caixas band pass simétricas, de 4 ordem - audiodiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · uma caixa band...

68
Caixas Band Pass Simétricas, de 4 a Ordem Homero Sette Silva Ano Novo de 2004

Upload: doanbao

Post on 08-Nov-2018

215 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Caixas Band Pass

Simétricas,

de 4a Ordem

Homero Sette Silva

Ano Novo de 2004

Page 2: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Caixas Band Pass

Simétricas, de 4a Ordem 01 – 01 - 04 BP4SIM

Homero Sette Silva

[email protected]

Este trabalho é uma releitura do Capítulo 11, do livro Alto-Falantes & Caixas Acústicas, de minha autoria, escrito há quase dez anos, e serve às seguintes finalidades: a) como errata aos erros tipográficos existentes no texto original; b) apresentar, em detalhe, o desenvolvimento matemático por trás das equações do livro, o que ali seria inviável; c) fazer uso dos novos recursos atualmente disponíveis, como o MatLab, no sentido de tornar mais fácil a análise do conteúdo.

Introdução

Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro de uma caixa refletora de graves, estando esta sem o falante (que vai montado na caixa fechada), sendo o duto a fonte sonora para o meio exterior, conforme a Fig. 1.

Aliás, esta foi a estratégia usada pelo Autor, quando fez as pesquisas iniciais que levaram ao desenvolvimento de um software para projeto de caixas BP de quarta e sexta ordens: uma caixa de 240 litros, com tampa removível, permitia que caixas menores fossem colocadas em seu interior.

Os termos quarta e sexta ordem referem-se ao grau do polinômio que caracteriza a resposta das caixas band pass, com duto em apenas uma das câmaras, ou em ambas, respectivamente.

Neste trabalho, consideraremos a câmara 1 como sendo a selada, cabendo à câmara 2 conter o duto e o conjunto magnético do falante, pois a prática recomenda isso em virtude da melhor refrigeração proporcionada pelo duto (ver a referência bibliográfica 5), o que irá contribuir significativamente para reduzir a temperatura da bobina, o que é vital para a

sobrevivência do falante ao trabalhar com potências elevadas, como geralmente acontece com os sub woofers.

Outro aspecto básico a ser ressaltado, é a característica de resposta tipo banda passante (Fig. 2) da componente acústica no duto, em uma caixa refletora de graves. Isto se deve ao ressonador de Helmholtz, que caracteriza a combinação do volume de ar da caixa (comportamento capacitivo), com o ar no duto (comportamento indutivo), o que resulta na sintonia da caixa, que entra em ressonância em uma freqüência denominada Fb. Algo semelhante ocorre em uma caixa band pass de quarta ordem, quando o sinal acústico produzido pela caixa selada tem que atravessar um ressonador de Helmholtz, antes de se propagar pelo meio ambiente. Quando a freqüência Fb do ressonador é igual à freqüência Fc, de ressonância do sistema caixa fechada, temos uma resposta simétrica, com uma atenuação de 12 dB/oitava, de ambos os lados da curva de resposta, o que ficará evidenciado nas figuras a serem apresentadas, adiante. As equações numeradas, são aquelas apresentadas no livro.

Fig. 1 – Caixa BP de 4a ordem, vista em corte.

Page 3: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

10−1

100

101

60

65

70

75

80

85

90

95

100

PO

em

dB

e s

uas

Com

pone

ntes

f / Fb

| PD || PP || PL || PO |

Fig. 2 – Componentes acústicas do refletor de graves. A contribuição do duto (em vermelho) é uma resposta band pass.

Fig. 3a – Circuito equivalente de uma caixa band pass de 4a ordem.

( )ELPg Eg

Rg R Sd

β= ⋅+ ⋅

; ( )

( )2

2E

LZae Rae

Rg R Sd

β= =+ ⋅

1Zas Ras s Mas

s Cas= + ⋅ +

1Rat Rae Ras Rab= + + ; Cas Cab1 CasCatCas Cab1 1

⋅= =

+ α + ;

1

Cas VasCab1

( )Vb

8α = =

Fig. 3b – Circuito equivalente com os componentes semelhantes associados.

Page 4: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

21 s Rat Cat s Mas Cat 1Zat Rat s Mass Cat s Cat

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ += + ⋅ + =

⋅ ⋅

2S

1Mas Cas⋅ =ω

; 2C

1Mas Cat⋅ =ω

; 2C2S

Cas 1Cat

ω= = α +

ω

2

C22C C

s s Rat Cat 1s Mas Cat s Rat Cat 1Zat

s Cat s Cat

+ ⋅ω ⋅ ⋅ +ω ω⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

= =⋅ ⋅

C1Rat Cat

Qtcω ⋅ ⋅ =

Para 1Rab desprezível: S1Rat Cas

Qtsω ⋅ ⋅ =

C

S

Qtc Cas 1Qts Cat

ω= = = + α

ω

2C

C S 2S

FQtc Qts 1 ; 1 (1F

9)= ⋅ + α ω = ω ⋅ + α ∴ + α =

2

2C C

s s 1 1QtcZat

s Cat

+ ⋅ +ω ω

=⋅

A Câmara Vb2

22

2

1 s MapZab 1 s Map Cab 1s Cabs Map

⋅= =

⋅ ⋅ ++ ⋅⋅

22 22 2 2

b b 2 b 2

1 1 VasMap Cab Map ondeCab Cas Vb

α⋅ = ∴ = = α =

ω ω ⋅ ω ⋅

2

2b

s MapZabs 1

⋅=

b2 22 22

b b2 2b b

ssZab

s sCas Cas1 1

ωα α= ⋅ = ⋅

ω ⋅ ω ⋅+ +ω ω

Page 5: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Velocidades Volumétricas

PgUdZat Zab

=+

2

22C C b

2b

2b

1Ud Pgs s 1 s1

Qtcss Cat Cas 1

= ⋅+ ⋅ +

αω ω ω+ ⋅⋅ ω ⋅ +

ω

2

2 22 b

22C C

2b

s CatUd Pgs

s s 1 Cat1sQtc Cas 1

⋅= ⋅

α ⋅ ω+ ⋅ + + ⋅ω ω +

ω

2

2 2C C

1 SdCatMas M

Cat; 1Cas 1ms

= =ω ⋅

=ω ⋅ + α

2 22

22 2C b

2C

C

C2b

Ss

Ud Pgs s

dMms 1 s 1 1

s Qtc1 1

= ⋅ ⋅α++

⋅ ⋅ + ⋅

ω

+ω ω ω+α

ω

ω

1 2 d BQtc

= ⋅ ⋅ ; ( )b

2T

2

2 Vas

V 1B

1= = α

⋅α

+ α=

+ α

( ) ( )( )

2 2 22 2 2

1 1 12 d B 2 dQtc Qtc 1 Qts 1

α= ⋅ ⋅ ∴ = ⋅ ⋅ =+ α ⋅ + α

( )( )22 B22

b2

1 Vas V 2 d Qts VasV2 d Qts

(11)α = = ∴ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

( )( ) ( )

22

2 2L H B2

Fc/Qtc 1 VasB4 d F F 2 d Qtc V 1

(10)= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + α

Page 6: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

2C

2 2C

22 2C b

2

C2b

B

sSdUd Pg

s s sMms 1s 1

2 d B

ω= ⋅ ⋅ω ⋅ + ⋅ + ⋅

ωω

⋅+

⋅ +ω ω

2

2

2b

2

b

Zab s M1 1Up Ud Ud Udss Map s Ma s 1p

ap

1

= − ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅⋅ ⋅ +

ω

2C

2 2 2 2C

22 2 2b C b C

2b

sSd 1Up Pg

s s s B sMms 1 2 d B 1s 1

ω= ⋅ ⋅ ⋅ω ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω ω ω+ω

2C

2 2 22C

2 2 2b C C b

sSdUp PgMms s s s s1 2 d B 1 B

ω= ⋅ ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ⋅ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ω ω ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2C

4 3 22 2C

2 2 2 2 2 2b C b C b C C b

sSdUp PgMms s s 2 d B 1 1 s 2 d B ss 1 B

ω= ⋅ ⋅ ⎛ ⎞ω ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎟⎜ ⎟+ + ⋅ + + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω ω⎝ ⎠

2C

4 3 22C

2 2 2 2 2 2b C b C b b C C

sSdUp PgMms s s 2 d B 1 B 1 s 2 d Bs 1

ω= ⋅ ⋅ ⎛ ⎞ω ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎟⎜ ⎟+ + ⋅ + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω ω⎝ ⎠

( )2

C4 3

C 2 22 2 2 2 2b C b C b C C

sSdUp PgMms s s 2 d B 1 1 s 2 d Bs 1 B 1

ω= ⋅ ⋅ ⎡ ⎤ω ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥+ + ⋅ ⋅ + + + +⎢ ⎥ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω⎣ ⎦

Pa s Up2 rρ= ⋅ ⋅π

( )2

4 32 2

2 2 2 2 2b C b

2

2C

C b C C

SdPa PgMms s s 2 d B 1 1 s 2 d Bs 1 B 1

s

2 r= ⋅ ⋅ ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥+ + ⋅ ⋅

ρ ω

+ + + +⎢ ⎥ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω⎣

πω ω⎦

Page 7: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.20

0.5

1

1.5

2

2.5

d • Qtc

B

Fig. 4 - B em função de d•Qtc .

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

d • Qts

α 2 =

V

as /

Vb 2

Fig. 5 - 2α em função de d•Qts .

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.20

1

2

3

4

5

6

d • Qtc

α T

=

α 2 / (

1 +

α )

Fig. 6 - Tα em função de d•Qtc .

Page 8: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Resposta Simétrica ( b Cω = ω )

( )2

C4 3 2

2C4 3 2C C C C

sSdUp Pg

s s 2 d B s s 2 d BMms B 2 1

ω= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω ⋅ + + ⋅ + + +

ω ω ω ω

( )

2

2 2C

4 3 22

4 3 2C C C C

sSdPa Pg

s s s s2 r Mms 2 d B B 2 2 d B 1

ρ ω= ⋅ ⋅ ⋅π + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω ω ω

NC CF

(1)fωω = =

ω 2

C 1 2 L HF F F F (2)F= ⋅ = ⋅ NN

3)ss (=ω

( )2 2

N

4 3 2 2N N N N

Sd sPa Pg2 r Mms s 2 d B s B 2 s 2 d B s 1

ρ= ⋅ ⋅ ⋅π + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

( )2

E

2

E

Sd Sd Eg KPa2 r Mms 2 r Mm

L SdEgRs g R 2 r

LPg EgRg R S Mmsd

β ρ⋅ ⋅ ⋅+

ρ ρ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =βπ

⋅ ⋅π+ ⋅π

( )2N

4 3 2 2N N N NE

sPas 2 d B s

L SdEgRg R 2 r Mm B 2 s 2 d B s 1s

= ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅

β ρ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅+ π +

( ) ( )N NE

S SL SdEg

Rg R 2 r MmsPa G Eg KPa G= ⋅ =β ⋅⋅ ⋅

+⋅ρ⋅

π

E

L SdKPa2 r Rg R Mmsρ β= ⋅ ⋅π +

( ) ( )N

2N

S 4 3 2 2N N N N

sGs 2 d B s B 2 s 2 d B s 1

=+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

N

N

2N

(S )(S )

)sGD

(4=

N

4 3 2 2(S ) N N N ND s 2 d B s (B 2) s 2 d B (5)s 1= + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ++

N

4 3 2 2( j ) N N N ND j 2 d B (B 2) j 2 d B 1ω = ω − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω − + ⋅ω + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω +

Page 9: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

N

4 2 2 3( j ) N N N ND (B 2) 1 j 2 d B j 2 d Bω = ω − + ⋅ω + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω

( )

N

4 2 2 3( j ) N N N ND (B 2) 1 j 2 d Bω = ω − + ⋅ω + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω − ω

( )

N

4 2 2 2( j ) N N N ND (B 2) 1 j 2 d B 1ω = ω − + ⋅ω + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω ⋅ ω −

( )N

2 224 2 2 2 2 2 2( j ) N N N ND (B 2) 1 4 d B 1ω ⎡ ⎤= ω − + ⋅ω + + ⋅ ⋅ ⋅ω ⋅ ω −⎣ ⎦

( )N

42 N( j ) 224 2 2 2 2 2 2

N N N N

G(B 2) 1 4 d B 1

ω

ω=

⎡ ⎤ω − + ⋅ω + + ⋅ ⋅ ⋅ω ⋅ ω −⎣ ⎦

N

2

( j ) 2 22 2 2 2N N2

N N

1G1 1(B 2) 4 d B

ω =⎡ ⎤ ⎛ ⎞ω − + + + ⋅ ⋅ ⋅ ω −⎜ ⎟⎢ ⎥ω ω⎣ ⎦ ⎝ ⎠

N

2

( j ) 2 22 2 2 2N N2

N N

1G1 1B 2 4 d B

ω =⎡ ⎤ ⎛ ⎞ω + − − + ⋅ ⋅ ⋅ ω −⎜ ⎟⎢ ⎥ω ω⎣ ⎦ ⎝ ⎠

N

2

( j ) 2

2 N2 2 2N

42

N2N

1G1

1 B 2 4 d BB

ω =⎛ ⎞ω −⎜ ⎟ω⎡ ⎤ ⎝ ⎠ω + − − + ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ω⎣ ⎦

N NN N

T

(7

1 1

B)

ω − ω −ω ω

γ = =α

N

2

( j ) 22 2 2 2

N

4N 2

1G1 B 2 4 d B

ω =⎡ ⎤ω + − − + ⋅ ⋅ ⋅ γ⎢ ⎥ω⎣ ⎦

N

2

( j ) 22 2N 2

2

4

22N

1/G1 B 2

B

4 dB

ω =⎡ ⎤ω + − −⎢ ⎥ω⎢ ⎥ + ⋅ ⋅ γ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 10: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

22 2 2N N N2 2

2N N N2 2

1 1 12 B 21 1 1

B B B

⎛ ⎞ω + − − ω − + ω −⎜ ⎟ω ω ω⎜ ⎟= − = − = γ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2N 2

2 N2

1 2 B1

B

ω + − +ω

γ − =

( )N 22 2N 2

N2

4 42

( j ) 22 2 2

2 2

11

1/ B 1/ BG

(B 2)

B

4 d

4 d

ω = =+ ⋅ ⋅ γ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥ + ⋅ ⋅ γ⎢ ⎥⎢

γ −ω + − +

ω

⎥⎦

( ) ( )N

42

( j ) 22 2

1/ B (6d

)G2 1

ω =⋅ ⋅ γ + γ −

Em N NC ( j ) ( j j) 2

1f F 0 G GBω ω == ⇒ γ = ⇒ = =

( )N( j j) dB

(12)PA G 40 Log Bω == = − ⋅

( ) ( )N

( j )N

N

( j )N

22 2( j j)

G 1GG 2 d 1

ω

ω

ω =

= =⋅ ⋅ γ + γ −

( ) ( )( j )N

22 2N

dBG 10 Log 2 d 1

ω

⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ ⋅ γ + γ −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )N ( j )N

21 2 ( j ) N2

dB

1f F e f F 1 G G 20 Log 2 d2 d B ωω= = ⇒ γ = ⇒ = ⇒ = − ⋅ ⋅⋅ ⋅

N ( j )N( j ) NdB dB

G PA Gωω = +

Os valores de d e B determinam completamente a resposta normalizada em freqüência, bem como o Qtc. Nas figuras que se seguem, podemos ver que quanto menores forem d e Qtc, maior será a banda passante e menor a amplitude da resposta.

