Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para cálculos complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o a técnicas lentas. Un especialista en análisis numéricos se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su valoración.

También podemos decir que los métodos Numéricos han jugado un papel fundamental en el desarrollo tecnológico actual. Su aplicación va desde la economía a la industria aeroespacial entre muchas mas.

Métodos numéricos Importancia:

Definición de Número Máquina

Se puede decir que un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2, este termino comúnmente llamado «representación Binaria» significa que es de base 2, la más pequeña posible; Este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal, exige de más lugares. Que según lo dicho anteriormente se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada. Esto se comprenderá mejor en ejemplos prácticos.

Ejemplo 1. (sistema binario o base 2)Para representar un número en binario se descompone el número en potencias de 2 y sólo se escribe utilizando los dígitos 0 y 1.

Los subíndices 10 y 2 indican la base en la que se encuentra el número.

Errores Absolutos y Relativos

Continuando con el mismo orden de ideas podemos decir que los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema en particular. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

Definición de Error Absoluto

  Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

Lo anteriormente expuesto es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible que la suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa.

Cota de Errores Absolutos y Relativos

*Una cota es un valor que delimita una cantidad aproximada.

*La cota de error es el error máximo que se puede cometer al realizar una medida o tomas una aproximación.

*Las cotas de error indican la precisión de la medida.

*A partir de una cota del error absoluto podemos obtener una cota del error relativo.

Fuentes Básicas de Errores

Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC.

El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

Redondeo y Truncamiento

Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.

En otras palabras la deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en la representación decimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en comparación con el truncamiento o cortado.

El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.

Error De Redondeo

Errores De Una Suma Y Una Resta

En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores.

En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.

Estabilidad e Inestabilidad

La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.

Condicionamiento

Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Si el número de condición es grande

significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta