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Cálculo Numérico – BCC760 Resolução de Sistemas de Equações Lineares Simultâneas Departamento de Computação Página da disciplina http://www.decom.ufop.br/bcc760/ 1

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CálculoNumérico–BCC760ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneas

DepartamentodeComputação

Páginadadisciplina

http://www.decom.ufop.br/bcc760/

1

!  DefiniçãoUmaequaçãoéditalinearquandocadaumdosseustermoscontémapenas

umavariáveleelaestánaprimeirapotência.

Porexemplo:3x + 2y – 5z = 10 →élinear3.x.y – 5z = 10→nãoélinear,oprimeirotermocontémduasvariáveis.

! Umsistemadeequaçõeslineareséumconjuntodeequaçõeslineares.

2

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução

!  Notaçãoclássica

Onde:xi,i=1,2,...,n;sãoasincógnitasaij,i,j=1,2,...,n;sãooscoeficientesdasincógnitasbi,i=1,2,...,n;sãoostermosindependentes

3

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução

!  Notaçãomatricial:A.X=B

Onde

4

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução

!  Matrizaumentada[A|B]Paraobtê-labastaacrescentaràmatrizdoscoeficientesovetorBdostermos

independentes.

5

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução

!  DefiniçãoUmasoluçãodeumsistemadeequaçõeslineares,A.X=B,éumvetorXque

satisfaz,simultaneamente,atodasasequações.

! Aclassificaçãodeumsistemalinearéfeitaemfunçãodonúmerodesoluçõesqueeleadmite,daseguintemaneira:a)  Compatíveldeterminado:quandoadmitirumaúnicasolução.b)  Compatívelindeterminado:quandoadmitirumnúmeroinfinitode

soluções.c)  Incompatível:quandonãoadmitirsolução.Portanto,resolverumsistemadeequaçõeslinearessignificadiscutiraexistênciadesoluçõeseobterumasoluçãoquandoforpossível.

6

Exemplo–Sejaclassificarossistemasdeequaçõeslinearesaseguir.

Sistemacompatíveldeterminado

Sistemacompatívelindeterminado

7

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução

Sistemaincompatível

Observe-sequeumsistemadeequaçõeslinearesterásoluçãoúnicasomenteseamatrizdoscoeficientesfornãosingular,

istoé,det(A)≠0. Casocontrário,seráindeterminadoounãoterásolução.

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasIntrodução

MétodosDiretos

9

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução

! MétodosDiretosOsMétodosDiretossãoaquelesque,excetoporerrosdearredondamento,fornecemasoluçãoexatadeumsistemadeequaçõeslineares,casoelaexista,

pormeiodeumnúmerofinitodeoperaçõesaritméticas.

! Transformaçõeselementareslinha(i)Multiplicaçãodeumalinhaporumaconstantenão-nula.

Li←c×Li,c∈ℜ,c≠0,i=1,2,...,n(ii)Trocadeposiçãoentreduaslinhas.

Li⇆Lj;i,j=1,2,...,n;i≠j(iii)Adiçãodeummúltiplodeumalinhaaoutralinha,

Li←Li+c×Lj,c∈ℜ,c≠0;i,j=1,2,...,n;i≠j

10

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosDiretos

! MatrizesequivalentesDuasmatrizessãoditasequivalentesquandoépossível,apartirdeumadelas,

chegaràoutrapormeiodeumnúmerofinitodetransformaçõeselementares.

! SistemasdeequaçõesequivalentesSistemas de equações equivalentes são aqueles que possuem a mesmasolução.

11

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosDiretos

! TeoremaSeja [A | B] amatriz aumentada de um sistema de equações A.X = B, comdeterminante deA não nulo, e [T | C] umamatriz a ela equivalente. Sendoassim,ossistemasA.X=BeT.X=Cpossuemamesmasolução.

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!  MatrizTriangular(i)Inferior:éumamatrizquadradanaqualtodososelementosacimada

diagonalprincipalsãonulos.

(ii)Superior:éumamatrizquadradanaqualtodososelementosabaixoda

diagonalprincipalsãonulos.

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosDiretos

! SistemadeEquaçõesTriangularÉ um sistema de equações lineares no qual a matriz dos coeficientes étriangular.

! ExemploSejaosistemadeequações

Note-se que é triangular superior. Pode, portanto, ser resolvidopormeiodesubstituiçõesretroativas.

Verifica-se,facilmente,queasuasoluçãoé:X = [- 5 1 2]t

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosDiretos

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosDiretos

! MétododaEliminaçãodeGaussAresoluçãodeumsistemadeequaçõeslinearesporestemétodoenvolveduasfasesdistintas.

FaseI:eliminaçãoConsisteemefetuartransformaçõeselementaressobreaslinhasdamatrizaumentadadeumsistemadeequaçõesA.X=Batéque,depoisde(n − 1)passos,seobtenhaumsistemadeequaçõestriangularsuperior,U.X=C,equivalenteaosistemadado.

15

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss

FaseII:substituiçãoConsisteemresolverosistematriangularsuperiorpormeiodesubstituiçõesretroativas.

