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Cálculo de Parâmetros de Cabos Subterrâneos para

Redes de Distribuição

Norberto dos Santos Nunes

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Doutor Gil Domingos Marques

Orientador: Prof. Doutor Luís António Fialho Marcelino Ferreira

Co-Orientador: Prof. Doutor Pedro Manuel Santos de Carvalho

Vogais: Prof. Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus

Setembro de 2007

i

Agradecimentos

O autor deseja agradecer aos Professores Marcelino Ferreira e Pedro Carvalho,

responsáveis pela orientação científica do trabalho desenvolvido, e especialmente

ao Professor Pedro Carvalho, toda a confiança e empenho sempre manifestados.

A disponibilidade e apoio evidenciados constituíram factores de motivação

importantes para o sucesso do trabalho realizado.

O autor deseja expressar o seu profundo agradecimento ao Engenheiro Carlos

Santos, da EDP, e em especial à Professora Eduarda Pedro, pelo apoio e

disponibilidade sempre evidenciados.

O autor deseja também deixar uma palavra de apreço ao colega Hussein Umarji,

com quem debateu, por diversas vezes, ao longo do trabalho os seus pontos de

vista, agradecendo o apoio e amizade manifestadas.

Por último, o autor deseja ainda agradecer à sua família, namorada e amigos por

todo o apoio dado ao longo do curso, apoio esse que se revelou fundamental para

a concretização dos seus objectivos.

ii

Resumo

A tese apresentada é sobre o cálculo de parâmetros de cabos subterrâneos em

redes de distribuição de energia eléctrica. Uma das formas de se efectuar, tanto o

transporte como a distribuição de energia, é precisamente através do uso de

cabos subterrâneos.

Desta forma, o objectivo principal do trabalho é desenvolver uma ferramenta

informática que permita realizar o cálculo dos parâmetros de cabos subterrâneos.

Os parâmetros referidos são a resistência, a indutância e a capacidade eléctrica.

A ferramenta de cálculo desenvolvida permite, mediante um conjunto de factores

que envolvem qualquer cabo subterrâneo, obter os parâmetros característicos

desse mesmo cabo. Verifica-se o impacto que os diversos factores que rodeiam

um cabo subterrâneo têm nos parâmetros do mesmo. Compara-se os resultados

obtidos com outros programas informáticos de elevado reconhecimento e

fiabilidade, nomeadamente o Cable Constants do ATP/EMTP – Electromagnetic

Transients Program, bem como com os catálogos disponibilizados por fabricantes.

Por último realiza-se a análise em frequência dos parâmetros característicos dos

cabos. Analisa-se também a variação dos parâmetros de cabos subterrâneos na

frequência, em função das características de instalação dos mesmos, tais como a

ligação de terra do cabo e a ligação entre bainhas em sistema trifásicos de cabos

subterrâneos.

Concluiu-se que os resultados obtidos são muitos próximos dos valores

fornecidos, tanto pela aplicação de cálculo disponível no EMTP, como nos

catálogos disponibilizados por fabricantes.

iii

Palavras-chave

Redes de Distribuição de Energia Eléctrica

Cabos Subterrâneos

Cálculo de Parâmetros

Resistência e Capacidade Eléctrica

Indutância

Análise em Frequência

iv

Abstract

The Thesis presented is about the calculation parameters for underground cables

on power systems of distribution networks. One of the ways in which both transport

and power distribution can be made is precisely through the use of underground

cables.

Therefore, the main aim of this project is to develop an informatics tool, which

allows us to calculate parameters for underground cables. The referred parameters

are resistance, inductance and electrical capacity.

The developed calculation tool allows us to achieve the characteristics parameters,

according to a number of factors which involve any underground cable, and

therefore achieve the characteristic parameters for this cable. We verified the

impact of several factors that involve the cable in it’s own parameters.

In it we compare the results obtained with other informatics programs that have

high recognition and reliability, namely the cable constants from ATP/EMTP –

Electromagnetic Transients program, as well as with catalogues available from

manufactures.

Finally, we carried out the analysis of the characteristic parameters of an

underground cable in function of frequency. The work also analyses the variation

of parameters according to the installation characteristics of the cables, such as

the ground connection of the cable, and the connection between the sheaths on

tree phase systems of underground cables.

We have concluded that the results obtained are very close to the values

presented both by Cable Constants of ATP/EMTP and in catalogues made

available by manufactures.

v

Key Words

Power Systems of Distribution Networks

Underground cables

Parameters Calculation

Electrical Resistance and Capacity

Inductance

Frequency Analysis

vi

Índice

Capítulo 1 Introdução....................................................................................

1.1 Enquadramento............................................................................

1.2 Motivação.....................................................................................

1.3 Organização do Texto..................................................................

Capítulo 2 Metodologia do Cálculo de Parâmetros.......................................

2.1 Introdução....................................................................................

2.2 Metodologia ……..........................................................................

2.3 Generalização para um Sistema de três Cabos Subterrâneos....

2.4 Efeito de Proximidade..................................................................

Capítulo 3 Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas.

3.1 Introdução....................................................................................

3.2 Redução do Sistema Matricial.....................................................

3.2.1 Eliminação dos condutores ligados à terra.......................

3.2.2 Eliminação dos condutores agrupados por fase...............

3.2.3 Transformação do sistema em componentes simétricas..

3.3 Ligações entre Bainhas: cross bonding.......................................

Capítulo 4 Análise e Comparação dos Resultados Obtidos..........................

4.1 Estrutura Abreviada do Programa de Cálculo..............................

4.2 Análise dos Resultados Obtidos..................................................

4.2.1 Exemplo de cálculo dos parâmetros aplicado a um caso

particular............................................................................

4.2.2 Influência dos materiais.....................................................

4.2.3 Influência da temperatura.................................................

4.2.4Influência do tipo de solo e da profundidade de

enterramento dos cabos....................................................

4.2.5 Influência da distância de separação................................

4.3 Comparação de Resultados com Programas Reconhecidos.......

1

2

3

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29

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vii

4.4 Comparação de Resultados com Catálogos................................

Capítulo 5 Análise em Frequência.................................................................

5.1 Introdução....................................................................................

5.2 Análise em Frequência dos Parâmetros......................................

5.3 Ligação à terra.............................................................................

5.4 Ligação entre Bainhas: cross bonding.........................................

Capítulo 6 Conclusão....................................................................................

6.1 Conclusões Principais..................................................................

6.2 Outras Conclusões: abordagens futuras......................................

Referências Bibliográficas..................................................................

65

69

70

71

73

75

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78

79

81

viii

Lista de Figuras

Fig. 1 Corte transversal de um cabo subterrâneo unipolar (single-

core cable)..................................................................................

Fig. 2 Condutor tubular de raio interior q e raio exterior r.....................

Fig. 3 Sistema de 3 cabos subterrâneos unipolares semelhantes,

dispostos em esteira e espaçados de igual distância, com

representação dos loops de corrente que se fecham pela

terra............................................................................................

Fig. 4 Ilustração de 2 cabos subterrâneos denominados por cabos i

e k, enterrados a uma profundidade h e y, respectivamente, e

separados por uma distância x...................................................

Fig. 5 Ilustração da transformação de um sistema inicial de 2

condutores por cada uma das fases a’, b’ e c’ do sistema, para

um sistema de apenas 1 condutor (equivalente) por cada fase

Fig. 6 Ilustração do método de cross bonding onde as bainhas estão

ligadas à terra em ambos os extremos.......................................

Fig. 7 Ligação entre bainhas................................................................

Fig. 8 Circuito equivalente representado em termos de parâmetros

concentrados..............................................................................

Fig. 9 Variação da resistência com a temperatura...............................

Fig. 10 Tipos de geometria do sistema de cabo.....................................

10

13

22

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31

37

39

40

53

56

ix

Fig. 11 Comparação das componentes directa e inversa da

resistência de um sistema de cabos disposto em Esteira e em

Triângulo.....................................................................................

Fig. 12 Comparação das componentes directa e inversa da indutância

de um sistema de cabos dispostos em Esteira e em

Triângulo.....................................................................................

Fig. 13 Parâmetros do sistema de cabos subterrâneos.........................

Fig. 14 Resultados obtidos usando o EMTP..........................................

Fig. 15 Catálogo disponibilizado pela ABB, para vários cabos

unipolares de diversas secções com tensão nominal 60 KV.....

Fig. 16 Comparação dos valores da capacidade com os dados

relativos ao catálogo para vários valores de secção..................

Fig. 17 Comparação dos valores da indutância para as disposições

em esteira e triângulo com do dados do catálogo para varias

secções.......................................................................................

Fig. 18 Valores da componente directa da resistência em função da

variação da frequência...............................................................

Fig. 19 Valores da componente directa da indutância em função da

variação da frequência...............................................................

Fig. 20 Variação na frequência da resistência para diferentes tipos de

ligação à terra.............................................................................

Fig. 21 Variação na frequência da indutância para diferentes tipos de

ligação à terra.............................................................................

57

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x

Fig. 22 Variação na frequência do valor da resistência para as

situações a) bainhas interligadas em cross bonding, b)

ausência de ligação entre as bainhas........................................

Fig. 23 Variação na frequência do valor da indutância para as

situações a) bainhas interligadas em cross bonding, b)

ausência de ligação entre as bainhas........................................

75

76

xi

Lista de Tabelas

Tabela 4.1.1 Dados relativos a cada um dos cabos do sistema.....................

Tabela 4.1.2 Dados relativos à disposição geométrica do sistema de cabos,

considerando um referencial fixado no cabo 1...........................

Tabela 4.2 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos em

componentes simétricas.............................................................

Tabela 4.3 Características de vários tipos de materiais...............................

Tabela 4.4.1 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos

relativos a vários condutores metálicos......................................

Tabela 4.4.2 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos

relativos a vários isolamentos.....................................................

Tabela 4.5 Valores de condutividade e resistência para várias

temperaturas de operação..........................................................

Tabela 4.6 Parâmetros do sistema para vários valores de resistividade do

solo.............................................................................................

Tabela 4.7 Parâmetros do sistema para diversos valores de profundidade

de enterramento.........................................................................

Tabela 4.8.1 Parâmetros do sistema de cabos dispostos em esteira.............

Tabela 4.8.2 Parâmetros do sistema de cabos dispostos em triângulo..........

Tabela 4.9.1 Dados relativos a cada um dos cabos do sistema.....................

48

49

49

50

51

51

53

54

55

56

57

62

xii


considerando um referencial fixado no cabo 1...........................

Tabela 4.10 Resultados obtidos com a ferramenta de cálculo usando os

valores de cabos indicados na Fig. 13.......................................

62

67

- 1 -

____________________________

Capítulo 1 ____________________________

Introdução

Neste capítulo é apresentada uma introdução ao problema do cálculo de

parâmetros em redes de distribuição de energia eléctrica. Efectua-se a

contextualização do referido problema e descreve-se as principais dificuldades

inerentes ao tema que irá ser alvo de um estudo detalhado. Apresenta-se a

abordagem efectuada inicialmente, e salienta-se qual o caminho que foi seguido

posteriormente. Procura-se também evidenciar o contributo do estudo para

futuras abordagens ao tema e descreve-se a forma como o texto da tese está

estruturado e organizado pelos vários capítulos que o compõem.

Introdução

- 2 -

1.1 Enquadramento

As redes de distribuição de energia eléctrica têm como finalidade disponibilizar e

fornecer energia eléctrica às instalações consumidoras. Os cabos subterrâneos

são elementos que fazem parte de qualquer rede de distribuição, assumindo-se

como um dos elementos mais importantes das mesmas na distribuição

energética. Um cabo subterrâneo pode assumir várias formas e constituições. No

contexto das redes de distribuição, um cabo tem tipicamente uma secção circular,

sendo constituído por diversas camadas condutoras, separadas entre si por

camadas isolantes. Geralmente, cada um dos cabos é composto por um núcleo e

uma bainha, separados entre si e da terra por elementos com propriedades

isolantes. Em determinadas aplicações, um cabo subterrâneo pode ter na sua

constituição, além dos elementos já citados, uma armadura exterior e uma outra

camada isolante a separar a bainha da armadura. É importante salientar que o (1)

núcleo, (2) a bainha e (3) a armadura são tipicamente elementos com

propriedades condutoras, embora as bainhas e armaduras possam também ter

propriedades simultaneamente condutoras e isolantes. O núcleo é o elemento

mais importante no cabo pois, é nele que circula a maior parte da corrente que

percorre o cabo subterrâneo. A bainha é um elemento, cuja função essencial é a

protecção eléctrica do cabo, enquanto que a armadura, caso exista, serve quase

exclusivamente para protecção mecânica do mesmo. Os restantes elementos

servem para isolar o campo eléctrico proveniente de cada um dos condutores à

superfície dos mesmos, procurando confinar a corrente nos referidos elementos.

A abordagem tomada inicialmente foi direccionar o presente estudo às redes de

distribuição mas, devido ao facto de existir uma grande diversidade de cabos

subterrâneos, achou-se por bem estender o estudo às redes de transporte de

energia eléctrica. Desta forma, considera-se no presente texto, para efeitos de

cálculo, que os cabos têm uma armadura na sua constituição. Relativamente à

forma da secção de cada cabo subterrâneo, achou-se conveniente restringir o

estudo realizado aos cabos unipolares de forma circular. Esta abordagem deve-se

essencialmente ao facto de cada vez mais os cabos instalados apresentarem o

referido formato. Um outro aspecto considerado, é o facto de toda a metodologia

de cálculo e inclusivamente os exemplos referidos no presente texto, se

Introdução

- 3 -

reportarem a sistemas trifásicos de cabos subterrâneos. A razão desta

abordagem é motivada pelo facto da quase exclusividade dos sistemas de cabos

incorporados nas redes de distribuição serem trifásicos.

1.2 Motivação

O objectivo principal do trabalho detalhado no presente texto, trata-se em primeira

instância de desenvolver uma ferramenta que permita realizar o cálculo dos

parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos, de forma simples e concisa,

permitindo uma fácil comparação dos resultados obtidos com outras ferramentas

existentes. Posteriormente, e caso os resultados sejam satisfatórios, pretende-se

aplicar toda a metodologia e algoritmos usados na aplicação desenvolvida, em

aplicações informáticas profissionais de análise de redes eléctricas. Em relação

ao teste e validação dos resultados obtidos, procura-se primeiramente, compará-

los com aplicações de cálculo informáticas de elevada fiabilidade. De entre os

vários programas informáticos existentes e disponibilizados gratuitamente, apenas

se encontrou uma aplicação fiável e com resultados credíveis. A aplicação em

questão é o programa EMTP - Electromagnetic Transients Program [7].

