cálculo estrutural concreto eberick

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

PROJETO DE EDIFICAÇÃO RESIDENCIAL

EM CONCRETO ARMADO

ARTUR ANTONIO DAL PRÁ

Florianópolis

2007

Universidade Federal de Santa Catarina

Departamento de Engenharia Civil

Trabalho de conclusão de curso II

TÍTULO: PROJETO DE EDIFICAÇÃO RESIDENCIAL EM CONCRETO ARMADO

AUTOR: ARTUR ANTONIO DAL PRÁ MAT 0423639-4

BANCA EXAMINADORA:

___________________________________________

Prof. Narbal Ataliba Marcellino, Dr. (Orientador)

___________________________________________

Prof. João Eduardo Di Pietro, Dr. (UFSC)

___________________________________________

Prof. Roberto Caldas de A. Pinto, PhD. (UFSC)

FLORIANÓPOLIS

NOVEMBRO, 2007

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao

Curso de Engenharia Civil, Centro Tecnológico,

Universidade Federal de Santa Catarina.

Orientador Prof. Narbal Ataliba Marcellino.

Agradecimentos

Ao meu orientador, Prof. Narbal, pela revisão textual

deste relato e pela disposição, sempre que necessário.

À minha família, pelas oportunidades, apoio

financeiro e compreensão.

À minha namorada, pelo comprometimento,

paciência e colaboração.

iv

SUMÁRIO

1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ....................................................................................... 9

2 CONCEPÇÃO ESTRUTURAL .................................................................................... 10

2.1 CASOS ESPECÍFICOS ............................................................................................. 12

2.1.1 Vigas em cruz ..................................................................................................... 12

2.1.2 Posicionamento dos pilares permitindo manobras dos veículos ........................ 13

2.1.3 Sacadas projetadas para o exterior da edificação ............................................... 14

3 MATERIAIS E DURABILIDADE ............................................................................... 15

4 DADOS GERAIS ............................................................................................................ 16

4.1 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÕES EXCESSIVAS ....................................... 17

5 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ESTRUTURA ....................................................... 18

5.1 LAJES ........................................................................................................................ 18

5.2 VIGAS ....................................................................................................................... 18

5.3 PILARES ................................................................................................................... 19

6 LANÇAMENTO ESTRUTURAL E MODELO DE CÁLCULO .............................. 21

6.1 CARGAS ................................................................................................................... 22

6.1.1 Carga na laje do térreo ........................................................................................ 22

6.1.2 Carga na laje da garagem.................................................................................... 22

6.1.3 Carga na laje dos andares tipo ............................................................................ 23

6.1.4 Carga na cobertura .............................................................................................. 23

6.1.5 Carga no reservatório.......................................................................................... 23

7 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES .......................................................................... 25

7.1 LAJES PRÉ-MOLDADAS ........................................................................................ 25

7.1.1 Cargas ................................................................................................................. 27

7.1.2 Estado limite último de flexão ............................................................................ 27

7.1.3 Verificação do estado limite de serviço .............................................................. 29

7.2 LAJES MACIÇAS ..................................................................................................... 31

7.2.1 Vãos efetivos ...................................................................................................... 32

7.2.2 Vinculação das lajes ........................................................................................... 34

7.2.3 Ações nas lajes ................................................................................................... 37

7.2.4 Verificação das flechas elásticas nas lajes .......................................................... 38

7.2.5 Determinação dos momentos característicos nas lajes ....................................... 40

7.2.6 Compatibilização dos momentos fletores ........................................................... 43

7.2.7 Dimensionamento da armadura negativa ........................................................... 48

7.2.8 Detalhamento da armadura negativa .................................................................. 51

7.2.9 Dimensionamento da armadura positiva principal ............................................. 55

7.2.10 Detalhamento da armadura positiva principal .................................................... 58

7.2.11 Dimensionamento da armadura positiva secundária .......................................... 60

7.2.12 Detalhamento da armadura positiva secundária ................................................. 61

7.2.13 Dimensionamento da armadura secundária ........................................................ 63

7.2.14 Cálculo aproximado da flecha ............................................................................ 64

7.2.15 Reações de apoio das lajes nas vigas dos contornos .......................................... 64

8 DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS .......................................................................... 68

8.1 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL .............................. 70

8.2 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL ............................... 73

8.3 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE PELE ............................................ 75

8.4 DETALHAMENTO LONGITUDINAL ................................................................... 75

8.4.1 Ancoragem da armadura de tração junto aos apoios .......................................... 78

9 DIMENSIONAMENTO DOS PILARES ..................................................................... 81

v

10 COMPARAÇÕES E ANÁLISE ECONÔMICA ENTRE LAJES PRÉ-MOLDADAS E LAJES MACIÇAS .............................................................................................................. 88

10.1 CRITÉRIOS PARA ANÁLISE ECONÔMICA ........................................................ 88

10.2 LAJES PRÉ-MOLDADAS ........................................................................................ 89

10.3 LAJES MACIÇAS ..................................................................................................... 92

10.4 ANÁLISE FINAL ...................................................................................................... 93

11 ESCADA .......................................................................................................................... 94

11.1 CARGAS ................................................................................................................... 95

11.2 DIMENSIONAMENTO ............................................................................................ 96

11.3 REAÇÃO DE APOIO DAS LAJES DA ESCADARIA NAS VIGAS ..................... 98

11.4 DETALHAMENTO .................................................................................................. 98

11.5 VERIFICAÇÃO DA FLECHA ................................................................................. 99

11.6 VERIFICAÇÃO DA NECESSIDADE DE ARMADURA DE CISALHAMENTO 100

11.7 VERIFICAÇÃO DA COMPRESSÃO DIAGONAL DO CONCRETO ................. 100

12 CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 101

13 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................... 102

ANEXOS ............................................................................................................................... 104

ANEXO 1 - QUADRO RESUMO: VIGOTAS PRÉ-FABRICADAS ......................... 104

ANEXO 2 - PROJETO ARQUITETÔNICO ................................................................ 112

ANEXO 3 - PLANTA DE FÔRMAS DA ESTRUTURA ............................................. 112

ANEXO 4 - DETALHE DA ARMAÇÃO POSITIVA E NEGATIVA DAS LAJES MACIÇAS 112

ANEXO 5 - DETALHAMENTO DAS VIGAS ............................................................. 112

ANEXO 6 - DETALHAMENTO DOS PILARES ........................................................ 112

ANEXO 7 - QUADRO DE MOMENTOS FLETORES CARACTERÍSTICOS E REAÇÕES DE APOIO ........................................................................................................ 112

ANEXO 8 - DIMENSIONAMENTO DOS VIGOTES TIPO TRILHO ..................... 112

vi

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Ambientes e suas cargas acidentais ........................................................................ 23

Quadro 2 - Lajes pré-moldadas βn ............................................................................................ 26

Quadro 3 - Peso próprio: Laje pré-moldada ............................................................................. 27

Quadro 4 – Laje maciça, lef , tipo de armação, caso da laje para uso nas tabelas e cargas ...... 37

Quadro 5 - Coeficientes e momentos característicos................................................................ 42

Quadro 6 - Compatibilização dos momentos fletores negativos .............................................. 48

Quadro 7 - Dimensionamento da armadura negativa ............................................................... 54

Quadro 8 - Dimensionamento da armadura positiva principal ................................................. 59

Quadro 9 - Dimensionamento das armaduras de distribuição .................................................. 63

Quadro 10 - Verificação da flecha inelástica............................................................................ 64

Quadro 11 - Charneiras plásticas para cálculo das reações de apoio ....................................... 65

Quadro 12 - Reação de apoio das lajes nas vigas ..................................................................... 67

Quadro 13 - Dimensionamento da armadura transversal - V39 ............................................... 75

Quadro 14 - Comprimento de ancoragem ................................................................................ 77

Quadro 15 - Ancoragem das barras tracionadas ....................................................................... 78

Quadro 16 - Área de aço longitudinal - P26 ............................................................................. 85

Quadro 17 - Quadro resumo – Custo das lajes pré-moldadas .................................................. 91

Quadro 18 - Quadro resumo – Custo das lajes maciças ........................................................... 92

Quadro 19 - Comparativo: Área de aço - escadaria .................................................................. 97

Quadro 20 - Resumo do dimensionamento das vigotas ......................................................... 111

vii

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Perspectiva da estrutura ............................................................................................. 9

Figura 2 – Planta das vigas como grelha .................................................................................. 12

Figura 3 - Posicionamento favorecendo manobras, solução estrutural ................................... 13

Figura 4 - Posicionamento favorecendo manobras, solução arquitetônica .............................. 13

Figura 5 - Áreas de influência dos pilares ................................................................................ 19

Figura 6 – Dimensões e colocação de laje pré-moldada .......................................................... 25

Figura 7 - Dimensões adotadas ................................................................................................. 26

Figura 8 - Vãos efetivos de lajes .............................................................................................. 32

Figura 9 - Vinculações nas lajes maciças ................................................................................. 35

Figura 10 - Compatibilização dos momentos fletores negativos e correção dos positivos ...... 43

Figura 11 – Armaduras mínimas para lajes maciças ................................................................ 50

Figura 12 - Detalhe da armação negativa ................................................................................. 51

Figura 13 - Cargas na viga V39 ................................................................................................ 69

Figura 14 - Diagrama de momentos fletores: V39 ................................................................... 70

Figura 15 - Dimensionamento da armadura longitudinal - V39 ............................................... 72

Figura 16 - Diagrama de esforços cortantes - V39 ................................................................... 73

Figura 17 - Decalagem do diagrama de momentos fletores - V39 ........................................... 76

Figura 18 - Comprimento das barras após decalagem, lb.nec e 10Ø .......................................... 77

Figura 19 - Detalhamento manual da V39 (Tipo 1) ................................................................. 80

Figura 20 - Detalhamento automático da V39 (Tipo 1) ........................................................... 80

Figura 21 - Pilar P26 e vigas de travamento ............................................................................. 81

Figura 22 - Comprimentos equivalentes - P26 ......................................................................... 82

Figura 23 - Valores mínimos e momentos fletores .................................................................. 84

Figura 24 - Dimensionamento de seção de pilar usando programa .......................................... 85

Figura 25 - Comparativo - Armadura no P26 ........................................................................... 86

Figura 26 - Seção transversal: P26 no pavimento Tipo 1 ......................................................... 86

Figura 27 - Seção transversal: P26 no pavimento Garagens e colarinho ................................. 87

Figura 28 – Elementos geométricos da escada ......................................................................... 95

viii

RESUMO

Este trabalho apresenta o projeto estrutural em concreto armado de uma edificação residencial. Apresenta as etapas de concepção, cálculo dos esforços e dimensionamento dos elementos principais da estrutura, detalhando a definição das cargas, dimensionamento da escadaria, da rampa, das lajes maciças, das vigas e dos pilares. Diversas alternativas para vigotas pré-fabricadas foram calculadas para viabilizar a análise econômica entre a solução para lajes maciças ou lajes pré-moldadas. Finalmente, traz o detalhamento automático dos elementos estruturais.

1 Considerações iniciais

A estrutura estudada é uma edificação comercial e residencial multifamiliar, destinada

ao uso de pessoas de classe média, situada na cidade de Chapecó – SC, atualmente em fase de

construção. O primeiro pavimento é destinado a quatro salas comerciais e salão de festas

(pavimento térreo), o segundo pavimento é destinado exclusivamente às garagens do edifício

(pavimento garagens), com vaga para 16 automóveis. O terceiro, o quarto e o quinto

pavimento são três andares tipo (tipo 1, tipo 2 e tipo 3), compostos cada um, de cinco

apartamentos, totalizando 15 unidades. Em seguida figura o pavimento cobertura (pavimento

cobertura), seguido de um pavimento que dá sustentação às caixas de água (pavimento

reserv.) e de um último pavimento destinado a proteger os reservatórios (pavimento cob_res.).

Este edifício possui distância de piso a piso de 2,85 m.

Para o estudo da estrutura, e seu dimensionamento, será usado como recurso

computacional o programa AltoQi Eberick V5, revisão 8. Não será verificada ação do vento,

bem como a estabilidade global da estrutura.

Obviamente, por ser uma edificação localizada na cidade de Chapecó, já em fase de

construção, o projeto está aprovado e segue as exigências do código de obras do município.

Figura 1 - Perspectiva da estrutura

10

2 Concepção estrutural

Esta etapa antecede o pré-dimensionamento e o cálculo estrutural da edificação. É de

extrema importância, pois o sucesso das demais etapas depende do êxito desta.

Quando no lançamento da estrutura no programa de CAD, o uso de layers (níveis de

desenho) facilita a sobreposição dos elementos e a visualização no lançamento da estrutura.

Realizaram-se diversos estudos, visando reduzir o número de pilares, obtendo como

resultado uma disposição inicial de pilares que apenas depois de calculado, se mostrará

razoável ou indicará a necessidade de um novo rearranjo, pois será levada em consideração a

magnitude dos esforços.

O lançamento da estrutura inicia-se pelo posicionamento dos pilares, conforme DI

PIETRO (2007), estes implicam diretamente na estabilidade, equilíbrio, funcionalidade e

estética da edificação. São lançados preferencialmente no encontro de paredes, que são

potenciais locais de encontros de vigas, para aperfeiçoar o “caminho das ações”.

No lançamento dos pilares, deve-se objetivar manter alinhamento, para facilitar o

traçado das vigas, proporcionando assim melhor funcionalidade a estrutura. Outro cuidado

que mereceu atenção foi quanto à possibilidade da continuidade dos pilares, pois a falta de

continuidade dos pilares (pilar apoiando em viga, ou seja, uma viga de transição), é uma

solução onerosa quando comparada ao caso de continuidades de pilares.

Quando os pilares que se mostram na área de manobras da garagem, foram tomadas

algumas decisões para solucionar este inconveniente, criaram-se vigas de transição, ou as

vagas de garagem eram reposicionadas, ou o pilar era deslocado para algum local próximo.

Não apenas o posicionamento dos pilares, como também sua orientação, levando em

conta a estabilidade global da edificação.

As vigas foram lançadas preferencialmente abaixo das principais paredes, por questões

arquitetônicas, a base das vigas é inicialmente fixada em 15 cm, para ocultar a estrutura.

Os vãos das vigas seguem a referência do uso do vão econômico, o qual se dá por

volta de 5,0 m, no entanto, nem sempre a arquitetura da edificação permitia um vão desta

magnitude, pois as peças dos apartamentos distam em torno de 2,8 e 3,0 m, ocorrendo que em

algumas situações as vigas ficaram com vão de 3,0 m.

Um vão de 6,0 m é um vão possível, no entanto, a altura da viga aumenta

demasiadamente e começa a se mostrar inconveniente para portas e janelas. Para vigas de

canto, ou seja, aquelas vigas que recebem carga apenas de um dos lados da edificação, e não

há restrições quanto a sua altura, pode-se fazer um vão de 6,5 m.

11

Outra preocupação foi quanto ao espaçamento entre vigas adjacentes, pois devem ser

evitados grandes vãos de lajes, uma vez que estes conduzem a elevadas espessuras de lajes.

As lajes foram pré-dimensionadas. Por serem lajes de um piso de uma edificação, a

espessura mínima adotada foi 7 cm. As espessuras das lajes dependeram também se a laje é

unidirecional ou bidirecional. Para lajes unidirecionais, a espessura é o número inteiro,

resultante do quociente entre o menor vão por 45 ou por 35. Já nas lajes bidirecionais, a

espessura é o número inteiro, resultante do quociente entre o menor vão por 40 ou por 50.

Num primeiro momento, durante o lançamento dos elementos estruturais, uma vez que

esta etapa antecede o pré-dimensionamento, não foi dada a importância para a dimensão dos

pilares e vigas, estando os mesmos servindo apenas para fins de posicionamento e orientação.

12

2.1 Casos específicos

Este item traz considerações, discussões e justificativas sobre algumas decisões

tomadas durante a concepção estrutural, são mostradas partes do projeto arquitetônico, sem se

importar com a escala das imagens, de finalidade apenas qualitativa. Como foi um estudo

inicial, alguns dos elementos estruturais mudaram de numeração no decorrer do trabalho.

2.1.1 Vigas em cruz

Para viabilizar o uso de um Box de garagem, a transição dada pelo pilar P7 foi

inserida. Ela é suportada pelo conjunto de vigas que se cruzam, constituindo grelha e

conseqüentemente, distribuindo os esforços e apresentando deformações menores.

Figura 2 – Planta das vigas como grelha

13

2.1.2 Posicionamento dos pilares permitindo manobras dos veículos

O ideal é que os pilares sejam posicionados de maneira a se situarem

preferencialmente no encontro de vigas, mas por uma questão de viabilizar a entrada dos

veículos na garagem do edifício, o posicionamento foi reestudado, obtendo-se como solução o

uso do pilar de maneira mais afastada do veículo.

Figura 3 - Posicionamento favorecendo manobras, solução estrutural

Figura 4 - Posicionamento favorecendo manobras, solução arquitetônica

14

2.1.3 Sacadas projetadas para o exterior da edificação

Neste caso, várias soluções podem ser idealizadas, pode ser feito uso de laje com

bordo livre e engastada na viga de canto da edificação, ou usar vigas de contorno, conforme

solução adotada e disposta na planta de fôrmas.

Por questões arquitetônicas, as vigas terão altura de 50 cm, apesar de serem menos

rígidas que as vigas que servem de apoio, para ocultar as instalações sanitárias.

Procedimento análogo foi realizado às outras sacadas.

15

3 Materiais e durabilidade

A classe de agressividade ambiental usada é a CAA II, de acordo com exigências da

tabela 6.1 da NBR6118/03. Para esta CAA, segundo tabela 7.1 da norma, recomenda-se o uso

de concreto C25 (fck = 25 MPa).

Para as armaduras da edificação, adotou-se aço CA-50 (fyk = 50 kN/cm²). Exceção

para as vigotas pré-fabricadas, onde foi feito uso de aço CA-60 (fyk = 60 kN/cm²) e concreto

C20 (fck = 20 MPa). Tal decisão deveu-se ao fato de que as lajes pré-moldadas estão dispostas

de maneira a estar protegida da ação da chuva e em ambiente predominantemente seco, por

isso admite-se uma classe de agressividade mais branda.

Para elementos pré-fabricados, a NBR6118/03 faz referência à NBR 9062/01 (norma

que trata de elementos pré-moldados), no entanto, a NBR 14859-1/02 traz especificações mais

rígidas para o caso de vigotas pré-fabricadas em concreto armado para lajes unidirecionais e

quanto aos valores relativos aos cobrimentos das armaduras, recomenda para cobrimento, o

valor mínimo de 1,0 cm, que foi efetivado para fins de dimensionamento.

A tabela 7.2 desta mesma norma recomenda para CAA II, cobrimento nominal (cmín +

∆c) = 25 mm, onde ∆c =10 mm. Como a face superior das lajes recebe revestimento de

argamassa de contrapiso, permite-se substituir as exigências desta tabela pelo disposto em

7.4.7.4, onde para rigoroso controle de qualidade e de variações dimensionais (desde que

explicitado nos desenhos de projeto), é possível adotar ∆c = 5 mm, assim o cobrimento

mínimo a ser usado é 2,0 cm. A tabela 6.1 da NBR6118/2003 permite a adoção de um

microclima com uma classe de agressividade mais branda para ambientes internos secos, no

entanto, esta prática não foi usada para vigas e pilares situados no interior da edificação, para

fins de padronização dos cobrimentos.

Em todas as barras, assegurou-se que o cobrimento mínimo é maior que o diâmetro da

maior barra da armação.

Conforme item 7.4.7.6 desta norma, os agregados não podem ultrapassar Φmáx =

1,20*cnom, isso fixa que os agregados devem ter diâmetro inferior a 2,4 cm para lajes.

Considera-se para o concreto armado, peso específico (γ) de valor 25 kN/m³, para

concreto simples e argamassa de contrapiso γ = 24 kN/m³, para revestimentos e alvenarias de

tijolos maciços γ = 18 kN/m³ e para alvenarias de tijolos vazados γ = 13 kN/m³.

Considerou-se para agregado graúdo, brita 0 (diâmetro entre 4,8 a 9,5 mm).

16

4 Dados gerais

Este item trata de parâmetros de cálculo da NBR6118/03 usados no dimensionamento.

Para evitar sua repetição a cada elemento estrutural dimensionado, estes são tratados uma

única vez. Conforme item 8.2.5, a resistência média do concreto à tração é dada pela relação

fct,m = 0,3*(fck)2/3 = 2,56 MPa. A norma define os valores inferiores e superiores a serem

considerados: fctk,inf = 0,7*fct,m = 1,79 MPa e fctk,sup = 1,3*fct,m = 3,33 MPa. Ainda, conforme o

item 19.4.1, fct,d = fctk,inf/γc = 1,28 MPa.

Conforme item 8.2.8, o módulo de elasticidade inicial do concreto é dado por Eci =

5600*fck1/2 = 28000 MPa, enquanto que o módulo de elasticidade secante é dado por 85%

deste valor: 0,85*Eci = 23800 MPa.

O coeficiente de ponderação das resistências dos materiais no ELU é dado pela tabela

12.1 da NBR6118/03, onde γc=1,4 e γs=1,15, assim fcd = fck/1,4 = 17,86 MPa e fyd = fyk/1,15 =

434,78 MPa.

O item 8.3.5 traz que deve ser usado módulo de elasticidade 210 GPa (ou 210.000

MPa) para o aço, quando na ausência de ensaios ou de valores fornecidos pelo fabricante.

A relação entre os módulos de elasticidade (ou de deformação) longitudinal do aço e

do concreto é 8,8223800

210000

E

Esα

cse === .

De acordo com o item 17.3.5.2.1 da NBR6118/03, para fck=25 MPa e seções

retangulares , ρmin=0,150%.

17

4.1 Estado limite de deformações excessivas

A NBR6118/03 traz prescrições a respeito do estado limite de abertura de fissuras.

Para o caso de concreto armado e CAA II, de acordo a tabela 13.3, com deve ser usada

combinação freqüente de ações em serviço, sendo exigido que a abertura das fissuras seja

0,3mm.w k ≤

A tabela 11.4 traz as combinações freqüentes de serviço, onde Fd,ser =

ΣFgik+ψ1*Fq1k+Σψ2j*Fqjk. A tabela 11.2 traz para garagens ψ2=0,6 e para edifícios residenciais

ψ2=0,3.

Para o estado limite de serviço relativo a deformação excessiva, o item 17.3.2.1.2 trata

do cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado. As lajes da escada

podem ser tratadas como vigas de grande largura, portanto as considerações abaixo são

válidas. Para tempo de escoramento t= 14 dias ou t= meses30

14

, o coeficiente função do

tempo ξ pode ser calculado pela equação ξ(t) = 0,68*(0,996t)*t0,32 quando t 70meses≤ . Da

equação, ξ(14/30) = 0,53.

Como ∆ξ= ξ(t)- ξ(t0), ∆ξ = 2 - 0,53 = 1,47.

O fator αf é dado por ρ'*501

∆ξα f

+= , onde ρ’ é a taxa de armadura negativa, que é zero

para lajes. Por isso, 1,47∆ξ.α f == .

Ainda neste item, é citado que o valor da flecha total deve ser obtido da multiplicação

entre a flecha imediata a0 por (1+αf).

Para esta verificação é usada a combinação quase permanente de ações em serviço.

18

5 Pré-dimensionamento da estrutura

A etapa de pré-dimensionamento dos elementos estruturais antecede o lançamento da

estrutura no programa computacional.

5.1 Lajes

Adotou-se o critério definido por CARVALHO (2005), onde a espessura geralmente

varia entre menor vão da laje por 60 ou por 40. Obviamente, para facilitar a execução, a

espessura das lajes é sempre um valor múltiplo de 1 cm.

5.2 Vigas

Para pré-dimensionar as vigas, como estimativa o indicado por PINHEIRO (2005),

onde a altura das vigas é dada por:

• vão/12 no caso dos tramos internos da edificação;

• vão/10 no caso dos tramos externos ou em vigas biapoiadas e;

• vão/5 no caso de balanços.

Obviamente, esta altura não é um valor final, é algo aproximado e é esperado que

ocorram alterações, portanto é apenas uma estimativa inicial para viabilizar o

dimensionamento.

Inúmeras literaturas aconselham que diferentes valores de altura em uma mesma viga

sejam evitados, pois podem ser fontes de erros durante a confecção das formas e das

armaduras. Quando é usada apenas uma altura para diversos tramos de uma mesma viga, pode

ocorrer o caso do uso da armadura dupla, pois um dos tramos pode estar submetido a

solicitações muito superiores às dos outros tramos desta mesma viga.

Algumas vezes, as alturas das vigas são aproximadas para valores mais convenientes,

por exemplo, vigas mais carregadas têm sua altura aumentada enquanto que vigas menos

solicitadas têm sua altura reduzida.

Outras vezes, a altura da viga foi fixada em 50 cm, pois a viga tem finalidade de

ocultar as instalações de água pluvial nas sacadas.

19

A NBR6118/03, no item 13.2.2 traz as dimensões limites para vigas, onde se encontra

que não devem ser projetadas vigas com bw<12 cm, salvo em casos excepcionais. As vigas

deste estudo possuem bw maior ou igual a 15 cm.

5.3 Pilares

O pré-dimensionamento dos pilares é realizado a partir do processo das áreas de

influência, conforme recomenda PINHEIRO (2003). Cada pilar é responsável por suportar a

carga referente à determinada superfície ou área de influência “A”, dada em m².

