calc1 1º bim
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Apostila de Cálculo 1º bimestreTRANSCRIPT
CAPTULO 1
1) Consideraes gerais sobre os conjuntos numricos.
Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemtica no podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados j so por ns conhecidos sendo quase impossvel estar retornando sempre a definio de todos os conceitos anteriores. Ento, precisamos escolher o nosso ponto de partida, isto , o que vamos admitir j sabido e o que vamos explicar e provar em termos do que j foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o conhecimento dos nmeros da adio, da subtrao, multiplicao e a diviso por nmero diferente de zero.
1.1) Sistematizao dos Conjuntos Numricos
Existem diversos processos para introduzir o conceito de nmero real, entre os quais destacam-se o processo construtivo e o processo axiomtico. No processo construtivo parte-se de um nmero reduzido de conceitos primitivos mediante os quais surge o conjunto dos nmeros naturais N={1,2,3,...}. Define-se depois sobre N duas operaes adio e multiplicao, bem como uma relao de ordem. Completa-se o estudo dos nmeros naturais demonstrando as propriedades.
- Conjunto dos Nmeros Naturais (N)
Propriedades:
1) 1 ( N.
2) ( n ( N, (( n+1 (N e n+1 o sucessor de n.
3) ( m, n ( N se m+1 = n+1 ( m = n.
4) Seja S ( N com as propriedades:
a) 1 ( S.
b) ( s ( S ( s+1 ( S.
Logo, S = N (Princpio da Induo)
Assim tem-se:
N = {1,2,3,...}
A soma e o produto de dois nmeros naturais ainda so naturais, isto significa que o conjunto N fechado em relao a adio e a multiplicao.
Exemplo: Sejam a, b ( N
x = a + b e x = a.b
So equaes que tm soluo em N.
Porm x + a = b ou a.x = b nem sempre tem soluo em N.
- Conjunto dos Nmeros Inteiros (Z)
O conjunto dos nmeros inteiros foi estruturado a partir dos nmeros naturais para resolver as equaes acima. Este conjunto foi sistematizado com a introduo do elemento oposto. Dado um nmero natural a, existe (-a) tal que a + (-a) = 0. Com isso ns incorporamos o zero.
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
O conjunto dos nmeros inteiros fechado em relao as operaes de adio, subtrao e multiplicao, mas no em relao a diviso, por esta razo equaes da forma a.x = b nem sempre tem soluo em Z.
Exemplo:
- Conjunto dos Nmeros Racionais (Q)
Q um conjunto numrico formado por nmeros da forma , onde p e q ( Z e q ( 0. Esses nmeros racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou decimais infinitos e peridicos.
Exemplo: 2,3 ; 0,3333... ; 2,2323...
O conjunto dos nmeros racionais fechado em relao as operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso, exceto a diviso por 0; porm no conjunto dos nmeros racionais nem sempre possvel resolver a equao x2 = a
Exemplo:.
Demonstrao que :
O quadrado de um nmero par par:
2.n onde n inteiro.
PAR.
O quadrado de um nmero mpar mpar:
MPAR.
Demonstrao por contradio:
Suponha que
m, n ( 0 e m e n no simultaneamente pares, nem mpares
Se m par m = 2.k, ento:
O que contradiz a hiptese logo .
Exemplos de nmeros no racionais: 2,3791...;;(;e.
- Conjunto dos Nmeros Reais (R)
o conjunto dos nmeros obtidos pela unio dos nmeros racionais e irracionais.
- Conjunto dos Nmeros Irracionais (Q)
o conjunto dos nmeros tais que a equao tem sempre soluo quando a um nmero racional positivo. Os nmeros irracionais na notao decimal corresponde aos decimais infinitos e no peridicos.
Exemplos: 2,37951..., (, e.