Posteriormente, efectua-se a comparação dos resultados obtidos com os dados

relativos a parâmetros de cabos, fornecidos por fabricantes conhecidos e com

grande experiência. A comparação é realizada em relação a um conjunto de

cabos pertencentes aos catálogos da ABB e que são usados pela EDP na sua

actividade corrente. Relativamente à metodologia de cálculo desenvolvida,

efectua-se todo um tratamento matemático, levando em consideração múltiplos

aspectos que envolvem o cálculo, e que têm influência nos parâmetros

característicos de um cabo ou de um sistema de cabos subterrâneos. Aspectos

como (1) a frequência, (2) a ligação à terra e (3) a ligação entre bainhas, no caso

de sistemas trifásicos, são estudados mais pormenorizadamente num capítulo

dedicado exclusivamente à análise do impacto destas grandezas nos parâmetros

dos cabos subterrâneos. Fenómenos como os efeitos pelicular e de proximidade,

bem como as elevadas perdas energéticas impostas por correntes que circulam

nas bainhas, são justificação para a saliência dada aos referidos aspectos.

Introdução

- 4 -

Procura-se também através do estudo efectuado, perceber qual a variabilidade

dos parâmetros dos cabos subterrâneos em função de diversos aspectos

relacionados com os mesmos. Procede-se à exemplificação de casos concretos,

analisando a influência de aspectos, tais como (1) materiais constituintes dos

cabos, (2) tipo de solo, (3) profundidade de enterramento, (4) temperatura dos

cabos e (5) disposição geométrica do sistema.

1.3 Organização do texto

O texto da tese está organizado em seis capítulos. Os capítulos 2 e 3 são

destinados à descrição dos algoritmos usados e da metodologia de cálculo

seguida. O capítulo 4 prende-se com a análise da influência que os vários

aspectos, directamente relacionados com os cabos subterrâneos, têm nos seus

parâmetros. O capítulo 5 destina-se à análise na frequência dos parâmetros de

sistemas de cabos subterrâneos. O capítulo 6 conclui a tese.

De seguida, apresenta-se uma descrição mais detalhada do conteúdo de cada

capítulo.

No capítulo 2 é apresentada uma descrição da metodologia usada no âmbito da

temática do cálculo de parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos. O

problema é abordado num contexto de engenharia, embora também sejam

estudadas situações de natureza mais teórica. Relativamente ao método e aos

algoritmos usados, procura-se dar relevo à sua concepção em detrimento da

componente de programação que os envolve. São também tomadas em

consideração algumas situações que influenciam consideravelmente os

resultados finais e as conclusões que daí possam advir.

No capítulo 3 é abordada a descrição do sistema em coordenadas simétricas

pois, no caso concreto de um sistema trifásico, ao conseguir-se calcular os

parâmetros e descrevê-los separadamente em relação às fases do referido

sistema, não se obtém informação de grande relevância. Transforma-se então o

sistema em cada uma das suas fases numa notação relativa às suas

Introdução

- 5 -

componentes directa, inversa e homopolar. Para realizar a transformação,

efectua-se a redução do sistema inicial mediante as condições de ligação à terra

do mesmo. A redução do sistema nas referidas componentes obedece a

determinados algoritmos que são explicitados detalhadamente. Outro aspecto que

assume especial relevância é a forma de ligação entre as bainhas, que pode

trazer vantagens sobretudo ao nível do equilíbrio do sistema trifásico de

correntes. A forma de ligação usada é designada por cross bonding e é também

alvo de uma análise detalhada.

No capítulo 4 descreve-se o cálculo de parâmetros de um sistema de cabos

subterrâneos como um processo onde intervêm diversos aspectos que

influenciam significativamente os resultados do mesmo. Neste contexto, é

extremamente importante que se adquira uma certa sensibilidade na análise dos

resultados em si, como também da variabilidade dos mesmos em função da

alteração de certos aspectos que envolvem o referido cálculo. Desta forma,

procura-se perceber qual a variação dos parâmetros consoante o tipo de

condições que rodeiam todo o procedimento. Outro aspecto importante é o teste e

comparação dos resultados obtidos. A comparação é primeiramente efectuada

em relação a programas de elevado reconhecimento e fiabilidade.

Posteriormente, é também realizada a comparação com dados reais, recorrendo a

catálogos fornecidos por fabricantes.

No capítulo 5 procura-se estudar o efeito que a variação da frequência provoca

nos parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos. Outro aspecto com grande

relevância é a ligação à terra do sistema, que assume importância não apenas na

protecção dos cabos e das pessoas que circulam em seu redor, mas também pelo

forte impacto provocado nos parâmetros do sistema. Faz-se referência a um

aspecto que ocorre em sistema trifásicos que é a ligação entre bainhas dos cabos

subterrâneos. Esta situação assume especial importância na protecção dos

equipamentos e nas perdas que ocorrem no sistema, manifestando também

bastante influência nos parâmetros que o caracterizam.

No capítulo 6 são apresentadas as principais conclusões que têm por base o

trabalho de investigação desenvolvido sobre a problemática do cálculo de

Introdução

- 6 -

parâmetros de cabos subterrâneos em redes de distribuição. Discute-se os

resultados que se obtiveram, tomando em consideração vários aspectos que têm

grande influência no contexto pretendido. Aponta-se alguns aspectos ainda não

muito esclarecidos, segundo os quais pode ser desenvolvido um trabalho de

investigação mais intenso, e que no contexto da problemática abordada no texto

da tese assumem especial interesse e importância.

- 7 -

___________________________

Capítulo 2 ____________________________

Metodologia do Cálculo de Parâmetros

Neste capítulo é apresentada uma descrição da metodologia usada no âmbito da

temática do cálculo de parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos. O

problema é abordado num contexto de engenharia, embora também sejam

estudadas situações de natureza mais teórica. Relativamente ao método e aos

algoritmos usados, procura-se dar relevo à sua concepção em detrimento da

componente de programação que os envolve. São também tomadas em

consideração algumas situações que influenciam consideravelmente os

resultados finais e as conclusões que daí possam advir.

Metodologia de Cálculo de Parâmetros

- 8 -

2.1 Introdução

Existe uma grande diversidade de cabos subterrâneos que diferem sobretudo na

(1) constituição, (2) forma e (3) materiais que constituem as diversas estruturas

que os compõem [1]. Em relação à forma, assume-se para efeitos de cálculo, que

os cabos usados têm secção circular e formato cilíndrico. Esta simplificação deve-

se essencialmente a duas motivações que são: uma maior simplicidade de cálculo

e o facto de em termos práticos, a maior parte dos cabos usados ser de formato

cilíndrico. Relativamente à constituição dos cabos, é de salientar que a grande

diferenciação existente, se centra sobretudo no facto de estes possuírem ou não

armadura. Para aplicações usadas ao nível da distribuição de energia os cabos

usados raramente têm armadura, tornando mais fácil o acesso e manuseamento

dos mesmos [5]. A existência de armadura, verifica-se sobretudo quando estão

envolvidas potências muito elevadas, como acontece para os sistemas em redes

de transporte de energia. A metodologia usada prevê as duas situações referidas,

embora toda a metodologia que irá ser apresentada posteriormente, seja

efectuada considerando a existência de armadura. A implementação é mais

complexa mas, a análise torna-se mais global.

Outro aspecto que assume grande relevância é a forma de ligação à terra das (1)

armaduras e sobretudo das (2) bainhas [1]. Para o método usado assume-se que

no caso de um elemento estar ligado à terra, a ligação é realizada nos terminais

do mesmo, de forma a existir uma diferença de potencial nula entre as

extremidades. Desta forma, será possível usar várias configurações de ligações à

terra, consoante o tipo de constituição dos cabos, bem como o tipo de sistema de

cabos existente. No caso, em que o sistema de cabos constitui um sistema

trifásico, considera-se que as bainhas dos cabos estão ligadas entre si em

determinados pontos. A localização destes pontos obedece à regra em que se

divide um cabo de um determinado comprimento em troços finitos, que por sua

vez são divididos em subtroços com um terço deste comprimento. Na metodologia

implementada considera-se para as bainhas, uma ligação à terra que obedece ao

método designado de cross bonding [3].


- 9 -

2.2 Metodologia

Um cabo subterrâneo é uma estrutura constituída por vários elementos com

diferentes finalidades e por isso também com diferentes propriedades

electromagnéticas. Os elementos que constituem o cabo têm propriedades (1)

condutoras, (2) semicondutoras e (3) isolantes. Na formulação que será realizada

considera-se que os cabos subterrâneos são elementos unipolares, ou seja, cada

cabo do sistema tem um único núcleo na sua constituição. Admitindo que um

cabo tenha uma armadura incorporada na sua estrutura, identificam-se três

elementos condutores onde poderá ocorrer circulação de correntes, embora

apenas o núcleo do cabo seja um condutor por excelência [1].

Exemplo:

Considera-se o cabo subterrâneo representado na Fig. 1, constituído por três

possíveis superfícies onde existe circulação de correntes (1) núcleo, (2) bainha e

(3) armadura. Estas superfícies condutoras estão separadas entre si e da terra

respectivamente por superfícies isoladoras, nas quais se destacam (1) isolador

interior, (2) isolador intermédio e (3) isolador exterior. Perante a referida

constituição, estabelecer-se-ão tensões induzidas entre as várias superfícies

condutoras, que caso estejam correctamente ligadas à terra, irão originar vários

loops de corrente entre as referidas superfícies. Desta forma, origina-se o

estabelecimento de malhas de corrente no (1) núcleo com retorno pela bainha, (2)

na bainha com retorno pela armadura e (3) na armadura com retorno pela terra

[2].

O procedimento de estabelecimento destes loops é ilustrado na figura seguinte:


- 10 -

Fig.1: Corte transversal de um cabo subterrâneo unipolar (single-core cable) constituído por núcleo (C), isolamento (I), bainha metálica (S), isolamento de revestimento (B), armadura (A) e isolamento exterior (P). Retirado de [1].

Tomando em consideração o fenómeno representado na Fig. 1, pode-se

descrever o conjunto de loops ou malhas de corrente existentes entre as várias

superfícies condutoras por um sistema matricial de equações. O sistema matricial

permite descrever cada uma das tensões e correntes existentes, em função das

impedâncias e admitâncias do sistema [1]. Com o conhecimento das impedâncias

e admitâncias, entre os vários elementos constituintes de um cabo subterrâneos,

torna-se imediata a obtenção dos parâmetros do mesmo (1) resistência eléctrica,

(2) indutância magnética, (3) capacidade eléctrica e (4) condutância.

A impedância e admitância de um sistema de cabos são definidas

respectivamente a partir das seguintes equações matriciais [1]:

(2.1)

(2.2)

Em que,

(V): vector de tensões, em função de uma distância finita x, ao longo do cabo

VYdxId

IZdxVd

/

/


- 11 -

(I): vector de correntes em função, de uma distância finita x, ao longo do cabo

[Z]: matriz de impedâncias no cabo

[Y]: matriz de admitâncias no cabo

Partindo da equação dada por (2.1), obtém-se a descrição das impedâncias das

três malhas de corrente referidas anteriormente, mediante um sistema matricial de

três equações acopladas.

O sistema matricial é descrito de forma expedita por [1]:

(2.3)

Os elementos da diagonal principal da matriz de impedâncias são as impedâncias

próprias do (1) loop 1, (2) loop 2 e (3) loop 3, respectivamente, que são descritos

por [1]:

Z ’11 = Z ’núcleo_out + Z ‘núcleo/isolamento_interior + Z ‘bainha_in (2.4.1)

Z ’22 = Z ‘bainha_out + Z ‘núleo/isolamento_intermédio + Z ‘armadura_in (2.4.2)

Z ’33 = Z ‘armadura_out + Z ‘armadura/isolamento_exterior + Z ‘terra (2.4.3)

Em que,

Z ‘núcleo_out = impedância interna (por unidade de comprimento do núcleo) de um

núcleo, existindo um caminho de retorno pelo exterior do mesmo através da

bainha.

Z ‘núcleo/isolamento_interior = impedância do isolamento (por unidade de comprimento)

entre o núcleo e a bainha.

Z ‘bainha_in = impedância interna (por unidade de comprimento) de uma bainha de

forma tubular, existindo um caminho de retorno interno que se estabelece pelo

núcleo.

Z ‘bainha_out = impedância interna (por unidade de comprimento) de uma bainha,

existindo um caminho de retorno pelo exterior da mesma através da armadura.

3

2

1

'33

'23

'23

'22

'12

'12

'11

3

2

1

0

0

I

I

I

ZZ

ZZZ

ZZ

dx

dVdx

dVdx

dV


- 12 -

Z ‘bainha/isolamento_intermédio = impedância do isolamento (por unidade de comprimento)

entre a bainha e armadura.

Z ‘armadura_in = impedância interna (por unidade de comprimento) de uma armadura

de forma tubular, existindo um caminho de retorno interno que se estabelece pela

bainha.

Z ‘armadura_out = impedância interna (por unidade de comprimento do núcleo) de uma

armadura, existindo um caminho de retorno pelo exterior da mesma através da

terra.

Z ‘armadura/isolamento_interior = impedância do isolamento (por unidade de comprimento)

entre a armadura e a terra.

Z ‘terra = impedância do loop formado pelo condutor tubular exterior do cabo

(armadura) formando o caminho de retorno pela terra.

Os elementos não diagonais da matriz de impedâncias do sistema matricial dado

por (2.3) são as impedâncias mútuas estabelecidas entre os três loops de

corrente descritos na Fig. 1. As impedâncias mútuas são negativas devido ao

facto de se estabelecerem correntes de direcção oposta ao referencial

previamente designado na Fig. 1. Deste modo, formam-se duas correntes, uma

(1) contrária ao loop 1 e outra (2) contrária ao loop 2.

As impedâncias mútuas referentes ao sistema matricial descrito por (2.3) são

apresentadas de seguida:

Z ’12 =Z ’

21 = - Z ’mútua_loop1/loop2

Z ’23 =Z ’

32 = - Z ’mútua_loop2/loop3

Z ’13 = Z ’31= 0

Em que,

Z ’mútua_loop1/loop2 = impedância mútua (por unidade de comprimento) de uma bainha

tubular formada entre o loop 1 interno e o loop 2 externo.

Z ’mútua_loop2/loop3 = impedância mútua (por unidade de comprimento) de uma

armadura tubular formada entre o loop 2 interno e o loop 3 externo.

As impedâncias mútuas definidas em (2.5.3) são obviamente nulas pois, não

existe ligação física entre o loop 1 e o loop 3.

(2.5.1)

(2.5.2)

(2.5.3)


- 13 -

Relativamente aos termos presentes em (2.4.1), (2.4.2) e (2.4.3), referentes às

impedâncias dos isolamentos, são simplesmente calculados pela expressão:

q

rjZ isol

isolamento ln2

'

(2.6)

Em que,

μisol = permitividade do isolamento

r = raio exterior do isolamento

q = raio interior do isolamento

Caso o cabo não tenha na sua constituição isolamento exterior, ou seja,

isolamento entre a armadura e a terra, o termo Z ‘isolamento é nulo.

Os raios interior e exterior presentes em (2.6) têm que ser coerentes em relação

às unidades.

A representação de um condutor tubular é apresentada a seguir:

Fig. 2: Condutor tubular de raio interior (q) e raio exterior (r). Retirado de [1].


- 14 -

As impedâncias próprias e mútuas de um condutor tubular, semelhante ao

condutor da Fig. 2, dependem da frequência de operação [8,9]. Para calcular os

termos designados em (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3), (2.5.1) e (2.5.2) pode realizar-se,

em primeira análise, uma aproximação para determinadas gamas de frequências,

como sejam as altas e baixas frequências [9]. Esta possível abordagem tem logo

o inconveniente de ser uma aproximação, e apenas de se aplicar a uma restrita

gama de frequências, estando por isso sujeita a erros.