O autor orienta que a quanto melhor a distribuição das cargas e dos vãos e quanto mais

uniforme são os alinhamentos dos pilares, maior a precisão deste processo, sendo que o pré-

dimensionamento pode conduzir a valores muito distantes da realidade em determinadas

situações, por isso apenas o dimensionamento determina as dimensões corretas dos pilares.

Para pré-dimensionar um pilar, é calculada a área de influência, que é encontrada a partir das

dimensões dos retângulos que são calculadas conforme as condições:

• Se o pilar for de extremidade e de canto, na direção da sua menor dimensão, o lado

mede 0,5L, onde “L” é a distância entre dois pilares. Na direção de sua maior

dimensão, o lado mede 0,5L.

• Se o pilar estiver ao lado do pilar de canto, na direção dos eixos entre estes pilares, o

pilar de extremidade é responsável por suportar 0,55L.

• Nos demais casos, de pilares de centro ou de extremidade, cada pilar suporta retângulo

formado por metade do vão entre os eixos dos pilares.

A figura abaixo ilustra o processo:

Figura 5 - Áreas de influência dos pilares

20

As dimensões dos pilares variam conforme sua posição, em virtude das

excentricidades de cargas, por isso é inserido um fator que tem por objetivo levar em

consideração estas excentricidades, é o coeficiente de majoração da força normal “α”,

determinado por:

• α = 1,3 se o pilar for interno ou de extremidade, na direção de sua maior dimensão.

• α = 1,5 se o pilar for de extremidade, na direção da menor dimensão.

• α = 1,8 se o pilar for de canto.

O uso destes valores leva à obtenção da área de influência “A” e do coeficiente “α”,

que quando inseridos na expressão abaixo, fornecem a área da seção de concreto necessária

“Ac”: )f-(69,2*0,01f

0,7)(n*A**30A

ckckc

+

+α= (cm²), onde

fck é o valor da resistência a compressão característica do concreto em kN/cm² (25

MPa equivalem a 2,5 kN/cm²).

n é o número de pavimentos tipo que o pilar suporta, a cobertura é considerada pelo

termo (n+0,7), supondo que a cobertura tenha carga referente a 70% da carga dos andares

tipo. Para fins de simplificação, visto que os valores das dimensões dos pilares são apenas

estimativas iniciais, os pilares que se prolongam até o pavimento “Salas comerciais” têm suas

dimensões aumentadas, por isso foi adotado n=3 para todos os pilares.

Obviamente, essa fórmula deve ser ajustada para o caso dos pilares que suportam as

caixas de água. Os pilares são todos retangulares de Ac=b * h, sendo preferencialmente bw =

15 cm. Para atender ao requisito de área mínima de seção transversal de 360 cm² prevista na

NBR6118/03, item 13.2.3, o outro lado deve possuir dimensão mínima 25 cm. Sob hipótese

alguma é correto dimensionar um pilar com a menor dimensão inferior a 12 cm. O

procedimento é realizado em planilha eletrônica e ocultado deste relato para tornar a leitura

do trabalho menos cansativa, dada a quantidade de pilares. O mesmo é realizado para as lajes

maciças e pré-moldadas.

Algumas das dimensões mostram-se exageradas. Isso foi corrigido aplicando a

determinados pilares, menor lado maior que 15 cm e ajustando na expressão para obtenção do

valor do maior lado. Da observação que a área mínima de seção transversal dos pilares deve

ser maior ou igual a 360 cm² e que é prática fixar os lados em múltiplos de 5 cm, depreende-

se que para o caso de pilares de seção transversal quadrada, a dimensão mínima é 20*20 cm.

21

6 Lançamento estrutural e modelo de cálculo

Depois de pré-dimensionada, os dados são lançados no programa computacional, onde

alguns cuidados devem ser atentados, ou seja, não devem ser inseridos valores incorretos, as

unidades devem estar compatíveis entre si. Recomenda-se que a entrada de dados seja

realizada sobre uma arquitetura de bastante clareza e precisão, que conste apenas as

informações necessárias ao lançamento estrutural.

O programa computacional oferece recurso que permite fixar as seções de pilares e

vigas. Para as vigas, pode ser necessário aumentar a seção transversal na largura, é indesejado

que a estrutura fique aparente no lado externo da edificação. A arquitetura implica em um

posicionamento do pilar que difere daquele imposto pelos nós da estrutura, isso gera

momentos de excentricidade, que são considerados no dimensionamento dos pilares.

Para auxiliar no dimensionamento da estrutura, usou-se o programa AltoQi Eberick

V5, com os módulos master, fôrmas, escadas e fundações.

22

6.1 Cargas

A carga é devido a cargas permanentes e a cargas acidentais (ou variáveis) e segue as

recomendações da NBR6120/1980. As cargas permanentes são devidas ao peso próprio da

estrutura, ao revestimento e a carga extra, (como por exemplo, peso de paredes, da cobertura e

das caixas de água). Em situações onde uma laje abrange dois recintos de diferentes cargas,

adota-se o maior delas.

As cargas permanentes lineares (de parede) são lançadas sobre as lajes, sendo que nas

situações onde existe uma viga diretamente abaixo da parede, considera-se a carga linear

apenas nas vigas, não entrando a carga linear na carga das lajes. Serão descontadas as

aberturas na fachada, uma vez que esses alívios de cargas caracterizam vantagem nas

fachadas, onde não são permitidas mudanças arquitetônicas. Para as muretas da escada,

sacada, área de serviço e platibandas, considera-se que tenham altura 1,10 m.

6.1.1 Carga na laje do térreo

O método construtivo consiste em fazer contrapiso diretamente sobre o solo, usando

compactação mecânica com equipamento específico (chamado “sapo”). É um compactador

mecânico de menores dimensões. Depois que o solo é compactado, dispõe-se camada de

contrapiso diretamente sobre ele. Esta camada é uma laje e não consiste em um caso de

flexão, mas em um caso de compressão. É adotada espessura 10 cm e para minimizar

inconvenientes como a fissuração, é usada malha de aço de bitola 4,8 mm a cada 15 cm.

6.1.2 Carga na laje da garagem

Usou-se carga permanente de revestimento: 0,05 m * 24 kN/m³ = 1,20 kN/m².

Considerando que a edificação é destinada a uso como edificação, é esperado que os veículos

estacionados nos boxes de garagem tenham peso inferior a 25 kN/veículo (equivalente a

aproximadamente 2,5 toneladas-força), a norma recomenda neste caso que a carga acidental

tenha valor 3,0 kN/m².

O projeto arquitetônico traz que as paredes do contorno da garagem são em alvenaria

de tijolo até altura de 1,50 m, sendo que a partir daí devem ser assentados tijolos vazados,

com intuito de garantir a área de ventilação exigida pelo código de obras da cidade. Adota-se

para fins de dimensionamento, que o contorno possui paredes de altura 2,50 m confeccionadas

23

em alvenaria convencional, conforme os outros pavimentos, prevendo futura solução

arquitetônica mais sofisticada no caso de substituição dos segmentos de tijolos vazados.

6.1.3 Carga na laje dos andares tipo

Usou-se carga permanente de revestimento cerâmico: 18 kN/m³ * 0,01 m + 24 kN/m³

* 0,05 m = 1,38 kN/m². A carga acidental varia de acordo com o ambiente:

Ambiente Carga acidental

(kN/m²)

Sala de estar ou jantar, banheiro, cozinha,

dormitórios 1,5

Balcões e sacadas (mesma carga da peça que se comunicam)

Área de serviço e corredores sem acesso ao

público (dentro dos apartamentos) 2,0

Terraços (estes sem acesso ao público), caso do

poço de luz, pavimento “Tipo1“ 2,0

Corredores com acesso ao público (casos do

corredor, na frente da escada) e escada 3,0

Quadro 1 - Ambientes e suas cargas acidentais

6.1.4 Carga na cobertura

A carga extra (considerada permanente), devida ao peso próprio do telhado de

fibrocimento com estrutura de madeira tem valor 0,4 kN/m², conforme recomenda GIONGO

(2007).

Para regularizar a laje, estima-se 0,05 m*24 kN/m³ = 1,20 kN/m². A carga acidental é

0,5 kN/m², conforme orienta a norma para terraços inacessíveis a pessoas.

6.1.5 Carga no reservatório

As caixas de água são dispostas sobre estrados de madeira, para viabilizar a instalação

da parte hidráulica, a carga pode ser considerada uniformemente distribuída sobre a superfície

das lajes que suportam este estrado. As lajes L1, L2 e L3 suportam as caixas de água (de

diâmetro interno 2,00 m e diâmetro externo 2,65 m).

24

Dessa forma, dois reservatórios de fibrocimento, com 10.000 litros cada, portanto

20.000 kgf mais 300 kgf devidos ao peso próprio das caixas de água e material das instalações

hidráulicas, distribuídos em uma superfície igual a 14,85 m², resultam em 1367 kgf/m², o

equivalente a 13,67 kN/m².

A carga permanente de revestimento resulta 14,87 kN/m².

A carga acidental usada é 0,50 kN/m.

A laje L4 não suporta as caixas de água, por isso é dimensionada para suportar a carga

permanente referente ao contrapiso e a carga acidental de 0,5 kN/m², prevendo futuras

manutenções neste local.

25

7 Dimensionamento das lajes

Descrevem-se abaixo os critérios usados no dimensionamento das lajes pré-moldadas

com vigotas do tipo trilho e das lajes maciças.

7.1 Lajes pré-moldadas

As lajes são nomeadas por βn, onde n é um número inteiro que é dado pela soma das

alturas do material cerâmico com a espessura do capeamento de concreto, ambas na unidade

centímetros.

A figura abaixo mostra seção de concreto da vigota, das tavelas, indicação do intereixo

(é a distância entre eixos de vigotas pré-fabricadas) e posicionamento. Mostra também, em

linha preta, projeção de onde se situa a capa de concreto, que não foi desenhada para melhor

destacar o esquema de assentamento das tavelas.

A perspectiva foi desenvolvida pelo acadêmico em ambiente CAD-3D, usando

AutoDesk AutoCad versão 2006 ®.

Figura 6 – Dimensões e colocação de laje pré-moldada

As vigotas dimensionadas podem ser visualizadas nos anexos em “Quadro resumo:

vigotas pré-fabricadas”. O quadro abaixo relaciona o tipo de laje com a espessura do

revestimento cerâmico, da capa de concreto a ser empregada e os valores totais.

26

Laje

# revestimento cerâmico

(cm)

# capa de concreto

(cm)

# total da laje

(cm)

β 10 7 3 10

β 11 7 4 11

β 12 8 4 12

β 14 10 4 14

β 16 12 4 16

β 20 15 5 20

Quadro 2 - Lajes pré-moldadas ββββn

É recomendado que seja dada atenção para eventuais problemas com puncionamento,

para as lajes de capa de pequena espessura (3 cm), por esse motivo, este estudo não traz

dimensionamento de lajes β10.

Como as lajes pré-moldadas deste estudo são lajes com nervuras unidirecionais, no

momento do posicionamento das vigotas, em geral, a colocação é feita na direção do menor

comprimento da laje. Os materiais usados são definidos no item 3 - Materiais e durabilidade.

É comum nas vigotas tipo trilho que cada barra de aço exceda 5 cm em cada

extremidade das vigotas para proporcionar a ancoragem depois da montagem da laje.

O dimensionamento e os critérios executivos (eventualmente citados neste trabalho)

seguem as recomendações da NBR14859-1/02. Segundo esta norma, o intereixo mínimo (imín)

para vigotas de concreto armado é 33 cm. O intereixo usado é 39 cm, pois leva em

consideração a não-uniformidade do elemento de enchimento e falhas executivas. Ainda

segundo esta norma, no item 5.3 deve ser assegurado espessura de capa de concreto de 2 cm

acima de eventuais tubulações.

Figura 7 - Dimensões adotadas

27

7.1.1 Cargas

O valor do peso próprio para os diversos tipos de lajes foi feito segundo pesquisa na

mesma obra a qual se refere o projeto estrutural, ali foram adquiridas as medidas do material

cerâmico de enchimento e das vigotas, para cálculo de seu volume e posteriormente, do peso

próprio.

O quadro abaixo traz os valores de peso próprio calculados manualmente, em paralelo

com os valores usados por DI PIETRO (2000). Conforme observado, os valores variam em

menos de 20%, dado que os valores consultados referem-se ao mesmo tipo de laje e

resultaram menos elevados, para fins de dimensionamento, adotaram-se os valores

consultados.

Laje

Peso

vigotas

(kN)

Área

capa

( cm²)

Volume

capa

( cm³)

Peso

capa

(kN)

Área

tavela

( cm²)

Volume

tavela

(m³)

Peso

tavelas

(kN)

Área:

atuação

(m²)

Peso

conjunto

(kN)

Carga

(kN/m²)

DI

PIETRO

(kN/m²)

β10 0,3065 415,80 41580 1,040 114,64 0,00229 0,6191 1,14 1,9650 1,72 1,72

β11 0,3065 529,35 52935 1,323 114,64 0,00229 0,6191 1,14 2,2489 1,97 1,65

β12 0,3065 529,35 52935 1,323 131,02 0,00262 0,7075 1,14 2,3373 2,05 1,75

β14 0,3065 529,35 52935 1,323 163,77 0,00328 0,8844 1,14 2,5142 2,21 1,95

β16 0,3065 529,35 52935 1,323 196,53 0,00393 1,0612 1,14 2,6911 2,36 2,10

β20 0,3065 642,90 64290 1,607 245,66 0,00491 1,3265 1,14 3,2402 2,84 2,50

Quadro 3 - Peso próprio: Laje pré-moldada

7.1.2 Estado limite último de flexão

Para exemplo de cálculo, dimensiona-se a vigota com carga sobreposta 3,00 kN/m² e

armadura 2 Ø 6,0 mm, da laje pré-moldada de tipo β11 (7 cm+4 cm).

A carga sobreposta (g2) é a soma de todas as cargas que não constituem peso próprio

da laje sem revestimento (g1). Cargas referentes aos revestimentos devem ser considerados na

composição de g2.

A soma das cargas g1 e g2 são dadas por p (kN/m²).

Conforme “Quadro resumo: vigotas pré-fabricadas”, a área de aço (As) é dada, em

cm². Para o caso, As = 0,5655 cm²/nervura. O dimensionamento é feito por nervuras, poderia

ter sido optado por fazê-lo por metro, no entanto, fez-se assim por questões de simplicidade.

28

A tensão resistente de cálculo do aço CA-60 é dada por

Pa521739,15k1,15

600MPa

γ

ff

s

ykyd === .

A tensão resistente de cálculo do concreto C20 é dada por

a14285,71kP1,40

20MPa

γ

ff

c

ckcd === .

A profundidade x da linha neutra é dada por

0,7788cm.0,007788mi*0,8*f*0,85

f*Asx

cd

yd===

A espessura da capa de concreto da laje é 4 cm, como a profundidade da linha neutra

não ultrapassa este valor, a linha neutra está contida no interior da capa de compressão de

concreto, o que significa que a seção se comporta como uma viga retangular.

A seção transversal adotada para cálculo é uma seção T, onde bw=4 cm (considera-se

esta seção, pois o comprimento 8 cm na base é dado para viabilizar o apoio do material de

enchimento) e bf é a largura colaborante (considerando caso de simplesmente apoiada) que

assume o valor do intereixo: 39 cm. Algumas informações sobre a geometria podem ser

observadas na figura 14.2 da NBR6118/03.

O valor da altura útil é: d = hcapa – cobrimento-0,5*Ø, d=11,0-1,0-0,5*0,6=9,70 cm.

Assim, x/d = 0,08 e a seção trabalha no domínio 2 de deformações, portanto, εs =

10‰.

O momento de cálculo máximo que a seção resiste é dado por:

m*2,77kNx*0,4d

f*AM yds

d =−

= . O momento característico é Mk = Md/1,4 = 1,98 kN*m.

A carga por nervura, (intereixo igual a 39 cm), é p * i = 4,65 kN * m * 0,39 m,

resultando 1,81 kN/m.

Para o caso de viga bi apoiada, 8

L²*qM = , assim o vão máximo é

.m 2,95q

8*ML ==

29

7.1.3 Verificação do estado limite de serviço

7.1.3.1 Deformação excessiva

Segundo a tabela 13.1 da NBR6118/03, o deslocamento limite admitido é L / 250, ou

seja: 2,95 m / 250 = 0,012 m = 1,20 cm.

O módulo de elasticidade secante do concreto é Ecs = 4760*(fck)^0,5, fck em MPa.

Assim, Ecs = 21287367,15 kPa.

O coeficiente αe vale 9,865.a21287,37MP

210000MPa

E

E α

cs

se ===

Em serviço, no estádio II, deve ser considerada a hipótese de seção fissurada, para isso

é calculado altura da linha neutra no estádio II (xII), uma vez que bw = 4 m e As = As,ef.

No estádio II a seção está fissurada e

( )=

+±=

w

sew2

seseII b

A*α*d*b*2A*αA*α-x 2,23 cm

Considera-se seção retangular: 4IIse

3II

II0x, 455,11cmd)²(x*A*α3

x*bwI =−+= .

A área da seção transversal de cálculo T é 189,01 cm.

A distância entre o CG da seção até a fibra mais solicitada é

=

+

=A

2

²h*b

2

²h*)b-(b

yw

fwf

t 4,30 cm. O momento de inércia da seção T bruta de

concreto é 1580,14 cm4. O momento de fissuração é t

cm,ctr y

I*f*M

α= . Para seções T, α =

1,2. Portanto, t

cm,ctr y

I*f*M

α= =0,68 kN*m.

Assim, ccsII

3

a

rc

3

a

rcseq I*EI*

M

M1I*

M

M*E(EI) ≤

−+

= = 106,71 kN*m².

A flecha imediata é eq

4yserviço

0(EI)

l*p*

384

5a = =

eq

4y21

(EI)

l*0,4)*q)(g(g*

384

5 ++=

026,0106,71

2,95*3,00)*0,4(1,65*

384

5a

4

0 =+

= cm = 0,26 mm. A flecha diferida no tempo leva

em consideração a fluência e é dada por af=a0*2,47=0,26 cm * 2,47 = 0,64 cm.

30

Se o deslocamento limite fixado por norma for menor ou igual a este valor, é válido o

vão máximo calculado anteriormente, caso contrário, novo vão máximo é calculado, levando

em consideração a rigidez axial equivalente.

7.1.3.2 Estado limite último – Força cortante

Na verificação ao cisalhamento, Vsd é o esforço cortante solicitante de cálculo:

2

L*i*pV máx

sd = = 2,68 kN e VRd1 é o esforço cortante resistente de cálculo: VRd1 = 3,22 kN,

que leva em consideração uma série de parâmetros conforme item 19.4.1 da NBR6118/03.

Como VRd1> Vsd, a situação está de acordo, caso contrário, é necessário alterar a

armadura, aumentar a altura da laje ou usar armadura transversal.

Uma importante prescrição normativa é que ao menos 50% das barras da armadura

longitudinal sejam levadas ao apoio. Executivamente deve haver duas barras levadas ao apoio

e excedendo um pouco seu comprimento. Os vigotes calculados possuem no máximo 4 barras,

portanto, em todos os casos, serão levadas duas barras aos apoios.

31

7.2 Lajes maciças

Assim como os outros elementos estruturais, as lajes são dimensionadas de acordo

com os critérios da NBR6118/03.

Estruturalmente, pode-se discretizar as lajes maciças como placas constituídas de

concreto armado, conforme o item 14.4.2.1 desta norma pode-se assim entendê-las, pois as

dimensões comprimento e largura são preponderantes em relação à dimensão espessura, e as

ações atuam perpendicularmente ao plano que contém o comprimento e a largura. Este estudo

traz pavimentos, cujas lajes constituintes se apóiam em vigas, situadas nos contornos das

lajes.

A partir do pré-dimensionamento, os valores das espessuras das lajes são arbitrados

obedecendo aos limites mínimos que a norma recomenda para lajes maciças. Quando

necessário, conforme as condições impostas pelo dimensionamento, os valores são corrigidos.

O item 13.2.4.1 desta mesma norma recomenda os limites mínimos para espessura das

lajes maciças. Neste estudo, usou-se 5 cm para lajes de cobertura não em balanço, 7 cm para

lajes de piso e 10 cm para as lajes da garagem e da rampa, uma vez que elas suportam

veículos de peso total menor ou igual a 30 kN (equivalente a 3000kgf ou 3tf). As plantas de

fôrmas estão dispostas junto aos anexos.

Define-se lx

ly=λ , onde lx é sempre o menor vão. Quando λ for menor ou igual a 2, a

laje “trabalha” em duas direções, por isso o tipo de armação é bidirecional, diz-se então que a

laje é bidirecional, a menor direção é chamada de direção principal e a maior direção é

chamada de direção secundária. Caso λ seja maior que 2, a laje “trabalha” na direção do

menor vão e é unidirecional, sendo colocada armadura de distribuição de esforços na outra

direção (direção secundária).

Executivamente, as lajes e vigas são concretadas juntamente, constituindo uma peça

única, sendo válida a consideração da compatibilização de deformações, pois há o

monolitismo da estrutura. No entanto, para efeito de dimensionamento, considera-se que as

lajes estejam simplesmente apoiadas nas vigas dos contornos.

Neste estudo usou-se a teoria das linhas de ruptura, que surgiu da identificação da

maneira com que as lajes atingem o estado de ruína, consiste em aumentar progressivamente a

carga das lajes até que se iniciem as linhas de plastificação, que irão materializar as linhas de

ruptura, sendo que estas definem as áreas das charneiras plásticas. Esse assunto é abordado

nos itens 14.6.5 e 14.7.4 da norma.

32

Os vãos efetivos das lajes são avaliados conforme orientação desta norma no item

14.7.2.2, lef = l0 + a1 + a2, onde l0 é o comprimento do vão de laje limitado pelas vigas (em

toda edificação deste estudo não se fez uso de lajes com bordo livre) e a1 e a2 são

determinados pelas considerações da figura 14.5, onde nota-se que “h” é a espessura da laje e

“t” é o comprimento do apoio.

Para facilitar a compreensão dos procedimentos de dimensionamento, é demonstrado

minuciosamente o dimensionamento da laje L45, do pavimento Tipo 3. As rampas incluem-se

neste mesmo tipo de dimensionamento.

7.2.1 Vãos efetivos

Esta laje possui dimensões de vão livre Lx e Ly, onde Lx é o menor vão.

Do projeto de fôrmas, a partir da definição das lajes, infere-se que Lx=300 cm e

Ly=430 cm.

Figura 8 - Vãos efetivos de lajes

Neste mesmo item, a norma recomenda que

≤1t*0,5

h*0,3a1

e

≤2t*0,5

h*0,3a2

.

Para estes níveis de solicitação, vãos e vinculações, não é esperado que alguma laje

resulte em espessura maior que 16 cm (16 cm*0,3 = 4,8 cm) e considerando que os apoios são

todos de comprimento superior a 10 cm (10 cm*0,5 = 5,0 cm), neste estudo o comprimento a1

será limitado pelo comprimento dos apoios.

Para dimensionamento das lajes, elaborou-se planilha que traz informações sobre que

pavimento estão sendo efetuados os cálculos, os comprimento l0 das lajes, definidos por Lx e

Ly, onde Lx é o menor vão e Ly é o maior vão. A partir da estimativa da espessura da laje,

são obtidos os valores de lx e ly.

33

Na direção x (direção do menor vão):

≤1

1 t*0,5

h*0,3a

=

=≤

7,5cm15*0,5

2,1cm7*0,3a1

a1 = 2,1 cm.

≤1

2 t*0,5

h*0,3a

=

=≤

7,5cm15*0,5

2,1cm7*0,3a1

a2 = 2,1 cm

lx = Lx + a1 + a2 = 2,1+300+2,1 = 304,2 cm

Na direção y (direção do menor vão):

≤1

1 t*0,5

h*0,3a

=

=≤

7,5cm15*0,5

2,1cm7*0,3a1

a1 = 2,1 cm.

≤1

2 t*0,5

h*0,3a

=

=≤

7,5cm15*0,5

2,1cm7*0,3a1

a2 = 2,1 cm

ly = Ly + a1 + a2 = 2,1+430+2,1 = 434,2 cm

242,12,304

2,434

lx

ly<===λ , por isso a laje bidirecional.

Para as lajes bidirecionais, usou-se o método elástico da teoria da elasticidade. A

determinação dos esforços nas lajes segundo essa teoria, é trabalhosa. Por esse motivo, foram

elaboradas tabelas que permitem a obtenção de coeficientes que são usados em fórmulas e

permitem a determinação dos momentos fletores e flechas, para isso é necessário informar a

condição de vinculação e a relação entre os vãos das lajes. Obviamente, as lajes são tratadas

por placas maciças, por conseguinte, estão separadas umas das outras, ou seja, são tratadas de

maneira individual.

34

As tabelas usadas foram transcritas de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, a partir

dos estudos de BARES, 1972.

7.2.2 Vinculação das lajes

As lajes são vinculadas entre si. Neste estudo, a vinculação dos lados da laje pode ser

um apoio ou um engaste. Considera-se apoio quando a viga que suporta a laje é uma viga

perimetral da edificação, ou quando no interior do pavimento, houver diferença de nível

apreciável entre as lajes rebaixadas.

Quando mais 67% da laje estar em continuidade com laje adjacente, com

compatibilidade de rotação, ali haverá um engaste, caso contrário será apoio.