Propriedades dos Nmeros Reais:
1) Lei comutativa da adio
( x, y ( R ( x + y = y + x
2) Lei comutativa da multiplicao
( x, y ( R ( x . y = y . x
3) Lei associativa da adio
( x, y, z ( R ( (x + y) + z = x + (y + z)
4) Lei associativa da multiplicao
( x, y, z ( R ( (x . y) . z = x . (y . z)
5) Lei da existncia do elemento neutro da adio
( o 0 ( R / x + 0 = x : ( x ( R
6) Lei da existncia do elemento neutro da multiplicao
1 ( R / 1 . x = x : ( x ( R
7) Lei da existncia do elemento simtrico (oposto) da adio
( x ( R , ( (-x) ( R / x + (-x) = 0
8) Lei da existncia do elemento simtrico (inverso) da multiplicao
( x ( R , x ( 0, ( x-1 ( R / x . x-1 = 1
9) Lei distributiva da multiplicao em relao a adio
( x, y, z ( R ( x (y + z) = x.y + x.z
10) Lei do fechamento da adio
( x, y ( R ( x + y ( R
11) Lei do fechamento da multiplicao
( x, y ( R ( x . y ( R
12) Lei do cancelamento em relao a adio
( x, y, z ( R se x + z = y + z ( x = y
13) Lei do cancelamento em relao a multiplicao
( x, y, z ( R e z ( 0 se x . z = y . z ( x = y
14) Lei da tricotomia
( x, y ( R, vale uma e somente uma das afirmaes:
x > y ou x < y ou x = y
Obs.: fazendo y = 0, temos:
x > 0 ou x < 0 ou x = 0
15) Lei da compatibilidade da relao de ordem com a adio
( x, y, z ( R se x + z > y + z ( x > y
16) Lei da compatibilidade da relao de ordem com a multiplicao
( x, y, z ( R e z > 0 se x > y ( x . z > y . z
Obs.: se z < 0 : x > y ( x . z < y . z
17) Lei da transitividade
( x, y, z ( R se x > y e y > z ( x > z
Exerccios:
1) Responda (V) ou (F) e justifique.
a) Se x um nmero positivo ( 5x um nmero positivo
b) Se x < 3 e y > 3 ( x < y
c) Se x ( y ( -5x ( -5y
d) Se x2 ( 9 ( x ( 3
e) Se x ( 2 e y > x ( y > 0
Respostas:
(V) certo pois se x positivo, 5 multiplicado por um nmero positivo (x) sempre ter como resultado um nmero positivo.]
(V) verdadeiro porque se x < 3, x qualquer nmero menor que 3 e sendo y > 3, y qualquer nmero maior que 3. Assim x < y.
(V) Podemos simplificar a equao: -5x ( -5y em x ( y.
(F) falso pois resolvendo a inequao teremos: x2 ( 9
x2 = 9 x = ( 3 x ( 3 x ( -3
(V) x ( 2 y > x y > 2
1.1) x
1.2) Representao Geomtrica dos Nmeros Reais
Existe uma correspondncia bionvoca entre os pontos de uma reta e o conjunto dos nmeros reais de tal forma que cada ponto da reta fica determinado por um nico nmero real e todo nmero real est associado a um nico ponto da reta
negativos 0 positivos
1.3) Espao Real Unidimensional
Definies
1) Conjunto linear
Chama-se conjunto linear qualquer conjunto de nmeros reais ou de seus pontos representativos.
2) Intervalos
So subconjuntos da reta e podemos considerar os seguintes casos: (sejam a e b nmeros reais tais que a < b)
a) Intervalo fechado de extremos a e b. [
[ ]
{x ( R / a ( x ( b}
a b [a, b]
b) Intervalo aberto de extremos a e b. ( ou ]
[ ]
{x ( R / a < x < b}
a b (a, b) ou ]a, b[
c) Intervalos reais semi-abertos:
c.1) esquerda
( ]
{x ( R / a < x ( b}
a b (a, b] ou ]a, b]
c.2) direita
[ )
{x ( R / a ( x < b}
a b [a, b) ou [a, b[
d) Intervalos reais ilimitados
d.1) (-(, b] ( {x ( R / x ( b}
]
b
d.2) (-(, b) ( {x ( R / x < b}
)
b
d.3) [a, () ( {x ( R / x ( a}
[
a
d.4) (a, () ( {x ( R / x > a}
(
a
Intervalo degenerado
a {x ( R / x = a} = [a, a]
3) Supremo (limite superior)
Um nmero real L supremo de um conjunto linear A se e somente se (() so verificadas as seguintes condies:
L ( x, ( x ( A
Dado L1 < L, ento (() ( x ( A / L1 < x < L.
4) nfimo (limite inferior)
Um nmero real l nfimo de um conjunto linear a ( so verificadas as seguintes condies:
l ( x, ( x ( A
Dado l1 > l ( ( x ( A / l < x < l1.
5) Mximo de um conjunto
Um nmero real L mximo de um conjunto linear A ( so verificadas as seguintes condies:
L supremo de A
L ( A.
