cálculo diferencial e integral i

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  127 Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Dr. Frederico de Oliveira Matias Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL [email protected]   Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br  Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br   Site do curso www.mat.ufpb.br/ead  Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257 Carga horária: 60 horas Créditos: 04 Ementa Limites, Continuidade e Derivadas.  Descrição Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades, resultados derivados e aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites, Continuidade e Derivadas. Para que os aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de princípio que os mesmos tenham cursado a disciplina Matemática para o Ensino Básico II onde foram apresentados aos conteúdos das funções: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais. O estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita e discussão dentro de um ambiente interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataforma Moodle. Objetivos Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para:  Compreender, aplicar o conceito de limites e dominar suas principais propriedades;  Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades;  Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma função real e dominar suas principais  propriedades;  Construir modelos para resolver problemas envolvendo funções de uma variável real e suas derivadas;  Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas.  

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IProf. Dr. Frederico de Oliveira Matias

Curso de Licenciatura em Matemática – [email protected] 

 

Curso de Matemática – UFPBVIRTUALAmbiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br 

 

Site da UFPBVIRTUAL  www.virtual.ufpb.br 

 

Site do curso www.mat.ufpb.br/ead 

 

Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas Créditos: 04

Ementa

Limites, Continuidade e Derivadas. 

Descrição

Esta disciplina consiste em uma apresentação seqüencial de conceitos, propriedades, resultados derivadose aplicações, integrantes de um estudo que envolve os conteúdos de Limites, Continuidade e Derivadas. Para queos aprendentes passem a dominar estes assuntos, partiremos de princípio que os mesmos tenham cursado adisciplina Matemática para o Ensino Básico II onde foram apresentados aos conteúdos das funções: polinomiais,exponenciais, logarítmicas e racionais. O estudante deve desenvolver sua capacidade de leitura, escrita ediscussão dentro de um ambiente interativo, trabalhando em grupo e utilizando como ferramenta a plataformaMoodle. 

Objetivos

Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado para:

  Compreender, aplicar o conceito de limites e dominar suas principais propriedades;

  Compreender, aplicar o conceito de continuidade e dominar suas principais propriedades;

  Compreender, aplicar o conceito de derivada de uma função real e dominar suas principaispropriedades; 

  Construir modelos para resolver problemas envolvendo funções de uma variável real e suasderivadas;

  Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas. 

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Unidades Temáticas Integradas

Unidade I Limites

•  Noção Intuitiva•  Definição

•  Propriedades dos Limites•  Limites Laterais•  Cálculo de Limites•  Limites no Infinito•  Limites Infinitos•  Propriedades dos Limites Infinitos•  Limites Fundamentais

Unidade II Continuidade

•  Continuidade em um ponto

•  Teste de Continuidade•  Propriedades de Funções Contínuas•  Composta de Funções Contínuas•  Teorema do Valor Intermediário:

Unidade III Derivada 

•  A Derivada de uma Função num Ponto•  A Reta Tangente•  Continuidade de Funções Deriváveis•  Derivadas Laterais•  Regras de Derivação•  Derivada das Funções Elementares do Cálculo•  Regras de L’Hospital•  Derivação de Função Composta•  Derivada da Função Inversa•  A Derivada de uma Função na Forma Implícita

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Unidade I Limites

1. Situando a Temática

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemáticaenvolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

Para entender os três últimos conceitos da lista acima, a Teoria de Limites é fundamental. Além disso, paracompreender esta teoria será preciso que você tenha domínio sobre o conteúdo de Funções que são regras bemdefinidas que associam a cada elemento de um conjunto de partida, denominado Domínio, um único elementoem um conjunto de chegada, denominado Contra-Domínio. Mais precisamente,

:  f A B→ é função x , ! ( ) A y f x B⇔ ∀ ∈ ∃ = ∈ .

Os conjuntos e A B representam respectivamente o Domínio e o Contra-Domínio da função  f  . O

elemento ( ) f x denomina-se a imagem do elemento  x pela função  f  .

Na disciplina Matemática para o Ensino Básico II você foi apresentado aos conteúdos das funções:polinomiais, exponenciais, logarítmicas e racionais, as quais serão úteis para o estudo do conteúdo de limites.

O objetivo desta unidade é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de umamaneira convencional. Vamos apresentar propriedades e teoremas referentes a limites de funções. Taisresultados (propriedades e teoremas) serão apresentados, na sua maioria, sem demonstrações, através de algunsexemplos ou exercícios ilustrativos mas, se você tiver interesse em estudá-los poderá encontrá-los nasreferências bibliográficas. Uma justificativa para a omissão das demonstrações é tornar o texto conciso.

Este texto complementa-se na plataforma MOODLE, onde estão as listas de exercícios e atividadesrelacionadas com o texto. Os exercícios são parte fundamental da disciplina, uma vez que vamos adotar umametodologia apoiada na resolução de exercícios.

2. Problematizando a Temática

Limite na vida prática

Observamos algumas situações, nas quais estão presentes as idéias intuitivas de limite:

1.  Se o câmbio do dólar americano tende a estabilizar em torno de R$ 1,73, então o valor pago por 100dólares estabiliza em torno de R$ 173,00. Logo, podemos falar que o limite (valor pago por 100 dólares)

é igual a R$ 173,00, quando o valor pago por 1 dólar tende a R$ 1,73 . Podemos representar tal situaçãopor:

1,73 173lim100

 x

 x

=→

 

2.  Imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente por estar sendo aquecida. Se  x  

representa o comprimento do lado, a área da placa é dada por 2( ) A x x= . Evidentemente, quando  x se

aproxima de 3 , a área da placa  A se aproxima de 9 . Expressamos essa situação simbolicamente por2 9lim

3 x

 x

=→

 

3.  Suponhamos agora que você esteja dirigindo um automóvel. Se o acelerador for calcado para baixo emtorno de 2 cm, então a velocidade se manterá próximo aos 60 Km/h. Logo, podemos dizer que o limite

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(velocidade instantânea do automóvel) é igual a 60 Km/h, quando o acelerador tender a 2 cm para baixo.Matematicamente escrevemos tal situação por

( ) 60lim2v x

 x=

→,

onde ( )v x é a velocidade instantânea do automóvel e  x é a medida em centímetros do deslocamento dopedal do acelerador.

4. Outra aplicação interessante do limite de uma função é o cálculo da velocidade instantânea de um corpoem queda livre sob a ação da gravidade.

O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes:

•  Noção Intuitiva•  Definição•  Propriedades dos Limites•  Limites Laterais•  Cálculo de Limites•  Limites no Infinito•  Limites Infinitos

•  Propriedades dos Limites Infinitos•  Limites Fundamentais

3. Conhecendo a Temática

3.1 Limites

3.1.1 Noção Intuitiva 

Estudaremos o comportamento de uma função  f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias,

consideremos a função : f  ℝ  \ {1} →ℝ definida por:

2 1 ( 1)( 1)( ) 1

1 1

  x x x  f x x

 x x

− − += = = +

− − 

Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto 1 x = , ponto este que não pertence aodomínio de  f  , constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor 2 L = , quando os valores de  x  

se aproximam de 1 x = , tanto por valores de 1 x < (à esquerda de 1) como por valores 1 x > (à direita de 1).