Com o recurso a funções matemáticas, denominadas funções de Bessel [1], pode

expressar-se a impedância de um condutor tubular em função da frequência. A

partir deste tipo de tratamento matemático, consegue-se realizar o cálculo da

impedância de um condutor com forma tubular, para qualquer frequência que se

pretenda.

Desta forma, efectua-se o cálculo das impedâncias internas (próprias) ou mútuas

de um condutor tubular semelhante ao da Fig. 2, recorrendo ao uso das funções

de Bessel e funções de Bessel modificadas, de tipo I e tipo II.

De acordo com [1], as expressões seguintes permitem calcular genericamente as

impedâncias próprias de um condutor tubular (Fig. 2):

Z ‘condutor_in = )()()()(2 110 rmIqmKrmKqmI

Dq

mo

(2.7)

Z ‘condutor_out = )()()()(

2 110 qmIrmKqmKrmIDr

mo

(2.8)

De acordo com [1], as impedâncias mútuas de um condutor tubular são

calculadas a partir da seguinte expressão:

Z ‘condutor_mútua =Drq

2

(2.9)


- 15 -

O parâmetro D citado em [1], que é descrito em (2.7), (2.8) e (2.9), corresponde a

uma operação algébrica que envolve funções de Bessel e funções de Bessel

modificadas de tipo I.

Este parâmetro é apresentado seguidamente:

D = )()()()( 1111 rmKqmIqmKrmI (2.10)

O parâmetro m, que é apresentado em (2.7), (2.8), (2.9) e (2.10), corresponde à

profundidade de penetração do campo eléctrico no interior de um condutor [1].

Este parâmetro é dado por um número complexo, sendo descrito por:

m =

j (2.11)

Os restantes parâmetros existentes nas equações (2.7), (2.8) e (2.9) são:

ρ: resistividade do condutor

q : raio interior do condutor

r: raio exterior do condutor

μ: permitividade do condutor

Relativamente às funções de Bessel usadas em (2.7), (2.8), (2.9) e (2.10), todos

os argumentos das mesmas são números complexos com ângulo de fase

correspondente a 45º. O facto de o parâmetro dado por (2.11), ser argumento de

todas as funções de Bessel descritas, explica o ângulo de fase referido.

A descrição matemática das tensões induzidas e dos loops de corrente, mediante

o sistema matricial de equações descrito por (2.3), não apresenta grande utilidade

em termos da representação e cálculo dos parâmetros de um cabo subterrâneo.

De forma a tornar a análise mais prática e sistemática, procura-se representar o

sistema de equações (2.3) em função dos elementos condutores do cabo (1)

núcleo, (2) bainha e (3) armadura. A transformação do sistema representado por

(2.3) para a nova forma de representação é conseguida por introdução de


- 16 -

condições terminais, que exprimem as tensões e correntes nos elementos do

cabo, em função das mesmas grandezas existentes em (2.3).

As condições terminais descritas anteriormente são:

V1 = Vnúcleo - Vbainha

V2 = Vbainha - Varmadura

V3 = Varmadura

(2.12)

I1 = Inúcleo

I2 = Ibainha + Inúcleo

I3 = Iarmadura + Ibainha + Inúcleo

Em que,

Vnúcleo = tensão entre núcleo e a terra

Vbainha = tensão entre a bainha e a terra

Varmadura = tensão entre a armadura e a terra

O procedimento que envolve a transformação estabelece-se através da adição

das linhas 2 e 3 da matriz dada por (2.3) com a linha 1 dessa mesma matriz,

seguindo-se a adição das linhas 2 e 3 da referida matriz. Através de uma ligeira

manipulação algébrica consegue-se descrever o sistema de equações de um

cabo subterrâneo, em função das tensões e correntes dos vários elementos

condutores existentes no mesmo.

Seguidamente faz-se a descrição do procedimento descrito anteriormente:

21 VV = (Vnúcleo - Vbainha) + (Vbainha - Varmadura)

21 VV = Vnúcleo – Varmadura (2.13)

Por (2.12) e através de alguma manipulação algébrica tem-se:

21 II = Inúcleo + Iarmadura (2.14)

De acordo com (2.3), tem-se:


- 17 -

21 VV = 21

'23

'22

'21

'13

'12

'11

II

ZZZZZZ

(2.15)

Então, por (2.13) e (2.14) tem-se:

Vnúcleo = 21

'23

'22

'21

'13

'12

'11

II

ZZZZZZ

+ Varmadura (2.16)

De acordo com (2.12), tem-se:

Vnúcleo = 21

'33

'32

21

'23

'22

'21

'13

'12

'11

II

ZZ

II

ZZZZZZ

(2.17)

De acordo com (2.3), (2.5.2), (2.5.3) e (2.12) tem-se:

Vnúcleo = 21

'33

'23

'22

'12

'11 22

II

ZZZZZ

(2.18)

De acordo com (2.18), tem-se finalmente:

Znúcleo = '33

'23

'22

'12

'11 22 ZZZZZ (2.19)

As restantes impedâncias próprias e mútuas de cada um dos elementos

integrantes do cabo, calculam-se de forma análoga ao procedimento efectuado no

cálculo de (2.19).

O sistema matricial obtido será dado por:

armadura

bainha

núcleo

AAAS

SASSSC

CSCC

armadura

bainha

núcleo

I

I

I

ZZ

ZZZ

ZZ

dx

dVdx

dVdx

dV

''

'''

''

0

0

(2.20)

Em que,


- 18 -

'CCZ = '

33'23

'22

'12

'11 22 ZZZZZ (2.21.1)

'CSZ = '

SCZ = '33

'23

'22

'12 2 ZZZZ (2.21.2)

'SSZ = '

33'23

'22 2 ZZZ (2.21.3)

'SAZ = '

ASZ = '33

'23 ZZ (2.21.4)

'AAZ = '

terraZ (2.21.5)

No procedimento de obtenção da matriz de admitâncias presente em (2.2),

assume especial relevo, o facto de para as correntes existentes ao longo de um

cabo subterrâneo com a estrutura do referido na Fig. 1, não existirem

acoplamentos entre os vários loops de corrente.

As equações que descrevem os referidos loops serão dadas por:

3'3

'3

3

2'2

'2

2

1'1

'1

1

)(

)(

)(

VCjGdx

dI

VCjGdx

dI

VCjGdx

dI

(2.22)

Em que:

G’1, G’2 e G’

3: são as condutâncias (por unidade de comprimento), para cada

camada de isolamento.

C’1, C’

2 e C’3: são as capacidades (por unidade de comprimento), para cada

camada de isolamento.

A capacidade de um isolamento com formato tubular é dada pela expressão:


- 19 -

q

rC r

ln

2 0' (2.23)

Com:

r : raio exterior da camada de isolamento

q : raio interior da camada de isolamento

ε0 : permitividade absoluta ou constante dieléctrica do ar

εr : permitividade relativa ou constante dieléctrica relativa do material isolante

A condutância é desprezada para efeitos de cálculo pois, na maioria dos casos

assume-se como sendo ressonante. Numa abordagem simplificada, pode-se

descrever a condutância em função do ângulo de perdas dieléctricas.

Usualmente, relaciona-se directamente a condutância com a capacidade através

da equação (2.23), assumindo que a constante dieléctrica relativa é um número

imaginário.

A equação (2.23) pode ser reescrita por:

)(ln

2 '''0''

j

q

rj

CjG (2.24)

Com,

εr = ε’ – jε’’

Para efeitos de cálculo, considera-se que a parte imaginária de εr é nula e a sua

parte real é constante. A simplificação efectuada permite conjecturar que a

constante dieléctrica relativa não sofre variação por variabilidade da frequência, e

que as perdas dieléctricas são nulas. O facto de se desprezar o efeito da variação

de εr, com o aumento da frequência, é de acordo com [8] uma boa aproximação

pois, para frequências inferiores a 200000 MHz as perdas dieléctricas são muito

reduzidas.


- 20 -

À imagem de (2.3) para o caso das impedâncias, também o sistema de

admitâncias de um cabo descrito por (2.22), não oferece grande conveniência em

termos de engenharia. É possível mais uma vez, através das condições impostas

por (2.12), transformar o sistema (2.22), num outro modelo baseado nas tensões

e correntes dos vários elementos condutores do cabo (1) núcleo, (2) bainha e (3)

armadura.

O modelo descrito anteriormente é seguidamente apresentado:

armadura

bainha

núcleo

armadura

bainha

núcleo

V

V

V

YYY

YYYY

YY

dx

dIdx

dIdx

dI

'3

'2

'2

'2

'2

'1

'1

'1

'1

0

0

Em que,

'''iii CjGY com 3,2,1i

2.3 Generalização para um Sistema de três

Cabos Subterrâneos

Uma grande parte das aplicações relacionadas com cabos subterrâneos faz uso

de sistemas com mais do que um cabo. Tanto em sistemas onde intervêm (1)

cabos tripolares ou como no estudo aqui efectuado, (2) cabos unipolares, é usual

a utilização de mais que um cabo subterrâneo. Tipicamente, usam-se sistemas de

três cabos subterrâneos unipolares. No caso de a cada um dos cabos

corresponder uma fase distinta, o referido sistema pode ser descrito como um

sistema trifásico de correntes. A análise desde tipo de aplicações, para além de

envolver toda a metodologia descrita na secção anterior, tem também em

consideração o acoplamento entre cada uma das fases do sistema. O

acoplamento entre fases tem influência significativa nos parâmetros dos cabos

(2.25)


- 21 -

que compõem o referido sistema [2]. Deste modo, é necessário tomar em

consideração o chamado Efeito de Proximidade. O acoplamento entre fases varia

em conformidade com diversos factores tais como (1) distância entre cabos, (2)

forma e constituição dos cabos, (3) materiais que constituem os vários elementos

de cada cabo, (4) resistividade do solo, (5) disposição geométrica dos cabos e (6)

tipo de ligação à terra de cada um dos cabos que constituem o sistema.

Relativamente à disposição geométrica, considera-se que os cabos podem ser

enterrados em esteira ou em triângulo [7]. É expectável que existam diferenças

nos parâmetros para cada uma das referidas disposições de enterramento.

Quanto ao procedimento de realização da ligação à terra, existem múltiplas

formas de se efectuar. Sendo o cabo constituído por vários elementos condutores,

é possível que cada um deles seja indiscriminadamente ligado ou não à terra.

Perfilando-se as bainhas e as armaduras como os elementos que têm a função de

proteger o cabo contra esforços electromagnéticos e mecânicos, podem então

estar ligadas à terra (1) simultaneamente, (2) apenas uma delas ou (3) nenhuma.

Deste modo, tendo em conta as aplicações existentes em engenharia são

tomadas algumas simplificações que visam uma abordagem mais prática e

objectiva dos sistemas trifásicos de cabos subterrâneos. Neste contexto,

considera-se para um sistema de três cabos subterrâneos, que os cabos são

idênticos em termos de (1) constituição, (2) forma e (3) componentes

constituintes. Outras considerações efectuadas são que (1) as distâncias de

separação dos cabos são idênticas e que (2) nas ligações à terra dos elementos

dos cabos apenas existem quatro hipóteses de ligação: (1) bainhas e armaduras

dos três cabos ligadas simultaneamente, (2) bainhas dos três cabos ligadas à

terra, (3) armaduras dos três cabos ligadas à terra e (4) bainhas e armaduras dos

três cabos simultaneamente não ligadas à terra.

Tendo em conta o método descrito na secção anterior para um cabo subterrâneo

(Fig. 1), procura-se generalizar essa mesma formulação para um sistema de três

cabos subterrâneos unipolares semelhantes, usando a abordagem efectuada na

matriz expressa por (2.3). A análise do sistema em função dos loops de corrente

será particularizada para os loops de correntes externos de cada cabo. Este tipo


- 22 -

de análise, procura salientar o efeito de proximidade pois, é precisamente neste

aspecto que residem as maiores diferenças em relação ao caso referenciado

anteriormente.

Um sistema de três cabos semelhantes é apresentado na figura seguinte:

Fig. 3: Sistema de três cabos subterrâneos unipolares semelhantes, dispostos em esteira e espaçados de igual distância, com representação dos loops de corrente que se fecham pela terra. Retirado de [1].

Os loops externos dos cabos que são descritos na Fig. 3, correspondem ao

acoplamento entre as fases residentes. O campo eléctrico no exterior do cabo

produzido pelos loop 1 e loop 2 é nulo pois, a corrente originada no núcleo é

exactamente cancelada pelo seu retorno na bainha, tal como acontece na

corrente originada na bainha, cujo efeito é anulado pelo retorno da mesma na

armadura.

Desta forma, as equações designadas em (2.3) continuam válidas e concordantes

com os pressupostos assumidos anteriormente, havendo agora uma terceira

equação que designa o acoplamento existente para cada uma das três fases.

O sistema matricial que descreve a situação apresentada na Fig. 3 é dado por:


- 23 -

'33

'23

'23

'22

'21

'12

'11

''33

'23

'23

'22

'21

'12

'11

'''33

'32

'23

'22

'21

'12

'11

'

0

0

00

000

000

0

0

00

000

000

00

000

000

0

0

cc

ccc

cc

bcbb

bbb

bb

acabaa

aaa

aa

loop

ZZ

ZZZ

ZZ

Simétrica

ZZZ

ZZZ

ZZ

ZZZZ

ZZZ

ZZ

Z (2.26)

Em que,

Z’ab, Z’

ac e Z’bc: são as impedâncias mútuas existentes entre os três loops de

corrente exteriores descritos na Fig. 3.

Os elementos da diagonal principal correspondem aos loops internos de cada

cabo (Fig. 1) descritos pela equação (2.3). A matriz do sistema dado por (2.26) é

simétrica.

À imagem do que foi efectuado para o caso de um cabo, o sistema (2.26) irá ser

transformado numa outra representação mais prática, ou seja, o sistema passa a

ser descrito numa notação baseada nas respectivas fases.

Fazendo uso novamente das equações dadas por (2.12), o sistema é agora

descrito por:

'_

'_

'_

'_

'_

'_

'

cprópria

cmútuabprópria

cmútuabmútuaaprópria

fase

ZSimétrica

ZZ

ZZZ

Z (2.27)

As sub-matrizes da diagonal principal com dimensão 33 são idênticas, para cada

cabo, ao sistema matricial descrito por (2.20), As matrizes correspondentes aos

elementos não diagonais de (2.27), são dadas por:


- 24 -

'''

'''

'''

'_

ababab

ababab

ababab

bamútua

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z (2.28)

Os elementos correspondentes às impedâncias mútuas e aos loops exteriores de

corrente, designados por Z’ab, Z’

ac e Z’bc, são alvo de uma discussão mais

aprofundada na secção 2.4.

Relativamente às admitâncias do sistema ilustrado na Fig. 3, a representação é

simplificada de sobremaneira, devido ao facto de não haver acoplamento entre as

três fases do sistema.

