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Unidade 6

Aplicações do estudo das derivadas

Máximos e mínimos de uma função Definição 6.1. Dada a função :f I → , um ponto Ix ∈0 é chamado de

)(i ponto de máximo global (relativo) da função quando 0( ) ( )f x f x≥ para todo x I∈ ; )(ii ponto de mínimo global (relativo) da função quando 0( ) ( )f x f x≤ para todo x I∈ .

O valor 0( )f x é chamado de máximo ou mínimo relativo (ou local) de f e ( )0 0, ( )x f x são as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo relativo (ou local) de f .

Os máximos e mínimos de uma função são também chamados de extremos relativos. Definição 6.2. Dada a função ( )f x , um ponto 0x onde f é derivável em 0x e 0'( ) 0f x = ou f não é derivável em 0x é chamado de ponto crítico da função f . Exemplo 6.1. Seja a função 3 2( ) 3f x x x= − , x∈ . Determinar os pontos críticos de f . Resolução: Sabemos que 3 2( ) 3f x x x= − é uma função polinomial derivável em todo x∈ . Calculando '( )f x temos ( )2'( ) 3 6 3 2f x x x x x= − = − Agora '( ) 0f x = implica em 23 6 0x x− = , ou seja, 0x = e 2x = são os pontos críticos da função 3 2( ) 3f x x x= − .

Exemplo 6.2. Determinar o ponto crítico da função 23( ) ( 1)f x x= − , x∈ .

Resolução: Calculando '( )f x , temos

( ) ( )( )

2 113 3

13

2 2 2 1'( ) 1 13 3 3 1

f x x xx

− −= − = − = ⋅−

,

ou,

2

( )13

2 1'( )3 1

f xx

= ⋅−

.

A função dada não derivável em 1x = , isto é, não existe '(1)f . Nesse caso, 1x = é o único ponto crítico de f . Exemplo 6.3. Calcular os pontos críticos da função 3 2( ) 1f x x x x= + − + no intervalo

12[ 2, ]− .

Resolução: Inicialmente temos se 3 2( ) 1f x x x x= + − + então 2'( ) 3 2 1f x x x= + − . Fazendo (́ ) 0f x = , vem 23 2 1 0x x+ − = . Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara encontramos as raízes 1x = − e

13

x = .

Portanto, 1x = − e 13

x = são os pontos críticos de 3 2( ) 1f x x x x= + − + em 12[ 2, ]− .

Definição 6.3. Seja f uma função derivável em 0x . Se f tem um máximo ou mínimo relativo (ou local) em 0x , então 0(́ ) 0f x = . Por exemplo, a função 2( )f x x= , para ( 1, 1)x∈ − , tem derivada '( ) 2f x x= . Em 0x = , a função tem um mínimo relativo e '(0) 0f = . Definição: Dizemos que a função :f I → , f é crescente no intervalo I quando dados

Ixx ∈21 , , quaisquer, com 1 2x x< , tem-se 1 2( ) ( )f x f x< e f é decrescente no intervalo I quando dados 1 2, x x I∈ , quaisquer, com 1 2x x< , tem-se 1 2( ) ( )f x f x> .

O teorema a seguir estabelece um critério para determinar onde uma função f é crescente ou decrescente. Teorema 6.1. Seja ( )f x uma função derivável no intervalo ( , )a b , então (a) Se '( ) 0f x = em ( , )a b , então )(xf é constante em ( , )a b ; (b) Se '( ) 0f x > em ( , )a b , então )(xf é crescente em ( , )a b ; (c) Se '( ) 0f x < em ( , )a b , então )(xf é decrescente em ( , )a b . Exemplo 6.4. Seja 2( )f x x= . Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente. Resolução: Temos 2( )f x x= e '( ) 2f x x= .

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Agora, '( ) 2 0f x x= ≤ se e somente se 0x ≤ então ( ) 0f x′ ≤ , logo, f é decrescente em ( ,0]−∞ e '( ) 2 0f x x= ≥ se e somente se 0x ≥ então ( ) 0f x′ ≥ , logo, f é crescente em ( ,0]−∞ . Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim:

x ( )f x Conclusão

0x < − ( )f x decrescente em ( ,0]−∞

0x > + ( )f x crescente em [0, )−∞ Veja a figura abaixo:

Figura 6.1

Exemplo 6.5. Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente onde 3( )f x x= . Resolução: De 3( )f x x= temos 2( ) 3f x x′ = . Agora, 23 0x ≥ então ( ) 0f x′ ≥ , para todo x∈ e f é crescente em . Exemplo 6.6. Seja 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + definida para todo x real. Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente. Resolução: Temos 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + então 2( ) 3 12 9f x x x′ = − + . Agora, fazendo