Do ponto de vista numérico, a tabela abaixo mostra o comportamento da funçãof 

, para valores  x à esquerda e

à direita de 1 x = .

TABELA

Pela esquerda de 1 x = Pela direita de 1 x =   x   0   0,5

 0,9 

0,99   0,999   1   x   2   1,5   1, 2 

1,1   1,01   1,001 

)( x f 

 1  1,5

 1,8 

1,9 

1,99   1,999   2   ( ) f x

 3   2,5   2,2

 2,1 

2,01   2,001 

2  

Neste caso, dizemos 2 L = é o limite da função  f quando  x se aproxima de 1, o que denotaremos por:

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  131

1( ) 2lim

 x

 f x→

=  

3.1.2 Definição Informal de Limite 

Seja ( ) f x definida em um intervalo aberto em torno de  x0 exceto talvez em  x0. Se ( ) f x fica

arbitrariamente próximo de  L , para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, dizemos que  f  temlimite  L quando x tende a x0 e escrevemos

0

( )lim x x

  f x L

→=  

Essa definição é “informal” porque as expressões “arbitrariamente próximo” e “suficientemente próximos” sãoimprecisas; seu significado depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um pistão, próximo podesignificar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda galáxias distantes, próximo podesignificar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição é suficientemente clara para permitir oreconhecimento e a avaliação dos limites de várias funções específicas.

Exemplo 1: O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função é Definida em 0 x  

Com efeito, consideremos as seguintes funções:

a)2 1

( ) , 11

 x  f x x

 x

−= ≠

− 

b)

2 1, 1

g(x) 11, 1

 x x

 x

 x

⎧ −≠⎪

= −⎨⎪ =⎩

 

c) ( ) 1h x x= +  

Note que ( ) ( ) ( ) 21 1 1

lim lim lim  f x g x h x

  x x x

= = =→ → →

sem que exista (1) f  , com (1) 1 2g = ≠ e (1) 2h = (Veja

Figura 1). 

Figura 1: Funções do Exemplo 1.

Exemplo 2: Os Limites Podem Não Existir

De fato: discutamos o comportamento quando 0 x → das seguintes funções:

(a)  A função de salto unitário definida por0, 0

( )1, 0

 xU x

 x

<⎧= ⎨

≥⎩ 

(b)  A função

1, 0

( )0, 0

 xg x x

 x

⎧≠⎪

= ⎨⎪ =⎩

 

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(c)  A função

0, 0

( ) 1, 0

 x

 f xsen x

 x

≤⎧⎪

= ⎨ ⎛ ⎞>⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

 

Soluções:(a) A função de salto unitário  ( )U x não tem limite quando 0 x → porque seus valores “saltam” em

0 x = . Para valores negativos de  x arbitrariamente próximos de zero, ( ) 0U x = . Para valores positivos de x , arbitrariamente próximos de zero, ( ) 1U x = . Não há um único valor de  L do qual ( )U x se aproxime

quando 0 x → (Figura 2 (a)).(b) A função cresce demais para ter um limite: ( )g x não tem um valor limite quando 0 x → porque

g cresce arbitrariamente em valor absoluto quando 0 x → e não se mantém próximo de nenhum valor real(Figura 2 (b)).(c) A função oscila demais para ter um limite: ( ) f x não tem limite quando 0 x → porque os valores da

função oscilam entre 1 e 1− em cada intervalo aberto que contém 0 . Os valores não se mantêm próximosde nenhum número quando 0 x →  (Figura 2 (c)).

Figura 2: Funções do Exemplo 2.

3.1.3 Definição Formal de Limite

Definição: Seja ( ) f x uma definida em um intervalo aberto em torno de 0 x ,

exceto possivelmente em 0 x . Dizemos que ( ) f x tem limite  L quando

0 x x→ e escrevemos

0

( )lim f x L

 x x=

→,

se, para cada número 0ε  > , existir um número correspondente 0δ  > talque para todos os valores de x,

00 ( )  x x f x Lδ ε < − < ⇒ − < .

Graficamente temos:Exemplo: Testando a DefiniçãoMostre que ( 1) 2lim

1 x

 x

+ =→

 

Solução: sejam 0 1 x = , ( ) 1  f x x= + e 2 L = na definição de limite. Para qualquer 0ε  > , precisamos

encontrar um 0δ  > adequado ( ( )δ δ ε = , isto é, o número real δ  depende do número real ε  fornecido), tal que

se 1 x ≠ e  x está a uma distância menor do que δ   de 0 1 x = , ou seja, se 0 1 x δ  < − < , então ( ) f x está a

uma distância menor do que ε  de 2 L = , isto é, ( ) 2 f x ε − < .

Encontraremos δ   ao resolvermos a inequação:

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1 2 1 x x ε + − = + < .Daí, basta escolher δ ε = e verifica-se que ( 1) 21

lim x

 x

+ =→

.

3.1.4 Propriedades dos Limites

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências

de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções maiselaboradas.

Teorema 3.1: Unicidade do Limite: O limite de uma função, quando existe, é único, isto é,Se

0

( )lim f x L

 x x

=→

e

0

( )lim f x M 

 x x

=→

, então  L M =  

Teorema 3.2: Se 0, , L M x e k  são números reais e

0

( )lim f x L

 x x

=→

e

0

( )lim g x M 

 x x

=→

 

então:1. Regra da Soma: O limite da soma de duas funções é a soma de seus limites, isto é,

( )0

( ) ( )lim f x g x L M  

 x x

+ = +→

 

2. Regra da Diferença: O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites, isto é,

 

( )0

( ) ( )lim f x g x L M  

 x x

− = −→

 

3. Regra do Produto: O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites, isto é,

( )0

( ) ( )lim f x g x L M  

 x x

⋅ = ⋅→

 

4. Regra da Multiplicação por Constante: O limite de uma constante multiplicada pela função é aconstante multiplicada pelo limite da função, isto é,

 

( )0

( )lim k f x k L

 x x

⋅ = ⋅→

 

Em particular,

0

lim k k 

 x x

=→

 

5. Regra do Quociente: O limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites, desde que olimite do denominador seja diferente de zero, isto é,

0

( ) ., M 0

( )lim

f x L

g x M  x x

= ≠

 

6. Regra da Potenciação: O limite de uma potência racional de uma função é a potência do limite da

 

função, desde que a última seja um número real, isto é,

Se r  e s são números inteiros e 0s ≠ , então ( )0

( )limr s r s  f x L

 x x

=→

desde que r s L seja um número real.

