calculo limites de funcoes

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Matematica Essencial: Superior: Calculo: Limites de funcoes reais file:///C:/Documents%20and%20Settings/Administrador/Meus%20do... 1 de 10 26/02/2007 10:18 09 - Limites de funções reais O papel dos limites de funções Idéia intuitiva de Limite Limite de uma função real Limites infinitos Limites no infinito Propriedades dos limites Um limite lundamental O papel dos Limites de funções reais O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental. O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, ... Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível através de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limites e continuidade. Na verdade, este cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresentado no final) que é uma consequência do estudo de continuidade de funções. Idéia Intuitiva de Limite Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R-{1} R definida por: f(x)= x²-1 x-1 Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1 Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como por valores x>1 (à direita de 1).

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09 - Limites de funções reaisO papel dos limites de funçõesIdéia intuitiva de LimiteLimite de uma função realLimites infinitos

Limites no infinitoPropriedades dos limitesUm limite lundamental

O papel dos Limites de funções reais

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante emtoda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Háuma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são osúltimos, a Teoria de Limites é fundamental.

O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meiofísico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algoque está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nosestudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, ...

Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que4 somente é possível através de métodos numéricos que utilizam fortementeas idéias de limites e continuidade. Na verdade, este cálculo depende doTeorema do Valor Intermediário (apresentado no final) que é umaconsequência do estudo de continuidade de funções.

Idéia Intuitiva de Limite

Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de umponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R-{1} R definida por:

f(x)=x²-1x-1

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma maissimples:

f(x) = x + 1

Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1,ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta funçãose aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x seaproximam de x=1, tanto por valores de x<1 (à esquerda de 1) como porvalores x>1 (à direita de 1).

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Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento dafunção f, para valores x à esquerda e à direita de x=1.

Pela esquerda de x=1x 00,50,80,90,99 0,9991

f(x)11,51,81,91,99 1,9992

Pela direita de x=1x 21,51,21,11,01 1,0011

f(x)32,52,22,12,01 2,0012

Neste caso, dizemos L=2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, oque denotaremos por:

Limx 1 f(x) = 2

Este resultado pode ser visto através da análise gráfica de f, cujo esboçovemos na figura abaixo:

Limite de uma função real

Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no pontox=c que pertence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que:

O limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores dafunção se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (àdireita de c) maiores do que c. Em símbolos:

Limx c+ f(x) = Ld

1.

O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores dafunção se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (àesquerda de c) menores que c. Em símbolos:

Limx c_ f(x) = Le

2.

Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral àdireita Ld, diz-se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor éLd=Le=L. Com notações simbólicas, escrevemos:

Limx c f(x) = L

O que significa que, para qualquer e>0 e arbitrário, existe um d>0, que

3.

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depende de e, tal que

|f(x)-L|< e

para todo x satisfizando 0 <|x-a|<d.

No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso deambos existirem porém com valores diferentes, diremos que a funçãonão tem limite no ponto em questão.

4.

O próximo resultado afirma que uma função não pode se aproximar de doislimites diferentes ao mesmo tempo e ele é denominado o teorema daunicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então eledeverá ser único.

Unicidade do Limite: Se Lim f(x)=A e Lim f(x)=B quando x tende ao ponto c,então A=B.

Demonstração: Se e>0 é arbitrário, então existe d'>0 tal que

|f(x)-A| < e/2

sempre que 0<|x-a|<d'. Como também temos por hipótese que existe d">0tal que

|f(x)-B| < e/2

sempre que 0<|x-a|<d" e tomando d=min{d',d"}>0, temos que:

|f(x)-A| < e/2 e |f(x)-B| <e/2

sempre que 0<|x-a|<d e pela desigualdade triangular, temos:

|A-B| = |A-f(x)+f(x)-B| < |A-f(x)| + |f(x)-B|

e como e>0 é arbitrário, temos:

|A-B| < e

então |A-B| = 0, o que garante que A=B.

Exercício: Se |z|<e para todo e>0, mostre que z=0.

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Limites Infinitos

Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamentonumérico desta função através das tabelas abaixo.

Comportamento de f à esquerda de x=0x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001

f(x) -1 -10 -100 -1000 -10000

Quando x 0, por valores maiores que zero (x 0+) os valores da funçãocrescem sem limite.

Comportamento de f à direita de x=0x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

f(x) 1 10 100 1000 10000

Quando x 0, por valores menores que zero (x 0_) os valores da funçãodecrescem sem limite.

Observamos que próximo de x=0, o comportamento da função é estranho.

Baseado neste exemplo, podemos afirmar que quando x tende a 0 estafunção não tem os valores se aproximando de um limite bem definido.

Ao analisar o comportamento numérico de f(x)=1/x², nas proximidades dex=0, observamos que:

Comportamento de f à esquerda de x=0x 1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001

f(x) 1 100 10000 1000000 100000000

Comportamento de f à direita de x=0

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x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001f(x) 1 100 10000 1000000 100000000

Observamos pelas tabelas, que se x 0, porvalores maiores ou menores do que 0, osvalores da função crescem sem limite.Assim, podemos afirmar, por este exemploque, quando x 0 esta função tem os valoresse aproximando de um limiar (inf=infinito= ).Neste caso, dizemos que não existe o limitede f(x)=1/x² no ponto x=0, mas denotamostal fato por:

Limx 0 1/x²=+

Por causa desta notação costuma-se dizer que algumas funções têm limitesinfinitos e por causa deste limite, dizemos também que o gráfico destafunção tem uma assíntota vertical, que é uma reta cuja equação é dada porx=0, neste caso.