Page 11: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Respostas normalizadas, em função do fator de amortecimento d, para diversos valores de Qtc.

100

−20

−15

−10

−5

0

5

f / Fc

| GN

(jω) | d

B

em

funç

ão

de

Qtc

0,20,30,40,50,71,01,5

Fig. 7 - Comportamento da resposta normalizada para d = 1,5 e Qtc variando de 0,2 a 1,5 .

100

−20

−15

−10

−5

0

5

f / Fc

| GN

(jω) | d

B

em

funç

ão

de

Qtc

0,20,30,40,50,71,01,5

Fig. 8 - Comportamento da resposta normalizada para d = 1,0 e Qtc variando de 0,2 a 1,5 .

10−1

100

101

−20

−15

−10

−5

0

5

f / Fc

| GN

(jω) | d

B

em

funç

ão

de

Qtc

0,20,30,40,50,71,01,5

Fig. 9 - Comportamento da resposta normalizada para d = 0,707 (resposta Butterworth) e Qtc variando de 0,2 a 1,5 .

Page 12: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Respostas normalizadas, em função do fator de amortecimento d, para diversos valores de Qtc.

10−1

100

101

−20

−15

−10

−5

0

5

f / Fc

| GN

(jω) | d

B

em

funç

ão

de

Qtc

0,20,30,40,50,71,01,5

Fig. 10 - Comportamento da resposta normalizada para d = 0,5 e Qtc variando de 0,2 a 1,5 .

10−1

100

101

−20

−15

−10

−5

0

5

f / Fc

| GN

(jω) | d

B

em

funç

ão

de

Qtc

0,20,30,40,50,71,01,5

Fig. 11 - Comportamento da resposta normalizada para d = 0,4 e Qtc variando de 0,2 a 1,5 .

10−1

100

101

−20

−15

−10

−5

0

5

f / Fc

| GN

(jω) | d

B

em

funç

ão

de

Qtc

0,20,30,40,50,71,01,5

Fig. 12 - Comportamento da resposta normalizada para d = 0,3 e Qtc variando de 0,2 a 1,5 .

Page 13: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Respostas em função do fator de amortecimento d, para diversos valores de Qtc.

10−1

100

101

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

f / Fc

| G(jω

) | dB

em

funç

ão

de

Qtc

1,51,00,70,50,40,30,2

Fig. 13 - Comportamento da resposta para d = 1,5 e Qtc variando de 1,5 a 0,2 .

10−1

100

101

−40

−30

−20

−10

0

10

20

f / Fc

| G(jω

) | dB

em

funç

ão

de

Qtc

1,51,00,70,50,40,30,2

Fig. 14 - Comportamento da resposta para d = 1,0 e Qtc variando de 1,5 a 0,2 .

10−1

100

101

−40

−30

−20

−10

0

10

20

f / Fc

| G(jω

) | dB

em

funç

ão

de

Qtc 1,5

1,00,70,50,40,30,2

Fig. 15 - Comportamento da resposta para d = 0,707 (resposta Butterworth) e Qtc variando de 1,5 a 0,2 .

Page 14: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Respostas em função do fator de amortecimento d, para diversos valores de Qtc.

10−1

100

101

−40

−30

−20

−10

0

10

f / Fc

| G(jω

) | dB

em

funç

ão

de

Qtc

1,51,00,70,50,40,30,2

Fig. 16 - Comportamento da resposta para d = 0,5 e Qtc variando de 1,5 a 0,2 .

10−1

100

101

−40

−30

−20

−10

0

10

f / Fc

| G(jω

) | dB

em

funç

ão

de

Qtc

1,51,00,70,50,40,30,2

Fig. 17 - Comportamento da resposta para d = 0,4 e Qtc variando de 1,5 a 0,2 .

10−1

100

101

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

f / Fc

| G(jω

) | dB

em

funç

ão

de

Qtc 1,5

1,00,70,50,40,30,2

Fig. 18 - Comportamento da resposta para d = 0,3 e Qtc variando de 1,5 a 0,2 .

Page 15: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Freqüências de Corte a – 3 dB

( ) ( ) ( ) ( )( j ) ( j )3N N

N N2 22 22 2

3 3

1 1 1G G22 d 1 2 d 1

ω ω= ∴ = =

⋅ ⋅ γ + γ − ⋅ ⋅ γ + γ −

( ) ( )( j )3N

2

N 22 23 3

1 1G2 2 d 1ω

= =⋅ ⋅ γ + γ −

( ) ( )22 2 2 2 4 23 3 3 3 32 2 d 1 4 d 2 1= ⋅ ⋅ γ + γ − = ⋅ ⋅ γ + γ − ⋅ γ +

( )4 2 2

3 32 4 d 2 1= γ + ⋅ − ⋅ γ +

( )4 2 23 34 d 2 1 0γ + ⋅ − ⋅ γ − =

( )2 2 2

3 x x 4 d 2 x 1 0γ = ∴ + ⋅ − ⋅ − =

( ) ( )222 22 2

4 d 2 44 d 2x 1 2 d 1 2 d 12 2

⋅ − +⋅ −= − ± = − ⋅ ± − ⋅ +

( )22 2x 1 2 d 1 2 d 1= − ⋅ ± − ⋅ +

2c 1 d2 (17)= − ⋅ ; 2 23c c 1 x± + = γ = ; 2

3 c c 1γ = ± ± +

Para 3γ real : 23 c c 1γ = ± + +

2a 16c )c 1 (= + + ; 3 aγ = ±

3 C

C 33

F FF Fa

B

−γ = ± = ;

2 23 C 3 C

C 3 C 3

F F F Fa BF F F F

−± ⋅ = − =

2 2 2 2C 3 3 C 3 C 3 Ca B F F F F F a B F F F 0∓± ⋅ ⋅ ⋅ = − ∴ ⋅ ⋅ ⋅ − =

Page 16: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

22C C

3 Ca B F a B FF F

2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠∓

Para 3F sempre positiva: 2

2C C3 C

a B F a B FF F2 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

3 Ca B a BF F 1

2 2

⎡ ⎤⋅ ⋅⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∓

2H

C

F a B a B 1F 2 2

⋅ ⋅⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2

L

C

F a B a B 1F 2 2

⋅ ⋅⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

1B2 d Qtc

=⋅ ⋅

; a B ab2 4

(15)d Qtc

⋅= =

⋅ ⋅

2H

C

F a a 1F 4 d Qtc 4 d Qtc

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

2L

C

F a a 1F 4 d Qtc 4 d Qtc

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

2H , L H , L 2

C C

(14F Fa B a B 1 b b 1F 2 2 F

)⋅ ⋅⎛ ⎞= ± + + ∴ = ± + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2H

C

F a B a B 1F 2 2

⋅ ⋅⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2

L

C

F a B a B 1F 2 2

⋅ ⋅⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

H LH L

C C C

F FF F a BF F F

−− = = ⋅

( ) ( ) ( )

( )

2Lb1 2

S L S2

2

F Vas1 b b 1 VF F / F

1b b

(18)

1

= + α ⋅ − + + ∴ =

−− + +

Page 17: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

2 2H L

C C

F F a B a B a B a B1 1F F 2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ = + + ⋅ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

H L2C

F F a B a B1 1F 2 2⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

H L CF F F⋅ = Banda Passante

A banda Passante H LF F− é dada por H L

C

F Fa B

F

−= ⋅

Como a B a2 4 d Qtc⋅

=⋅ ⋅

, então aa B2 d Qtc

⋅ =⋅ ⋅

. Logo,

CH L H L H L

a Fs 1a F a FsF F F F F F2 d Qtc 2 d Qts 1 2 d Qts

⋅ ⋅ + α⋅ ⋅− = ∴ − = ∴ − =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + α ⋅ ⋅

( )22 2

H L H LN

C

1 2 d 1 2 d 1F F F F aBWF Fs 2 d 2 dQtc Qts

− ⋅ + − ⋅ +− −= = = =

⋅ ⋅

Resolvendo a equação acima, poderemos explicitar d em função da banda passante normalizada, NBW :

( ) ( )2 2 2 22N N NN

1 1 1 1d2 BW 1 BW BW 1BW 1

= ⋅ + ++ ⋅ ++

Resolução horizontal: 0,05 Resolução vertical: 0,01

0.35 0.4 0.45 0.5 0.550.8

0.85

0.9

0.95

1

(FH − FL) / (Fs / Qts)

Fat

or d

e A

mor

teci

men

to

d

Fig. 19 - Banda passante normalizada em função do fator de amortecimento.

Page 18: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Resolução horizontal: 0,01 Fig. 20 Resolução vertical: 0,01

0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.950.6

0.65

0.7

0.75

0.8

(FH − FL) / (Fs / Qts)

Fat

or d

e A

mor

teci

men

to

d

Resolução horizontal: 0,02 Fig. 21 Resolução vertical: 0,01

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.70.4

0.45

0.5

0.55

0.6

(FH − FL) / (Fs / Qts)

Fat

or d

e A

mor

teci

men

to

d

Resolução horizontal: 0,05 Fig. 22 Resolução vertical: 0,01

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 30.25

0.3

0.35

0.4

(FH − FL) / (Fs / Qts)

Fat

or d

e A

mor

teci

men

to

d

Page 19: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Assim, vemos que a banda passante é função de d (o fator de amortecimento do sistema), e do cociente

Fs/Qts. Desse modo, escolhido o fator de amortecimento, o cociente H LF F

Fs/Qts

− fica determinado. Essa

quantidade pode ser entendida como a banda passante, normalizada em relação à freqüência Fs/Qts. Escolhido o valor desejado para H LF F− , o cociente Fs/Qts fica, então, determinado, o que permite a

utilização de qualquer falante, desde que o valor calculado para Fs/Qts seja respeitado. Para uma resposta Butterworth, a = 1 e d 0,707 1/ 2= =

H L H LF F F FFsa 2Qts2 d 2

− −= =

Para uma banda passante de 40 a 140 Hz, teremos 140 100Fs 100 2

2Qts2

−= = ⋅ .

Desse modo, quaisquer falantes onde Fs/Qts = 141 poderão ser usados. Picos na Resposta Os eventuais picos na resposta podem ser determinados pesquisando-se os pontos de máximo da resposta.

Para isso, podemos igualar a 0 a derivada de ( j )N

2

NGω

, em relação a γ , para a obtenção dos valores de γ

que tornam o ganho máximo, conforme o desenvolvimento abaixo:

( ) ( ) ( )( j )N

2

N 2 2 2 4 2 4 2 22 2

1 1 1G4 d 2 1 2 2 d 1 12 d 1ω

= = =⋅ ⋅ γ + γ − ⋅ γ + γ + ⋅ ⋅ − ⋅ γ +⋅ ⋅ γ + γ −

( )( )

( j )N

3 22

N 24 2 2

4 4 2 d 1d G 0d 2 2 d 1 1

ω

⎡ ⎤− ⋅ γ + ⋅ ⋅ − ⋅ γ⎡ ⎤ ⎣ ⎦= =⎢ ⎥γ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤γ + ⋅ ⋅ − ⋅ γ +⎣ ⎦

O que foi feito sabendo-se que a derivada do cociente uv

é igual a 2

v u ' u v '

v

⋅ − ⋅ sendo que (') representa

a derivada da função. Igualando a zero a derivada, obteremos os valores de gama que tornam máxima a função:

( ) ( )3 2 3 2 2 24 4 2 d 1 0 4 4 2 d 1 0 2 d 1 0⎡ ⎤− ⋅ γ + ⋅ ⋅ − ⋅ γ = ∴ ⋅ γ + ⋅ ⋅ − ⋅ γ = ∴ γ + ⋅ − =⎣ ⎦

2 2 2 2 2M M M2 d 1 0 1 2 d 1 2 dγ + ⋅ − = ∴ γ = − ⋅ ∴ γ = ± − ⋅

Page 20: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

( ) ( )( j )N

22

N 22 2MAXM M

1G R2 d 1ω

= =⋅ ⋅ γ + γ −

( ) ( ) ( )2

2 2 2 4 42 2 2 2 2 2M M

1 1 1R4 d 8 d 4 d4 d 1 4 d 1 2 d 1 2 d 1

= = =⋅ − ⋅ + ⋅⋅ ⋅ γ + γ − ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ −

( ) ( )2

2 4 2 2 2 2

1 1 1R R4 d 4 d 4 d 1 2 d 4 d 1 2 d

= = ∴ =⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

( ) ( )dB 2 2

1R 20 Log4 d 1 2 d

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥⋅ ⋅ − ⋅⎣ ⎦

que pode ser simplificada, conforme abaixo:

( ) ( )2 2dBR 10 Log 4 d 1 d para d 0,707 ; para d 0 (13),707 então R 0⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ ⋅ − ≤ > =⎣ ⎦

0 5 10 150.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

R em dB

Fat

or d

e A

mor

teci

men

to

d

Fig. 23 - Pico na resposta em função do fator de amortecimento.

