UNIVERSIDADE BRAZ CUBASNotas de Aula - CLCULO NUMRICOProf. NicolauContedosIntroduo........................................................................................................................................1Erros e incertezas.............................................................................................................................2Sistemas Lineares de Equaes.......................................................................................................6Classificao de sistemas lineares ..............................................................................................6Soluo do Sistema de Equaes Lineares.................................................................................8Mtodo de Eliminao de Gauss............................................................................................8Mtodos iterativos de resoluo de sistema de equaes lineares............................................10Mtodo de Jacobi:................................................................................................................10Mtodo de Gauss-Seidel.......................................................................................................13Critrio de convergncia para mtodos iterativos.....................................................................13Equaes algbricas e transcendentes ...........................................................................................15Avaliao de polinmios: .........................................................................................................16Mtodo de Horner................................................................................................................16Mtodo de Briot-Ruffini.......................................................................................................16Limites das razes reais.............................................................................................................17Determinao do intervalo onde h razes................................................................................17Determinao de razes pelo mtodo da bisseco...................................................................20Aplicao do mtodo da bisseco para funes transcendentais............................................21Determinao de razes pelo mtodo de Newton-Raphson.......................................................23Interpretao geomtrica...........................................................................................................23Interpolao...................................................................................................................................25Interpolao linear.....................................................................................................................25Interpolao linear por relao de proporcionalidade..........................................................26Interpolao quadrtica.............................................................................................................27Interpolao de Newton............................................................................................................29Definio..............................................................................................................................29Diferenas divididas.............................................................................................................29Interpolao de Lagrange..........................................................................................................31O mtodo dos Mnimos Quadrados...............................................................................................32Regresso