Assim, a representação matricial das admitâncias, no sistema de três fases, é

simplesmente:

'

'

'

'

00

00

00

c

b

a

fase

Y

Y

Y

Y (2.29)

2.4 Efeito de Proximidade

Na equação (2.4.3), a parcela da impedância correspondente à superfície da

terra, não foi concretamente explicitada. A referida impedância, tem origem no

loop que se estabelece entre o condutor tubular exterior do cabo e a terra. Deve

ser designada por impedância própria de retorno pela terra. Na matriz descrita por

(2.26), estão também presentes os elementos Z’ik, denominados por impedâncias

mútuas de retorno pela terra. Os elementos descritos correspondem às

impedâncias que relacionam os vários loops de corrente formados em cada um

dos cabos do sistema, entre o condutor tubular exterior e o retorno pela terra.

Existem aplicações em que o retorno das correntes pela terra assume especial

importância devido ao efeito pelicular existente na terra. O referido efeito deve-se

ao facto da terra ter uma condutividade finita, permitindo a penetração do campo


- 25 -

eléctrico na mesma. No contexto dos cabos subterrâneos este problema não

assume grande relevância. O estudo do fenómeno em questão serve sobretudo

para descrever o denominado efeito de proximidade, originado pelas curtas

distâncias de separação entre cada um dos cabos.

Existem duas possíveis abordagens para efectuar o cálculo das impedâncias

próprias e mútuas de retorno pela terra, (1) considerando a terra como semi-

infinita ou (2) considerando a terra como um plano infinito.

A figura seguinte ilustra a configuração geométrica de dois cabos subterrâneos:

Fig. 4: Ilustração de dois cabos subterrâneos denominados por cabos i e k, enterrados a uma

profundidade h e y, respectivamente, e separados por uma distância x. Retirado de [1].

Na hipótese de a terra ser considerada um plano infinito em todas as direcções à

volta de um cabo subterrâneo descrito na Fig. 4, considera-se que a profundidade

de penetração do campo eléctrico na terra é muito inferior, quando comparada

com a profundidade de enterramento.

A referida hipótese não é tida como razoável no contexto do presente estudo.

Deste modo, para efeitos de cálculo de (2.21.5) e (2.28), a terra é tratada como

um plano semi-infinito que se estende desde o plano da terra, segundo as

direcções descendente e lateral ao mesmo. De acordo com [10], as impedâncias

próprias e mútuas de cabos subterrâneos são descritas por:


- 26 -

dxj

m

myhDmKdmK

mZ )exp(

))(exp()()(

2 22

22

00

2' (2.30)

Com,

x: distância horizontal entre o cabo i e o cabo k.

h e y: profundidade de enterramento dos cabos i e k, respectivamente.

d: distância directa entre o cabo i e o cabo k.

D: distância entre o cabo i e a imagem do cabo k no ar.

m: profundidade de penetração do campo eléctrico na terra.

α : constante de integração.

Devido à complexidade da descrição anterior, de acordo com [10], pode-se usar

uma simplificação da expressão (2.30), cometendo-se um erro tolerável até

frequências na ordem de 100 KHz.

A expressão aproximada para a impedância própria de retorno pela terra,

apresentada na equação (2.21.5), é dada por:

hm

RmmZterra 3

4

2

1

2ln

2

2'

(2.31)

A expressão aproximada que designa a impedância mútua de retorno pela terra,

descrita pela equação (2.28) é:

m

dmmZterra 3

2

2

1

2ln

2

2'

(2.32)

Com,

: constante de Euler.

: soma das profundidades de enterramento dos dois cabos.

- 27 -

____________________________

Capítulo 3 ____________________________

Redução e Descrição do Sistema em

Componentes Simétricas

No presente capítulo é abordada a descrição do sistema em coordenadas

simétricas pois, no caso concreto de um sistema trifásico, ao conseguir-se

calcular os parâmetros e descrevê-los separadamente em relação às fases do

referido sistema, não se obtém informação de grande relevância. Transforma-se

então o sistema em cada uma das suas fases, numa notação relativa às suas

componentes directa, inversa e homopolar. Para realizar a transformação,

efectua-se a redução do sistema inicial, mediante as condições de ligação à terra

do mesmo. A redução do sistema nas referidas componentes obedece a

determinados algoritmos que são explicitados detalhadamente. Outro aspecto que

assume especial relevância é a forma de ligação entre as bainhas, que pode

trazer vantagens sobretudo ao nível do equilíbrio do sistema trifásico de

correntes. A forma de ligação usada é designada por cross bonding e é também

alvo de uma análise detalhada.

Redução e Descrição do Sistema em Componentes Simétricas

- 28 -

3.1 Introdução

Para calcular os parâmetros característicos de um cabo subterrâneo em

coordenadas simétricas é necessário um conjunto de procedimentos, por forma a

reduzir o sistema total a um conjunto de equações em coordenadas abc.

Posteriormente, efectuar-se-á a transformação para coordenadas simétricas.

Um dos procedimentos referidos caracteriza-se pela redução do sistema matricial

inicial dado por (2.27), por intermédio da eliminação dos condutores ligados à

terra, obtendo-se um sistema descrito em função das fases, com a influência dos

condutores ligados à terra já devidamente contabilizada.

Outra possível redução a efectuar ao sistema é a eliminação de possíveis

condutores agrupados por fase, ou seja, que mediante certas condições de

ligação à terra a corrente que circula por um determinada fase se distribua por

mais do que um condutor. A redução do sistema é realizada, considerando que se

podem agrupar os condutores comuns a uma dada fase, transformando-os num

só condutor equivalente, onde está contemplada a influência de cada condutor

inicial da referida fase.

Um aspecto que será abordado, no caso dos sistemas trifásicos, é a ligação entre

as bainhas dos vários cabos do sistema. Dos vários tipos de ligação de bainhas

existentes, aquele que é mais usado, é a ligação em cross bonding [5]. Este tipo

de ligação permite a transposição de correntes entre bainhas, em determinados

pontos de ligação, permitindo um maior equilíbrio entre cada uma das fases. Este

aspecto tem especial relevo devido à diminuição das perdas num sistema de

transmissão de energia, como também uma menor sobrecarga em termos de

esforços termoeléctricos dos cabos que o compõem.


- 29 -

3.2 Redução do Sistema Matricial

3.2.1 Eliminação dos condutores ligados à terra

Um dos aspectos que assume grande relevância e influência na variação dos

parâmetros característicos de um cabo subterrâneo é a forma como os diversos

elementos condutores desse mesmo cabo estão ligados à terra. A referida ligação

implica que os terminais de um determinado elemento condutor sejam ligados à

terra, estabelecendo um percurso de muito baixa impedância, ou seja, impondo

uma diferença de potencial nula entre os terminais do condutor. É em relação a

este último conceito, que todo o procedimento de eliminação dos condutores de

terra se baseia.

Para aplicar o método de redução do sistema inicial dado por (2.27) é necessário

reorganizar esse mesmo sistema [4], segundo uma disposição em que (1) os

condutores de fase são colocados nas posições iniciais das linhas e colunas do

sistema matricial e (2) os condutores de terra nas posições finais do mesmo.

De acordo com [1], a representação matricial do sistema (2.1) já ordenado é

descrita por:

g

u

gggu

uguu

g

u

I

I

ZZ

ZZ

dx

dV

dx

dV

''

''

(3.1)

Onde,

u e g são, respectivamente, os condutores de fase e terra.

De acordo com [4], num sistema arbitrário de um cabo subterrâneo, antes de

proceder à redução do sistema por eliminação dos condutores ligados à terra, o

sistema tem de estar organizado da seguinte forma:


- 30 -

TT

abc

DC

BA

TT

abc

I

I

ZZ

ZZ

V

V (3.2)

Em que,

a, b e c: correspondem aos condutores de fase.

T: correspondem aos condutores ligados à terra.

De (3.2) têm-se as seguintes equações:

TTBabcAabc IZIZV (3.2.1)

TTDabcC IZIZ 0 (3.2.2)

Resolvendo a equação (3.2.2) em ordem a ITT, tem-se:

abcCDTT IZZI 1 (3.3)

Por substituição de (3.3) na equação (3.2.1) obtém-se:

abcCDBabcAabc IZZZIZV 1 (3.4)

Resolvendo a equação (3.4) em ordem a Iabc tem-se:

abcCDBAabc IZZZZV )( 1 (3.5)

Pode-se escrever de forma simplificada a equação (3.5):

abcabcabc IZV

Após a aplicação de todo o procedimento descrito, o sistema fica reduzido aos

condutores de fase, já com a devida contabilização do efeito dos condutores de

terra, tendo-se finalmente:

cccbca

bcbbba

acabaa

CDBAabc

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZZZ )( 1 (3.6)


- 31 -

Transformação

3.2.2 Eliminação dos condutores agrupados por fase

Em linhas aéreas é muito usual a utilização de condutores múltiplos agrupados

por fase, sobretudo ao nível do transporte de energia a elevadas potências. O

facto de existir mais que um condutor por fase permite uma distribuição mais

uniformizada da corrente por cada condutor, como também uma redução das

perdas de transmissão de energia [4].

Nas aplicações que fazem uso de cabos subterrâneos não é frequente a

existência de vários condutores por cada fase. Também no contexto do presente

estudo essa questão não se coloca, visto que, o tipo de cabos analisados é

unipolar.

O interesse do conceito para o presente estudo, insere-se na problemática da

ligação à terra das bainhas e armaduras dos cabos subterrâneos. Caso ocorra

uma falha, por uma anomalia ou simplesmente por inexistência de ligação à terra

de um ou de ambos os elementos referidos, pode proporcionar-se a existência de

mais que um condutor por fase. É para resolver este problema, de forma a

possibilitar a redução do sistema e descrevê-lo em relação às suas componentes

simétricas, que será útil aplicar o método de eliminação dos condutores

agrupados por cada fase.

O procedimento de eliminação baseia-se na contabilização dos efeitos dos

condutores de uma determinada fase, criando um condutor equivalente para essa

mesma fase.

O procedimento descrito anteriormente é ilustrado na figura seguinte:

Fig. 5: Ilustração da transformação de um sistema inicial de dois condutores por cada uma das

fases a’, b’ e c’ do sistema, para um sistema de apenas um condutor (equivalente) por cada fase.

Adaptado de [4].


- 32 -

O procedimento de redução dos condutores agrupados por fase de um sistema

trifásico de cabos subterrâneos ilustrado pela Fig. 5, baseia-se na seguinte

representação matricial inicial:

t

s

r

c

b

a

tttstrtctbta

stsssrscsbsa

rtrsrrrcrbra

ctcscrcccbca

btbsbrbcbbba

atasaracabaa

t

s

r

c

b

a

I

I

I

I

I

I

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

V

V

V

V

V

V

1

1

1

''''''

''''''

''''''

(3.7)

No sistema ilustrado na Fig. 5, a corrente em cada fase é a soma das correntes

que percorrem os condutores que constituem essa mesma fase.

No sistema descrito em (3.7), as correntes são dadas pelas equações:

tcc

sbb

raa

III

III

III

1

1

1

(3.8)

As quedas de tensão que se estabelecem entre os condutores de cada fase são:

0

0

0

ct

bs

ar

VV

VV

VV

(3.9)

Efectuando as operações designadas em (3.8) e (3.9), o sistema matricial dado

por (3.7) transformar-se-á e será designado de forma compacta por:


- 33 -

rst

abc

DC

BAabc

I

I

ZZ

ZZV

0 (3.10)

Em que,

''''''

''''''

''''''

cccbca

bcbbba

acabaa

A

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z (3.11)

''''''

''''''

''''''

ccctcbcscacr

bcbtbbbsbabr

acatabbsaaar

B

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

Z (3.12)

''''''

''''''

''''''

cctccbtbcata

bcscbbsbbasa

acrcabrbaara

C

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

Z (3.13)

333231

232221

131211

DDD

DDD

DDD

ZD (3.14)

Com,

tsrpq

cbahi

ZZZZD ihphiqpqpq

,,

,,,

A redução efectiva do sistema dá-se por aplicação da equação (3.6), ficando o

sistema descrito por:

cccbca

bcbbba

acabaa

abc

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z (3.15)


- 34 -

3.2.3 Transformação do sistema em componentes

simétricas

No presente texto, todas as grandezas calculadas anteriormente são expressas

em componentes relativas a um referencial de fases.

Como já foi citado, em termos práticos não se verifica grande interesse na

apresentação das referidas grandezas neste referencial. Deste modo, será mais

conveniente que estas grandezas venham expressas num referencial de

coordenadas simétricas. A transformação linear de componentes simétricas é do

ponto de vista prático, definida em termos de fasores e faz uso da matriz de

fortescue.

Uma transformação linear é uma operação que permite transferir um conjunto de

equações, definido em relação a um ponto de referência, para outro. A questão de

passar de um referencial para outro, consiste em encontrar uma matriz de

transformação de referencial. No contexto das redes eléctricas, para modelos

perfeitamente equilibrados, a matriz de transformação é a matriz de Fortescue.

Considerando um sistema trifásico equilibrado definido pela matriz de

impedâncias seguinte:

zzMM

MzzM

MMzz

Zabc (3.16)

Sendo a matriz de Fortescue dada por:

2

2

1

1

111

aa

aaTS (3.17)


- 35 -

Com,

3

42

3

2

j

j

ea

ea

A matriz inversa de (3.17) é dada por:

aa

aaTS2

21

1

1

111

3

1 (3.18)

Tem-se em termos de circuitos trifásicos, um modelo matricial que relaciona

tensões e correntes que é definido por:

ababab IZV (3.19)

A tensão descrita pela equação (3.19), descrita em coordenadas de fase (abc),

pode transpor-se para um modelo em que poderá surgir em termos de

componentes simétricas (012), aplicando-se para isso a seguinte relação:

012012 ITZIZVTV sábcabcabcsabc

Usando a matriz de componentes simétricas (3.17) obtém-se:

012012 ITZVT sabcs

Multiplicando de ambos os lados por Ts-1 tem-se:

0121

012 ITZTV sabcs

Relativamente a um referencial de componentes simétricas tem-se:

012012012 IZV (3.20)

Finalmente a matriz de impedâncias do sistema é dada por:

sabcs TZTZ 1012 (3.21)


- 36 -

Todo o procedimento efectuado nas secções 3.2.1 e 3.2.2, do qual resulta a

obtenção de um sistema trifásico descrito em coordenadas abc, a partir da

redução dos condutores ligados à terra e dos condutores agrupados por fase,

pode ser posteriormente descrito em coordenadas simétricas através da aplicação

da equação (3.21).

3.3 Ligações entre Bainhas: cross bonding

Para sistemas trifásicos onde sejam usados cabos subterrâneos e em que cada

um dos cabos contenha uma fase do sistema, é usual que as bainhas dos cabos

estejam interligadas em determinados pontos. O procedimento adoptado está

associado ao facto de as perdas energéticas existentes num cabo serem

fortemente dependentes das correntes que circulam nas bainhas dos cabos [5].

Para reduzir o efeito das correntes das bainhas, nas perdas de energia que

afectam os cabos subterrâneos, são aplicados alguns métodos de ligação entre

bainhas. É assim possível aumentar a corrente de carga do cabo, como também

tornar o sistema trifásico de tensões mais equilibrado.