H LH L

C

F F 1 a FsB F Fa F 2 d Qtc 2 d Qts

− ⋅= = ∴ − =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

NN

NN

112 d Qtc

B

ω −⎛ ⎞ω

γ = = ⋅ ⋅ ⋅ ω −⎜ ⎟ω⎝ ⎠

Page 21: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Freqüências dos Picos As freqüências que correspondem aos picos na resposta podem ser obtidas conforme abaixo:

2M 1 2 dγ = ± − ⋅

2 2 2 2M M M C M M M CB Fc F F F F B Fc F F 0γ ⋅ ⋅ ⋅ = − ∴ − γ ⋅ ⋅ ⋅ − =

22M M

M CB Fc B FcF F2 2

γ ⋅ ⋅ γ ⋅ ⋅⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟⎝ ⎠

2M M MF B B 1

Fc 2 2γ ⋅ γ ⋅⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (para MF 0> interessa apenas a raiz soma)

22 2

M B 1 2 d B 1 2 dF 1Fc 2 2

⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟= ± + +⎜ ⎟⎝ ⎠

22 2

M2 B 1 2 d B 1 2 dF 1Fc 2 2

⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

22 2

M1 B 1 2 d B 1 2 dF 1Fc 2 2

⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Exemplo:

Em uma caixa band pass simétrica, de quarta ordem, calcule a amplitude dos picos e suas respectivas freqüências, sabendo-se que d = 0,440, B = 1 e Fc = 74,83 Hz.

( ) ( ) ( )2 2 2 2dBR 10 Log 4 d 1 d 10 Log 4 0,44 1 0,44 2 dB⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ ⋅ − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2

2 2M2 1 1 2 0, 44 1 1 2 0, 44F 1 0,391 1,074 1, 465Fc 2 2

⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟= + + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

M1F 0,391 1,074 0,682

Fc= − + =

M2 M1F 1,465 74,83 109,7 Hz ; F 0,682 74,83 51,1 Hz= ⋅ = = ⋅ =

Page 22: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Módulos do polinômio normalizado da resposta, e seu quadrado (para facilitar a derivação na pesquisa dos pontos de máximo), sendo d = 0,440 , B = 1 e Fc = 74,83 Hz.

0.5 1 1.5 2−2

−1

0

1

2

3

4

5

f / Fc

| GN

(jω) |

e

| GN

(jω) | 2

em

dB | GN

(jω)

|

| GN(jω)

| 2

Fig. 24 - Eixo horizontal em escala linear, normalizada em relação a Fc.

30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140−2

−1

0

1

2

3

4

5

Freqüência em Hz

| GN

(jω) |

e

| GN

(jω) | 2

em

dB

| GN(jω)

|

| GN(jω)

| 2

Fig. 25 - Eixo horizontal em escala linear, em Hz.

10−1

100

101

−40

−30

−20

−10

0

10

f / Fc

| GN

(jω) |

e

| GN

(jω) | 2

em

dB

| GN(jω)

|

| GN(jω)

| 2

Fig. 26 - Eixo horizontal em escala logarítmica, normalizada em relação a Fc.

Page 23: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Determinação das Freqüências 1 2F e F onde 1γ = ±

( ) ( ) ( ) ( )( j ) ( j 1,2 )N N

N N2 222 2 2

1,2 1,2

1 1 1G G2 d

2 d 1 2 d 1ω ω

= ∴ = =⋅

⋅ ⋅ γ + γ − ⋅ ⋅ γ + γ −

Conforme podemos constatar acima, para 1γ = ± teremos ( j 1,2 )N

N1G

2 dω=

⋅ o que leva a:

( ) ( )( j )1,2N

2

N 22 2 21,2 1,2

1 1G4 d 2 d 1ω

= =⋅ ⋅ ⋅ γ + γ −

( ) ( )222 2 2 2 4 21,2 1,2 1,2 1,2 1,24 d 2 d 1 4 d 2 1⋅ = ⋅ ⋅ γ + γ − = ⋅ ⋅ γ + γ − ⋅ γ +

( )2 4 2 2

1,2 1,24 d 4 d 2 1⋅ = γ + ⋅ − ⋅ γ +

( )4 2 2 21,2 1,24 d 2 1 4 d 0γ + ⋅ − ⋅ γ + − ⋅ =

( )2 2 2 2

1,2 x x 4 d 2 x 1 4 d 0γ = ∴ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ =

( ) ( ) ( )22 22 22 2 2

4 d 2 4 1 4 d4 d 2x 1 2 d 1 2 d 4 d 12 2

⋅ − − ⋅ − ⋅⋅ −= − ± = − ⋅ ± − ⋅ + ⋅ −

( )22 2 2x 1 2 d 1 2 d 4 d 1= − ⋅ ± − ⋅ + ⋅ −

2 2 4 2 2 4 2 2x 1 2 d 1 4 d 4 d 4 d 1 1 2 d 4 d 1 2 d 2 d= − ⋅ ± − ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − ⋅ ± ⋅ = − ⋅ ± ⋅

Para 1γ = ± ⇒ 2 2x 1 2 d 2 d 1= − ⋅ + ⋅ =

21,2 x 1γ = = ∴ 1,2 x 1 1γ = ± = ± = ±

1,2 C

C 1,21,2

F FF F

1B

−γ = ± = ;

2 21,2 1,2 CC

C 1,2 C 1,2

F F FFBF F F F

−± = − =

2 2 2 2C 1,2 1,2 C 1,2 C 1,2 CB F F F F F B F F F 0± ⋅ ⋅ = − ∴ ⋅ ⋅ − =∓

Page 24: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

22C C

1,2 CB F B FF F

2 2⋅ ⋅⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠∓

Para 1F e 2F sempre positivas: 2

2C C1,2 C

B F B FF F2 2⋅ ⋅⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∓

2

1,2 CB BF F 12 2

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∓

21

C

F B B 1F 2 2

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2

2

C

F B B 1F 2 2

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

1B

2 d Qtc=

⋅ ⋅

22,1

C

F B B 1F 2 2

⎛ ⎞= ± + +⎜ ⎟⎝ ⎠

22

C

F B B 1F 2 2

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2

1

C

F B B 1F 2 2

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 22 1

C C

F F B B B B1 1 BF F 2 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 2 1 2 1

C 1 22 1

F F F F F FBF F FF F

− −= = = −

H L 2 1

C C

F F F Fa B aF F− −

= ⋅ = ⋅

( )H L 2 1F F a F F− = ⋅ − 2 2

2 1 2 12

C C C

F F F F B B B B1 1F F F 2 2 2 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜⋅ = = + + ⋅ − + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Page 25: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

2 22 12C

F F B B1 1F 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⎟ ⎟⎜ ⎜= + − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2C 2 1 H LF F F F F= ⋅ = ⋅

Resposta Butterworth

No caso de uma resposta Butterworth, 1a 1 c 0 d2

= ⇒ = ⇒ =

Como a = 1, 2

H

C

F B B 1F 2 2

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2

L

C

F B B 1F 2 2

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

E sendo 2

2

C

F B B 1F 2 2

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2

1

C

F B B 1F 2 2

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Concluímos que, quando a resposta é do tipo Butterworth, H 2 L 1F F e F F= = .

Outra solução para γ Alem da solução anteriormente encontrada, para 1γ = ± , existe uma outra, que coexiste com a primeira,

sempre que 1d2

< , onde γ será diferente de 1 mas ( j 1,2 )N

N1G

2 dω=

⋅, o que mostraremos abaixo.

Conforme vimos antes, 2 2x 1 2 d 2 d= − ⋅ ± ⋅ . Tomando agora a solução diferença, temos:

2 2 2 2 2x 1 2 d 2 d 1 4 d 1 4 d= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ = γ ∴ γ = ± − ⋅ Logo, para γ ser real, d deverá ser menor ou igual a 0,5. Sendo esta condição satisfeita, teremos mais dois

valores de γ onde o módulo do ganho será, também, igual a 12 d⋅

:

2 222 111 4 d ; 1 4 dγ = − ⋅ γ = − − ⋅

22 , 11 C

C 22 , 11 22 , 112 2C22 , 11

C 22 , 11

F FF F F F1 4 d B 1 4 d

B F F

γ = ± − ⋅ = ∴ − = ± ⋅ − ⋅

Page 26: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

22 2

22

C

B 1 4 d B 1 4 dF 1F 2 2

⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

22 2

11

C

B 1 4 d B 1 4 dF 1F 2 2

⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Exemplo:

Em uma caixa band pass simétrica, de quarta ordem, calcule as freqüências 2F e 1F , sabendo-se que d = 0,440, B = 1 e Fc = 74,83 Hz.

( j 1,2 )NN

1 1G 1,13642 d 2 0,44ω

= = =⋅ ⋅

( ) ( )( j 1,2 )N

NdB

G 20 Log 2 d 20 Log 2 0.44 1,11ω

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = dB

2 22 2

C C

F FB B 1 11 1 0,5 1,118 1,618F 2 2 F 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + ∴ = + + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 21 1

C C

F FB B 1 11 1 0,5 1,118 0,618F 2 2 F 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + ∴ = − + + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2F Fc 1,680 74,83 1,618 121,1= ⋅ = ⋅ = Hz

1F Fc 0,618 74,83 0,618 46,2= ⋅ = ⋅ = Hz

Como d < 0,5 , teremos ainda 2 2

22,11 1 4 d 1 4 0, 44 0, 4750γ = ± − ⋅ = ± − ⋅ = ±

22 2

22

C

1 1 4 0, 44 1 1 4 0, 44F 1 0.2375 + 1.0278 = 1.2653F 2 2

⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟= + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

22 2

11

C

B 1 4 d B 1 4 dF 1 0.2375 + 1.0278 = 0.7903F 2 2

⎛ ⎞⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟= − + + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

22F Fc 1,2653 74,83 1,2653 94,7= ⋅ = ⋅ = Hz

11F Fc 0,7903 74,83 0,7903 59,1= ⋅ = ⋅ = Hz

Page 27: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Respostas para d = 0,440 , B = 1 e Fc = 74,83 Hz

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

γ

Res

post

a e

m

dB

Fig. 27 - Notar os valores de γ que tornam o módulo do polinômio igual a 1/2d, no caso 1,1 dB.

10−1

100

101

−40

−30

−20

−10

0

10

f / Fc

Res

post

a e

m

dB

Fig. 28 - Resposta normalizada, mostrando as freqüências onde o módulo vale 1/2d, no caso 1,1 dB.

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Freqüência em Hz

Res

post

a e

m

dB

Fig. 29 - Resposta normalizada em amplitude, mostrando as freqüências onde o módulo vale 1/2d, no caso 1,1 dB

Page 28: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Deslocamento do cone

( )

2C

S 2 2 2C

22 2C b C

2b

sUd SdXd Pgs Sd Mms s Sd s s B s 2 d B 1

s 1

=ω= ⋅ ⋅

⋅ ω ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω ω+

ω

( )S 2 2 2 2C

22 2C b C

2b

Sd 1Xd PgMms s s B s 2 d B 1

s 1

= ⋅ ⋅ω ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω ω+ω

2S

2 2C C

SdPg Pg Sd CmsMms

ω⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ω ⋅ ω

( )

2S2S 2 2 2

22 2C b C

2b

C

Pg Sd C 1Xds s B s 2 d B 1

s 1

ms= ⋅+ ⋅ + ⋅

ω

⋅ ⋅ +ω ω ω+

ω

⋅ ⋅ω

( )

2

2 2S b

S 2 2 2 2 2 2C 2

2 2 2 2 2C b b C b b

s 1Xd Pg Sd Cms

s s s s s s1 B 2 d B 1 1

+ω ω= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + +⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ω ω ω ω ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

2

2 2S b

S 2 4 2 2 3 22C

2 2 2 2 2 2b C C b b C C b

s 1Xd Pg Sd Cms

s s s s s sB 2 d B 2 d B 1

+ω ω= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + +

ω ⋅ ω ω ω ω ⋅ ω ω ω

( )

( )

2

2 2S b

S 2 4 3 2 22C

2 2 2 2 2b C b C C b C

s 1Xd Pg Sd Cms

s s s s s2 d B B 1 2 d B 1

+ω ω= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω

Como ( )E

LPg EgRg R Sd

β= ⋅+ ⋅

, temos:

Page 29: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

( ) ( )2 2S S

2

2

2C ECE

S2C

Sd Cms L Sd CmsPg EgRg

L CmsR

EgRg RSd

⋅ ⋅ ω β ⋅ ⋅ ω⋅ = ⋅ ⋅ =ω ω+ ⋅

⋅ ωβ+ ω⋅⋅

( )

( )

2

2b

S 4 3 2 22

2 2 2 2 2b C b C C b C

2S2C

E

s 1Xd

s s s s s2 d B B 1 2 d B 1

L CmsEgRg R

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω⎝ ⎠=+ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω

ω

ω

ωβ ⋅

ω

⋅ ⋅+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X XS S S S S SXd Eg K GX ; X K GX ; Xd Eg X= ⋅ σ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ σ ⋅

Tabela 1 - Componentes da Função Deslocamento do Cone

( ) ( )X XS SXd Eg K GX= ⋅ σ ⋅ ⋅

Função deslocamento do cone Metro

Eg

Tensão aplicada Volt

XE

L CmsRg Rβ ⋅σ =+

Sensibilidade estática (DC) ao deslocamento

metro/Volt

2 2S S2 2C C

F 1K ( )F

9x ω= =ω

Constante de deslocamento -

( )SGX

Polinômio do deslocamento do cone

-

( ) ( )XS SX K GX= ⋅

Deslocamento normalizado do cone

-

( )

( )