Exemplo: Usando as Regras do Limite, calcule

22 3 3

5

2 1

31lim

x x

 x x

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

+⎝ ⎠→ 

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Solução:

22 3 3

5

2 1 

3

1

limx x

 x

 x

+ +

+→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

( )

( )

2 22 3 2 32 3 3

32 3

5 55

2 1 2 12 1 1 1 1 1

3 331

1 11

lim lim lim limlim

lim limlim

  x x x x x x   x x x x

 x x x x

 x x x

+ + + ++ + → → → →= = =

+ ++→

→ →→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠⎝ ⎠

 

22 3

3

2 222 3

3 33

5 5

2 11 2 1 1 41 1 1 1

1 3 43

1

lim lim

lim

 x x

 x x

 x

 x

+ ++ ⋅ +→ → = = = =

++

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎠

 

Teorema 3.3 (Teorema do Sanduíche): Se valem as desigualdades ( ) ( ) ( ) f x g x h x≤ ≤ para todo  x em um

intervalo aberto contendo  x0, exceto talvez em  x =  x0 e se

0 0

( ) ( )lim lim  f x L h x

  x x x x

= =→ →

, então

0

( )lim g x L x x

=→

 

Definição: Dizemos que uma função  f  é limitada quando existe uma constante C > 0 tal que ( )  f x C  ≤ , para

todo  x D∈ , onde  D representa o Domínio da função  f  .

Corolário 3.3: Se  f é uma função limitada e g é uma função tal que

0

( ) 0lim g x

 x x

=→

, então

0

( ) ( ) 0lim f x g x

 x x

⋅ =→

, mesmo que não exista

0

( )lim f x

 x x→.

Exemplo: Mostre que 1 00

lim xsen x x

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠→

 

Solução: Como1

1, 0sen x x

⎛ ⎞≤ ∀ ≠⎜ ⎟

⎝ ⎠e 0

0lim x

 x

=→

, conclui-se, pelo Corolário 3.3, que1

00

lim xsen x x

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠→ 

3.1.5 Limites Laterais

Definição. Seja  f  uma função definida em um intervalo aberto ( )0 , x b , onde 0 x b< .

Dizemos que um número  L é o limite à direita da função f  quando x tende para x0, e escrevemos

Observação: A Regra da Soma que vale paraduas funções, também vale para um númerofinito de funções. Além disso, se somente umadas parcelas não possui limite, então o limite dasoma de todas as parcelas não existirá. Verifiqueesta afirmação.

Observação: O Teorema 3.2 só é válido seambas as funções  f  e g possuíremlimites. Verifique esta afirmação.

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  135

0

( )lim f x L

 x x+=

→ 

se, para todo 0ε  > , existe um 0δ   > tal que ( )  f x L ε − < sempre que 0 0  x x x δ  < < + .

Definição. Seja  f  uma função definida em um intervalo aberto ( )0,c x , onde 0c x< . Dizemos que um número

 L é o limite à esquerda da função f  quando  x tende para 0 x , e escrevemos

0

( )lim f x L

 x x−=

→ 

se, para todo 0ε  > , existe um 0δ   > tal que ( )  f x L ε − < sempre que 0 0  x x xδ  − < < .

Exemplo: Seja, 0

( )

3, 0

 x x

 f x x

 x

⎧− ≠⎪

= ⎨⎪ =⎩

 

Como1, 0

1, 0

 x x

 x x

− >⎧− = ⎨

+ <⎩conclui-se que ( ) 1lim

0 f x

 x += −

→e ( )lim

0 f x

 x −→= 1

Teorema 3.4. Se  f  é uma função definida em um intervalo aberto contendo x0, exceto possivelmente no ponto

 x0, então

0

( )lim f x L

 x x

=→

se, e somente se,

0

( )lim f x L

 x x+=

→e

0

( )lim f x L

 x x−=

→.

Exemplo: Utilizando o Teorema 3.4

Como ( ) 10

lim f x

 x+

= −→

e ( ) 10

lim f x

 x−

=→

, conclui-se, do exemplo anterior, que não existe ( )0

lim f x

 x→.

3.1.6 Cálculo de Limites

Antes de apresentar exemplos de cálculos de limites, vamos falar um pouco sobre expressões indeterminadas.Costuma-se dizer que as expressões:

São indeterminadas. O que significa isto?

Notação:

00 x x x x →⇒→ − com

0 x x <  

∞∞∞⋅∞∞∞

∞1 , ,0 ,0 ,- , ,

0

0 00

Notação: 00 x x x x →⇒→ + com 0 x x >  

Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3continuam válidos quando substituímos

0 x x → por +→ 0 x x ou −→ 0 x x .

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  136

Exemplo: Verificando a indeterminação0

0.

(a)  Sejam 3( )  f x x=  e 2( )g x x= .

Temos que ( ) ( ) 00 0

lim lim  f x g x

 x x= =

→ →e

3

2( ) 0( )0 0 0

lim lim lim  f x x  xg x x  x x x

= = =→ → →

 

(b)  Sejam 2( )  f x x=  e  2( ) 2g x x= .

Temos que ( ) ( ) 00 0

lim lim  f x g x

 x x

= =→ →

e, neste caso,

2

2

( ) 1 1 

( ) 2 2 2

0 0 0

lim lim lim  f x x

g x x

  x x x

= = =→ → →

 

Analisaremos, agora, alguns exemplos de cálculo de limites onde os artifícios algébricos são necessários: sãocasos de funções racionais em que o limite do denominador é zero num determinado ponto e o limite donumerador também é zero neste mesmo ponto.

Simbolicamente estaremos diante da indeterminação do tipo0

0.

Exemplo: Calcule 3

2

3 2

42lim

x x

 x x

− +

−→− 

Solução:

3 2

2

3 2 ( 2 1)( 2)

4 ( 2)( 2)2 2lim lim

  x x x x x

  x x x x x

− + − + += =

− + −→− →− 

2

22 1

2 1 2 942 22

2

limlim

lim

 x x x x  x

 x x x x

− +− + →−= = = −

− −→−→−

 

Exemplo: Calcule2 2

 0

limx

 x x

+ −

→ 

Solução: Para este exemplo usaremos o artifício da racionalização do numerador da função. Segue então,

( ) ( )( )

2 2 2 22 2

2 20 0lim lim

x x x

 x x x x x

+ − ⋅ + ++ −=

⋅ + +→ →=  

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  137

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 1 1 

2 22 2 2 2 2 20 0 0lim lim lim

 x  x

  x x x x x  x x x

+ − + −= = =

⋅ + + ⋅ + + + +→ → → 

3.1.7 Limites no Infinito

O símbolo ∞ não representa nenhum número real. Usamos ∞ paradescrever o comportamento de uma função quando os valores em seudomínio ou imagem ultrapassam todos os limites finitos. Por exemplo, a

função1

( ) f x x

= é definida para qualquer valor de 0 x ≠ (Figura 3).

Quando  x vai se tornando cada vez maior,1

 xse torna “próximo de

zero”. Podemos sintetizar esse fato dizendo1

( ) f x x

= tem limite

0 quando  x → ±∞ .

Figura 3: Gráfico de1

 y x

=  

Definição. Seja f  uma função definida em um intervalo aberto ( ),a +∞ . Escrevemos,

( ) 0, 0; ( ) .lim f x L M x M f x L

 x

ε ε = ⇔ ∀ > ∃ > > ⇒ − <→+∞

 

Analogamente,

Definição. Seja  f  uma função definida em um intervalo aberto ( ),b−∞ . Escrevemos,

( ) 0, 0; ( ) .lim f x L N x N f x L

 x

ε ε = ⇔ ∀ > ∃ < < ⇒ − <→−∞

 

Definição. A reta  y b= é uma assíntota horizontal do gráfico da função ( )  y f x=  

Se ( )lim f x b

 x

=→+∞

ou ( )lim f x b

 x

=→−∞

 

Teorema 3.5. Se n é um número inteiro positivo, então

(a)1

0lim n

 x x

=

→+∞

 

(b)1

0lim n x x

=→−∞

 

(c) lim K K 

 x

=→±∞

,onde K  é uma constante

Observação: Os Teoremas 3.1, 3.2 e 3.3 continuam válidos quandosubstituímos 0 x x → por +∞→ x ou −∞→ x .