! Exemplo1Paraadescriçãodométodo,sejaresolverosistemadeequaçõeslinearesaseguir. Matrizaumentada

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo

!  Passo1-Eliminaçãonaprimeiracoluna.a11 = 3éopivô.(i)Calculam-seosmultiplicadores

(ii)Transformaçõeselementares

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo

!  Passo2-Eliminaçãonasegundacoluna.éopivô.(i)Calculam-seosmultiplicadores

(ii)Transformaçõeselementares

18

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo

!  Passo3-Eliminaçãonaterceiracoluna.éopivô.(i)Calcula-seomultiplicador

(ii)Transformaçãoelementar

19

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo

! Tem-se,então,osistemadeequaçõestriangularsuperiorequivalente.

! Resolvendoosistematriangular,obtém-seX=[2 -1 0 -1]t

Queé,também,asoluçãodosistemadeequaçõesdado.

Sistemaequivalente Sistemadado

20

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss

! Exemplo2Paraadescriçãodométodo,sejaresolverosistemadeequaçõeslinearesa

seguir.

Matrizaumentada

21

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo

!  Passo1-Eliminaçãonaprimeiracoluna.a11 = 1éopivô.(i)Calculam-seosmultiplicadores

(ii)Transformaçõeselementares

22

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo

!  Passo2-Eliminaçãonasegundacoluna.a122 = 2éopivô.(i)Calculam-seosmultiplicadores

(ii)Transformaçõeselementares

23

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss-Exemplo

! Tem-se,então,osistemadeequaçõestriangularsuperiorequivalente.

! Resolvendoosistematriangular,obtém-se

X=[1,000 1,0001,000]t

Sistemaequivalente Sistemadado

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•  Oqueaconteceseopivôfornulo?•  Eseopivôes5verpróximodezero?

25

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss

26

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss

! ExemploSeja resolver o sistema de equações, Ax = b, a seguir utilizando o

MétododeGauss.

Ouosistema,

A =10−20 1

1 1

⎣ ⎢

⎦ ⎥ , e b =

12⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

PivotaçãoParcial

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss

!  Atécnicadapivotaçãoparcialconsisteem:

(i)nopassok,dafasedeeliminação,tomarcomopivôoelementodemaiormódulodentreoscoeficientes,k = 1, 2, ..., n - 1; i = k, k + 1, ..., n;

(ii)senecessário,efetuaratrocadeposiçãoentreaslinhasiek.

Objetivo:minimizaroefeitodoserrosdearredondamento.

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss–Pivotação

Parcial

! ExemploSeja resolver o sistemade equações a seguir utilizando oMétododeGauss compivotaçãoparcial e considerando, quando for o caso, trêscasasdecimais.

Deveserfeitaatrocadeposiçãoentrealinha1ealinha2!

Maioremmódulo

29

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss–Pivotação

Parcial

10−20 x1 + x2 =1 1x1 + x2 = 2

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss–Pivotação

Parcial

!  Passo1-Eliminaçãonaprimeiracoluna.a11 = 1éopivô.(i)Calculam-seosmultiplicadores

(ii)Transformaçõeselementares

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[A | b] = 1 1

10−20 121

⎣ ⎢

⎦ ⎥ → L1

→ L2

m21 = −a21a11

= −10−20

1= −10−20

[A | b] = 1 10 1−10−20

21− 2*10−20

⎣ ⎢

⎦ ⎥ → L1

→ L2

! Resoluçãodosistematriangularsuperior

! Resolvendoobtém-seovetor

Queé,maispróxima,dasoluçãodosistemadeequaçõesdado.X=[11]t

31

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss–Pivotação

Parcial

x1 + x2 = 2(1−10−20)x2 =1− 2 *10−20

X = 1− 10−20

1−10−20 1+10−20

1−10−20

⎣ ⎢

⎦ ⎥

t

! Sex’forencontradocomosoluçãodosistemaAx=b,entãooerrodessasoluçãoéx–x’.

! A(x–x’)=Ax–Ax’=b–Ax’=R’

! A.(erro)=resíduo

! Doexemploanterior:ResíduosempivotaçãoR=?

ResíduocompivotaçãoR=?

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–EliminaçãodeGauss–Resíduos

Resíduodasoluçãox’

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos

Complexidade

RegradeCramerxEliminaçãodeGauss

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Complexidade

! RegradeCramerUmsistemaAX=Béresolvido,pormeiodaRegradeCramer,daseguinteforma:

Onde=det(A)=det(A)comai-ésimacolunasubstituídapelovetorindependenteB.

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Complexidade–RegradeCramer

!  Podeserdemonstradoque,paracalcularodeterminantedeumamatrizde

ordemn,sãorequeridas:

"  (n+1)(n!)(n−1)multiplicações

"  (n+1)(n!)somas

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Complexidade–RegradeCramer

! ExemploSejaresolverumsistemade20equaçõesusandoumcomputadorhipotéticocomacapacidadede2.000Mflops(2.000.000.000operaçõesporsegundo).

