cálculo i

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Cálculo I Prof: Wildson Cruz Email: [email protected] Blog: www.engenhariaestacio.wordpress.com

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Cálculo I. Prof : Wildson Cruz Email: [email protected] Blog: www.engenhariaestacio.wordpress.com. Unidade I  DERIVADAS. 1.1 Conceituação de Derivadas 1.2 Regras Básicas de Derivação 1.3 Derivadas de ordem superior 1.4 A Regra da Cadeia 1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Cálculo I

Cálculo I

• Prof: Wildson Cruz• Email: [email protected]• Blog: www.engenhariaestacio.wordpress.com

Page 2: Cálculo I

•1.1 Conceituação de Derivadas

•1.2 Regras Básicas de Derivação

•1.3 Derivadas de ordem superior

•1.4 A Regra da Cadeia

•1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas

•1.6 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas

•1.8 Derivação Implícita

•1.9 Equação de reta tangente e normal

Unidade I DERIVADAS

Page 3: Cálculo I

• 2.1 Taxas Relacionadas•

2.2 Máximos e Mínimos.•

2.3 Problemas de Otimização

UNIDADE II- APLICAÇÕES DE DERIVADAS

Page 4: Cálculo I

• 3.1 Integral Indefinida•

3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição•

3.3 Integrais Definidas•

3.3 Teorema Fundamental do Cálculo•

3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal

UNIDADE III- INTEGRAÇÃO

Page 5: Cálculo I

• 4.1 Procedimentos Algébricos•

4.2 Integração por Partes •

4.3 Integração de Funções Racionais  por Frações Parciais•

4.4 Regra de L´Hôpital e Integrais Impróprias

Unidade IV-Técnica de Integração

Page 6: Cálculo I

• 5.1 Cálculo de Volumes por fatiamento•

5.2 Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo•

5.3 Cálculo do Comprimento curvas planas

UNIDADE V- APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS

Page 7: Cálculo I

Introdução

• Definição de Derivada• Exercícios.

Page 8: Cálculo I

Introdução

A Derivada

Page 9: Cálculo I

Introdução

• Definição de Derivada• Exercícios.

Page 10: Cálculo I

Introdução

• O que é uma derivada?• Problema: Determinar o coeficiente angular da reta

tangente ao gráfico de uma função em um ponto P dado.

Page 11: Cálculo I

A Reta Tangentet

sx1+∆x

f(x1+∆x)

y = f(x)

∆x

x1

f(x1)P

Page 12: Cálculo I

s

A Reta Tangentet

y = f(x)

∆x

x1

f(x1)

x1+∆x

f(x1+∆x)

Page 13: Cálculo I

tA Reta Tangente

x1

f(x1)

y = f(x)

∆x

x1+∆x

f(x1+∆x)

Page 14: Cálculo I

• Coeficiente Angular da Reta Tangente:

2 1 1 1

2 1

( ) ( )s

y y f x x f xymx x x x

1 1

0 0 0

( ) ( )lim lim limt sx x x

f x x f xym mx x

A Reta Tangente

• Coeficiente Angular da Reta Secante:

s

∆x

2 1x x x

2 1( )y f x x

1 1( )y f x

1x

( )y f x

t

∆y

Page 15: Cálculo I

Introdução

• EX: Calcular o coeficiente angular da reta tangente à parábola y= x2 no ponto P=(x1 , y1).

f(x)= x2

x

P=(x1 , f(x1))= (x1 , (x 1) 2)

1 1

0 0 0

( ) ( )lim lim limt sx x x

f x x f xym mx x

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

0 0

( ) ( ) 2lim limt x x

x x x x x x x xmx x

Page 16: Cálculo I

A Reta Tangente

x1+∆xx1

f(x1)

f(x1+∆x)

21 1

1 10 0 0

2 (2 )lim lim lim(2 ) 2t x x x

x x x x x xm x x xx x

Page 17: Cálculo I

Introdução• Exercício em sala: Calcular o coeficiente angular da reta

tangente à parábola y= 2x2 +1 no ponto P=(x1 , y1).

f(x)= 2x2 +1

x

P=(x1 , f(x1))= (x1 , 2(x 1) 2 +1)

1 1

0 0 0

( ) ( )lim lim limt sx x x

f x x f xym mx x

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

0 0

[2( ) 1] [2( ) 1] 2( 2 ) 1 2 1lim limt x x

x x x x x x x xmx x

2 2 2

1 1 1 110 0

2 4 2 1 2 1 (4 2 )lim lim 4t x x

x x x x x x x xm xx x

Page 18: Cálculo I

Introdução• Exercício em sala: Calcular o coeficiente angular da reta

tangente à parábola y= 2x2 +1 no ponto P=(-1 , 3).

1 1

0 0

( ) ( ) ( 1 ) ( 1)lim limt x x

f x x f x f x fmx x

2 2 2

0 0

[2( 1 ) 1] 3 2(( 1) 2 ) 1 3lim limt x x

x x xmx x

2

0 0

2 4 2 2 ( 4 2 )lim lim 4t x x

x x x xmx x

f(x)= 2x2 +1

x

P=(-1 , f(-1))= (x1 , 2(-1) 2 +1)

-1

3

Page 19: Cálculo I

FASE I:Definição de Derivada

• Definição: Dada uma função real f, sua derivada f´ é a nova função cujo valor no ponto x é definido por

0lim

x

f(x + x) - f(x)f´(x) =x

OBS: Pode ser que o domínio de f´ não esteja definida em todo domínio de f.

Page 20: Cálculo I

FASE I:• Ex1: :

, se 0 ( )

, se 0

fx x

x f x xx x

??

0lim

x

f(0 + x) - f(0)f´(0)=x

Tomando valores positivos para , temos:x

0 0 01lim lim lim

x x x

0 + x - 0 x xf´(0) = =x x x

Tomando valores negativos para , temos:x

0 0 01lim lim lim

x x x

0 + x - 0 x xf´(0) = =x x x

Page 21: Cálculo I

FASE I:• Definição: Se o limite existe para x=a, então a função diz-se

diferenciável em a. Uma função diferenciável é aquela que possui derivada em cada ponto do seu domínio.

• Exemplo de função diferenciável:

• Contra-exemplo de função diferenciável

2 f(x) = x f´(x) = 2x

0 0lim lim

x x

f(x) = x

f(x + x) - f(x) x + x - xf´(x) =x x

( )( )

x x xx x x

2 2

0 0 0

( ( ) 1 1( ( ( 2lim lim lim

x x x

x + x) x xx x + x + x) x x + x + x) x + x + x) x

Page 22: Cálculo I

FASE I:• Definição: Para toda função dada por y=f(x), a derivada de f

chama-se taxa de variação de y com relação a x.• Outras notações para derivada:

( );́ ; ; ( ).dy df x dy f xdx dx dx

Page 23: Cálculo I

FASE II: Exercícios

1)Calcule a taxa de variação de f(x)= 1-x/2+x2) Calcule a derivada de f(x)=53)Dada y= x3 , usando a definição de derivada, calcule y´.