6) Mnimo de um conjunto
Um nmero real l mnimo de um conjunto linear A ( so verificadas as seguintes condies:
l nfimo de A
l ( A.
Exerccio:
A = (2, 5]
B = { x ( R / x > 2}
C = { x ( R / x ( 3}
Determinar:
Superior (A) : 5
Superior (B) : (
Superior (C) : 3
nfimo (A) : 2
nfimo (B) : 2
nfimo (C) : ( Mximo (A) : 5
Mximo (B) : (
Mximo (C) : 3
Mnimo (A) : (
Mnimo (B) : (
Mnimo (C) : (7) Distncia em R (unidimensional)
Considere dois pontos quaisquer P e Q cujas coordenadas so a e b respectivamente e a < b. A distncia de P at Q indicada por d (P, Q) dada por |b a|
P Q
a |b a| b
|b a| =
d (P, Q) = |b a| ou d (P, Q) =
8) Vizinhana em R (unidimensional)
Denomina-se vizinhana unidimensional de um ponto P0 (X0) e de raio ( (delta) ( ( R a todo conjunto de pontos P (x) ( R / d (P, P0) < (.
V (P0, () = {x ( R / 0 ( d (P, P0) < (}, onde x a abscissa do ponto P
P0 ( )
x0-( X0 x0+(
0 ( |x x0| < ( (9) Vizinhana perfurada em R
Denomina-se vizinhana perfurada unidimensional de um ponto P0 (X0) e de raio ( ( R a todo o conjunto de pontos P (x) ( R / 0 < d (P, P0) < (
(P0, () = {x ( R / 0 < d (P, P0) < (}
(P0, () = 0 < |x - x0| < (10) Ponto de acumulao
Um ponto P0 (X0) A se e somente se ( V (P0) existir pelo menos um ponto P ( R / P ( A e P ( V (P0).
a P0 b
( ( ) ( | ) ( ] )OBS.: Um ponto de acumulao pode no pertencer a um conjunto (sendo o supremo do conjunto ou nfimo).
11) Valor absoluto ou mdulo de um nmero real
Denomina-se mdulo ou valor absoluto de um nmero x ( R, o nmero definido por
|x| = x se x ( 0 ( |x| = 0 ( x = 0
|x| = -x se x < 0
Pela definio podemos notar que o mdulo de um nmero real ele mesmo caso esse nmero seja positivo e ser o oposto dele caso ele seja negativo.
Geometricamente o mdulo de um nmero real x (|x|) representa a distncia que um ponto P (x) se encontra da origem.
0 x
| |
|x| P
-3 0 5
| | |
Q P
|-3| |5|
Genericamente se P (a) e Q (b) so dois pontos da reta numrica, ento a distncia de P at Q poder ser calculada por: d (P, Q) = |b a|
|b a| =
d (P, Q) =
Propriedades decorrentes da definio:
1) |x| ( 0 e |x| = 0 ( x = 0
2) |x|2 = x23) |x| =
4) |x . y| = |x| . |y|
5) se y ( 0
6) |x + y| ( |x| + |y| ( desigualdade triangular
7) |x| = |y| ( x = ( y
Seja a ( 0 |x| = a ( x = ( a
8) |x| ( a ( -a ( x ( a
9) |x| ( a ( x ( -a ou x ( a
Demonstraes das propriedades acima
P1) |x| ( 0 e |x| = 0 ( x = 0 x ( R
Pela Lei da Tricotomia; ou x > 0 ou x < 0 ou x = 0.
Se x > 0: |x| = x mas x > 0 ( |x| > 0
Se x < 0: |x| = -x mas x < 0 ( -x > 0 ( |x| > 0
Se x = 0: |x| = 0
P2) |x|2 = x2
Se x > 0: |x| = x ( |x|2 = x2
Se x < 0: |x| = -x ( |x|2 = (-x)2 = x2 Se x = 0: |x| = x ( |x|2 = x2P3) |x| =
indica a raiz quadrada positiva de um nmero a ( 0.