2

2b

S 4 3 2 22

2 2 2 2 2b C b C C b C

s 1GX

s s s s s2 d B B 1 2 d B 1

+ω=

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω

( )

( )

2

2b

XS 4 3 2 22

2 2 2 2 2b C b C C b C

s 1X K

s s s s s2 d B B 1 2 d B 1

+ω= ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω

( )

( )

2

2b

j 4 3 2 22

2 2 2 2 2b C b C C b C

1GX

j 2 d B B 1 j 2 d B 1ω

ω−ω=

ω ω ω ω ω− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω

Page 30: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

( )

( )

2

2b

j 4 2 2 32

2 2 2 2 2b C C b C b C

1GX

B 1 1 j 2 d B j 2 d Bω

ω−ω=

ω ω ω ω ω− − + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω ⋅ ω ω ω ω ω ⋅ ω

( )

( )

2

2b

j 4 2 2 22

2 2 2 2 2b C C b C b

1GX

B 1 1 j 2 d B 1ω

ω−ω= ⎛ ⎞ω ω ω ω ω ⎟⎜ ⎟− − + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ⋅ ω ω ω ω ω⎝ ⎠

( )

( )

22

22b

j 224 2 2 22

2 2 2 2 2b C C b C b

1GX

B 1 1 2 d B 1ω

⎛ ⎞ω ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ω⎝ ⎠=⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ω ω ω ω ω ⎟⎜⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎟− − + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜⎢ ⎥ ⎟⎜ω ⋅ ω ω ω ω ω⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Para resposta simétrica, vem:

( )

( )

2

2C

S 4 3 22

4 3 2C C C C

s 1GX

s s s s2 d B B 2 2 d B 1

+ω=

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω ω ω

( ) ( )N

2N

S 4 3 2 2N N N N

s 1GX

s 2 d B s B 2 s 2 d B s 1

+=

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

( )( )

N

N

2N

XSS

1 s 20)X KD

(+= ⋅

( ) ( )N

4 3 2 2N N N NSD s 2 d B s B 2 s 2 d B s 1= + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

( ) ( ) ( )N

2N

j 4 2 2 2N N N N

1GX

B 2 1 j 2 d B 1ω

− ω=

ω − + ⋅ ω + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ − ω

( )

( )( ) ( )N

22

2 N2Xj 2 2

4 2 2 2N N N N

1X K

B 2 1(21)

2 d B 1ω

− ω= ⋅

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω − + ⋅ ω + + ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ − ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Page 31: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Band pass simétrica, onde: d = 0,44 ; B = 1 ; Qtc = 1,136 ; Fc = 74,83 Hz ; Kx = (Fs / Fc)2

10−1

100

101

0

0.5

1

1.5

2

f / Fc

Des

loca

men

to

Nor

mal

izad

o d

o C

one

Kx1 | GXn

(jω)

|

Kx2 | GXn

(jω)

|

Kx3 | GXn

(jω)

|

Fig. 30 - 1 2 3Kx 1 ; Kx 60 / 74,83 0,64 ; Kx 20 / 74,83 0,07= = = = =

101

102

103

0

0.5

1

1.5

2

Freqüência em Hz

Des

loca

men

to

Nor

mal

izad

o d

o C

one

Kx1 | GXn

(jω)

|

Kx2 | GXn

(jω)

|

Kx3 | GXn

(jω)

|

Fig. 31 - 1 2 3Kx 1 ; Kx 60 / 74,83 0,64 ; Kx 20 / 74,83 0,07= = = = =

20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.5

1

1.5

2

Freqüência em Hz

Des

loca

men

to

Nor

mal

izad

o d

o C

one

Kx1 | GXn

(jω)

|

Kx2 | GXn

(jω)

|

Kx3 | GXn

(jω)

|

Fig. 32 - 1 2 3Kx 1 ; Kx 60 / 74,83 0,64 ; Kx 20 / 74,83 0,07= = = = =

Page 32: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Respostas do deslocamento do cone, ao degrau, em função de d, para diversos valores de Qtc.

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo em Segundos

Des

loca

men

to

Qtc = 1.5Qtc = 1Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6Qtc = 0.4Qtc = 0.2

Fig. 33 - d = 1,5

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo em Segundos

Des

loca

men

to

do

Con

e

Qtc = 1.5Qtc = 1Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6Qtc = 0.4Qtc = 0.2

Fig. 34 - d = 1,0

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo em Segundos

Des

loca

men

to

do

Con

e

Qtc = 1.5Qtc = 1Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6Qtc = 0.4Qtc = 0.2

Fig. 35 - d = 0,8

Page 33: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Respostas do deslocamento do cone, ao degrau, em função de d, para diversos valores de Qtc.

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo em Segundos

Des

loca

men

to

do

Con

e

Qtc = 1.5Qtc = 1Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6Qtc = 0.4Qtc = 0.2

Fig. 36 - d = 0,707

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo em Segundos

Des

loca

men

to

do

Con

e

Qtc = 1.5Qtc = 1Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6Qtc = 0.4Qtc = 0.2

Fig. 37 - d = 0,6

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

Tempo em Segundos

Des

loca

men

to

do

Con

e

Qtc = 1.5Qtc = 1Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6Qtc = 0.4Qtc = 0.2

Fig. 38 - d = 0,4

Page 34: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Exemplos Exemplo 1 Projetar um sistema BP, com resposta Butterworth e freqüências de corte em 20 e 40 Hz. No caso de uma resposta Butterworth (a mais plana possível), R = 0 dB e d = 0,707. Nas Figs. 39 e 40 temos as Curvas de Resposta obtidas. Devemos ressaltar que essa solução não é única, uma vez que a relação Fs/Qts pode ser satisfeita por uma infinidade de valores. Como a resposta é Butterworth, 2 H 1 LF F e F F= =

2C L H C L H CF F F F F F F 20 40 20 2 28,28 Hz= ⋅ ∴ = ⋅ ∴ = ⋅ = ⋅ =

2 1 H L

C C

F F F F 40 20 1BF F 20 2 2

− − −= = = =

( ) 2PA 40 Log B 40 Log 6 dB2

⎛ ⎞= − ⋅ = − ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1Qtc 12 12 d B 22 2

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

CF Fs 20 2 20 2Qtc Qts 1

⋅= = = ⋅

Arbitrando Fs = 22 Hz, teremos 22Qts 0,77820 2

= =⋅

. Arbitrando Vas = 100 litros, vem:

22C

CF 20 2F Fs 1 1 1 0,6529Fs 22

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅ ⎟⎜⎟⎜ ⎟= ⋅ + α ∴ α = − ∴ α = − =⎜⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vas 100Vb 153 L0,6529

= = =α

( )2 2 22

1 1 1d 0,86212 Qts 2 d Qts 22 0,778

2

= ∴ α = = =⎛ ⎞⋅ ⋅ α ⋅ ⋅ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Page 35: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

b22

Vas 100V 121 L0,8621

= = =α

Mantendo o Vas igual a 100 litros e supondo Fs = 20 Hz, teremos 20 1Qts 0,70720 2 2

= = =⋅

.

2

20 2 1 120

⎛ ⎞⋅ ⎟⎜ ⎟α = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ; Vas 100Vb 100 L

1= = =

α

( )2 2 21 1 1

2 d Qts 2 222 2

α = = =⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

; b22

Vas 100V 100 L1

= = =α

101

102

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

Freqüência em Hz

| G |

e

| GN

| e

m

dB

| G || G

N |

− 3 dB|G − 3|Picos

Fig. 39 - Polinômio da resposta e seu correspondente normalizado em amplitude, e os pontos de máximo e de – 3 dB.

10 20 30 40 50 60 70−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

Freqüência em Hz

| G |

e

| GN

| e

m

dB

| G || G

N |

− 3 dB|G − 3|Picos

Fig. 40 - Idem, em escala linear.

Page 36: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Exemplo 2

Especificar um falante adequado para um sistema Bandpass com os cortes em 40 Hz e 140 Hz e PA = 0 dB. Na Fig. 6 temos os valores encontrados, correspondentes a um falante com Fs = 60 Hz, Qts = 0,911 e Vas = 100 litros. A Fig. 7 mostra as respectivas curvas de Resposta e do Deslocamento do Cone. Como esta solução não é única, as Figs. 8 e 9 mostram os resultados correspondentes a um falante com Fs = 40 Hz, Qts = 0,607 e Vas = 100 litros.

Nas Figs. 41 e 42 temos os resultados referentes a um falante com Fs = 20 Hz, Qts = 0,304 e Vas = 100 litros. PA 0 B 1= ⇒ =

C L HF F F 40 140 74,83 Hz= ⋅ = ⋅ =

H L H L

C C

F F F F 140 40B a 1.336

a F B F 1 40 140

− − −= ∴ = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 2a c c 1 a c c 1 a c c 1= + + ∴ = + + ∴ − = +

( )22 2 4 2 2 2 4 2a c c 1 a 2 a c c c 1 a 2 a c 1− = + ∴ − ⋅ ⋅ + = + ∴ − ⋅ ⋅ =

4 4

2 2

a 1 1,336 1c 0,61292 a 2 1.336− −

= = =⋅ ⋅

21 c 1 0,6129

c 1 2 d d 0,4402 2

− −= − ⋅ ∴ = = =

1 1Qtc 1,1362 d B 2 0,44 1

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

CFs F 40 140 65,85Qts Qtc 1,136

⋅= = =

Escolhendo um falante com Fs = 60 Hz e Vas = 100 litros, vem:

Fs 60Qts 0,91165,85 65,85

= = =

Page 37: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

2C2 2

S b1

F Vas 40 1401 1 1,556 1 0,556F V 60

⋅+ α = ∴ α = = − = − =

b1Vas 100V 180

0,556= = =

α litros

( ) ( )2 2 2

b22

1 Vas 1 1d 1,556V 2 d Qts 2 0, 44 0,9112 Qts

= ∴ α = = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ α

b22

Vas 100V 64,31,556

= = =α

litros

Como B = 1, os módulos dos polinômios ( )jG ω e

( )jNG

ωcoincidem, conforme podemos ver abaixo.

101

102

103

−40

−30

−20

−10

0

10

Freqüência em Hz

| G |

e

| GN

| e

m

dB

| G || G

N |

− 3 dB|G − 3|Picos

Fig. 41 - Polinômio da resposta e seu correspondente normalizado em amplitude, e os pontos de máximo e de – 3 dB.

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Freqüência em Hz

| G |

e

| GN

| e

m

dB

| G || G

N |

− 3 dB|G − 3|Picos

Fig. 42 - Idem, em escala linear.

Page 38: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Exemplo 3

Utilizando um alto-falante com Fs = 40 Hz, Qts = 0,321 e Vas 100 litros, projetar um sistema Bandpass com um fator de amortecimento unitário, estando o corte inferior em 40 Hz.

Como d = 1, então R = 0 dB. Neste caso, a solução é única, estando os resultados mostrados nas Figs. 43 e 44.

CF Fs 1= ⋅ + α ( )

2T

B2

Vas BV 1

α = =⋅ + α

2C 1 2 L HF F F F F= ⋅ = ⋅

1 12 d B BQtc 2 d Qtc

= ⋅ ⋅ ∴ =⋅ ⋅

( )( )22 b22

2 b2

1 1 Vasd V 2 d Qts Vas2 Qts V2 d Qts

= ∴ α = = ∴ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ α ⋅ ⋅

( ) ( )2 2b2V 2 d Qts Vas 2 1 0,321 100 41,2 L= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

2 2c 1 2 d 1 2 1 1= − ⋅ = − ⋅ = −

( )2a 1 1 1 1 1 1 1 1,414 0,414 0,6236= − + − + = − + + = − + = =

a 0,414 0,161b4 d Qtc 4 1 Qtc Qtc

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )2

T 2B2 b1B2

Vas Vas VasB 1B V VV 1

α = = ∴ α = − =⋅⋅ + α

2

H,L C0,161 0,161F F 1Qtc Qtc

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ ± + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ;

2H,L

C

F 0,161 0,161 1F Qtc Qtc

⎛ ⎞= ± + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2H,L

C

F 0,161 0,161 1F Qtc Qtc

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∓ ;

2 2H,L

C

F 0,161 0,161 1F Qtc Qtc

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠∓

2 2 2H,L H,L

2 2 2C C

F F 0,161 0,161 0,1612 1F F Qtc Qtc Qtc

⋅ ⋅ + = +∓ ; 2H,L H,L

2C C

F F 0,322 1 0F F Qtc

⋅ − =∓

Page 39: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

2H,L

C

F 0,161 0,161 1F Qtc Qtc

⎛ ⎞= ± ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Para resultados positivos, 2

H,L

C

F 0,161 0,161 1F Qtc Qtc

⎛ ⎞= ± + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2H

C

F 0,161 0,161 1F Qtc Qtc

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ ;

2L

C

F 0,161 0,161 1F Qtc Qtc

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

22C C

L CF FF 0,161 0,161 F

Qtc Qtc⎛ ⎞

= − ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

pois C SF FQtc Qts

=

2 22S S

L CF FF 0,161 0,161 F

Qts Qts⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ ⋅ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 22C

40 4040 0,161 0,161 F0.321 0.321

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )2 2 2 2

C C C40 20 20 F F 3600 400 3200 F 3200 40 2 Hz+ = + ∴ = − = ∴ = = ⋅

22C C

H CF FF 0,161 0,161 F

Qtc Qtc⎛ ⎞

= ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2

2S SH C

F FF 0,161 0,161 FQts Qts

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )2

2

H40 40F 0,161 0,161 40 2

0,321 0,321⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )22HF 20 20 40 2 20 400 3200 20 60 80 Hz= + + ⋅ = + + = + =

22CF 40 21 1 2 1 1

Fs 40⎛ ⎞⋅⎛ ⎞α = − = − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Page 40: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

b1Vas 100V 100 L

1= = =

α

( )( ) ( )2 2

2 b22b2

1 Vas V 2 d Qts Vas 2 1 0,321 100 41,2 LV2 d Qts

α = = ∴ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

1 1 1B 1,1012 d Qtc 2 d Qts 1 2 1 0,321 1 1

= = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + α ⋅ ⋅ ⋅ +

( ) ( )Pa 40 Log B 40 Log 1,101 1,7 dB= − ⋅ = − ⋅ = −

101

102

103

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Freqüência em Hz

| G |

e

| GN

| e

m

dB

| G || G

N |

− 3 dB|G − 3|Picos

Fig. 43 - Polinômio da resposta e seu correspondente normalizado em amplitude, e os pontos de máximo e de – 3 dB.