Definição: Seja f uma função definida para todo x em I, excetopossivelmente no ponto x=a em I um intervalo aberto contendo a. Diz-se quef tem limite infinito, quando x se aproxima de a, o que é denotado por:

limx a f(x)=+

se, para todo número real L>0,existir um d>0 tal que se 0<|x-a|<d, então

f(x) > L

De modo similar, g(x)=-1/x² apresenta umgráfico com todos os valores da imagem nointervalo (- ,0). O comportamento de gpróximo de x=0 é similar ao de f(x)=1/x²,porém os valores são negativos. Neste caso,dizemos que não existe limite no ponto x=0,no entanto representamos tal resultado por:

Limx 0 -1/x²=+

Definição: Se o limite de f(x) tende a infinito, quando x a pela esquerda etambém pela direita, dizemos que o limite de f(x), quando x a é infinito eescrevemos:

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limx af(x) = +

Analogamente, a expressão matemática:

limx af(x)=-

significa que f(x) tende a - , se x a pela esquerda e também pela direita.

Limites no Infinito

Analisaremos agora o comportamento de h(x)=1/x, quando x crescearbitrariamente (x ) ou quando x decresce arbitrariamente (x - ).

Comportamento de h para x pequenosx -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000

h(x) -1 -0,1 -0,01-0,001 -0,0001-0,00001

Comportamento de h de h para x grandesx 1 10 100 1000 10000 100000

h(x) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

Pelas tabelas observamos que:

Limx + h(x) = 0 Limx - h(x) = 0

e quando construimos o gráfico de h, observamos que existe uma reta(assíntota) horizontal que é a reta y=0, que nunca toca a função mas seaproxima dela em + e em - .

Temos então uma definição geral, englobando tal situação:

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Definição: Seja f uma função definida para todos os valores do intervalo (a,). Escrevemos:

quando, para todo e>0, existe um número real M>0 tal que |f(x)-L|<e sempreque x>M.

Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal.

Definição: Dizemos que a reta y=L é uma assíntota horizontal do gráfico de fse

ou

Propriedades dos limites

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças,produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremospropriedades que podem ser usadas para simplificar as funções maiselaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos x a.

Se f(x)=C onde C é constante, então

Lim f(x) = Lim C = C

1.

Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então

Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b

2.

Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais ealém disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:

Lim(f ± g)(x) = [Lim f(x)] ± [Lim g(x)] = A ± Ba.

Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·Bb.

Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·Ac.

Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = And.

Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.e.

Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A)f.

3.

Se acontecer uma das situações abaixo:

Lim f(x) = 0i.

4.

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Lim f(x)>0 e n é um número naturalii.

Lim f(x)<0 e n é um número natural ímpariii.

então

Observações sobre as propriedades:

As propriedades que valem para duas funções, valem também para umnúmero finito de funções.

1.

As propriedades 3-a, 3-b e 3-e estabelecem que se existem os limitesdas parcelas, então, existirá o limite da operação, mas a recíprocadeste fato não é verdadeira, pois o limite de uma operação pode existirsem que existam os limites das parcelas.

2.

Teorema do anulamento: Se f é uma função limitada e g é uma função talque Lim g(x)=0, quando x a, então:

Lim f(x)·g(x) = 0

Este resultado útil para podermos obter cálculos com limites.

Teorema do Confronto (regra do sanduiche): Se valem as desigualdadesf(x)<g(x)<h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto talvezem x=a e se

Lim f(x) = L = Lim h(x)

então:

Lim g(x) = L

Exemplo: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdades:

cos(x) < sen(x)/x < 1

então, quando x 0:

1 = Lim cos(x) < Lim sen(x)/x < Lim 1 = 1

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Observações: Todas as propriedades vistas para o cálculo de limites, sãoválidas também para limites laterais e para limites no infinito.

Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das sete formas,que são denominadas expressões indeterminadas,

nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado decada caso.

Um Limite Fundamental

Estudaremos agora um limite fundamental que é utilizado na obtenção daderivada da função seno.

Limx 0sen(x)/x = 1

A derivada da função f(x)=sen(x) no ponto x=a, pode ser obtida pelo limite

f'(a)=Limx a (sen(x)-sen(a))/(x-a)

mas

sen(x)-sen(a) = 2 sen[(x-a)/2].cos[(x+a)/2]

então

f'(a)=Lim 2 sen[(x-a)/2].cos[(x+a)/2]/(x-a)f'(a)=Lim cos[(x+a)/2].sen[(x-a)/2]./[(x-a)/2]

Com x=a+2u, reescreveremos a última expressão como:

f'(a)=Lim cos(a+u).sen(u)/u=Lim cos(a+u).Lim sen(u) /u

e quando u 0, segue que:

f'(a)=cos(a)

De um modo geral, a derivada da função seno é a função cosseno eescreveremos:

sen'(x) = cos(x)

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Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 05/abr/2005.