café matemático: transformando café em .propôs-se este como tema do segundo encontro do café

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Instituto de Matemtica, Estatstica e Computao Cientfica

Universidade Estadual de Campinas

MS 777 Projeto Supervisionado

Caf Matemtico: Transformando Caf em Teoremas

Aluno: Marcelo de Oliveira Flora

Orientador: Prof. Dr. Christian Horacio Olivera

Campinas, Junho de 2013.

2

Sumrio

1. Introduo.................................................................................................................. 3

2. Primeiro Encontro: Problemas no Uso de Coordenadas Polares para o Clculo de Limites. ............................................................................................................................. 5

3. Segundo Encontro: Como pende a linha flexvel, estar o arco rgido. e outras histrias de fsica, geometria e arquitetura. .................................................................... 11

4. O Terceiro Encontro: Os Movimentos da Esfera Celeste........................................... 26

5. Quarto Encontro: Transformaes Conformes: Utilizando Variveis Complexas na

Resoluo de EDPs ....................................................................................................... 37

6. Consideraes Finais ............................................................................................... 41

3

Resumo: O Caf Matemtico um evento criado em 2013 que tem como objetivo

abrir um espao para que os estudantes possam expor suas prprias ideias, aproveitando

para tomar um caf, ajudando tambm na integrao dos alunos. Foram organizados

quatro encontros durante o semestre, no auditrio do IMECC, contando com a

participao de mais de cem alunos. Nestes encontros foram expostos vrios assuntos,

abordando temas como Clculo Diferencial e Integral, Geometria Analtica, conceitos

de Astronomia, Variveis Complexas e Equaes Diferenciais. Por fim, muitos alunos

acabaram se interessando em expor seus trabalhos tambm. Sendo assim, o evento deve

continuar no prximo semestre.

1. Introduo

O Caf Matemtico nasceu da diviso de um evento j existente no Imecc,

organizado pelo Centro Acadmico dos estudantes do Imecc (CAMECC), que se

chamava Cameccon Leite. Este evento tinha por objetivo fazer a exibio de filmes

relacionados matemtica no auditrio do instituto.

Com o passar do tempo, surgiu a necessidade de que houvesse algum espao no

IMECC para discusso de problemas sociais. Sendo assim, o Cameccon Leite tornou-

se um evento para a discusso de tais problemas. Com isso, decidi criar um novo

evento: o Caf Matemtico. O intuito bsico deste evento o de criar um espao para

que os estudantes possam expor suas prprias ideias, aproveitando para tomar um caf,

ajudando tambm na integrao dos alunos.

Sendo assim, com o apoio do CAMECC, foram desenvolvidos cartazes, grupos

nas redes sociais, e tambm um logotipo.

Ao todo, foram organizados quatro encontros, um a cada ms, de Maro a Junho

de 2013. Estes encontros aconteceram no auditrio do Imecc, onde em trs deles houve

um Coffee Break fornecido pelo CAMECC.

4

Figura 1. Logotipo desenvolvido para o evento.

Seguem abaixo os temas dos encontros, juntamente com os nomes dos alunos

expositores.

Tabela 1. Cronograma dos encontros realizados durante o semestre.

Dia Aluno Expositor Tema

05/03 Marcelo de Oliveira Flora

Problemas no Uso de

Coordenadas Polares para o

Clculo de Limites

15/04 Vladmir Sicca

Como pende a linha

flexvel, estar o arco

rgido. e outras histrias

de fsica, geometria e

arquitetura.

21/05 Fabrcio Caluza Machado Os Movimentos da Esfera

Celeste.

18/06 Leandro Silva Cordeiro

Transformaes

Conformes: Utilizando

Variveis Complexas na

Resoluo de EDPs.

Nos prximos captulos, apresentaremos um resumo de cada um dos assuntos

apresentados nos encontros.

5

2. Primeiro Encontro: Problemas no Uso de Coordenadas Polares para o Clculo de Limites.

Durante uma aula sobre Limites, na turma de Clculo II, o professor apresentou o

seguinte problema:

Calcule, caso exista, o limite abaixo:

( ) ( )

(I)

Como de costume, comecei verificando se o limite existia atravs de trs curvas

simples, (t) = (0,t), (t) = (t,t) e (t,t2). Com isso, obtive os seguintes resultados:

( ( ))

( )

( ( ))

( )

( ( ))

( )

( )

( )

( )

Como os trs limites apresentaram o mesmo valor, comecei a desconfiar que o

limite existisse e fosse igual a zero.

