 0(x) , pois f(x) = 0 ,

e colocando:

0(x) = 0, teremos A(x) = 1f 0(x)

6= 0 desde que f 0(x) 6= 0 .

definido por:

(3.7)

f(xk)

x xk+1

xk

f(x)

x

6

-

Figura 3.9

f (xk) = tg =f(xk)

xk xk+1

(x) = x+A(x)f(x) , com f 0(x) 6= 0 , (3.6)

0(x) = 1 + A0(x)f(x) + A(x)f 0(x).

0(x) = 1 + A(x)f 0(x) , pois f(x) = 0 ,

e colocando:

0(x) = 0, teremos A(x) = 1f 0(x)

6= 0 desde que f 0(x) 6= 0 .

definido por:

(3.7)

f(xk)

x xk+1

xk

f(x)

x

6

-

Figura 3.9

f (xk) = tg =f(xk)

xk xk+1

68 C H A P T E R 2 Solutions of Equations in One Variable

Figure 2.8

xx

y

(p0, f (p0))

(p1, f (p1))

p0p1p2

p Slope f !(p0)

y " f (x)Slope f !(p1)

ALGORITHM

2.3Newtons

To find a solution to f (x) = 0 given an initial approximation p0:

INPUT initial approximation p0; tolerance TOL; maximum number of iterations N0.

OUTPUT approximate solution p or message of failure.

Step 1 Set i = 1.Step 2 While i N0 do Steps 36.

Step 3 Set p = p0 f ( p0)/f ( p0). (Compute pi.)Step 4 If | p p0| < TOL then

OUTPUT (p); (The procedure was successful.)STOP.

Step 5 Set i = i + 1.Step 6 Set p0 = p. (Update p0.)

Step 7 OUTPUT (The method failed after N0 iterations, N0 =, N0);(The procedure was unsuccessful.)STOP.

The stopping-technique inequalities given with the Bisection method are applicable toNewtons method. That is, select a tolerance > 0, and construct p1, . . . pN until

| pN pN1| < , (2.8)| pN pN1|

| pN | < , pN $= 0, (2.9)or

|f ( pN )| < . (2.10)

Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

Algoritmo

Algoritmo de Newton

1 Faca i = 02 Enquanto i N , faca Passo 3

1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p

3 Imprima Falha de Convergencia dentro do numero deiteracoes pre-definido

4 Imprima devirada igual a zero

5 Imprima p;

Algoritmo

Algoritmo de Newton

1 Faca i = 0

2 Enquanto i N , faca Passo 31 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p

5 Imprima p;

Algoritmo

Algoritmo de Newton

5 Imprima p;

Algoritmo

Algoritmo de Newton

1 Se f (p0) = 0, va Passo 5

2 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p

5 Imprima p;

Algoritmo

Algoritmo de Newton

1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)

3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p

5 Imprima p;

Algoritmo

Algoritmo de Newton

1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 6

4 Faca i = i+ 15 Faca p0 = p

5 Imprima p;

Algoritmo

Algoritmo de Newton

1 Se f (p0) = 0, va Passo 52 Faca p = p0 f(p0f (p0)3 Se |p p0| < va Passo 64 Faca i = i+ 1

5 Faca p0 = p

5 Imprima p;

Algoritmo

Algoritmo de Newton

5 Imprima p;

Algoritmo

Algoritmo de Newton

5 Imprima p;

Algoritmo

Algoritmo de Newton

5 Imprima p;

Algoritmo

Algoritmo de Newton

5 Imprima p;

Condicoes de parada

Condicao de parada

Novamente, outros criterios de paradas podem serempregados;

Por exemplo, podemos selecionar uma tolerancia > 0 e gerarp1, , pN ate umas das condicoes forem satisfeitas:

|pN pN1| < (1)

|pN pN1||pN | < (2)

|f(pN )| < (3)

A desigualdade 2 e o melhor criterio de parada para se aplicar,pois ele se torna mais proximo ao erro relativo.

Condicoes de parada

Condicao de parada

|pN pN1| < (1)

|pN pN1||pN | < (2)

|f(pN )| < (3)

Condicoes de parada

Condicao de parada

|pN pN1| < (1)

|pN pN1||pN | < (2)

|f(pN )| < (3)

Condicoes de parada

Condicao de parada

|pN pN1| < (1)

|pN pN1||pN | < (2)

|f(pN )| < (3)

Metodo de Newton como uma Iteracao de Ponto-Fixo

Iteracao de Ponto-Fixo

Metodo de Newton:

, para n 1

pode ser escrito da forma:

pn = g(pn1)

com

g(pn1) = pn1 f(pn1)f (pn1)

, para n 1

Metodo de Newton:

, para n 1

pn = g(pn1)

com

, para n 1

Metodo de Newton:

