Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

Solução de equações:

Motivação

Localização gráfica de raízes

ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

� Um número real z é um zero da função f(x) ou raiz da equação f(x)=0 se f(z)=0.

O que queremos ?

Métodos numéricos para resolver equações da formaf(x) = 0

f(x) é uma função de uma variável real.

Exemplo: ax2 + bx + c = 0Solução: Bashkara.

� mas e se o problema for:h(x)= x6 - 20x5 -110x4 + 50x3 - 5x2 + 70x -100 =0 ou f(x)=x+ln(x)

Graficamente

Localização gráfica de raízes

� Teorema 3.1- (Franco): Se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a,b], isto é, se f(a).f(b) <0, então existe ao menos um ponto x ∋ ]a,b[, tal que f(x) = 0.

a

f(a)

b

f(b)

x

Exemplos:

f(0.5) < 0f(1.5) > 0

Existe uma raiz no intervalo ]0.5,1.5[(de fato, x* = 1 é a única raiz da equação)

)ln()(,),(: xxfof =ℜ→∞

função nunca toca o eixo dos x.não há raiz real

Exemplos: xexff =ℜ→ℜ )(,:

f(1). f(2) < 0.f(4). f(5) < 0

De fato: raízes em π/2 e 3π/2

Exemplos: )cos()(,)2,0(: xxff =ℜ→π

Exemplos: f: R → R; f(x) = (x+1)2ex2-2 -1=0

� Problema ? � Traçar esse gráfico!

Exemplos: f: R → R; f(x) = (x+1)2ex2-2 -1=0

Qual o valor de x tal que f(x) = 0 ?

14:25

Utilidade

� Podemos fazer uso dos gráficos (traçados na mão ou computacionalmente) para ter uma idéia de onde está a raiz (localização).

� Em seguida, usamos métodos mais elaborados para obter com maior precisão o valor desta raiz (refinamento).

Métodos numéricos

Fase I - Localização

� Localizar a raiz num intervalo [a,b];

Fase II - Refinamento

� Escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão ε prefixada.

Localização (relembrando)

Vale parte 2 no intervalo ]a,b[?

Técnica mais simples isolamento

Voltando ao exemplo : f: R → R; f(x) = (x+1)2ex2-2 -1=0

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 4385,5 6,4 -1 -0,9 0,5 65,5 17545,1 Intevalos [-2,-1][0,1]

Exercício

� Dada a função: f(x)=x2 – sen(x)� Pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em

intervalos.

14:25

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

yy = x^2y = sin(x)

x -3 -2 -1 0 0,1 0,5 0,7 1 2 3

f(x) 9,14112 4,909297 1,841471 0 -0,08983 -0,22943 -0,15422 0,158529 3,090703 8,85888