Considerando-se,somente,asmultiplicaçõestem-se

(n + 1)(n!)(n – 1) = (21)(20!)(19) = 970.727.901.262.479.360.000 operações

Otemporequeridoparaaresolução,é:

Tempo=15.604,55anos

36

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Complexidade

! EliminaçãodeGaussPodeserdemonstradoque,pararesolverumsistemadenequações,sãonecessárias

" divisões

" multiplicações

" adições

Total =

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Complexidade–EliminaçãodeGauss

! ExemploSejaresolverumsistemade20equaçõesusandoumcomputadorhipotéticocomacapacidadede2.000Mflops(2.000.000.000operaçõesporsegundo).Onúmerototaldeoperaçõesé

Otemporequeridoparaaresolução,é:

Total= 5910 operações

Tempo= 0,000002955s

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Matrizes

! Definição–MatrizIdentidadeÉ uma matriz quadrada na qual os elementos situados na diagonalprincipalsãoiguaisaume,osdemais,sãonulos.ÉdenotadaporIn.

SendoAumamatrizdeordemn,tem-seque

A.In=In.A=A

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–Matrizes

! Definição–MatrizInversaSejaAumamatrizquadradadeordemn,não-singular,istoé,det(A) ≠ 0.UmamatrizA-1éainversadeAse

A.A-1=A-1.A=In

! TeoremaSeAeBsãomatrizesdeordemn,invertíveis,então

(A.B)-1=B-1.A-1

40

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos

MétododaDecomposiçãoLU

41

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU

! A técnica da decomposição consiste em decompor a matriz doscoeficientes emumproduto de dois, oumais, fatores e, em seguida,resolverumasequênciadesistemasdeequaçõeslinearesqueconduzàsoluçãodosistemaoriginal.! Éindicadaparaaresoluçãodeumconjuntodesistemasdeequaçõeslineares que possuem em comum a matriz dos coeficientes e têmtermosindependentesdiferentes,ouseja,quandosetem:

A.X = Bi, i = 1, 2, ...., m! AvantagemdautilizaçãodeumatécnicadedecomposiçãoéquesepoderesolverqualquersistemadeequaçõeslinearesquetenhaAcomomatrizdoscoeficientes.Alterando-seB,aresoluçãodonovosistemaéimediata.! AtécnicadadecomposiçãoLUéumprocessodefatoraçãonoqualamatrizLétriangularinferiorcomdiagonalunitáriaeUéumamatriztriangularsuperior.

42

Teorema(dadecomposiçãoLU)SejaAumamatrizquadrada,deordemn, eAk,k = 1, 2, ..., (n-1); asmatrizes constituídasdasprimeiras k linhasecolunasdeA,talquedet(Ak)≠ 0.Sendoassim,existeumaúnicamatriztriangularinferiorL,com diagonal unitária, e uma únicamatriz triangular superior U talque

A=L.U

43

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU

! ObtençãodosFatoresLeUSeráutilizadaa ideiabásicadométododaEliminaçãodeGauss.Sejaumamatrizgenéricadeordemtrês.

Primeiropasso! Multiplicadores

! Transformaçõeselementares

44

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU

! Obtém-seamatriz

PodeserdemonstradoqueA1 = M0.A

Onde

45

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU

! Segundopasso

! Multiplicador

! Transformaçãoelementar

46

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU

! Obtém-seamatriz

PodeserdemonstradoqueA2 = M1.A1

Onde

47

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU

! Tem-se:

e

! Fazendo(M1. M0)- 1.A2 = (M1. M0)- 1.(M1. M0).A = I.A = A

! Portanto

48

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU

! Podeserdemonstradoque:

! Sendoassim,

49

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–FatoresLeU

! Conclusão

(i) U é a matriz triangular superior obtida ao final da fase deeliminaçãodométododeGauss;

(ii) L é uma matriz triangular inferior, na qual os elementos dadiagonal principal são unitários e, abaixo, se encontram osmultiplicadoresdaetapakdafasedeeliminaçãocomosinaltrocado.

50

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU

! Resoluçãodeumsistemadeequações SejaumsistemadeequaçõesA.X=B.Pararesolvê-lo,utilizandoadecomposiçãoLU,bastaexecutaraseguintesequênciadepassos:

" Obtém-seafatoraçãoL.UdamatrizA;" SendoA=L.U,entãoL.U.X=B;" Faz-seU.X=Y,logoL.Y=B;" Resolve-seosistematriangularinferiorL.Y=B;" Resolve-se o sistema triangular superiorU.X =Y obtendo, então, asoluçãodosistemadeequaçõesA.X=B.

! Exemplo

51

PivotaçãoParcial

52

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU

! ExemploSeja resolver o sistemade equações a seguir utilizando oMétododaDecomposiçãoLUcompivotaçãoparcialeconsiderando,quandoforocaso,duascasasdecimais.

4.x1 – x2 - x4 = 6 x1 – 2.x2 + x3 = 8 4.x2 - 4.x3 + x4 = - 7 5.x1 + 5.x3 – 10.x4 = - 40

P = [1 2 3 4]t vetor de permutação

Deve ser feita a troca de posição entre a linha 1 e a linha 4!

