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  • Coleo UABUFSCarTecnologia Sucroalcooleira

    Selma Helena de Vasconcelos ArenalesJos Antonio Salvador

    Clculo NumricoUma Abordagem para o Ensino a Distncia

  • Clculo Numrico

    Uma Abordagem para o Ensino a Distncia

  • ReitorTargino de Arajo FilhoVice-ReitorPedro Manoel Galetti JuniorPr-Reitora de GraduaoEmlia Freitas de Lima

    Secretria de Educao a Distncia - SEaDAline Maria de Medeiros Rodrigues RealiCoordenao UAB-UFSCarClaudia Raimundo ReyesDaniel MillDenise Abreu-e-LimaJoice OtsukaMarcia Rozenfeld G. de OliveiraSandra Abib

    Coordenador do Curso de Tecnologia SucroalcooleiraMiguel Antonio Bueno da Costa

    UAB-UFSCarUniversidade Federal de So CarlosRodovia Washington Lus, km 235 13565-905 - So Carlos, SP, BrasilTelefax (16) 3351-8420www.uab.ufscar.bruab@ufscar.br

  • Selma Helena de Vasconcelos ArenalesJos Antonio Salvador

    2010

    Clculo Numrico

    Uma Abordagem para o Ensino a Distncia

  • 2010, dos autores.

    Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrnicos ou mecnicos, incluindo fotocpia e gravao) ou arquivada em qualquer sistema de banco de dados sem permisso escrita do titular do direito autoral.

    Ficha catalogrfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitria da UFSCar

    A681nArenales, Selma Helena de Vasconcelos. Clculo Numrico : Uma Abordagem para o Ensino a Distncia / Selma Helena de Vasconcelos Arenales, Jos Antonio Salvador. -- So Carlos : EdUFSCar, 2010. 166 p. (Coleo UAB-UFSCar).

    ISBN 978-85-7600-187-4

    1. Clculo. 2. Clculo numrico. 3. Mtodos numricos. 4. Algoritmos. 5. Aspectos computacionais. I. Ttulo.

    CDD 515 (20a) CDU 517

    Concepo PedaggicaDaniel Mill

    SupervisoDouglas Henrique Perez Pino

    Equipe de Reviso LingusticaAna Luiza Menezes BaldinDaniela Silva Guanais CostaFrancimeire Leme CoelhoJorge Ialanji FilholiniLetcia Moreira ClaresLorena Gobbi IsmaelLuciana Rugoni SousaMarcela Luisa Moreti Paula Sayuri YanagiwaraSara Naime Vidal Vital

    Equipe de Editorao EletrnicaChristhiano Henrique Menezes de vila PeresIzis Cavalcanti

    Equipe de IlustraoEid BuzalafJorge Lus Alves de OliveiraPriscila Martins de Alexandre

    Capa e Projeto GrficoLus Gustavo Sousa Sguissardi

  • . . . . . . . . . . . SUMRIO

    APRESENTAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

    UNIDADE 1: Teoria dos Erros em Processos Numricos

    1 .1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

    1 .2 Erros na fase da modelagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

    1 .3 Erros na fase de resoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

    1 .4 Erros na mudana de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

    1 .5 Erro Absoluto e Erro Relativo nos procedimentos numricos . . . . . . . . .21

    1 .6 Propagao dos erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

    1 .7 Mapa Conceitual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

    1 .8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

    UNIDADE 2: Soluo Numrica de Sistemas de Equaes Lineares

    2 .1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

    2 .2 Mtodos diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

    2 .2 .1 Sistema triangular inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 2 .2 .2 Sistema triangular superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 2 .2 .3 Mtodo de Decomposio LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 2 .2 .4 Mtodo de Eliminao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

  • 2 .3 Inversas de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

    2 .4 Mtodos iterativos para resoluo de sistemas de equaes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

    2 .4 .1 Mtodo iterativo de Jacobi-Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

    2 .5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

    UNIDADE 3: Soluo Numrica de Equaes

    3 .1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

    3 .2 Localizao das razes: Mtodo Grfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

    3 .3 Mtodos numricos para resoluo de equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

    3 .3 .1 Mtodo da Bisseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 3 .3 .2 Mtodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 3 .3 .3 Mtodo das Secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

    3 .4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

    UNIDADE 4: Interpolao e Aproximao de funes

    4 .1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

    4 .2 Interpolao Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

    4 .3 Limitante superior para o erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

    4 .4 Diferenas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

    4 .5 Frmulas Interpolatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

    4 .5 .1 Frmula Interpolatria de Newton-Gregory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

  • 4 .5 .2 Polinmio Interpolador de Newton-Gregory com mudana de varivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

    4 .6 Aproximao de funes: Mtodo dos Mnimos Quadrados . . . . . . . . .100

    4 .7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

    UNIDADE 5: Integrao Numrica

    5 .1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

    5 .2 Integrao numrica usando interpolao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

    5 .3 Frmulas de Quadratura de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

    5 .3 .1 Regra dos Trapzios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 5 .3 .2 Regra dos Trapzios Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 5 .3 .3 Regra 1/3 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 5 .3 .4 Regra 1/3 de Simpson Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

    5 .4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

    UNIDADE 6: Soluo Numrica de Equaes Diferenciais Ordinrias e Parciais

    6 .1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

    6 .2 Equao diferencial d