cadernodoprofessor 2014 vol1 baixa mat matematica em 3s

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3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO Caderno do Professor Volume 1 MATEMÁTICA

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  • 3a SRIE ENSINO MDIOCaderno do ProfessorVolume 1

    MATEMTICA

  • MATERIAL DE APOIO AOCURRCULO DO ESTADO DE SO PAULO

    CADERNO DO PROFESSOR

    MATEMTICAENSINO MDIO

    3a SRIEVOLUME 1

    Nova edio

    2014-2017

    GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO

    SECRETARIA DA EDUCAO

    So Paulo

  • Governo do Estado de So Paulo

    Governador

    Geraldo Alckmin

    Vice-Governador

    Guilherme Af Domingos

    Secretrio da Educao

    Herman Voorwald

    Secretrio-Adjunto

    Joo Cardoso Palma Filho

    Chefe de Gabinete

    Fernando Padula Novaes

    Subsecretria de Articulao Regional

    Rosania Morales Morroni

    Coordenadora da Escola de Formao e Aperfeioamento dos Professores EFAP

    Silvia Andrade da Cunha Galletta

    Coordenadora de Gesto da Educao Bsica

    Maria Elizabete da Costa

    Coordenadora de Gesto de Recursos Humanos

    Cleide Bauab Eid Bochixio

    Coordenadora de Informao, Monitoramento e Avaliao

    Educacional

    Ione Cristina Ribeiro de Assuno

    Coordenadora de Infraestrutura e Servios Escolares

    Ana Leonor Sala Alonso

    Coordenadora de Oramento e Finanas

    Claudia Chiaroni Afuso

    Presidente da Fundao para o Desenvolvimento da Educao FDE

    Barjas Negri

  • Senhoras e senhores docentes,

    A Secretaria da Educao do Estado de So Paulo sente-se honrada em t-los como colabo-

    radores nesta nova edio do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e anlises que

    permitiram consolidar a articulao do currculo proposto com aquele em ao nas salas de aula

    de todo o Estado de So Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com

    os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analtico e crtico da abor-

    dagem dos materiais de apoio ao currculo. Essa ao, efetivada por meio do programa Educao

    Compromisso de So Paulo, de fundamental importncia para a Pasta, que despende, neste

    programa, seus maiores esforos ao intensificar aes de avaliao e monitoramento da utilizao

    dos diferentes materiais de apoio implementao do currculo e ao empregar o Caderno nas aes

    de formao de professores e gestores da rede de ensino. Alm disso, firma seu dever com a busca

    por uma educao paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso

    do material do So Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.

    Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa So Paulo Faz Escola, apresenta orien-

    taes didtico-pedaggicas e traz como base o contedo do Currculo Oficial do Estado de So

    Paulo, que pode ser utilizado como complemento Matriz Curricular. Observem que as atividades

    ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessrias,

    dependendo do seu planejamento e da adequao da proposta de ensino deste material realidade

    da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposio de apoi-los no planejamento de suas

    aulas para que explorem em seus alunos as competncias e habilidades necessrias que comportam

    a construo do saber e a apropriao dos contedos das disciplinas, alm de permitir uma avalia-

    o constante, por parte dos docentes, das prticas metodolgicas em sala de aula, objetivando a

    diversificao do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedaggico.

    Revigoram-se assim os esforos desta Secretaria no sentido de apoi-los e mobiliz-los em seu

    trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofcio de ensinar

    e elevar nossos discentes categoria de protagonistas de sua histria.

    Contamos com nosso Magistrio para a efetiva, contnua e renovada implementao do currculo.

    Bom trabalho!

    Herman VoorwaldSecretrio da Educao do Estado de So Paulo

  • SUMRIO

    Orientao geral sobre os Cadernos 5

    Situaes de Aprendizagem 12

    Situao de Aprendizagem 1 A Geometria e o mtodo das coordenadas 12

    Situao de Aprendizagem 2 A reta, a inclinao constante e a proporcionalidade 22

    Situao de Aprendizagem 3 Problemas lineares mximos e mnimos 33

    Situao de Aprendizagem 4 Circunferncias e cnicas: significados, equaes, aplicaes 43

    Situao de Aprendizagem 5 A equao de 3o grau e o aparecimento natural dos nmeros complexos 60