Maioremmódulo

3

1

4

2

53

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

! Passo1

54

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

! Passo1

55

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

! Passo1

Maioremmódulo

56

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

! Passo2

57

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

! Passo2

58

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

! Passo2

Maioremmódulo 59

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

! Passo3

60

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

! Passo3

61

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

! Passo3

62

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

! ResoluçãodosistemaL.Y=BAplicandoP(3)=[4 3 1 2]aovetorB=[6 8 – 7 – 40]t,tem-seB=[- 40 – 7 6 8]t.

y1 = - 40 y2 = - 7 0,8.y1 – 0,25.y2 + y3 = 6 ⇒ y3 = 36,25 0,2.y1 – 0,5.y2 + 0,4.y3 + y4 = 8 ⇒ y4 = - 2

Y= [-40 -7 36,25 -2]

63

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

! ResoluçãodosistemaU.X=Y

5.x1 + 5.x3 - 10.x4 = - 40 4.x2 - 4.x3 + x4 = - 7

- 5.x3 + 7,25.x4 = 36,25 – 0,4.x4 = - 2

! Obtém-seovetorX = [2 -3 0 5]t

! Como R = [0 0 0 0 ]t, então X é a solução exata do sistema deequaçõesdado.

64

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–PivotaçãoParcial

Aplicações

65

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU

! RefinamentodasoluçãoAdmita-seque:

(i)  Umsistemadeequações,A.X=Bfoiresolvido,utilizando-seométododadecomposiçãoLUeobteve-seumasoluçãoaproximadaX0.

(ii)Asoluçãoexata,quesedesejadeterminar,édadaporumvetorX1.

(iii)Assim,X1=X0+Δ0 , onde Δ0 é acorreçãoaserfeitaemX0.

66

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações

! Refinamentodasolução

Tem-seque

Logo

! Sendo

! Resolvem-se,então

! Exemplo

A.Δ0 = R0

U.Δ0 = Y L.Y = R0

X1 = X0 + Δ0 A.X1 = B

A.(X0 + Δ0) = B A.Δ0 = B – A.X0

A = L.U L.U.Δ0 = R0

A.X = B

67

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações

! Determinaçãodainversadeumamatriz

SejaAumamatriztalquedet(A)≠ 0,eX = A-1 asuainversa.Tem-se,então,que

ConsiderandoumamatrizAdeordem3,tem-seque:

A.X=I

68

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações

! DeterminaçãodainversadeumamatrizEfetuandooproduto,sãoobtidosostrêssistemasdeequaçõesaseguir.

a11x11 + a11x21 + a13x31 = 1 a21x11 + a22x21 + a21x31 = 0 a31x11 + a32x21 + a33x31 = 0

a11x12 + a11x22 + a13x32 = 0 a21x12 + a22x22 + a21x32 = 1 a31x12 + a32x22 + a33x32 = 0

a11x13 + a11x23 + a13x33 = 0 a21x13 + a22x23 + a21x33 = 0 a31x13 + a32x23 + a33x33 = 1

PrimeiracolunadeX

SegundacolunadeX

TerceiracolunadeX

69

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações

! DeterminaçãodainversadeumamatrizConclusão! Sãosistemasdeequaçõesdaforma! OndeXiéai-ésimacolunadeXeBi éai-ésimacolunadeI.

! ComoA=L.U,então

! Resolvem-se,então,ossistemasdeequações

! A resolução de cada um destes sistemas de equações produz uma

colunadamatrizX,queéainversadeA.

! Exemplo

A.Xi = Bi, i = 1, 2, 3

L.U.Xi = Bi, i = 1, 2, 3

L.Yi = Bi U.Xi = Yi i = 1, 2, 3

70

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações

ExemploSejadeterminara inversadamatriza seguir,utilizandooMétododaDecomposiçãoLUcompivotaçãoparcialsabendo-seque

e P = [2 3 1]t. Considerar três casas decimais.

71

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações

Exemplo-Solução! DeterminaçãodaprimeiracolunadeXResolvendo LY1 = B1Aplicando P = [2 3 1]t em B1 = [1 0 0]t, obtém-se B1 = [0 0 1]t.

Resolvendo U.X1 = Y1 PrimeiracolunadeX

72

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações

Exemplo-Solução! DeterminaçãodasegundacolunadeXResolvendo LY2 = B2Aplicando P = [2 3 1]t em B2 = [0 1 0]t, obtém-se B2 = [1 0 0]t.

Resolvendo U.X2 = Y2SegundacolunadeX

73

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações

Exemplo-Solução! DeterminaçãodaterceiracolunadeXResolvendo LY3 = B3Aplicando P = [2 3 1]t em B3 = [0 0 1]t, obtém-se B3 = [0 1 0]t.

Resolvendo U.X3 = Y3 TerceiracolunadeX

74

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações

Exemplo-Solução! Portanto,amenosdeerrosdearredondamentos,ainversadeé:

! Observe-seque

75

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosDiretos–DecomposiçãoLU–Aplicações

MétodosIterativosSão métodos que, teoricamente, produzem a solução exata de umsistemadeequaçõeslineares,casoelaexista,pormeiodeumnúmeroinfinitodeoperaçõesaritméticas.

76

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução

TeoriageraldosMétodosIterativos! Umadas ideias fundamentaisemCálculoNuméricoéada iteraçãoouaproximaçãosucessiva.

! Existe um grande número demétodos numéricos, para resolver osmaisvariadostiposdeproblemas,quesãoprocessositerativos.

! Comoopróprionomejádiz,sãométodosquesecaracterizampelaaplicaçãodeumprocedimentodeformarepetida.

! Oobjetivoéobteremcadarepetição,ouiteração,umaaproximaçãoparaasoluçãodoproblemaemquestãoquesejamaisprecisadoqueaquelaobtidanaiteraçãoanterior.

77

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução

TeoriageraldosMétodosIterativos! Uma importante classe é a dosmétodos iterativos estacionários degrau um, nos quais o resultado obtido em uma iteração é função,somente,doresultadodaiteraçãoanterior.

! Nestes métodos, dado um problema, P, e uma estimativa inicial S0, para a sua solução, S, é gerada uma sequência de aproximações, {Sk}, k = 1, 2, ...; tal que:

Sk = ϕ(P, Sk - 1), k = 1, 2, 3, ....

! Sendo que ϕ(.) é a função de iteração do método iterativo.

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ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução

TeoriageraldosMétodosIterativos! DefiniçãoUm método iterativo é dito estacionário se a função de iteração é,sempre,amesmaemtodasas iterações.Casoelasemodifiqueéditonãoestacionário.

! DefiniçãoUmmétodoiterativoéditodegraugse,paraobterumaaproximação,sãonecessáriasgaproximaçõesanterioresdasoluçãodoproblema,ouseja,afunçãodeiteraçãoédaforma:

Sk = ϕ (P, S k – 1, Sk – 2, ..., Sk – g); k = g, g + 1, g + 2, ....

Exemplog = 1 ⇒ S 0 = ϕ(P) e S k = ϕ(P, Sk - 1), k = 1, 2, ...g = 2 ⇒ S 0 = ϕ(P), S 1 = ϕ(P, S 0) e S k = ϕ(P, S k - 1, S k - 2), k = 2, 3, ...

79

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução

TeoriageraldosMétodosIterativosOs aspectos a seguir estão, sempre, presentes nos processos iterativosestacionáriosdegrauumqualquerquesejaoproblemaaserresolvido.! EstimativainicialPara que o processo iterativo se inicie, é preciso uma estimativa inicialparaasoluçãodoproblema.! FunçãodeiteraçãoPormeiodaqualseconstróiasequênciadeaproximações.! ConvergênciaO objetivo é gerar uma sequência que convirja para a solução doproblema. Nem sempre se tem a garantia de que essa convergênciaocorrerá.! CritériodeParadaEnvolve a precisão desejada na solução do problema e um númeromáximodeiterações.

80

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução

Métodos Iterativos e a resolução de sistemas de equações linearessimultâneas! Pararesolverumsistema,AX=B,pormeiodeummétodoiterativo,éprecisotransformá-loemumoutrosistemaquepossibiliteadefiniçãodeumprocessoiterativo.

! Osistema linearobtidoapósa transformaçãodeve serequivalenteaooriginal,ouseja,ambosdevemteramesmasolução.! Então,AX=Bétransformadoemumsistemalinearequivalentedaforma:

! Méumamatrizcomdimensõesnxn,céumvetorcomdimensõesnx1ϕ(X)éafunçãodeiteraçãodadanaformamatricial.

X=M.X+C=ϕ(X)

81

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução

Métodos Iterativos e a resolução de sistemas de equações linearessimultâneas

! A seguir, tomando-se uma aproximação inicial,X0 constrói-se umasequênciaiterativadevetores:

X1 = M.X0 + C = ϕ(X0), X2 = M.X1 + C = ϕ(X1), ...

! Assim, a forma geral dosmétodos iterativos estacionários, de grauum,é

Xk = M.Xk - 1 + C = ϕ(Xk - 1), k = 1, 2, 3, ...

Méamatrizdeiteração

82

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução

Métodos Iterativos e a resolução de sistemas de equações linearessimultâneas

! CritériodeparadaOprocesso iterativoéfinalizadoquandoseobtémXk,k = 1, 2, ...; talque

sejamenorouigualaumaprecisãofixadae,então,Xkétomadocomoumaaproximaçãoparaa soluçãodosistemadeequações;ouquandoforatingidoumnúmeromáximodeiteraçõesestabelecido

83

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução

MétododeJacobiSejaumsistemadeequaçõeslinearesdaforma

84

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos

MétododeJacobiSendoaii ≠ 0, i = 1, 2, ..., n;ek= 1, 2, ...;explicita-seumaincógnitaemcadaequaçãoe,aseguir,define-seoesquemaiterativo:

85

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos

MétododeJacobiPortanto, dada uma aproximação inicial X0 , o Método de Jacobiconstrói uma sequência , X1, X2, ......, Xk, ...; por meio da relaçãorecursiva:

Xk = M.Xk - 1 + C = ϕ(Xk - 1), k = 1, 2, 3, ...Onde

Exemplo86

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos

Exercício

Depto de Computação – Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Universidade Federal de Ouro Preto

Prof. José Álvaro Tadeu Ferreira - Notas de aulas de Cálculo Numérico

42

¦

!n

1jijii a |a| , i = 1, 2, ..., n

Além do mais, quanto mais próxima de zero estiver a relação |a|

a

ii

n

1jij¦

mais rápida será a

convergência.

