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Cálculo I (2015/1) � IM � UFRJLista 1: Pré-Cálculo

Prof. Milton Lopes e Prof. Marco CabralVersão 17.03.2015

Para o Aluno

O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chama-remos de pré-cálculo. Quanto antes foram revistos e dominados melhor. Recomendamos que o aluno,além de fazer esta lista, estude e revise estes tópicos utilizando livros do ensino médio ou Cálculo e aInternet.

Recomendamos o uso de softwares: (a) para visualização de grá�cos (uma sugestão é fooplot, queé um site que plota grá�cos sem precisar instalar programa). (b) CAS (computer algebra system) quefaz manipulações algébricas (sugerimos maxima, que tem versão para Linux e Windows).

Tópicos do Pré-Cálculo

1. Aritmética e Álgebra.

(a) Propriedades de potências de mesma base e de raízes. Potências fracionárias e negativas.

(b) Racionalizar expressões algébricas envolvendo raízes.

(c) Divisão de polinômios.

(d) Teorema de D'Alambert: Se a é raiz de um polinômio, então ele é divisível por x− a.

(e) Signi�cado de somatórios, como por exemplo3∑

i=1

(i2−5i) = (12−5·1)+(22−5·2)+(32−5·3).

(f) Produtos notáveis: (a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2 e (a+ b)(a− b) = a2 − b2.

2. Funções.

(a) Domínio e imagem de função.

(b) Funções de�nidas por palavras, por grá�cos, por tabelas e por fórmulas explícitas. Funçãode�nida por partes.

(c) Composição de funções.

(d) Função injetiva, sobrejetiva, crescente/decrescente.

(e) Grá�cos de funções. Translação de grá�co de funções (horizontal e vertical).

(f) Quando uma curva no plano é o grá�co de uma função? Teste da reta vertical. Dado ográ�co de uma função, quando (e onde) ela possui inversa? Teste da reta horizontal.

(g) Função par/impar: de�nição e simetrias no grá�co.

(h) Função inversa e seu grá�co, obtido por re�exão em torno da reta y = x. Exemplos impor-

tantes: arcsen, arctan, log x e√x (não é verdade que arsen x é igual a

1

senx!).

(i) Sinal de funções racionais, função da forma f(x) =p(x)

q(x), onde p e q são polinômios. Técnica:

Quadro de sinais.

(j) Máximo e mínimo de função do segundo grau em intervalos fechados (pode estar nos extre-mos).

(k) Funções logaritmo e exponencial. Propriedades básicas (soma/produto). Uma inversa daoutra. Observação: loge = ln. Em cálculo log = ln, embora para alguns autores log = log10.Ao longo do Cálculo será explicado porque utilizamos e como base do logaritmo.

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(l) Funções Trigonométricas. Ângulo medido em radianos (em Cálculo esta é a unidade con-veniente). Comprimento do arco de círculo. Determinar quadrante de ângulo no círculotrigonométrico. Saber determinar sinal e/ou valor de seno, cosseno e tangente de ânguloqualquer. Saber localizar no círculo trigonométrico seno, cosseno, tangente. Proprieda-des básicas: sen(−x) = − senx, cos(−x) = cosx. sen(a ± b) = . . ., cos(a ± b) = . . . etc.sen2(x) + cos2(x) = 1.

3. Geometria Analítica no Plano Básica.

(a) Equação da reta no plano: signi�cado geométrico do coe�ciente angular (incluindo comodeterminar que 2 retas são perpendiculares entre si pelo coe�ciente angular), saber calcularequação da reta que passa em dois pontos no plano, e que passa em um ponto com certocoe�ciente angular

(b) Saber calcular interseção entre: duas retas (= resolver sistema linear); reta e equação do 2ograu; duas equações do 2o grau.

(c) Distância entre dois pontos no plano e Pitágoras. Função módulo e distância.√x2 = |x|

(não é x).

Exercícios

• Aritmética e Álgebra.

1. Determine k e m se 27 · 322 = 3−k e25 · 52m+1

5−3= 5−2.

2. Escreva 274√413915 na forma 2x3y.

3. Determine p, q inteiros tais que811/4

9−1/2× 3−3

30=p

q.

4. Escreva expressão equivalente a3√x+ 1

1 +√x

sem raiz no denominador (racionalize).