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138

Exemplo: Usando as propriedades de limites, calcule2

2

2 3 4lim

x x

 x x x

+ +

− +→+∞ 

Solução: 

222 2

22

2 2

1 11 1 111

  3 4 3 42 3 4 2 2

lim

lim lim lim

 x x x x x x x x

 x x x x x  x x x x

 x

+ ++ ++ + →+∞

= = =− +→+∞ →+∞ − + − +→+∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

2

2

1 11

1 0 0 11 1 2 0 0 22 3 4

lim lim lim

lim lim lim

 x x  x x x

 x x  x x x

+ ++ +→+∞ →+∞ →+∞= = =− +− +

→+∞ →+∞ →+∞

 

3.1.8 Limites Infinitos

Definição: Seja  f  uma função definida num intervalo aberto contendo x0, exceto, possivelmente, em x = x0.Dizemos que

0

( )lim f x

 x x

= +∞→

  0, 0 M  δ  ⇔ ∀ > ∃ > ; 00 ( )  x x f x M  δ  < − < ⇒ >  

Definição: Seja  f uma função definida num intervalo aberto contendo  x0, exceto, possivelmente, em x  = x0.Dizemos que

0

( )lim f x

 x x

= −∞→

  0, 0 N  δ  ⇔ ∀ > ∃ > ; 00 ( )  x x f x N  δ  < − < ⇒ < −  

Definição. A reta 0 x x= é uma assíntota vertical do gráfico da função ( )  y f x= se0

( )lim f x x x+ = ±∞→ ou

0

( )lim f x

 x x−

= ±∞→

.

Exemplo: Encontre as assíntotas do gráfico da função2

8( )

4 f x

 x= −

− 

Solução: Estamos interessados no comportamento do gráfico quando x → ±∞ e quando 2 x → ± , onde o denominador é zero. Observe que f é uma função par de  x , isto é, ( ) ( )  f x f x− = , para todo 2 x ≠ ± .

Neste caso, o gráfico de  f  é simétrico em relação ao eixo  y .

O comportamento quando  x → ±∞ . Como  ( ) 0lim f x

 x

=→ ±∞

, tem-se

que a reta 0 y = é uma assíntota horizontal.

O comportamento quando 2 x → ± . Uma vez que ( )2

lim f x

 x += −∞

→e

( )2

lim f x

 x −= +∞

→, a reta  2 x =  é uma assíntota vertical. Analogamente,

por simetria, 2 x = − , também é uma assíntota vertical.

Figura 4: Gráfico de2

8

4 y

 x

−=

− 

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139

 

lim ( ) f x   lim ( )g x   ( )h x =   lim ( )h x   simbolicamente

01 ±∞   ±∞   ( ) ( ) f x g x+   ±∞   ±∞ =∞± ∞±  

02 +∞   ( ) ( ) f x g x−   ?   ( ) ( )+∞ − +∞ é indeterminação

03 +∞   k   ( ) ( ) f x g x±   +∞   ( ) k +∞ ± = +∞  

04 −∞   k   ( ) ( ) f x g x±   −∞   ( ) k −∞ ± = −∞  

05 +∞   +∞   ( ) ( ) f x g x⋅   +∞   ( ) ( )+∞ ⋅ +∞ = +∞  

06 +∞   −∞   ( ) ( ) f x g x⋅   −∞   ( ) ( ) −∞=∞−⋅∞+  

07 +∞   0k >   ( ) ( ) f x g x⋅   +∞   ( ) k +∞ ⋅ = +∞ , 0k >  

08 +∞   0k <   ( ) ( ) f x g x⋅   −∞   ( ) k +∞ ⋅ = −∞ , 0k <  

09 ∞±   0   ( ) ( ) f x g x⋅   ?   ( )±∞ 0⋅ é indeterminação

10 k   ∞±   ( ) ( ) f x g x   0   0k  ±∞ =  11 ∞±   ∞±   ( ) ( ) f x g x   ?   ∞±∞± é indeterminação12 0k >   0+   ( ) ( ) f x g x   +∞   0k  + = +∞ , 0k >  13 +∞   0+   ( ) ( ) f x g x   +∞   0++∞ = +∞  14 0k >   0−   ( ) ( ) f x g x   −∞   0k  − = −∞ , 0k >  

15 +∞   0−   ( ) ( ) f x g x   −∞   −∞=∞+ −0  16 0   0   ( ) ( ) f x g x   ?   0 0 é indeterminação

Exemplo: Determinar 5 3(3 4 1)lim x x

 x

− +→+∞

 

Solução: Neste caso, temos uma indeterminação ∞ − ∞ . Para determinar o limite usamos o seguinte artifício decálculo. Escrevemos,

5 3

(3 4 1)lim x x x − +→+∞   =

5

2 5

4 1

3lim x  x x x

⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎝ ⎠→+∞   =   +∞ ( )3 0 0− +   = +∞  

3.1.9 Limites Fundamentais

Teorema 3.6.

(a) 10

limsenx

 x x

=→

 

(b) ( )1

10

limx

 x e

 x

+ =→

, onde e é o número irracional neperiano cujo valor é 2,718281828459..., 

Observação:

A tabela abaixo nos dá um resumo dos fatos principais válidos para

os limites infinitos, onde podemos ter 0 x x → , +→ 0xx ,−

→ 0xx , +∞→ x ou −∞→ x . 

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  140

(c)1

ln0

lim xa

a x x

−=

→( 0a > , 1a ≠ )

Exemplo: Calcule2

 30

limsen x

sen x x → 

Solução:2

 30

limsen x

sen x x→  =  

2 2 3 

2 3 30lim

sen x x x

  x x sen x x

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠→  =  

2 2 3 

2 3 30 0 0lim lim lim

sen x x x

  x x sen x  x x x

⋅ ⋅→ → →

  =  

2 2 1 

32 30 030

lim limlim

sen x x

sen x x x x x x

 x

⋅ ⋅→ →

  =  2 1

13 1

⋅ ⋅   =  2

3.

Neste exemplo,2

20lim

sen x

 x x→  =  

0lim

senu

uu→  =  1 , onde 2u x= e 0u → quando 0 x → .

Analogamente,

3

30lim

sen x

 x x→  =  1 e

2 2 

3 30lim

x

 x x

=→

 

4. Avaliando o que foi construído

Nesta unidade você travou o primeiro contato com o estudo de limites de funções, foi apresentado aoconteúdo programático, bem como aprendeu a calcular, através dos exemplos, usando as propriedades, algunslimites de funções. Porém, fique certo, ainda há muito que aprender dentro de tema.

No Moodle...

5. Referências

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO EINTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987.

2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994.

3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002.