( pela propriedade 2
P4) |x . y| = |x| . |y|
|x . y|2 = (x . y)2
|x . y| =
|x . y| =
|x . y| =
|x . y| = |x| . |y|
P5)
P6) |x + y| ( |x| + |y|
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2(x + y)2 = |x|2 + 2xy + |y|2Obs.:x ( |x|
2xy ( |2xy|
2xy ( 2 |x| |y|
(x + y)2 ( |x|2 + 2 |x| |y| + |y|2|x + y|2 ( ( |x| + |y| )2
|x + y| ( |x| + |y|
P7) |x| = |y| ( x = ( y
|x|2 = |y|2
x2 = y2
x = ( y
P8) |x| ( a
x ( 0 ( |x| = x ( x ( a 0 [ ] a x < 0 ( |x| = -x ( -x ( a ( x ( -a -a [-a [ ] a-a ( x ( a
P9) |x| ( a ( x ( a ou x ( -a x ( 0 ( |x| = x
x ( a a [ x < 0 ( |x| = -x
-x ( a ( x ( -a
] a
]a a[
x ( a ou x ( -a
Exemplos:
Resolver as equaes e inequaes:
a) |x 3| = 2
|x| = a ( x = ( a
|x 3| = 2 ( |x 3| = -2
x 3 = 2
x 3 = -2
x = 5
x = 1
Resposta: x = 5 ou x = 1.
b) |x 5| = |3x 1|
|x| = |y| ( x = ( y
x 5 = 3x - 1 ( x 5 = -3x + 1
2x = -4
4x = 6
x = -2
x =
Resposta: x = -2 ou x =.
c) |4x 6| ( 3
|x| ( a ( -a ( x ( a
-3 ( 4x - 6 ( 3
Resposta: .
d) |3x + 5| > 2
|x| > a ( x > a ou x < -a
3x + 5 > 2 ( 3x + 5 < -2
x > -1
x -1 ou x 0 ao conjunto de todos os pontos P (x, y) / 0 ( d (P, P0) < (.
y
y0
x0
x
2.7) Vizinhana Perfurada em R2Denomina-se vizinhana perfurada bidimensional de um ponto P0 (x0, y0) e raio ( > 0 o conjunto de todos os pontos P (x, y) ( R2 / 0 < d (P, P0) < (.
2.8) Ponto de Acumulao em R2Dizemos que sem um ponto P0 (x0, y0) ponto de um conjunto A ( R2 se para toda a V2 (P0) existir pelo menos um ponto P (x, y) ( R2 / P (x, y) ( A e P (x, y) ( V(P0).
3) Relaes Binrias e Funes Reais
3.1) Relaes Binrias
Sejam A e B conjuntos lineares no vazios, chama-se relao plana de A em B a qualquer subconjunto de pares ordenados (x, y) do produto cartesiano A x B.
3.2) Domnio, Imagem, Contradomnio e Grfico de Relaes
a) Domnio de relaes:
Seja S uma relao de A em B, chama-se domnio de S e se indica por DS o conjunto linear:
DS =
b) Contradomnio:
Se S uma relao de A em B, o contradomnio de S que se indica por CdS o conjunto B.
CdS = B
c) Imagem:
Se S uma relao de A em B, a imagem de S indicada por ImS o conjunto linear:
ImS =
d) Grfico:
Sendo S uma relao, denomina-se grfico de S o conjunto:
GS =
e) Grficos das principais relaes:
1)
y = x ( funo
y ( x ( no funo
2)
a ( coeficiente angular
b ( coeficiente linear
a = tan (Se:
a > 0 ( tan ( > 0 (( ( < 90o : agudo
a < 0 ( tan ( < 0 (( ( > 90o : obtuso
3)
Se:
a > 0 ( a < 0 (
1y = 0
ax2 + bx + c = 0
3 ( > 0 ( 2 razes 1 ( < 0 ( no existe (
( = 0 ( 1 nica raiz 3( x = 4y2 9 ( tambm uma parbola
a > 0 (
a < 0 (4)
Pode ser circunferncia, elipse ou hiprbole (quando o sinal entre x e y de subtrao)
Equao geral da circunferncia
Exemplos:
Dados , determine:
1) Grfico de R1(R22) Domnio de R1(R23) Imagem de R1(R2
(
Para y = 0
1) Pontos de interseo ( Sistema
D = {x ( R / -3 ( x ( 3}
2) {y ( R} = Im
Im = {y ( R / 0 ( x ( 5}
3.3) Funo Real de Varivel Real
Seja F uma relao de um conjunto A em um conjunto B tal que para todo x pertencente a A corresponder um nico y ( B, ento esta relao denomina-se funo.
Notao:
F: A ( B
y = F (x)
Domnio:
Se F: A ( B, ento o domnio de F o conjunto A j que todo x ( A deve figurar em um nico par ordenado (x, y) de F.
DF = A
Contradomnio:
Se F: A ( B, o contradomnio de F o conjunto B.