Para uso das tabelas deste estudo, as lajes são classificadas em nove casos:

• Caso 1: Totalmente apoiada.

• Caso 2: Engaste no menor lado e apoio nos outros lados.

• Caso 3: Engaste no maior lado e apoio nos outros lados.

• Caso 4: Engaste em no maior e no menor lado.

• Caso 5: Engastes nos menores lados e apoio nos maiores lados.

• Caso 6: Engaste nos maiores lados e apoio nos menores lados.

• Caso 7: Apoio no maior lado e engaste nos outros lados.

• Caso 8: Apoio no menor lado e engaste nos outros lados.

• Caso 9: Totalmente engastada.

Esta laje (L45) enquadra-se no caso 7. A figura abaixo mostra as vinculações da laje

L45 e das outras que estão “envolvidas” em seu dimensionamento. A vinculação das outras

lajes pode ser inferida a partir de quadro que traz as reações das lajes nas vigas, destacado no

decorrer deste estudo. Nesta figura, os contornos com apenas uma linha representam lados

apoiados, enquanto que o contorno com linhas inclinadas representa os lados engastados.

35

L37h=7

L45h=7

L44h=7

L42h=8

Figura 9 - Vinculações nas lajes maciças

Para o caso de lajes unidirecionais, adotou-se a nomenclatura:

• aa: apoio-apoio,

• ae: apoio-engaste ou engaste-apoio,

• ee: engaste-engaste.

O quadro abaixo traz para o pavimento Tipo 3, as lajes, a espessura efetiva (já depois

das diversas tentativas, oriundas do dimensionamento), seus vãos arquitetônicos, tipo de

armação, caso para uso nas tabelas e cargas usadas.

Pavimento Laje h Lx Ly

λ Armação Caso gpp grev gext gtot q

(cm) (cm) (cm) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²)

Tipo 3 L1 7 285 440 1,54 Bidirecional 4 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50

Tipo 3 L2 7 125 285 2,24 Unidirecional aa 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50





Tipo 3 L7 7 100 290 2,82 Unidirecional ee 1,75 1,38 0,00 3,13 2,00



36






Tipo 3 L12 7 30 300 8,89 Unidirecional ae 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50























Tipo 3 L35 7 95 265 2,71 Unidirecional aa 1,75 1,38 2,76 5,89 1,50







37









Quadro 4 – Laje maciça, lef , tipo de armação, caso da laje para uso nas tabelas e cargas

7.2.3 Ações nas lajes

Como este item já foi abordado, demonstram-se rapidamente os procedimentos para a

laje L45.

A carga das lajes pode ser permanente ou variável (acidental). A carga extra é

incorporado a carga permanente, conforme salientado anteriormente.

Para a laje L45:

Para uso das tabelas deste estudo, as lajes são classificadas em nove casos:

• gpp (peso próprio da laje): é dado por h*pp_g γ= , onde γ é o peso específico do

concreto armado ³m

kN25CA =γ e h é a espessura da laje, para o caso h=7 cm. Assim

.²m

kN75,1m07,0*

³m

kN25g PP ==

• grev (peso próprio do revestimento e forro do andar inferior): é o correspondente a 5

cm de contrapiso e 1 cm de revestimento cerâmico:

.²m

kN38,1m01,0*

³m

kN18m05,0*

³m

kN24g rev =+=

• gext (peso próprio extra): nesta laje, há 4,80 m de parede, como é uma laje bidirecional,

admite-se que o peso da parede esteja uniformemente distribuído ao longo da laje:

.²m

kN00,2

m30,4*m00,3

³m*)75,2*15,0*80,4(*³m

kN13

L*L

Volume*g

yxext ==

γ=

• gtot (soma das parcelas permanentes): gpp + grev + gext = 1,75+1,38+2,00 = 5,13 kN/m².

• q (carga acidental): ²m

kN50,1 para dormitórios, conforme NBR6120/80.

• p é a soma de gtot + q.

• pd é a carga de cálculo, dada por 1,4*p, ações majoradas no ELU.

38

• pd,ser (1ª cond.) é a carga de serviço na primeira condição de verificação de flecha.

Ψ2=0,3 para edifícios residenciais. Se fosse um edifício comercial, é pressuposta elevada

concentração de pessoas, então Ψ2=0,4. Para as lajes do pavimento garagens, Ψ2=0,6.

• pd,ser (2ª cond.) é a carga de serviço na segunda condição de verificação de flecha, usa-

se pd,ser = q, pois é suposto que a carga acidental atue subitamente na estrutura.

7.2.4 Verificação das flechas elásticas nas lajes

Durante o dimensionamento, para verificar se a espessura da laje atende às condições

de flecha, nesta etapa o dimensionamento é interrompido e faz-se a verificação da flecha.

Estando nos conformes, o dimensionamento segue.

Importante ressaltar que para fissuração, é usada a combinação freqüente da

NBR6118/03 e para flecha é usada a combinação quase permanente, equacionadas conforme a

tabela 11.4 e coeficientes da tabela 11.2.

Para verificar as flechas, é usado o coeficiente α, que permite calcular a magnitude do

deslocamento vertical em lajes retangulares, desde que submetidas à carga uniformemente

distribuída. É a flecha elástica, determinada supondo seção atuando no estádio I, ou seja, é

suposto seção íntegra do concreto, não fissurada, o que é aceitável enquanto Matuante<Mr, onde

Mr é o momento de fissuração. De acordo com λ e com o caso da laje, pode-se inferir de

acordo com a tabela de BARES para cálculo de flechas elásticas (interpolando quando

necessário), o valor de α a ser usado na expressão 100

α*

h*E

l*pf

3

4xserd,

0 = , se a laje for

bidirecional.

Caso a laje seja unidirecional, ela será tratada como uma viga, assim a flecha imediata

(ou flecha no tempo=0: f0)

• I*E

l*p*

384

5f

4xser,d

0 = , se a laje pertencer ao caso aa (apoio-apoio);

• I*E

l*p*

384

2f

4xser,d

0 = , se a laje pertencer ao caso ae (apoio-engaste);

• I*E

l*p*

384

1f

4xser,d

0 = , se a laje pertencer ao caso ee (engaste-engaste).

A flecha diferida no tempo (ou flecha quando t = ∞) leva em conta o efeito da fluência

do concreto, é dada por f∞ e determinada a partir de um coeficiente (1+αf) que aumenta o

39

valor da flecha imediata. Esse coeficiente é dado pela NBR6118/03, de acordo com o item

17.3.2.1.2: '*501f

ρ+

ξ∆=α ,mas 'ρ é a taxa de armadura negativa, que é nula para lajes

maciças em concreto armado. Assim, 47,1)t()t( 0f =ξ−ξ=ξ∆=α , conforme citado no

início deste estudo (em Dados gerais). Assim, f∞ = (1+1,47)*f0.

A equação para fadm, na primeira condição traz o valor da flecha imediata admissível

para qual ser feita comparação com a flecha imediata ocorrida com a carga de serviço pdser

(1ªcond.), p = g+ψ2*q. A flecha admissível (fadm) é dada pela tabela 13.2 da NBR6118/03,

levando em consideração a aceitabilidade sensorial, limitada visualmente para que sejam

evitados deslocamentos visíveis em elementos estruturais, assim 250

lf x

adm = .

A equação para fadm, na segunda condição traz o valor da flecha imediata admissível

para qual ser feita comparação com a flecha imediata ocorrida com a carga de serviço pdser

(2ªcond.), p=q. A flecha admissível (fadm) é dada pela mesma tabela 13.2 da NBR6118/03,

levando em consideração a aceitabilidade sensorial, limitada para que sejam evitadas

vibrações sentidas no piso que causam desconforto aos usuários, assim 350

lf x

adm = .

O uso da carga de serviço caracteriza o Estado Limite de Serviço (ELS).

Para a laje L45 em estudo, a flecha considerando a primeira condição é:

100

α*

h*E

l*pf

3

4xserd,

0 = = 0,214cm100

3,66*

0,07m*m²kN23800000

m*)(3,042*m²kN1,50)*0,3(5,13

3

44

=+

f∞ = (1+1,47)*0,214 cm=0,53 cm

.cm22,1250

m042,3

250

lf x

adm ===

Como f∞<fadm, a primeira condição da laje está verificada quanto à flecha.

Para a segunda condição, onde p = q,

100*

h*E

l*pf

3

4x

0

α= = cm058,0

100

66,3*

m07,0*²mkN23800000

m*)042,3(*²mkN)50,1(

3

44

=

f∞ = (1+1,47)*0,058 cm=0,142 cm

.cm87,0350

m042,3

350

lf x

adm ===

Como f∞<fadm, a segunda condição da laje está verificada quanto à flecha.

40

A demonstração do mesmo procedimento aplicado aos outros pavimentos e suas

respectivas lajes está em planilha junto aos anexos.

7.2.5 Determinação dos momentos característicos nas lajes

Verificadas as flechas, é dada continuidade aos dimensionamentos. Para a obtenção

dos momentos característicos das lajes bidirecionais, é usada a tabela de BARES, que fornece

os coeficientes µx, µx’, µy e µy’ de acordo com o caso da laje e o valor de λ. Caso necessário, é

feita interpolação linear para obtenção dos valores intermediários. Os coeficientes são

aplicados nas equações:

100

l*p*M

2x

xx µ= , 100

l*p*M

2x

yy µ= , 100

l*p*M

2x

xx−

µ=−

e 100

l*p*M

2x

yy−

µ=−

.

Para as lajes unidirecionais, os momentos são obtidos considerando-as como vigas de

base 1 m. Os momentos característicos variam conforme a vinculação:

• 8

l*pM

2x=+ , se a laje pertencer ao caso aa (apoio-apoio);

• 22,14

l*pM

2x=+ e

8

l*pM

2x=− , se a laje pertencer ao caso ae (apoio-engaste);

• 24

l*pM

2x=+ e

12

l*pM

2x=− ,se a laje pertencer ao caso ee (engaste-engaste).

Conforme a NBR6118/03, no item 17.3.1, a estrutura trabalhará no estádio II (regime

fissurado) quando o momento atuante for maior que o momento de fissuração (Mr).

O momento de fissuração é dado pela expressão: t

cm,ctr y

I*f*M

α= para o estado

limite de deformação excessiva (ELS-DEF). Neste mesmo item, é informado que para seções

retangulares, α=1,5. Os momentos atuantes e os momentos de fissuração são dados em

kN*m/m.

Para a laje L45, os coeficientes são µx=4,07, µx'=9,05, µy=2,69, µy'=7,80. São obtidos

por intermédio de interpolação linear nas tabelas de BARES.

Tendo os coeficientes, basta calcular os momentos característicos usando as

expressões: 100

²l*p*M x

xx µ= , 100

²l*p*M x

yy µ= , 100

²l*p*M x

'x'x µ= e 100

²l*p*M x

'y'y µ= .

41

m/m*2,50kN100

3,042²*6,63*4,07M x == ,

m/m*5,55kN100

3,042²*6,63*9,05M x' == ,

m/m*1,65kN100

3,042²*6,63*2,69M y == e

m/m*4,78kN100

3,042²*6,63*7,80M y' == .

O quadro abaixo traz o dimensionamento para as lajes do pavimento Tipo 3. Na

maioria dos casos, os coeficientes precisaram ser interpolados.

Laje Mr

µx µx' µy µy' Mx Mx' My My' M+ M-

(kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m)

L1 3,14 4,91 9,43 2,68 8,08 1,90 3,65 1,04 3,13

L2 3,14 0,97 0,00

L3 3,14 9,74 0,00 3,70 0,00 1,60 0,00 0,61 0,00

L4 3,14 3,21 0,00 3,71 8,56 1,20 0,00 1,39 3,20

L5 4,10 5,41 11,49 2,08 8,16 2,96 6,28 1,14 4,46

L6 3,14 3,44 7,54 1,79 5,76 1,38 3,02 0,72 2,31

L7 3,14 0,23 0,46

L8 3,14 4,00 8,94 2,70 7,76 2,67 5,96 1,80 5,17

L9 3,14 4,01 8,24 1,21 5,72 1,02 2,09 0,31 1,45

L10 5,19 4,44 9,82 2,62 7,92 5,40 11,95 3,19 9,64

L11 4,10 4,60 9,86 2,56 8,01 2,38 5,09 1,32 4,14

L12 3,14 0,04 0,07

L13 3,14 0,51 0,91

L14 3,14 3,37 7,44 1,83 5,77 1,44 3,19 0,78 2,47

L15 3,14 3,28 7,12 1,85 5,69 2,17 4,70 1,22 3,76

L16 3,14 2,36 4,20

L17 3,14 0,04 0,07

L18 3,14 0,51 0,91

L19 3,14 3,64 7,82 1,64 5,74 1,27 2,72 0,57 2,00

L20 3,14 3,83 7,59 1,65 5,72 1,33 2,64 0,57 1,99

L21 3,14 2,42 6,10 2,68 6,52 0,81 2,05 0,90 2,19

42

Laje Mr

µx µx' µy µy' Mx Mx' My My' M+ M-

(kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m)

L22 3,14 3,92 8,97 2,75 7,71 1,92 4,39 1,35 3,77

L23 3,14 2,67 6,29 2,12 5,50 1,03 2,44 0,82 2,13

L24 3,14 3,63 7,63 1,62 5,72 1,04 2,19 0,47 1,64

L25 3,14 4,07 9,05 2,69 7,80 2,73 6,08 1,81 5,24

L26 3,14 0,23 0,45

L27 5,19 3,52 7,49 1,70 5,67 1,47 3,13 0,71 2,37

L28 3,14 3,17 7,13 1,95 5,74 1,19 2,67 0,73 2,15

L29 3,14 3,72 7,93 1,58 5,73 1,29 2,76 0,55 1,99

L30 3,14 2,98 6,82 2,03 5,67 1,48 3,39 1,01 2,82

L31 3,14 5,13 10,64 2,35 8,16 0,99 2,05 0,45 1,57

L32 3,14 0,43 0,87

L33 3,14 0,11 0,20

L34 3,14 0,04 0,07

L35 3,14 0,91 0,00

L36 3,14 2,85 6,59 2,07 5,60 0,96 2,21 0,69 1,88

L37 3,14 3,74 7,81 1,53 5,72 1,25 2,62 0,51 1,92

L38 7,76 0,40 0,72

L39 4,10 2,74 6,41 2,10 5,54 1,08 2,54 0,83 2,19

L40 3,14 0,43 0,87

L41 3,14 0,11 0,20

L42 4,10 4,93 10,82 2,39 8,09 3,08 6,76 1,49 5,05

L43 3,14 4,19 8,91 2,84 0,00 1,98 4,20 1,34 0,00

L44 3,14 3,42 8,07 2,81 7,43 2,05 4,83 1,68 4,45

L45 3,14 4,07 9,05 2,69 7,80 2,50 5,55 1,65 4,78

L46 3,14 9,63 0,00 3,75 0,00 1,58 0,00 0,62 0,00

Quadro 5 - Coeficientes e momentos característicos

43

7.2.6 Compatibilização dos momentos fletores

Determinados os momentos característicos, estes são dispostos na planta de formas,

em ambiente CAD, para que seja procedida a compatibilização. O momento Mx é disposto na

menor direção da laje, enquanto que o momento My atua na direção perpendicular ao Mx.

A compatibilização dos momentos fletores tem por objetivo garantir um diagrama de

momentos fletores coerente. A figura abaixo é retirada de Andrade (2003) e mostra a

grandeza ∆M/2 e a maneira que deve ser procedida o arredondamento do diagrama de

momentos fletores positivos.

Figura 10 - Compatibilização dos momentos fletores negativos e correção dos positivos

O valor de ∆M/2 é dado pela metade da variação em módulo entre os valores de

momentos fletores negativos. Os valores positivos dos momentos fletores somente são

corrigidos caso seu valor seja incrementado, é uma prática para manter a estrutura a favor da

segurança.

Quando uma laje confronta com duas outras lajes, pode acontecer de haver dois

valores para ∆M/2. É usado o maior deles, outra prática que mantém a estrutura a favor da

segurança.

44

O momento fletor negativo compatibilizado (M-) é dado por:

+> −−

−

−

2

MM

)M(maior *0,80M

21

Para a laje L45, deve ser realizado procedimento de compatibilização entre as lajes

vizinhas, ou seja, entre

• L37 e L45

M37=-2,62 kN*m/m

M45=-5,55 kN*m/m

=+

=+

=

> −−−

m/m*4,09kN2

5,552,62

2

MM

m/m*4,44kN(5,55)*0,80

M 21

m/m*4,44kNM =−

m/m*0,56kN2

4,445,55

2

∆M=

−=

De acordo com essa nova configuração do diagrama de momentos fletores, o momento

fletor positivo aumenta na L45 e reduz na L37, por isso é mantido para a L37 o valor do

momento positivo antes da compatibilização e para a L45, soma-se m/m*0,56kN2

∆M= ,

resultando 2,50+0,56 = 3,06 kN*m/m.

• L42 e L45

M42=-6,76 kN*m/m

M45=-4,78 kN*m/m

=+

=+

=

> −−−

m/m*5,77kN2

4,786,76

2

MM

m/m*5,41kN(6,76)*0,80

M 21

m/m*5,77kNM =−

m/m*0,50kN2

5,77-6,76

2

∆M==




∆M= ,

resultando 3,08+0,50 = 3,58 kN*m/m.

45

Seria assim se o valor de 2

∆Mentre as lajes L37 e L42 (que vale 0,68 kN*m/m) não

fosse superior ao valor entre L42 e L45.

Por esse motivo, o ajuste correto é aquele que fica a favor da segurança: 3,08+0,68 =

3,76 kN*m/m.

• L44 e L45

M44=-4,45 kN*m/m

M45=-4,78 kN*m/m

=+

=+

=

> −−−

m/m*4,62kN2

4,454,78

2

MM

m/m*kN82,3(4,78)*0,80

M 21

m/m*4,62kNM =−

m/m*0,08kN2

4,624,78

2

∆M=

−=




∆M= ,

resultando 1,65+0,08 =1,73 kN*m/m.

O sinal negativo antes do valor dos momentos indica que se trata de momentos

negativos.

Nota-se que o momento fletor que atua na menor direção da laje L45 é maior que o

momento fletor que atua na direção perpendicular, o que já era esperado, por uma questão de

compatibilidade de deformações.

Executivamente deve-se iniciar a colocação das barras de aço referente à armadura na

menor dimensão, no decorrer do trabalho a explicação é aperfeiçoada.

Para melhor compreensão dos procedimentos realizados na compatibilização dos

momentos fletores nas lajes maciças em concreto armado segue junto aos anexos, as plantas

de fôrmas com indicação das lajes e dos momentos fletores compatibilizados.

Segue quadro completo com a compatibilização dos momentos fletores junto aos

anexos.

46

Abaixo é demonstrada a compatibilização para o pavimento Tipo 3:

Entre M1 M2 ∆M/2 M- Mr Seção fissurada

(kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) para M-?

L1 e L2 3,13 0,00 0,31 2,50 4,10 Não

L1 e L6 3,65 3,02 0,16 3,34 4,10 Não

L1 e L7 3,65 0,00 0,37 2,92 4,10 Não

L4 e L5 0,00 4,46 0,45 3,57 4,10 Não

L4 e L9 3,20 2,09 0,28 2,65 4,10 Não

L5 e L9 4,46 1,45 0,45 3,57 4,10 Não

L5 e L10 6,28 11,95 1,20 9,56 5,19 Sim

L6 e L7 2,31 0,46 0,23 1,85 4,10 Não

L6 e L14 3,02 3,19 0,04 3,11 4,10 Não

L7 e L8 0,46 5,17 0,52 4,14 4,10 Sim

L7 e L14 0,00 3,19 0,32 2,55 4,10 Não

L8 e L9 5,17 1,45 0,52 4,14 4,10 Sim

L8 e L11 5,17 4,14 0,26 4,66 4,10 Sim

L8 e L15 5,96 4,70 0,32 5,33 4,10 Sim

L9 e L10 1,45 9,64 0,96 7,71 4,10 Sim

L9 e L11 2,09 5,09 0,51 4,07 4,10 Não

L10 e L11 9,64 4,14 0,96 7,71 5,19 Sim

L11 e L15 4,14 3,76 0,10 3,95 4,10 Não

L12 e L13 0,07 0,91 0,09 0,73 4,10 Não

L14 e L15 2,47 3,76 0,32 3,12 4,10 Não

L14 e L19 3,19 2,72 0,12 2,96 4,10 Não

L15 e L16 3,76 4,20 0,11 3,98 4,10 Não

L15 e L20 4,70 2,64 0,47 3,76 4,10 Não

L16 e L20 4,20 1,19 0,42 3,36 4,10 Não

L16 e L21 0,00 2,19 0,22 1,75 4,10 Não

L16 e L25 4,20 5,24 0,26 4,72 4,10 Sim

L16 e L26 0,00 0,45 0,05 0,36 4,10 Não

L17 e L18 0,07 0,91 0,09 0,73 4,10 Não

L19 e L20 2,00 1,99 0,00 2,00 4,10 Não

L19 e L23 2,72 2,44 0,07 2,58 4,10 Não

47



L19 e L24 2,72 1,64 0,27 2,18 4,10 Não

L20 e L25 2,64 6,08 0,61 4,86 4,10 Sim

L21 e L22 2,19 3,77 0,38 3,02 4,10 Não

L21 e L27 2,05 2,37 0,08 2,21 4,10 Não

L22 e L28 4,39 2,67 0,43 3,53 4,10 Não

L23 e L24 2,13 2,19 0,01 2,16 4,10 Não

L23 e L29 2,44 2,76 0,08 2,60 4,10 Não

L24 e L25 2,19 5,24 0,52 4,19 4,10 Sim

L24 e L29 1,64 2,76 0,28 2,21 4,10 Não

L24 e L30 1,64 3,39 0,34 2,71 4,10 Não

L25 e L26 5,24 0,00 0,52 4,19 4,10 Sim

L25 e L30 0,00 3,39 0,34 2,71 4,10 Não

L26 e L27 0,00 3,13 0,31 2,50 4,10 Não

L26 e L31 0,45 1,57 0,16 1,26 4,10 Não

L27 e L28 3,13 2,15 0,25 2,64 4,10 Não

L27 e L31 3,13 2,05 0,27 2,59 4,10 Não

L27 e L32 3,13 0,00 0,31 2,50 4,10 Não

L27 e L38 3,13 0,00 0,31 2,50 4,10 Não

L27 e L39 2,19 2,37 0,04 2,28 4,10 Não

L28 e L32 2,67 0,87 0,27 2,14 4,10 Não

L29 e L30 1,99 2,82 0,21 2,41 4,10 Não

L29 e L36 2,76 2,21 0,14 2,49 4,10 Não

L30 e L37 3,39 2,62 0,19 3,01 4,10 Não

L31 e L38 1,57 0,00 0,16 1,26 4,10 Não

L32 e L33 0,00 0,20 0,02 0,16 4,10 Não

L32 e L40 0,87 0,87 0,00 0,87 4,10 Não

L34 e L35 0,07 0,91 0,09 0,73 4,10 Não

L36 e L37 1,88 1,92 0,01 1,90 4,10 Não

L36 e L44 2,21 4,83 0,48 3,86 4,10 Não

L37 e L38 1,92 0,00 0,19 1,54 4,10 Não

L37 e L42 1,92 6,76 0,68 5,41 4,10 Sim

L37 e L45 2,62 5,55 0,56 4,44 4,10 Sim

48



L38 e L39 0,00 2,54 0,25 2,03 5,19 Não

L38 e L42 0,72 5,05 0,51 4,04 5,19 Não

L39 e L40 2,54 0,00 0,25 2,03 4,10 Não

L39 e L42 2,54 0,00 0,25 2,03 5,19 Não

L39 e L43 2,54 0,00 0,25 2,03 4,10 Não

L40 e L41 0,00 0,20 0,02 0,16 4,10 Não

L40 e L43 0,87 4,20 0,42 3,36 4,10 Não

L42 e L45 6,76 4,78 0,50 5,77 4,10 Sim

L44 e L45 4,45 4,78 0,08 4,62 4,10 Sim

Quadro 6 - Compatibilização dos momentos fletores negativos

7.2.7 Dimensionamento da armadura negativa

Agora é possível dimensionar os momentos negativos, o momento característico é

dado diretamente da tabela acima, a armadura é disposta em cima do apoio, conforme

detalhamento mais adiante. Nada impede que as armaduras positivas sejam dimensionadas

antes das armaduras negativas.

Para a laje L45, são dimensionadas 3 armaduras, pois é uma laje do tipo 7, ou seja,

com 3 engastes e um apoio.

A superfície das lajes é nivelada, mesmo que estas possuam alturas diferentes. Para a

avaliação da altura útil (d’), é necessário o conhecimento da menor altura entre as lajes que

estão sendo dimensionadas, para em seguida arbitrar um valor para o diâmetro da armadura e

efetuar o dimensionamento. Deve atentar ao arbitrar o diâmetro, pois para diâmetros pequenos

pode ser necessário que seja procedido pequeno espaçamento entre as barras, dificultando a

execução. Comumente, são empregados espaçamentos entre barras maiores que 8 cm.

Inicialmente foi arbitrado diâmetro 6,3 mm, para as lajes que fazem contorno com laje

L45, o espaçamento resultou muito pequeno. O diâmetro das barras foi aumentado para 8 mm

e o espaçamento se mostrou razoável.

A NBR6118/03 recomenda que todas as barras da armadura negativa tenham diâmetro

menor que a espessura da laje/8, esta condição foi verificada.