    Situao de Aprendizagem 6 Das frmulas anlise qualitativa: relaes entre coeficientes e razes 69

    Situao de Aprendizagem 7 Equaes e polinmios: diviso por x k e reduo do grau da equao 75

    Situao de Aprendizagem 8 Nmeros complexos: representao no plano e significado das operaes (translaes, rotaes, ampliaes) 83

    Orientaes para Recuperao 101

    Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreenso do tema 103

    Consideraes finais 105

    Quadro de contedos do Ensino Mdio 107

  • 5Matemtica 3 srie Volume 1

    ORIENTAO GERAL SOBRE OS CADERNOSOs temas escolhidos para compor o con-

    tedo disciplinar de cada volume no se afas-

    tam, de maneira geral, do que usualmente

    ensinado nas escolas ou do que apresentado

    nos livros didticos. As inovaes pretendidas

    referem-se abordagem desses temas, sugeri-

    da ao longo dos Cadernos. Em tal abordagem,

    busca-se evidenciar os princpios norteadores

    do presente currculo, destacando-se a con-

    textualizao dos contedos, as competncias

    pessoais envolvidas, especialmente as relacio-

    nadas com a leitura e a escrita matemticas,

    bem como os elementos culturais internos e

    externos Matemtica.

    Em todos os Cadernos, os contedos esto

    organizados em 16 unidades mais ou menos

    do mesmo tamanho, que podem corresponder

    a oito semanas de trabalho letivo. De acordo

    com o nmero de aulas disponveis por sema-

    na, o professor explorar cada assunto com

    maior ou menor aprofundamento, ou seja,

    escolher uma escala adequada para o tra-

    tamento dos temas escolhidos. A critrio do

    professor, em cada situao especfica, o tema

    correspondente a uma das unidades pode ser

    estendido para mais de uma semana, enquan-

    to o de outra unidade pode ser tratado de

    modo mais simplificado.

    desejvel que o professor tente contem-

    plar todas as oito unidades, uma vez que,

    juntas, compem um panorama do contedo

    do volume, e, muitas vezes, uma das unidades

    contribui para a compreenso das outras. In-

    sistimos, no entanto, no fato de que somente

    o professor, em sua circunstncia particular,

    e levando em considerao seu interesse e o

    dos alunos pelos temas apresentados, pode

    determinar adequadamente quanto tempo

    dedicar a cada uma das unidades.

    Ao longo dos Cadernos so apresentadas,

    alm de uma viso panormica do contedo do

    volume, oito Situaes de Aprendizagem, que

    pretendem ilustrar a abordagem sugerida, orien-

    tando a ao do professor na sala de aula. As

    atividades so independentes e podem ser explo-

    radas pelos professores com maior ou menor in-

    tensidade, segundo seu interesse e de sua classe.

    Naturalmente, em razo das limitaes de espa-

    o dos Cadernos, nem todas as unidades foram

    contempladas com Situaes de Aprendizagem,

    mas a expectativa de que a abordagem dos te-

    mas seja explicitada nas atividades oferecidas.

    So apresentados tambm em cada Cader-

    no, sempre que possvel, materiais diversos

    (textos, softwares, sites e vdeos, entre outros),

    que estejam em sintonia com a abordagem pro-

    posta, e que possam ser utilizados pelo profes-

    sor para o enriquecimento de suas aulas.

    Compem o Caderno ainda algumas con-

    sideraes sobre a avaliao a ser realizada,

    bem como o contedo considerado indispen-

    svel ao desenvolvimento das competncias

    enunciadas no presente volume.

  • 6Contedos bsicos do volume

    Um dos contedos bsico do volume 1 da

    3a srie Geometria Analtica Plana. Mesmo

    quando o professor dispe de poucas aulas por

    semana, tal tema costuma ser contemplado nes-

    sa srie. E ainda que seja apenas parcialmente

    ensinado, a equao da reta apresentada aos

    alunos. Neste Caderno, sugerimos uma abor-

    dagem da Geometria Analtica que privilegia a

    equao da reta, apresentada de um modo pe-

    culiar e que destaca certa classe de problemas

    cuja soluo depende apenas de uma compre-

    enso adequada da ideia de proporcionalidade

    subjacente. So os chamados problemas linea-

    res, entre os quais esto alguns problemas de

    mximos e mnimos muito interessantes.