São vários os métodos existentes de ligação entre bainhas, embora apenas três

métodos sejam frequentemente usados (A) ligação de ambos os lados da bainha,

(B) ligação de ambos os lados da bainha num único ponto e (C) ligação em cross

bonding.

A. Ligação de ambos os lados da bainha: método em que as bainhas fornecem,

em condições normais, um caminho de retorno para as correntes. Ocorrem

perdas nos ecrãs das bainhas, verificando-se uma redução da corrente de carga

do cabo. O método permite uma redução das perdas em cabos com formação em

triângulo, relativamente à configuração em esteira.

B. Ligação num único ponto das bainhas: método onde as bainhas fornecem um

caminho de retorno para as correntes de circulação. Estabelecem-se tensões

induzidas nas bainhas entre fases adjacentes do circuito de cabos e entre as


- 37 -

bainhas e a terra mas, não existem correntes a circular pelas bainhas. As tensões

induzidas são proporcionais ao comprimento dos cabos. Este tipo de ligação

apenas pode ser usado em determinadas aplicações, nomeadamente em

contextos com cabos de comprimento limitado.

C. Ligação em cross bonding: o circuito fornece um caminho contínuo, desde as

terminações das bainhas até à terminação da terra mas, com as bainhas

seccionadas e ligadas de forma cruzada, por forma a eliminar as correntes de

circulação das bainhas. Estabelecem-se tensões induzidas entre bainhas e a terra

mas, em contrapartida não existem correntes significativas a circular nas bainhas.

O comprimento dos cabos não obedece a qualquer tipo de limitação.

A figura que se segue ilustra a situação em que a ligação das bainhas é realizada

usando o método de cross bonding:

Fig. 6: Ilustração do método de cross bonding onde as bainhas estão ligadas à terra em ambos os

extremos. Verifica-se que a ligação entre bainhas é efectuada de forma cruzada, havendo troca

das fases nas bainhas. Retirado de [5].

No presente estudo, a ligação das bainhas considerada obedece ao método de

cross bonding (Fig. 6) pois, é o que apresenta maior aplicabilidade e também

maior eficiência no tipo de sistemas tratados.


- 38 -

Num sistema trifásico de cabos subterrâneos unipolares, como já foi referido

anteriormente, a ligação das bainhas de forma cruzada surge pela necessidade

de reduzir as perdas originadas pelas correntes nas bainhas. Segundo [3], os

pontos de cruzamento das bainhas são, do ponto de vista das ondas transmitidas,

pontos descontínuos. Desta forma, os cabos com as bainhas ligadas em cross

bonding podem ser descritos como uma linha não-homogénea, o que para análise

de efeitos transitórios torna a impedância dos cabos subterrâneos fortemente

dependente da frequência.

Em relação aos métodos de cálculo, duas abordagens podem ser tomadas: o uso

de métodos exactos ou a utilização de métodos aproximados. O método usado no

presente estudo é o método aproximado, que de acordo com [3] produz

resultados muito satisfatórios, além do que, o cálculo dos parâmetros de um cabo

com ligação em cross bonding não é um processo muito simples e que requer

elevado trabalho computacional.

Assume-se por uma questão de simplificação, que os cabos não têm armaduras,

sendo o procedimento perfeitamente análogo ao caso em que os cabos têm

armaduras.

O primeiro passo para efectuar o cálculo da impedância é a definição de uma

matriz de rotação do sistema, que será responsável pela troca de fases que

ocorre nas bainhas.

A matriz de rotação é apresentada seguidamente, onde as relações entre as

tensões k e k’ são dadas por:

3

2

1

2

2

1

'3

'2

'1

'2

'2

'1

'

010000

001000

100000

000100

000010

000001

Ks

Ks

Ks

Kc

Kc

Kc

Ks

Ks

Ks

Kc

Kc

Kc

K

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V (3.22)


- 39 -

O sistema dado por (3.22) pode ser escrito de forma compacta por:

KK VRV ' (3.23)

e

KK IRI ' (3.24)

Onde,

k e k’: são os índices correspondentes aos nós k e k’, respectivamente.

c e s: expressam o núcleo e a bainha do cabo, respectivamente.

A matriz R é denominada de matriz de rotação. As características da mesma são

as seguintes:

1

12

3

RR

RR

UR

t

(3.25)

Em que,

U: é a matriz unitária

t: é um índice que designa a matriz transposta

Ilustração de um esquema de ligações usado no método de cross bonding:

Fig. 7: A ligação entre bainhas é neste caso efectuada em quatro pontos de cruzamento, situados

em cada subdivisão de secção. As bainhas estão ligadas conjuntamente entre si e à terra, de

ambos os lados da secção maior. Retirado de [3].


- 40 -

Cada uma das secções menores pode ser descrita em termos de parâmetros

concentrados. A figura seguinte mostra um esquema da secção maior,

subdividida em várias secções de tamanho menor, onde cada ponto de cross

bonding é representado por x:

Fig. 8: Circuito equivalente representado em termos de parâmetros concentrados. Retirado de [3].

Como está representado na Fig. 8, a tensão de desvio entre dois nós é dada da

seguinte forma:

ii

ii

VlYI

IlZV

(3.26)

Com,

Z: matriz de impedâncias dada por (3.26)

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

Z (3.27)


- 41 -

Uma matriz de impedâncias equivalente é dada da seguinte forma:

deecba

edecba

eedcba

ccc

bbb

aaa

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZ

Z 332313

232212

131211

' (3.28)

Onde,

3

3

3

3

3

564645

665544

363534

262524

161514

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

e

d

c

b

a

De acordo com [3], a diferença de tensão entre os pontos de chegada e partida no

cruzamento das bainhas, por unidade de comprimento, é dada da seguinte forma:

lIZl

V

'

3 (3.29)

Onde,

)(3

1 11' RZRRZRZZ (3.30)

Da mesma maneira, de acordo com [3], tem-se:

lVYl

I

'

3 (3.31)


- 42 -

Onde,

)(3

1 11' RYRRYRYY (3.32)

As equações (3.28) e (3.30) são semelhantes às da linha homogénea. Desta

forma, uma secção de maior comprimento pode ser representada por uma linha

homogénea equivalente de impedância [Z’] e de admitância designada por [Y’].

Sendo a matriz de impedâncias simétrica e a matriz de impedâncias equivalente

expressas pelos elementos da matriz dada por (3.26), verifica-se por comparação

das matrizes representadas por (3.26) e (3.27), que as impedâncias próprias e

mútuas relativas aos núcleos não se alteram. As impedâncias mútuas das

bainhas são dadas pelos valores médios. De referir, que o fenómeno descrito é

similar à transposição de fases que ocorre nas linhas aéreas.

- 43 -

____________________________

Capítulo 4 ____________________________

Análise e Comparação dos Resultados

Obtidos

Neste capítulo descreve-se o cálculo de parâmetros de um sistema de cabos

subterrâneos, como um processo onde intervêm diversos factores que influenciam

significativamente o resultado do mesmo. Neste contexto, é extremamente

importante que se adquira uma certa sensibilidade na análise dos resultados em

si, como também da variabilidade dos mesmos em função da alteração de certos

aspectos que envolvem o referido cálculo. Desta forma, procura-se perceber qual

a variação dos parâmetros consoante o tipo de condições que rodeiam todo o

procedimento. Outro aspecto importante é o teste e comparação dos resultados

obtidos. A comparação é, em primeira instância, efectuada em relação a

programas de elevado reconhecimento e fiabilidade. Posteriormente, é também

realizada a comparação com dados reais, recorrendo a catálogos fornecidos por

fabricantes.

Análise e Comparação dos Resultados Obtidos

- 44 -

4.1 Estrutura Abreviada do Programa de

Cálculo

Para se conseguir obter os parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos,

torna-se necessário desenvolver uma ferramenta informática que sirva de base a

todo o procedimento e metodologia adoptados. Desta forma, desenvolveu-se uma

ferramenta de cálculo bastante simplificada, clara e explícita. Facilmente se

consegue obter e comparar os resultados com outros valores, obtidos a partir de

ferramentas informáticas existentes ou através de catálogos disponibilizados por

fabricantes.

Pretende-se que o programa desenvolvido seja bastante detalhado, embora não

exista uma grande preocupação com aspectos de validação e tratamento de

dados de entrada e saída pois, não se procura construir uma aplicação

informática que possa ser usada por qualquer utilizador.

A estrutura do referido programa é apresentada seguidamente de forma sucinta,

sendo descriminados todos os passos importantes.

INÍCIO

Passo 1: Definição das constantes que são usadas no programa.

Passo 2: Leitura das variáveis de entrada.

- Frequência

- Características dos materiais: permitividade eléctrica dos isoladores,

permeabilidades magnéticas dos condutores e resistividade dos condutores

- Especificação dos elementos tubulares que constituem os cabos

- Raios dos elementos tubulares

- Número de cabos do sistema

- Especificação da geometria do sistema


- 45 -

- Especificação dos condutores que estão ligados à terra

- Indicação da distância entre os cabos

Passo 3: Especificação do tipo de aplicação do sistema.

- Distribuição

- Transporte

Passo 4: Cálculo das coordenadas horizontal e vertical em relação ao centro

de cada cabo, mediante o uso de funções trigonométricas, a partir da

distância entre cabos.

Passo 5: Cálculo de variáveis que são necessárias para a realização de

cálculos posteriores, recorrendo a funções de Bessel.

Passo 6: Cálculo das impedâncias intermédias que intervêm posteriormente,

no cálculo da matriz de impedâncias em coordenadas abc.

- Impedâncias originadas em cada malha de corrente para o exterior

do condutor

- Impedâncias originadas em cada malha de corrente para o interior

do condutor

- Impedância mútua entre cada malha de corrente

- Impedâncias dos isolamentos

- Impedância originada pela parcela de corrente que retorna pela terra

Passo 7: Cálculo das matrizes de impedâncias e de capacidades, descritas

em relação às malhas de corrente no interior de um cabo subterrâneo.

Passo 8: Obtenção das matrizes de impedâncias e capacidades de um cabo

em coordenadas abc.

Passo 9: Escolha do cálculo a efectuar em função do tipo de sistema de

cabos, ou seja, consoante seja monofásico ou trifásico.

- Faz-se uso de um ciclo if / else


- 46 -

Passo 10: Construção das matrizes de impedâncias mútuas entre cabos no

caso de um sistema constituído por três fases.

- Usa-se um ciclo for para construir as matrizes

Passo 11: Construção das matrizes de impedâncias para um sistema de três


- Criação de uma matriz genérica através do encadeamento de dois

Ciclos for

- Preenchimento da matriz recorrendo a ciclos for e ciclos while,

colocando as sub-matrizes de impedâncias próprias dos cabos nas

posições diagonais e as sub-matrizes de impedâncias mútuas nas posições

não diagonais

- Ordenamento da matriz obtida, através de um algoritmo de trocas de

linhas e colunas

Passo 12: Definição da matriz de capacidades para um sistema com três

fases.

- Criação de uma matriz genérica através do encadeamento de dois

Ciclos for

- Preenchimento da matriz recorrendo a ciclos for e ciclos while,

colocando as sub-matrizes de impedâncias próprias dos cabos nas

posições diagonais, ficando as restantes posições a zeros

Passo 13: Aplicação do algoritmo relativo às ligações entre bainhas, em

sistemas de três fases, usando o método de ligação denominado por cross

bonding.

- Construção da matriz de transformação do sistema e das matrizes

auxiliares

- Aplicação do algoritmo através de operações matriciais

Passo 14: Escolha do tipo de ligação à terra, consoante os elementos

condutores que estão ligados à terra.

- Faz-se uso de um ciclo switch com um case para cada tipo de

ligação


- 47 -

Passo 15: Eliminação dos condutores ligados à terra.

- Ordenamento das matrizes de impedâncias e de capacidades,

colocando-se os elementos de terra nas posições finais das mesmas

- Definição das sub-matrizes auxiliares

- Aplicação do algoritmo às matrizes de impedâncias e capacidades

iniciais recorrendo ao cálculo matricial

Passo 16: Eliminação dos condutores agrupados por fase.

- Definição das sub-matrizes auxiliares usando ciclos for

- Aplicação do algoritmo usando cálculo matricial

Passo 17: Transformação da matriz de impedâncias do sistema trifásico,

descrita em coordenadas abc, para coordenadas simétricas.

- Definição das matrizes de Fortescue e de Fortescue inversa

- Aplicação do procedimento através de uma simples operação

matricial

FIM

4.2 Análise dos Resultados Obtidos

Como já foi referenciado no presente estudo, os parâmetros de um cabo

subterrâneo variam consoante alguns aspectos, tais como (1) forma, (2)

constituição, (3) materiais usados e (4) disposição geométrica do sistema de

cabos. O impacto que os referidos aspectos têm na variação dos parâmetros dos

cabos subterrâneos é alvo de uma análise mais aprofundada pois, é tido como um

aspecto de especial relevância no contexto designado.


- 48 -

4.2.1 Exemplo de cálculo dos parâmetros aplicado a um

caso particular

Considerando um sistema formado por três cabos subterrâneos unipolares,

semelhantes entre si, constituído cada um deles por (1) núcleo, (2) bainha e (3)

armadura. Para a disposição geométrica do sistema, considera-se que os cabos

estão enterrados em esteira, ou seja, dispostos lado a lado à mesma

profundidade e separados entre si por uma determinada distância horizontal.

Relativamente aos materiais dos elementos condutores de cada cabo, considera-

se que o núcleo é de alumínio sendo a bainha e armadura constituídas à base de

aço. Em relação aos isolamentos, o que protege o núcleo é constituído por

polietileno, enquanto que os que envolvem a bainha e a armadura são

constituídos por PVC.

Em relação à ligação à terra dos elementos que protegem electricamente os

cabos, considera-se o caso típico e desejável, ou seja, tanto as bainhas como as

armaduras estão ligadas à terra. Quanto ao tipo de solo e à profundidade de

enterramento consideram-se também as situações típicas. A frequência de

operação usada é de 50 Hz.

Os dados relativos aos factores que intervêm no cálculo são apresentados nas

seguintes tabelas:

Tabela 4.1.1 Dados relativos a cada um dos cabos do sistema

Núcleo Bainha ArmaduraIsolador 1

(polietileno)Isolador 2

(PVC)Isolador 3

(PVC)

Secção (mm2) 254,34 1704,67 2122,64 1326,03 2041,79 2289,06

Resistividade (Ω.km/mm2)

28,4 214 214 ___ ___ ___

Constante dieléctrica relativa

___ ___ ___ 2,30 8,00 8,00


- 49 -


considerando um referencial fixado no cabo 1

A partir dos dados presentes nas tabelas 4.1.1 e 4.1.2, podem-se obter os

parâmetros do sistema trifásico referido anteriormente, caracterizados pela sua

(1) resistência eléctrica, (2) indutância magnética e (3) capacidade eléctrica. As

grandezas referidas são apresentadas em termos de componentes simétricas.