49

O valor do cobrimento, considerando rigoroso controle de qualidade é 2 cm. Esta é

uma importante observação e deve constar explicitamente nos projetos executivos, junto com

a classe do concreto e o tempo de escoramento mínimo.

A altura útil para a armadura negativa é: d’=espessura da laje – cobrimento – 0,5*Ø

Entre L37 e L45:

Md=1,4*Mk=1,4*4,44 kN/m²=6,22 kN/m²

Menor espessura de laje: 7 cm

d’=7,0-2,0-0,5*0,8=4,6 cm

x é a solução da equação do segundo grau (advinda das condições de equilíbrio na

seção submetida a esforços que causam flexão), dado pela equação:

cd

dcdcdcd

f*0,272*2

)M*f*0,272*4)²d'*f*((0,68d'*f*0,68x

−−= ,

onde fcd e Md em kN/m², d’ e mm.

17857,14*0,272*2

6,22)*17857,14*0,272*40,046)²*17857,14*((0,680,046*17857,14*0,68x

−−=

x=0,0125 m = 1,25 cm.

Nesse momento é possível avaliar a posição da linha neutra e afirmar em qual domínio

a seção trabalha: x/d=1,25/4,6=0,272.

Como x/d>0,257 e x/d<0,628, a seção trabalha no domínio 3.

Para o domínio 3, a armadura é dada por:

m/²cm49,3

)m0125,0*4,0m046,0(*15,1

²cmkN50

²mkN22,6

x)*0,4-(d*f

MA

s

yk

ds =

−

=

γ

=

Alguns valores mínimos de armadura são adotados para as lajes, com o pretexto de

amenizar a fissuração, melhorar a ductilidade à flexão. A norma aborda esses valores no item

19.3.3.2. Segue abaixo figura com tabela adaptada à tabela da norma.

50

Figura 11 – Armaduras mínimas para lajes maciças

Para armaduras negativas, a taxa de armadura deve ser igual ou maior que a taxa de

armadura mínima (ρmin = 0,150%), assim As,min>0,150%*100 cm*d’, d’ em cm.

Dessa forma, As,min>0,150*100 cm*4,60 cm=0,69 cm²/m.

Como As> As,min, é usada As para o dimensionamento.

Anteriormente, arbitrou-se Ø=8,0 mm. Para esse diâmetro,

AØ=8,0mm=(π*0,80²)/4=0,5026 cm².

O espaçamento é dado em /m6,94barras0,5026cm²

mcm²3,49

robarras/met == .

A partir de regra de três simples, encontra-se que espaçamento=100/6,94=14,40 cm.

Esse valor é sempre arredondado para baixo, em múltiplos de 1 cm, para que As não seja

diminuída.

Assim, o espaçamento é s=14 cm.

A NBR6118/03 no item 20.1 estabelece que o espaçamento máximo das barras da

armadura principal de flexão deve ser menor ou igual a 2*h ou 20 cm, o espaçamento máximo

é o menor entre estes dois valores. Todas as lajes são verificadas quanto a esses requisitos.

A condição 2*h = 2*7 cm = 14 cm coincide com o espaçamento encontrado, como é

um espaçamento menor que 20 cm, é o espaçamento adotado. Esse resultado coincide com o

fornecido pelo programa computacional, muito provavelmente porque recaiu na condição que

o espaçamento deve ser inferior a duas vezes o valor da espessura da laje.

A área de aço efetiva, As,ef é dada pela quantidade de barras de aço que existem

efetivamente na seção: /m.²cm59,30,14m

cm²40,80²)* (

A efs, =

π

=

51

Para os dois outros momentos negativos sobre os contornos da laje L45, o

procedimento é o mesmo.

7.2.8 Detalhamento da armadura negativa

Para fins de detalhamentos, quando o calculista não possui um diagrama de momentos

fletores bem definido, pode ser usado um diagrama triangular de momentos, de base

0,25*lmáx, conforme o esquema abaixo:

O comprimento lmáx varia conforme o engastamento entre as lajes, caso elas sejam engaste-

engaste, é dado pelo maior dos menores vãos, enquanto que para caso de apoio-engaste, é

dado pelo menor vão da laje engastada.

Figura 12 - Detalhe da armação negativa

Para a laje armadura entre as lajes L37 e L45, lx = 2,692 m (da laje L37), assim o

comprimento reto é 10*0,8+0,25*2,692+0,25*2,692+10*0,8=150,60 cm. Devem ser previstos

ganchos de maior comprimento reto possível, respeitando apenas o valor do cobrimento acima

e abaixo da barra de aço. Como as duas barras possuem espessura de laje 7 cm, o

comprimento reto dos ganchos é igual: 7 cm-2 cm-2 cm = 3 cm.

O resultado fornecido pelo programa computacional para o comprimento reto de

163,80 cm, muito próximo do encontrado. Como esperado, o comprimento reto dos ganchos

fornecido pelo programa coincide com o valor encontrado manualmente. O detalhamento

desta laje segue junto com os outros detalhamentos, nos anexos.

O programa computacional que discretiza as lajes por analogia de grelhas (também

conhecido por processo de grelha equivalente), método esse que consiste em substituir a placa

por um determinado número de vigas, dispostas em forma de rede. No programa, é admitida a

filosofia de engastes parciais. Neste caso, o programa dispõe de um diagrama de momentos

fletores, por esse motivo podem ser notadas algumas diferenças em comprimentos de barras.

52

O quadro abaixo traz os dimensionamentos das armaduras negativas entre as lajes.

Para viabilizar sua inserção, dado a quantidade de incógnitas envolvidas, as unidades foram

omitidas: momentos fletores negativos (M-) em kN*m/m, diâmetro das barras da armadura

(Ø) em mm,menor espessura das lajes (< h) em cm, altura útil (d’) em cm, altura da linha

neutra (x) em cm, área de aço (As), área de aço mínima (As,mín), área de aço efetiva (As,ef) em

cm²/m, barras por metro (b/m), espaçamento (s) em cm.

Entre M- Ø d' Domínio As As,mín barras/m s sfinal As,ef

(kN.m/m) (mm) (cm) (cm²/m) (cm²/m) (cm) (cm) (cm²/m)

L1 e L2 2,50 6,3 4,685 2 1,82 0,70 5,8466 17 14 2,23

L1 e L6 3,34 6,3 4,685 2 2,48 0,70 7,9564 12 12 2,60

L1 e L7 2,92 6,3 4,685 2 2,15 0,70 6,8906 14 14 2,23

L4 e L5 3,57 8,0 4,600 2 2,73 0,69 5,4303 18 14 3,59

L4 e L9 2,65 8,0 4,600 2 1,97 0,69 3,9245 25 14 3,59

L5 e L9 3,57 8,0 4,600 2 2,73 0,69 5,4303 18 14 3,59

L5 e L10 9,56 6,3 5,685 3 6,47 0,85 20,7527 4 4 7,79

L6 e L7 1,85 6,3 4,685 2 1,32 0,70 4,2464 23 14 2,23

L6 e L14 3,11 8,0 4,600 2 2,34 0,69 4,6646 21 14 3,59

L7 e L8 4,14 6,3 4,685 2 3,15 0,70 10,0892 9 9 3,46

L7 e L14 2,55 6,3 4,685 2 1,86 0,70 5,9659 16 14 2,23

L8 e L9 4,14 8,0 4,600 2 3,22 0,69 6,4011 15 14 3,59

L8 e L11 4,66 6,3 4,685 3 3,59 0,70 11,5305 8 8 3,90

L8 e L15 5,33 8,0 4,600 3 4,31 0,69 8,5728 11 11 4,57

L9 e L10 7,71 8,0 4,600 3 6,87 0,69 13,6601 7 7 7,18

L9 e L11 4,07 6,3 4,685 2 3,09 0,70 9,9149 10 10 3,12

L10 e L11 7,71 8,0 5,600 3 5,10 0,84 10,1451 9 9 5,59

L11 e L15 3,95 8,0 4,600 2 3,06 0,69 6,0792 16 14 3,59

L12 e L13 0,73 6,3 4,685 2 0,51 0,70 2,2544 44 14 2,23

L14 e L15 3,12 6,3 4,685 2 2,30 0,70 7,3882 13 13 2,40

L14 e L19 2,96 6,3 4,685 2 2,18 0,70 6,9795 14 14 2,23

L15 e L16 3,98 6,3 4,685 2 3,01 0,70 9,6655 10 10 3,12

L15 e L20 3,76 8,0 4,600 2 2,89 0,69 5,7544 17 14 3,59

L16 e L20 3,36 6,3 4,685 2 2,50 0,70 8,0214 12 12 2,60

L16 e L21 1,75 8,0 4,600 2 1,28 0,69 2,5409 39 14 3,59

53



L16 e L25 4,72 6,3 4,685 3 3,65 0,70 11,7145 8 8 3,90

L16 e L26 0,36 6,3 4,685 2 0,25 0,70 2,2544 44 14 2,23

L17 e L18 0,73 6,3 4,685 2 0,51 0,70 2,2544 44 14 2,23

L19 e L20 2,00 6,3 4,685 2 1,43 0,70 4,6003 21 14 2,23

L19 e L23 2,58 6,3 4,685 2 1,88 0,70 6,0356 16 14 2,23

L19 e L24 2,18 6,3 4,685 2 1,57 0,70 5,0495 19 14 2,23

L20 e L25 4,86 6,3 4,685 3 3,78 0,70 12,1254 8 8 3,90

L21 e L22 3,02 6,3 4,685 2 2,22 0,70 7,1349 14 14 2,23

L21 e L27 2,21 6,3 4,685 2 1,60 0,70 5,1228 19 14 2,23

L22 e L28 3,53 6,3 4,685 2 2,64 0,70 8,4661 11 11 2,83

L23 e L24 2,16 6,3 4,685 2 1,56 0,70 5,0007 19 14 2,23

L23 e L29 2,60 6,3 4,685 2 1,90 0,70 6,0855 16 14 2,23

L24 e L25 4,19 6,3 4,685 2 3,19 0,70 10,2424 9 9 3,46

L24 e L29 2,21 6,3 4,685 2 1,60 0,70 5,1179 19 14 2,23

L24 e L30 2,71 6,3 4,685 2 1,98 0,70 6,3657 15 14 2,23

L25 e L26 4,19 6,3 4,685 2 3,19 0,70 10,2424 9 9 3,46

L25 e L30 2,71 8,0 4,600 2 2,03 0,69 4,0311 24 14 3,59

L26 e L27 2,50 6,3 4,685 2 1,82 0,70 5,8466 17 14 2,23

L26 e L31 1,26 6,3 4,685 2 0,89 0,70 2,8465 35 14 2,23

L27 e L28 2,64 6,3 4,685 2 1,93 0,70 6,1853 16 14 2,23

L27 e L31 2,59 8,0 4,600 2 1,93 0,69 3,8373 26 14 3,59

L27 e L32 2,50 6,3 4,685 2 1,82 0,70 5,8466 17 14 2,23

L27 e L38 2,50 8,0 4,600 2 1,86 0,69 3,7015 27 14 3,59

L27 e L39 2,28 6,3 4,685 2 1,65 0,70 5,2941 18 14 2,23

L28 e L32 2,14 6,3 4,685 2 1,54 0,70 4,9423 20 14 2,23

L29 e L30 2,41 6,3 4,685 2 1,75 0,70 5,6016 17 14 2,23

L29 e L36 2,49 8,0 4,600 2 1,85 0,69 3,6716 27 14 3,59

L30 e L37 3,01 6,3 4,685 2 2,22 0,70 7,1068 14 14 2,23

L31 e L38 1,26 6,3 4,685 2 0,89 0,70 2,8465 35 14 2,23

L32 e L33 0,16 6,3 4,685 2 0,11 0,70 2,2544 44 14 2,23

L32 e L40 0,87 6,3 4,685 2 0,61 0,70 2,2544 44 14 2,23

L34 e L35 0,73 6,3 4,685 2 0,51 0,70 2,2544 44 14 2,23

54



L36 e L37 1,90 6,3 4,685 2 1,36 0,70 4,3713 22 14 2,23

L36 e L44 3,86 8,0 4,600 2 2,98 0,69 5,9317 16 14 3,59

L37 e L38 1,54 6,3 4,685 2 1,09 0,70 3,5036 28 14 2,23

L37 e L42 5,41 6,3 4,685 3 4,28 0,70 13,7167 7 7 4,45

L37 e L45 4,44 8,0 4,600 3 3,49 0,69 6,9361 14 14 3,59

L38 e L39 2,03 8,0 5,600 2 1,21 0,84 2,3984 41 16 3,14

L38 e L42 4,04 6,3 5,685 2 2,44 0,85 7,8210 12 12 2,60

L39 e L40 2,03 6,3 4,685 2 1,46 0,70 4,6898 21 14 2,23

L39 e L42 2,03 8,0 5,600 2 1,21 0,84 2,3984 41 16 3,14

L39 e L43 2,03 6,3 4,685 2 1,46 0,70 4,6898 21 14 2,23

L40 e L41 0,16 6,3 4,685 2 0,11 0,70 2,2544 44 14 2,23

L40 e L43 3,36 6,3 4,685 2 2,50 0,70 8,0214 12 12 2,60

L42 e L45 5,77 8,0 4,600 3 4,74 0,69 9,4258 10 10 5,03

L44 e L45 4,62 8,0 4,600 3 3,64 0,69 7,2493 13 13 3,87

Quadro 7 - Dimensionamento da armadura negativa

55

7.2.9 Dimensionamento da armadura positiva principal

Para a laje L45, são dimensionadas duas armaduras, uma na menor direção (de Øprinc)

e outra na direção perpendicular a esta (maior direção, de Øsec). Conforme já ressaltado, salvo

raras exceções, a direção do menor vão é mais solicitada, nela atua um momento fletor de

maior magnitude que o momento atuante na maior direção, isso se deve a uma questão de

compatibilidade de deformações. A armadura colocada na menor direção, executivamente é a

primeira a ser colocada, por uma razão muito simples: ganhar altura útil (dprinc). Nota-se que,

propositalmente, não há qualquer indicação nos projetos sobre qual armadura deve ser

colocada primeiro, pois está implícito que na menor direção atua o maior momento (e,

portanto, deve ser colocada a primeira armadura).

As lajes foram dimensionadas considerando que a armadura de maior altura útil (que é

colocada nas fôrmas da laje maciça por primeiro,) está disposta ao longo da menor direção,

mesmo que depois de compatibilizados os momentos fletores, tenha resultado que o maior

momento fletor atua na maior direção (o contrário do esperado, mas é perfeitamente aceitável

que isto ocorra).

Para a avaliação da altura útil (d), é necessário o conhecimento da altura das lajes, do

cobrimento e do diâmetro da barra de aço que será usado. O diâmetro pode ser arbitrado, caso

seja necessário um diâmetro maior, o dimensionamento terá como resultado um pequeno

espaçamento entre as barras, dificultando a execução. Comumente, são empregados

espaçamentos entre barras maiores que 8 cm, sendo permitido, eventualmente, 7 cm.

A laje L45 pertence a um dormitório, tem como carga 1,50 kN/m², possui 7 cm de

espessura e 3 bordos engastados (o que gera momento fletor negativo e alivia o momento

fletor positivo). Como os vãos podem ser considerados razoáveis, não é esperado que esta

tenha necessidade de barras de aço de diâmetro elevado.

Arbitra-se diâmetro 6,3 mm, (poderia ter sido arbitrado diâmetro 5,0 mm e então

usado CA-60).

A NBR6118/03 também recomenda que todas as barras da armadura de flexão tenham

diâmetro menor que a espessura da laje/8, esta condição foi verificada para todas as lajes

dimensionadas, tanto da armadura de flexão positiva como da negativa ou da armadura de

distribuição usada nas lajes unidirecionais.

O valor do cobrimento, conforme já ressaltado anteriormente é 2 cm.

A altura útil para a armadura positiva principal é: dprinc=h–c–0,5*Øprinc, onde dprinc é a

altura útil da armadura positiva principal.

A altura útil para a armadura positiva secundária (dsec) é: dsec=h–c–Øprinc–0,5*Øsec.

56

Os momentos fletores são compatibilizados, com isso, os momentos fletores positivos

são ajustados se sua magnitude seja incrementada.

Mdprinc=1,4*Mprinc=1,4*3,06 kN/m²=4,28 kN/m²

Espessura de laje: 7 cm

dprinc=7,0-2,0-0,5*0,63=4,685 cm

A posição da linha neutra é dada por x, obtido pela a solução da equação do segundo

grau, dado pela equação:

cd

dcdcdcd

f*0,272*2

)M*f*0,272*4)²d'*f*((0,68d'*f*0,68x

−−= ,

onde fcd e Md em kN/m², d’ em m.

17857,14*0,272*2

4,28)*17857,14*0,272*40,04685)²*17857,14*((0,680,04685*17857,14*0,68x

−−=

x=0,0081 m = 0,81 cm.



Como x/d<0,257 e x/d<0,628, a seção trabalha no domínio 2.


m/²cm26,2

)m0081,0*4,0m04685,0(*15,1

²cmkN50

²mkN28,4

x)*0,4-(d*f

MA

s

yk

ds =

−

=

γ

=

Alguns valores mínimos de armadura são adotados para as lajes, com o pretexto de

amenizar a fissuração, melhorar a ductilidade à flexão e à punção. A norma aborda esses

valores no item 19.3.3.2. A Figura 11 – Armaduras mínimas para lajes maciças é uma tabela

com as recomendações deste item.

Para armaduras negativas, a taxa de armadura deve ser maior que 67% da taxa de

armadura mínima (ρmin = 0,150%), assim As,min>0,67*0,150*100 cm*dprinc, dprinc em cm.

Dessa forma, As,min>0,150%*100 cm*4,685 cm=0,70 cm²/m.


Anteriormente, o dimensionamento foi iniciado com Ø=6,3 mm. Para esse diâmetro,

AØ=6,3mm=(π*0,63²)/4=0,3117 cm².

57

O espaçamento é dado em s/m7,235barra0,3117cm²

mcm²2,26

robarras/met == .


Esse valor é sempre arredondado para baixo, em múltiplos de 1 cm, para que As não seja

reduzida.

Assim, o espaçamento é s=13 cm.


armadura principal de flexão deve ser menor ou igual a 2*h ou 20 cm, óbvio que na região em

que atuam os maiores momentos fletores o espaçamento máximo é o menor entre estes dois

valores. Todas as lajes são verificadas quanto a esses requisitos.

A condição 2*h = 2*7 cm = 14 cm não limita o espaçamento encontrado, ainda assim,

o valor calculado é um espaçamento menor que 20 cm. O resultado fornecido pelo programa é

mais rigoroso que o encontrado manualmente, o programa recomenda que sejam postas as

barras com espaçamento 7 cm. É quase o dobro da armadura encontrada por

dimensionamento manual.



cm²40,63²)* (

A efs, =

π

=

58

7.2.10 Detalhamento da armadura positiva principal É admissível realizar uma simplificação do diagrama de momentos, para o caso de

bordo apoiado-engastado, adota-se como comprimento o maior valor entre 0,75*lef+10 cm e

0,80*lef. Assim 0,75*304,2+10=238,15 cm e 0,80*304,2=243,36 cm.

Para as barras positivas, usa-se comprimento de 245 cm, elas são postas intercaladas,

ou seja, a primeira barra parte de um dos apoios e termina sem atingir o apoio oposto,

enquanto que a segunda barra parte do apoio oposto e não atinge o primeiro apoio.

O quadro abaixo traz a compatibilização e o dimensionamento da armadura positiva

principal das lajes do pavimento Tipo 3:

Laje

Mprinc Msec Øprinc Øsec dprinc Domínio As As,mín b/m s sfinal As,ef

(kN.m/m) (kN.m/m) (mm) (mm) (cm) (cm²/m) (cm²/m) (cm) (cm) (cm²/m)

L1 2,27 1,35 6,3 6,3 4,685 2 1,64 0,47 5,270 18 14 2,23

L2 0,97 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,68 0,70 2,254 44 14 2,23

L3 1,60 0,61 6,3 6,3 4,685 2 1,14 0,47 3,655 27 14 2,23

L4 1,20 1,67 6,3 6,3 4,685 2 0,85 0,47 2,716 36 14 2,23

L5 2,96 1,59 6,3 6,3 5,685 2 1,75 0,57 5,627 17 16 1,95

L6 1,38 0,95 6,3 6,3 4,685 2 0,98 0,47 3,136 31 14 2,23

L7 0,23 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,16 0,70 2,254 44 14 2,23

L8 2,99 2,32 6,3 6,3 4,685 2 2,20 0,47 7,069 14 14 2,23

L9 1,02 0,31 6,3 6,3 4,685 2 0,72 0,47 2,299 43 14 2,23

L10 6,60 4,15 8,0 8,0 6,600 2 3,48 0,66 6,930 14 14 3,59

L11 2,89 1,42 6,3 6,3 5,685 2 1,71 0,57 5,488 18 16 1,95

L12 0,04 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,03 0,70 2,254 44 14 2,23

L13 0,60 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,42 0,70 2,254 44 14 2,23

L14 1,88 0,78 6,3 6,3 4,685 2 1,35 0,47 4,323 23 14 2,23

L15 2,64 1,54 6,3 6,3 4,685 2 1,93 0,47 6,185 16 14 2,23

L16 2,78 0,00 6,3 6,3 4,685 2 2,04 0,70 6,537 15 14 2,23

L17 0,04 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,03 0,70 2,254 44 14 2,23

L18 0,60 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,42 0,70 2,254 44 14 2,23

L19 1,54 0,57 6,3 6,3 4,685 2 1,10 0,47 3,513 28 14 2,23

L20 1,33 0,57 6,3 6,3 4,685 2 0,94 0,47 3,019 33 14 2,23

L21 0,81 1,12 6,3 6,3 4,685 2 0,57 0,47 1,817 55 14 2,23

59

Laje

Mprinc Msec Øprinc Øsec dprinc Domínio As As,mín b/m s sfinal As,ef

(kN.m/m) (kN.m/m) (mm) (mm) (cm) (cm²/m) (cm²/m) (cm) (cm) (cm²/m)

L22 2,35 1,73 6,3 6,3 4,685 2 1,70 0,47 5,466 18 14 2,23

L23 1,03 0,82 6,3 6,3 4,685 2 0,72 0,47 2,322 43 14 2,23

L24 1,05 0,47 6,3 6,3 4,685 2 0,74 0,47 2,369 42 14 2,23

L25 3,34 2,85 6,3 6,3 4,685 2 2,48 0,47 7,969 12 12 2,60

L26 0,28 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,19 0,70 2,254 44 14 2,23

L27 2,09 0,83 6,3 6,3 6,685 2 1,03 0,67 3,302 30 18 1,73

L28 1,46 0,73 6,3 6,3 4,685 2 1,04 0,47 3,324 30 14 2,23

L29 1,71 0,55 6,3 6,3 4,685 2 1,22 0,47 3,916 25 14 2,23

L30 1,67 1,22 6,3 6,3 4,685 2 1,19 0,47 3,821 26 14 2,23

L31 0,99 0,77 6,3 6,3 4,685 2 0,70 0,47 2,230 44 14 2,23

L32 0,43 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,30 0,70 2,254 44 14 2,23

L33 0,13 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,09 0,70 2,254 44 14 2,23

L34 0,04 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,03 0,70 2,254 44 14 2,23

L35 0,60 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,42 0,70 2,254 44 14 2,23

L36 0,96 0,69 6,3 6,3 4,685 2 0,67 0,47 2,161 46 14 2,23

L37 1,25 0,71 6,3 6,3 4,685 2 0,88 0,47 2,832 35 14 2,23

L38 0,40 0,00 6,3 6,3 8,685 2 0,15 1,30 4,179 23 22 1,42

L39 1,58 0,83 6,3 6,3 5,685 2 0,92 0,57 2,939 34 16 1,95

L40 0,43 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,30 0,70 2,254 44 14 2,23

L41 0,13 0,00 6,3 6,3 4,685 2 0,09 0,70 2,254 44 14 2,23

L42 3,76 2,00 6,3 6,3 5,685 2 2,26 0,57 7,244 13 13 2,40

L43 2,40 1,34 6,3 6,3 4,685 2 1,74 0,47 5,589 17 14 2,23

L44 2,53 1,68 6,3 6,3 4,685 2 1,84 0,47 5,911 16 14 2,23

L45 3,06 1,73 6,3 6,3 4,685 2 2,26 0,47 7,235 13 13 2,40

L46 1,58 0,62 6,3 6,3 4,685 2 1,12 0,47 3,608 27 14 2,23

Quadro 8 - Dimensionamento da armadura positiva principal

Pode-se comparar os momentos fletores positivos antes da compatibilização (Mx e My)

com os momentos fletores positivos compatibilizados (Mprinc e Msec) e evidenciar que a

compatibilização pode fazer com que alguns dos momentos fletores que eram maiores em

uma direção sejam menores nesta mesma direção após aplicação do procedimento.

60

7.2.11 Dimensionamento da armadura positiva secundária

Este item trata do dimensionamento da armadura positiva secundária, é aquela que é a

última a ser colocada nas fôrmas, por esse motivo tem uma altura útil (dsec) menor que a altura

útil dprinc.

Para a avaliação da altura útil (dsec), é necessário o conhecimento da espessura das

lajes, do cobrimento, do diâmetro da barra da armadura principal (por esse motivo a armadura

principal é dimensionada primeiro) e do diâmetro da barra de aço que será usado nesta

armadura secundária. O diâmetro pode ser arbitrado, caso seja necessário um diâmetro maior,

o dimensionamento terá como resultado um pequeno espaçamento entre as barras,

prejudicando a execução.