5. Determine o quociente e o resto da divisão de x4 − 3x2 + x+ 1 por x2 − 1.

6. (Veri�que o Teorema de D'Alambert.) Veri�que que −2 é raiz de x3 + 4x2 − 11x − 30.Aplique o teorema de D'Alambert para dividir o polinômio e obter TODAS raizes.

7. Determine o valor de5∑

i=2

(2i+ 1).

8. Calcule (a+ b)2 − (a− b)2.

• Funções.

1. Determine imagem da função g(x) = (3− x)2 − 5.

2. Determine o domínio da função g(x) =log(1− x)1−√x+ 2

.

3. Dado x ∈ R, de�na f(x) como o maior inteiro menor que x. Determine: f(π) e f(−π).Esta função é injetiva? É sobrejetiva? Qual sua imagem?

4. Esboce o grá�co de f(x) =

{x2, se x < 1,

4− 3x, se x ≥ 1.

5. Se f(x) = 3x− 1 e g(x) = 5x2 − 4, determine: g(f(x)) e f(g(x)).

6. Determine o maior intervalo contendo −10 onde f(x) = (x+1)2+1 é injetiva. Esta funçãoé sobrejetiva?

7. Determine, caso seja possível, TODOS intervalos onde é crescente: (a) f(x) = 9 − x2.(b) f(x) = 6− 2x. (c) f(x) = log(x)− 4. (d) f(x) = 3x− 7. (e) f(x) = sen(x)− 4.(f) f(x) = e−x.

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8. Baseado no grá�co de f(x) = x2, esboce o grá�co de g(x) = (x+ 2)2 − 3.

9. Esboce os grá�cos de f(x) =1

xe f(x) =

1

x2. Elas são funções par ou impar?

10. Esboce o grá�co de f(x) =√x e, fazendo translações, de g(x) = 3 +

√x+ 4.

11. Determine intervalos onde a curva abaixo pode representar o grá�co de uma função.

2x

y

12. Considere o grá�co de g da �gura abaixo.(a) Determine intervalos onde g é injetiva.(b) Nestes intervalos pode-se de�na uma função inversa g−1. Determine o domínio de g−1

associado a estes intervalos.

2

g(x)

−1 2x

y

13. Esboce o grá�co de f(x) = x3 e f(x) = x4 (são semelhantes ao de x e x2 respectivamente).Baseado nestes grá�cos, esboce o grá�co das inversas 3

√x, 4√x (re�exão em torno da reta

y = x).

14. Baseado no grá�co de f(x) = ex, esboce o grá�co da sua inversa log x (re�exão em tornoda reta y = x).

15. Determine intervalos onde é positiva e onde é negativa cada função abaixo.

(a) f(x) =x2 + 5x+ 6

1− x2. (b) g(x) =

x(x+ 2)

1− x2.

16. Determine o máximo e mínimo de f(x) = (x− 1)2 +2 nos intervalos: (a) [0, 3]. (b) [2, 3].

17. Determine a ∈ R se log10(1003a · 10) = 9.

18. Determine o valor de: (a) e0. (b) log 0. (c) ln 1. (d) ln e. (e) eln 3. (f) ln(e5).

19. Determine o valor de: (a) sen(3π/2). (b) cos(3π). (c) tan(3π/4). (d) cos(5π/4).

20. Expresse log5 30 utilizando ln.

21. Determine em qual quadrante do círculo trigonométrico �ca o ângulo (em radianos):(a) 32π/3. (b) 13π/4. (c) −21π/5.

22. Determine o sinal de seno e cosseno de β = π − 1 e θ = 1 + 3π/2.

23. Sabendo que senβ = −2/3, determine valores possíveis para cosβ.

24. Sabendo que tan γ = −5 e que cos γ > 0, determine sen γ.

25. Determine em termos de sen a e cos a (utilizando fórmulas de sen(a+b) e cos(a+b)): cos(3a)e sen(−4a).

• Geometria Analítica no Plano Básica.

1. Ordene as retas de acordo com seu coe�ciente angular:3y − 2x+ 4 = 0, 3x+ 2y = 4, 5x+ 3y = 0.

2. Determine a equação da reta que passa em (1, 2):(a) e em (−2, 3). (b) com coe�ciente angular 2. (c) perpendicular à reta 3y + 2x = 1.