( ) 0f x′ = , vem 23 12 9 0x x− + = . Resolvendo esta equação pela regra de Bhaskara, temos as raízes 3x = e 1x = . Logo, ( ) 3( 1)( 3)f x x x′ = − − . Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim,

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x ( )f x′ Conclusão 1 0 ponto crítico de f

1x < + f é crescente 1 3x< < − f é decrescente

3x = 0 ponto crítico de f 3x > + f é crescente

Portanto, ( )f x é crescente em ( ,1]−∞ e [3,∞ ) e decrescente em [1,3] . Também 3x = e

1x = são extremos da função (pontos críticos). Teste da segunda derivada para extremos relativos

Este teste é empregado para pesquisar o(s) ponto(s) de máximo(s) e mínimo(s) relativo de uma dada função e para isto temos a seguinte definição.

Definição 6.4. Seja 0x um ponto crítico de uma função na qual 0( ) 0f x′ = e f ′ existe para todos os valores de x em algum intervalo aberto que contenha o ponto 0x . Então 0( )f x′′ existe e (i) se 0''( ) 0f x < então f tem um valor máximo relativo em 0x ; (ii) se 0''( ) 0f x > então f tem um valor mínimo relativo em 0x .

Exemplo 6.7. Pesquisar máximos e mínimos relativos da função 4 3 24( ) 43

f x x x x= + − pelo

critério ou teste da segunda derivada.

Resolução: Temos 4 3 24( ) 43

f x x x x= + − então 3 2( ) 4 4 8f x x x x′ = + − .

Agora, ( ) 0f x′ = vem 3 24 4 8 0x x x+ − = . Fatorando a expressão 3 24 4 8 0x x x+ − = vem

24 ( 2) 4 ( 2)( 1) 0x x x x x x+ − = + − = . A partir desta fatoração fica claro que '( )f x será igual a zero se, e somente,

0x = , 2x = − e 1x = . Logo, 0x = , 2x = − e 1x = são pontos críticos da função f . Vamos analisar agora, os pontos críticos obtidos separadamente. Calculando ''( )f x temos

2( ) 12 8 8f x x x′′ = + − .

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Analisando para 0x = , vem 2(0) 12 0 8 0 8 8 0f ′′ = ⋅ + ⋅ − = − < , assim 0x = é um ponto de máximo relativo da função f e seu valor no ponto 0x = é

4 3 24(0) 0 0 4 0 03

f = + ⋅ − ⋅ = ou (0) 0f = .

Analisando para 1x = , vem 2(1) 12 1 8 1 8 12 0f ′′ = ⋅ + ⋅ − = > , assim 1x = é um ponto de mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é

4 3 24 4 8(1) 1 1 4 1 1 43 3 3

f = + ⋅ − ⋅ = + − = − ou 8(1)3

f = − .

Finalmente analisando para 2x = − , vem

2( 2) 12 ( 2) 8 ( 2) 8f ′′ − = ⋅ − + ⋅ − − 12 4 16 8 24 0= ⋅ − − = > . Assim 2x = − é um ponto de mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é

4 3 24 4 32( 2) ( 2) ( 2) 4 ( 2) 16 ( 8) 4 43 3 3

f − = − + ⋅ − − ⋅ − = + ⋅ − − ⋅ = − ,

ou seja, 32( 2)3

f − = − .

Portanto, 0x = é um ponto de máximo relativo da função f , 1x = é um ponto de mínimo relativo da função f e 2x = − é um ponto de mínimo relativo da função f . Veja a figura abaixo

Figura 6.2 Exemplo 6.8. Encontrar os extremos relativos da função 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + usando o critério da segunda derivada. Resolução: Temos, 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + então 2( ) 3 12 9f x x x′ = − + e ( ) 6 12f x x′′ = − .

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Agora, para calcular os pontos críticos de f é só igualar '( )f x a zero, ou seja, ( ) 0f x′ = , isto é, 23 12 9 0x x− + = fatorando vem 3( 3)( 1) 0x x− − = .