Linear.......................................................................................................................32Coeficiente de determinao R2...............................................................................................34Ajuste da curva exponencial.....................................................................................................35Ajuste da curva potencial..........................................................................................................36Integrao Numrica......................................................................................................................38Mtodo dos trapzios................................................................................................................38Estimativa de incertezas no mtodo dos trapzios....................................................................40Mtodo de Simpson...................................................................................................................42Estimativa de incertezas no mtodo de Simpson......................................................................44UNIVERSIDADE BRAZ CUBASNotas de Aula - CLCULO NUMRICOProf. NicolauIntroduoQuandooclculoaplicadonasoluodeproblemasreais(Fisica, engenharia, economia,etc...), emalgummomentonecessrioutilizar nmerosparaseobter arespostadesejada. Emaplicaes de matemtica, o resultado final desejado, de um modo geral, tem que ser quantitativo. Emalgumas circunstncias a substituio de variveis por nmeros ocorre somente no final do clculo,em algumas circunstncias isto ocorre em uma fase bem preliminar. Por clculo numrico se compreende uma srie de procedimentos que utilizamtcnicasnumricasparaarealizaodeclculos.Tomemos a derivao como exemplo: sef(x) = x2, para aobteno da derivada de f(x) no ponto x = 1 podemos utilizar o mtodo analtico ou o mtodo numrico.Mtodo analtico: Aplicando a definio de derivada, dfdx=limh-0f ( x+h)f ( x)h=limh-0( x+h)2x2h=2 x=2 para x = 1.Mtodo numrico: Escolhemosinicialmenteumvalorarbitrariamentepequenodeh(porexemplo,h=0,01)esubstitumos tanto o valor de x = 1 quanto h = 0,01 na definio de derivada. Teremos ento dfdxx=1(1+0,01)2120,01=2,01Verifica-se um diferena de de 0,01 entre os valores calculados analtica e numericamente. Istose deve ao fato de termos utilizado um valor finito de h = 0,01 em vez de h 0.Exerccio 1: Verificar que a diferena entre os valores calculados analtica e numericamente diminui seescolhermos valores menores de h.Mesmo na resoluo analtica da derivada acima, no final, foi substitudo o valor 1 na varivelx. Assim, mesmo quando se utilizam analticos, em algum momento necessrio substituir variveis1por seus valores numricos para a obteno de solues quantitativas de problemas.O clculo numrico a disciplina que estuda mtodos numricos para a soluo de problemasmatemticos. Neste curso ser apresentada uma introduo ao clculo numrico, com especial ateno propagao de erros associada ao mtodo em questo. Sero abordados os tpicos:Erros e incertezas;Soluo de sistemas lineares de equaes;Soluo de equaes algbricas e transcendentes;InterpolaoMtodo dos mnimos quadradosIntegrao numrica.Erros e incertezas.Em um dado processo de obteno de uma soluo quantitativa para um dado problema1, surgeespontaneamente o conceito de Erro.Por erro entendida a diferena entre o valor real de uma dadagrandeza e aquela que obtida. Logo, erro um conceito filosfico: se no conhecemos o valor real deuma dada grandeza, como podemos saber a diferena entre este valor e o o obtido por algum mtodo demedio ou de clculo? Da que modernamente se prefere utilizar o conceito de incerteza. De qualquermaneira, neste curso utilizaremos o termo erro para expressar