CF = B
Imagem:
A imagem de F o conjunto dos y ( B que esto relacionados por F, isto , o conjunto dos y ( B que so obtidos a partir de x pela lei F, j que y = F (x).
ImF ( B
Determinao do domnio ou Campo de Existncia de Funes Reais de Variveis Reais
Quando definimos uma relao como funo apenas pela lei de correspondncia y = f (x), estamos admitindo que o domnio ou campo de existncia da funo o conjunto de todo x ( R que seja possvel determinar y ( R e y = F (x).
Exemplos:
1) Determinar o domnio ou campo de existncia das seguintes funes:
a)
-(
1 +( Ponto de acumulao
b)
c)
4
x-4 - - - - - - - - - - - + + + + + + + +
-3
x+3 - - - - - + + + + + + + + + + + + +
+ - +
-3 4
d)
0
2x - - - - - - - - - - - + + + + + + + +
-3 3
x2-9 + + + + - - - - - - - - - - - + + + +
- + - +
-3 0 3
e)
0
2x
-3 3
x2-9 + + + + - - - - - - - - - - - + + + +
- + - +
-3 0 3
f)
1 2
x2-3x+2 + + + + + + + - - - - - - - + + + +
-1
x+1 - - - - + + + + + + + + + + + + + +
- + - +
-1 1 2
g)
-2 2
1 2
1 2
3.4) Funes Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras
a) Funo Injetora:
Uma funo y = F (x) de A em B injetora se os elementos y ( B so imagens de um nico x ( A.
b) Funo Sobrejetora:
Uma funo y = F (x) de A em B sobrejetora se a imagem de F for igual ao contradomnio de F, isto , todo y ( B deve ser imagem de pelo menos um x ( A.
c) Funo Bijetora:
Uma funo y = F (x) bijetora se e somente se F for injetora e sobrejetora.
3.5) Classificao das Funes
As funes so classificadas em dois grandes grupos:
I) Funes Algbricas Elementares
a) Funes Algbricas Racionais
a.1) Inteiras
a.2) Fracionrias
b) Funes Algbricas Irracionais
II) Funes Transcendentais
a) Trigonomtricas
b) Exponenciais
c) Logartmicas
I) Funes Algbricas Elementares
So funes cujas variveis so operaes algbricas elementares (adio, subtrao, multiplicao, diviso e potenciao). E so classificadas como segue:
a) Funes Algbricas Racionais:
As funes algbricas racionais so aquelas em que as variveis no se encontram abaixo de radicais ou no esto elevadas a expoentes fracionrios e se classificam em:
a.1) Racionais Inteiras:
So aquelas em que suas variveis no se encontram em denominador ou no esto elevadas a expoentes negativos. So as funes conhecidas como POLINOMIAIS. Ex.: f(x) = a0.xn+a1.xn-1+...+ana.2) Racionais Fracionrias:
So funes da forma , onde f(x) e g(x) so funes racionais inteiras. Ex.:
b) Funes Algbricas Irracionais:
So funes algbricas cujas variveis esto sob radicais ou elevadas a expoentes fracionrios positivos ou negativos.
II) Funes Transcendentais:
So funes cujas variveis esto sujeitas as operaes da trigonometria, da exponenciao e da logaritmizao.
Exemplos:
Classificar as seguintes funes:
1) (funo algbrica elementar racional
2) (funo algbrica irracional
3) (funo algbrica elementar racional inteira
4) (funo algbrica racional fracionria
5) (funo transcendental
6) ( funo transcendental
7) ( funo algbrica racional inteira
8) ( funo algbrica irracional
Ainda com referncia a classificao as funes algbricas e as funes transcendentais podem ser classificadas em:
a) Funes Explcitas:
So aquelas em que uma das variveis resolvida em funo da outra, isto , isola-se uma varivel em funo da outra. ( y = f(x) )
Ex.: y = x2+3x
b) Funes Implcitas:
So aquelas em que no possvel resolver uma das variveis em relao a outra. (F(x, y)=0)
Ex.: y2+2.x5.y3+x2.seny=0
3.6) Composio de Funes
Se f e g so funes tais que pelo menos um elemento pertencente a imagem de g pertencer ao domnio de f, ento a composio de f por g, indicada por fog definida por:
fog = f ( g (x) )Exemplo:1) Determinar fog e gof, sendo f (x) = 3x e g (x) = x + 4
( fog = f ( g (x) ) = 3 (x+4) = 34 . 3x
( gof = g ( f (x) ) = 3x + 4
3.7) Funo Inversa
Duas funes f e g so inversas se e somente se:
a) A imagem de g est contida no domnio de f;
b) Para todo x ( ao domnio de f, fog = x;
c) A imagem de f deve estar contida no domnio de g;
d) Para todo x do domnio de f, gof = x.