4.5.2 - Critério das colunas É condição suficiente para que os métodos iterativos gerem uma seqüência que converge

para a solução de um sistema de equações, AX = B, qualquer que seja a aproximação inici-

al X0, que

¦

!n

1iijjj a |a| , j = 1, 2, ..., n

Além do mais, quanto mais próxima de zero estiver a relação |a|

a

jj

n

1iij¦

mais rápida será a

convergência.

Observe-se que estes dois critérios envolvem condições que são apenas suficientes, se

pelo menos uma delas for satisfeita, então está assegurada a convergência, entretanto se

nenhuma das duas for satisfeita nada se pode afirmar.

Os exemplos a seguir apresentam sistemas de equações que podem ser resolvidos, somen-

te, por meio de um dos dois métodos iterativos abordados.

Exemplo 4.4 Este exemplo trata de um sistema de equações lineares que pode ser resolvido, somente,

por meio do Método de Jacobi. Seja o sistema de equações a seguir e X0 = [0 0 0]t.

x1 + 2.x2 - 2.x3 = 1

x1 + x2 + x3 = 1

2.x1 + 2.x2 + x3 = 1

Solução (a) Aplicando o Método de Jacobi, tem-se que a função de iteração é:

87

Exercício

Depto de Computação – Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Universidade Federal de Ouro Preto

Prof. José Álvaro Tadeu Ferreira - Notas de aulas de Cálculo Numérico

43

°¯

°®

­

1 -k 2

1 -k 1

k3

1 -k 3

1 -k 1

k2

1 -k 3

1 -k 2

k1

2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x

2.x 2.x - 1 x (4.32)

Fazendo os cálculos utilizando 4.32, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.4.

k k1x k

2x k3x 1 -k

iki3 i 1

x- x maxdd

0 0 0 0 ------------ 1 1 1 1 1 2 1 - 1 - 3 4 3 - 3 3 1 4 4 - 3 3 1 0

Quadro 4.4: Resultados obtidos

Observe-se que foi obtida a solução exata. (b) Aplicando, agora, o Método de Gauss-Seidel.

°¯

°®

­

k 2

k1

k3

1 -k 3

k1

k2

1 -k 3

1 -k 2

k1

2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x

2.x 2.x - 1 x (4.33)

Fazendo os cálculos utilizando 5.33, são obtidos os resultados apresentados no quadro 5.5.

k k1x k

2x k3x 1 -k

iki3 i 1

x- x maxdd

0 0 0 0 ------------ 1 1 0 - 1 1 2 - 1 3 - 3 3 3 - 11 15 - 7 12 4 - 43 51 - 15 36 5 - 131 147 - 31 96

Quadro 4.5: Resultados obtidos

Neste caso, verifica-se que o Método de Gauss-Seidel gera uma seqüência que não conver-

ge para a solução do sistema de equações.

Exemplo 4.5 Este exemplo trata de um sistema de equações lineares que pode ser resolvido, somente,

por meio do Método de Gauss-Seidel. Seja X0 = [0 0 0]t.

0,5x1 + 0,6.x2 + 0,3.x3 = 0,2

x1 + x2 + x3 = 0

0,4.x1 - 0,4.x2 + x3 = - 0,6

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Prof. José Álvaro Tadeu Ferreira - Notas de aulas de Cálculo Numérico

43

°¯

°®

­

1 -k 2

1 -k 1

k3

1 -k 3

1 -k 1

k2

1 -k 3

1 -k 2

k1

2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x

2.x 2.x - 1 x (4.32)

Fazendo os cálculos utilizando 4.32, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.4.

k k1x k

2x k3x 1 -k

iki3 i 1

x- x maxdd

0 0 0 0 ------------ 1 1 1 1 1 2 1 - 1 - 3 4 3 - 3 3 1 4 4 - 3 3 1 0

Quadro 4.4: Resultados obtidos

Observe-se que foi obtida a solução exata. (b) Aplicando, agora, o Método de Gauss-Seidel.

°¯

°®

­

k 2

k1

k3

1 -k 3

k1

k2

1 -k 3

1 -k 2

k1

2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x

2.x 2.x - 1 x (4.33)

Fazendo os cálculos utilizando 5.33, são obtidos os resultados apresentados no quadro 5.5.

k k1x k

2x k3x 1 -k

iki3 i 1

x- x maxdd

0 0 0 0 ------------ 1 1 0 - 1 1 2 - 1 3 - 3 3 3 - 11 15 - 7 12 4 - 43 51 - 15 36 5 - 131 147 - 31 96

Quadro 4.5: Resultados obtidos

Neste caso, verifica-se que o Método de Gauss-Seidel gera uma seqüência que não conver-

ge para a solução do sistema de equações.

Exemplo 4.5 Este exemplo trata de um sistema de equações lineares que pode ser resolvido, somente,

por meio do Método de Gauss-Seidel. Seja X0 = [0 0 0]t.

0,5x1 + 0,6.x2 + 0,3.x3 = 0,2

x1 + x2 + x3 = 0

0,4.x1 - 0,4.x2 + x3 = - 0,6

88

MétododeGauss-Seidel! AssimcomonoMétododeJacobi,osistemadeequaçõeslinearesA.X=

BéescritonaformaequivalenteX=M.X+C=ϕ(X)explicitandoumaincógnitaemcadaequação.