, para n 1

pn = g(pn1)

com

, para n 1

Exemplo usando Metodo de Newton e Iteracao doPonto-Fixo

Exemplo: Iteracao de Ponto-Fixo e Metodo de Newton

Considere a funcao:

f(x) = cos(x) x = 0

Aproxime uma raiz de usando o Metodo do Ponto-Fixo e o Metodode Newton

Iteracao do Ponto-Fixo

f(x) = cosx x

A solucao para este problema de encontrar raiz e tambemsolucao do problema de ponto fixo:

x = cosx

e o grafico implica que existe um ponto-fixo em [0, pi/2]

A seguinte tabela mostra os resultados para iteracao do pontofixo com p0 = pi/4

A melhor conclusao para estes resultados e que p 0.74

f(x) = cosx xA solucao para este problema de encontrar raiz e tambemsolucao do problema de ponto fixo:

x = cosx

2.3 Newtons Method and Its Extensions 69

A form of Inequality (2.8) is used in Step 4 of Algorithm 2.3. Note that none of the inequal-ities (2.8), (2.9), or (2.10) give precise information about the actual error | pN p|. (SeeExercises 16 and 17 in Section 2.1.)

Newtons method is a functional iteration technique with pn = g( pn1), for which

g( pn1) = pn1 f ( pn1)f ( pn1)

, for n 1. (2.11)

In fact, this is the functional iteration technique that was used to give the rapid convergencewe saw in column (e) of Table 2.2 in Section 2.2.

It is clear from Equation (2.7) that Newtons method cannot be continued if f ( pn1) =0 for some n. In fact, we will see that the method is most effective when f is bounded awayfrom zero near p.

Example 1 Consider the function f (x) = cos xx = 0. Approximate a root of f using (a) a fixed-pointmethod, and (b) Newtons MethodSolution (a) A solution to this root-finding problem is also a solution to the fixed-pointproblem x = cos x, and the graph in Figure 2.9 implies that a single fixed-point p lies in[0,pi/2].

Figure 2.9y

x

y ! x

y ! cos x

1

Table 2.3 shows the results of fixed-point iteration with p0 = pi/4. The best we couldconclude from these results is that p 0.74.

Table 2.3n pn

0 0.78539816351 0.70710678102 0.76024459723 0.72466748084 0.74871988585 0.73256084466 0.74346421137 0.7361282565

Note that the variable in thetrigonometric function is inradian measure, not degrees. Thiswill always be the case unlessspecified otherwise.

(b) To apply Newtons method to this problem we need f (x) = sin x 1. Startingagain with p0 = pi/4, we generate the sequence defined, for n 1, by

pn = pn1 f ( pn1)f ( pn1)

= pn1 cos pn1 pn1 sin pn1 1 .

This gives the approximations in Table 2.4. An excellent approximation is obtained withn = 3. Because of the agreement of p3 and p4 we could reasonably expect this result to beaccurate to the places listed.Table 2.4

Newtons Methodn pn

0 0.78539816351 0.73953613372 0.73908517813 0.73908513324 0.7390851332

Convergence using Newtons Method

Example 1 shows that Newtons method can provide extremely accurate approximationswith very few iterations. For that example, only one iteration of Newtons method wasneeded to give better accuracy than 7 iterations of the fixed-point method. It is now time toexamine Newtons method more carefully to discover why it is so effective.

Derivation Example Convergence Final Remarks

Newtons Method & Fixed-Point Iteration

Fixed-Point Iteration: x = cos(x), x0 = 4n pn1 pn |pn pn1| en/en11 0.7853982 0.7071068 0.0782914 2 0.707107 0.760245 0.053138 0.6787193 0.760245 0.724667 0.035577 0.6695254 0.724667 0.748720 0.024052 0.6760645 0.748720 0.732561 0.016159 0.6718266 0.732561 0.743464 0.010903 0.6747537 0.743464 0.736128 0.007336 0.672816

Numerical Analysis (Chapter 2) Newtons Method R L Burden & J D Faires 16 / 33

Metodo de Newton

Metodo de Newton: f(x) = cosx x

Para aplicar o metodo de Newton a este problema precisamos:

f (x) = sinx 1

Iniciando tambem com p0 = pi/4, nos geramos uma sequenciadefinida por (exerccio):

= pn1 cos pn1 pn1 sin pn1 1

Isto nos da a tabela de aproximacoes a seguir

Metodo de Newton

Metodo de Newton: f(x) = cosx xPara aplicar o metodo de Newton a este problema precisamos:

f (x) = sinx 1

Metodo de Newton

f (x) = sinx 1

Metodo de Newton

f (x) = sinx 1

Metodo de Newton

f (x) = sinx 1

Metodo de NewtonDerivation Example Convergence Final Remarks

Newtons Method

Newtons Method for f (x) = cos(x) x , x0 = 4n pn1 f (pn1) f 0 (pn1) pn |pn pn1|1 0.78539816 -0.078291 -1.707107 0.73953613 0.045862032 0.73953613 -0.000755 -1.673945 0.73908518 0.000450963 0.73908518 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.000000044 0.73908513 -0.000000 -1.673612 0.73908513 0.00000000

An excellent approximation is obtained with n = 3.Because of the agreement of p3 and p4 we could reasonablyexpect this result to be accurate to the places listed.