Arbitra-se diâmetro 6,3 mm. Poderia ter sido arbitrado diâmetro 5,0 mm (então usado

CA-25).

A altura útil para a armadura positiva secundária (dsec) é: dsec=h–c–Øprinc–0,5*Øsec.

Mdsec=1,4*Msec=1,4*1,73 kN/m²=2,42 kN/m²

Espessura de laje: 7 cm

dsec=7,0-2,0-0,63-0,5*0,63=4,055 cm

A posição da linha neutra é dada por x, obtido pela a solução da equação do segundo

grau, dado pela equação:

cd

dcdseccdseccd

f*0,272*2

)M*f*0,272*4)²d*f*((0,68d*f*0,68x

−−= ,

onde fcd e Md em kN/m², d’ em m.

17857,14*0,272*2

2,42)*17857,14*0,272*40,0455)²*17857,14*((0,680,0455*17857,14*0,68x

−−=

x=0,0052 m = 0,52 cm.



Como x/d<0,257, a seção trabalha no domínio 2.


m/²cm45,1

)m0052,0*4,0m0455,0(*15,1

²cmkN50

²mkN42,2

x)*0,4-(d*f

MA

s

yk

ds =

−

=

γ

=

61

Alguns valores mínimos de armadura são adotados para as lajes, conforme pode ser

observado no item 19.3.3.2 ou Figura 11 – Armaduras mínimas para lajes maciças.

Para armaduras de flexão, a taxa de armadura deve ser maior que 67% da taxa de

armadura mínima (ρmin = 0,150%), assim As,min>0,67*0,150*100 cm*dsec, dsec em cm.

Dessa forma, As,min>0,150%*100 cm*4,055 cm=0,41 cm²/m.


Anteriormente, o dimensionamento foi iniciado com Ø=6,3 mm. Para esse diâmetro,

AØ=6,3mm=(π*0,63²)/4=0,3117 cm².

O espaçamento é dado em barras/m64,40,3117cm²

mcm²1,45

robarras/met == .


Esse valor é sempre arredondado para baixo. Assim, o espaçamento é s=21 cm.


armadura principal de flexão deve ser menor ou igual a 2*h ou 20 cm, óbvio que na região em

que atuam os maiores momentos fletores o espaçamento máximo é o menor entre estes dois

valores. Todas as lajes são verificadas quanto a esses requisitos. O espaçamento deve ser

menor que 20 cm.

A condição 2*h = 2*7 cm = 14 cm limita o espaçamento encontrado. O resultado

fornecido pelo programa é o mesmo que o calculado manualmente, pois a solicitação na laje

faz recair em um caso de armadura mínima (nada impede que a condição 2*h seja

compreendida como um caso de armadura mínima).



cm²40,63²)* (

A efs, =

π

=

7.2.12 Detalhamento da armadura positiva secundária

É admissível realizar uma simplificação do diagrama de momentos, para o caso de

bordo engastado-engastado, adota-se como comprimento o maior valor entre 0,70*lef+10 cm e

0,75*lef.

Assim 0,75*434,2+10=335,65 cm e 0,80*434,2=347,36 cm.

62

Para as barras positivas, usa-se comprimento de 350 cm, elas são postas intercaladas,

ou seja, a primeira barra parte de um dos apoios e termina sem atingir o apoio oposto,

enquanto que a segunda barra parte do apoio oposto e não atinge o primeiro apoio.

O dimensionamento da armadura positiva secundária pode ser verificada na planilha

junto aos anexos. Uma importante observação é que As=0 é de caráter ilustrativo, significa

que a laje é unidirecional, e sua armadura é calculada mais adiante, conforme recomendações

para armaduras secundárias de lajes unidirecionais (chamada de “armadura de distribuição”).

63

7.2.13 Dimensionamento da armadura secundária

Como foi mostrada na Figura 11 – Armaduras mínimas para lajes maciças, é

necessária uma armadura secundária para a laje unidirecional.

A laje L45 não é unidirecional. Os procedimentos para a aplicação de 0,5*ρmín são

muito semelhantes aos descritos anteriormente para 0,67*ρmín. A condição 0,9 cm²/m deve ser

encarada como um fator limitante e 0,20*As,ef é obtida de imediato. Desnecessário fazer os

cálculos minuciosamente para uma laje unidirecional.

No detalhamento, deve ser disposta a armadura de apoio até apoio.

O quadro abaixo traz os dimensionamentos das armaduras de distribuição de esforços

para o pavimento Tipo 3:

Laje As,princ Ø

(mm)

0,20*As 0,5*ρmín A = 0,90 USAR:

(cm²/m)

b/m s sfinal As,ef

(cm²/m) (cm²/m) (cm²/m) (cm²/m) (cm) (cm) (cm²/m)

L2 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L7 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L12 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L13 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L16 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L17 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L18 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L26 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L32 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L33 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L34 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L35 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L38 1,42 6,3 0,28 0,83 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L40 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

L41 2,23 6,3 0,45 0,53 0,90 0,90 2,8872 34 33 0,94

Quadro 9 - Dimensionamento das armaduras de distribuição

64

7.2.14 Cálculo aproximado da flecha

Interessante notar que teoricamente, a seção está fissurada quando o momento de

fissuração for superior que o momento fletor atuante (característico). Quando a seção

transversal de lajes e vigas está fissurada, a rigidez equivalente de uma seção de viga deve ser

considerada para a avaliação da flecha.

Para tanto, é necessário usar a fórmula de Branson que a NBR6118/03 adotou. A laje

L45 tem dois momentos fletores positivos, mas nenhum deles é maior que o momento de

fissuração. Um exemplo de aplicação está na verificação da flecha calculada para a escada,

(item 11.5 – Verificação da flecha).

O quadro abaixo traz a verificação da flecha. A análise é feita somente para momentos

fletores positivos cujas lajes apresentam momento positivo atuante maior que o momento de

fissuração. Curiosamente, não houve casos em que os dois momentos positivos se mostraram

maiores que o momento de fissuração. A coluna OBS traz como observação o nome da laje

cujo momento serviu de base para o cálculo da flecha no estado fissurado. Todas as lajes estão

de acordo com o limite de flecha máxima fixada por norma.

Pavimento

Laje

h

(cm)

As,ef

(cm²/m)

xII

(cm)

III

(cm4)

(EI)eq

(MN*m²)

a0

(cm)

af

(cm)

OBS

Reserv L2 9 4,36 0,82 861,17 1,32 0,024 0,059 Msec

Tipo 3 L10 9 3,59 1,75 923,84 0,817 0,277 0,685 Mprinc

Tipo 3 L25 7 2,60 1,25 335,55 0,580 0,124 0,305 Mprinc

Tipo 1 L15 9 4,36 1,89 1043,24 0,910 0,235 0,580 Mprinc

Quadro 10 - Verificação da flecha inelástica

7.2.15 Reações de apoio das lajes nas vigas dos contornos

Conforme citado anteriormente, as lajes maciças possuem vigas nos seus contornos,

que servem de apoio. Por esse motivo existem reações de apoio das lajes maciças nas vigas do

contorno dessas lajes. Este item poderia constar juntamente com o dimensionamento das

vigas, mas contém variáveis necessárias à verificação ao cisalhamento e por esse motivo são

aqui abordadas.

Para a extremidade apoiada da laje L45:

p=6,63 kN/m² (uniformemente distribuída ao longo de toda a laje).

65

( )m/kN10,4

342,4

6873,2*63,6

(m)l

²)m(A*m²kNcarga

Reaçãoefetivo

luênciainf===

Quadro 11 - Charneiras plásticas para cálculo das reações de apoio

Os procedimentos são os mesmos para todos os contornos da laje. Importante lembrar

que a carga na viga é a soma da reação de apoio atuante na laje com a reação de apoio da laje

adjacente (caso houver). Para dimensionar a viga, deve ser somado o peso próprio da viga,

com as paredes que existem exatamente sobre a viga e com as reações de apoio.

Importante ressaltar que existem tabelas elaboradas por Pinheiro, mesmo autor que

consta junto às referências bibliográficas deste estudo. Nos anexos deste trabalho seguem os

quadros com reações das lajes nas vigas, neste material não está incluso o valor do peso das

paredes, nem do peso próprio das vigas.

Para compreender o posicionamento das reações, adotou-se a simbologia: Vx atua

paralelamente ao maior vão da laje, no lado apoiado. Vy atua paralelamente ao menor vão da

laje, no lado apoiado. Vx’ atua paralelamente ao maior vão da laje, no lado engastado. Vy’ atua

paralelamente ao menor vão da laje, no lado engastado.

Abaixo segue o quadro com as reações de apoio das lajes nas vigas do pavimento Tipo

3, alguns dos valores estão zerados, isso se deve ao fato de não existir a vinculação em

determinada viga. Por exemplo, para o caso 7 (lajes engastadas com um apoio no maior vão),

no lado apoiado está Vx, no lado oposto está Vx’, nos lados menores estão Vy’ e como não

existe apoio no menor vão, Vy=0.

Pavimento Laje λ Caso Coeficientes Reações (kN/m)

νx νx' νy νy' V x V x' V y V y'

Tipo 3 L1 1,54 4 2,47 4,28 2,17 3,17 3,31 5,73 2,91 4,24

Tipo 3 L2 2,24 4 4,38 6,25 2,17 3,17 2,62 3,74 1,30 1,90

Tipo 3 L3 1,94 1 3,71 0,00 2,50 0,00 4,09 0,00 2,76 0,00

66



Tipo 3 L4 1,02 2 1,86 0,00 2,34 4,05 2,45 0,00 3,08 5,33

Tipo 3 L5 1,77 4 2,63 4,55 2,17 3,17 4,71 8,16 3,89 5,68

Tipo 3 L6 1,29 8 0,00 3,47 1,71 2,50 0,00 4,73 2,33 3,41

Tipo 3 L7 2,82 9 0,00 5,00 0,00 2,50 0,00 2,67 0,00 1,34

Tipo 3 L8 1,41 7 2,01 3,48 0,00 3,17 4,56 7,90 0,00 7,18

Tipo 3 L9 1,90 9 0,00 3,68 0,00 2,50 0,00 3,99 0,00 2,71

Tipo 3 L10 1,38 4 2,34 4,05 2,17 3,17 7,29 12,63 6,77 9,88

Tipo 3 L11 1,59 7 2,20 3,81 0,00 3,17 4,06 7,04 0,00 5,85

Tipo 3 L12 8,89 3 4,38 6,25 1,83 0,00 0,69 0,99 0,29 0,00

Tipo 3 L13 3,07 9 0,00 5,00 0,00 2,50 0,00 3,66 0,00 1,83

Tipo 3 L14 1,26 8 0,00 3,44 1,71 2,50 0,00 4,84 2,41 3,52

Tipo 3 L15 1,36 9 0,00 3,16 0,00 2,50 0,00 6,87 0,00 5,43

Tipo 3 L16 2,37 7 4,38 6,25 0,00 3,17 6,29 8,97 0,00 4,55

Tipo 3 L17 8,89 3 4,38 6,25 1,83 0,00 0,69 0,99 0,29 0,00

Tipo 3 L18 2,76 9 0,00 5,00 0,00 2,50 0,00 3,66 0,00 1,83

Tipo 3 L19 1,40 8 0,00 3,59 1,71 2,50 0,00 4,56 2,17 3,17

Tipo 3 L20 1,51 9 0,00 3,35 0,00 2,50 0,00 4,25 0,00 3,17

Tipo 3 L21 1,06 7 1,52 2,64 0,00 3,08 1,90 3,29 0,00 3,84

Tipo 3 L22 1,24 4 2,19 3,79 2,17 3,17 3,98 6,89 3,95 5,76

Tipo 3 L23 1,02 8 0,00 3,06 1,71 2,50 0,00 4,10 2,29 3,35

Tipo 3 L24 1,53 9 0,00 3,36 0,00 2,50 0,00 5,11 0,00 3,80

Tipo 3 L25 1,43 7 2,04 3,53 0,00 3,17 4,74 8,20 0,00 7,36

Tipo 3 L26 2,49 9 0,00 5,00 0,00 2,50 0,00 2,89 0,00 1,44

Tipo 3 L27 1,47 9 0,00 3,30 0,00 2,50 0,00 4,84 0,00 3,66

Tipo 3 L28 1,18 8 0,00 3,32 1,71 2,50 0,00 4,37 2,25 3,29

Tipo 3 L29 1,46 8 0,00 3,65 1,71 2,50 0,00 4,63 2,17 3,17

Tipo 3 L30 1,11 8 0,00 3,22 1,71 2,50 0,00 5,85 3,10 4,54

Tipo 3 L31 1,78 7 2,36 4,08 0,00 3,17 2,95 5,11 0,00 3,97

Tipo 3 L32 2,69 8 0,00 5,00 1,71 2,50 0,00 4,19 1,43 2,10

Tipo 3 L33 2,10 4 4,38 6,25 2,17 3,17 1,20 1,71 0,59 0,87

Tipo 3 L34 7,87 3 4,38 6,25 1,83 0,00 0,69 0,99 0,29 0,00

Tipo 3 L35 2,71 9 0,00 5,00 0,00 2,50 0,00 3,66 0,00 1,83

67



Tipo 3 L36 1,07 8 0,00 3,16 1,71 2,50 0,00 3,94 2,13 3,12

Tipo 3 L37 1,61 9 0,00 3,45 0,00 2,50 0,00 4,30 0,00 3,12

Tipo 3 L38 3,23 7 4,38 6,25 0,00 3,17 2,59 3,70 0,00 1,88

Tipo 3 L39 1,04 8 0,00 3,10 1,71 2,50 0,00 4,30 2,38 3,47

Tipo 3 L40 2,69 8 0,00 5,00 1,71 2,50 0,00 4,19 1,43 2,10

Tipo 3 L41 2,10 4 4,38 6,25 2,17 3,17 1,20 1,71 0,59 0,87

Tipo 3 L42 1,55 4 2,48 4,29 2,17 3,17 5,00 8,66 4,38 6,39

Tipo 3 L43 1,05 3 4,94 4,12 1,83 0,00 7,30 6,09 2,70 0,00

Tipo 3 L44 1,13 4 2,04 3,54 2,17 3,17 4,02 6,96 4,27 6,24

Tipo 3 L45 1,43 7 2,03 3,52 0,00 3,17 4,10 7,10 0,00 6,39

Tipo 3 L46 1,90 1 3,69 0,00 2,50 0,00 4,06 0,00 2,76 0,00

Quadro 12 - Reação de apoio das lajes nas vigas

68

8 Dimensionamento das vigas

Para o dimensionamento das vigas é usada a NBR6118/03.

O item da 14.4.1.1 desta norma define as vigas e faz entender que nestes elementos

lineares, os principais esforços são o esforço cortante, o momento fletor e o momento torsor.

Este item traz o dimensionamento de uma das vigas de transição da edificação, a viga V39, no

pavimento Tipo 1, cujo posicionamento e confrontações pode ser verificada junto à planta de

fôrmas.

Quando é assumida uma ligação rígida entre duas vigas, surge um momento fletor na

extremidade da viga apoiada e o mesmo valor surge para a viga do apoio, esse efeito é

conhecido por torção de compatibilidade. Para o caso de vigas que se apóiam em outras vigas,

admite-se uma ligação flexível sendo possível desprezar os efeitos da torção de

compatibilidade. Outra importante consideração que viabiliza desprezar a torção de

compatibilidade é que as vigas estão “travadas” pelas lajes, que possuem grande rigidez

(quando comparada aos outros elementos estruturais), absorvendo grande parte dos esforços

de torção. Para considerar ligações flexíveis, basta rotular as extremidades destas vigas.

A NBR6118/2003 adota para o dimensionamento à torção, o modelo de treliça

espacial generalizada e abandona o modelo de treliça clássica. Isso proporciona que os

resultados sejam mais coerentes ao efeito do cisalhamento. Daí decorre também alterações nas

armaduras mínimas de cisalhamento. Respeitados estes limites, pode ser desprezado o efeito

da torção de compatibilidade.

Atenção especial foi reservada ao “caminho das ações”, pois é conhecido que as vigas

descarregam as solicitações no menor caminho possível, quando vigas apoiavam em vigas,

este foi um dos pontos a considerar no momento de distinguir qual viga está se apoiando e

qual serve de apoio. Assim, é coerente, que as vigas mais rígidas sirvam de apoio às vigas

menos rígidas.

Desta maneira, assume-se que esta viga está submetida a esforços cortantes e

momentos fletores, desconsiderando os momentos torsores. O programa computacional usado

não leva em consideração a presença destas lajes durante o dimensionamento da viga, por isso

a viga é dimensiona aos esforços cortantes, momentos fletor e também à torção. Por isso,

espera-se que os resultados do programa computacional sejam mais rigorosos que os

encontrados pelo cálculo manual, uma vez que este não considera os momentos torsores.

O modelo estático para análise é formulado considerando a distância entre os “nós” da

estrutura, obtidos diretamente do ambiente croqui do programa computacional.

69

A edificação deste estudo pode ser considerada usual, por isso são permitidas algumas

aproximações, destacadas no item 14.6.7.1 da norma. Os apoios extremos desta viga são

outras vigas. Se fossem pilares, seria realizado cálculo que avalia o quanto esses pilares

influenciam na solidariedade com a viga, sendo introduzido nas extremidades, momento fletor

igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado por coeficientes dados no subitem

“c” e que levam em consideração a rigidez da viga e dos tramos de pilares abaixo e acima da

viga. Nas ligações entre as vigas e os pilares, considerou-se um apoio de 2º gênero, sendo que

a metade do pilar entrou no modelo, mantendo a continuidade dos pilares.

A carga atuante nessa viga é devida ao seu peso próprio, à reação das lajes na viga e

das cargas de parede. O peso próprio é uniformemente distribuído em todos os tramos, pois a

seção é contínua. A reação das lajes pode ser adquirida diretamente nos anexos. A carga das

paredes pode ser composta observando o projeto arquitetônico. A resolução deste modelo

estrutural pelo Método de Cross ou por algum método matricial é muito trabalhosa, portanto

fez-se uso do programa FTOOL.

A figura abaixo ilustra a carga considerada na viga de transição (V39). Nota-se que a

maior das cargas corresponde ao pilar que descarrega nesta viga:

Figura 13 - Cargas na viga V39

Esta viga poderia ter altura inferior a 70 cm, conforme pode ser analisado, porém, o

programa computacional exigiu que a altura fosse acrescida, pois este realiza seus modelos

estruturais montando e calculando painéis de lajes por analogia de grelha, transmitindo estas

reações das lajes às vigas que servem de apoio, em seguida monta um pequeno pórtico

contendo apenas o pavimento superior, contendo seus pilares engastados na base onde os

esforços obtidos são usados no dimensionamento das vigas.

Em toda a seção transversal desta viga foi adotada base 25 cm e altura 70 cm, as

mesmas exigidas pelo programa computacional para que pudesse ser realizada a comparação

final. O dimensionamento inicia-se através da definição dos dados iniciais, alguns deles

podem ser verificados no início deste estudo.

70

8.1 Dimensionamento da armadura longitudinal

O diagrama de momentos fletores característico usado segue abaixo, omitindo alguns

valores, como os referentes aos momentos fletores que atuam na continuidade dos pilares,

pois estes não são úteis ao dimensionamento e prejudicam a visualização dos demais valores.

Na figura 14.6, a norma sugere que seja procedido arredondamento no diagrama de momentos

fletores. No entanto, é boa prática não realizar este arredondamento e efetuar o

dimensionamento seguindo o maior dos valores.

Figura 14 - Diagrama de momentos fletores: V39

O dimensionamento da viga é organizado em tramos (trechos de cálculo), sendo que

são necessárias 7 seções para que a viga seja dimensionada. Demonstra-se os cálculos para a

seção 4a (entre o P19 e o P9), submetida a momento fletor 183,69 kN*m, conforme figura

acima. Assim, majorada a ação em 1,4: Md = 257,17 kN*m.

O dimensionamento pode ser iniciado pela distribuição transversal das barras de aço

na seção transversal, uma vez que já se tem uma idéia dos resultados.

Conforme estudo inicial no programa computacional, o uso de barras de diâmetro 16

mm é uma boa solução.

O item 18.3.2.2 da norma recomenda que o espaçamento horizontal seja

==

≥

mm4,11mm5,9*20,1Φ*1,20

barra da diâmetro

20mm

a

agregado

h , assim cm2a h ≥ .

Recomenda também neste mesmo item que o espaçamento vertical seja

=

≥

mm75,4Φ*0,5

barra da diâmetro

20mm

a

agregado

v , assim cm2a v ≥

71

Obedecendo aos critérios acima e conhecido que o diâmetro de estribos a ser usado é

Øt e na maior parte da seção resultou no programa computacional Øt = 6,3 mm, é possível

inferir o número máximo de barras que podem ser dispostas em cada camada (n(barras)):

h

htnomw)barras( a

a*2c*2bn

+Φ

+Φ−−=

O livro de Chust (2005) traz expressão que possibilita a obtenção da altura útil mínima

para que seções com armadura simples: ²)*272,0*68,0(*f*b

Md

cdw

dmín

ξ−ξ= , a partir do

princípio que a menor altura útil necessária para resistir um dado momento fletor, sem

necessidade de armadura dupla, ocorre no limite entre os domínios 3 e 4, por isso .628,0=ξ

70cm.cm 42,44

0,628²)*0,2720,628*(0,68*1,4

25000kN/m²*0,25m

m*257,17kNd mín <<<=

−

=

Verifica-se que todas as seções são de armadura simples.

Arbitra-se a altura útil (darb), supondo que em uma camada possam ser dispostas as

barras da área de aço necessárias, respeitando o espaçamento horizontal. Caso não seja

possível inserir as barras em uma única camada, estas são dispostas em duas camadas e o

valor da altura útil é reduzido. O procedimento se repete até que caibam todas as barras de aço

nas camadas. Uma boa estimativa para avaliar o valor da altura útil é d = 0,91*h.

Se mostrando razoável, a altura útil é calculada: dcalc = h – cnom – Øt - 0,5*Ø, se a

solução encontrada for dada em uma única camada. A altura útil é definida como a distância

vertical entre o centro de gravidade da armadura e a fibra mais comprimida do concreto. Para

mais de uma camada, a altura útil deve ser reavaliada.

Para a seção estudada: dcalc = h – cnom – Øt - 0,5*Ø = 70 - 2,5 – 0,80 – 0,5*1,6 = 65,9

cm, supondo estribos de 8 mm de diâmetro.

A posição da linha neutra (x) pode ser obtida a partir da expressão:

0,272*fcd*bw*x²-0,68*fcd*bw*d*x+Md=0, assim

1,214*x²-2,001*x+0,257166=0,

que resulta duas soluções: uma solução positiva que resulta x fora da seção e outra negativa,

que é empregada: x = 0,1405 m.

É conhecido que a deformação máxima elástica para o concreto é 3,5‰. Da Lei de

Hooke é obtida a deformação admissível do aço CA-50: 2,07‰.

Estas grandezas são relacionadas em regra de três, a partir da figura 17.1 da norma.

72

Assim, se 259,0dx ≤ , tem-se domínio 2. Se 628,0d

x259,0 <≤ tem-se domínio 3. Se

for superior a isso, é domínio 4 (caracterizado por ruptura frágil). Nesse caso, é imposta a

condição limite da linha neutra estar no limite entre os domínios 3 e 4.

O domínio pode ser avaliado por x/d, que resulta 0,213. (Domínio 2). Para domínio 2 e

3, usa-se armadura simples. A deformação no aço para o domínio 2 é 10,00‰, por regra de

três é calculada a deformação no concreto: 2,71‰. Como é inferior a 3,5‰, o

dimensionamento pode prosseguir.

Conhecido x, a armadura é dada por ².cm812,9)x*4,0d(*f

MA

yd

ds =

−=

Armadura mínima (tabela 17.3 da norma): ρmín = 0,15%, para vigas de seção

retangular e fck = 25 MPa.

A equação da taxa de armadura h*b

A

A

A

w

mín,s

c

míns,mín ==ρ pode ser rearranjada:

h*b*A wmínmíns, ρ= . Assim, cm² 2,62570*25*0,0015h*b*100

0,15A wmíns, === .

É adotado As, uma vez que este valor é superior ao mínimo exigido por norma.

São necessárias 4,88 barras de Ø = 16 mm. Adota-se n=5 Ø 16 mm. (As,ef=10,05 cm²).

O quadro abaixo traz os procedimentos para as outras seções. Nota-se que o valor da

altura útil é modificado para a seção 4a, caso o estribo mude de 6,3 para 8,0 mm, e que isso

não alterou a quantidade de barras necessárias.