! Adiferença é que, nak-ésima iteração, ao realizar-se a atualização deuma das componentes do vetor Xk, são utilizadas as componentes jáatualizadas nesta iteração e, as demais, ainda não atualizadas, daiteraçãoanterior.

! Portanto,nak-ésimaiteração,aosecalcularacomponente , j = 1, 2, ..., n;utilizam-seascomponentes,jáatualizadas,eosvaloresrestantes.

89

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos

MétododeGauss-SeidelTem-se,então,afunçãodeiteraçãoeoesquemaiterativo:

! Exemplo90

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos

ExemploSeja resolver o sistemade equações a seguir utilizando oMétododeGauss-Seidel,duascasasdecimaiseX0 = [0 0 0]t.

x1 - 7.x2 + 2.x3 = - 4 8.x1 + x2 - x3 = 8 2.x1 + x2 + 9.x3 = 12

Funçãodeiteração

Esquemaiterativo

0 0 0 0 -----

128.540,32 -16.043,11 -10.705,07 130.7778,06 280,44

-4

3 2 1 40

-2.237,74 2.277,74 40 -2,22

180,46

91

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Exercício

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°¯

°®

­

1 -k 2

1 -k 1

k3

1 -k 3

1 -k 1

k2

1 -k 3

1 -k 2

k1

2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x

2.x 2.x - 1 x (4.32)

Fazendo os cálculos utilizando 4.32, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.4.

k k1x k

2x k3x 1 -k

iki3 i 1

x- x maxdd

0 0 0 0 ------------ 1 1 1 1 1 2 1 - 1 - 3 4 3 - 3 3 1 4 4 - 3 3 1 0

Quadro 4.4: Resultados obtidos

Observe-se que foi obtida a solução exata. (b) Aplicando, agora, o Método de Gauss-Seidel.

°¯

°®

­

k 2

k1

k3

1 -k 3

k1

k2

1 -k 3

1 -k 2

k1

2.x- 2.x - 1 xx- x- 1 x

2.x 2.x - 1 x (4.33)

Fazendo os cálculos utilizando 5.33, são obtidos os resultados apresentados no quadro 5.5.

k k1x k

2x k3x 1 -k

iki3 i 1

x- x maxdd

0 0 0 0 ------------ 1 1 0 - 1 1 2 - 1 3 - 3 3 3 - 11 15 - 7 12 4 - 43 51 - 15 36 5 - 131 147 - 31 96

Quadro 4.5: Resultados obtidos

Neste caso, verifica-se que o Método de Gauss-Seidel gera uma seqüência que não conver-

ge para a solução do sistema de equações.

Exemplo 4.5 Este exemplo trata de um sistema de equações lineares que pode ser resolvido, somente,

por meio do Método de Gauss-Seidel. Seja X0 = [0 0 0]t.

0,5x1 + 0,6.x2 + 0,3.x3 = 0,2

x1 + x2 + x3 = 0

0,4.x1 - 0,4.x2 + x3 = - 0,6

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Exercício

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Solução (a) Aplicando o Método de Jacobi, tem-se que a função de iteração é:

°°¯

°°®

­

1 -k 2

1 -k 1

k3

1 -k 3

1 -k 1

k2

1 -k 3

1 -k 2

k1

0,4.x 0,4.x - 0,6 - x

x- x- x

)0,3.x - 0,6.x - 2.(0,2 x

(4.34)

Fazendo os cálculos utilizando 4.34, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.6.

k k1x k

2x k3x 1 -k

iki3 i 1

x- x maxdd

0 0 0 0 ------------ 1 0,400 0,000 - 0,600 0,600 2 0,760 0,200 - 0,760 0,360 3 0,616 0,000 - 0,824 0,200 4 0,894 0,208 - 0,846 0,278 5 0,658 - 0,048 - 0,875 0,256 6 0,982 0,216 - 0,883 0,324 7 0,670 - 0,100 - 0,906 0,316 8 1,064 0,236 - 0,908 0,394 9 0,661 - 0,156 - 0,931 0,403

10 1,146 0,2700 - 0,927 0,485 Quadro 4.6: Resultados obtidos

Observe-se que não há convergência.

(b) Aplicando, agora, o Método de Gauss-Seidel.

°°¯

°°®

­

k2

k1

k3

1 -k 3

k1

k2

1 -k 3

1 -k 2

k1

0,4.x 0,4.x - 0,6 - x

x- x- x

)0,3.x - 0,6.x - 2.(0,2 x

(4.35)

Fazendo os cálculos utilizando 4.35, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.7.

k k1x k

2x k3x 1 -k

iki3 i 1

x- x maxdd

0 0 0 0 ------------ 1 0,400 - 0,400 - 0,920 0,920 2 1,432 - 0,512 - 1,378 1,032 3 1,841 - 0,463 - 1,522 0,409 4 1,869 - 0,347 - 1,487 0,116 5 1,709 - 0,222 - 1,372 0,160 6 1,490 - 0,118 - 1,243 0,219 7 1,287 - 0,044 - 1,132 0,203 8 1,132 0,000 - 1,053 0,155 9 1,031 0,021 - 1,004 0,101

10 0,977 0,027 - 1,980 0,054 Quadro 4.7: Resultados obtidos

Depto de Computação – Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Universidade Federal de Ouro Preto