Perguntei a um colega sobre como poderia provar este resultado, e ele me disse

que conseguiria facilmente aplicando um mtodo diferente, utilizando coordenadas

polares. Ele procedeu da seguinte forma:

Primeiramente, fez a seguinte substituio:

{

( )

( )

[ ]

Agora, substituiu estes valores na funo, fazendo r tender a zero pela direita:

6

( ( ) ( ))

( ( )) ( ( ))

( ( )) (( ( ))

( ) ( )

( ) ( )

Como ( ) ( ) uma funo limitada, seguiu-se que:

( ) ( )

E ficou assim provado que o limite existe, e igual a zero, pois no dependia do

valor de .

Achei muito interessante o mtodo, pois de uma forma simples e rpida tinha

encontrado o resultado. Mas com isso, me veio a dvida se poderia sempre utiliz-lo.

Segundo meu amigo, tudo indicava que sim. Era s ver se existia alguma dependncia

em relao , que estava resolvido.

Porm, pesquisando mais sobre o assunto, acabei descobrindo que existem alguns

casos em que o mtodo de coordenadas polares pode nos induzir a concluses falsas, e

que era necessrio um maior cuidado no seu uso.

A fim de compartilhar estes resultados e pedir auxlio na construo e

demonstrao de algum teorema que garantisse a eficcia do uso do mtodo de

coordenadas polares, este foi o tema do primeiro encontro do Caf Matemtico.

2.1. O Encontro

O tema da discusso foi introduzido pelo aluno Marcelo Flora, autor deste projeto.

Primeiramente, revisou-se um conceito importante no clculo de limites em duas variveis, que

se enuncia da seguinte forma:

Sejam (t) e (t) duas curvas em R, contnuas em t0 , com (t0) = (t0) = (x0 , y0) e (t)

(x0 , y0) e (t) (x0 , y0) , com (t) e (t) . Segue que, se ocorrer:

7

( ( )) e ( ( ))

Com , ento, ( ) ( ) no existir. Da mesma forma, tal

limite no existir se um dos limites atravs das curvas no existir.

Feito isto, foram apresentados os seguintes limites, resolvidos com e sem o uso de

coordenadas polares. A ideia era mostrar como utilizar o mtodo, evidenciando os casos

em que ele no vlido.

1) ( ) ( )

Com auxlio de coordenadas polares:

( )

( )

( )

Como o valor do limite depende do valor de , temos que ele no existe.

Sem o auxlio de coordenadas polares:

Sejam as curvas (t) = (t,0) e (t) = (t,mt). Da segue que:

( ( ))

( )

( ( ))

( )

( )

( )

Veja que o limite atravs da curva (t) no existe para m = 1. Logo, temos que o

( ) ( ) ( ) no existe.

8

2) ( ) ( )

Com auxlio de coordenadas polares:

( )

Como o valor do limite depende de , temos que ele no existe.

Sem o auxlio de coordenadas polares:

Sejam as curvas (t) = (t,0) e (t) = (t,t). Da segue que:

( ( ))

( ( ))

Como os limites atravs das curvas apresentaram valores diferentes, temos que

( ) ( ) ( ) no existe.

3) ( ) ( )

Com auxlio de coordenadas polares:

( )

( ) ( )

9

Se , com , temos:

( ) ( )

( )

Se , com , temos:

( )

( )

Portanto, tudo indica que o valor de ( ) ( ) exista e seja igual a zero,

mas veremos que isto no verdade.

Sem o auxlio de coordenadas polares:

Sejam as curvas (t) = (t,0) e (t) = (t,t). Da segue que:

( ( ))

( ( ))

( )

( )

Como os limites atravs das curvas apresentaram valores diferentes, temos que

( ) ( ) ( ) no existe, contradizendo o resultado obtido atravs do uso de

coordenadas polares.

Sendo assim, foi questionado durante a apresentao em quais casos era possvel

utilizar o mtodo das coordenadas polares sem que houvesse dvida no resultado.

10

Baseando-se no limite (I) mostrado em 1.1., foi elaborado o Teorema 1,

juntamente com a sua demonstrao. Antes de apresent-lo, foi revisado o Teorema do

confronto, que segue abaixo.

Teorema do confronto: Se ( ) ( ) ( ) e

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

ento,