Pois é. Você precisa visitar o espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial I naplataforma MOODLE, onde terá a oportunidade de revisar, testar e enriquecerseus conhecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos estudos e, portanto, eunão pretendo seguir adiante sem que você me acompanhe. Aguardo você noMOODLE!

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141

Unidade II Continuidade

1. Situando a Temática

Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontosdo gráfico de uma função cujos valores foram gerados em laboratórios ou

coletados no campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva nãointerrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da função emtodos os instantes em que não medimos (Figura 5). Fazendo isso, supomosque estamos trabalhando com uma função  contínua, uma função cujosvalores variam continuamente e não saltam de um valor para outro semassumir todos os valores entre eles.

Qualquer função cujo gráfico possa ser esboçado sobre o domínioem um único movimento contínuo, sem levantar o lápis, é um exemplo defunção contínua. Mas uma função pode ser contínua e seu gráfico secompor de dois “pedaços” distintos. Verifique esta afirmação.Estudaremos, nesta unidade, a idéia de continuidade.

O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes:

•  Continuidade em um ponto•  Teste de Continuidade•  Propriedades de Funções Contínuas•  Composta de Funções Contínuas•  Teorema do Valor Intermediário

2. Problematizando a Temática

As funções contínuas são usadas para achar o ponto em que um planeta mais se aproxima do Sol ou opico de concentração de anticorpos no plasma sangüíneo. Elas também são as funções que usamos paradescrever como um corpo se move através do espaço ou como a velocidade de uma reação química varia com otempo. Na verdade, tantos processos físicos ocorremde modo contínuo que nos séculos XVIII e XIXraramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipode comportamento. Foi uma surpresa quando os físicosdescobriram, em 1920, que a luz vem em partículas eque os átomos aquecidos emitem luz em freqüênciasdistintas (Figura 6). Como conseqüência dessas e deoutras descobertas e em função do grande uso de

funções descontínuas na ciência da computação, naestatística e em modelos matemáticos, o tema dacontinuidade se tornou importante tanto prática quantoteoricamente.

3. Conhecendo a Temática

3.1. Continuidade em um Ponto

Definição. Seja  I ⊆  ℝ um intervalo. Uma função : f I →  ℝ é contínua em um ponto a I ∈ quando

( ) ( )lim f x f a

 x a

=

 

Figura 5: Mostra como osbatimentos cardíacos retornam aonormal depois de uma corrida.

Figura 6

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142

 

Exemplo: Uma função com Descontinuidade de Salto

A função Salto Unitário definida por0, 0

( )1, 0

 xU x

 x

<⎧= ⎨

≥⎩é contínua à direita em 0 x = , mas não é contínua à

esquerda nem contínua aí (Veja Figura 2(a)). Ela apresenta descontinuidade de salto em 0 x =  

3.2 Continuidade

Definição. Seja  I ⊆  ℝ  um intervalo. Uma função : f I →  ℝ  é contínua quando  f  é contínua em todo ponto

a I ∈  

Exemplo: Identificando Funções Contínuas

A função1

( ) f x x

= ( Figura 3) é contínua em todo 0 x ≠ .

3.3 Propriedades de Funções Contínuas.

Teorema 3.3: Se  f  e g são funções contínuas em  x a= , então as seguintes combinações são contínuas em

 x a= .1. Soma:  f g+  

2. Diferença:  f g−  

3. Produto:  f g⋅  

4. Constantes Múltiplas: k f ⋅ , para qualquer número k  

5. Quociente:  f g , desde que ( ) 0g a ≠  

3.4. Composta de Funções Contínuas.

Teorema 3.4. Se  f  é contínua em a e g em ( )b f a= , então a composta g f  é contínua em a , isto é,

( ( )) ( ( )) ( ( ))lim limg f x g f x g f a

  x a x a

= =→ →

 

Exemplo: Usando as propriedades de funções contínuas, conclua que a função

2

1( )

1

 xh x

 x

+=

+é contínua em 1 x =  

Considerações sobre a Definição

(a) Quando  f  não é contínua em um ponto a , dizemos que  f  é descontínua em a   e que a é um

ponto de descontinuidade de  f  ;

(b)   f  contínua à esquerda no ponto a x = quando )()(lim a f  x f 

a x

=

→−

;

(c)   f  contínua à direita no ponto a x = quando )()(lim a f  x f 

a x

=→ +

.

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143

Solução: Sejam2

1( )

1

 x f x

 x

+=

+e ( )g x x= . Daí, ( ) ( )( ) ( ( ))h x g f x g f x= = . Sendo

2

1 1(1) 1

1 1 f 

+= =

+e

( (1)) (1) 1 1g f g= = = , tem-se que

2 2

1 1 1( ( )) ( ) 1 ( (1))lim lim lim

1 1 11 1 1

 xg f x h x g f  

 x  x x x

+ += = = = =

+ +→ → → 

3.5. Teorema do Valor Intermediário

Teorema 3.5. .Seja  [ ]: , f a b →  ℝ  uma função contínua em um intervalo

fechado [ ],a b  tal que  0( ) ( ) f a y f b≤ ≤ , então  0 ( )  y f c=  para algum c  

em [ ],a b .

Exemplo: Aplicando o Teorema 3.5

Existe algum número real que somado a 1 seja exatamente igual ao seucubo?Solução: A resposta para esta pergunta está no Teorema do ValorIntermediário.

Com efeito, seja  x este tal número que deve satisfazer a equação 31 x x+ =  

ou, equivalentemente, 3 1 0 x x− − = . Portanto, estamos procurando um zero da

função contínua 3( ) 1  f x x x= − − (Veja Figura 7 abaixo). Esta função muda

de sinal no intervalo [ ]1, 2 , pois 1 (1) 0 (2) 5 f f − = < < = , logo deve existir

um ponto c entre 1 e 2 tal que ( ) 0 f c =  

Ampliando o seu Conhecimento

4. Avaliando o que foi construído

No Moodle...Dialogando e Construindo Conhecimento

Você sabia que, geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário diz quequalquer reta horizontal  y d = cruzando o eixo  y entre os números ( ) f a e ( ) f b  

cruzará a curva ( )  y f x= pelo menos uma vez no intervalo [ ],a b , desde que  f   

seja contínua em  [ ],a b . 

 

Vá à plataforma MOODLE e dedique-se à resolução das tarefas relacionadas aoassunto desta unidade.Saiba que o aprendizado em Matemática deve ser continuado e o sucesso no estudodas funções contínuas vai depender de você visitar constantemente a plataforma eprocurar resolver os exercícios nela proposta.

 

Fi ura 7

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144

Dialogando e Construindo Conhecimento

5. Referências 

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO EINTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 19872. Ávila, G., CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994.3. Thomas, George B., CÁLCULO. Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002.

Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclareceras dúvidas sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamossempre dispostos a orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina.Acredite em seu potencial e conte conosco.

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145

Unidade III Derivadas

1. Situando a Temática

No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constantee parâmetro, bem como a notação de dx e dy para designar os infinitésimos em  x e em  y . Desta notação

surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. A partir daí, com aintrodução do conceito de derivada, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumentopoderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos mais diversos campos da Ciência. Porexemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia, Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação.Para calcular a velocidade e a aceleração instantânea de uma partícula em movimento cuja trajetória é descritapela equação de movimento ( )s s t = , onde t  representa o tempo, para explicar o funcionamento de máquinas,para estimar a diminuição do nível da água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever asconseqüências de erros cometidos durante as medições.