Prof. José Álvaro Tadeu Ferreira - Notas de aulas de Cálculo Numérico

44

Solução (a) Aplicando o Método de Jacobi, tem-se que a função de iteração é:

°°¯

°°®

­

1 -k 2

1 -k 1

k3

1 -k 3

1 -k 1

k2

1 -k 3

1 -k 2

k1

0,4.x 0,4.x - 0,6 - x

x- x- x

)0,3.x - 0,6.x - 2.(0,2 x

(4.34)

Fazendo os cálculos utilizando 4.34, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.6.

k k1x k

2x k3x 1 -k

iki3 i 1

x- x maxdd

0 0 0 0 ------------ 1 0,400 0,000 - 0,600 0,600 2 0,760 0,200 - 0,760 0,360 3 0,616 0,000 - 0,824 0,200 4 0,894 0,208 - 0,846 0,278 5 0,658 - 0,048 - 0,875 0,256 6 0,982 0,216 - 0,883 0,324 7 0,670 - 0,100 - 0,906 0,316 8 1,064 0,236 - 0,908 0,394 9 0,661 - 0,156 - 0,931 0,403

10 1,146 0,2700 - 0,927 0,485 Quadro 4.6: Resultados obtidos

Observe-se que não há convergência.

(b) Aplicando, agora, o Método de Gauss-Seidel.

°°¯

°°®

­

k2

k1

k3

1 -k 3

k1

k2

1 -k 3

1 -k 2

k1

0,4.x 0,4.x - 0,6 - x

x- x- x

)0,3.x - 0,6.x - 2.(0,2 x

(4.35)

Fazendo os cálculos utilizando 4.35, são obtidos os resultados apresentados no quadro 4.7.

k k1x k

2x k3x 1 -k

iki3 i 1

x- x maxdd

0 0 0 0 ------------ 1 0,400 - 0,400 - 0,920 0,920 2 1,432 - 0,512 - 1,378 1,032 3 1,841 - 0,463 - 1,522 0,409 4 1,869 - 0,347 - 1,487 0,116 5 1,709 - 0,222 - 1,372 0,160 6 1,490 - 0,118 - 1,243 0,219 7 1,287 - 0,044 - 1,132 0,203 8 1,132 0,000 - 1,053 0,155 9 1,031 0,021 - 1,004 0,101

10 0,977 0,027 - 1,980 0,054 Quadro 4.7: Resultados obtidos

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! CritériosdeconvergênciaÉ condição suficiente para que os métodos iterativos gerem umasequência que converge para a solução de um sistema de equações,qualquerquesejaaaproximaçãoinicialx0,que

ou

Estesdoiscritériosenvolvemcondiçõesquesãoapenassuficientes,se pelo menos uma delas for satisfeita, então está assegurada aconvergência, entretanto se nenhuma das duas for satisfeita nada sepodeafirmar.

Critériodaslinhas

Critériodascolunas

94

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos

! Critériosdeconvergência

95

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos

! Critériosdeconvergência

96

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos

Complexidade! Avaliar a quantidade de operações requeridas em um método

iterativo,emcadaiteração,ébastantesimples.

! O que não é trivial é determinar o número total de operaçõesrealizadas.

! Uma vez que é estabelecido um númeromáximo de iterações, nopior caso, este será o número de vezes que as iterações serãoexecutadas.

! Pode ser demonstrado que, para um sistema de n equações, onúmerototaldeoperações,poriteração,é(2n2 – n).

97

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos

Complexidade

! O Método de Gauss requer (4.n3 + 9.n2 – 7.n)/6 operaçõesaritméticas.

! OsMétodosdeJacobieGauss-Seidelrequerem(2.n2 - n)operaçõesaritméticasporiteração.

! Paravaloresgrandesden,osnúmerosdeoperaçõesaritméticassão,aproximadamente,

MétododeGauss:2.n3/3JacobieGauss-Seidel:2.n2poriteração

! Assim,seonúmerodeiteraçõesémenorouiguala(n/3),entãoosmétodositerativosrequeremmenosoperaçõesaritméticas.

98

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos

Consideraçõesfinais! Comparação entre os Métodos Diretos e Iterativos considerando

cincoindicadores.Indicador Método Direto Método Iterativo

Aplicação

Convergência

Número de operações

Esparsidade

Erros de arredondamento

Para a resolução de sistemas de equações densos de pequeno a médio porte.

Se a matriz dos coeficientes não é singular, então a solução é sempre obtida.

É possível determinar, a priori, o número de operações necessárias.

Destrói a esparsidade da matriz dos coeficientes durante a fase de eliminação.

São ampliados durante os cálculos. Podem ser minimizados usando uma técnica de pivotação.

Para a resolução de sistemas de equações de grande porte, notadamente os esparsos.

Há garantia de se obter a solução somente sob certas condições

Não é possível determinar a complexidade a priori.

Preserva a esparsidade da matriz da matriz dos coeficientes.

Não afetam os resultados obtidos em cada iteração. Apenas a solução final pode conter erro.

99

ResoluçãodeSistemasdeEquaçõesLinearesSimultâneasMétodosNuméricosdeResolução–MétodosInterativos