cálculo 01

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  1. 1. CLCULO: VOLUME I MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRA Departamento de Anlise - IME UERJ
  2. 2. 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reproduo parcial ou total
  3. 3. 3 PREFCIO "Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora? Isso depende bastante de at onde voc quer chegar." Lewis Carrol - Alice no Pas das Maravilhas Atravs dos sculos a Matemtica tem sido a mais poderosa e efetiva ferramenta para a com- preenso das leis que regem a Natureza e o Universo. Os tpicos introdutrios que apresentamos neste livro originaram-se, inicialmente, dos pro- blemas prticos que surgiram no dia a dia e que continuaram impulsionados pela curiosidade humana de entender e explicar os fennemos que regem a natureza. Historicamente, o Clculo Diferencial e Integral de uma varivel estuda dois tipos de proble- mas: os associados noo de derivada, antigamente chamados de tangncias e os problemas de integrao, antigamente chamados de quadraturas. Os relativos derivao envolvem va- riaes ou mudanas, como por exemplo, a extenso de uma epidemia, os comportamentos econmicos ou a propagao de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplos de problemas relacionados integrao destacam-se o clculo da reas de regies delimitadas por curvas, do volume de slidos e do trabalho realizado por uma partcula. Grande parte do Clculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no sculo XVIII por Isaac Newton para estudar problemas de Fsica e Astronomia. Aproximadamente na mesma poca, Gottfried Wilhelm Leibniz, independentemente de Newton, tambm desenvolveu consider- vel parte do assunto. Devemos a Newton e Leibniz o estabelecimento da estreita relao entre derivada e integral por meio de um teorema fundamental. As notaes sugeridas por Leibniz so as universalmente usadas. O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Clculo Diferencial e Integral de uma varivel com simplicidade, atravs de exemplos, mas sem descuidar do aspecto formal da disciplina, dando nfase interpretao geomtrica e intuitiva dos contedos. O livro inclui a maioria da teoria bsica, assim como exemplos aplicados e problemas. As provas muito tcnicas ou os teoremas mais sosticados que no foram provados no apndice, foram ilustrados atravs de exemplos, aplicaes e indicaes bibliogrcas adequadas e esto incluidos como referncia ou leitura adicional para os leitores interessados. Os conceitos centrais do Clculo Diferencial e Integral de uma varivel so relativamente pro- fundos e no se espera que possam ser assimilados de uma s vez. Neste nvel, o importante que o leitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreenso intuitiva dos proble- mas. As expresses do tipo " facil ver"ou semelhantes, que aparecem no texto, no devem ser encaradas de forma literal e tem o propsito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugar a apresentao resumida e os detalhes, perfeitamente acessveis, devero ser preenchidos. Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rpido e agradvel ao Clculo Diferencial e Integral de uma varivel. No podemos deixar de recomendar aos alunos a utilizao, cri- teriosa, dos softwares de Clculo existente no mercado, pois eles so um complemento til ao aprendizado da disciplina. Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Anlise e do IME-UERJ que, de algum modo, nos motivaram e deram condies para escrever estas notas e Sra. Sonia M.
  4. 4. 4 Alves pela digitao. Certamente, todos os erros so exclusivamente de responsabilidade dos autores. Mauricio A. Vilches - Maria Luiza Corra Rio de Janeiro
  5. 5. Contedo 1 INTRODUO 9 1.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Distncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Equao da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.1 Equao Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.2 Equao Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Equaes das Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 Polinmios de uma Varivel Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7.1 Razes de um Polinmio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7.2 Algoritmo da Diviso de Polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.8.1 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 FUNES DE UMA VARIVEL REAL 35 2.1 Denies e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Grcos de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Funo Modular ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Funes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.1 Funo Polinomial do Primeiro Grau ou Am . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.2 Funo Polinomial de Segundo Grau ou Quadrtica . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.3 Funo Polinomial de Grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4.4 Funes Pares e mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.5 Interseo de Grcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6 lgebra de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.6.1 Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7 Composta de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.8 Inversa de uma Funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.8.1 Mtodo para Determinar a Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.9 Funo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.10 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.10.1 Economia: Clculo de Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.10.2 Crescimento e Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.10.3 Funo Logstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.11 Funo Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5
  6. 6. 6 CONTEDO 2.11.1 Desintegrao Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.12 Funes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.12.1 Funo Seno e Funo Co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.12.2 Funo Tangente e Funo Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.12.3 Funo Co-tangente e Funo Co-secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.13 Funes Trigonomtricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.13.1 Funo Arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.13.2 Funo Arco co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.13.3 Funo Arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.13.4 Funes Arco co-tangente, Arco secante e Arco co-secante . . . . . . . . . 87 2.14 Funes Hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.15 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3 LIMITE E CONTINUIDADE 99 3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.3 Limites no Innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.1 Clculo de Limites de Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.4 Limites Innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.5 Smbolos de Indeterminao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.7 Assntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.7.1 Esboo Aproximado de Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.8 Continuidade de Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4 DERIVADA 137 4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.2 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.3 Funes Derivveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.4 Regras de Derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.5 Derivada da Funo Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.6 Derivadas das Funes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.6.1 Funo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.6.2 Funo Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.6.3 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .