cÁlculo iii - integrais de linha resolvidas em 04 mai 2011

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Rua 96 nº 45 – Setor Sul – Goiânia Email: [email protected] CURSOS LIVRES DE 3º GRAU CÁLCULO III INTEGRAIS DE LINHA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Calcule a integral de linha onde C é uma semicircunferência centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo. Solução: A parametrização dessa semicircunferência será dada por: . Substituindo: 2. Calcular a integral onde C é a hélice circular dada por : Solução: Assim, podemos escrever: 3. Calcule , onde C é o segmento de reta que liga A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1). Solução: Parametrização do segmento de reta AB: 1 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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CURSOS LIVRES DE 3º GRAU

CÁLCULO III

INTEGRAIS DE LINHA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Calcule a integral de linha onde C é uma semicircunferência centrada na origem de raio igual a 3

e orientada no sentido positivo.

Solução:

A parametrização dessa semicircunferência será dada por:

. Substituindo:

2. Calcular a integral onde C é a hélice circular dada por :

Solução:

Assim, podemos escrever:

3. Calcule , onde C é o segmento de reta que liga A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1).

Solução:

Parametrização do segmento de reta AB:

1 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Substituindo (1) e (2) na integral dada:

Resp.: 12

4. Calcule , onde C é a interseção da esfera x² + y² + z² = 4 com o plano x = y.

Solução:

Vamos parametrizar a curva dada:

Substituindo (1) e (2) na integral dada:

Resp.: 0

2 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Outra Solução:

Resp: 0

5. Calcule , onde C é a elipse .

Solução:

A parametrização da elipse é dada por:

3 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Substituindo na integral dada:

Resp.:0

6. , onde C é o arco da parábola z = y² e x = 1 de A(1,0,0) a B(1,2,4).

Solução:

Parametrizando C:

Assim:

Assim:

4 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Resp:

7. , onde C é a curva dada por y = x³ de (-1,-1) a (1, 1).

Solução:

Sabemos que:

Parmetrizando C:

Assim:

5 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Resp:

8. Calcule , onde C é a interseção das superfícies x² + y² + z² = 9 e x + z = 3.

6 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Solução:

Parametrizando C:

Assim:

7 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Resp: 0

9. Calcule , onde C é a interseção das superfícies z = x² + y² e z = 4.

Solução:

A curva C é a circunferência x² + y² = 4, cuja parametrização é dada por:

10. Calcule , onde C é o quadrado de vértices (1,0,1), (1,1,1),(0,1,1) e (0,0,1).

8 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Solução:

Parametrizando os segmentos de reta que formam os lados do quadrado, temos:

9 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Assim:

Resp: 8

10 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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11. Calcular a integral onde C é a interseção das superfícies x² + y² = 4 e y + z = 8.

12. Calcular , sendo C o triângulo de vértices A(0,0), B(1,0) e C(1,2), no sentido anti-horário.

13. Calcule , onde C é a interseção das superfícies x² + y² + z² = 9 e x + z = 3.

14. Calcule , onde C é a interseção das superfícies z = x² + y² e z = 4.

15. Calcule , onde C é a interseção das superfícies x² + y² + z² = 8z e z = 4.

16. Calcule , onde C é a parte da curva de Gauss de A(0,1) a .

17. , onde .

Solução:

Resolvendo :

11 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Substituindo:

12 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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18. , onde .

Solução:

Uma equação vetorial para a hipociclóide é:

Assim:

13 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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19. , onde .

Solução:

Assim:

14 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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20. , onde C é o triângulo da figura abaixo:

Solução:

Parametrizando os segmentos de reta .

15 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Assim:

16 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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21. , onde C é a semicircunferência da figura abaixo:

Solução:

Parametrizando a semicircunferência, temos:

17 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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22. , onde C é o 1º arco da ciclóide:

.

Solução:

Substituindo na integral:

18 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Resolvendo :

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Substituindo:

20 AFONSO CELSO – FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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Resolvendo :

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Substituindo na integral:

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