cálculo numérico

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  • 1. Sumario1 Conceitos Basicos 11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Processo de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Auto-Valores e Auto-Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Analise de Arredondamento em Ponto Flutuante 322.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 Sistema de Numeros Discreto no Computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Representacao de Numeros no Sistema F(

2. , t, m,M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Operacoes Aritmeticas em Ponto Flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Efeitos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.1 Cancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5.2 Propagacao do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5.3 Instabilidade Numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.4 Mal Condicionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 Equacoes nao Lineares 553.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Iteracao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Metodo das Secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.5 Metodo Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.6 Sistemas de Equacoes nao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.6.1 Iteracao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.6.2 Metodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.7 Equacoes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.7.1 Determinacao de Razes Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7.2 Determinacao de Razes Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.7.3 Algoritmo Quociente-Diferenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.8 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.9 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97i 3. 4 Solucao de Sistemas Lineares: Metodos Exatos 1084.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.2 Decomposicao LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3 Metodo de Eliminacao de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.4 Metodo de Gauss-Compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.5 Metodo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.6 Metodo de Eliminacao de Gauss com Pivotamento Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.7 Refinamento da Solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.8 Mal Condicionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.9 Calculo da Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.10 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.11 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505 Solucao de Sistemas Lineares: Metodos Iterativos 1565.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.2 Processos Estacionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.2.1 Metodo de Jacobi-Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.2.2 Metodo de Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.3 Processos de Relaxacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.3.1 Prncipios Basicos do Processo de Relaxacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.3.2 Metodo dos Gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.3.3 Metodo dos Gradientes Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.4 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.5 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856 Programacao Matematica 1916.1 Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917 Determinacao Numerica de Auto-Valores e Auto-Vetores 1927.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927.2 Metodo de Leverrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.3 Metodo de Leverrier-Faddeev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.4 Metodo das Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.4.1 Metodo da Potencia Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.4.2 Metodo das Potencias com Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077.5 Auto-Valores de Matrizes Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.5.1 Metodo Classico de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137.5.2 Metodo Cclico de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2187.6 Metodo de Rutishauser (ou Metodo LR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2207.7 Metodo de Francis (ou Metodo QR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.8 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.9 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2308 Aproximacao de Funcoes: Metodo dos Mnimos Quadrados 2348.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2348.2 Aproximacao Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2358.2.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2358.2.2 Caso Discreto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.2.3 Erro de Truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.3 Aproximacao Trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246ii 4. 8.3.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.3.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2508.4 Outros Tipos de Aproximacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2528.5 Sistemas Lineares Incompatveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2628.6 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.7 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2689 Programacao nao Linear 27910 Aproximacao de Funcoes: Metodos de Interpolacao Polinomial 28010.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28010.2 Polinomio de Interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28010.3 Formula de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28310.4 Erro na Interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28710.5 Interpolacao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29010.6 Formula para Pontos Igualmente Espacados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29210.7 Outras Formas do Polinomio de Interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29610.7.1 Diferenca Dividida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29710.7.2 Calculo Sistematico das Diferencas Divididas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29710.7.3 Alguns Resultados sobre Diferencas Divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29910.7.4 Formula de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29910.7.5 Diferencas Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30610.7.6 Calculo Sistematico das Diferencas Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30710.7.7 Formula de Newton-Gregory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31010.8 Exerccios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31210.9 Problemas Aplicados e Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31611 Integracao Numerica 32111.1 Introducao . . . . . . . . . . . .