Uma excelente aproximacao e obtida com n = 3

Note que p3 e p4 sao iguais nas casas decimais apresentadas.

Newtons Method

Importancia Teorica na Escolha de p0

A derivacao por Serie de Taylor do Metodo de Newton indicaa importancia de um chute inicial preciso

A hipotese crucial e que o termo (p p0)2 e, comparado a|p p0|, tao pequeno que pode ser eliminadoEste fato se tornara falso a menos que p0 seja uma boaaproximacao de p

Se p0 nao esta suficientemente proximo da raiz, existe poucasrazoes para acreditar que o metodo de Newton vai convergirpara a raiz

Entretanto, em alguns exemplos, mesmos aproximacoesiniciais ruins podem convergir

A hipotese crucial e que o termo (p p0)2 e, comparado a|p p0|, tao pequeno que pode ser eliminado

Este fato se tornara falso a menos que p0 seja uma boaaproximacao de p

Teorema de Convergencia do Metodo de Newton

Teorema de Convergencia

Seja f C2[a, b]. Se p (a, b) e tal que f(p) = 0 ef (p) 6= 0.Entao existe um > 0 tal que o Metodo de Newton garanteque a sequencia {pn}n=1 definida por:

converge para p para qualquer aproximacao inicialp0 [p , p+ ].

Seja f C2[a, b]. Se p (a, b) e tal que f(p) = 0 ef (p) 6= 0.

Entao existe um > 0 tal que o Metodo de Newton garanteque a sequencia {pn}n=1 definida por:

Seja f C2[a, b]. Se p (a, b) e tal que f(p) = 0 ef (p) 6= 0.Entao existe um > 0 tal que o Metodo de Newton garanteque a sequencia {pn}n=1 definida por:

Metodo de Newton na Pratica

Escolha da aproximacao inicial: na pratica

Uma aproximacao inicial e escolhida

Sucessivas aproximacoes sao geradas pelo Metodo de Newton

Elas irao geralmente ou convergir rapidamente para uma raiz

Ou indicarao que a convergencia e improvavel

Teorema do Valor Intermediario

Se f C[a, b] e K e um numero entre f(a) e f(b), entao existe umnumero c em (a, b) par aos quais f(c) = K. Voltar

8 C H A P T E R 1 Mathematical Preliminaries and Error Analysis

Maple gives the response

f solve(12 sin(2x) 4x cos(2x), x, .5 . . 1)This indicates that Maple is unable to determine the solution. The reason is obvious oncethe graph in Figure 1.6 is considered. The function f is always decreasing on this interval,so no solution exists. Be suspicious when Maple returns the same response it is given; it isas if it was questioning your request.

In summary, on [0.5, 1] the absolute maximum value is f (0.5) = 1.86004545 andthe absolute minimum value is f (1) = 3.899329036, accurate at least to the placeslisted.

The following theorem is not generally presented in a basic calculus course, but isderived by applying Rolles Theorem successively to f , f , . . . , and, finally, to f (n1).This result is considered in Exercise 23.

Theorem 1.10 (Generalized Rolles Theorem)Suppose f C[a, b] is n times differentiable on (a, b). If f (x) = 0 at the n + 1 distinctnumbers a x0 < x1 < . . . < xn b, then a number c in (x0, xn), and hence in (a, b),exists with f (n)(c) = 0.

We will also make frequent use of the Intermediate Value Theorem. Although its state-ment seems reasonable, its proof is beyond the scope of the usual calculus course. It can,however, be found in most analysis texts.

Theorem 1.11 (Intermediate Value Theorem)If f C[a, b] and K is any number between f (a) and f (b), then there exists a number cin (a, b) for which f (c) = K .

Figure 1.7 shows one choice for the number that is guaranteed by the IntermediateValue Theorem. In this example there are two other possibilities.

Figure 1.7

x

y

f (a)

f (b)

y ! f (x)K

(a, f (a))

(b, f (b))

a bc

Example 2 Show that x5 2x3 + 3x2 1 = 0 has a solution in the interval [0, 1].Solution Consider the function defined by f (x) = x5 2x3 + 3x2 1. The function f iscontinuous on [0, 1]. In addition,

cálculo numérico_newton

Documents