3. Determine a interseção (todos os pontos) entre o grá�co de y = x2 + x − 2 e o grá�co de:(a) 2y − x+ 1 = 0. (b) y + x2 − x = 0.

4. Determine a distância entre os pontos do plano (−2, 1) e (4,−1).5. Determine todo a, x ∈ R tal que: (a) |a+ 2| = 4. (b) |x− 2| < |x+ 1|.6. Veri�que se

√x4 + x2 = x

√x2 + 1 para todo x ∈ R.

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Respostas dos Exercícios

• Aritmética e Álgebra.

1. k = −25, m = −4.2. x = 13/2, y = 21/2.

3. p = 1, q = 3.

4.−3x+ 2

√x+ 1

1− x, obtida multiplicando numerador e denominador por 1−

√x.

Com maxima: expand((3*sqrt(x)+1)*(1-sqrt(x)));

5. Quociente: x2 − 2, resto: x− 1. Com maxima: divide(x^4 - 3*x^2 +x + 1, x^2-1);

6. Raizes: −2,−5, 3. Como −2 é raiz, divida polinômio por (x − (−2)) = x + 2. Obtenha polinômiodo 2o grau e determine suas raizes.

7. 32. Com maxima: sum(2*i+1, i, 2, 5);

8. 4ab.

• Funções.

1. (−5,∞) pois g(x) ≥ −5 para todo x (note que (3− x)2 é sempre não-negativo).

2. Resposta: os intervalos [−2, −1) e (−1, 1). Como existe logaritmo somente de números positivos,1−x deve ser positivo, ou seja, 1−x > 0, logo 1 > x. Por outro lado, x+2 ≥ 0, logo x ≥ −2. Alémdisso o denominador não pode se anular: 1−

√x+ 2 6= 0, o que implica x 6= −1. Assim 1 > x > −1

ou −1 > x ≥ −2.3. f(π) = 3 e f(−π) = −4. Não é injetiva pois f(π) = f(3, 5). Não é sobrejetiva pois a imagem é

somente os inteiros: Imagem de f : Z.4.

1−1 x

y

5. g(f(x)) = 45x2 − 30x+ 1 e f(g(x)) = 15x2 − 13.Com maxima: f(x) := 3*x-1; g(x) := 5*x^2-4;expand(f(g(x)));

6. (−∞, −1), pois a função é decrescente (e portanto injetiva) para x < −1. Basta ver que seu vérticeé em x = −1. Não é sobrejetiva pois sua imagem é somente o intervalo (1, ∞).

7. (a) (−∞, 0). (b) Sempre decrescente. (c) (0, ∞). (d) (−∞, ∞) = R. (e) Em (−π/2, π/2) écrescente. De forma geral em (2kπ − π/2, 2kπ + π/2) para todo k ∈ Z. (f) Sempre decrescente.

8. Basta transladar em 3 unidades verticalmente �para baixo� e 2 unidades para �esquerda�. Vejagrá�cos utilizando algum software (como o fooplot). Experimente modi�car o 2 e 3 para ver efeitono programa.

9. Faça um tabela de valores e veri�que o que ocorre quando x �ca próximo de 0 (por exemplo1/100, 1/103, 1/105 e −1/100, −1/103, −1/105,−1/1000) e também muito grande em módulo� �próximo� de ±∞ (por exemplo 102, 103, 105 e −102, −103, −105). Depois (somente após tentarpela tabela) veja os grá�cos utilizando algum software (como o fooplot). A função 1/x é impar e1/x2 é par. Veja que são similares 1/x3, 1/x4, . . ..

10. Partindo do grá�co de x2, re�ita o grá�co na reta y = x para obter grá�co de√x. Depois faça

translações para obter o grá�co de g(x) = 3 +√x+ 4. Veja os grá�cos de y = x2, y =

√x e y = x

utilizando algum software (como o fooplot) para ver a re�exão.

11. (−∞, 2) ou (0, 2) ou (0, ∞) dependendo de qual parte do grá�co será utilizada.