20 40 60 80 100 120 140−20

−15

−10

−5

0

Freqüência em Hz

| G |

e

| GN

| e

m

dB

| G || G

N |

− 3 dB|G − 3|Picos

Fig. 44 - Idem, em escala linear.

Page 41: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

O Lado Elétrico

Fig. 45 - Circuito equivalente visto pelo lado elétrico.

( )

( )2

21

LRe t

Sd Ras Rab

β=⋅ +

; 2b

2

1Lceb Cmep

ω =⋅

2

2 22 b

2 2

s 1s Lceb Cmep 11Zeb s Lcebs Cmep s Cmep s Cmep

+⋅ ⋅ + ω= ⋅ + = =⋅ ⋅ ⋅

E

22

2b

1 1Z 1 1 1 1 1 s Cmeps Cmes s CmessRe t s Lcet Zeb Re t s Lcet 1

= = ⋅+ ⋅ + + + ⋅ + +⋅ ⋅ +

ω

E2 2

2

2b

s LcetZ Lcet Lcet Cmeps s Lcet Cmes 1 ssRe t 1

⋅= ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅+

ω

E2 2

C

2

2

C

b

s Lcet

Z Lcet Lcet Cmeps Lcet Cmes

R

s 1 s

e tR

sRe t

e

1

t

⋅⋅= ⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅

ωω

+ + ⋅+

ω

2C

1Lcet Cmes

ω =⋅

; C1 LcetQtc Re t

ω ⋅=

C

CE 2

2C22

C C2b

s LcetRe tZ Re t

s s Lcet Lcet Cmep1 ssRe t 1

ω ⋅⋅ω= ⋅

ω ⋅ ⋅+ ⋅ + + ⋅ω ω +

ω

Page 42: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

CE 2

222

C C2b

s 1QtcZ Re t

s s 1 Lcet Cmep1 ssQtc 1

⋅ω= ⋅

⋅+ ⋅ + + ⋅ω ω +

ω

2

2C b

E 2 22

2 2b C C

1 s s 1Qtc

Z Rets s s 11 1 s Lcet Cmep

Qtc

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ω ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2b 2

2 b 2

1 1CmepLceb Cmep Lceb

ω = ∴ =⋅ ω ⋅

2

2C b

E 2 2 2

2 2 2b C C b 2

1 s s 1Qtc

Z Rets s s 1 s Lcet1 1

Qtc Lceb

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ ⋅ + ⋅ + + ⋅⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ω ω ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22

2 2 2

Lcet Cat Cas 1 BLceb Cab Cab 1 1

α= = ⋅ = =+ α + α

2

2C b

E 2 2 22

2 2 2b C C b

1 s s 1Qtc

Z Rets s s 1 s1 1 B

Qtc

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ ⋅ + ⋅ + + ⋅⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ω ω ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2C b

E 4 3 2 2 22

2 2 2 2 2 2b C b C b C C b

1 s s 1Qtc

Z Rets s 1 s s s 1 s1 B

Qtc Qtc

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= ⋅ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ ⋅ + + + ⋅ + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω ω⎝ ⎠

2

2C b

E 4 3 2 2 22

2 2 2 2 2 2b C b C b b C C

1 s s 1Qtc

Z Rets s 1 s s s s 1B 1

Qtc Qtc

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= ⋅+ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω ω

Page 43: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

( )

2

2C b

E 4 3 2 22

2 2 2 2 2b C b C b C C

1 s s 1Qtc

Z Rets s 1 s s s 11 B 1

Qtc Qtc

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= ⋅+ ⋅ + ⋅ + + + ⋅ +

ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω

2

2C b

E 24 32

2 2 2 2 2b C b C b C C

1 s s 1Qtc

Z Ret1 Bs s 1 1 s 1s 1

Qtc Qtc

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= ⋅ ⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ +⎟⎜ ⎟⎜ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω⎟⎜⎝ ⎠

VC E EZ Rg R Z= + +

2

2C b

VC E 24 32

2 2 2 2 2b C b C b C C

1 s s 1Qtc

Z Rg R Ret1 Bs s 1 1 s 1s 1

Qtc Qtc

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= + + ⋅ ⎛ ⎞+ ⎟⎜ ⎟⎜+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ +⎟⎜ ⎟⎜ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω⎟⎜⎝ ⎠

Para uma resposta simétrica, C bω = ω

( )

2

2C C

VC E 4 3 22

4 3 2C C C C

1 s s 1Qtc

Z Rg R Re ts s 1 s s 1B 2 1

Qtc Qtc

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= + + ⋅+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

ω ω ω ω

Como 1 2 d BQtc

= ⋅ ⋅ , vem:

( )

2

2C C

VC E 4 3 22

4 3 2C C C C

1 s s 1Qtc

Z Rg R Re ts s s s2 d B B 2 2 d B 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= + + ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω ω ω

Se 1Rab for desprezível, Re t Re s

( )

2

2C C

VC E 4 3 22

4 3 2C C C C

1 s s 1Qtc

Z Rg R Re ss s s s2 d B B 2 2 d B 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= + + ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω ω ω

Page 44: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Desprezando Rg, vem:

( )

2

2C C

VC E 4 3 22

4 3 2C C C C

1 s s 1Qtc

Z R Re ss s s s2 d B B 2 2 d B 1

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠= + ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω ω ω

( )

2

2C C

VC E 4 3 22E

4 3 2C C C C

1 s s 1QtcRe sZ R 1

R s s s s2 d B B 2 2 d B 1

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠⎢ ⎥= ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +⎢ ⎥ω ω ω ω⎢ ⎥⎣ ⎦

E

E E

R Re sRe s Qms Qms;R Qes R Qts

+= =

( )

2

2C C

VC E 4 3 22

4 3 2C C C C

1 s s 1QtcQmsZ R 1

Qes s s s s2 d B B 2 2 d B 1

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ω ω⎝ ⎠⎢ ⎥= ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +⎢ ⎥ω ω ω ω⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

2

2C C

VC E 4 3 22

4 3 2C C C C

s s Qms1Qes Qtc

Z R 1s s s s2 d B B 2 2 d B 1

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟⋅ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ω ω ⋅⎝ ⎠⎢ ⎥= ⋅ +⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +⎢ ⎥ω ω ω ω⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( )

4 3 2 22

4 3 2 2C C C C C C

VC E 4 3 22

4 3 2C C C C

s s s s s s Qms2 d B B 2 2 d B 1 1Qes Qtc

Z Rs s s s2 d B B 2 2 d B 1

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⎟+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ω ω ω ω ω ω ⋅⎝ ⎠⎢ ⎥= ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +⎢ ⎥ω ω ω ω⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )

4 3 22

4 3 2C C C C

VC E 4 3 22

4 3 2C C C C

s s Qms s s Qms2 d B B 2 2 d B 1Qes Qtc Qes Qtc

Z Rs s s s2 d B B 2 2 d B 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ω ω ⋅ ω ω ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω ω ω

VC E VCZ R GZ= ⋅

Page 45: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

( )

( )( )

4 3 22

4 3 2C C C C

j 4 3 22

4 3 2C C C C

Qms Qmsj 2 d B B 2 j 2 d B 1Qes Qtc Qes Qtc

GZvcj 2 d B B 2 j 2 d B 1

ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ω ω ω⎟ ⎟⎜ ⎜− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ω ω ⋅ ω ω ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠=ω ω ω ω− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω ω ω

( )

( )

( )

4 2 22

4 2 2C C C C

j 4 2 22

4 2 2C C C C

QmsB 2 1 j 1 2 d BQes Qtc

GZvcB 2 1 j 1 2 d B

ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ω ω ω ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟− ⋅ + + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ω ω ω ω ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠= ⎛ ⎞ω ω ω ω ⎟⎜ ⎟− ⋅ + + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ω ω ω⎝ ⎠

( )

( )

( )

224 2 22

4 2 22 C C C C

j 224 2 22

4 2 2C C C C

QmsB 2 1 1 2 d BQes Qtc

| GZvc |

B 2 1 2 d B 1ω

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ω ω ω ⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎟− ⋅ + + + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜⎟⎜ω ω ω ω ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦=⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ω ω ω ω ⎟⎜⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎟− ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜⎢ ⎥ ⎟⎜ω ω ω ω⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )

( ) ( )

2 2

2 2C C C C1 1

j 4 24 222

4 24 2C CC C

Qms1 2 d B 1 2 d BQes Qtc

tg tgB 2 1B 2 1

− −ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ω ω ω ω⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ω ω ⋅ ω ω⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥Θ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ωω ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⋅ + +− ⋅ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ωω ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Normalizando em Relação à Fc

( )( )

4 3 2 2N N N N

VC E 4 3 2 2N N N N

Qms Qmss s 2 d B s B 2 s 2 d B 1Qes Qtc Qes Qtc

Z Rs s 2 d B s B 2 s 2 d B 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

( )

( ) ( )( ) ( )N

4 2 2 2N N N N

j 4 2 2 2N N N N

Qmss s B 2 1 j s 1 s 2 d BQes Qtc

GZvcs s B 2 1 j s 1 s 2 d B

ω

⎛ ⎞⎟⎜− ⋅ + + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⋅⎝ ⎠=− ⋅ + + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

( )

( ) ( )( ) ( )N

22

4 2 2 2N N N N

2j 2 2

4 2 2 2N N N N

Qmss s B 2 1 s 1 s 2 d BQes Qtc

| GZvc |s s B 2 1 s 2 d B 1 s

ω

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎟⎜⎢ ⎥− ⋅ + + + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⎟⎜⎢ ⎥ ⎟⎟⎢ ⎥⎜⎣ ⎦ ⋅⎝ ⎠⎣ ⎦=⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )

( )( )

( )( )N

22N N

N N1 1j 4 2 2 4 2 2

N N N N

Qmss 1 s 2 d B s 1 s 2 d BQes Qtctg tg

s s B 2 1 s s B 2 1− −

ω

⎡ ⎤⎛ ⎞⎟⎜⎢ ⎥⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⎡ ⎤⎟⎜ ⎟ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎟⎢ ⎥⎜ ⎢ ⎥⋅⎝ ⎠⎢ ⎥Θ = − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⋅ + + − ⋅ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 46: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Band pass simétrica, onde: d = 0,44 ; B = 1 ; Qtc = 1,136 ; Fc = 74,83 Hz ; Qts = 0,911 e Fs = 60 Hz

10−1

100

101

−2

0

2

4

6

8

10

12

f / Fc

| GZ

vc |

em

O

hms

e

Fas

e e

m

Rad

MóduloFase

Fig. 46 - Módulo de GZvc e fase em radianos, normalizados em relação à Fc.

101

102

103

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

Freqüência em Hz

| Zvc

| e

m

Ohm

s e

F

ase

em

G

raus

MóduloFase

Fig. 47 - Módulo de Zvc e fase em graus em função da freqüência.

20 40 60 80 100 120 140 160 180−60

−40

−20

0

20

40

60

80

Freqüência em Hz

| Zvc

| e

m

Ohm

s e

F

ase

em

G

raus

MóduloFase

Fig. 48 - Módulo de Zvc e fase em graus em função da freqüência, escala linear.

Page 47: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Eficiência A proposta de Thiele e Small

A eficiência de um alto-falante, ou caixa acústica, é definida como sendo o cociente entre a potência acústica obtida e a potência elétrica aplicada:

A

E

WW

η =

onde a potência acústica é aquela dissipada na componente resistiva da impedância de radiação Rar, sendo esta, aproximadamente, dada por:

C2Rar

2

⋅πω⋅ρ

=

Então, ( )

2

A SW Rar Up= ⋅ , pois, no caso de uma band pass de quarta ordem, a velocidade volumétrica é

aquela no duto.

( )

2C

4 3C 2 2

2 2 2 2 2b C b C b C C

sSdUp PgMms s s 2 d B 1 1 s 2 d Bs 1 B 1

ω= ⋅ ⋅ω ⋅ ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥+ + ⋅ ⋅ + + + +⎢ ⎥ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω⎣ ⎦

Para uma resposta simétrica:

( )2

C4 3 2

2C4 3 2C C C C

sSdUp PgMms s s 2 d B s s 2 d BB 2 1

ω= ⋅ ⋅ω ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + ⋅ + + +

ω ω ω ω

( )2

4 3 22

4 3 2C C C C

2

2CSdUp Pg

Mms s s 2 d B s s 2 d BB 2 1

s

s= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + ⋅ + + +ω ω ω ω

ω

( )2 2

N

4 3 2 2N N N N

Sd sUp Pgs Mms s s 2 d B s B 2 s 2 d B 1

= ⋅ ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

( ) ( )N

2N

S 4 3 2 2N N N N

sGs s 2 d B s B 2 s 2 d B 1

=+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

( ) ( )N N

2 2

S SSd Sd 1Up Pg G Pg Gs Mms Mms s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅

Page 48: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Como ( )E

LPg EgRg R Sd

β= ⋅+ ⋅

, vem:

( ) ( )N

2

E

S

LEgRg R Sd

Sd 1Up GMms s+

⋅ ⋅⋅ ⋅β=⋅

( )NSE

L Sd 1Up Eg GRg R Mms s

β= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+

( ) ( )N

22 22

A S S2E

L Sd 1W Rar Up Eg G2 C Rg R Mms s

⎡ ⎤ρ ⋅ ω β⎢ ⎥= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥π ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )N

22 2

A SE

L SdW Eg G2 C Rg R Mms s

⎡ ⎤ρ β ω⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎟⎜= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠π ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )N

22

A SE

L SdW Eg G2 C Rg R Mms s

⎡ ⎤ρ β ω⎢ ⎥= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥π ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )N N N

22 2

S j jG G Gs j ω ωω ω⋅ = ⋅ =

ω

( ) ( )N

222

A S jE

L SdW Rar Up Eg G2 C Rg R Mms ω

⎡ ⎤ρ β⎢ ⎥= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥π ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

Thiele e Small definiram a potência elétrica absorvida pelo falante como sendo aquela dissipada em RE , que possui um valor aproximadamente igual ao valor da impedância mínima do falante. Esta simplificação permite a obtenção de uma equação mais fácil de manipular que, embora útil na comparação de falantes, não retrata perfeitamente o fenômeno, uma vez que a potência elétrica absorvida varia com a freqüência. Assim sendo, devemos considerar a eficiência de referencia como sendo válida nas vizinhanças da impedância nominal.

