Instituto Superior Tecnico

Departamento de Matematica

Seccao de Algebra e Analise

Calculo Diferencial e Integral ILMAC/MEBIOM/MEFT

1o Teste (VA) - 7 de Novembro de 2015 - 12:00 as 13:30

Apresente todos os calculos que efectuar. Nao e necessario simplificar os

resultados. As cotacoes indicadas somam 20 valores.

Problema 1 (4,5 val.) Calcule, se existirem (finitos ou infinitos), os seguintes limites:

(a) limx→0

senx2 − x2

x6(b) lim

x→0

4x − 2x

senx(c) lim

x→+∞

(log x)1/x2

Problema 2 (4 val.) A funcao f esta definida para x 6= 0 por

f(x) = x3e1/x

(a) Diga se f pode ser prolongada por continuidade, mesmo que apenas lateral, ao ponto 0,e caso afirmativo determine as derivadas laterais que existam no ponto 0. Designamospor g o prolongamento por continuidade, mesmo que apenas lateral, ao ponto 0, de f .

(b) Determine os intervalos de monotonia e concavidade de g e, caso existam, os extremos,inflexoes e assımptotas de g.

(c) Esboce o grafico de g e determine o conjunto g(R+).

Problema 3 (4,5 val.) Calcule as derivadas das seguintes funcoes:

(a) f(x) = tan(

x2 + 3x+ 1)

(b) g(x) = xsen2 x (c) h(x) = log

(

arctan(e2x)

Problema 4 (3,5 val.) Considere a funcao dada por f(x) = log

(

1 + x

1− x

)

e seja f (k) a sua

derivada de ordem k.

a) Determine o domınio de f .

b) Mostre por inducao que f (k)(x) = (−1)k(k − 1)!

[

1

(x− 1)k−

1

(x+ 1)k

]

para k ∈ N.

c) Determine o polinomio de Taylor de ordem 3 da funcao f em a = 0.d) Sendo p o polinomio referido na alınea anterior, determine se a diferenca f(1/3) −

p(1/3) e positiva ou negativa.

Problema 5 (3,5 val.) Seja f : R → R uma funcao diferenciavel em R. Para cada uma dasseguintes afirmacoes, diga se a afirmacao e verdadeira ou falsa, e justifique a sua resposta comuma demonstracao ou um exemplo.

(a) f e contınua em R.(b) Se f ′ tem limite quando x → a entao f ′ e contınua em a.

(c) Se f ′(0) = 0 e f ′′(0) existe entaof(x)− f(0)

x2→ f ′′(0)/2 quando x → 0.

(d) Se f ′(0) > 0 entao f e crescente numa vizinhanca de 0. Sugestao: Considere umamodificacao apropriada da funcao dada por f(x) = x2 sen(1/x2) para x 6= 0.

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Seccao de Algebra e Analise

Calculo Diferencial e Integral ILMAC/MEBIOM/MEFT

1o Teste (VB) - 7 de Novembro de 2015 - 12:00 as 13:30

Apresente todos os calculos que efectuar. Nao e necessario simplificar os

resultados. As cotacoes indicadas somam 20 valores.

Problema 1 (4,5 val.) Calcule, se existirem (finitos ou infinitos), os seguintes limites:

(a) limx→0

ex3

− x3 − 1

x6(b) lim

x→0

1− cos x

3x2

− 1(c) lim

x→+∞

(

1 + 1/x2)log x

Problema 2 (4 val.) A funcao f esta definida para x 6= 0 por

f(x) = xe−1/x2

(a) Diga se f pode ser prolongada por continuidade, mesmo que apenas lateral, ao ponto 0,e caso afirmativo determine as derivadas laterais que existam no ponto 0. Designamospor g o prolongamento por continuidade, mesmo que apenas lateral, ao ponto 0, de f .

(b) Determine os intervalos de monotonia e concavidade de g e, caso existam, os extremos,inflexoes e assımptotas de g.

(c) Esboce o grafico de g e determine o conjunto g(R+).

Problema 3 (4,5 val.) Calcule as derivadas das seguintes funcoes:

(a) f(x) = senh(

3x2 + x+ 2)

(b) g(x) = (senx)x2

(c) h(x) = arctan (log(tan(2x)))

Problema 4 (3,5 val.) Considere a funcao dada por f(x) = log(

2 + x− x2)

e seja f (k) a suaderivada de ordem k.

(a) Determine o domınio de f .

(b) Mostre por inducao que f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!

[

1

(x− 2)k+

1

(x+ 1)k

]

para k ∈

N.(1)(c) Determine o polinomio de Taylor de ordem 3 da funcao f em a = 0.(d) Sendo p o polinomio referido na alınea anterior, determine se a diferenca f(1/2) −

p(1/2) e positiva ou negativa.

Problema 5 (3,5 val.) Seja f : R → R uma funcao diferenciavel em R. Para cada uma dasseguintes afirmacoes, diga se a afirmacao e verdadeira ou falsa, e justifique a sua resposta comuma demonstracao ou um exemplo.

(a) f estritamente crescente em R =⇒ f ′(x) > 0 para qualquer x ∈ R.(b) f ′(0) > 0 =⇒ existe δ > 0 tal que f(x) > f(0) para qualquer x ∈ ]0, δ[.(c) f ′(0) = f ′′(0) = 0 =⇒ f nao tem um extremo em x = 0.(d) f ′(0) > 0 e f ′(1) < 0 =⇒ existe x ∈]0, 1[ tal que f ′(x) = 0. Sugestao: Note que f

e contınua no intervalo [0, 1].

1Foi aqui corrigida uma gralha no enunciado original, substituindo (−1)k por (−1)k−1.