Na seguinte tabela são apresentados os resultados obtidos das grandezas em

questão:

Tabela 4.2 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos em

componentes simétricas

Directa Inversa Homopolar

Resistência (Ω/km)

0,2037 0,2037 0,4665

Indutância (mH/km)

0,8956 0,8956 0,4455

Capacidade (μF/km)

0,1523 0,1523 0,1523

4.2.2 Influência dos materiais

Um dos factores com maior impacto na variação dos parâmetros de um sistema

de cabos subterrâneos é o tipo de condutores e isoladores usados, pois as suas

características físico-químicas diferem bastante consoante o tipo de materiais que

os constituem. Assim, considera-se interessante verificar as diferenças entre

Cabo 1 Cabo 2 Cabo 3

Distância de separação (m) 0 1 1,5

Profundidade de enterramento (m)

1,198 1,198 1,198


- 50 -

parâmetros, para os diversos tipos de materiais que podem constituir as

superfícies condutoras e isolantes de um cabo subterrâneo. De referir, que no

caso descrito na secção anterior, em que a ligação à terra corresponde á situação

típica, apenas tem interesse variar os valores da resistividade do núcleo e a

permitividade do isolamento do núcleo, pois é precisamente no núcleo que circula

a maior parcela da corrente do cabo. Um aspecto a ter em especial atenção é o

facto de os parâmetros, sobretudo a resistência eléctrica, variarem fortemente

com a temperatura. No caso avaliado na secção anterior, tem-se em

consideração que os valores dos parâmetros são obtidos para uma temperatura

de aproximadamente 40°C.

Seguidamente é apresentada uma tabela com as propriedades físico-químicas de

vários géneros de materiais:

Tabela 4.3 Características de vários tipos de materiais

Condutores Dieléctricos

MateriaisResistividade(Ω.km/mm2)

MateriaisConstante dieléctrica

relativa

Cobre 17,24 Quartzo 4,3

Alumínio 28,4 Neopreno 4,1

Almelec 32,5 Polietileno 2,3

Chumbo 190 PVC 8

Aço 206Polietileno reticulado

3

Para cada tipo de material e mantendo-se inalterados todos os restantes factores

que rodeiam o sistema trifásico, apresenta-se na seguinte tabela os valores dos

parâmetros em componentes simétricas.


- 51 -

Tabela 4.4.1 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos relativos a

vários condutores metálicos

Condutores

ComponenteDirecta

ComponenteInversa

ComponenteHomopolar


Indutância (mH/km)


Indutância (mH/km)


Indutância (mH/km)

Cobre 0,1469 0,8959 0,1469 0,8959 0,4096 0,4455

Alumínio 0,2037 0,8956 0,2037 0,8956 0,4665 0,4455

Almelec 0,2242 0,8954 0,2242 0,8954 0,4869 0,4455

Chumbo 1,01 0,8901 1,01 0,8901 1,27 0,4455

Aço 1,11 0,8894 1,11 0,8894 1,37 0,4455

Tabela 4.4.2 Parâmetros do sistema trifásico de cabos subterrâneos relativos a

vários isolamentos

Dieléctricos

Componente Directa

Componente Inversa

ComponenteHomopolar

Capacidade (μF/km)

Quartzo 0,2847 0,2847 0,2847

Neopreno 0,2715 0,2715 0,2715

Polietileno 0,1523 0,1523 0,1523

PVC 0,5298 0,5298 0,5298

Polietileno reticulado

0,1987 0,1987 0,1987

Analisando os valores apresentados nas tabelas 4.4.1 e 4.4.2, verifica-se que o

tipo de material constituinte do condutor tem grande influência no valor da

resistência. A resistência é mais elevada para condutores que apresentam

maiores resistividades. Uma observação interessante é que o valor da indutância


- 52 -

dos cabos se mantém praticamente inalterado para os diferentes tipos de

condutores metálicos usados. Quanto à capacidade do sistema, verificam-se duas

situações (1) o tipo de condutor usado não influi no valor da mesma e (2) regista-

se uma acentuada variação consoante o tipo de dieléctrico usado. A capacidade

aumenta significativamente para dieléctricos com maior constante de

permitividade relativa.

4.2.3 Influência da temperatura

A temperatura é um factor que influencia indirectamente o valor dos parâmetros

característicos de cabos subterrâneos. A variação da temperatura introduz

alterações a nível microscópico na estrutura dos materiais que constituem os

condutores metálicos.

A condutividade dos condutores é uma característica que influencia fortemente o

cálculo dos parâmetros, sendo amplamente distinta consoante o material em

questão.

O valor da condutividade dos condutores depende da temperatura a que estes

estão sujeitos e é dada pelo inverso da resistividade. A resistividade é dada pela

seguinte expressão:

10

T

(4.1)

em que é o coeficiente de temperatura, sendo a condutividade dada por:

1 (4.2)

Para condutores de alumínio em que 10 .00429ºC , tem-se que

13 .22*1 7[ ]E Sm .

Num cabo subterrâneo existem vários elementos com características condutoras,

embora apenas o núcleo do cabo seja um condutor por excelência. Desta forma,

a variação da temperatura tem implicações, sobretudo na condutividade do

material que constitui o núcleo. Tipicamente, o núcleo é constituído por cobre ou

alumínio.


- 53 -

).(777.3 1 mSE

0,19

0,195

0,2

0,205

0,21

0,215

0,22

0,225

0,23

0,235

0 20 40 60 80 100

Temperatura (ºC)

Res

istê

nci

a (o

hm

/km

)

À temperatura standard de 40ºC, a condutividade do alumínio tem como valor

.

Através das expressões 4.1 e 4.2 pode-se calcular a condutividade dos

condutores para qualquer outra temperatura.

No exemplo descrito na secção 4.2, escolheu-se um cabo constituído por um

núcleo de alumínio. De seguida, efectua-se o cálculo da resistência para um

sistema de cabos subterrâneos semelhante ao da secção 4.2.1, em função da

temperatura, cujos resultados são apresentados na tabela seguinte:

Tabela 4.5 Valores de condutividade e resistência para várias temperaturas de

operação

De seguida é ilustrada a representação gráfica da tabela anterior:

Fig.9: Variação da resistência com a temperatura.

Temperatura (ºC)

Condutividade (S.m-1)


20 3,77*10 7 0,1951

30 3,62*10 7 0,2005

40 3,48*10 7 0,2037

50 3,34*10 7 0,2119

60 3,22*10 7 0,2177

70 3,11*10 7 0,2231

80 3,00*10 7 0,2290


- 54 -

Como se pode constatar através da análise do gráfico da Fig.9, a temperatura de

operação dos cabos subterrâneos é um factor que influencia de sobremaneira a

resistência dos cabos subterrâneos. A variação da resistência é aproximadamente

linear, aumentando gradualmente com o aumento da temperatura. A indutância e

a capacidade dos cabos subterrâneos não foram referidas, pois os seus valores

praticamente não variam mediante alterações da temperatura de operação dos

cabos.

4.2.4 Influência do tipo de solo e da profundidade de

enterramento dos cabos

Considerando o sistema de cabos, cujas características estão descritas nas

tabelas 4.1.1 e 4.1.2, pretende-se avaliar qual a influência da resistividade do solo

e da distância vertical de colocação dos cabos abaixo do plano da terra nos

parâmetros do sistema.

Tabela 4.6 Parâmetros do sistema para vários valores de resistividade do solo

Componente Directa

Resistividade do solo


Indutância (mH/km)

Capacidade (μF/km)

100 0,2037 0,8956 0,1523

200 0,2037 0,8956 0,1523

300 0,2037 0,8956 0,1523

400 0,2037 0,8956 0,1523

500 0,2037 0,8956 0,1523

600 0,2037 0,8956 0,1523

700 0,2037 0,8956 0,1523

800 0,2037 0,8956 0,1523

900 0,2037 0,8956 0,1523

1000 0,2037 0,8956 0,1523


- 55 -

Tabela 4.7 Parâmetros do sistema para diversos valores de profundidade de

enterramento

Componente Directa



Indutância (mH/km)

Capacidade (μF/km)

0,5 0,2037 0,8956 0,1523

1 0,2037 0,8956 0,1523

1,5 0,2037 0,8956 0,1523

2 0,2037 0,8956 0,1523

2,5 0,2037 0,8956 0,1523

3 0,2037 0,8956 0,1523

3,5 0,2037 0,8956 0,1523

4 0,2037 0,8956 0,1523

4,5 0,2037 0,8956 0,1523

5 0,2037 0,8956 0,1523

Através da análise das tabelas 4.6 e 4.7, verifica-se que os parâmetros do

sistema trifásico descrito na secção 4.2.1, não sofreram qualquer alteração do seu

valor. Desta forma, pode-se admitir que em condições normais de instalação é

perfeitamente possível desprezar estes dois factores, ou seja, a resistividade do

solo e a profundidade de enterramento. Estes factores não causam praticamente

impacto nos parâmetros do sistema de cabos.

4.2.5 Influência da distância de separação

O efeito derivado da existência de cabos subterrâneos próximos entre si, assume

uma importância acentuada em sistemas com mais que um cabo subterrâneo, e é

tanto maior quanto menor a distância de separação entre os cabos. Este

fenómeno caracteriza o efeito que o campo eléctrico, originado num determinado

condutor, produz nos condutores da sua vizinhança. Deste modo, pretende-se

avaliar o impacto que a variação da distância horizontal entre condutores tem nos


- 56 -

parâmetros do sistema de cabos. Realiza-se também a diferenciação deste efeito

consoante o tipo de disposição geométrica do sistema de cabos, ou seja, nas

situações de enterramento em esteira ou triângulo.

A figura seguinte ilustra duas formas de disposição geométrica do sistema:

(a) (b)

Fig. 10: Tipos de geometria do sistema de cabo, em que (a) é um sistema de três cabos,

separados por uma distância S, dispostos em esteira e (b) é um sistema de cabos dispostos em

triângulo com uma distância de separação dada por S. Retirado de [5].

Tabela 4.8.1 Parâmetros do sistema de cabos dispostos em esteira

Componente Directa e Inversa Componente Homopolar

Distânciaentre

cabos (m)


Indutância (mH/km)

Capacidade (μF/km)


Indutância (mH/km)

Capacidade(μF/km)

0,1 0,16 0,55 0,15 0,47 0,42 0,15

0,3 0,18 0,75 0,15 0,47 0,43 0,15

0,5 0,19 0,84 0,15 0,47 0,44 0,15

0,7 0,20 0,89 0,15 0,47 0,45 0,15

0,9 0,21 0,93 0,15 0,47 0,45 0,15

1,1 0,22 0,96 0,15 0,46 0,45 0,15

1,3 0,22 0,99 0,15 0,46 0,45 0,15

1,5 0,23 1,01 0,15 0,46 0,46 0,15

1,7 0,23 1,02 0,15 0,46 0,46 0,15

2 0,24 1,04 0,15 0,46 0,46 0,15


- 57 -

Tabela 4.8.2 Parâmetros do sistema de cabos dispostos em triângulo

Componente Directa e Inversa Componente Homopolar

Distância entre

cabos (m)

Resistência(Ω/km)

Indutância(mH/km)

Capacidade(μF/km)

Resistência(Ω/km)

Indutância(mH/km)

Capacidade(μF/km)

0,1 0,23 0,87 0,15 0,46 0,45 0,15

0,3 0,23 0,96 0,15 0,46 0,46 0,15

0,5 0,24 1,00 0,15 0,46 0,46 0,15

0,7 0,24 1,02 0,15 0,46 0,05 0,15

0,9 0,24 1,04 0,15 0,46 0,05 0,15

1,1 0,24 1,05 0,15 0,46 0,05 0,15

1,3 0,24 1,06 0,15 0,46 0,05 0,15

1,5 0,25 1,07 0,15 0,46 0,05 0,15

1,7 0,25 1,08 0,15 0,46 0,05 0,15

2 0,25 1,08 0,15 0,46 0,05 0,15

As figuras seguintes ilustram a variação dos parâmetros em função da distância

de separação dos cabos:

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Distância entre cabos (m)

Res

istê

nci

a (o

hm

/km

)

Resistência em Esteira Resistência em Triângulo

Fig. 11: Comparação das componentes directa e inversa da resistência de um sistema de cabos

disposto em Esteira e em Triângulo.


- 58 -

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Distância entre cabos (m)

Ind

utâ

nci

a (m

H/k

m)

Indutância em Esteira Indutância em Triângulo

Fig. 12: Comparação das componentes directa e inversa da indutância de um sistema de cabos

dispostos em Esteira e em Triângulo.

Visualizando as figuras Fig.11 e Fig.12 é possível verificar que a resistência e a

indutância sofrem um incremento no seu valor quando os cabos estão mais

distanciados entre si.

Verifica-se também, que a indutância é mais influenciada pela variação da

distância entre os cabos que a resistência.

Relativamente ao tipo de disposição geométrica, observa-se que os valores da

resistência e indutância são superiores quando os cabos então dispostos em

esteira, comparativamente ao caso em que os cabos então dispostos em

triangulo.

4.3 Comparação de Resultados com

Programas Reconhecidos

Depois de realizada a análise dos resultados obtidos torna-se importante, numa

primeira abordagem, efectuar a comparação desses mesmos resultados com os

valores calculados a partir de programas fiáveis e de elevado reconhecimento.

Foram encontradas algumas aplicações que permitem a realização do cálculo dos


- 59 -

parâmetros de cabos subterrâneos mas, na maior parte das vezes esse mesmo

cálculo é efectuado com pouco detalhe. De entre as escassas aplicações

disponíveis gratuitamente e que apresentam um grau de fiabilidade satisfatório,

escolheu-se o programa EMTP para servir de base de comparação com os

resultados obtidos para o cálculo dos parâmetros. Desta forma, desenvolveu-se

um programa de cálculo em Matlab bastante claro e explícito, que permite com

grande simplicidade a comparação dos valores dos parâmetros com os resultados

processados pela rotina Cable Constants do programa EMTP [7].

Nesta secção são descritos exemplos de cálculo de parâmetros, sendo

posteriormente realizada a comparação dos resultados obtidos com os valores

decorrentes do cálculo efectuado através da referida rotina do EMTP. Nos

ensaios efectuados a frequência considerada é de 50 Hz. Outro aspecto a ter em

conta é o facto de não se considerar a situação da ligação das bainhas através do

método denominado de cross bonding pois, no EMTP esta situação não é

considerada.

Devido ao facto de no EMTP, os valores dos parâmetros serem apresentados em

coordenadas abc, e na aplicação desenvolvida os resultados serem expressos em

coordenadas de fase, efectua-se a comparação usando valores em coordenada

abc.

Resultados obtidos para o sistema semelhante ao da secção 4.2.1, em

coordenadas abc:

A matriz de impedâncias é dada por:

66289,033178,060745,030909,061111,030576,0

60745,030909,066121,033101,060966,030702,0

61111,030576,060966,030702,066602,033319,0

EiEEiEEiE

EiEEiEEiE

EiEEiEEiE

Z (4.3.1)

Em que,

Z representa a matriz de impedâncias em (Ω/m).


- 60 -

A matriz de capacidades é dada por:

71764,070540,00

70540,070556,070015,0

070015,070015,0

EE

EEE

EE

C (4.3.2)

Em que,

C representa a matriz de capacidades em (F/m).