Seção Mk Md hmín Øt Ø dcalc x

D εs εc As n As,ef

(kN.m) (kN.m) (cm) (mm) (mm) (cm) (m) ‰ ‰ (cm²) (barras) (cm²)

S1: V14 e P25 87,24 122,14 29,25 6,3 16 66,1 0,0633 2 10,00 1,06 4,421 3 6,03

S2: P25 e P19 8,20 11,48 8,97 6,3 16 66,1 0,0057 2 10,00 0,09 0,401 2 4,02

S3: P19 304,81 426,73 54,67 6,3 16 64,5 0,2600 3 5,18 3,50 18,152 9 18,10

S4a: P19 e P13 183,69 257,17 42,44 8 16 65,9 0,1405 2 10,00 2,71 9,812 5 10,05

S4b: P13 e P9 183,69 257,17 42,44 6,3 16 66,1 0,1405 2 10,00 2,70 9,812 5 10,05

S5: P9 181,34 253,88 42,17 6,3 16 66,1 0,1381 2 10,00 2,64 9,644 5 10,05

S6: P9 e P3 10,45 14,63 10,12 6,3 16 66,1 0,0073 2 10,00 0,11 0,512 2 4,02

S7: P3 e V1 62,63 87,68 24,78 6,3 16 66,1 0,0449 2 10,00 0,73 3,138 2 4,02

Figura 15 - Dimensionamento da armadura longitudinal - V39

73

8.2 Dimensionamento da armadura transversal

A armadura transversal é destinada a suportar os esforços cortantes, causados pelas

tensões de cisalhamento na viga. O diagrama de esforços cortantes é destacado abaixo, com

os valores importantes ao dimensionamento da armadura transversal (dada pela área da seção

transversal dos estribos).

Figura 16 - Diagrama de esforços cortantes - V39

O plano dos estribos faz ângulo de 90° com o eixo longitudinal da viga: α=90°. É

usado modelo de cálculo II da norma, (item 17.4.2.3 da norma). A inclinação das diagonais de

compressão adotada é θ=30°.

O objetivo de adotar seção 4a e 4b é que os esforços cortantes diferem muito entre um

e outro trecho deste mesmo tramo. Inicialmente, o cortante característico vale Vmáx=405,59

kN, mas o restante do trecho pode ser dimensionado com cortante de valor Vmáx=145,45 kN,

resultando em uma razoável economia na armadura transversal.

Antes de dimensionar uma seção ao esforço cortante, é necessário verificar se a

compressão diagonal do concreto é excessiva.

Algumas notações importantes: Vsd é o esforço cortante de cálculo na seção (Vsd =

1,4*Vmáx), VRd2 é a força resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas.

Para o modelo II de cálculo, a verificação é satisfeita quando Vsd<VRd2.

VRd2 = 0,54*αv2*fcd*bw*d*sen²θ*(cotg α + cotg θ), sendo que αv2=(1-fck/250) e fck em MPa.

Assim, para a seção 4, VRd2 = 619,12kN. Como Vsd = 567,826kN, a condição é

satisfeita.

A norma contempla a redução de esforços cortantes nas proximidades dos apoios,

trata-se de um ajuste que leva em consideração que os esforços cortantes não são acrescidos

quando muito próximos ao apoio (item 17.4.1.2.1 da norma). No entanto, não será feita essa

compensação neste estudo.

Vc é a parcela da força cortante resistida por mecanismos complementares,

correspondem ao engrenamento que ocorre entre as partes de concreto separadas pelas

74

fissuras inclinadas e a resistência da armadura longitudinal que serve de apoio às bielas de

concreto, sendo este último conhecido por “efeito pino”.

No item 17.4.2.3, item “c”, entende-se que Vc=Vc1, pois é um caso de flexão simples.

Vc0 é dado pelo modelo I da norma, (item 17.4.2.2): Vc0=0,6*fctd*bw*d=126,774 kN.

Vc1 é igual a Vc0, se Vsd for menor ou igual a Vc0.

Vc1 é nulo quando Vsd=VRd2 (não se admite parcela resistente devido aos mecanismos

de ruptura quando a tensão solicitante nas bielas de concreto se aproxima à tensão resistente).

Admite-se interpolação linear para obtenção dos valores intermediários.

A seção 4, que serve de exemplo, recaiu num caso de interpolação linear:

Vc1 = -Vc0*(Vsd-Vc0)/((VRd2-Vc0)+Vc0)

Vc1=13,208 kN

A armadura transversal mínima constituída por estribos tem taxa geométrica dada por

ρsw=0,2*fct,m/fywk, ρsw =0,2*2,56/500=0,00103 ou 0,103%.

Isso significa que ².cm795,170*25*00103,0h*b*00103,0A wmíns, === Por outro

lado, a armadura mínima admitida na situação menos rigorosa possível é Ø 6,3 mm cada 30

cm, como o estribo é de 2 ramos, a armadura mínima passa a ser As,mín = 2,1 cm²/m.

.m/²cm405,12

30gcot*15,1

500*659,0

)208,13826,567(*11,1

gcot*fywd*d

)VV(*11,1

gcot*fywd*d

V*11,1A 1csdsd

sw,90 =

°

−=

θ

−=

θ=

É efetivado Asw,90.

Vs,mín é o cortante característico que a armadura mínima suporta.

Vs,min=(2,1*d*fywd*cotg30)/((1,11+Vc1)/1,4). Assim, Vs,mín = 76,496kN. Deve ser usada a

armadura calculada, pois a armadura mínima não atende à solicitação imposta nesta seção e

nem na seção 4b (entre os pilares P19 e P9, que apóiam a viga que recebe o pilar que nasce).

O item 18.3.3.2 traz observações sobre o espaçamento máximo entre estribos (smáx):

20cmd*0,3s :: ,V*0,67V

30cmd*0,6s :: ,V*0,67V

máxRd2sd

máxRd2sd

≤=>

≤=≤

Para o item destacado, Vsd>0,67*VRd2 e smáx = 19cm. Escolheu-se anteriormente bitola

8,0 mm.

Espaçamento usado: é dado por: ( )

( )

.cm10,8

4²*14,32

90,Asw

100s

t

=

Φ

=

Obviamente, esse valor é arredondado para baixo: 8cm.

75

Seção Vs,máx Vsd VRd2 Vc0 Vc1 Asw,mín Asw,90 Vs,mín smáx sadotado

(kN) (kN) (kN) (kN) (kN) (cm²) (cm²) (kN) (cm) (cm)

1 91,14 127,596 620,717 127,101 126,974 2,100 2,100 157,930 30 30

2 76,05 106,47 620,717 127,101 127,101 2,100 2,100 158,021 30 30

4a 405,59 567,826 619,12 126,774 13,208 2,100 12,405 76,496 19 8

4b 145,45 203,63 619,12 126,774 13,208 2,100 4,248 76,669 30 15

6 110,86 155,204 620,717 127,101 119,865 2,100 2,100 152,853 30 30

7 48,30 67,62 620,717 127,101 127,101 2,100 2,100 158,021 30 30

Quadro 13 - Dimensionamento da armadura transversal - V39

Quando comparado ao dimensionamento fornecido pelo programa computacional,

nota-se que este é mais rigoroso na armadura mínima, pois é limitada a 25 cm. Isso melhora

as condições de fissuração. Nos trechos 4a e 4b, os esforços cortantes são maiores no

programa, por isso o espaçamento é inferior ao calculado.

8.3 Dimensionamento da armadura de pele

Como a altura da seção da viga é superior a 60 cm, a norma recomenda que seja feito

uso de armadura de pele, com objetivo de combater a fissuração. A área mínima desta

armadura lateral (em cada face da viga) é dada por 0,10% da área da alma da seção. Como se

trata de uma seção retangular, a seção toda é a alma: As,pele=0,0010*bw*h=1,75 cm²/m,

aplicado para todas as seções da viga. As barras podem ser de CA-50, por esta ser uma barra

de alta aderência (coeficiente superficial = 2,25). Adota-se diâmetro 6,3 mm (A=0,3117 cm²).

Assim, 1,75/0,3117=5,6 barras. Adota-se 6 barras para cada face.

O espaçamento é dado por: h/(n+1)=70/(6+1)=10 cm, que é inferior a 20 cm e que d/3.

Conforme 18.3.5, o espaçamento deve ser menor que d/3 e que 20 cm.

8.4 Detalhamento longitudinal

Como a armadura longitudinal foi determinada por meio do equilíbrio de esforços na

seção normal ao eixo da viga, deve ser feita compensação no diagrama de momentos fletores,

para levar em consideração os efeitos que a fissuração oblíqua causa. Por esse motivo, o

diagrama de momentos fletores é deslocado do valor da decalagem (item 17.4.2.3, “c”):

O valor da decalagem (al) é dado por al=0,5*d*(cotg θ – cotg α). Para estribos

verticais e θ=30°, a expressão acima pode ser simplificada: al=0,866025*d.

76

A decalagem é de simples obtenção e os cálculos são demonstrados mais adiante.

Figura 17 - Decalagem do diagrama de momentos fletores - V39

O processo é simples: o diagrama de momentos fletores característicos é deslocado,

somando-se horizontalmente a decalagem. Deste novo diagrama de momentos fletores, é

somado o valor do comprimento de ancoragem necessário (lb,nec,), garantindo 10*Ø, conforme

figura acima, pois o comprimento da barra de aço no interior do diagrama deslocado é

necessário para suportar os esforços e o comprimento lb,nec tem por finalidade transferir os

esforços das barras de aço ao concreto. Neste trabalho, não são usados dispositivos mecânicos

para transferir os esforços das barras ao concreto, sendo que a transferência se dá

exclusivamente por aderência entre o concreto e o aço.

Para calcular lb,nec, é preciso dispor o comprimento de ancoragem básico (lb), para isso,

deve ser conhecida a resistência de aderência (fbd): fbd=η1* η2* η3*fctd. O item 9.3.2.1 traz que

η1 = 2,25 (uso de aço CA-50).

η2 = 1,0 quando em situações de boa aderência (conforme exigido em 9.3.1)

η2 = 0,7 em situações de má aderência (conforme exigido em 9.3.1)

η3 = 1,0, pois todas as barras possuem Ø menor que 32 mm.

Conhecida a resistência de aderência, o comprimento de ancoragem básico é dado por

bd

ydb f*4

f*l

Φ= , (item 9.4.2.4). Finalmente, o comprimento de ancoragem necessário é dado

pelo item 9.4.2.5:

77

min,bef,s

calc,sbnecb, l

A

A*l*l ≥α= , onde lb,min é o maior valor entre 30% de lb, 10 cm e 10*Ø.

A presença ou não de ganchos é levado em consideração pelo fator α.

Para a seção 4, al=0,866025*d = al=0,866025*65,9 = 57,1 cm

η1 = 2,25 (uso de aço CA-50), η2 = 1,0 situação de boa e η3 = 1,0, pois Ø = 16 mm.

fbd = 2,886 MPa. cm10,86f*4

f*cm6,1l

bd

ydb == , que é maior que cm08,18l minb, = .

Não é usado gancho: α=1. Portanto, lb,nec=58,83cm. O valor 10*Ø=16 mm.

Seção al η1 η2 η3 fbd lb lb,mín

α lb,nec 10*Ø

(cm) (adim) (adim) (adim) (MPa) (cm) (cm) (cm) (cm)

1 57,2 2,25 0,7 1,0 2,020 86,10 25,83 1,00 63,11 16,00

2 57,2 2,25 1,0 1,0 2,886 60,27 18,08 1,00 18,08 16,00

3 55,8 2,25 0,7 1,0 2,020 86,10 25,83 1,00 86,37 16,00

4a 57,1 2,25 1,0 1,0 2,886 60,27 18,08 1,00 58,83 16,00

4b 57,1 2,25 1,0 1,0 2,886 60,27 18,08 1,00 58,83 16,00

5 57,2 2,25 0,7 1,0 2,020 86,10 25,83 1,00 82,60 16,00

6 57,2 2,25 1,0 1,0 2,886 60,27 18,08 1,00 18,08 16,00

7 57,2 2,25 0,7 1,0 2,020 86,10 25,83 1,00 67,18 16,00

Quadro 14 - Comprimento de ancoragem

Figura 18 - Comprimento das barras após decalagem, lb.nec e 10Ø

O dimensionamento transversal da seção 4a indicou que são necessárias 5 barras de

aço de diâmetro 16 mm. Por isso, o momento máximo é dividido em 5 espaços iguais, pois as

barras são de mesmo diâmetro.

78

Caso fosse optado, por algum motivo, usar barras de diâmetros diferentes, o diagrama

seria dividido em 5 espaços, mas a distância entre cada espaço seria proporcional ao diâmetro

da barra. Essa eventualidade é facilmente resolvida por regra de três simples.

Nota-se que o diagrama de momentos fletores assume estado estratificado, pois se

subentende que cada barra é responsável para “suportar” determinado esforço.

Um número mínimo de barras deve ser levado aos apoios extremos, para que as bielas

de concreto sejam adequadamente ancoradas.

8.4.1 Ancoragem da armadura de tração junto aos apoios

O item 18.3.2.4, no subitem “c”, da norma contempla sobre a armadura de tração nas

seções de apoio. Do diagrama de momentos fletores, verifica-se que em todas as seções, a

magnitude do momento fletor no apoio é menor ou igual a 0,5 da magnitude do momento

fletor no vão. Para este caso, a armadura de tração nas seções de apoio deve ser superior a 1/3

da armadura no vão.

Seção As,ef As/3 n

(cm²) (cm²) (barras)

2 4,02 1,3404129 1

4a e 4b 10,05 3,3510322 2

6 4,02 1,3404129 1

Quadro 15 - Ancoragem das barras tracionadas

Nesta viga, apenas existem apoios intermediários, sendo suas extremidades em

balanço. A ancoragem pode ser igual a 10*Ø, medidos a partir da face mais próxima do apoio.

As barras das armaduras são de 16 mm, por isso o comprimento de ancoragem é 16

cm, medido a partir da face “interna” do apoio. Para todos os apoios, não há possibilidades

ocorrer momentos fletores positivos, caso contrário, poderia ser empregada solução

considerando barras contínuas.

Para todas as armaduras de tração, uma vez que a menor extensão de apoio mede 30

cm, (pode-se verificar, conforme indica a planta de fôrmas, que os pilares P25 e P3 possuem

esta extensão de apoio), o comprimento de ancoragem é 16 cm de cada lado do diagrama,

resultando 32 cm. Os 2 cm restantes são compensados levando uma maior quantidade de

barras aos apoios.

Para facilitar a execução, quando possível, optou-se por fazer barras de mesmo

comprimento. Considera-se que:

79

N1 e N7 correspondem respectivamente, às barras que constituem os estribos, de diâmetro 6,3

mm e 8,0 mm, sendo que estes seguem as recomendações da norma, item 9.4.6.1. Adota-se

que estes possuam ângulo reto. Os ganchos possuem ponta reta de comprimento 7 cm (a ponta

reta deve ser no mínimo igual a 7cm) para o caso de Øt = 6,3 mm e ponta reta 8 cm

(corresponde a 10*Ø) para diâmetro 8 mm.

N2 a N6 são as barras da armadura de pele, interrompidas pelo cruzamento das vigas de eixo

perpendicular ao eixo da viga de transição. São barras dimensionadas de acordo com as

dimensões da seção transversal.

N8 são 3 barras situadas entre P19 e P9, do momento fletor positivo (barras 1, 2 e 3). Por

questões executivas, são prolongadas aos apoios, devendo adentrá-los 16 cm, portanto de

comprimento 5,27 m. As,apoio = 1/3 de 5Ø16 mm = 3,35 cm² (2 barras devem ser prolongadas

aos apoios intermediários). Tendo em vista a simplificação executiva, das 5 barras, 3 vão até

os apoios adjacentes: P19 e P9.

N9 corresponde às duas barras da armadura positiva da seção 2. Fazendo As,apoio = 1/3 de 2 Ø

16 mm, uma barra deve ser prolongada ao apoio P25 no entanto, são prolongadas duas barras

até 16 cm no interior do P9 (abrangendo também as barras 4 e 5 da seção 4), pois para fins

executivos (na seção 1, as barras são levadas até a extremidade do balanço, respeitando o

valor do cobrimento nominal, servindo de “porta estribos” (armadura construtiva), atendendo

automaticamente a área de aço neste apoio.

N10 corresponde às duas barras necessárias na seção 6 (barras 1 e 2, entre P9 e P3). Por fins

construtivos, estas são prolongadas ao balanço (respeitando o valor do cobrimento nominal)

onde descarrega a viga V1. É uma armadura comprimida e por isso não é usado gancho.

N11 corresponde à barra de menor comprimento da armadura de compressão necessária

passando pelo meio do apoio P19 (barra 9, de comprimento 2,85 m), medida diretamente do

desenho do diagrama de momentos fletores decalado, com a consideração do número de

barras, da decalagem, do comprimento de ancoragem necessário e de 10*Ø.

N12 corresponde 5 barras (numeradas de 4 a 8) da armadura negativa do apoio P19. Adota-se

o maior dos comprimentos, para simplificar a montagem da armadura: 327 cm.

N13 é a barra de armadura negativa de comprimento 8,32 m de Ø 16 mm que une a barra 3 do

apoio P19 a barra 3 do apoio P9, pois ali seria deixado espaço de 1,50 m entre elas. Isso gera

um aumento de aço na seção e conseqüentemente, um acréscimo de ductilidade na viga, além

de simplificar a mão de obra.

N14 corresponde as 2 barras que se estendem do balanço que a viga V14 descarrega sua

reação de apoio ao apoio P9. Abrange as barras 1 e 2 da armadura negativa do apoio P25, as

barras 1 e 2 da armadura negativa do apoio P19. A norma não trata de ancoragem no final do

80

balanço, por isso, para as seções 1 e 7, as barras da armadura negativa são dispostas em forma

de gancho, de comprimento projetado: 70 cm - 2,5 cm - 2,5 cm = 65 cm.

N15 corresponde a duas barras de aço de diâmetro 16 mm, da armadura negativa do pilar P9

(barras 1 e 2) à extremidade direita (onde se apoia a viga V1). Valem as mesmas

considerações a respeito dos balanços das feitas anteriormente para as barras N14.

N16 são duas barras da armadura de compressão situadas acima do P9. Cada uma possui

comprimento 3,05 m.

N17 são as 6 barras referentes à espera do pilar P13. A parte dos ganchos tem finalidade

executiva: 20 cm, para ancorar as barras do pilar: lb,nec = 60 cm, para atravessar a viga: 70 cm.

N18 corresponde à barra 3, situada acima do P25, é procedida ancoragem no balanço da

mesma forma que para as barras N14. As figuras abaixo demonstram os detalhamentos.

65

1 N18 ø16.0 C=315

V14 P25 V12 P19 V9 P13 V8 V7 P9 V5 P3 V1

Espera P13

4N1c/30 17 N1 c/30 26 N7 c/8 20 N1 c/15 14 N1 c/30 6 N1 c/30

660

2x6 N2 ø6.3 2x6 N3 ø6.3 2x6 N4 ø6.3 2x6 N5 ø6.3 2x6 N6 ø6.3

1ø2c

5ø2c

3 N8 ø16.0 C=527

2 N9 ø16.0 C=1116

2 N10 ø16.0 C=534

1 N11 ø16.0 C=285

5 N12 ø16.0 C=327

1 N13 ø16.0 C=83265

2 N14 ø16.0 C=856 2 N15 ø16.0 C=334

1 N16 ø16.0 C=309

65

1:50V39 - Detalhamento manualTipo 1

A

A

SEÇÃO A-A

ESC 1:25

20

65

61 N1 ø6.3 C=18226 N7 ø8.0 C=182

Espera P13ESC 1:25

20

130

6 N

19 ø

16.0

C=

146

Figura 19 - Detalhamento manual da V39 (Tipo 1)

V14 P25 V12 P19 V9 P13 V8 V7 P9 V5 P3 V1

Espera P13

4N1c/25 17 N1 c/25 26 N7 c/5 20 N1 c/19 14 N1 c/25 6 N1 c/25

660

2x6 N2 ø6.3 2x6 N3 ø6.3 2x6 N4 ø6.3 2x6 N5 ø6.3 2x6 N6 ø6.3

1ø2c

5ø2c

4 N8 ø16.0 C=61439 1159

2 N9 ø16.0 C=1194

557 39

2 N10 ø16.0 C=592

1 N11 ø16.0 C=350

5 N12 ø16.0 C=395

1 N13 ø16.0 C=99065

1135

1 N14 ø16.0 C=1196 1 N15 ø16.0 C=33465

1135

1 N14 ø16.0 C=1196

64265

1 N16 ø16.0 C=703651004

1 N17 ø16.0 C=1065

77265

1 N18 ø16.0 C=833

1:50V39 - Detalhamento automáticoTipo 1

A

A

SEÇÃO A-A

ESC 1:25

20

65

61 N1 ø6.3 C=18226 N7 ø8.0 C=182

Espera P13ESC 1:25

20

130

6 N

19 ø

16.

0 C

=14

6

Figura 20 - Detalhamento automático da V39 (Tipo 1)

81

9 Dimensionamento dos pilares

Este item traz como exemplo de dimensionamento, o pilar P26, um pilar

intermediário, travado por vigas nas duas direções, em todos os pavimentos que ele figura.

Esse pilar nasce na fundação e termina (morre) junto à laje do pavimento cobertura.

Por ser um pilar intermediário, considera-se que os momentos aplicados são nulos,

pois este pilar não é extremidade a nenhuma viga, mas devem ser levados em consideração os

momentos mínimos e eventuais momentos de segunda ordem. Assim, este pilar está

submetido apenas a esforços (normais) de compressão. O dimensionamento segue os critérios

da NBR6118/03.

Os esforços são obtidos por intermédio do programa computacional usado.

Importante ressaltar que no programa computacional, este pilar foi rotulado, pois não é

coerente considerar momentos fletores aplicados no topo ou base do pilar.

O pilar é retangular de dimensões 20 cm x 45 cm e tem sua seção mantida para todos

os pavimentos. O posicionamento do pilar e dos elementos estruturais que influenciam em seu

dimensionamento podem ser observados na planta de fôrmas, disposta junto aos anexos deste

trabalho.

Conforme já ressaltado anteriormente, o valor do pé direito estrutural é 2,85 m.

V14

V13 20x40

L26h=7

L31h=7

20x45P26

V42

20x3

5V

4220

x35

V13 20x40

Figura 21 - Pilar P26 e vigas de travamento

Teoricamente, os esforços normais no pilar variam conforme a altura, pois o peso

próprio varia linearmente conforme a altura do pilar. Para efeitos de cálculo, o esforço normal

na base do pilar (maior esforço nodal no trecho) é adotado em todo o trecho em estudo.

82

Como este pilar não possui menor dimensão inferior a 19 cm, não é necessário majorar

as ações de γn, (além do coeficiente 1,4).

Conforme o item 15.6 da norma, o comprimento equivalente do pilar quando

vinculado nas extremidades é: +

≤l

hll 0

e , sendo que

l0 é a distância entre as faces internas das vigas que vinculam o pilar, (pé direito estrutural).

h é a altura da seção transversal do pilar medida no plano de estudo da estrutura.

l é distância entre os eixos das vigas que vinculam o pilar (no plano de estudo da estrutura).

As vigas mudam de altura entre os pavimentos por imposições de carga e de rearranjo

estrutural.

Para idealizar a disposição dos elementos estruturais, considera-se um par de eixos

cartesianos perpendiculares entre si, sendo o eixo x horizontal e o eixo y vertical. Considera-

se que o comprimento lex é obtido conforme a análise no eixo x.

O análogo é válido ao eixo y. O quadro abaixo mostra as considerações dos

comprimentos equivalentes para os diversos trechos. O nome do pavimento refere-se ao

pavimento onde o pilar morre. Assim, o pilar P23 considerado na linha referenciada por Tipo

2, nasce no Tipo 1 e morre no Tipo 2.

Pavimento

Nd

h viga

X

h viga

Y

dpiso a

piso

Pé

direito

Pé

direito l0+hx l lex l0+hy l ley

(kN) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm)

Cobertura 149,08 40 45 285 287,5 285 330 330 330 308 330 308

Tipo 3 426,77 45 45 285 285 285 330 330 330 305 330 305

Tipo 2 701,20 45 45 285 282,5 280 325 320 320 303 325 303

Tipo 1 958,71 40 35 285 292,5 287,5 333 325 325 313 340 313

Garagens 1307,68 55 40 375 362,5 370 415 405 405 383 405 383

Térreo 1325,62 30 30 150 135 135 180 150 150 155 150 150

Figura 22 - Comprimentos equivalentes - P26

Independente se o pilar possui ou não momentos fletores aplicados em suas

extremidades, incorporam-se ao dimensionamento, momentos fletores mínimos (de primeira

ordem) devido à possibilidade de falhas executivas que causam imperfeições geométricas na

obra, é um momento que leva em consideração essas imperfeições locais e é dado por

Md,mín=Nd*(0,015+0,03*h).

83

A área de aço mínima (As,mín) é dada conforme item 17.3.5.3.1 da norma:

cyd

dmíns, A*

100

4,0

f

N*0,15A ≥= .

A taxa geométrica de armadura é ρL=As/Ac, deve ser inferior a 4% para garantir que a

efetividade dos cálculos nas zonas de emendas. (item 17.5.3.2 da norma).

O índice de esbeltez (λ) do pilar (grandeza adimensional) é avaliado por i

le=λ , onde

i é o raio de giração, dado por A

Ii = . Para seções retangulares, admite-se simplificação:

,h

l*46,3

y

ex =λ basta substituir os valores e chegar à expressão.

Quando λx for superior ao λ1, haverá momento de segunda ordem em x e quando λy for

superior ao λ1, haverá momento de segunda ordem em y.

O valor do índice de esbeltez limite λ1 deve estar entre 35 e 90, é definido pelo item

15.8.2 da norma por:

b

1

1h

e*5,1225

α

+=λ .