A partir de agora, vamos entrar no passeio divertido do “mundo” das derivadas.

Nesta unidade, abordaremos os seguintes tópicos:

•  A Derivada de uma Função num Ponto•  A Reta Tangente•  Continuidade de Funções Deriváveis•  Derivadas Laterais•  Regras de Derivação•  Derivada das Funções Elementares do Cálculo•  Regras de L’Hospital•  Derivação de Função Composta•  Derivada da Função Inversa•  A Derivada de uma Função na Forma Implícita

2. Problematizando a Temática

Para solucionarmos este problema precisamos definir o conceito de derivada de uma função num ponto.A partir de agora vamos desenvolver toda a teoria necessária para solucionarmos este e outros problemas queenvolvem derivadas.

3. Conhecendo a Temática

3.1 A Derivada de uma Função

Definição. A derivada de uma função ( )  y f x= em relação à variável  x é a função  f ′ cujo valor em  x é

( ) ( )( ) lim

0

 f x h f x f x

hh

+ −′ =

→,

desde que este limite exista.

Problema: Encontrar a equação da reta tangente a uma curva ( )  y f x= no ponto

0 0( , )P x y , onde 0 0( )  y f x=  

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146

 

Exemplo: Aplicando a Definição

Encontre a derivada de  y x= para 0 x > .

Solução:

Passo 1: ( )  f x x= e ( )  f x h x h+ = +  

Passo 2 :( ) ( ) f x h f x

h

+ −=

  x h x

h

+ − 

=( ) ( )

( )

 x h x x h x

h x h x

+ − + +⋅

+ +=

( )  x h x

h x h x

+ −

⋅ + +=

( )1

  x h x+ + 

Passo 3 : ( ) lim0

 f x

h

′ =→ ( )

1  x h x+ +

= 12 x

(Veja Figura 8 (a) e 8(b) )

Considerações sobre a Definição: 

(a)  O domínio de  f ′ é o conjunto de pontos no domínio de  f  para o qual o limite existe. Ele

pode ser o mesmo domínio de  f  ou menor;

(b)  Se  f ′ existe para um determinado valor de  x , dizemos que  f  é derivável em  x ;

Calculando )( x f ′ a partir da Definição de Derivada

Passo 1. Escreva expressões para)( x f  e )( h x f  +  

Passo 2. Desenvolva e simplifique o quociente

h

 x f h x f  )()( −+ 

Passo 3. Usando o quociente simplificado, encontre )( x f ′  calculando o limite

h

 x f h x f 

h

 x f  )()(

0)( lim −+

→=′  

Figura 8

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  147

 

3.2. A Reta Tangente

Definição. Dada uma curva de equação ( )  y f x= , seja 0 0( , )P x y um ponto sobre ela, ou seja ,

0 0( )  y f x= . A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo coeficiente angular

T m é dado pela expressão 

0 0

0

( ) ( )limT h

 f x h f xm

h→

+ −= ,

quando este limite existe. Assim,

0( )T m f x′= .

Exemplo: Determine a equação da reta tangente à curva  y x= em 4 x =  

Solução: Do Exemplo 3.1, vimos que 1( )

2 f x

 x′ =  

Logo, o coeficiente angular da reta tangente a esta curva em 4 x = é dado por1 1

(4)42 4

T m f ′= = = .

A reta tangente passa pelo ponto (4,2)P e tem como equação

12 ( 4)

4 y x− = ⋅ −   ⇔  

11

4 y x= +  

3.3 Continuidade de Funções Deriváveis

Teorema 3.3. Se  f  é derivável em 0 x x= , então  f  é contínua 0 x x= .

Notação: Há várias maneiras de representar a derivada de uma função )( x f  y = . Além de

)( x f ′ , as notações mais comuns são:

(i)  y′ ( lê-se  y linha). Esta notação foi dada por Newton

(ii)dx

dy ( lê-se dydx ). Esta notação foi dada por Leibniz 

Figura 9

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  148

 

Corolário 3.3. Se  f  não é contínua em 0 x , então  f  não é derivável em 0 x  

3.4 Derivadas Laterais

Definição: Se a função ( )  y f x= está definida em 0 x ,então a derivada à direita de  f  em 0 x , denotada por

0( ) f x+′ , é definida por

0 00

( ) ( )( ) lim

0

 f x h f x f x

hh+

+

+ −′ =

→ 

0

00

( ) ( )lim

f x f x

 x x

 x x

+

−=

,

caso este limite exista. Analogamente, a derivada à esquerda de  f  em 0 x , denotada por 0( ) f x−′ , é definida por

0 00

( ) ( )( ) lim

0

 f x h f x f x

hh−

+ −′ =

→ 

0

00

( ) ( )lim

f x f x

 x x x x−

−=

−→,

desde que este limite exista.

Observação: Nem toda função contínua é derivável. Vejamos a seguir

Exemplo: A função  x x f  =)( , 0≥ x é contínua em 0= x mas não é derivável aí, pois

 x x f 

2

1)( =′    x > 0 e

hhh

h

hh

h f 

hh

 f h f 

 x

 f 1

00

)(

0

)0()(

0)0( limlimlimlim

→=

→=

→=

→=′ que

não existe e, portanto,  f  não é derivável neste ponto. 

Prova: Como )( 0 x f ′ existe, devemos mostrar que )()( 0

0

lim x f  x f 

 x x

=→

ou , equivalentemente, que

)()(0

00lim x f h x f 

h

=+→

.

Com efeito, se 0≠h , então

hh

 x f h x f  x f h x f  ⋅

−++=+

)()()()( 00

00  

Assim,

h

hh

 x f h x f 

h

 x f 

h

h x f 

hlimlimlimlim

0

)()(

0)(

0)(

0

0000

→⋅

−+

→+

→=+

→ 

)(0)()( 000 x f  x f  x f  =⋅′+=  

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  149

 

Exemplo: A função ( )  f x x= não é derivável em 0 x = , embora seja contínua aí 

Solução: À direita da origem ( 0 x > )

( ) ( ) 1d d 

 x xdx dx= =  

e

(0 ) (0)(0) 1lim lim

0 0

  f h f h f 

h hh h+

+ +

+ −′ = = =

→ → 

À esquerda da origem ( 0) x < ,

( ) ( ) 1d d 

 x xdx dx

= − = −  

e

(0 ) (0)(0) 1lim lim

0 0

  f h f h f 

h hh h−

− −

+ − −′ = = = −

→ → 

Como (0) (0) f f + −′ ′≠ , tem-se que  f  não é derivável 0 x = .