Exemplo 1

Tomando como ponto de partida o sistema de três cabos subterrâneos, cujos

dados são apresentados nas tabelas 4.1.1 e 4.1.2, presentes na secção 4.2.1, e

tendo em conta as afirmações efectuadas anteriormente, obtêm-se os parâmetros

do sistema através da rotina disponibilizada pelo EMTP.

A figura seguinte ilustra os valores obtidos através do EMTP:

Resistance [ R ] in [ohm/m] and inductance [ L ] in [henry/m] follows : 3.3253350E-04 7.0170721E-05 5.7493289E-05 6.5976795E-07 -9.6634668E-08 -1.1110328E-07

7.0170721E-05 3.1079189E-04 9.0860030E-05 -9.6634668E-08 6.1184675E-07 -7.4629151E-08

5.7493289E-05 9.0860030E-05 3.1845334E-04 -1.1110328E-07 -7.4629151E-08 6.2852567E-07

Conductance [ G ] in [mho/m] and capacitance [ C ] in [farad/m] follows : 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.5230359E-10 0.0000000E+00 0.0000000E+00

0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.5230359E-10 0.0000000E+00

0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.5230359E-10

Fig. 13: Parâmetros do sistema de cabos subterrâneos, cujos dados do ficheiro de entrada do

EMTP são descritos nas tabelas 4.1.1 e 4.1.2..


- 61 -

As matrizes dos parâmetros do sistema, obtidas usando um programa digital

construído em Matlab, são apresentadas seguidamente em coordenadas abc.

A matriz de resistências é dada por:

3185,00909,00576,0

0909,03108,00702,0

0576,00702,03326,0

R (4.3.3)

Em que,

R representa a matriz de resistências em (Ω/km).

A matriz de indutâncias é dada por:

0,62890,0745-0,1111-

0,0745- 0,61220,0966-

0,1111- 0,0966- 0,6602

L (4.3.4)

Em que,

L representa a matriz de indutâncias em (mH/km).


0,152300

0 0,15230

0 0 0,1523

C (4.3.5)

Em que,

C representa a matriz de capacidades em (μF/km).

Da comparação dos resultados obtidos através da aplicação desenvolvida,

descritos nas matrizes 4.3.1 e 4.3.2, com os valores resultantes da aplicação do

EMTP, verifica-se uma grande concordância entre ambos. Para qualquer


- 62 -

elemento das matrizes representadas por 4.3.3, 4.3.4 e 4.3.5, a discrepância

máxima em relação aos valores obtidos pela aplicação desenvolvida é inferior a

1%.

Exemplo 2

Partindo dos dados relativos ao sistema de cabos subterrâneos apresentado na

secção 4.2.1, procede-se à alteração de alguns factores e à consequente

comparação dos resultados obtidos com os valores resultantes da aplicação do

EMTP. Os factores modificados são (1) o tipo de materiais que constituem os

condutores, (2) o tipo de isolamentos usados e (3) a distância entre os cabos.

Tabela 4.9.1 Dados relativos a cada um dos cabos do sistema

Núcleo Bainha ArmaduraIsolador 1

(polietileno)Isolador 2

(PVC)Isolador 3

(PVC)

Secção (mm2) 254,34 1704,67 2122,64 1326,03 2041,79 2289,06

Resistividade (Ω.km/mm2)

17,24 214 214 ___ ___ ___

Constante dieléctrica relativa ___ ___ ___ 3,00 8,00 8,00


considerando um referencial fixado no cabo 1

Cabo 1 Cabo 2 Cabo 3

Distância de separação (m) 0 0,5 1,0


1,198 1,198 1,198

Resultados obtidos para o sistema descrito no Exemplo 2, em coordenadas abc:


- 63 -

A matriz de impedâncias é dada por:

66312,032610,060790,030854,061105,030637,0

60790,030854,065951,032474,060790,030854,0

61105,030637,060790,030854,066312,032610,0

EiEEiEEiE

EiEEiEEiE

EiEEiEEiE

Z (4.4.1)

Em que,

Z representa a matriz de impedâncias em (Ω/m).


91987,000

091987,00

0091987,0

E

E

E

C (4.4.2)

Em que ,

C representa a matriz de capacidades em (F/m).

De seguida ilustra-se os resultados obtidos através do EMTP:

Resistance [ R ] in [ohm/m] and inductance [ L ] in [henry/m] follows : 2.6004528E-04 8.5302927E-05 6.3631124E-05 6.3086345E-07 -7.9128766E-08 -1.1054532E-07

8.5302927E-05 2.4637449E-04 8.5302927E-05 -7.9128766E-08 5.9481338E-07 -7.9128766E-08

6.3631124E-05 8.5302927E-05 2.6004528E-04 -1.1054532E-07 -7.9128766E-08 6.3086345E-07

Conductance [ G ] in [mho/m] and capacitance [ C ] in [farad/m] follows : 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.9865686E-10 0.0000000E+00 0.0000000E+00

0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.9865686E-10 0.0000000E+00

0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00 1.9865686E-10

Fig. 14: Resultados obtidos usando o EMTP, em que os dados do ficheiro de entrada estão

designados nas tabelas 4.9.1 e 4.9.2..


- 64 -

As matrizes dos parâmetros do sistema, obtidas usando um programa de cálculo

construído em Matlab, são apresentadas seguidamente em coordenadas abc.

A matriz de resistências é dada por:

2601,00854,00637,0

0854,02464,00854,0

0638,00856,02601,0

R (4.4.3)

Em que,

R representa a matriz de resistências em (Ω/km).

A matriz de indutâncias é dada por:

0,63120,0790-0,1105-

0,0790- 0,59510,0790-

0,1105- 0,0790- 0,6312

L (4.4.4)

Em que,

L representa a matriz de indutâncias em (mH/km).


0,198700

0 0,19870

0 0 0,1987

C (4.4.5)

Em que,

C representa a matriz de capacidades em (μF/km).

Comparando os resultados decorrentes da aplicação desenvolvida com os do

EMTP, verifica-se novamente uma grande proximidade de valores, sendo o erro

resultante extremamente reduzido. Isto é possível ser observado através das

matrizes designadas em 4.4.1 e 4.4.2. As alterações introduzidas baseiam-se no


- 65 -

(1) uso de um condutor de cobre no núcleo, (2) uso de um isolador do núcleo de

polietileno reticulado e (3) uma maior proximidade entre as três fases do sistema.

4.4 Comparação de Resultados com

Catálogos

Um procedimento fundamental para conceder validade e fiabilidade a um

determinado estudo é o processo de testes e comparação dos resultados obtidos.

Numa primeira abordagem, recorreu-se a processos de simulação para testar e

comprovar a validade dos resultados obtidos através do programa digital

desenvolvido, usando para este efeito programas digitais de reconhecido valor.

Esta situação foi abordada na secção 4.3, onde se compararam os resultados

obtidos com os valores dados pelo EMTP. Na presente secção é realizada a

comparação dos resultados obtidos com os valores dos parâmetros

disponibilizados em catálogos de fabricantes de elevado reconhecimento. Para

realizar a comparação, seleccionaram-se do catálogo de [5], um conjunto de

cabos subterrâneos de média tensão usados pela EDP ao nível da distribuição.

Os cabos seleccionados são unipolares e têm como tensão nominal de

funcionamento 60 KV. Os parâmetros comparados são a (1) capacidade eléctrica,

(2) a resistência e a (3) indutância para as configurações geométricas de triângulo

e esteira. Não é efectuada a comparação com a resistência, uma vez, que o valor

deste parâmetro não é referido no catálogo. Para efeitos de cálculo, considera-se

que o núcleo é constituído por alumínio, a bainha por aço e os isoladores interior

e exterior por polietileno reticulado e PVC, respectivamente. A frequência de

operação considerada é de 50 Hz e os parâmetros presentes no catálogo estão

representados em coordenadas simétricas em termos da sua componente directa.

O fabricante tem em conta que o condutor do núcleo é tubular e considera para o

caso de existirem três fases, que a distância horizontal de separação dos cabos é

dada, no caso da disposição em esteira, por:


- 66 -

DemmS 70 (4.5)

Com,

S: Distância entre cabos

De: Diâmetro do cabo

Os dados relativos aos cabos subterrâneos descritos estão ilustrados na figura

seguinte:

Fig. 15: Catálogo disponibilizado pela ABB, para vários cabos unipolares de diversas secções com

tensão nominal 60 KV. Retirado de [5].

Os cabos da Fig .15 que são alvo de comparação têm secções de: 150 mm2, 185

mm2, 300mm2, 400mm2, 500mm2, 800mm2, 1000mm2 e 1200mm2, 1400mm2 e

2000mm2.


- 67 -

Tabela 4.10 Resultados obtidos com a ferramenta de cálculo usando os valores

de cabos indicados na Fig. 15

Nas figuras seguintes é ilustrada a variação dos parâmetros relativos à

componente directa para as várias secções, com a respectiva comparação dos

resultados obtidos com os valores disponibilizados no catálogo apresentado na

Fig. 15.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0 500 1000 1500 2000 2500

Secção do condutor (mm^2)

Cap

acid

ade

(uF

/km

)

Parâmetros do programa Parâmetros do catálogo

Fig. 16: Comparação dos valores da capacidade com os dados relativos ao catálogo (Fig. 15) para

vários valores de secção.

Indutância (mH/km)Secção do condutor

(mm2)

Capacidade (μF/km)

Triângulo Esteira

150 0,17 0,40 0,64

185 0,21 0,38 0,61

300 0,25 0,35 0,56

400 0,27 0,33 0,54

500 0,29 0,31 0,52

800 0,32 0,29 0,51

1000 0,39 0,28 0,49

1200 0,40 0,29 0,47

1400 0,41 0,28 0,45

2000 0,42 0,27 0,44


- 68 -

0,000,100,200,300,400,500,600,70

0 500 1000 1500 2000 2500Secção do condutor (mm^2)

Ind

utâ

nci

a (m

H/k

m)

Parâmetros do programa (triângulo)

Parâmetros do catálogo (triângulo)

Parâmetros do programa (esteira)

Parâmetros do catálogo (esteira)

Fig. 17: Comparação dos valores da indutância para as disposições em esteira e triângulo com os

dados do catálogo para várias secções.

Como seria de esperar os resultados obtidos não são exactamente iguais aos

valores dos catálogos, embora as diferenças existentes não sejam significativas.

Os dados necessários para a realização de cálculo como sejam, os valores

exactos relativos aos materiais dos condutores e isoladores não são

disponibilizados pelo fabricante. Através da abordagem seguida na presente

secção, pode-se concluir através da visualização das ilustrações das Fig.16 e

Fig.17, que os resultados obtidos através do método implementado com a

ferramenta de cálculo desenvolvida são muito próximos dos valores catalogados e

variam da forma que seria expectável.

- 69 -

____________________________

Capítulo 5 ____________________________


No presente capítulo procura-se estudar o efeito que a variação da frequência

provoca nos parâmetros de sistemas de cabos subterrâneos. Outro aspecto com

grande relevância é a ligação à terra do sistema, que assume importância não

apenas na protecção dos cabos e das pessoas que circulam em seu redor, como

também pelo forte impacto provocado nos parâmetros do sistema. Faz-se

referência a um aspecto que ocorre em sistema trifásicos que é a ligação entre

bainhas dos cabos subterrâneos. Esta situação assume especial importância na

protecção dos equipamentos e nas perdas que ocorrem no sistema, manifestando

também bastante influência nos parâmetros que o caracterizam.


- 70 -

5.1 Introdução

O estudo da variação da frequência trata-se de uma situação que se resume a

episódios esporádicos e pouco usuais no âmbito da engenharia, correspondendo

quase sempre a situações anómalas que ocorrem no Sistema de Energia. O

interesse da situação anterior, no presente estudo, centra-se em poder descrever

os parâmetros de um sistema de cabos subterrâneos em função da variação da

frequência. As variações que ocorrem nos parâmetros devem-se em grande parte

a um fenómeno denominado de efeito pelicular. O efeito pelicular trata-se da

alteração da distribuição da densidade de corrente no interior de um condutor,

provocando alterações na transmissão de energia e por consequente nos

parâmetros característicos do sistema. Em sistemas de corrente alternada, o facto

de se aumentar a frequência provoca uma concentração da densidade de

corrente nas zonas periféricas do condutor, conduzindo a uma redução efectiva

da secção útil do condutor. A redução da secção útil do condutor causa

imediatamente um aumento aparente da resistência eléctrica do sistema.

Relativamente à indutância do sistema existe também uma alteração do seu valor

pois, este parâmetro é fortemente dependente da frequência. A capacidade não

sofre qualquer alteração com a variação da frequência.

Em relação às condições da ligação à terra dos elementos, a falha ou inexistência

de ligação de um dos elementos de protecção do cabo, sobretudo no caso das

bainhas, influencia fortemente os parâmetros que caracterizam o sistema. Este

fenómeno deve-se em grande medida ao facto de os materiais não serem

perfeitos, não se conseguindo confinar o campo eléctrico à superfície dos

elementos condutores do cabo, o que origina o aparecimento de correntes nas

bainhas e armaduras. Quando por defeito não existe um caminho de baixa

impedância que permita o fecho das correntes pela terra, os parâmetros são

fortemente influenciados, com destaque para a resistência eléctrica.

Em sistemas trifásicos, a ligação entre as bainhas dos cabos do sistema perfila-se

como outro factor com forte impacto nos parâmetros de um sistema de cabos

subterrâneos pois, não só permite equilibrar o sistema de tensões existente, como

também reduzir as correntes que circulam nas bainhas. Este facto permite reduzir


- 71 -

as perdas existentes no cabo, tendo um forte impacto também nos parâmetros do

sistema.

5.2 Análise em Frequência dos Parâmetros

A análise efectuada para frequências distintas da frequência normal de operação

da rede, apenas assume especial relevância em determinados contextos

relacionados com regimes transitórios ocorridos na rede, como seja a análise

harmónica de uma rede ou sistema. No presente contexto apenas se pretende

aquilatar e ponderar os efeitos que ocorrem nos parâmetros característicos de um

sistema de cabos subterrâneos, quando este está inserido num contexto em que

a rede trabalha com frequências muito superiores à frequência normal de

operação.

Deste modo, para o sistema descrito na secção 4.2.1, apresenta-se as

representações gráficas da variação dos parâmetros em função da frequência da

rede (50 Hz):

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Frequência (Hz)

Res

istê

nci

a (o

hm

/km

)

Fig. 18: Valores da componente directa da resistência em função da variação da frequência.


- 72 -

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Frequência (Hz)

Ind

utâ

nci

a (m

H/k

m)

Fig. 19: Valores da componente directa da indutância em função da variação da frequência.

Através da visualização das representações gráficas ilustradas anteriormente,

verifica-se que a resistência sofre um incremento no seu valor, consoante o

aumento da frequência. O aumento da resistência é aproximadamente linear até

valores próximos de 500 Hz, verificando-se de seguida um aumento não linear

para as frequências superiores. A variação não linear observada deve-se

essencialmente ao efeito pelicular, apresentando um maior impacto até à gama

de frequências descrita. O aumento da frequência provoca uma modificação

significativa da distribuição da densidade de corrente nos condutores, originando

a variação dos parâmetros em questão.