Para pilares com momentos inferiores ao momento mínimo, αb = 1,0. É o caso que

ocorre nos pilares intermediários. A excentricidade de primeira ordem e1 é nula para pilares

intermediários, pois não há momentos aplicados no topo da seção. Assim, para pilares

intermediários, λ1x = λ1y = 25, mas adota-se o mínimo: λ1x = λ1y = 35.

O momento de segunda ordem ocorre quando o índice de esbeltez do elemento

estrutural é superior ao índice de esbeltez limite, considera-se nesse caso, que o pilar admite

nova configuração, gerando um incremento na excentricidade no meio do pilar.

Este esforço é considerado apenas quando avaliados os esforços na seção central do

pilar, ou seja, inexiste no topo e na base.

Nos cálculos, após verificações, M2xd não será usado. Usam-se apenas efeitos de 2ª

ordem em y, sendo que o pilar abaixo do pavimento térreo (colarinho) possui pequena

esbeltez e por isso não é submetido a esforços de 2ª ordem.

A norma cita no item 18.4.2.1, que para armadura longitudinal de pilares, o diâmetro

mínimo a ser usado é 10 mm, e que este Ø deve ser menor ou igual a b/8.

Obviamente, por uma questão executiva, para pilares retangulares, deve haver 4 barras

de aço de diâmetro 10 mm em cada vértice, assim, em todos os casos de seção retangular,

As,mín é maior ou igual a 3,14 cm².

84

Pavimento λx λy νd M2yd M1xd,mín M1yd,mín Ø As,mín nmín

(adim) (adim) (adim) (kN.m) (kN.m) (kN.m) (mm) (cm²) (barras)

Cobertura 25,37 53,198 0,093 5,95 0,03 3,13 12,5 3,600 4

Tipo 3 25,37 52,765 0,093 16,74 0,09 8,96 12,5 3,600 4

Tipo 2 24,60 52,333 0,093 27,06 0,14 14,73 10,0 3,600 5

Tipo 1 24,99 54,063 0,093 39,49 0,19 20,13 12,5 3,600 4

Garagens 31,14 66,173 0,093 80,69 0,26 27,46 12,5 4,509 4

Térreo 11,53 25,95 0,093 12,58 0,27 27,84 12,5 4,571 4

Figura 23 - Valores mínimos e momentos fletores

Neste estudo, é usado o método pilar padrão com curvatura aproximada, advindo de

uma simplificação matemática. A norma trata do assunto no item 15.8.3.3.2. Essa teoria é

válida quando os pilares possuírem esbeltez inferior a 90, seção e armadura constante, sendo

esta última invariável ao longo de seu eixo.

Para obtenção do esforço total na seção, a norma define os coeficientes:

ν é a força normal adimensional, dada por:

cdc

sd

f*A

N=ν e

1/r (curvatura na seção crítica), dada pela aproximação: h

005,0

)5,0(*h

005,0

r

1≤

+ν= , para usar

na expressão:

A,d1e

dA,d1btot,d Mr1*10

²l*NM*M ≥+α= .

Obviamente, o momento de 2ª ordem ocorre sempre na seção de menor esbeltez.

Avaliam-se as diversas seções do pilar (topo, centro, base), combinando-as em

situações, sendo que é adotada aquela mais crítica, ou seja, aquela cujos esforços demandam

maior armadura. Assim como no programa computacional, a seção crítica do pilar resultou o

centro, para todos os pavimentos.

O momento mínimo de primeira ordem é avaliado ocorrendo em uma direção e não

ocorrendo na outra. O contrário é adotado para a outra situação.

Para avaliar a área de aço, fez-se uso de ábacos (ábaco A-53, do professor Libânio), e

os programas flexão composta normal e composta oblíqua, do professor Américo (UFRGS),

disponíveis no site www.ppgec.ufrgs.br/americo/programas/flexaocomposta.

85

O quadro abaixo traz a área de aço para a situação II: Mmín em y (centro).

Pavimento Nd Myd Ø As n nadotado Aeberick neberick

(kN) (kN*m) νd µyd ω (mm) (cm²) (barras) (barras) (cm²) (barras)

Cobertura 149,08 9,08 0,09 0,03 12,5 mínima 4 4 4,91 4

Tipo 3 426,77 25,71 0,27 0,08 12,5 mínima 4 4 4,91 4

Tipo 2 701,20 41,79 0,44 0,13 10,0 mínima 6 6 4,71 6

Tipo 1 958,71 59,62 0,60 0,19 0,54 12,5 19,96 16,27 20 24,54 20

Garagens 1307,68 108,15 0,81 0,34 12,5 18,26 14,88 16 9,82 8

Térreo 1325,62 40,42 0,82 0,13 12,5 18,26 14,88 16 9,82 8

Quadro 16 - Área de aço longitudinal - P26

Para todas as seções de pilar, µxd=0, uma vez que Mxd=0. A situação II traz que o

momento mínimo atua em segundo o eixo y, por isso Mxd=0.

Para os pavimentos Cobertura, tipo 3 e tipo 2, a seção se mostrou excessiva, gerando

armaduras de área de seção transversal inferior à armadura mínima fixada por norma. Por

isso, são usadas as armaduras mínimas. Seus detalhamentos podem ser visualizados junto aos

anexos. Para o pavimento Tipo 1, foram usados 3 ábacos, todos eles resultaram valores da

taxa mecânica de armadura (ω) entre 0,50 e 0,54. Adotou-se a solução fornecida pelo ábaco

de Libânio: ω = 0,54, atentando à consideração de usar o mínimo de 10 barras/face,

resultando um total de 20 barras na seção. O pavimento Garagens foi dimensionado conforme

programa computacional:

Figura 24 - Dimensionamento de seção de pilar usando programa

86

Conforme programa, a área total é 18,26 cm².

Para o pavimento Térreo, que representa o trecho de pilar referente ao colarinho, tem-

se uma situação onde momentos fletores de primeira ordem são pequenos uma vez que seu

comprimento é muito inferior aos outros trechos. Este trecho não é esbelto a ponto de

necessitar que sejam considerados momentos fletores de segunda ordem. Por esse motivo é

adotada a mesma armadura do pavimento garagens, uma vez que a armadura calculada é

muito pequena.

As barras longitudinais são muito esbeltas, por isso tendem a sair da seção de concreto

quando flambam, para isso é usado o estribo, que deve ter como diâmetro mínimo o maior

valor entre 5 mm e Ø/4.

O espaçamento entre os estribos é dado, quando usado aço CA-50, por

φ

≤

l*12

dimensãomenor

cm 20

s

O estribo suplementar é colocado sempre que a distância entre os estribos ultrapassar

20*Øt, no caso em estudo, sempre que ultrapassar 20*0,63 = 12,6 cm. Para todas as seções,

st=15 cm atende aos requisitos normativos.

Pavimento n Øpilar Programa computacional Øt st

(barras) (mm) (barras) (mm) (cm)

Cobertura 6 10,0 10 6,3 12

Tipo 3 4 12,5 6 6,3 15

Tipo 2 8 10,0 8 6,3 12

Tipo 1 8 10,0 18 6,3 12

Garagens 22 12,5 26 6,3 15

Térreo 14 12,5 6 6,3 15

Figura 25 - Comparativo - Armadura no P26

Figura 26 - Seção transversal: P26 no pavimento Tipo 1

87

Figura 27 - Seção transversal: P26 no pavimento Garagens e colarinho

Nota-se que o dimensionamento do programa computacional traz resultados menos

rigorosos que os resultados advindos do dimensionamento manual nas seções referentes aos

pavimentos garagens e térreo (colarinho). Isso se deve ao fato de que o programa

computacional dimensiona todos os pilares pelo processo iterativo da linha neutra, (ou

processo iterativo de flexão composta oblíqua), este processo é indicado pela norma.

88

10 Comparações e análise econômica entre lajes pré-moldadas e lajes maciças

As lajes pré-moldadas são constituídas de nervuras pré-moldadas ou pré-fabricadas

que possuem a armadura positiva de flexão e recebem depois de montadas, um elemento (de

enchimento) entre as nervuras e a complementação de uma capa de concreto. Os elementos

possuem vazios em seu interior, enquanto que as lajes maciças não possuem esses vazios. Isso

diferencia as características entre essas lajes.

A laje pré-moldada possui boa capacidade de isolamento térmico, pois o ar contido no

interior do elemento de enchimento confere estas características. No entanto, para o

isolamento ser mais eficaz que o conferido pela laje maciça, deve haver um sistema de

isolamento. A laje maciça, apesar de não possuir os vazios, possui maior quantidade de

massa, portanto boa inércia térmica, comparada com a laje pré-moldada.

Quando comparada com a laje maciça, a laje pré-moldada apresenta menos isolamento

acústico, pois o aspecto que determina a qualidade do isolamento acústico é a quantidade de

massa do material.

Segue abaixo a análise comparativa entre a solução de laje maciça e laje pré-moldada,

com quadros quantitativos e composições unitárias, sendo que estas são adaptadas às

considerações da TCPO (Tabelas de Composições de Preços para Orçamentos), 12ª edição,

ano de 2003. Os valores monetários são ajustados conforme indicações do SINDUSCON.

10.1 Critérios para análise econômica

A planta de fôrmas deste estudo foi gerada idealizando a situação de lajes maciças em

concreto armado.

Nesta análise, foram usados os resultados obtidos na “Relação de aço” pelo programa

computacional.

Quando é usada a laje pré-moldada, algumas das vigas podem ser dispensadas, pois o

tipo de armação da laje pré-moldada deste estudo é unidirecional.

No entanto, na análise da laje pré-moldada, para reduzir um vão de uma laje no

pavimento garagens, foi adicionado um trecho de viga. Esta análise econômica não leva em

consideração a parte estrutural de vigas e pilares, sendo hipótese de cálculo que as vigas a

serem dispensadas ou trechos a serem criados se compensam.

89

10.2 Lajes pré-moldadas

As lajes pré-moldadas representam tecnologia normatizada que vem sendo empregada

há muitos anos e segue os princípios da construção industrializada. Uma das vantagens das

lajes pré-moldadas é a possibilidade de confecção dos vigotes fora do local da obra, com uso

de rigoroso controle de qualidade e emprego de maquinário específico para que a qualidade

esperada seja alcançada. Além da rapidez de execução, destaca-se a redução de gastos com

escoramento e fôrmas.

A produção dos vigotes pode acontecer muito antes da confecção das lajes, o que

acelera o processo executivo. As vigotas são moduladas, isto é, devido à produção em série,

admite-se que seja usado o mesmo vigote para cargas menores que os calculados, embora seja

“desperdiçada” certa quantidade de área de aço, nesses casos de super dimensionamento. Este

estudo restringe-se ao caso de vigotas pré-fabricadas do tipo trilho, estando não inclusas nas

análises as vigotas do tipo treliçadas.

Depois de calculadas diversas opções de vigotes pré-fabricados para os pavimentos,

são definidas as cargas, compostas pela soma da parcela referente à carga acidental com a

parcela da carga permanente devido ao peso dos revestimentos. Eventualmente é acrescido à

carga sobreposta, o valor de alguma carga extra, como por exemplo, a carga dos telhados.

Uma das exigências construtivas para lajes pré-moldadas é que a vigota adentre no

mínimo 5 cm sobre o apoio. Outro critério é quanto à parte de transporte das vigotas, pois é

comum que os transportadores a movimentem apoiando-a pelo seu centro, o que ocasiona

momentos fletores que mobilizam tensões normais de tração na parte superior da seção, que

não são suportados pelo concreto das vigotas, por esse motivo é prevista armadura construtiva

de 1 barra de mesmo diâmetro das barras da armadura longitudinal.

Por questões de simplicidade, os valores definidos para carga sobreposta (é a carga

total atuante na laje, permanente e acidental, diminuído do valor do peso próprio da laje pré-

moldada) variam de acordo com os múltiplos de 0,5 kN/m².

Uma das grandes vantagens de dispor de uma planilha eletrônica de dimensionamento

de vigotas pré-fabricadas é poder informar o valor da carga sobreposta e encontrar o vão

máximo admissível, evitando o desperdício de material que ocorre quando as vigotas são

escolhidas a partir de tabela que traz a carga sobreposta em valores múltiplos de 0,50 kN/m²,

onde é necessário arredondar para cima a carga sobreposta.

A laje mais econômica é aquela que possui menor espessura de capeamento e,

portanto, menores gastos com concreto. Para evitar inconvenientes construtivos relacionados

com a quantidade de lajes diferentes em cada pavimento, adotam-se no máximo dois tipos de

90

lajes para cada pavimento. É comum observar em projetos de pré-fabricados a orientação de

iniciar a colocação da laje pelas tavelas.

No entanto, neste estudo, a colocação se inicia pelas vigotas, ocasionando um aumento

da quantidade de nervuras por metro de laje, que auxilia a suportar as paredes que se

localizam na direção perpendicular às vigotas, uma vez que estas não constituem grande

percentual de acréscimo de carga. As paredes situadas na direção do eixo das vigotas têm sua

carga absorvida pelas vigas chatas.

Como o estudo é aproximado, as vigas chatas não serão dimensionadas. Outra

simplificação é considerar que a laje é preenchida pelas vigotas sem descontar o valor

correspondente ao espaço ocupado pela viga chata, pois se assume que a quantidade de vigas

desnecessárias quando empregada solução pré-moldada é compensada pelas vigas chatas, o

que é bastante razoável, visto que a maioria das paredes apóia-se diretamente sobre as vigas

do contorno das lajes.

A análise restringe-se em saber qual das soluções para lajes é mais econômica, não

interessando os quantitativos exatos de tavelas e vigotes.

Tipos de lajes pré-moldadas escolhidas:

• O pavimento “cobertura do reservatório” possui maior vão entre os menores vãos

das lajes, igual a 2,70 m. A carga sobreposta é dada pela soma 1,50 + 1,20 = 2,70 kN/m². A

laje β14 com 2 Ø 4,2 mm suporta vão de até 3,50 m.

• O pavimento “reservatório” é muito carregado e por esse motivo é feita laje maciça

em concreto armado, portanto, sem o uso de vigotas pré-fabricadas.

• O pavimento “cobertura” possui maior vão entre os menores vãos das lajes, igual a

3,85 m. A carga sobreposta é dada pela soma 0,50 + 1,60 = 2,10 kN/m². A laje β16 com 2 Ø

4,2 mm suporta vão de até 4,60 m.

• Aos pavimentos “tipo 3”, “tipo 2” e “tipo 1” são definidas duas lajes. Para o caso de

maior vão entre os menores vãos das lajes, igual a 3,85 m, a carga sobreposta é dada pela

soma 2,00 + 1,38 = 3,38 kN/m². A laje β20 com 2 Ø 4,2 mm e carga sobreposta 3,38 kN/m²

suporta vão de até 4,50 m, atendendo às condições impostas.

• Para o caso de maior vão entre os menores vãos das lajes, igual a 2,30 m, a carga

sobreposta é dada pela soma 3,00 + 1,38 = 4,38 kN/m². A laje β20 com 2 Ø 4,2 mm e carga

sobreposta 4,38 kN/m² suporta vão de até 2,35 m, atendendo às condições impostas.

• O pavimento “garagens” possui maior vão entre os menores vãos das lajes, igual a

4,00 m, caso na viga V5 seja adicionado trecho que vai até a viga V21. A carga sobreposta é

91

dada pela soma 3,00 + 1,20 = 4,20 kN/m². A laje β20 com 2 Ø 4,6 mm suporta vão de até 5,30

m.

O objetivo principal deste estudo não é propriamente a análise econômica. Destacam-

se aqui apenas os principais quadros.

A quantidade de pré-fabricados a ser produzida é razoável, mas não chega a tornar

viável a aquisição dos equipamentos, mesmo que estes podem ser vendidos quando não mais

necessários, reincorporando seu valor residual (80% do valor do capital inicial) ao capital da

empresa construtora.

Por curiosidade, conforme pesquisa de mercado, uma mesa vibratória de dimensões 4

m x 1 m, com motor, necessária a produção de vigotas pré-fabricadas, custa em torno de R$

5000,00. Cada fôrma metálica de comprimento 6 m, para lajes pré-moldadas do tipo trilho,

custa aproximadamente R$ 200,00, totalizando R$ 1.200,00. São necessários também 25

esticadores de fios e arames, cada um no valor de R$ 150,00, resultando R$ 3750,00.

Para fins de noção de quantitativos, nesta edificação são gastos 1925 vigotas, 20286

tavelas, o comprimento das vigotas somadas resulta 460620 m.

A opção pré-moldada traz gastos de 1667,47 m² de laje, considerando o embutimento

de 5 cm em cada extremidade de vigotes. O volume da capa de concreto C20 industrializado a

ser consumido é aproximadamente 190,66 m³.

A primeira composição unitária traz os gastos com a colocação da laje pré-moldada

β12, com o valor das despesas com concretagem zerados, pois serão considerados em nova

composição, uma vez que nem todas as lajes usadas são β12: R$ 112,26/m².

A segunda composição traz os gastos com a concretagem do volume da capa: R$

241,74/m³.

Quadro resumo

Composição unitária Unidade Valor Quantitativo Total

Laje pré-moldada β12 R$/m² 112,26 1669,47 187416,40

Concreto estrutural C20 - industrializado R$/m³ 241,74 190,66 46089,61

Total: R$ 233506,01

Quadro 17 - Quadro resumo – Custo das lajes pré-moldadas

92

10.3 Lajes maciças

As lajes maciças necessitam de fôrmas, sendo que um único jogo de fôrmas, se bem

cuidado, pode ser usado muitas vezes. Este custo justifica em partes o grande custo da

confecção de lajes maciças, conforme citado por diversas literaturas.

Conforme hipóteses de dimensionamento, nas lajes maciças em concreto armado são

usadas barras de aço CA-50 e concreto C25.

O volume de concreto gasto é 127,26 m³. Diversas literaturas trazem como boa

aproximação a expressão: Áreafôrmas = Volumeconcreto * 12, onde a área das fôrmas é dada em

cm² e o volume de concreto em m³.

Como o somatório do volume de concreto resultou 127,26 m³, a área das formas

aproximada é 1524 m².

A primeira das composições unitárias traz os gastos unitários com concreto estrutural

C25 lançado nas fôrmas: R$385,56/m³.

A segunda composição unitária indica o valor gasto na confecção das fôrmas:

R$39,70/m². (reuso das fôrmas de 5 vezes).

A TCPO não traz composições unitárias para deforma de lajes, por isso, subentende-se

que as horas consumidas pelos funcionários na desfôrma estão inclusas nos serviços de

fôrmas.

A terceira composição unitária indica o valor gasto no corte, transporte e

posicionamento das armaduras nas fôrmas. O uso da média das bitolas no aço CA-50 é uma

boa aproximação, que conduz a resultados muito próximos da realidade: R$22,82/kg.

A partir das composições acima e dos quantitativos, é possível a análise dos gastos

com lajes maciças na edificação, lembrando que as lajes do pavimento reservatório estão

exclusas deste estudo econômico.

Quadro resumo

Composição unitária Unidade Valor Quantitativo Total

Concreto estrutural fck=25 MPa - industrializado R$/m³ 385,56 127,00 48966,12

Forma com chapa plastificada para estrutura (5x) R$/m² 39,70 1524,00 60497,28

Armadura de aço CA-50 R$/kg 22,82 14244,40 325037,27

TOTAL 434500,66

Quadro 18 - Quadro resumo – Custo das lajes maciças

93

Destaca-se acima o elevado gasto com formas que as lajes maciças apresentam, esse

gasto é reduzido quando usada a solução pré-moldada.

10.4 Análise final

Analisando os quadros resumos, é evidente que as lajes maciças representam um custo

maior para a empresa que arca com os custos da construção do edifício.

Nota-se que as lajes maciças são aproximadamente duas vezes mais onerosas que as

lajes pré-moldadas. Se usar lajes pré-moldadas, os gastos serão aproximadamente 54% do

custo com as lajes maciças.

Conforme o artigo publicado no Jornal Diário do Iguaçu, coletânea Arquitetura &

Construção (datado em 13 de julho de 2007), por Sérgio Radin, o tempo e o custo de

execução da obra podem ser reduzidos de 25 a 30%, se comparado com a tecnologia de lajes

maciças, desde que o uso se dê em grande escala. Essa comparação é aproximada e traz os

custos de uma edificação em sua totalidade, não apenas das lajes, mas considera edifícios

muito maiores que o estudado, mostrando a coerência dos resultados.

94

11 Escada

Nesta edificação, está presente uma escadaria para ligar o pavimento térreo ao

pavimento garagens, garagens ao tipo 1, tipo 1 ao tipo 2 e tipo 2 ao tipo 3. Estes lances são

idênticos, por esse motivo, um único dimensionamento atende a todos os casos.

É uma escada com lajes adjacentes, contendo vigas apenas para apoio dos lances

(junto aos andares tipos) e uma viga para suportar o patamar.

Portanto, a cada dois andares existe um único patamar e não são usadas vigas

inclinadas. A escada pode ser discretizada por duas lajes unidirecionais, com os menores

bordos apoiados e os maiores bordos livres. Cada uma dessas lajes unidirecionais abrange um

lance de escadaria e meio patamar.

A escada obedece aos requisitos impostos pelo código de obras do município de

Chapecó, pois tem espelho “e” de valor 17,80 cm e passo “s” de valor 27,0 cm. A Lei de

Blondell fixa que 2 * e + p = 62 a 64 cm (adequado se usar a média 63 cm).

Neste caso, resulta 62,6 cm e se enquadra no critério. Cada lance de escadas possui 8

degraus, também nos conformes do código de obras, que limita os lances sem patamar a 16

degraus.

Assim, a inclinação é °== 33,4)p

earctg(α .

Como o comprimento da escada é pouco maior que 3 m e a carga acidental é 3,0

kN/m², a espessura hi=10 cm usada para o patamar e os lances se mostra razoável para uma

estimativa inicial.

Caso a espessura da escada seja exagerada, tem-se o caso de super dimensionamento

da seção e pode ser possível que a armadura mínima seja suficiente para atender as

solicitações. Neste caso, é conveniente reduzir a espessura da escada e recalcular, gerando

uma redução de gastos com materiais e mão-de-obra.

Pode também acontecer que a espessura seja insuficiente, assim o dimensionamento

recairá em um caso de armadura dupla.

Sabe-se que o uso de armaduras duplas em escadarias é desaconselhável, pois gera

grandes transtornos durante a execução.

95

α

(sem escala) Figura 28 – Elementos geométricos da escada

Nos lances, para usar carga vertical devido ao peso próprio, a espessura para

composição das cargas deve ser usada vertical, dada por “h” que, usando relações

trigonométricas, obtém-se que a espessura vertical é 11,98cm.cos33,40

10cm

cosα

hih =

°==

A altura média é hm = h + 0,5*e = 11,98 + 0,5*17,8 = 20,88 cm.

A largura da escada é 1,35 m, que somada a 0,15 m do embutimento resulta lx=1,50 m.

O lance de escadas projetado em um plano horizontal tem comprimento 189 cm que somado à

largura do patamar de 106 cm e adequado às disposições constantes em “vão efetivo da laje”

da NBR6118/03, itens 14.7.2.2 e 14.6.2.4, resulta ly = 3,01 m.

11.1 Cargas

Os degraus são considerados como elementos de enchimento que constituem cargas

permanentes, assim como o revestimento e a mureta de proteção. É a situação mais

encontrada no cotidiano. As solicitações são todas verticais, no sentido da gravidade,

avaliadas por metro quadrado e projetadas em um plano horizontal, uma vez que os vãos

usados no dimensionamento, também são vãos horizontais.

A carga variável fixada pela NBR6120/80 é 3,0 kN/m², pois trata-se de um edifício

comercial e multifamiliar, onde a escadaria tem acesso ao público.

A carga permanente de revestimento, equivalente a 5 cm de contrapiso e 1 cm de

revestimento cerâmico é 18 kN/m³*0,01 m + 24 kN/m³*0,05 m = 1,38 kN/m².

96

Para a carga permanente da mureta de proteção, uma vez que a mureta é constituída de

tijolos vazados e tem parapeito de altura 1,10 m. O peso das muretas nos dois lances de

escadaria, dividida pela área total da escadaria resulta 0,92 kN/m².

A área projetada (em plano horizontal) dos dois lances de escadaria vale

2*lx*llance=5,67 cm². A área do patamar é 1,06*3,00 = 3,18 m².

O peso próprio da escadaria é dado por

.m²

kN4,24

AA

A*hA*hm*

m³

25kNpp

patamarlances

patamarlances=

+

+=

Somando-se as parcelas permanentes do peso próprio, revestimento e mureta de

proteção, g = 6,54 kN/m². Assim, p = g + q = 9,54 kN/m².

11.2 Dimensionamento

É possível avaliar o momento fletor através do vão projetado em um plano horizontal,

assumindo que o lance de escada e o patamar se comportam como uma viga de grande

largura.

Como é pode ser usado Φ 12,5 mm para as barras longitudinais, pois a verificação

prevista no item 20.1 da NBR6118/03, que recomenda que o diâmetro das barras da armadura

de flexão devem ser menores ou iguais a h/8 é satisfeito.

A altura útil é d = cnom + Φt + 0,5*Φ = 2,0+0,63+0,5*0,80 = 7,60 cm.

Como o parâmetro 00,201,2lx

ly<==λ , a laje é unidirecional. O trecho da laje

unidirecional que contém o patamar é um trecho aliviado, ou seja, de carga inferior ao trecho

dos lances de escada, pois a espessura usada é menor (uma vez que não é o valor inclinado) e

porque não há degraus. No entanto, para fins de simplificação, se considera que a carga no

patamar é igual a carga dos lances. Assim, o momento fletor característico é dado por

mmkNm

mkN

/*80,108

)²01,3(*²54,9

8

(ly)*qM

2

=== .