    De acordo com os princpios gerais que

    norteiam todos os Cadernos, espera-se que os

    demais assuntos sejam contemplados, com

    maior ou menor nfase, segundo o interesse

    do professor e as condies efetivas da turma.

    Mas consideramos que o tema das retas, com

    suas equaes, propriedades e aplicaes pode

    ser especialmente representativa do significa-

    do da Geometria Analtica como um mtodo

    de abordagem dos problemas geomtricos que

    contempla o ideal cartesiano ou o plano

    de Descartes, que buscava uma aproximao

    efetiva entre a Geometria e a lgebra.

    Para o tratamento dos temas, este primei-

    ro tpico est organizado em oito unidades.

    O primeiro passo, na Unidade 1, seria a con-

    solidao do uso do sistema de coordenadas

    cartesianas XOY, j iniciado em sries ante-

    riores, tanto no Ensino Fundamental quanto

    no Ensino Mdio. Tal sistema ser utilizado

    para representar pontos do plano, determi-

    nando-se, por exemplo, a distncia entre dois

    pontos, o ponto mdio e a inclinao do seg-

    mento determinado pelos dois pontos.

    A ideia de inclinao de um segmento pode

    ser explorada de modo muito fecundo, tan-

    to na caracterizao de segmentos paralelos

    quanto na condio de alinhamento de trs

    pontos, uma vez que para trs pontos (A, B e

    C) estarem alinhados, as inclinaes das retas

    AB, BC e AC devem ser iguais. Com base nes-

    sas noes iniciais, possvel propor e resolver

    uma srie de problemas geomtricos simples,

    em que a aprendizagem do mtodo analtico

    situa-se no centro das atenes. Uma ativi-

    dade para a sala de aula, incluindo questes

    cujas respostas podem depender ou no do

    sistema de coordenadas escolhido, ser apre-

    sentada na Situao de Aprendizagem 1.

    Em seguida, na Unidade 2, procura-se ex-

    plorar a representao de curvas por equaes,

    iniciando-se com a reta. Os casos particulares

    das retas paralelas aos eixos coordenados so

    tratados diretamente, de modo simples. Para

    as retas inclinadas em relao aos eixos OX e

    OY, a qualidade comum a todos os seus pon-

    tos o fato de que, qualquer que seja o par

    de representantes que escolhamos, a inclina-

    o do segmento correspondente sempre a

    mesma: tal inclinao constante a inclinao

    da reta. Assim, facilmente se chega equao

    y = mx + h, em que o coeficiente m representa a inclinao da reta, e h representa o ponto

  • 7Matemtica 3 srie Volume 1

    em que a reta corta o eixo OY. A caracteri-

    zao de retas concorrentes e paralelas, com

    base nas inclinaes correspondentes, uma

    consequncia natural.

    Na Unidade 3, o passo seguinte a ser dado

    o estudo da condio de perpendicularidade de

    duas retas, com base em suas inclinaes m1 e

    m2. Neste Caderno, ser apresentada uma ma-

    neira simples de compreender que se as inclina-

    es so tais que m1 u m2 = 1, ento as retas se-ro perpendiculares. A forma geral da equao

    da reta, bem como a representao de regies

    do plano por meio de desigualdades, servir de

    concluso dessa etapa. Uma atividade referente

    equao da reta e representao de regies

    por meio de inequaes ser apresentada na

    Situao de Aprendizagem 2.

    Na Unidade 4, o foco do estudo so as re-

    tas, tendo em vista a resoluo de alguns pro-

    blemas lineares, ou seja, problemas que, em

    ltima instncia, envolvem apenas relaes de

    proporcionalidade direta. Um conjunto deles,

    incluindo-se alguns problemas de mximos

    e mnimos, ser apresentada na Situao de

    Aprendizagem 3. Apesar de problemas como

    esses no serem usualmente apresentados no

    Ensino Mdio, pedimos ao professor que os

    leia com ateno, pois certamente perceber

    que constituem situaes simples em contex-

    tos interessantes.