Nestas condies f dita invertvel.
Para que estas condies sejam satisfeitas necessrio que f seja bijetora.
Notao:
Se y = f (x) invertvel, a inversa de f indicada por x = f -1 (y) ou x = g (y).
Grfico:
O grfico de funes inversas so simtricos em relao a reta y = x.
TCNICA PARA DETERMINAR A INVERSA E REPRESENT-LA NO PLANO CARTESIANO1) Isola-se x na equao original .
2) Troca-se x por y para respeitar a conveno de representao de funo no plano cartesiano que usualmente a varivel independente x e a varivel dependente y.
Exemplos:
Determinar as inversas das seguintes funes:
1) f (x) = x + 4
y = x + 4
x = y 4
y = x 4 ( Funo inversa
2)
( Funo inversa
3)
( Funo inversa
4)
( Funo inversa
5)
( Funo inversa
3.8) Funes Pares e Funes mpares
Funo Par:
Seja y = f (x) definida em um domnio D, dizemos que f par, se e somente se para todo x ( D, -x ( D e f (-x) = f (x) .
Observe que o grfico de funes pares so simtricos ao eixo dos y.
Funo mpar:
Seja y = f (x) definida em um domnio D, dizemos que f mpar, se e somente se para todo x ( D, -x ( D e f (-x) = - f (x) .
Observe que o grfico de funes mpares simtrico em relao a origem
Exemplos:
Verificar se as funes so pares, mpares ou nem par nem mpar:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
4) Limite e Continuidade de Funes
4.1) Noo Intuitiva
Seja
Se
xf(x)
xf(x)
13
35
1,53,5
2,54,5
1,93,9
2,14,1
1,993,99
2,014,01
Note que para todo x ( V (2, ()( f(x) ( V (4, () podemos dizer que o limite de f(x) quando x tende para 2 igual a 4 e podemos escrever:
De modo geral se y = f (x) definida em um domnio D do qual a ponto de acumulao.
4.2) Definio Formal de Limite
Sendo f (x) definida em um domnio D do qual a ponto de acumulao dizemos que f (x) tem limite L quando x tende para a, e se indica por:
se e somente se para todo ( > 0, ( ( > 0 / |f (x) L| < ( sempre que 0 < |x a| < (Exemplos:
Usando a definio de limite, mostre que:
1)
2)
( Se f (x) = x ( y = x (Funo Identidade)
P1
| x-a | < ( ( | x-a | < (
( = (
( Se f (x) = k ( y = k
P24.3) Propriedades Operatrias do Limite
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
Exemplo:
1)
4.4) Limites Unilaterais
Limite direita:
Seja f uma funo definida em um intervalo (a, c)
e L um nmero real, a afirmao , significa que para todo ( > 0, ( ( > 0 / |f (x) L| < ( sempre que 0 < x a < ( ( a < x < a + ( (
Limite esquerda:
Seja f uma funo definida no intervalo (c, a) e L um nmero real, a afirmao , significa que para todo ( > 0, ( ( > 0 / |f (x) L| < ( sempre que -( < x a < 0 ( a-( < x < a
4.5) Teorema
1)
Exemplos:
1)
2)
4.6) Continuidade das Funes
Condies:
1) ( f (a)
2) (
3)
Exemplos:
1) Verificar se contnua para x = 1 :
i)
ii)
iii)
Resposta: contnua
2) Verificar se contnua para x = 3 :
i)
ii) indeterminao
iii)
Resposta: No contnua
assntota
y
x
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
-2
-3
EMBED Equation.3
2
3
-2
2
b
a0
(
x
y
(
45o
y
x
(
P0
II
I
III
IV
2
x
y
-1
1
x
y
-3
4
x
-3 0
3
y
0
x
3
y
x
-x
f(x)
f(-x)
2
4
( )
a -( a a +(
L+(
L-(
4
( )
( )
1
( )
a c
a a+(
( )
a-( a
( )
x
y
a
x
y
a
x
y
a
c
b = f (a)
x
y
a
1 Bimestre Verso: 1.0 Data: 03/03/99 pgina: 22
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