indistintamente erro ou incerteza, comoutilizado pela maioria da bibliografia de uso didtico no momento.Erro de modelamento: a equao (expresso) matemtica utilizada para expressar algum fenmeno ouprocessotemaproximaes, noodescreveprecisamente. Exemplo: aquedalivredeumobjetoprximo ao solo expressa pela conhecida equao de movimento S = S0+ v0t + gt2/2,onde S aposio do corpo no instante t, S0 a posio do corpo no instante t = 0, v0 a velocidade de corpo noinstante t0 e g a acelerao da gravidade. Esta equao no leva em conta a resistncia do ar, assim,ela precisa ou para pequenas velocidades (ou para um ambiente em vcuo). Conforme a velocidadeaumenta este equao passa a ser cada vez menos precisa. Erro de truncamento e arredondamento: representamos nmeros reais utilizando o sistema decimalou o binrio (utilizado por computadores) de um modo geral. Ao executarmos algumas operaes, oresultado pode necessitar de um nmero muito grande de dgitos (at mesmo um nmero infinito dedgitos, no caso de nmeros irracionais) para ser representado com exatido. O que ocorre na realidade que limitamos o nmero de dgitos de modo que o erro introduzido seja desprezvel para o propsito a1 Este processo pode ser de medio, clculo, estimativa, etc...2que se destinao clculo efetuado. Este procedimento chamado de truncamento. Por exemplo, o tpode ser representado com exatido pela expresso t = P/D onde P e D so o permetro e o dimetro deumcrculo.Noentanto,pum nmero irracional e para ser representado no sistema decimal serianecessrio um nmero infinito de dgitos. Tomando somente os primeiros 9 dgitos pode-se escrevert = 3,14159265. No entanto, para a maior parte das aplicaes o valor de 3,14 preciso o suficiente, ouseja, ovalor dettruncadonacasadacentena. Esteprocedimentointroduznoclculoumaincerteza na casa do milhar. Para amenizar oerrointroduzidopor truncamento, procedimentonormalarredondaronmero. Por exemplo, o valor de t truncado na 4a. casa depois da vrgula fica como 3,1415; no entanto,arredondamos para 3,1416 pois o dgito imediatamente aps o 5 um 9 e certamente 3,1416 maisprximo do valor de t que 3,1415. H discusses quanto a como arredondar de maneira adequada umnmero, neste curso tomaremos um processo simplificado que simplesmente arredonda para baixose o dgito subseqente for4 ou menor e para cima se o dgito subseqente for 5 ou maior.Erroabsoluto: Au=uu0 ondeuovalor obtidopor medioouclculoeu0ovalorconvencionado como correto para a varivel u.Erro relativo: 6u=uu0u0 =Auu0

Notar queou umnmeropuroque pode freqentemente ser apresentadona forma deporcentagem. Ou, ou = 0,1 o mesmo que ou = 10%.Propagao de erros: Se tomarmos 2 nmeros com suas respectivas incertezas, u Au ev Aveefetuarmos operaes com estes nmeros, tais como soma, subtrao, multiplicao, diviso, clculo delogaritmos, seno e cosseno, etc... o erro ir se propagar, isto , no resultado do clculo haver um erroque conseqncia de Au e Av. Soma e subtrao: w = u + vou w = u - vAw=.Au2+Av2Multiplicao e diviso: w = u v ou w = u/v 6w=.6u2+6v2=AwwCaso geral:w = w(u,vz) Aw=.(wu Au)2+(wv Av)2++(w z Az)23Pergunta: Com quantas casas devo deixar o resultado?Resposta: Com tantas casas quanto sejam necessrias para expressar o erro! Exemplo 1: Dados a = 62,1 0,2 eb =42,50,4; calcular c = a+b.Neste caso Aa = 0,2 e Ab = 0,4, entoc=a+b=104,6Ac=.(0,2)2+(0,4)2=0,4472...Ento c = 104,6 0,4.Exemplo 2: u = 2,125e v = 42,32, como expressarw = u/v ? Quando o erro no expresso de maneira explcita, estimamos como erro o valor de uma unidade damenor ordem de grandeza utilizada para expressar o nmero, isto , Au ~ 0,001 (porque u vai at a casado milsimo) e Av ~ 0,01 (porque v vai at a casa do centsimo). Da, w = 2,125/42,32 = 0,05021266541 6w=.