3.5 Regras de Derivação

Teorema 3.5. Se  f  e g são funções deriváveis em  x , então as seguintes combinações são deriváveis em  x  

1. Soma:  f g+ e ( ) ( ) ( ) ( ) f g x f x g x′

′ ′+ = + ;

2. Diferença:  f g− e ( ) ( ) ( ) ( ) f g x f x g x′

′ ′− = − ;

3. Produto: ( ) f g⋅ e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g x f x g x f x g x′ ′ ′⋅ = + ;

Considerações sobre a Definição:

(a)  Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais à direita e à esquerda nesseponto existem e são iguais;

(b)  Quando as derivadas laterais à direita e à esquerda existem e são diferentes em um ponto 0 x ,

dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função )( x f  y = . Neste caso,  f  não éderivável em 0 x ;

(c)  Se uma das derivadas laterais não existe em um ponto 0 x , então  f  não será derivável em 0 x .

Figura 10

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  150

4. Quociente f 

g

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e[ ]

2

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

 f g x f x f x g x x

g g x

′′ ′⎛ ⎞ −

=⎜ ⎟⎝ ⎠

, desde que ( ) 0g x ≠ ;

5. Constantes Múltiplas: k f ⋅ e ( ) ( ) ( )k f x k f x′ ′⋅ = ⋅ , para todo número real  k .

No Moodle...

Exemplo: Aplicando as regras de derivação

Determine as derivadas das seguintes funções:

(a) 2 3( ) ( 2 )( 1)  f x x x x= + +  

(b)5

3

2( )

1

 xg x

 x=

(c)4 3

( ) 2h x x x x= + +  

(d)   y x x=  

Solução: (a) 2 3 2 3( ) ( 2 ) ( 1) ( 2 )( 1)  f x x x x x x x′ ′ ′= + ⋅ + + + + =2 3 2 3[( ) (2 ) ] ( 1) ( 2 ) [( ) (1) ]  x x x x x x′ ′ ′ ′= + ⋅ + + + ⋅ + =

3 2 2(2 2) ( 1) ( 2 ) (3 0)  x x x x x= + + + + + ⋅ + =3 2 2(2 2) ( 1) ( 2 ) (3 )  x x x x x= + + + + + ⋅  

(b)

5 3 5 3

3 2

(2 ) ( 1) (2 ) ( 1)( ) ( 1)

  x x x xg x  x

′ ′⋅ + − ⋅ +′ = + =

4 3 5 2

3 2

10 ( 1) (2 ) (3 0)

( 1)

  x x x x

 x

⋅ + − ⋅ +=

+=

4 3 5 2

3 2

10 ( 1) (2 ) (3 )

( 1)

  x x x x

 x

⋅ + − ⋅=

(c) 4 3( ) ( ) ( ) (2 )h x x x x′ ′ ′ ′= + + 3 24 3 2 x x= + +  

Olá pessoal, visite a plataforma MOODLE e resolva os seguintes exercícios:

(i) Prove o Teorema 3.5 (Regras de Derivação)

(ii) Mostre que 1)( −= nn nx xdx

d , onde n é um número real

(Derivada da Potência)

(iii) Mostre que ( ) 0=C dx

d , onde C  é uma constante.

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  151

(d) ( )  y x x′ ′= ( ) ( )  x x x x′ ′= ⋅ + ⋅ 1 21 [( ) ]  x x x ′= ⋅ + ⋅1

121

2  x x x

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠= + ⋅ ⋅ =

2

 x x

 x= +

2

 x x x

 x x= + ⋅

( )2

2

 x x x

 x

= +  2

 x x x

 x= +

2

 x x= +  

3.6. Derivada das Funções Elementares do Cálculo

Nesta seção apresentaremos as derivadas das funções elementares: exponencial, logarítmica e trigonométricas.

Exemplo: Determinar a derivada de cada uma das seguintes funções:

(a)  2  y x senx= +  

(b) 2 x  y tgx e= +  

(c) ln  y x x=  

(d) sec cos  y x x x= +  

Solução: (a) 2( )  y x senx′ ′= + 2 cos x x= +  

(b) ( 2 ) x  y tgx e′ ′= + ( ) (2 ) xtgx e′ ′= + 2sec 2 x x e= +  

(c) ( ln ) ( ) ln (ln ) y x x x x x x′ ′ ′ ′= = +1

ln 1 ln  x x x x

= + ⋅ = +  

(d) (sec ) ( cos )  y x x x′ ′ ′= + sec 1 cos ( )  x tgx x x senx= ⋅ + ⋅ + ⋅ − sec cos  x tgx x x senx= ⋅ + − ⋅  

3.7. Regras de L’Hospital

Nesta seção apresentaremos um método para levantar indeterminações do tipo0

ou0

∞. Esse método é

dado pelas Regras de L’Hospital dadas a seguir.

Teorema 3.7.(Regras de L’hospital): Sejam e g f  funções deriváveis num intervalo aberto  I , exceto,

possivelmente, em um ponto a I ∈ . Suponhamos que ( ) 0, x a em Ig x′ ≠ ∀ ≠ .

Função Derivada( ) f x   ( ) f x′  

01  xe    xe  02  lnx 1/  x03 senx   cos x  04 cos x   senx−  

05 tgx   2sec x  06 cot gx   2cossec x−  07 sec x   sec x tgx⋅  08 cossec x   cos sec cot  x gx− ⋅  

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  152

(i) Se ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0 e , entãolim lim lim lim( ) ( ) ( )x a x a x a

limf x f x f x

  f x g x L Lg x g x g x x a x a

′ ′= = = = =

′ ′→ → → →→ 

(ii) Se( ) ( ) ( )

( ) ( ) e , entãolim lim lim lim lim( ) ( ) ( )x a x a x a

  f x f x f x  f x g x L L

g x g x g x  x a x a

′ ′= = ∞ = = =

′ ′→ → → → → 

Exemplo: Determine os seguintes limites:

(a)2

2

6 lim

3 22

 x x

 x x x

+ −

− +→ 

(b) lim20

x x

  x senx

e e x−

− +

+ −→ 

(c) 3

1

 lim 4

 xe

 x x x

+→∞  

Solução: Aplicando as Regras de L’hospital, temos

(a)2

2

6 2 1 2 2 1 55lim lim

3 2 2 3 2 2 3 12 2

  x x x

  x x x x x

+ − + ⋅ += = = =

− + − ⋅ −→ → 

(b)1 cos

0lim lim lim20 0 0

  x x x x x x

  x senx x senx

e e e e e e  x x x− − −

− + − + −= = =

+ − − +→ → → 

(c) 3 21 lim lim lim lim4 3 4 6 6

  x x x x

e e e e  x x x x  x x x x

− = = = = +∞+ +→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

 

3.8. Derivação de Função Composta

Consideremos duas funções  f  e g onde ( )u g x= . Para todo  x tal que ( )g x está no domínio de  f  ,

podemos escrever ( ) ( ( )) y f u f g x= = , isto é, podemos considerar a função composta ( )( ) ( ( )) f g x f g x= .

Observação: As Regras de L’hospital são válidaspara limites laterais e limites no infinito.

Considerações sobre o Teorema 3.7:

(i) Se  L(x)g

(x) f  

a x

 xg

a x

 x f 

a x

=′′

′′

→=′

→=′

→limlimlim  e 0)()( , então  L

 xg

 x f =

→ )(

)(

axlim  

e assim sucessivamente...