A partir desta fatoração fica claro que '( )f x será zero se, e somente 1x = e 3x = . Logo, 1x = e 3x = são pontos críticos de f . Vamos determinar agora os extremos relativos de f . Para 1x = , temos (1) 6 1 12 6 0f ′′ = ⋅ − = − < , logo 1x = é um ponto de máximo relativo da função f . Para 3x = , temos (3) 6 3 12 6 0f ′′ = ⋅ − = > , logo 3x = é um ponto de mínimo relativo da função f . Portanto, 0x = é um ponto de máximo relativo da função f e 3x = é um ponto de mínimo relativo da função f . Veja a figura abaixo:

Figura 6.3 Concavidade e pontos de inflexão

Definição 6.5. Seja :f I → uma função contínua no intervalo I e derivável em Ix ∈0 . Diz-se que o gráfico da )(xf tem concavidade positiva (negativa) em 0x quando existe uma vizinhança V deste ponto, isto é, um intervalo aberto contido no intervalo I e que contém

0x , tal que para todo Vx∈ o gráfico da função está acima (abaixo) da reta tangente ao ponto da curva com abcissa 0x . Um critério para se determinar a concavidade de uma função é dado pelo seguinte teorema:

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Teorema 6.2. Seja f uma função derivável até segunda ordem no intervalo I e suponha que em Ix ∈0 , 0( ) 0f x′′ ≠ . Nesse caso,

)(i se 0( ) 0f x′′ > , o gráfico da f tem concavidade positiva em 0x ; e )(ii se 0( ) 0f x′′ < , o gráfico da f tem concavidade negativa em 0x .

Definição 6.6. Um ponto do domínio de uma função f , no qual f é contínua, é chamado de ponto de inflexão quando neste ponto a função muda de concavidade. Exemplo 6.9. Analisar a concavidade das funções a) 2( ) 3 2 1f x x x= − + , x∈ ; b) 3( ) 3 6f x x x= − + , x∈ . Resolução. a) Temos que ( ) 6 2f x x′ = − e ( ) 6 0f x′′ = > , x∀ . A função tem concavidade para cima em todo o seu domínio. b) 2( ) 3 3f x x′ = − e ( ) 6 0f x x′′ = > quando 0x > e ( ) 0f x′′ < quando 0x < . Portanto, a função é côncava para cima em (0, )∞ e côncava para baixo em ( , 0)−∞ . A função muda de concavidade em 0x = , então este é um ponto de inflexão. Teorema 6.3. Seja f uma função derivável até segunda ordem num intervalo I e suponha que Ix ∈0 é a abcissa de um ponto de inflexão do gráfico da f. Então, 0( ) 0f x′′ = . Observação: O teorema acima dá uma condição necessária porém não suficiente para que 0x seja um ponto de inflexão da f . Não basta que 0( ) 0f x′′ = em algum 0x para que em 0x ocorra um ponto de inflexão. Exemplo disso é o seguinte. Exemplo 6.10. A função 4( )f x x= , [ 1, 1]x∈ − , cujo gráfico é mostrado abaixo, tem

3(́ ) 4f x x= e 2´́ ( ) 12f x x= . Em 0x = , (0) 0f ′′ = , ( ) 0f x′′ ≥ , para todo x.

x

O

y= x4

y

Figura 6.4

O gráfico tem concavidade sempre para cima. Portanto, apesar de termos (0) 0f ′′ = a função não tem ponto de inflexão.

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Exemplo 6.11. A função 13( )f x x= , x∈ , tem derivadas primeira e segunda

231( )

3f x x

−′ =

e 532( )

9f x x

−′′ = − , ambas definidas para todo 0x ≠ . A função f está definida em 0x = e

(0) 0f = mas não f ′ e f ′′ . Para sabermos se em 0x = há um ponto de inflexão, note que ( ) 0f x′ > para 0x < e ( ) 0f x′′ < em 0x > ; logo, f é côncava para cima em ( ), 0−∞ e é

côncava para baixo quando ( )0, ∞ . Em 0x = o gráfico da f tem um ponto de inflexão. Exercícios propostos

1) Seja 3 2( ) 5 5f x x x x= + − − .

a) Determine os pontos críticos de f . b) Determine os intervalos onde f é crescente e decrescente.

2 Seja 3 21 1( ) 6 83 2

f x x x x= + − + , determine:

a) os pontos críticos, b) os intervalos onde f é crescente e decrescente, c) os valores máximos e mínimos de f .

Respostas

1) a) 51 e 3

− .

b) f é crescente no intervalo 53

x < − ;

f é decrescente no intervalo 5 13

x− < < ;

f é crescente no intervalo 1x > .

2) a) 2 e 3− . b) f é crescente no intervalo 3x < − ;

f é decrescente no intervalo 3 2x− < < ; f é crescente no intervalo 2x > .

c) em 3x = − , f tem ponto de máximo e em 2x = , f tem ponto de mínimo.