(0,0012,125)2+(0,0142,32)2=0,000526581; Aw = oww = 0,000026443O resultado da operao deve ento ser expresso comow =0,05021 0,00003Exerccio2: Calcular asexpresses abaixocomosrespectivoserroseexpressar osresultadodemaneira adequada.a -) a = 12,5 ; b = 16 ; calculara + b ; a b ; a b; a/b .b -) c = 321,1 0,2;d= 123,420,08 ; calcularc + dec -d;c dec/d .c -) u = 115,13 0,08;v = 2,43 0,04 ; calcular u + v;u v ; u / v eu v. d -) m = 1,22105 ; n = 4,6104 ;calcular m + n ; m n ;m n em/n.e -)r = 0,0120,007 ; calcular ln(r) e cos(r) (Observao: o argumento do coseno emradianos.).f -) a = 22,50,5 ; calcular .(a) ; a2 ;a 2/3 . g-) a = 3,2110-6 ; b = 7,6810-7 ; calcular a + b ;a b ; a b ; a / b ; a2 + b2 ; .ab .4h -) a = 2,270,06 ;b = 0,7630,004 ; c = 156,10,9 ; calcular .(a+b)2+cExerccio 3: Um retngulo tem por lados A = (45,0 0,5) cm e B = (60,08 0,06) cm. Calcular eexpressar de maneira adequada o permetro e a rea do retngulo.Exerccio 4: A distncia de So Paulo a Curitiba de 400 km com uma incerteza de aproximadamente10 km. Se um veculo realiza uma viagem entre estas duas capitais em um intervalo de tempo de 4,0horas comumaincertezade10minutos, qual avelocidadeescalar mdiadoveculoequal suaincerteza? Obs.: a expressopara velocidadeescalar mdia ve=DAt, ondeD a distnciapercorrida e Dt o intervalo de tempo em que D foi percorrida.Exerccio 5: Um tambor de leo de forma cilndrica tem um dimetro de 6555 mme uma altura de11908 mm. Qual a capacidade volumtrica do tambor, com qual incerteza?5Sistemas Lineares de EquaesDado conjunto deequaes linearesa11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn = b2 ......................................................................................................................an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + + annxn = bn ou, na forma matricial (a11a12 a1na21a22 a2nan1an2 ann)(x1x2xn)=(b1b2bn)dizemos que o sistema tem soluo se e somente se existe o conjunto (x1, x2 xnTtal que a equaoacima seja verdadeira.Exemplo 3: Dado o sistema linear de equaes x1 + 2 x2 - x3 = 22 x1 - x2 - x3 = 0x1 - 2 x2 + 4 x3 = 3pode ser verificado, por substituio, que (1, 1, 1)T soluo para o sistema.Classificao de sistemas lineares - Quando o sistema tem soluo, dizemos que compatvel. Logo, o sistema dado no exemplo 3acima, compatvel.- Quando o sistema no tem soluo, dizemos que incompatvel.Exemplo 4: O sistema x1 + x2 = 1x1 + x2 = 2no tem soluo, logo, incompatvel.-Quando o sistema tem uma nica soluo, dizemos que determinado.6Exemplo 5: x1 + x2 = 2x1 - x2 = 0 determinado pois a soluo (1, 1)T.- Quando o sistema tem vrias solues possveis, dizemos que indeterminado. Exemplo 6:x1 + 2 x2 = 42 x1 + 4 x2 = 8 indeterminado pois a soluo qualquer x2, tal que x1 = 4 - x2.Um sistema compatvel e determinado se e somente se det |a| = 0.Exerccio 6:Verificar se os sistemas de equaes abaixo so compatveis e determinados (possuemsoluo nica):a-) x1 + 2 x2 - x3 = 2 b-) x1 + 2 x2 - x3 = 2 2 x1 - 2 x2 + x3 = 12 x1 - 2 x2 + x3 = 1x1 -4 x2 + 2 x3 = -1 x1 + 4 x2 + 2 x3 = -1 Sistemas triangulares: (so resolvidos por substituies retroativas) Exemplo 7: x1 + 2 x2 - 3 x3 = 4 x2 + 5 x3 = 7 2 x3 = 2Ento L3: 2 x3=2-x3=1L2: x2+51=7-x2=2L3: x1+2231=4-x1=3Pode-se mostrar que todo sistema compatvel e determinado pode ser reduzido a um sistema triangularusando transformaes elementares.Transformaes Elementares:a-) Trocar a ordem de 2 linhas;b-) Multiplicar uma linha por uma constante no nula;c-) Adicionar 2 linhas.7Soluo do Sistema de Equaes LinearesMtodo de Eliminao de Gauss.Consiste em, usando transformaes elementares, reduzir o sistema de equaes a um sistematriangular.Tcnica de pivotamento:Consiste em trocar a ordem das linhas de modo que na diagonal principalfiquem os maiores valores