(ii) Se  L(x)g

(x) f  

a x

 xg

a x

 x f 

a x

=′′

′′

→∞=′

→=′

→limlimlim  e )()( , então

 L xg

 x f =

→ )(

)(

axlim  e assim sucessivamente...

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  153

Por exemplo, uma função tal como 2 7( 5 2)  y x x= + +  pode ser vista como a composta das funções

7 ( ) y u f u= = e 2 5 2 ( )u x x g x= + + = .

Teorema 3.8. A Regra da CadeiaSe ( ) f u é derivável no ponto ( )u g x= e ( )g x é derivável em  x , então a função composta

( )( ) ( ( )) f g x f g x= è derivável em  x e

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) f g x f g x g x f u u′ ′ ′ ′ ′= ⋅ = ⋅  

Na notação de Leibniz, se ( )  y f u= e ( )u g x= , então

dy dy du

dx du dx= ⋅ ,

ondedy

dué calculado em

( )u g x= .

Exemplo: Dada a função 2 7( 5 2)  y x x= + + , determinardy

dx.

Solução: Vimos anteriormente que podemos escrever

7 ( )  y u f u= = , onde 2 5 2 ( )u x x g x= + + =  Assim, pela Regra da Cadeia,

dy dy du

dx du dx= ⋅   67 (2 5)u x= ⋅ + 2 67( 5 2) (2 5)  x x x= + + ⋅ + .

Exemplo: Dada a função3 2(2 ) cos x  y e sen x x= + + , determinar

dy

dx 

Solução: Sejam 2 , 2u x v x= = e cosw x= . Assim, podemos escrever

2u  y e senv w= + +  

Assim, pela Regra da Cadeia,3 2 2( (2 ) cos ) ( ) x u  y e sen x x e senv w′ ′ ′= + + = + +  

2( ) ( ) ( ) (cos ) (2 )u ue senv w e u v v w w′ ′ ′ ′ ′ ′= + + = + ⋅ + ⋅  3 23 (cos(2 )) 2 (2cos ) ( ) xe x x x senx= ⋅ + ⋅ + ⋅ −  

323 2cos(2 ) 2 cos x  x e x senx x= ⋅ + − ⋅  3.9. Derivada da Função Inversa

Teorema 3.9. Derivada da Função InversaSeja y = f ( x) uma função definida em um intervalo aberto (a,b). Suponhamos que f ( x) Admita umafunção inversa x = g ( y) contínua. Se f '’( x) existe e é diferente de zero para qualquer ponto x ∈ (a,b),

então g = f  -1 é derivável e vale

1 1'( )

'( ) '( ( ))g y

 f x f g y= = ou

1'( ( ))

'( )g f x

 f x=  

Figura 11

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  154

 

Exemplo 3.9: Seja 2( ) 1 y f x x= = − , 0 x > . Determine (3)g′ , onde 1g f −= .

Solução 1:  1/2( ) 1 ( 1)  x g y y y= = + = + (Verifique!). Daí,

1 11/2( ) ( 1)2 2 1

g y y y

−′ = + =+

.

Em particular,1 1

(3)42 3 1

g′ = =+

 

Solução 2: Pelo Teorema 3.8 ,

1 1( ) ( ( )) ( ) 2g y g f x  f x x′ ′= = =′  

Em particular,

2 3 x y= ⇔ =  Assim,

1 1 1(3)

(2) 2 2 4g

 f ′ = = =

′ ⋅.

3.10. Derivada da Função Implícita

3.10.1. Função na Forma Implícita

Dizemos que a função ( )  y f x= é definida implicitamente pela equação ( , ) 0F x y =  se ao substituirmos   y  

por ( ) f x nesta equação obtemos uma identidade, isto é, ( , ( )) 0F x f x = .

Exemplo: A equação12 1 02

 x y+ − = define implicitamente a função 22 (1 ) y x= ⋅ − . De fato, substituindo

22 (1 ) y x= ⋅ − na equação12 1 02

 x y+ − = , obtemos a identidade 2 212(1 ) 1 0

2 x x+ ⋅ − − = .

3.10.2. A Derivada de uma Função na Forma Implícita

Suponhamos que a equação ( , ) 0F x y = define implicitamente uma função derivável ( )  y f x= . Usaremos a

Regra da Cadeia para determinar  y′ sem explicitar  y .

Exemplo: Sabendo que ( )  y f x= é definida implicitamente pela equação 2 32 2  xy y x y+ = + , determinar y’.

Solução: Derivando ambos os membros desta equação em relação à  x  e supondo que ( )  y f x= é derivável,obtém-se:

2 3( 2 ) ( 2 )  xy y x y′ ′+ = +  

 2 3

( ) (2 ) ( ) (2 )  xy y x y′ ′ ′ ′+ = +  

Prova: Sendo 1−= f g , tem-se que  x x f g =))(( , para todo ),( ba x ∈ e usando a Regra daCadeia, conclui-se

)(

1))((1)())((

 x f  x f g x f  x f g

′=′⇔=′⋅′  

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155

 2 22 6 1 2 y x y y y y y′ ′ ′+ ⋅ ⋅ + ⋅ = +  

Isolando  y′ na última igualdade, temos2

2

1

2 6 2

 y y

  xy y

−′ =

+ − 

Em particular, o ponto (1,1)P está na curva ( )  y f x= e aí,

(1,1) 0 y′ =  

E a equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por

1 0 ( 1) 1  y x y− = ⋅ − ⇔ =  

Se

Cocime

Ampliando o seu Conhecimento Ampliando

Você sabia que só no século XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziramas coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos emproblemas algébricos e estudar analiticamente funções? A Matemática recebeu assimum grande impulso, notadamente na sua aplicabilidade a outras ciências. Os cientistaspassam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar afórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daí, todo o estudo sedesenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por ouro lado, a introdução decoordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” denovas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis.

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deuconta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendoaquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante

reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráficonum dado ponto. Esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o“Problema da Tangente”.

Fermat notou que, para certas funções nos pontos onde a curva assumia valoresextremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valorassumido num desses pontos ( , ( ))P x f x com valor assumido no outro ponto

( , ( ))Q x h f x h+ + próximo de P , a diferença entre ( )  f x h+ e ( ) f x era muito pequena,

quase nula, quando comparada com o valor de h , diferença das abcissas de Q e P . Assim, o

problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamenterelacionados.

Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA e  levou Laplace aconsiderar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat nãodispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido.

No século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Diferencial, introduzindo os conceitos devariável, constante e parâmetro, bem como a notação de dx e dy, para designar os infinitésimosem  x e em  y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como“Cálculo Infinitesimal” 

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156

4. Avaliando o que foi construído

No Moodle...

Dialogando e Construindo Conhecimento

5.Referências

1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO EINTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987.2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994.3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a Edição, 2002. 

Na plataforma MOODLE, no espaço reservado à disciplina CálculoDiferencial e Integral I, você poderá testar seus conhecimentos a respeito do temaDerivadas. Dedique-se à resolução das tarefas relacionadas a este assunto.

Encontrar-nos-emos no MOODLE. Até lá!

Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Visiteconstantemente a plataforma MOODLE, faça as tarefas nela propostas Procureos Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum tema que não tenha sidobem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo eajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Participe! Acredite emseu potencial e conte conosco.