2

E EE

EgW RRg R

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 49: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

( )( )N

2

2EABP j2

EE

E

L SdEg2 C Rg R MmsW G

W EgRRg R

ω

⎡ ⎤ρ β⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥π ⋅ +⎣ ⎦η = = ⋅

⎡ ⎤⋅ ⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )( )N

2 22

BP jE

L Sd G2 C R Mms ω

βρ ⎛ ⎞η = ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟π ⋅ ⎝ ⎠

( ) ( )2 2 10 3

SO

E

L 9,6 10 F VasSd2 C R Mms Q s

2e

2−β ⋅ ⋅ ⋅ρ ⎛ ⎞η = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟π⋅ ⎝ ⎠

( )N

2

BP O jG ωη = η ⋅

Calculando a eficiência para Cω = ω , ou seja, na freqüência central da banda passante, teremos:

( )( ) ( )N

42

BP O Oj 22 2

1/ BG2 d 1

ωη = η ⋅ = η ⋅⋅ ⋅ γ + γ −

Como 0γ = para Cω = ω , temos:

O

BP 4B(23)

ηη = BP

4O

1B

η∴ =η

Assim, podemos dizer que a eficiência de uma caixa band pass, simétrica, de quarta ordem, na freqüência Fc, comparada à eficiência do mesmo alto-falante, instalado em uma caixa tipo radiador direto (fechada, refletor de graves, radiador passivo) será igual a 41/B (guardadas as devidas ressalvas quanto à aproximação feita na análise). Outra abordagem

Se calcularmos a potência elétrica como sendo uma função da freqüência, ao invés de considerá-la constante, conforme fizemos anteriormente, teremos um resultado muito mais geral, capaz de mostrar como a eficiência varia com a freqüência. O resultado obtido antes se torna um caso particular para a freqüência central Fc, como veremos a seguir.

( ) ( ) ( ) ( )N N N NE Ej j j jZvc R GZvc | Zvc | R | GZvc |ω ω ω ω= ⋅ ∴ = ⋅

Page 50: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

( )( )( )

( )( )( )

N N

N N

2 2

E j jEj j

Eg Eg 1W cos cosRZvc GZvc

ω ω

ω ω

= ⋅ Θ = ⋅ ⋅ Θ

( )

( ) ( )N

2 2

2 2C C C C1 1

4 2 4 2j2 2

4 2 4 2C C C C

Qms1 2 d B 1 2 d BQes Qtc

tg tgB 2 1 B 2 1

− −ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ω ω ω ω⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ω ω ⋅ ω ω⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥Θ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ω ω ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⋅ + + − ⋅ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ω ω ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Desprezando Rg, vem:

( ) ( )N

222

A S jE

L SdW Rar Up Eg G2 C R Mms ω

⎡ ⎤ρ β⎢ ⎥= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥π ⋅ ⎣ ⎦

( )

( )( )( )

N

N

N

22

jEA

BP 2E

jE j

L SdEg G2 C R MmsW

Eg 1W cosR GZvc

ω

ω

ω

⎡ ⎤ρ β⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥π ⋅ ⎣ ⎦η = =⋅ ⋅ Θ

( ) ( )

( )( ) ( )N

N

N

2 22j

BP jE

j

GZvcL Sd G2 C R Mms cos

ω

ω

ω

βρ ⎛ ⎞η = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟π ⋅ ⎝ ⎠ Θ

( )

( )( ) ( )N

N

N

2jBP O j

j

GZvcG

cos

ω

ω

ω

η = η ⋅ ⋅Θ

( )

( )( ) ( )N

N

N

2jBPj

O j

GZvcG

cosω

ω

ω

η∴ = ⋅

η Θ

Em ( ) ( )( ) ( )N N N

2BP

C j j j 4 4O

1 1GZvc 1 ; cos 1 ; GB Bω ω ω

ηω = ω ⇒ = Θ = = ∴ =η

O resultado acima, confirma aquele encontrado anteriormente, que fica agora reduzido a um caso particular. As figuras adiante permitem uma visualização cômoda de BPη , em função da freqüência, e de γ .

Page 51: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Band pass simétrica, onde: d = 0,44 ; B = 1 ; Qtc = 1,136 ; Fc = 74,83 Hz ; Qts = 0,911 e Fs = 60 Hz

20 40 60 80 100 120 140 160 1800

5

10

15

20

Freqüência em Hz

η BP /

ηO

ηBP

/ ηO

1 / B4

Fig. 49 - Eficiência relativa em função da freqüência e a eficiência em Fc .

−3 −2 −1 0 1 2 30

5

10

15

20

γ

η BP /

ηO

ηBP

/ ηO

1 / B4

Fig. 50 - Eficiência relativa em função de gama e a eficiência em gama = 0 .

−3 −2 −1 0 1 2 3−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

γ

| G(jω

) | 2 ,

cos

( Θ

)

e Θ

em

R

ad | G(jω)

| 2

cos( Θ )Θ

Fig. 51 - Componentes da eficiência.

Page 52: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

d • Qtc

η BP /

ηO

Fig. 52 - Eficiência relativa em função de d•Qtc .

Bibliografia 1 – A Bandpass Loudspeaker Enclosure L. R. Fincham Apresentado na 63a Convenção da AES, maio de 1979 2 – The Third Dimension: Simmetrically Loaded Jean Margerand Speaker Builder, 06/1988 3 – Bandpass Loudspeaker Systems Homero Sette Silva The Reference, Southern Califórnia Áudio Society, USA, 07/1991 4 – Alto Falantes & Caixas Acústicas Pelo Método de T-S Homero Sette Silva H. Sheldon Serviços de Marketing Ltda. , Inverno de 1996 5 – Interface Amplificador Falante em Regime de Alta Potência Ruy L. B. Monteiro Apresentado na 4a Convenção da AES Brasil, em Junho de 2000 Disponível em www.studior.com.br 6 - Curso Selenium – CURSEL Notas de Aula, versão Junho de 2002 Disponível em www.selenium.com.br 7 - Loudspeakers’ Electric Models for Study of the Efforts in Áudio Power Amplifiers Bortoni e Silva Apresentado na 115a Convenção da AES, outubro de 2003 Disponível em www.selenium.com.br

Page 53: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Exemplo de Projeto

Vamos desenvolver um projeto de caixa band pass, simétrica, de quarta ordem, usando o falante 18SW2P, cuja ficha técnica encontra-se em anexo. Neste caso, como todos os parâmetros do alto-falante foram especificados, vamos calcular o valor de Fs/Qts:

Fs / Qts = 36 / 0,42 = 85,71 A seguir, utilizando as relações abaixo, vamos arbitrar a banda passante que nos interesse e calcular d: Arbitrando HF 80 Hz= e LF 40 Hz= , ou seja, uma banda passante igual a uma oitava, vem:

H L H LN

C

F F F F 80 400,4667 BW36F Fs

0,42Qtc Qts

− − −= = = =

( ) ( )2 2 2 22N N NN

1 1 1 1d2 BW 1 BW BW 1BW 1

= ⋅ + ++ ⋅ ++

( ) ( )2 2 2 22

1 1 1 1d 0,85582 0,4667 1 0,4667 0,4667 10,4667 1

= ⋅ + + =+ ⋅ ++

40 50 60 70 80 90 1000.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

( FH − FL ) para ( Fs / Qts ) = ( 36 / 0,42 )

Fat

or d

e A

mor

teci

men

to

d

Fig. 53 - Fator de amortecimento, em função da banda passante, para ( Fs / Qts ) = (36 / 0,42 ) .

Qts 0,42Qtc Fc 56,57 0,660Fs 36

= ⋅ = = ⋅ =

Page 54: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

d Qtc 0,8558 0,660 = 0,5648⋅ = ⋅

1 1B 0,8853

2 d Qtc 2 0,8558 0,660= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )PA 40 Log B 2.1167 dB= − ⋅ =

BP

4 4O

1 1 1,6281B 0.8853

η = = =η

Repetindo o procedimento acima, para outras bandas passantes de interesse, obtivemos o quadro

abaixo, que nos vai permitir escolher a opção mais indicada.

Tabela 2 - Valores obtidos para Fs / Qts = 36 / 0,42 e diversas bandas passantes

H LF F−

CF

Qtc

d

d·Qtc

dBR

B

dBPA

BP O/η η

80 – 40

56,57 0,660 0,8558 0,5648 - 0,8853 2,12 1,63

100 – 40

63,25 0,738 0,7107 0,5244 - 0,9535 0,83 1,21

120 – 40

69,28 0,808 0,6088 0,4921 0,30 1,0160 -0,28 0,94

140 – 40

74,83 0,873 0,5301 0,4628 0,93

1,0804 -1,34 0,73

Analisando os valores obtidos, vemos que quanto maior a banda passante H LF F− , menor o nível de

pressão acústica obtido, dBPA . PA = 0 dB (ou B = 1) indica que a caixa band pass possui o mesmo nível que seria obtido com o falante instalado em uma caixa de radiação direta. Por essa razão, escolhemos a banda passante de 100 a 40 Hz, pois sua pressão acústica foi ligeiramente maior que a produzida por um radiador direto.

Valores negativos de PA, ou de B maiores que 1, indicam uma pressão acústica menor aquela produzida pelas caixas de radiação direta.

Das quatro opções analisadas, duas não apresentaram picos na resposta e nas outras duas os picos foram muito pequenos, de modo que o parâmetro dBR não foi decisivo, neste caso, para a escolha da melhor opção.

Obtendo na ficha técnica o valor de Vas, podemos dimensionar as câmaras b1 b2V e V .

( ) ( )2 2

B2V 2 d Qts Vas 2 0,7107 0,42 179 63,8 L= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

2

b1 2 2b1

Vas Fc Vas 1791 V 85,8 L63,25V Fs Fc 1136Fs

⎛ ⎞⎟⎜α = = − ∴ = = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜ −−⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

A sensibilidade estática ao deslocamento, e a constante de deslocamento, podem ser obtidas,

conforme abaixo, o que nos vai permitir observar o deslocamento do cone, no gráfico correspondente.

Page 55: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

XE

L Cms 25,4 89,8 m mm407,3 0,4073Rg R 5,6 V Vβ ⋅ ⋅ µσ = = = =+

22Fs 36Kx 0,324

Fc 63,25⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜= = =⎟⎜⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

20 40 60 80 100 120 140 160 1800

1

2

3

4

5

Freqüência em Hz

Des

loca

men

to

do

Con

e e

m

mm

1 W10 W100 W

Fig. 54 - Deslocamento do cone do falante, instalado na caixa band pass, para diversas potências.

Tabela 3 - Parâmetros do Deslocamento do Cone para Diferentes Tipos de Caixas

Parâmetro

Caixa Selada

Refletor de Graves

BP 4a Ordem

XK

2 2

S S

C C

FF

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

2 2

S S

C C

FF

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E

L CmsRg Rβ ⋅+

E

L CmsRg Rβ ⋅+

E

L CmsRg Rβ ⋅+

( ) ( )X XS SXd Eg K GX= ⋅ σ ⋅ ⋅

Comparando o valor da constante de deslocamento obtido neste projeto (0,324), com o de uma caixa refletora de graves (unitário), vemos que é igual à quase um terço do daquela, o que é uma vantagem importante quando em regime de grandes sinais. Para podermos afirmar que esta vantagem vai verificar-se no deslocamento do cone, precisamos investigar a influência do polinômio do deslocamento do cone, que é diferente nas três configurações.

Nas figuras que se seguem, podemos ver o resultado desta comparação, onde a caixa selada teve um volume igual ao da câmara da band pass e o volume da refletora de graves foi igual a 150 litros, ou seja, a soma dos volumes das duas câmaras. Este volume foi sintonizado em 36 Hz, por ser este o valor considerado ótimo.

A comparação mostra a superioridade da band pass, sobre a bass reflex, quanto ao deslocamento do cone.

Page 56: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Deslocamento do Cone em Caixas Band Pass, Selada e Refletora de Graves

101

102

103

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Freqüência em Hz

Pol

inôm

io

do

Des

loca

men

to

do

Con

e

| GXBP

|| GX

CB |

| GXBR

|

Fig. 55 - Caixa selada: mesmo volume da câmara da band pass ; refletora de graves : volume igual ao total da band pass

101

102

103

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Freqüência em Hz

Des

loca

men

to

Nor

mal

izad

o d

o C

one

Kx | GX

BP |

Kx | GX

CB |

1•| GXBR

|

Fig. 56 - Caixa selada: mesmo volume da câmara da band pass ; refletora de graves : volume igual ao total da band pass

101

102

103

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Freqüência em Hz

Des

loca

men

to

do

Con

e e

m

mm

| XBP

|| X

CB |

| XBR

|

Fig. 57 - As mesmas condições anteriores, com 1 Watt aplicado.

Page 57: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Os polinômios do deslocamento do cone, para caixas selada (closed box) e refletora de graves (bass reflex) estão representados abaixo.