12. (a) (−∞, −1), (−1, 2) e (2, ∞). (b) Pelo grá�co pode-se ver que a imagem destes intervalos são,respectivamente, os intervalos: (−∞, 2), (0, 2) e (0, ∞). Logo domínios possíveis para g−1 (nãoserá a mesma função!): (−∞, 2), (0, 2) e (0, ∞). Comprove a existência de mais de uma inversaobservando que existem três possibilidades para g−1(1): aproximadamente −2, 1 e 3 pelo grá�co.

13. Faça um tabela de valores positivos e negativos. Depois (somente após tentar pela tabela) veja osgrá�cos com algum software (como o fooplot). Obtenha inversas por re�exão. Veja os grá�cos dey = x3, y = x1/3 = 3

√x e y = x utilizando algum software (como o fooplot) para ver a re�exão.

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14. Veri�que com algum software (como o fooplot) plotando y = exp(x) = ex, y = log(x) e y = x.

15. (a) Positiva nos intervalos (−3, −2) e (−1, 1). Negativa em x < −3 ou −2 < x < −1 ou x > 1.

(b) Positiva nos intervalos (−2, −1) e (0, 1). Negativa em x < −2 ou −1 < x < 0 ou x > 1. Commaxima: load("solve_rat_ineq"); solve_rat_ineq((x*(x+2))/(1-x^2)<0);

16. O vértice da parábola tem coordenada x = 1. (a) Mínimo em x = 1, com f(1) = 2, máximo emx = 3 com f(3) = 6 (veja que f(0) = 3 < f(3) = 6). (b) Comparando valor de f nos extremos (ovértice não pertence ao intervalo): Mínimo em x = 2, f(2) = 3, máximo em x = 3, f(3) = 6.

17. a = 4/3.

18. (a) e0 = 1. (b) log 0 não existe. Mas quando x se aproxima de 0 pela direita (isto é x > 0), log x seaproxima de −∞. Veja grá�co de log próximo do 0. (c) ln 1 = 0. (d) ln e = 1.(e) eln 3 = 3. (f) ln(e5) = 5.

19. (a) sen(3π/2) = −1. (b) cos(3π) = −1. (c) tan(3π/4) = −1. (d) cos(5π/4) = −√2/2.

20. Por propriedade do logaritmo, log5 30 =ln 30

ln 5.

21. (a) 2o quadrante pois 32π/3 = 2π/3 + 5 · 2π e 2π/3 está no 2o quadrante. (b) 3o quadrante pois13π/4 = π + π/4 + 2π. (c) 4o quadrante −21π/5 = −2 · 2π − π/5.

22. Como β está no 2o quadrante e θ no 4o, senβ > 0, cosβ < 0, sen θ < 0, cos θ > 0.

23. cosβ = −√5/3 ou cosβ =

√5/3. No maxima: solve(x^2 + (-2/3)^2=1);.

24. sen γ = −5/√26. Dica: utilizar 1 + tan2 x = sec2 x = 1/ cos2 x.

25. cos(3a) = cos3 a− 3 cos a sin2 a e sen(−4a) = 4 cos a sin3 a− 4 cos3 a sin a.No maxima: trigexpand(cos(3*a)).

• Geometria Analítica Básica.

1. Maior coe�ciente para menor: 3y − 2x+ 4 = 0 (2/3), 3x+ 2y = 4 (−3/2) e 5x+ 3y = 0 (−5/3).2. (a) y = 7/3− x/3. (b) y = 2x. (c) y = (3x+ 1)/2.

3. (a) x = 1, y = 0 e x = −3/2, y = −5/4. (b) x = −1, y = −2 e x = 1, y = 0. No maxima:algsys([y=x^2 + x-2, x^2 + y -x=0], [x,y]);.

4. 2√10.

5. (a) R: a = −6 ou a = 2. Dica: distância de a até −2 deve ser 4.

(b) R: x > 1/2.

Dica 1: Separe em casos: se x − 2 > 0 . . . e se x − 2 < 0. Em cada um destes casos existem 2subcasos: x+ 1 > 0 ou x+ 1 < 0. Alguns destes casos não tem solução alguma.

Dica 2: Em termos de distância, x deve estar mais perto de 2 do que de −1. Faça uma �gura.

6. Errado. O correto é√x4 + x2 = |x|

√x2 + 1 pois

√x2 = |x|. Para x > 0 é correto, mas para x < 0

não (veri�que!).

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