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5 May 2008 . 10:25

Clculo Numrico / Mtodos Numricos

Sistemas linearesMtodo de Cholesky

. 10:25

Mtodo de Cholesky

Idia:

Podemos simplificar o mtodo de decomposio LU, quando a matriz simtrica, positiva definida.

. 10:25

Definies e lembretes

Matrizes simtricas:aij = aji

Matrizes positivas definidas:

ztAz > 0, qualquer que seja z.

Critrio de Sylvestre: a matriz positiva definida se e somente se todos os menores principais tem determinante positivo

. 10:25

Mtodo de Cholesky

Se a matriz A definida positiva, podemos decomp-la unicamente no produto GGt, onde G uma matriz triangular inferior com elementos positivos na diagonal.

Multiplicando as linhas i pelas colunas i, temos os elementosda diagonal da matriz A:

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Mtodo de Cholesky (diagonal)

No caso geral:

...

i=2,3,...

Frmula (4.9)

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Mtodo de Cholesky (1a coluna)

multiplicamos as linhas de G (abaixo da diagonal) pela 1a coluna de Gt

. 10:25

Mtodo de Cholesky (2a coluna)

multiplicamos as linhas de G (abaixo da diagonal) pela 2a coluna de Gt

. 10:25

Mtodo de Cholesky (na coluna)

multiplicamos as linhas de G (abaixo da diagonal) pela na coluna de Gt

. 10:25

Frmula geral

Frmula (4.10)

Frmula (4.9)

Relembrando a frmula para a diagonal:

Que devem ser usadas de forma conveniente...

. 10:25

"Forma coveniente"

Frmula (4.10)

Frmula (4.9)

1) Usamos (4.9) para calcular g112) Usamos (4.10) para calcular g21, g31, ..., gn13) Usamos (4.9) para calcular g224) Usamos (4.10) para calcular g32, g42, ..., gn2

...

. 10:25

"Forma coveniente"

1) Usamos (4.9) para calcular g112) Usamos (4.10) para calcular g21, g31, ..., gn13) Usamos (4.9) para calcular g224) Usamos (4.10) para calcular g32, g42, ..., gn2

...

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Exemplo

. 10:25

Exemplo - resoluo

a)

Condies para o mtodo de Cholesky:

1) A simtrica: aij = aji OK!

2) A matriz definida positiva. (Vamos usar a condio de Sylvester: os menores principais tem todos determinante positivo):

det(A1) = 4>0; det(A2) = 36>0; det(A3) = 36>0 OK!

. 10:25

Exemplo - resoluo

b)

Usamos uma sequncia "conveniente":

calculamos: 1) g11 (4.9)2) g21, g31 (4.10)3) g22 (4.9)4) g32 (4.10)5) g33 (4.9)

. 10:25

Exemplo - resoluo

b)

calculamos: 1) g11 (4.9)2) g21, g31 (4.10)3) g22 (4.9)4) g32 (4.10)5) g33 (4.9)

. 10:25

Exemplo - resoluo

c) determinante

G =

Gt =

A = GtG det(A) = det(Gt) det(G)

g11 g22 g33g11 g22 g33

= (g11 g22 g33)2

= 36

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Observaes

O mtodo de Cholesky menos custoso computacionalmente que o mtodo de decomposio LU

Precisamos de A definida positiva para garantir que as razes quadradas sero sempre efetuadas sobre nmeros positivos (poderamos tambm trabalhar com aritmtica complexa)

Como vimos no exemplo:det(A) = (g11 g22 ... gnn )2

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