CB 2

2C C

1GXs s 1 1

Qtc

=+ ⋅ +

ω ω

( )S

2

2b b L

BRBR

s s 1 1QGX

D

+ ⋅ +ω ω=

( )S

43 2

BR 2 2 2 2 2 2S b S b L S b S b S b L

S b L

1s 1 1 1 1D s s ...Q Qts Q Qts

1 1... s 1Qts Q

⎡ + α ⎤⎛ ⎞⎟⎜ ⎢ ⎥⎟= + ⋅ + + ⋅ + + +⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ω ⋅ ω ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ω ω ω ⋅ ω ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ⋅ ω ⋅⎝ ⎠

A resposta em freqüência, para a caixa projetada, pode ser vista na Fig. 58. Na Fig. 59 temos as respostas para diferentes níveis de excitação (onde nenhum tipo de não linearidade foi considerado). Para compararmos a resposta obtida com aquelas que seriam conseguidas em uma caixa selada, de mesmo volume que a câmara selada da band pass, e em uma refletora de graves, com volume igual à soma dos volumes das duas câmaras da band pass (150 L), sintonizado em 36 Hz, vamos utilizar os respectivos polinômios da resposta, conforme se segue. Os resultados podem ser vistos na Fig. 60.

( )SPa Eg KPa G= ⋅ ⋅

( ) ( )dB S6 6

Pa KPaSPL 20 Log 20 Log Eg G20 10 20 10− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ ⋅

( )EL SdKPa

2 r MmsRg R

ρ β= ⋅ ⋅π +

( )S

2

2C

CB 2

2C C

s

Gs s 1 1

Qtc

ω=+ ⋅ +

ω ω

( )

( )

S

S

4

2 2S b

BRBR

s

GDω ⋅ ω=

Os coeficientes de proporcionalidade, KPa, para os casos Band Pass, Closed Box e Bass reflex são iguais.

Page 58: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

101

102

80

85

90

95

100

Freqüência em Hz

SP

L e

m

dB

Fig. 58 - Nível da resposta, em dB SPL, da caixa band pass, para 1 Watt, sendo assinalados os pontos de – 3 dB.

101

102

103

50

60

70

80

90

100

110

120

Freqüência em Hz

SP

L e

m

dB

1 W10 W100 W

Fig. 59 - Nível da resposta, em dB SPL, da caixa band pass, para diversas potências aplicadas.

101

102

103

60

65

70

75

80

85

90

95

100

Freqüência em Hz

SP

L e

m

dB

| SPLBP

|| SPL

CB |

| SPLBR

|

Fig. 60 - SPL da caixa band pass projetada, e das caixas selada e refletora de graves, usadas como comparativo .

Page 59: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Comentários

A partir da análise do circuito análogo elétrico, de uma caixa band pass de quarta ordem, mostrado nas Figs. 3a e 3b, foi obtida a equação para a pressão acústica,

2

2 2C

4 32 2

2 2 2 2 2b C b C b C C

sSdPa Pg

2 r Mms s s 1 1 s 2 d Bs 1 1Qtc 1 Qtc

ρ ω= ⋅ ⋅ ⋅ π α ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + + + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ⋅ ω + α ω ω ⋅

que, no caso particular da simetria, ou seja, quando b Cω = ω assume a seguinte forma:

2

2 2C

4 3 22

4 3 2C C C C

sSdPa Pg

2 r Mms s s s s2 1Qtc 1 Qtc

ρ ω= ⋅ ⋅ ⋅ π α + + ⋅ + + + ω ω ⋅ ω + α ω ⋅

Observando essas equações, vemos que a resposta do sistema ficou perfeitamente determinada a

partir de três variáveis, que são: O fator de qualidade do sistema caixa fechada, Qtc; e os cocientes b2Vas / V e b1Vas / V , respectivamente representados por 2α e α , que podem ser englobados em Tα .

22 T

b2 b1

Vas Vas; ;V V 1

αα = α = α =+ α

No entanto, conforme a referência (2), foram introduzidas as variáveis d e B,

2 2T

1d ; B2 B Qtc 1

α= = α =⋅ ⋅ + α

assumindo, então, as equações anteriores, as seguintes formas:

( )

2

2 2C

4 32 2

2 2 2 2 2b C b C b C C

sSdPa Pg

2 r Mms s s 2 d B 1 1 s 2 d Bs 1 B 1

ρ ω= ⋅ ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + + + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω

( )

2

2 2C

4 3 22

4 3 2C C C C

sSdPa Pg

s s s s2 r Mms 2 d B B 2 2 d B 1

ρ ω= ⋅ ⋅ ⋅π + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω ω ω

A variável d, denominada fator de amortecimento do sistema, desempenha um importante papel na

caracterização do sistema. Independentemente, determina o tipo da resposta a ser obtida.

Page 60: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Se d 1/ 2> , a resposta não tem picos; se d 1/ 2< , existirão dois picos na resposta, ladeando a

freqüência central Fc e, se d 1/ 2= , a resposta será Butterworth.

A variável B, que naturalmente representa a compliância total do sistema pode, também, assumir a forma de uma banda passante, conforme abaixo.

H L

C

F FB

a F

−=

⋅ , onde ( )22 2a 1 2 d 1 2 d 1= − ⋅ + − ⋅ +

Neste novo formato, B dependeria da banda passante do sistema, H LF F− , da freqüência Fc e do

fator de amortecimento d (pois a é uma função de d).

H L H LN

C

F F F F aBWF Fs 2 dQtc Qts

− −= = =

Deste modo, a banda passante normalizada, e o fator de amortecimento do sistema, estão interligados entre si, sendo um função do outro, conforme mostram as equações acima e abaixo apresentadas.

( ) ( )2 2 2 22N N NN

1 1 1 1d2 BW 1 BW BW 1BW 1

= ⋅ + ++ ⋅ ++

No caso de um sistema, como no projeto anterior, onde o falante foi previamente especificado, se escolhermos a banda passante, teremos que nos contentar com o fator de amortecimento resultante, e vice-versa. Só poderemos especificar, simultaneamente, o fator de amortecimento e a banda passante, se o falante puder ser construído especificamente, para atender aos requisitos do sistema. Satisfeitas as relações acima, os volumes das câmaras já estarão determinados:

( )2b2V 2 d Qts Vas= ⋅ ⋅ ⋅ ; b1 2VasV

Fc 1Fs

= −

A introdução da variável γ , foi algo muito prático pois nos permite trabalhar com equações do quarto grau (que pode ser reduzido ao segundo grau, por simples mudança de variável). No caso dos polinômios originais, as equações envolvendo o quadrado do módulo, seriam do oitavo grau (redutíveis ao quarto).

( ) ( )N

2

( j ) 22 2

1/ BG2 d 1

ω =⋅ ⋅ γ + γ −

; ( ) ( )

( j )NN

22 2

1G2 d 1

ω=

⋅ ⋅ γ + γ − ;

NN

1

B

ω −ω

γ =

A variável B, na forma do inverso do seu quadrado, determinará a amplitude do polinômio da

resposta na freqüência Fc, correspondendo ao ganho em relação à resposta de uma caixa selada ou refletora de graves, na região de resposta plana. O inverso de B, elevado à quarta potência, indicará o ganho na eficiência da band pass em relação às caixas de radiação direta, acima mencionadas.

Page 61: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Resumo das Equações

( ) ( )

C

2 2 1 2 1

1 1 F Fsd2 B Qtc 2 Qts 2 F F Qtc 2 F F Qts

= = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ α ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

2 1 H L2T

C C

F F F F1B2 d Qtc 1 F a F

− −α= = α = = =⋅ ⋅ + α ⋅

2b2

VasV

α = ; b1

Vas (8)V

α = ; 1 22

S

F F1 (9)F⋅

+ α = ; CF Fs 1= ⋅ + α

( )2B2V 2 d Qts Vas= ⋅ ⋅ ⋅ ; 2

C 1 2 L HF F F F F= ⋅ = ⋅

ab4 d Qtc

=⋅ ⋅

; 2a c c 1= + + ; 2c 1 2 d= − ⋅

H L H LN

C

F F F F aBWF Fs 2 dQtc Qts

− −= = =

( ) ( )2 2 2 22N N NN

1 1 1 1d2 BW 1 BW BW 1BW 1

= ⋅ + ++ ⋅ ++

2C

2 2 2C

22 2C C C

2C

sSdUd Pg

s s B sMms 2 d B 1s 1

ω= ⋅ ⋅ω ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω ω+ω

( )2

C4 3 2

2C4 3 2C C C C

sSdUp Pg

s s 2 d B s s 2 d BMms B 2 1

ω= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω ⋅ + + ⋅ + + +

ω ω ω ω

( )2N

4 3 2 2E N N N N

L Sd sPa EgRg R 2 r Mms s 2 d B s B 2 s 2 d B s 1

β ρ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ π + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

( ) ( )N NS SE

L SdPa Eg G Eg KPa GRg R 2 r Mms

β ρ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅+ π

Page 62: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

E

L SdKPa2 r Rg R Mmsρ β= ⋅ ⋅π +

( ) ( )N

2N

S 4 3 2 2N N N N

sGs 2 d B s B 2 s 2 d B s 1

=+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

( ) ( )N

2

( j ) 22 2

1/ BG2 d 1

ω =⋅ ⋅ γ + γ −

; ( ) ( )

( j )NN

22 2

1G2 d 1

ω=

⋅ ⋅ γ + γ −

NN

1

B

ω −ω

γ = ; N C0 1γ = ⇒ ω = ⇒ ω = ω

2

NC

1 ωγ = ⇒ ω =

ω ; 1

NC

1 ωγ = − ⇒ ω =

ω

( )N N( j j) ( j j)2 dB

1G G 40 Log B PABω = ω == ∴ = − ⋅ =

( j j) ( j j)N NN NdB

G 1 G 0ω = ω =

= ∴ =

( )N1 N2 N1 N2

2( j ) ( j ) ( j ) ( j )2 dB dB

1G G G G 20 Log 2 d B2 d Bω ω ω ω= = ∴ = = − ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

( )( j ) ( j ) ( j ) ( j )N1 N2 N1 N2N N N N

dB dB

1G G G G 20 Log 2 d2 dω ω ω ω

= = ∴ = = − ⋅ ⋅⋅

22

C

F B B 1F 2 2

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2

1

C

F B B 1F 2 2

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2H

C

F a B a B 1F 2 2

⋅ ⋅⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2

L

C

F a B a B 1F 2 2

⋅ ⋅⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2,1 CB BF F 12 2

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⋅ ± + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ; 2

H,L CF F b b 1⎡ ⎤= ⋅ ± + +⎣ ⎦

( ) ( )2 2dBR 10 Log 4 d 1 d para d 0,707 ; para d 0 (13),707 então R 0⎡ ⎤= − ⋅ ⋅ ⋅ − ≤ > =⎣ ⎦

Page 63: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

( )

( )

2 2S2 2C b

S 4 3 2 22E

2 2 2 2 2b C b C C b C

s 1L CmsXd Eg

s s s s sRg R 2 d B B 1 2 d B 1

⎛ ⎞ω ⎟⎜ ⎟⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ωβ ⋅ ⎝ ⎠= ⋅ ⋅+ + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X XS S S S S SXd Eg K GX ; X K GX ; Xd Eg X= ⋅ σ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ σ ⋅

2 2

S SX

C C

FKF

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )

( )

4 3 22

4 3 2C C C C

VC E 4 3 22

4 3 2C C C C

s s Qms s s Qms2 d B B 2 2 d B 1Qes Qtc Qes QtcZ R

s s s s2 d B B 2 2 d B 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ω ω ⋅ ω ω ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω ω ω

VC E VCZ R GZ= ⋅

( )

( )

( )

224 2 22

4 2 22 C C C C

j 224 2 22

4 2 2C C C C

QmsB 2 1 1 2 d BQes Qtc

| GZvc |

B 2 1 2 d B 1ω

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ω ω ω ⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎟− ⋅ + + + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜⎟⎜ω ω ω ω ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦=⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ω ω ω ω ⎟⎜⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎟− ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜⎢ ⎥ ⎟⎜ω ω ω ω⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )

( ) ( )

2 2

2 2C C C C1 1

j 4 2 4 22 2

4 2 4 2C C C C

Qms1 2 d B 1 2 d BQes Qtc

tg tgB 2 1 B 2 1

− −ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ω ω ω ω⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎜⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ω ω ⋅ ω ω⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥Θ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ω ω ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⋅ + + − ⋅ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω ω ω ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( )N

2 22

BP jE

L Sd G2 C R Mms ω

βρ ⎛ ⎞η = ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟π ⋅ ⎝ ⎠

( ) ( )2 2 10 3

SO

E

L 9,6 10 F VasSd2 C R Mms Q s

2e

2−β ⋅ ⋅ ⋅ρ ⎛ ⎞η = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟π⋅ ⎝ ⎠

( ) ( )N

42

BP O Oj 2 2 2

1/ BG2 d 4 d

ωη = η ⋅ = η ⋅⋅ ⋅ γ + ⋅ ⋅ γ

Page 64: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

OBP 4B

(23)η

η = BP4

O

1B

η∴ =η

( )

2

2C

BP 4 3 22

4 3 2C C C C

s 1GX

s s s s2 d B B 2 2 d B 1

+ω=

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω ω ω

CB 2

2C C

1GXs s 1 1

Qtc

=+ ⋅ +

ω ω

; ( )S

2

2b b L

BRBR

s s 1 1QGX

D

+ ⋅ +ω ω=

( )S

43 2

BR 2 2 2 2 2 2S b S b L S b S b S b L

S b L

1s 1 1 1 1D s s ...Q Qts Q Qts

1 1... s 1Qts Q

⎡ + α ⎤⎛ ⎞⎟⎜ ⎢ ⎥⎟= + ⋅ + + ⋅ + + +⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜ω ⋅ ω ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ω ω ω ⋅ ω ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ω ⋅ ω ⋅⎝ ⎠

( )SPa Eg KPa G= ⋅ ⋅

( ) ( )dB S6 6

Pa KPaSPL 20 Log 20 Log Eg G20 10 20 10− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ ⋅

E

L SdKPa2 r Rg R Mmsρ β= ⋅ ⋅π +

( ) ( )S

2

2C

BP 4 3 22

4 3 2C C C C

s

Gs s s s2 d B B 2 2 d B 1

ω=+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω ω ω

( )S

2

2C

CB 2

2C C

s

Gs s 1 1

Qtc

ω=+ ⋅ +

ω ω

; ( )

( )

S

S

4

2 2S b

BRBR

s

GDω ⋅ ω=

Page 65: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro
Page 66: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

Agradecimentos O Autor deseja expressar sua gratidão: Ao prezado Eng. José Angelo Amado, que com sua curiosidade e a busca por mais informações sobre o assunto, motivou-me a reescrever o Capítulo 11, que aqui renasceu, junto com o Novo Ano . Bons fados os levem, e ao Autor, também ... Ao prezado Amigo e pesquisador Carlos Correia da Silva que, mais uma vez, socorreu-me com seu alentado acervo técnico e inexcedível boa vontade, enviando-me cópia do artigo do Jean Margerand, publicado em Speaker Builder 6/88, pois se extraviou o meu exemplar nas andanças da minha biblioteca perambulante. Ao dileto Amigo Gilberto Monteiro, que nos idos de 1993 construiu protótipos e fez medições em caixas band pass, calculadas com o software, então, recém desenvolvido por mim, o que me deu tranqüilidade para continuar o trabalho, em virtude dos bons resultados reportados, quero reiterar minha gratidão. Ao meu editor e mui prezado Amigo, Nelson Cardoso (o mais brasileiro dos portugueses que conheço), pela publicação, não só do meu livro, como também pelos inúmeros outros que vem editando, disponibilizando, assim, significativo acervo para os técnicos de áudio do Brasil e de todos os países de língua portuguesa. À Eletrônica Selenium S.A., pelo patrocínio do livro e de todos os meus trabalhos, que a ele se seguiram, inclusive este.