A partir de determinadas frequências a densidade de corrente fica extremamente

compactada numa determinada secção, sendo a secção real do condutor cada

vez menor. Este facto explica o menor aumento da resistência para frequências

muito superior à frequência da rede.

Relativamente á indutância verifica-se uma diminuição do seu valor, que decresce

á medida que se aumenta a frequência.

Quanto á capacidade do sistema, esta não foi representada pois, não sofre

qualquer alteração com a frequência da rede.


- 73 -

5.3 Ligação à terra

A ligação dos condutores de protecção dos cabos subterrâneos à terra é um

factor importante, sobretudo nas condições de segurança com que o cabo opera.

Para além deste facto, é também importante destacar as perdas que podem ser

originadas devido a casos de deficiente ou inexistente ligação à terra dos

elementos de protecção do cabo. Este facto tem implicações muito significativas

no valor dos parâmetros característicos do sistema de cabos.

Seguidamente apresenta-se as representações gráficas, para o sistema de cabos

descrito na secção 4.2.1, para diferentes tipos de ligação à terra:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Frequência (Hz)

Res

istê

nci

a (o

hm

/km

)

Bainha e Armadura ligadas Bainha não ligada

Armadura não ligada

Fig. 20: Variação na frequência da resistência para diferentes tipos de ligação à terra.

Pela figura anterior observa-se que na situação em que as bainhas e as

armaduras do sistema se encontram correctamente ligadas à terra, a resistência

varia, em função do aumento da frequência, de uma forma praticamente linear.

No caso, em que apenas as armaduras do sistema não se encontram

correctamente ligadas à terra, o comportamento da resistência em função da

frequência, não difere muito da situação típica e desejável. Existe um aumento

acentuado para frequência menores mas, a variação é praticamente linear para a

restante gama de frequências.


- 74 -

A situação mais atípica e também mais gravosa, é ilustrada pela figura 5.2 e

corresponde a uma falha na ligação à terra nas bainhas do sistema de cabos

subterrâneos. Verifica-se uma variação substancialmente diferente da situação

normal e típica, em que a resistência sofre um incremento desmesurado até

frequências da ordem dos 600Hz, registando-se um abrandamento do

crescimento da resistência.

00,1

0,20,3

0,40,5

0,60,7

0,80,9

1

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Frequência (Hz)

Ind

utâ

nci

a (m

H/k

m)

Bainha e Armadura ligadas Bainha não ligada

Armadura não ligada

Fig. 21: Variação na frequência da indutância para diferentes tipos de ligação à terra.

Pela visualização da Fig. 21, é possível verificar que o valor da indutância varia de

modo semelhante em qualquer das situações de ligação à terra dos condutores

de protecção do sistema de cabos subterrâneos. Apenas se verifica uma

inesperada variação da indutância, quando a armadura não está ligada à terra. O

valor da indutância decresce consoante se regista um aumento da frequência e

evidencia um decrescimento aproximadamente exponencial. Relativamente à

capacidade eléctrica do sistema de cabos, verifica-se que não sofre qualquer

influência com a alteração das condições de ligação à terra dos elementos que

constituem o sistema.


- 75 -

5.4 Ligação entre Bainhas: cross bonding

Em sistemas trifásicos de cabos subterrâneos a ligação entre as bainhas de cada

um dos cabos assume-se como um aspecto de elevada importância. Existem

várias formas de se efectuar a referida ligação mas, tendo em conta o tipo de

aplicações em que o presente estudo se insere, a ligação cruzada entre bainhas é

a que melhor se adequa, sendo usualmente denominada de cross bonding. Desta

forma, procura-se analisar a influência deste aspecto no cálculo dos parâmetros

característicos de um sistema de cabos subterrâneos. Para o efeito, considera-se

o sistema de cabos subterrâneos descrito na secção 4.2.1. Para a ligação à terra

considera-se a situação normal e desejável, ou seja, ambas as bainhas e

armaduras estão correctamente ligadas à terra. Assim, realiza-se o cálculo dos

parâmetros do sistema para diversos valores de frequência, comparando-os com

a situação de ausência de ligação entre as bainhas.

Seguidamente, apresenta-se as representações gráficas dos parâmetros do

sistema em função da frequência de operação do sistema:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Frequência (Hz)

Res

istê

nci

a (o

hm

/km

)

cross bonding sem cross bonding

Fig. 22: Variação na frequência do valor da resistência para as situações a) bainhas ligadas em

cross bonding, b) ausência de ligação entre as bainhas.


- 76 -

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Frequência (Hz)

Ind

utâ

nci

a (m

H/k

m)

cross bonding sem cross bonding

Fig. 23: Variação na frequência do valor da indutância para as situações a) bainhas ligadas em

cross bonding, b) ausência de ligação entre as bainhas.

Nas figuras anteriores verifica-se que o valor da componente directa da

resistência é bastante superior, comparativamente com o caso em que existe

ligação entre as bainhas. Em relação ao valor da indutância observa-se que é

ligeiramente inferior no caso em que não existe ligação entre as bainhas. O valor

da capacidade não é influenciado pelo aspecto referido anteriormente. As ilações

que se podem tirar vão de encontro ao que era espectável inicialmente, ou seja,

que o facto de as bainhas estarem ligadas entre si permite reduzir as perdas do

sistema. Esta conclusão é suportada pelo facto de existir um decréscimo do valor

da resistência, relativamente à situação de ligação entre bainhas, e devido ao

aumento do valor da indutância em relação à referida situação. Verifica-se ainda,

no caso em que as bainhas não estão ligadas entre si, uma variação mais

acentuada da resistência e da indutância em função da frequência, quando

comparada com a situação de ligação entre as bainhas. Conclui-se assim, que

para frequências mais elevadas, a ausência de ligação entre as bainhas origina

uma situação ainda mais gravosa do ponto de vista das perdas existentes no

sistema.

- 77 -

____________________________

Capítulo 6 ____________________________

Conclusão

Neste capítulo são apresentadas as principais conclusões que têm como base o

trabalho de investigação desenvolvido sobre a temática do cálculo de parâmetros

de cabos subterrâneos em redes de distribuição. Discute-se os resultados que se

obtiveram, tomando em consideração vários aspectos que têm grande influência

dentro do contexto pretendido. Apontam-se alguns aspectos ainda não muito

esclarecidos, segundo os quais pode ser desenvolvido um trabalho de

investigação mais intenso, e que no contexto da problemática abordada no texto

da tese assumem especial interesse e importância.

Conclusões

- 78 -

6.1 Conclusões Principais

Na abordagem efectuada no texto da tese teve-se em especial consideração qual

o principal objectivo do estudo que foi realizado, ou seja, o desenvolvimento de

uma ferramenta de cálculo informática de parâmetros de cabos subterrâneos.

Procurou-se ilustrar todo o planeamento e metodologia usados no cálculo dos

parâmetros de cabos subterrâneos, bem como todo o tratamento matemático que

foi necessário realizar. Foram explicitados todos os algoritmos usados e todas as

simplificações efectuadas, tendo em conta o contexto e as aplicações em que o

estudo pretende abranger. Depois de abordar a metodologia e algoritmos usados,

procurou-se comparar os resultados obtidos com outras ferramentas de cálculo

informáticas e com catálogos de fabricantes com elevado reconhecimento.

Relativamente a este último facto, conseguiu-se obter resultados muito próximos

dos que poderão ser obtidos com recurso a programas de cálculo,

nomeadamente com o EMTP. Também em relação aos catálogos de cabos

subterrâneos obteve-se resultados bastante semelhantes, tendo-se tomado como

termo de comparação os catálogos disponibilizados por [5]. Posteriormente a ser

efectuada a comparação dos resultados obtidos, procurou-se estudar a influência

de um certo conjunto de factores que intervêm na metodologia de cálculo

desenvolvida. Aspectos como (1) materiais, (2) tipo de solo, (3) profundidade de

enterramento, (4) temperatura, (5) distância entre cabos e (6) disposição

geométrica dos cabos são alvo de uma análise mais aprofundada. Verificou-se

que o tipo de materiais usados, tanto nos condutores como nos dieléctricos,

influencia fortemente os parâmetros em cabos subterrâneos. A capacidade

eléctrica é um parâmetro que depende em grande parte do tipo de material usado,

sendo tanto maior conforme a permitividade eléctrica do material isolante

dieléctrico usado. Em relação à resistividade do solo e à profundidade de

enterramento, concluiu-se que estes factores praticamente não influenciam os

parâmetros dos cabos subterrâneos. Quanto à temperatura a que os cabos estão

sujeitos, verificou-se que é um factor a ter em consideração pois, influencia

fortemente a resistividade dos condutores e consequentemente a resistência

eléctrica dos cabos subterrâneos. Em sistemas constituídos por mais que um

cabo subterrâneo, é extremamente importante a distância existente entre os

Conclusões

- 79 -

vários cabos que constituem o sistema, bem como a geometria em que eles estão

dispostos. A distância de separação dos cabos tem impacto no valor dos

parâmetros devido ao efeito de proximidade, em que o campo eléctrico originado

em cada cabo influencia a distribuição de correntes nos cabos da sua vizinhança.

O efeito de proximidade é tanto maior quanto mais próximos estiverem os cabos

entre si. A resistência eléctrica aumenta ligeiramente à medida que os cabos

estão mais afastados entre si, enquanto que a capacidade é inerte a este efeito. A

indutância é o parâmetro que sofre maior impacto com a variação da distância de

separação entre os cabos e é tanto maior quanto mais afastados os cabos estão

entre si. Relativamente à disposição geométrica dos cabos subterrâneos, verifica-

se que tal como a resistência, também a indutância é mais elevada na situação

em que os cabos estão dispostos em esteira. É interessante verificar, que à

medida que aumenta a distância de separação entre cabos, o valor da resistência

e da indutância tende a ser semelhante para as duas geometrias do sistema de


6.2 Outras conclusões: abordagens futuras

No presente texto, para além do objectivo de desenvolver uma ferramenta de

cálculo e comparar a validade dos resultados obtidos, conseguiu-se estender o

estudo a outras vertentes não perspectivadas inicialmente. Partindo da ferramenta

desenvolvida, procurou-se perceber e avaliar o impacto que outros aspectos, cuja

influência não é obvia, têm nos parâmetros de cabos subterrâneos. Um dos

aspectos analisados foi a variação registada nos parâmetros, quando a frequência

de operação do sistema se altera para valores superiores aos da frequência

normal de operação da rede eléctrica. Para um sistema trifásico de cabos

subterrâneos, com as bainhas e armaduras correctamente ligadas à terra,

verifica-se que a resistência eléctrica regista um aumento aproximadamente linear

para as frequências superiores à da rede. A partir de frequências da ordem de

500 Hz a resistência varia de forma não linear, sofrendo um incremento

significativo devido essencialmente à influência do efeito pelicular. A um aumento

de frequência verifica-se que a indutância sofre um decréscimo, enquanto que a

Conclusões

- 80 -

capacidade não sofre quaisquer alterações por acção da variação da frequência.

Outro aspecto causador de um forte impacto nos parâmetros de cabos

subterrâneos é a forma de ligação à terra dos elementos de protecção dos cabos.

Neste caso particular, destaca-se a situação em que as bainhas não estão ligadas

à terra, onde a resistência assume um valor muito superior quando comparado

com a situação em que as bainhas estão correctamente ligadas à terra. Por sua

vez, a indutância de um sistema de cabos subterrâneos é menor em relação à

situação normal e típica, enquanto que a capacidade do sistema não é

influenciada pelo referido aspecto. Procurou-se também estudar o comportamento

que os sistemas registam em função da variação da frequência. A indutância teve

um comportamento semelhante ao esperado, ou seja, obteve-se um decréscimo

aproximadamente exponencial. A resistência registou um aumento extremamente

acentuado até frequências da ordem dos 500 Hz, registando um aumento

aproximadamente linear para frequências superiores. Em sistemas trifásicos de

cabos subterrâneos, a ligação entre as bainhas dos cabos constituintes do

sistema, tem um impacto muito forte nos seus parâmetros. De entre várias formas

de realizar a ligação, escolheu-se estudar a ligação das bainhas de forma

cruzada, usualmente denominada de cross bonding. Este aspecto assume-se

com um factor que permite reduzir as perdas energéticas nos cabos subterrâneos.

Através de uma redistribuição mais equilibrada das correntes que circulam nas

bainhas dos cabos é possível, não apenas tornar o sistema mais equilibrado,

como também reduzir as correntes que circulam nas bainhas. As perdas dos

cabos são extremamente influenciadas pelas correntes que circulam nas bainhas.

Deste modo, reduzindo as correntes que circulam nas bainhas consegue-se

reduzir as perdas existentes no sistema. Da observação dos resultados obtidos

consegue-se depreender e verificar que para a situação em que as bainhas estão

ligadas em cross bonding, a resistência é menor relativamente à situação em que

não existe ligação entre bainhas. A indutância regista um decréscimo no seu valor

para a situação em que as bainhas não estão ligadas entre si, comparativamente

com a situação em que existe ligação em cross bonding

Referências Bibliográficas

- 81 -


[1] – EMTP, Electromagnetic Transients Program Reference Manual - Theory Book,

Developed by Bonneville Power Administration, Portland, Oregon, 1986.

[2] – A. Ametani, "A General Formulation of Impedance and Admittance of Cacles”,IEEE

Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-99,No. 3, pp. 902-910,

May/June 1980, Doshisha University, Kyoto - Japan.

[3] – N. Nagaoka, A. Ametani, “Transient Calculations on Crossbonded Cables”, IEEE

Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-102, No. 4, pp. 779-787, April

1983, Doshisha University, Kyoto – Japan.

[4] – J. Horácio Tovar Hernandéz, H. F. Ruiz Paredes, “Modelado y Análisis de Sistemas

Eléctricos de Potencia en Estado Estacionario”, Noviembre 2003.

[5] – XLPE Cable System User’s Guide,

(www.abb.pt/product/seitp332/c1256ccb004e670dc1256bdc002351d3.aspx), consultado

em 27/07/2007.

[6] – High Voltage Cable Cataloge,

(www.generalcable.pt/Productos/Catálogos/tabid/403/Default.aspx), consultado em

28/06/2007.

[7] – ATP- Alternative Transients Program – Rule book, Bonneville Power Administration,

1987.

[8] – A. Ametani, “Wave Propagation Characteristics of Cables”, IEEE Transactions on

Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-99, No. PAS-2, pp. 499-505, March/April 1980,

Doshisha University, Kyoto – Japan.

[9] – Ting-Chung Yu , José R. Martí ,”A Robust Phase-Coordinates Frequency-Dependent

Underground Cable Model (zCable) for the EMTP”, IEEE Transactions on Power Delivery,

VOL. 18, No. 1, pp.189-194, January 2003.


- 82 -

[10] – Stefan S¨orensen, Hans Nielsen, “Underground Cables and Overhead Lines Earth

Return Path Impedance Calculations with Reference to Single Line to Ground Faults”,

Section of Electric Power Systems, Aalborg University, Denmark.

cálculo de parâmetros de cabos subterrâneos para … · ii resumo a tese apresentada é sobre o...

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