A altura do diagrama parábola-retângulo de tensões para o concreto armado é dada por

x. Admite-se um diagrama retangular de tensões dado por y=0,8*x.

my 014,0bw*fcd*0,85

Md*bw)*fcd*(0,425*4-d)²*bw*fcd*(0,85-d)*bw*fcd*(0,85== .

Assim, x = 0,0181 m.

97

Como se trata de aço CA-50, e x/d < 0,259, a seção trabalha no domínio 2 de

deformações do concreto.

Para este domínio, a área de aço é dada por

)0181,0*4,00760,0(*15,1

500

80,10*4,1

x)*0,4-(d*fyd

Md

−

==As =5,06 cm²/m.

O espaçamento cms 5,95,06cm²

4

(0,80cm)²**100cm

==

π

(para barras de diâmetro 8,0 mm).

A área de aço efetiva mcmefAs /²29,50,095cm

4

(0,80cm)²*

, ==

π

Para lajes unidirecionais, a NBR6118/03 recomenda na tabela 19.1 que

1,02cm²/m usado É

/²57,0::%08,0s :sejaou ρmin,*0,5ρs

0,9cm²/m

1,02cm²/ml)a_principaef(armadur20%daAs,

As/s ⇒

≥≥

=

≥

mcmρ

Onde ρmín = 0,0015 ou 0,15% segundo a tabela 17.3 da fck=25 MPa e seção retangular.

Para barras de diâmetro 6,3 mm, cms 291,07cm²

4

(0,63cm)²**100cm

==

π

<33 cm,

garantindo a recomendação de 3 barras por metro que da NBR6118/03.

cm²/m01,1m/²cm075,10,30cm

4

(0,63cm)²*

ef,As ≈=

π

= .

Cálculo manual Programa computacional

As,ef principal 5,29 cm²/m 4,82 cm²/m

As,ef secundária 1,01 cm²/m 1,01 cm²/m

Quadro 19 - Comparativo: Área de aço - escadaria

O dimensionamento efetuado manualmente se mostrou mais rigoroso que o

dimensionamento realizado pelo programa computacional, pois foi colocada carga no patamar

para simplificar a aplicação da fórmula. Se somar a carga do programa com a carga devido

aos degraus e à mureta: (2,23+0,92) kN/m², o modelo é o mesmo. Nesse caso, a armadura

calculada é 4,97 cm²/m, valor ainda mais próximo do encontrado manualmente. O programa

computacional dimensiona as escadas como lajes inclinadas, segundo o processo de analogia

98

de grelhas, onde as lajes são discretizadas em uma grelha. Era esperado que os valores da

armadura principal não coincidissem.

Os resultados se mostraram muito próximos, demonstrando a validade do

dimensionamento. A armadura secundária coincide porque recaiu em um caso de armadura

mínima, onde a NBR6118/03 fixa que sejam colocadas no mínimo 3 barras por metro.

11.3 Reação de apoio das lajes da escadaria nas vigas

Como os bordos maiores das lajes são livres, se admite que a carga total da escadaria

seja dividida igualmente entre os lados apoiados. A viga do patamar recebe então metade da

carga, enquanto que as vigas que suportam o lance de escada inferior e o lance de escada

superior dividem a metade restante da carga, embora distribuído em um comprimento menor.

Como a viga do patamar tem o dobro do comprimento das vigas dos andares, a reação de

apoio da laje da escadaria nas vigas (em kN/m) é a mesma para todas as vigas do contorno.

kNmmkNaconcentrad 42,84²)18,367,5(*²/54,9F =+= (é o peso da escada toda)

mkNm

kNR patamar /07,14

32

42,84== (reação na viga do patamar)

mkNm

kNRandares /07,14

50,14

42,84== (reação em cada um dos trechos das vigas dos andares).

11.4 Detalhamento

O lance da escada que parte do patamar ao pavimento mais acima tende a retificar a

armadura tracionada (e então a armadura pode deslocar para fora da massa de concreto). Por

esse motivo, a NBR6118/03, no item 18.2.3 prevê mudança de direção das armaduras

principais, onde cada barra deve ser substituída por outras duas, que são prolongadas além do

seu cruzamento e devidamente ancoradas, de acordo com os critérios da seção 9 desta norma.

Para evitar redundância neste estudo, visto que os comprimentos de ancoragem são

tratados em outra oportunidade, estes podem ser dispensados neste momento.

O detalhamento da escada está disposto junto aos anexos.

99

11.5 Verificação da flecha

A flecha imediata é a mesma de uma viga bi-apoiada, pode ser estimada por

eq

serviço

EI

lyp

)(

**

384

5a

4

0 = , onde ccsII

3

a

rc

3

a

rcseq I*EI*

M

M1I*

M

M*E(EI) ≤

−+

= , esta

última expressão é uma adaptação que a NBR6118/03 fez ao modelo Simplificado de Branson

para cálculo da flecha imediata.

O momento de fissuração (Mr), conhecido pelo momento a partir do qual o elemento

estrutural começa a fissurar, ou também conhecido pelo momento que limita os estádios I e II

é definido pelo item 17.3.1, onde t

cm,ctr y

I*f*M

α= . Para seções retangulares, α = 1,5. Em

lajes, os momentos fletores, os esforços cortantes e a inércia bruta da secção são avaliados por

metro. A distância entre o CG da seção até a fibra mais solicitada é yt e vale h/2.

Assim, m

m*kN6,41

0,05m

12

0,10m³*1,0m*

m²

kN2565*1,5

M r =

= . Como 10,80 kN*m/m >

4,49 kN*m/m, o momento atuante é maior que o momento de fissuração e por isso a seção

está fissurada.

No estádio II a seção está fissurada e

( )=

α+α±α=

w

sew2

seseII b

A**d*b*2A*A*-x 2,24 cm.

Com bw = 100 cm e As = As,ef.

Para seções retangulares, Ix,II0=4

IIse

3II

II0x, cm92,1715)²dx(*A*3

x*bwI =−α+= .

Assim, ccsII

3

a

rc

3

a

rcseq I*EI*

M

M1I*

M

M*E(EI) ≤

−+

= =0,7378 MN*m².

A flecha imediata é cm 1,08m²*737,8kN

(3,01m)*m

m*kN7,44

*384

5

(EI)

ly*p*

384

5a

4

eq

4serviço

0 === .

A flecha diferida no tempo é dada por af = a0*(1+αf) = 1,08*(1+1,47) = 2,66 cm. Esta

deve ser menor ou igual à flecha limite, definida pela NBR6118/03, através da tabela 13.2

(limites para deslocamentos), por alimite 250

ly= 1,20cm.

250

301cm== Usando contra-flecha de

valor 1,50 cm, a laje da escada está de acordo com o estado limite de deformações.

100

11.6 Verificação da necessidade de armadura de cisalhamento

No item 19.4.1 da NBR6118/03, é destacado que as lajes maciças podem prescindir de

armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante se a

expressão 1Rdsd VV ≤ for válida. Vsd é a força cortante solicitante de cálculo e VRd1 é a força

cortante resistente de cálculo quando se trata de elementos sem armadura para força cortante,

chamada de resistência de projeto ao cisalhamento. Neste mesmo item, há um roteiro de

cálculo que está disposto abaixo:

τRd = 0,25*fct,d = 0,3206 MPa

0,020,0077,60*100

5,29

d*b

Aρ

w

efs,1 <===

0cp =σ , pois não há forças longitudinais na seção, como forças de protensão.

Vsd = 1,4*Vs = 1,4*14,07 kN/m = 19,70 kN/m.

k = 1,6 - d = 1,6 - 0,076 = 1,52 > 1

VRd1 = [τRd * k * (1,2 + 40 * ρ1) + 0,15 * σcp] * bw * d = 54,90 kN/m.

Como 1Rdsd VV ≤ , não é necessário o uso de armadura de cisalhamento.

11.7 Verificação da compressão diagonal do concreto

Como não é empregada armadura de cisalhamento, as bielas comprimidas devem ter a

verificação da compressão. Se a expressão 2Rdsd VV ≤ for válida, a seção resiste aos esforços

de compressão. Conforme 17.4.2.2, a força cortante resistente de cálculo, que é relativa à

ruína das diagonais comprimidas do concreto vale VRd2 = 0,5*αV1*fcd*bw*0,9*d = 305,36

kN/m, uma vez que αV1 = 0,7- fck/200) 5,05,0200

f7,0 1V

ck1V =α⇒≤

−=α . A equação

2Rdsd VV ≤ é verificada e, portanto, as bielas comprimidas atendem à solicitação.

101

12 Considerações finais

É esperado que um trabalho de conclusão de curso proporcione uma oportunidade de

melhorar os conhecimentos adquiridos na graduação, em uma das diversas áreas da

engenharia. Ao realizar o projeto estrutural em concreto armado pode-se vivenciar todo o

problema de ajustes necessários entre o projeto arquitetônico e o projeto estrutural, resolvendo

e superando as dificuldades encontradas.

A comparação entre as duas opções de lajes estudadas mostrou que não há como

predizer qual é a melhor ou mais econômica solução, sem antes projetar e dimensionar a

estrutura.

Pode-se constatar a importância dos programas especializados em projeto de estruturas

de concreto armado hoje disponíveis (softwares). Mas a necessidade de conhecimento do

engenheiro na definição do projeto de estruturas é indispensável para a correta avaliação,

sendo que a ausência desta pode vir a acarretar inconvenientes futuros.

O julgamento de engenharia é fundamental para que a concepção estrutural se realize

de maneira racional. A sensibilidade do engenheiro civil é de caráter decisivo na avaliação

dos resultados fornecidos pelo programa computacional.

102

13 Revisão bibliográfica

[1] ALTO QI Tecnologia aplicada a engenharia. AltoQi Eberick®. Florianópolis, Santa

Catarina, 2007.

[2] ______. AltoQi Eberick® - Curso Básico –material didático. Florianópolis, Santa

Catarina, 2007.

[3] ANDRADE, J.R.L. Estruturas correntes de concreto armado: 1ª parte. São Carlos,

EESC-USP, 2003.

[4] ______, Roberto Caldas de Pinto. Estruturas de Concreto Armado II. Florianópolis:

Apostila, 2006.

[5] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de

estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003.

[6] ______. NBR 6120: Cargas para o cálculo de estruturas. Rio de Janeiro, 1980.

[7] ______. NBR 6123: Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro, 1988.

[8] ______. NBR 7480: Barras e fios de aço para armaduras para concreto. Rio de Janeiro,

1996.

[9] ______. NBR 14859-1: Laje pré-fabricada – Requisitos – Parte 1: Lajes

unidirecionais. Rio de Janeiro, 2002.

[10] CARVALHO, Roberto Chust; Filho, Jasson Rodrigues de Figueiredo – Cálculo e

detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. São Carlos, São Paulo, 2005.

[11] CHAPECÓ. Prefeitura Municipal. Código de obras do município de Chapecó: lei.

3.661 de 1 de dezembro de 1995. 34 p.

103

[12] DI PIETRO, João Eduardo. Análise qualitativa das estruturas. Florianópolis:

Apostila, 2007.

[13] ______. Lajes pré-fabricadas com vigotas de concreto armado: manual do fabricante.

Florianópolis: Apostila, 2000.

[14] ______. Lajes pré-fabricadas com vigotas de concreto armado: manual do

construtor. Florianópolis: Apostila, 2000.

[15] FTOOL (Two Dimensional Frame Analysis Tool) para Windows. Versão Educacional

2.11. Pontifícia universidade católica do Rio de Janeiro, 2002.

[16] GIONGO, S.. Concreto Armado: Projeto estrutural de edifícios. Escola de

Engenharia de São Carlos, USP, São Carlos (apostila), 2007.

[17] IBRACON (2001). Prática recomendada IBRACON para estruturas de pequeno

porte. São Paulo, Instituto Brasileiro do Concreto: Comitê Técnico CT-301. Concreto

Estrutural. 39p.

[18] MICROSOFT OFFICE EXCEL para Windows. Microsoft Corporation, 2007.

[19] MICROSOFT OFFICE WORD para Windows. Microsoft Corporation, 2007.

[20] PINHEIRO, Libânio M., et al. Escadas. São Carlos: Escola de Engenharia de São

Carlos, São Paulo, 1997.

[21] PINHEIRO, Libânio M., et al. Pré-dimensionamento. São Carlos: Escola de

Engenharia de São Carlos, 2005.

[22] PRÉ-FABRICADOS e economia de tempo e dinheiro. Diário do Iguaçu. Chapecó, 13

jul. 2007. Arquitetura & Construção, p. 7.

104

Anexos

Anexo 1 - Quadro resumo: vigotas pré-fabricadas

OBS:

As lajes com vigotas de armadura 2Ø3,4 mm não devem ser usadas, pois não atendem

ao critério de armadura mínima.

A observação “rompe biela” significa que a vigota não deve ser empregada para

determinada carga, pois ocorre ruptura na biela de compressão do concreto.

Laje tipo vigota β, intereixo = 39 cm, aço CA-60, concreto C20

Vigota Armadura As

(cm²)

qsobreposta

(kN/m²)

#enchimento

(cm)

# capa

(cm)

Lmáx

(m)

Lmáx limitado

por flecha?

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771 0,50 7,00 4,00 2,65 Sim.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771 1,00 7,00 4,00 2,55 Sim.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771 1,50 7,00 4,00 2,55 Não.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771 2,00 7,00 4,00 2,45 Não.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771 2,50 7,00 4,00 2,45 Não.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771 3,00 7,00 4,00 2,40 Não.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771 3,50 7,00 4,00 2,40 Não.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324 0,50 7,00 4,00 2,40 Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324 1,00 7,00 4,00 2,35 Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324 1,50 7,00 4,00 2,30 Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324 2,00 7,00 4,00 2,25 Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324 2,50 7,00 4,00 2,20 Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324 3,00 7,00 4,00 2,20 Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324 3,50 7,00 4,00 2,15 Não.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927 0,50 7,00 4,00 2,30 Sim.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927 1,00 7,00 4,00 2,20 Sim.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927 1,50 7,00 4,00 2,15 Sim.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927 2,00 7,00 4,00 2,10 Sim.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927 2,50 7,00 4,00 2,10 Sim.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927 3,00 7,00 4,00 2,05 Sim.

105

Vigota Armadura As

(cm²)

qsobreposta

(kN/m²)

#enchimento

(cm)

# capa

(cm)

Lmáx

(m)

Lmáx limitado

por flecha?

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927 3,50 7,00 4,00 2,00 Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655 0,50 7,00 4,00 2,15 Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655 1,00 7,00 4,00 2,10 Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655 1,50 7,00 4,00 2,05 Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655 2,00 7,00 4,00 2,00 Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655 2,50 7,00 4,00 1,95 Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655 3,00 7,00 4,00 1,95 Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655 3,50 7,00 4,00 1,90 Sim.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771 0,50 8,00 4,00 2,90 Sim.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771 1,00 8,00 4,00 2,85 Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771 1,50 8,00 4,00 2,80 Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771 2,00 8,00 4,00 2,75 Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771 2,50 8,00 4,00 2,70 Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771 3,00 8,00 4,00 2,70 Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771 3,50 8,00 4,00 2,65 Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771 4,00 8,00 4,00 2,65 Não.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324 0,50 8,00 4,00 2,60 Sim.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324 1,00 8,00 4,00 2,55 Sim.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324 1,50 8,00 4,00 2,50 Sim.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324 2,00 8,00 4,00 2,45 Sim.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324 2,50 8,00 4,00 2,40 Sim.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324 3,00 8,00 4,00 2,40 Não.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324 3,50 8,00 4,00 2,35 Não.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324 4,00 8,00 4,00 2,30 Não.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927 0,50 8,00 4,00 2,45 Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927 1,00 8,00 4,00 2,40 Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927 1,50 8,00 4,00 2,30 Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927 2,00 8,00 4,00 2,25 Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927 2,50 8,00 4,00 2,25 Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927 3,00 8,00 4,00 2,20 Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927 3,50 8,00 4,00 2,15 Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927 4,00 8,00 4,00 2,20 Sim.

106

Vigota Armadura As

(cm²)

qsobreposta

(kN/m²)

#enchimento

(cm)

# capa

(cm)

Lmáx

(m)

Lmáx limitado

por flecha?

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655 0,50 8,00 4,00 2,25 Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655 1,00 8,00 4,00 2,20 Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655 1,50 8,00 4,00 2,15 Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655 2,00 8,00 4,00 2,10 Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655 2,50 8,00 4,00 2,10 Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655 3,00 8,00 4,00 2,05 Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655 3,50 8,00 4,00 2,05 Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655 4,00 8,00 4,00 2,05 Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890 0,50 8,00 4,00 2,25 Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890 1,00 8,00 4,00 2,20 Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890 1,50 8,00 4,00 2,15 Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890 2,00 8,00 4,00 2,15 Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890 2,50 8,00 4,00 2,10 Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890 3,00 8,00 4,00 2,10 Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890 3,50 8,00 4,00 2,05 Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890 4,00 8,00 4,00 2,00 Sim.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771 0,50 10,00 4,00 3,75 Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771 1,00 10,00 4,00 3,65 Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771 1,50 10,00 4,00 3,60 Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771 2,00 10,00 4,00 3,50 Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771 2,50 10,00 4,00 3,45 Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771 3,00 10,00 4,00 3,45 Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771 3,50 10,00 4,00 3,40 Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771 4,00 10,00 4,00 3,35 Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324 0,50 10,00 4,00 3,15 Sim.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324 1,00 10,00 4,00 3,10 Sim.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324 1,50 10,00 4,00 3,05 Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324 2,00 10,00 4,00 3,00 Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324 2,50 10,00 4,00 2,95 Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324 3,00 10,00 4,00 2,95 Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324 3,50 10,00 4,00 2,85 Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324 4,00 10,00 4,00 2,85 Não.

107

Vigota Armadura As

(cm²)

qsobreposta

(kN/m²)

#enchimento

(cm)

# capa

(cm)

Lmáx

(m)

Lmáx limitado

por flecha?

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927 0,50 10,00 4,00 2,85 Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927 1,00 10,00 4,00 2,80 Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927 1,50 10,00 4,00 2,70 Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927 2,00 10,00 4,00 2,70 Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927 2,50 10,00 4,00 2,65 Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927 3,00 10,00 4,00 2,60 Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927 3,50 10,00 4,00 2,60 Não.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927 4,00 10,00 4,00 2,55 Não.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655 0,50 10,00 4,00 2,55 Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655 1,00 10,00 4,00 2,50 Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655 1,50 10,00 4,00 2,45 Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655 2,00 10,00 4,00 2,40 Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655 2,50 10,00 4,00 2,35 Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655 3,00 10,00 4,00 2,35 Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655 3,50 10,00 4,00 2,30 Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655 4,00 10,00 4,00 2,25 Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890 0,50 10,00 4,00 2,55 Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890 1,00 10,00 4,00 2,45 Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890 1,50 10,00 4,00 2,45 Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890 2,00 10,00 4,00 2,40 Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890 2,50 10,00 4,00 2,35 Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890 3,00 10,00 4,00 2,30 Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890 3,50 10,00 4,00 2,30 Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890 4,00 10,00 4,00 2,25 Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482 0,50 10,00 4,00 2,50 Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482 1,00 10,00 4,00 2,45 Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482 1,50 10,00 4,00 2,40 Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482 2,00 10,00 4,00 2,35 Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482 2,50 10,00 4,00 2,30 Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482 3,00 10,00 4,00 2,25 Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482 3,50 10,00 4,00 2,25 Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482 4,00 10,00 4,00 rompe biela Sim.

108

Vigota Armadura As

(cm²)

qsobreposta

(kN/m²)

#enchimento

(cm)

# capa

(cm)

Lmáx

(m)

Lmáx limitado

por flecha?

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771 0,50 12,00 4,00 4,85 Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771 1,00 12,00 4,00 4,80 Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771 1,50 12,00 4,00 4,70 Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771 2,00 12,00 4,00 4,70 Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771 2,50 12,00 4,00 4,60 Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771 3,00 12,00 4,00 4,50 Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771 3,50 12,00 4,00 4,40 Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771 4,00 12,00 4,00 4,40 Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324 0,50 12,00 4,00 3,95 Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324 1,00 12,00 4,00 3,85 Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324 1,50 12,00 4,00 3,80 Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324 2,00 12,00 4,00 3,70 Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324 2,50 12,00 4,00 3,70 Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324 3,00 12,00 4,00 3,70 Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324 3,50 12,00 4,00 3,60 Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324 4,00 12,00 4,00 3,55 Não.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927 0,50 12,00 4,00 3,45 Sim.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927 1,00 12,00 4,00 3,35 Sim.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927 1,50 12,00 4,00 3,30 Sim.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927 2,00 12,00 4,00 3,20 Sim.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927 2,50 12,00 4,00 3,20 Não.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927 3,00 12,00 4,00 3,15 Não.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927 3,50 12,00 4,00 3,15 Não.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927 4,00 12,00 4,00 3,10 Não.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655 0,50 12,00 4,00 2,90 Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655 1,00 12,00 4,00 2,80 Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655 1,50 12,00 4,00 2,75 Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655 2,00 12,00 4,00 2,75 Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655 2,50 12,00 4,00 2,70 Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655 3,00 12,00 4,00 2,65 Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655 3,50 12,00 4,00 2,60 Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655 4,00 12,00 4,00 2,60 Sim.

109

Vigota Armadura As

(cm²)

qsobreposta

(kN/m²)

#enchimento

(cm)

# capa

(cm)

Lmáx

(m)

Lmáx limitado

por flecha?

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890 0,50 12,00 4,00 2,85 Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890 1,00 12,00 4,00 2,80 Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890 1,50 12,00 4,00 2,75 Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890 2,00 12,00 4,00 2,70 Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890 2,50 12,00 4,00 2,65 Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890 3,00 12,00 4,00 2,60 Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890 3,50 12,00 4,00 2,60 Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890 4,00 12,00 4,00 2,55 Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482 0,50 12,00 4,00 2,75 Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482 1,00 12,00 4,00 2,70 Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482 1,50 12,00 4,00 2,65 Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482 2,00 12,00 4,00 2,60 Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482 2,50 12,00 4,00 2,55 Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482 3,00 12,00 4,00 2,50 Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482 3,50 12,00 4,00 2,50 Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482 4,00 12,00 4,00 2,50 Sim.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771 0,50 15,00 5,00 3,60 Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771 1,00 15,00 5,00 3,35 Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771 1,50 15,00 5,00 3,10 Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771 2,00 15,00 5,00 2,95 Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771 2,50 15,00 5,00 2,80 Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771 3,00 15,00 5,00 2,65 Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771 3,50 15,00 5,00 2,55 Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771 4,00 15,00 5,00 2,45 Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771 4,50 15,00 5,00 2,35 Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324 0,50 15,00 5,00 5,90 Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324 1,00 15,00 5,00 5,80 Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324 1,50 15,00 5,00 5,70 Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324 2,00 15,00 5,00 5,65 Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324 2,50 15,00 5,00 5,55 Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324 3,00 15,00 5,00 5,50 Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324 3,50 15,00 5,00 5,40 Não.

110

Vigota Armadura As

(cm²)

qsobreposta

(kN/m²)

#enchimento

(cm)

# capa

(cm)

Lmáx

(m)

Lmáx limitado

por flecha?

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324 4,00 15,00 5,00 5,40 Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324 4,50 15,00 5,00 2,55 Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927 0,50 15,00 5,00 4,80 Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927 1,00 15,00 5,00 4,75 Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927 1,50 15,00 5,00 4,65 Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927 2,00 15,00 5,00 4,60 Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927 2,50 15,00 5,00 4,55 Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927 3,00 15,00 5,00 4,50 Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927 3,50 15,00 5,00 4,45 Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927 4,00 15,00 5,00 4,40 Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927 4,50 15,00 5,00 4,35 Não.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655 0,50 15,00 5,00 3,65 Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655 1,00 15,00 5,00 3,55 Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655 1,50 15,00 5,00 3,50 Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655 2,00 15,00 5,00 3,45 Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655 2,50 15,00 5,00 3,40 Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655 3,00 15,00 5,00 3,35 Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655 3,50 15,00 5,00 3,35 Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655 4,00 15,00 5,00 3,30 Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655 4,50 15,00 5,00 3,25 Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482 0,50 15,00 5,00 3,25 Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482 1,00 15,00 5,00 3,20 Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482 1,50 15,00 5,00 3,15 Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482 2,00 15,00 5,00 3,10 Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482 2,50 15,00 5,00 3,05 Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482 3,00 15,00 5,00 3,05 Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482 3,50 15,00 5,00 3,00 Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482 4,00 15,00 5,00 2,95 Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482 4,50 15,00 5,00 2,95 Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310 0,50 15,00 5,00 3,20 Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310 1,00 15,00 5,00 3,15 Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310 1,50 15,00 5,00 3,10 Sim.

111

Vigota Armadura As

(cm²)

qsobreposta

(kN/m²)

#enchimento

(cm)

# capa

(cm)

Lmáx

(m)

Lmáx limitado

por flecha?

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310 2,00 15,00 5,00 3,10 Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310 2,50 15,00 5,00 3,05 Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310 3,00 15,00 5,00 3,00 Sim.




Quadro 20 - Resumo do dimensionamento das vigotas

112

Anexo 2 - Projeto arquitetônico

Anexo 3 - Planta de fôrmas da estrutura

Anexo 4 - Detalhe da armação positiva e negativa das lajes maciças

Anexo 5 - Detalhamento das vigas

Anexo 6 - Detalhamento dos pilares

Anexo 7 - Quadro de momentos fletores característicos e reações de apoio

Anexo 8 - Dimensionamento dos vigotes tipo trilho

cálculo estrutural concreto eberick

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