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Introduo a Computao e Clculo Numrico

Clculo NumricoAgendaObjetivoComo obter razes reais de uma equao qualquer?Mtodos iterativos para obteno de razesIsolamento das razesRefinamentoMtodo da Bisseco ou DicotomiaExerccios

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Clculo NumricoObjetivoO objetivo da nossa aula estudar um dos mtodos numricos para obteno de zeros reais de funes;O mtodo que iremos estudar o mtodo iterativo chamado de Mtodo da Bisseco ou Mtodo da Dicotomia.

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Introduo a Computao e Clculo NumricoO que o zero de uma funo?

Um nmero real um zero da funo f(x) ou uma raiz da equao f(x) = 0 se f() = 0;

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Introduo a Computao e Clculo NumricoZeros de Funes

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Clculo NumricoComo obter razes reais de uma equao qualquer?Sabemos que, para algumas equaes, como por exemplo as equaes polinomiais do segundo grau, existem frmulas explcitas que do as razes em funo dos coeficientes;No entanto, no caso de polinmios de grau mais alto e no caso de funes mais complexas, praticamente impossvel se achar os zeros exatamente;Por isso, temos que nos contentar em encontrar apenas aproximaes para esses zeros;Mas como?

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Clculo NumricoMtodos iterativos para obteno de razesA idia central desses mtodos partir de uma aproximao inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximao atravs de um processo iterativo;Esses mtodos contemplam duas fases:Fase I: Localizao ou isolamento das razes, que consiste em obter um intervalo que contm a raiz;Fase II: Refinamento, que consiste em melhorar as aproximaes iniciais obtidas na Fase I at atingir uma aproximao para raiz dentro de uma preciso prefixada.

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Clculo NumricoFase IIsolamento das RazesNesta fase feita uma anlise terica e grfica da funo f(x);Na anlise terica usamos o teorema:Seja f(x) uma funo contnua num intervalo [a, b]. Se f(a) . f(b) < 0 ento existe pelo menos um ponto x = entre a e b que zero de f(x), ou seja, f() = 0.

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Introduo a Computao e Clculo NumricoIsolamento das RazesAnlise Terica (Graficamente)

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Clculo NumricoIsolamento das RazesAnlise TericaComo garantir que s existe uma raiz em um intervalo [a, b]?Atravs da anlise do sinal da derivada de f(x);Se f(x) existir e preservar sinal no intervalo [a, b], ento esse intervalo contm um nico zero de f(x).

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Clculo NumricoAnlise do sinal da derivadaGraficamente

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Clculo NumricoIsolamento das RazesAnlise GrficaA anlise grfica da funo f(x) fundamental para se obter boas aproximaes para a raiz, para tal, temos os seguintes processos:Esboar o grfico da funo f(x) e localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x;A partir da equao f(x) = 0, obter a equao equivalente g(x) = h(x), esboar os grficos das funes g(x) e h(x) e localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam;Usar programas que traam grficos de funes.

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Introduo a Computao e Clculo NumricoIsolamento de RazesAnlise Grfica Exemplo Esboo

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Introduo a Computao e Clculo NumricoIsolamento de RazesAnlise Grfica Equao Equivalente

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Clculo NumricoFase IIRefinamentoComo j mencionado anteriormente estamos estudando mtodos iterativos. Mas o que um mtodo iterativo?Um mtodo iterativo consiste em uma seqncia de instrues que so executadas passo a passo, algumas das quais so repetidas em ciclos.A execuo de um ciclo recebe o nome de iterao.

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Clculo NumricoRefinamentoCritrios de ParadaQuando utilizamos um mtodo iterativo precisamos decidir o momento de parar;Que tipo de teste efetuar para verificar se a raiz aproximada () est suficientemente prximo da raiz exata ()? raiz aproximada com preciso se:| - | < ou| f() | <

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Clculo NumricoRefinamentoCritrios de ParadaComo no conhecemos a raiz , uma forma de efetuar o teste de parada reduzir o intervalo que contm a raiz, at conseguir um intervalo [a, b] tal que:

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Clculo NumricoMtodo da Bisseco ou DicotomiaSeja a funo f(x) contnua no intervalo [a, b] e tal que f(a) . f(b) < 0;O objetivo deste mtodo reduzir a amplitude do intervalo que contm a raiz at atingir a preciso requerida: (b a) < , usando para isto a sucessiva diviso de [a, b] ao meio.

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Introduo a Computao e Clculo NumricoMtodo da Bisseco ou Dicotomia (Graficamente)

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Clculo NumricoEstimativa do nmero de iteraesDada uma preciso e um intervalo inicial [a, b], possvel saber quantas iteraes sero efetuadas pelo mtodo da bisseco at que se obtenha b a < ;Vimos que

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Clculo NumricoExercciosf(x) = x3 + 4x2 10 = 0,001

f(x) = ex 5xR: 2,5427 0,00003Intervalo [2,4; 2,6] = 0,0001

f(x) = 3x3 4R: 1,1007 0,00006Intervalo [0, 2] = 0,0001

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