possvel.Exemplo 8:Resolver pelo mtodo de pivotamento de Gauss, o sistema linear de equaes abaixo: 2 x1 + 3 x2 - x3 = 5 4 x1 + 4 x2 - 3 x3 = 32 x1 - 3 x2 + x3 = -1Inicialmente troca-se de posio a 1 e a 2 linhas.4 4-3| 32 3-1| 52 -3 1 | -1A 2 e a 3 linhas so multiplicadas por 24 4-3| 34 6-2| 104 -6 2 | -2Agora subtrai-se a 2 linha da 1;o mesmo feito com a 3 linha.4 4-3| 30 -2-1| -70 10-5 |5Agora a 2 e a 3 linha so trocadas de posio para que o valor do piv seja o maior possvel.4 4-3| 3010-5 |50 -2-1| -78A 3 linha agora multiplicada por -54 4-3| 30 10-5 |50105 | 35Agora a 3 linha subtrada da 2, e teremos o sistema triangular.44 -3| 3010 -5| 500 -10|-30Agora, por substituio retroativas resolvemos o sistema de equaes.-10 x1 = -30 x1 = 310 x2 - 5 x3 = 5 10 x2 - 53 = 5 10 x2 = 20 x2 = 24 x1 + 4 x2 - 3 x3 = 3 4 x1 + 42 - 33 = 3 x1 = 1Exerccio 7: Resolver, pelo mtodo de pivotamento de Gauss, os sistemas lineares de equaes abaixo:a-)2,5 x1 -3 x2 + 4,3 x3 = 2,902 x1 + 6,1x2 + 2,7 x3= 27,64 x1 - 2 x2 + 1,6 x3 = 5,40b-) (31 12 2511 22 814 5 21)(x1x2x3)=(17715539 )c-)-3,21 x1 + 12,1 x2 + 4,01 x3 = -31,244,15 x1 + 4,35 x2 + 5,65 x3 = 59,772,01 x1 - 5,22 x2 + 10,91 x3 = 157,86d-) (0,04 0,12 1,250,89 0,02 0,860,21 0,45 0,11)(x1x2x3)=(0,05440,01600,0137 )e-)12,5 x1 + 2,15 x3 = 29,0-8,9 x1 + 4,25 x2 = -8,11,25 x2-5 x3 = -3,4f-) 2 x1 + x2 - 3 x3 = -1 x1 - x2 + 3 x3 = 73 x1 + 2 x2 - x3 = 6g-) x1 + x2 + x3 - 4 x4 = -1x1 + 2 x2 - 5 x3 + x4 = -12 x1 - 8 x2 + x3 - x4 = -64 x1 + x2 + x3 + x4 = 7h-)(0,04 0,12 1,250,89 0,02 0,860,21 0,45 0,11)(x1x2x3)=(0,05440,01600,0137 )9Mtodos iterativos de resoluo de sistema de equaes lineares.Mtodo de Jacobi:Seja o sistema linear a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn = b2 ......................................................................................................................an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + + annxn = bn De cada linha separado o termo da diagonal, ou seja,x1=b1a12x2a13x3++a1nxna11x2=b2a21x1a23x3++a2nxna22xi=bii jai jxjai i Inicialmentechutam-sevaloresiniciais ( x10, x20, x30,, xn0)T, ondeosuperescrito'0' indicaaprimeira aproximao; os valores dexi0so substitudos no lado direito da Eq. (1), gerando valoresxi1; osvaloresde xi1sosubstitudosnoladodireitodaEq. (1), gerandovalores xi2; eassimsucessivamente at que os valores de xi convirja para os valores procurados, com errospreviamenteestabelecidos.Obs.: Convenciona-se aqui erro inferido (Ax) como o mdulo da diferena entre um valor calculado de x e o seu valor calculado na iterao anterior. Assim,Ax3 = |x3 - x2| .Exemplo9:Resolver o sistema abaixo utilizando o mtodo iterativo de Jacobi, com um erro relativomenor que 0,5%:5 x1 - x2 = 3x1 + x2 = 3Isolando os termos da diagonal, tem-sex1 = (3 + x2) / 5x2 = 3 - x110Vamos chutar valores iniciais (x1, x2)T = (0, 0)T , e iniciar substituies sucessivas nas equaes acima,conforme mostrado na tabela abaixo,n x1 = (3 + x2) / 5 x2 = 3 - x1Ax1 Ax2 ox1 ox20 0,0000 0 - - - -1 0,6000 0,0000 0,6000 3,0000 100 100,002 1,2000 3,0000 0,6000 0,6000 50 25,003 1,0800 2,4000 0,1200 0,6000 11,11 33,334 0,9600 1,8000 0,1200 0,1200 12,50 6,255 0,9840 1,9200 0,0240 0,1200 2,44 5,886 1,0080 2,0400 0,0240 0,0240 2,38 1,197 1,0032 2,0140 0,0048 0,0240 0,48 1,208 0,9984 1,9968 0,0048 0,0048 0,48 0,24onde nindica a ordem da iterao (0 o 'chute' inicial),Axindica o erro absoluto e oxindica o errorelativo (em porcentagem na tabela).Exemplo10:Resolver o sistema de equaes lineares abaixo, pelo mtodo de Jacobi, com um erroabsoluto menor que 0,01.3 x1 + x2 - x3 = 10x1 + 2 x2 + x3 = 8x1 - x2 + 4 x3 = 5Acompanhe o desenvolvimento na tabela.n x1 (10-x2 +x3)/ 3x2(8-x1-x3)/2x3(5-x1+x2)/4Ax1Ax2Ax31 0,0000 0,0000 0,0000 - - -2 3,3333 4,0000 1,2500 3,3333 4,0000 1,25003 2,4167 1,7083 1,4167 0,9167 2,2917 0,16674 3,2361 2,0833 1,0729 0,82 0,3750 0,34385 2,9965 1,8455 0,9618 0,2396 0,2378 0,11116 3,0388 2,0208 0,9622 0,0422 0,1753 0,00047 2,9805 1,9995 0,9955 0,0583 0,0213 0,03338 2,9987 2,0120 1,0048 0,0182 0,0125 0,00929 2,9976 1,9983 1,0033 0,0011 0,0137 0,001410 3,0017 1,9995 1 0,0041 0,0013 0,003211Exerccio8:Determinar asoluodossistemaslinearesabaixo, comumerromenor que0,2%,utilizando o mtodo de Jacobi.a-) x1 + x2 + x3 - 4 x4 = -1x1 + 2 x2 - 5 x3 + x4 = -12 x1 - 8 x2 + x3 - x4 = -64 x1 + x2 + x3 + x4 = 7b-) x1 - 0,25x2 - 0,25x3 = 0-0,25x1 + x2 - 0,25x4 = 0-0,25x1 + x3 -0,25x4 = 0,25 -0,25x2 + x4 =0,25c-)0,09x1 + 3,00x2 - 0,15x3 = 9,004,00x1 + 0,24x2 - 0,08x3 = 8,000,04x1 - 0,08x2 + 4,00x3 = 20,00d-)(0,04 0,12 1,250,89 0,02 0,860,21 0,45 0,11)(x1x2x3)=(0,05440,01600,0137 )e-) 0,2 x1 5,1x2 + 0,2 x3 = 12,18,2 x1 + 0,6 x2 1,3 x3 = 1,20,3 x1 0,2 x2 7,2 x3 = - 6,5f-) 3 x1 5 x2 + 12 x3 = 11,255 x1 + x2 2 x3 = 2,32- 2 x1 + 7 x2 x3 = - 3,45g-) x1 + 2 x2 + 4 x3 =18- x1 + 3 x2 + x3= 14,55 x1 2x2 + x3 = 1,512Mtodo de Gauss-SeidelO mtodo de Gauss-Seidel semelhante ao de Jacobi, a menos que ao substituirmositerativamente valores de x, utilizamos sempre o valor mais atual. Por exemplo, vamos tomar umsistema de 3 equaes e trs incgnitas. Isolamos as equaoes de x1, x2 e x3 ; Chutamos valores parax10, x20, x30e com elescalcularmosx11; para calcularmosx21usamosx11e x30, e nox10e x30; para calcularmosx31usamosx11e x21, e assim sucessivamente.Exemplo 11: Resolver o sistema linear de equaes do Exemplo 10usando agora o mtodo de Gauss-Seidel.Acompanhe o desenvolvimento na tabelanx1 (10-x2 +x3)/ 3x2(8-x1-x3)/2x3(5-x1+x2)/4Ax1Ax2Ax31 0,0000 0,0000 0,00002 3,3333 2,3333 1,0000 3,3333 2,3333 1,00003 2,8889 2,0556 1,0417 0,4444 0,2778 0,04174 2,9954 1,9815 0,9965 0,1065 0,0741 0,04515 3,0050 1,9992 0,9986 0,0096 0,0177 0,00206 2,9998 2,0008 1,0003 0,0052 0,0016 0,0017Observe que enquanto que pelo mtodo de Jacobi foram necessrias 10 iteraes para convergir dentrodo erro especificado, pelo mtodo de Gauss-Seidel foram necessrias apenas 6. Exerccio 9: Resolver os sistemas de equaes lineares do exerccio 8usando o mtodo de Gauss-Seidel, com erros relativos menores que 0,2%.Critrio de convergncia para mtodos iterativosO sistema tem que ser diagonal dominante, ou seja, aii>jiaij.Exerccio10:Dossistemasdeequaeslinearesabaixosomentedoissodeterminadose, destes,somente um pode serresolvido utilizando um mtodo iterativo (Jacobi ou Gauss-Seidel). Identifique-os.a-)x1 + 2 x2 x3 = 1 b-) 3 x1 + x2 + 2 x3 = 12x1 x2 + 2 x3 = 0 x1+ 3 x2 2 x3 = 5132 x1 + x2 + x3 = 5 2 x1 - 2 x2 + 4 x3 =- 2 c-)x1 + x2 + x3 = 5 d-) x1 + 2 x2 + 4 x3 =18x1 x2 + x3 = 0 - x1 + 3 x2 + x3= 14,5x1 + x2 x3 = 3 5 x1 2x2 + x3 = 1,5Exerccio11:Doexerccioacima, resolvaonicosistemaquepodeser resolvidopor mtodositerativos pelo mtodo de Gauss-Seidel, com um erro menor que 1%.Exerccio 12: Do exerccio 10, resolva o sistema determinado que no pode ser resolvido por mtodositerativos, pelo mtodo de Gauss (Escalonamento).Exerccio 13:Em uma escavaode runas antigas foi encontrado um documento que dizia que nolocal havia um templo. De acordo com este documento, o templo tinha razes constantes entre a frentee altura e entre a altura e o comprimento do prdio, da seguinte maneira: a frente era 1,5 vezes a alturado prdio e o comprimento era 1,5 vezes a frente. Outro dado importante encontrado no documento eraque o permetro do templo era de 100 m. Baseado nestas informaes, monte um sistema de equaeslineares e resolva-a, determinando qual a altura, a frente e o comprimento do templo.Exerccio 14: Resolva o sistema de equaes abaixo usando o mtodo iterativo de Gauss-Seidel.6 x1-x2 + x3= 22x1 + 2 x2- 5x3=122 x1 - 8 x2 +x3=-10Exerccio 15: Com relao aos sistemas de equaes lineares abaixo, responda as questes a seguir. a-)b-) c-)