Legendas das Fotos

O Editor Nelson Cardoso e sua Tenda Mirim ...

O Editor & o Autor, unidos para sempre ...

Carlos Correia da Silva, baiano ilustre, o CCdS .

Ruy Monteiro, o R da Studio R .

Rosalfonso Bortoni, sob o olhar do Mestre !

Rosalfonso Bortoni, dá a dimensão da coisa !

Ruy Monteiro prepara-se para dizer: “it was not my fault” e CCdS observa .

Gilberto Monteiro, na época, expert em som para

... lugares públicos !

Page 67: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

ESPECIFICAÇÕES TÉCNICASDiâmetro nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 (18) mm (in)Impedância nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 WImpedância mínima @ 90 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7,2 WPotência

1Programa musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.200 W2RMS (NBR 10.303) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 W

3AES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 WSensibilidade (2,83V@1m) média entre 50 e 150 Hz. . . . . . 95 dB SPLCompressão de potência @ 0 dB (pot. nom.) . . . . . . . . . . . 3,2 dBCompressão de potência @ -3 dB (pot. nom.)/2 . . . . . . . . . 2,5 dBCompressão de potência @ -10 dB (pot. nom.)/10 . . . . . . . 1,1 dBResposta de freqüência @ -10 dB . . . . . . . . . . . . . . 38 a 1.000 Hz

1 Especificações para uso de programa musical e de voz, permitindo distorção harmônica máxima no amplificador de 5%, sendo a potência calculada em função da tensão na saída do amplificador e da impedância nominal do transdutor.2

Norma Brasileira NBR 10.303, com a aplicação de ruído rosa durante 2 horas ininterruptas.3 Norma AES (60 - 600 Hz).

PARÂMETROS DE THIELE-SMALLFs (freqüência de ressonância) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 HzVas (volume equivalente do falante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 lQts (fator de qualidade total) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,42Qes (fator de qualidade elétrico). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,43Qms (fator de qualidade mecânico) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16,12ho (eficiência de referência em meio espaço) . . . . . . . . . . 1,56 %

2Sd (área efetiva do cone). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,1194 m3Vd (volume deslocado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 76,1 cm

Xmáx (deslocamento máx. (pico) c/ 10% distorção) . . . . . . 6,5 mmXlim (deslocamento máx. (pico) antes do dano) . . . . . . . . 21,0 mm

Condições atmosféricas no local de medição dos parâmetros TS:Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 °CPressão atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .022 mbUmidade relativa do ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 %

Parâmetros de Thiele-Small medidos após amaciamento de 2 horas com metade da potência NBR.É admitida uma tolerância de ± 15% nos valores especificados.

PARÂMETROS ADICIONAISbL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25,4 TmDensidade de fluxo no gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.75 TDiâmetro da bobina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 mmComprimento do fio da bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50,5 mCoeficiente de temperatura do fio (a25) . . . . . . . . . . . . 0,00380 1/°CTemperatura máxima da bobina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 °Cqvc (temperatura máx. da bobina/potência máx.) . . . . . . . 0,46 °C/WHvc (altura do enrolamento da bobina) . . . . . . . . . . . . . . . 22,0 mmHag (altura do gap) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9,0 mmRe (resistência da bobina). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5,6 WMms (massa móvel). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217,7 gCms (compliância mecânica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89,8 mm/NRms (resistência mecânica da suspensão) . . . . . . . . . . . . . 3,1 kg/s

PARÂMETROS NÃO-LINEARESLe @ Fs (indutância da bobina na ressonância) . . . . . . . . 11,069 mHLe @ 1 kHz (indutância da bobina em 1 kHz) . . . . . . . . . . . 4,256 mHLe @ 20 kHz (indutância da bobina em 20 kHz) . . . . . . . . . 1,797 mHRed @ Fs (resistência de perdas na ressonância) . . . . . . . . 0,43 WRed @ 1 kHz (resistência de perdas em 1 kHz) . . . . . . . . . 11,75 WRed @ 20 kHz (resistência de perdas em 20 khz) . . . . . . 230,22 WKrm (coeficiente da resistência de perdas) . . . . . . . . . . . . . 1,985 WKxm (coeficiente da indutância da bobina) . . . . . . . . . . . . 52,746 mHErm (expoente da resistência de perdas da bobina). . . . . . 0,993Exm (expoente da indutância da bobina) . . . . . . . . . . . . . . 0,712

INFORMAÇÕES ADICIONAISMaterial do ímã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ferrite de bárioPeso do ímã. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.440 gDiâmetro x altura do ímã. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 x 24 mmPeso do conjunto magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.600 gMaterial da carcaça. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alumínio injetadoAcabamento da carcaça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pintura epoxi, cor pretaAcabamento das arruelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EstanhadoMaterial do fio da bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CobreMaterial da fôrma da bobina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibra de vidroMaterial do cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Celulose fibra longa não prensadaVolume ocupado pelo falante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8,6 lPeso líquido do falante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.500 gPeso total (incluindo embalagem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.720 gDimensões da embalagem (C x L x A) . . . . . . . . . . . 48 x 48 x 24 cm

INFORMAÇÕES PARA MONTAGEMNúmero de furos de fixação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Diâmetro dos furos de fixação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8,0 mmDiâmetro do círculo dos furos de fixação . . . . . . . . . . . . . . . . 438 mmDiâmetro do corte para montagem frontal . . . . . . . . . . . . . . . 422 mmDiâmetro do corte para montagem traseira . . . . . . . . . . . . . . 412 mmTipo do conector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P ressão p/ fio nuPolaridade . . . . . . . . . . . . Tensão + no borne vermelho: deslocamento p/ frenteDistância mín. entre parede da caixa e a traseira do falante . . 75 mm

Dimensões em mm.

Página: 1/2 Rev.: 00 - 04/03

A L T O - FA L A N T E S

Subwoofer de alta potência para o uso profissional, especificamente projetado para responder na faixa de freqüência de 38 a 150 Hz em caixa tipo vented box com volume de 170 a 200 litros, suportando

A carcaça em alumínio injetado possui grande rigidez estrutural e atua como dissipador de calor, além de não introduzir perdas no fluxo magnético. Um sistema triplo de ventilação (furo central, seis furos na arruela inferior e seis janelas na carcaça) garante a necessária refrigeração de modo que os elevados valores de potência possam ser suportados.

600 W RMS (Norma AES) ou 1.200 W de potência musical contínua.O conjunto magnético otimizado pelo método de elementos finitos (FEA) resultou em

um conjunto de grande eficiência e baixo peso. A utilização T-yoke com arruela inferior rebaixada assegura um deslocamento máximo (Xmáx) compatível com a potência. Neste alto-falante foi dado atenção especial ao comportamento em condições de sobrecarga mecânica, suportando as condições mais severas de trabalho sem falhas.

A bobina de 4" (100 mm) de cobre com 4 camadas utiliza acima de 80 g de fio, enrolado em fôrma de fibra de vidro com duas vezes a espessura das fôrmas comuns, com o objetivo de dar ao conjunto móvel grande rigidez.

O cone de papel não prensado e de fibras longas possui massa e rigidez suficiente para suportar enormes forças de aceleração, precisamente centrado por duas aranhas feitas de tecido de poliéster e algodão.

*18SW2P-SLF: Produto sem logotipo frontal Selenium impresso na calota.

LINHA PROFISSIONAL - Subwoofer 18SW2P / 18SW2P-SLF*

A exposição à níveis de ruído além dos limites de tolerância especificados pela Norma Brasileira NR 15 - Anexo 1*, pode causar perdas ou danos auditivos. A Selenium não responsabiliza-se pelo uso indevido de seus produtos. (*Portaria 3214 / 78).

8x ø 7ø 457

ø 439 1214460

ø 2

20

ø 4

20

215

Page 68: Caixas Band Pass Simétricas, de 4 Ordem - AudioDiretostudior.com.br/bp4sim.pdf · Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro

CURVAS DE DISTORÇÃO HARMÔNICA A 10% DA POTÊNCIA NBR NA CAIXA DE TESTE, EM CÂMARA ANECÓICA, A 1 m

CURVAS DE RESPOSTA (0° e 45°) NA CAIXA DE TESTE, EM CAMPO LIVRE, 1 W / 1 m

CURVAS DE IMPEDÂNCIA E FASE AO AR LIVRE

CAIXA DE TESTE UTILIZADACaixa bass reflex c/ 3 dutos ø 15,2 cm e 20 cm de comprimento, volume interno de 191 litros.

Devido aos avanços tecnológicos, reservamo-nos o direito de inserir modificações sem prévio aviso.Página: 2/2 Rev.: 00 - 04/03

PROJETO(S) DE CAIXA(S) ACÚSTICA(S) SUGERIDA(S)HB1805A1 HB1805B1 HB1805C1 VB1805A1 PAS1G1 PAS2G1PAS3G1 VB18P1Para outros projetos de caixas acústicas, consulte nossa home-page.

250 Hz

1,25 kHz500 Hz

100 Hz

800 Hz

50 Hz

CURVAS DE RESPOSTA POLAR

COMO ESCOLHER O AMPLIFICADORO amplificador dever ser capaz de fornecer o dobro da potência RMS do alto-falante. Este headroom de 3 dB deve-se à necessidade de acomodar os picos que caracterizam o sinal musical.

CALCULANDO A TEMPERATURA DA BOBINAEvitar que a temperatura da bobina ultrapasse seu valor máximo é extremamente importante para a durabilidade do produto. A temperatura da bobina pode ser calculada através da equação:

T , T = temperaturas da bobina em °C.A B

R , R = resistência da bobina nas temperaturas T e T , respectivamente.A B A B

a = coeficiente de temperatura do condutor, a 25 °C.25

COMPRESSÃO DE POTÊNCIAA elevação da resistência da bobina com a temperatura provoca uma redução na eficiência do alto-falante. Por esse motivo, se ao dobrarmos a potência elétrica aplicada obtivermos um acréscimo de 2 dB no SPL ao invés dos 3 dB esperados, podemos dizer que houve uma compressão de potência de 1 dB.

COMPONENTES NÃO-LINEARES DA BOBINADevido ao acoplamento com a ferragem do conjunto magnético, a bobina dos alto-falantes eletrodinâmicos exibe um comportamento não-linear que pode ser modelado através de diversos parâmetros. Os parâmetros Krm, Kxm, Erm, Exm,por exemplo, permitem calcular o valor da resistência e da

indutância da bobina em função da freqüência.

÷÷ø

öççè

æ

a+-÷÷

ø

öççè

æ-+=

25

A

A

BAB

125T1

R

RTT

A L T O - FA L A N T E S

ELETRÔNICA SELENIUM S.A.BR 386 Km 435 - CEP: 92.480-000

Nova Santa Rita - RS - BrasilTel.: (51) 479-4000 - Fax: (51) 479-1150

Atendimento Técnico 0800 51 4161Atendimento Comercial 0800 51 4114

www.selenium.com.br

SELENIUM USAUSA

www.seleniumloudspeakers.com

SELENIUM EUROPEGermany

www.seleniumloudspeakers.com

Curva de Resposta Polar.

LINHA PROFISSIONAL - Subwoofer 18SW2P / 18SW2P-SLF*

BBKK

20 100 1k50

Hz

60

70

80

90

100

dB

Curva de Resposta a 0°.

Curva de Resposta a 45°.

30°

210°

60°

240°

90° 270°

120°

300°

150°

330°

180°

0

-6

-10

-20dB

30°

210°

60°

240°

90° 270°

120°

300°

150°

330°

180°

0

-6

-10

-20dB

30°

210°

60°

240°

90° 270°

120°

300°

150°

330°

180°

0

-6

-10

-20dB

30°

210°

60°

240°

90° 270°

120°

300°

150°

330°

180°

0

-6

-10

-20dB

30°

210°

60°

240°

90° 270°

120°

300°

150°

330°

180°

0

-6

-10

-20dB

30°

210°

60°

240°

90° 270°

120°

300°

150°

330°

180°

0

-6

-10

-20dB

BBKK

20 200 2k 20k0

Hz

100

200

300

400

oh

ms

Curva de Impedância ao ar livre.

Curva de Fase ao ar livre.

-90

-45

0

45

90

gra

us

60

80

100

140

dB

BBKK

200 20kHz

Curva de Resposta.

Curva de Distorção, 2ª harmônica.

20

120

Curva de Distorção, 3ª harmônica.

Curvas de resposta medidas com o subwoofer instalado na caixa de teste pelo método do plano de terra em ambiente externo a 1 W / 1 m. Subtraiu-se 6 dB das curvas originais para simular a medição em câmara anecóica.