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Download Cálculo Numérico Cálculo Numérico é uma área da Matemática que se ocupa com métodos do cálculo que tem por objetivo encontrar soluções aproximadas de problemas

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  • Clculo Numrico Clculo Numrico uma rea da Matemtica que se ocupa com mtodos do clculo que tem por objetivo encontrar solues aproximadas de problemas.
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  • O fato de encontrar solues de problemas por mtodos aproximadas, nos leva a admitir uma margem de erro na soluo. salutar que para cada problema especfico se difina preciso pretendida ou o erro tolerado. O fato de encontrar solues de problemas por mtodos aproximadas, nos leva a admitir uma margem de erro na soluo. salutar que para cada problema especfico se difina preciso pretendida ou o erro tolerado.
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  • Exemplo 1: Encontrar a taxa de juros implcita nas condies de venda a seguir: vista com 12% de desconto ou em (1+11) sem acrscimo.
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  • Supondo que a tolerncia do erro considerada no problema anterior seja de um erro menor que 0,1%. Supondo que a tolerncia do erro considerada no problema anterior seja de um erro menor que 0,1%.
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  • Ao utilizar um mtodo numrico ou grfico e descobrir que a taxa porcentual procurada fica no interior do intervalo [2.4, 2.5], a soluo aproximada qualquer nmero deste intervalo, visto que, a diferana entre qualquer nmero que se utilize deste intervalo e a soluo exata, menor que 0,1.
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  • A equao que foi resolvida para encontrar a taxa i do problema que consta no exemplo 1 a seguinte:
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  • Onde :Va o valor vista; E o valor da entrada; P o valor de cada prestao; n o nmero de prestaes(sem contar a entrada) e i a taxa porcentual.
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  • A soluo exata no foi calculada, e geralmente isto no importante, visto que, na prtica, so ser utilizado um valor aproximado deste, mesmo sabendo qual o valor exato. Veja um exemplo:
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  • Quantos metros de fita dever ser comprada, para que ser colocada na diagonal de um quadrado, se o lado mede 1 metro. Soluo exata:
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  • para resolver problemas, como o do exemplo do clculo da taxa, que envolvem equaes para as quais no h mtodos algbricos, que se utiliza os mtodos numricos ou Clculo Numrico
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  • Pode-se tambm optar pelo mtodo da tentativa e erro. No caso do problema da taxa de juros, isto muito simples se utilizamos o excel. Basta chutar as taxas at que o saldo devedor da ultima linha da planilha de amortizao fique igual a zero, ou to prximo, quanto se queira. Pode-se tambm optar pelo mtodo da tentativa e erro. No caso do problema da taxa de juros, isto muito simples se utilizamos o excel. Basta chutar as taxas at que o saldo devedor da ultima linha da planilha de amortizao fique igual a zero, ou to prximo, quanto se queira.
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  • AS ETAPAS a) Passar todos os termos da equao para o lado esquerdo da equao, ficando assim o lado direito com zero. b) Procurar a raz da funo com lei igual a equao formada. c) Utilizando o mtodo grfico ou fazendo uma tabela da funo para isolar as razes que interessam. d) Fazer o refinamento das razes utilizando um mtodo de refinamento.
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  • M todos para refinamento que sero estudados a)Bisseo b)Cordas c)Newton
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  • Outro exemplo de problema em que a frmula anterior se aplica: Encontrar a taxa mensal de juros compostos, nas vendas a prazo, que aparecem de forma inplcita nas condies de venda de uma loja. a) vista com 10% de desconto ou b) em 5 vezes (1+4) sem acrscimo.
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  • Para dada 100 de preo de tabela, O valor `a vista 100(1-10/100)= 90; Va=90 Se for prazo a entrada e cada parcela valem 100/5=20 P=20 e E=20 n=4 i=?
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  • Pode-se agora obter o grfico da funo e verificar em que intervalo do eixo com coordenada i, o grfico corta este eixo.
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  • Graphmtica
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  • Observando-se o ltimo grfico, pode-se afirmar que a taxa procurada fica no interior do intervalo [5.4, 5.6] Utilizando estes dados para conferir a planilha de amortizao temos:
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  • Pode-se fazer uma tabela com pares ordenados (i, f(i)) e encontrar os intervalor onde h uma raz, verificando entre que valores de i, a funo f(i) troca de sinal, ou seja em que intervalo de i, o grfico da funo passa para de um lado do eixo x para o outro lado deste eixo.
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  • Observando-se as tabelas anteriores, percebe-se qua a taxa procurada est no interior do intervalo [5.56, 5.57]
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  • a)Mtodo das tabelas Pode-se implementar o mtodo do clculo de valores dda tabela x e f(x) verificando em qual intervalo [a,b] produto f(a)f(b)
  • Sada de ( x, f(x) ) para li=0; inc=1 e n=10 > tabela1(0,1,10); 0, -19.72 1, -16.32 2, -10.92 3, -3.52 a= 3, f(a)= -3.52 b=, 4 f(b) 5.88 4, 5.88 5, 17.28 6, 30.68 7, 46.08 8, 63.48 9, 82.88
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  • O prximo procedimento do Maple que encontra razes pelo mtodo baseado em tabelas, serve como algoritmo para fazer procedimentos de linguagens de programao tal como Pascal.
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  • raizes := proc (li, ls, erro) local cx, n, i, k, k0, x, inf; global f; if ls < li then do cx := li; li := ls; ls := cx ; od; fi; inf:=10^(-7); x := li+inf; n := abs(li-ls); k0 := 0; k := k0; while x < ls do for i to 10*n do if f(x)*f(x+10^k) < 0 then k := k-1; i := 1 fi; x := x+10^k; if abs (f(x)) < erro then do print(`x=`,evalf(x),`f(x)=`,f(x)); i := 1; k := k0; break; od; fi ; od; end:
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  • Mtodo da Bisseo Seja f(x) uma funo real contnua, no intervalo [a, b], tal que f(a). f(b)0
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  • Implementao do mtodo de Newton com o Maple newton := proc (erro, a, b) local f, x, df2, df1, p1, p2, xn, i, c; f := x-> evalf(x^3-1+x^2-2*x) ; df1 := D(f); df2 := D(D(f)); xn := a; i := 0; if 0 < f(xn)*df2(xn) then xn := a ; else xn := b ; fi; c := xn; while erro < abs(f(xn)) do xn := xn-f(xn)/df1(xn); i := i+1 od; print(x,i,`=`,xn,` f(xn)=`,f(xn)); print(`nmero de iteraos :`,i) end:
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  • Exerccios resolvidos
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  • Mtodo de Bissao f (i)= 78 - 10[1-(1+i) -9 ]/i Raz procurada: i= 0,029 ou 2,9%
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  • f (i)= 4600 -100[(1+i) 36 -1]/i
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  • i= 0,01354 ou 1,354%
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  • X=
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