d-) e-)f-)

i-) Verificar quais dos sistemas acima possuem soluo nica.ii-) Dos sistemas acima, apenas 2 podem ser resolvidos usando mtodos iterativos. Resolva o primeiropelo mtodo de Jacobi e o segundo pelo mtodo de Gauss-Seidel.iii-) Dos sistemas acima, h 2 que, apesar de terem soluo nica, no podem ser resolvidos por mtodoiterativos. Resolva-os usando o mtodo de pivotamento de Gauss.14Equaes algbricas e transcendentes H um sem nmero de aplicaes em que necessrio determinar um certo nmero c tal que f(c) = 0. Este nmero chamado de raiz da funo f(x).Para equaes do 1, 2 e algumas do 3 e 4 graus, as razes podem ser obtidas por mtodosanalticos, mas para equaes de maior grau e equaes transcendentais, a determinao das razes feita numericamente. Para isto necessrio:a-) Isolar a raiz;b-) Refinar o valor aproximado.Teorema: Se uma funo f(x)assume valores de sinal oposto nos pontos extremos do intervalo [a, b],ou seja, se f(a)f(b) c2 = 1/Liii-) Para P''(x) = P(-x) ==> c3 = -Liv-) Para P'''(x) = xnP(-1/x) ==> c4 = -1/L17Assim, se houverem razes reais, elas estaro no intervalo dado por c2 < x < c1 para as razes positivasc3 < x < c4 para as razes negativasExemplo 15: Determinar, usando o Teorema de Lagrange, os intervalos onde h razes da funoalgbrica P(x) = 9 x4 - 117 x2 +324.1-) P(x) = 9 x4 - 117 x2 +324 an=9n=4B=117k=2 - L=1+42.1179 =4,6 ==>c1 = L = 4,62-)xn P(1/x) = x4 (9 /x4 - 117 /x2 +324) = 324 x2 - 117 x2 +9an=324n=4B=117k=2 - L=1+42.117324=1,6==> c2 = 1/L = 0,6253-)P(-x) = 9 x4 - 117 x2 +324an=9n=4B=117k=2 - L=1+42.1179 =4,6 ==>c3 = -L = -4,6 4-)xn P(-1/x) = x4 (9 /x4 - 117 /x2 +324) = 324 x2 - 117 x2 +9an=324n=4B=117k=2 - L=1+42.117324=1,6 ==>c4 = -1/L = - 0,625Ento, se houverem razes para o polinmio acima, elas estaro no intervaloc2 < x < c1 para as razes positivasc3 < x < c4 para as razes negativas, ou-4,6 < x < -0,625 e0,625 < x < 4,618Exerccio 17:Determinar, usando o Teorema de Lagrange, os intervalos onde h razes das funoalgbricas:a-) x3 - 5 x2 + 9 x - 45b-) 4x4 - 5 x3 - 7 x2 + 29 x + 30 c-) 3x5 - 4 x3 + 27 x2 + 108d-) 2x6 - 25 x4 + 32 x2 +45119Determinao de razes pelo mtodo da bissecoO Mtodo da bisseco consiste em:1. Determinar o intervalo onde h razes;2. Para cada intervalo [a, b], verificar se f(a)f(b) 0); calcula-se c = (a + b)/2 e verifiquese f(c) maior ou menor que zero;4. Se f(c) 0, ento a raiz estar no intervalo [a, c];5. Supor que a raiz esteja no intervalo [a, c]; divide-se o intervalo em 2 novamente com e = (a + c)/2 etesta-se f(e) e verifique se maior ou menor que zero, a raiz estar sempre entre um valor positivo eum negativo da funo.6. Repete-se sucessivamente at que a diferena entre dois valores de xseja menor que o valor pr-estabelecido de erro.Figura 1: Diagrama explicativo do mtodo da bisseco.Exemplo 16: Determinar pelo mtodo da bisseco a raiz positiva da funo f(x) = x2 -3.Usando o teorema de Lagrange, determinar o intervalo em que h razes positivas, isto P(x) = x2 -3 ean=1n=2B=3k=0- L=1+2.31=2,7,c1 = 2,7x2 P(1/x) = -3 x2 + 1,ento,P'(x) = 3 x2 -1ean=3n=2B=1k=0- L=1+2.13=1,6,c2 = 1/L = 0,620abcdef(x)Se houverem razes positivas, elas estaro no intervalo [0,6; 2,7]. Testa-se a funo nos pontosextremos e no valor mdio (0,6 + 2,7)/2 = 1,65, ou sejaf(0,6)= -2,64f(1,65) = -0,2775f(2,7) = 4,29a raiz estar ento no intervalo [1,65; 2,7] pois as funes nestes pontos tem sinais opostos, ou seja f(1,65)f(2,7) < 0. Testa-se ento o valor mdio entre os extremos (1,65 + 2,7)/2 =2,18f(1,65) = -0,2775f(2,18) = 1,752f(2,7)= 4,29e a raiz estar no intervalo [1,65; 2,18], pois f(1,65)f(2,18)