    Na Unidade 5, apresentada a equao da

    circunferncia com centro na origem do sistema

    de coordenadas. O tempo disponvel pelo pro-

    fessor dever determinar o nvel de explorao

    de tal equao, deixando-se escolha do profes-

    sor o estudo das translaes da equao ou da

    forma geral da equao da circunferncia, que

    pode ser apenas sugerido ou transferido para o

    estudo das funes, no volume 2.

    y

    x

    P

    O

    ry

    x

    C: x2 + y2 = r2

    A Unidade 6 poderia ser utilizada para a

    apresentao de uma maneira simples de efe-

    tuar o clculo da distncia de um ponto a uma

    reta, baseado apenas na inclinao m da reta. Complementando tal clculo, poder ser feito

    um estudo simplificado das posies relativas

    entre retas e circunferncias.

    Na Unidade 7, as cnicas so apresenta-

    das e caracterizadas por meio de propriedades

    de diversas maneiras. Alm de constiturem

    intersees de um plano com uma superfcie

    cnica, o que lhes garante a denominao, a

    elipse uma circunferncia achatada; a hi-

    prbole surge na representao de grandezas

    inversamente proporcionais; e a parbola, na

    representao de uma grandeza que propor-

    cional ao quadrado de outra. Complementar-

    mente, as cnicas tambm so apresentadas

  • 8pelas suas importantes propriedades caracte-

    rsticas em relao aos focos.

    Na Unidade 8 so apresentadas as equaes

    da elipse, da hiprbole e da parbola, em posi-

    es convenientes em relao aos eixos de coor-

    denadas, de modo a simplificar os clculos. Uma

    extenso de tal estudo, conduzindo a equaes

    mais gerais, pode ser dispensada ou adiada para

    o momento em que sero tratadas as funes

    (volume 2). Uma atividade exploratria das

    caracterizaes das cnicas, de suas equaes

    em situaes simples e de algumas aplicaes

    apresentada na Situao de Aprendizagem 4.

    Alm da Geometria Analtica Plana, este Vo-

    lume tambm aborda as equaes algbricas, po-

    linmios e nmeros complexos. Os trs temas, em

    muitos casos, entrelaam-se ao longo da Histria.

    Como se sabe, uma equao sempre corresponde

    a uma pergunta, sempre envolve algo desconhe-

    cido, uma incgnita, e sempre est associada

    soluo de algum problema. Equacionar um pro-

    blema justamente traduzir a pergunta que ele

    representa por meio de uma equao.

    No Ensino Fundamental, sobretudo nas

    sries/anos finais, j foram apresentados aos alu-

    nos diversos problemas, em diferentes contextos,

    cuja soluo conduz a equaes do primeiro e

    do segundo graus. O aluno j est acostumado

    a resolver equaes de 1o grau (ax + b = 0, com

    a 0) e de 2o grau (ax2 + bx + c = 0, com a 0).

    Trata-se agora de enfrentar equaes corres-

    pondentes a situaes um pouco mais enre-

    dadas, que conduzem a equaes de 3o grau

    (ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a 0), de 4o grau

    (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, com a 0), de

    5o grau (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0, com

    a 0), e assim por diante. Tal o contedo das

    Unidades 9 e 10.

    A histria da busca de solues para tais

    equaes, chamadas equaes algbricas, mui-

    to instrutiva, pois, com base nela, compreende-

    mos mais facilmente as sucessivas ampliaes

    nos conjuntos numricos, dos nmeros natu-

    rais at os nmeros complexos, que viabilizam

    a atribuio de significado raiz quadrada de

    um nmero negativo. Aprendemos tambm

    com a histria que, com as equaes de 3o grau,

    a busca por uma frmula envolvendo radicais

    que nos fornea as razes, do mesmo tipo da que

    nos d as solues de uma equao de 2o grau

    (xb b ac

    a=

    2 42

    ), no costuma ser o me-

    lhor caminho para resolver as equaes de graus

    3 e 4, e um caminho impossvel de ser trilhado

    para equaes de grau maior ou igual a 5.

    O caminho mais conveniente, nesses casos,

    uma anlise qualitativa da pergunta que cada

    equao representa, extraindo da prpria per-

    gunta informaes relevantes sobre as razes.

    Portanto, muito importante sempre, e deci-

    sivo em muitos casos, pensar efetivamente em

    um problema como se pensa em uma pergunta,

    aprendendo a examin-la criticamente para se

    chegar sua resposta. Mais do que mera in-

    teno de ensinar tcnicas de soluo, nosso

    objetivo aqui a plena compreenso desse fato.

    Uma apresentao das ideias fundamentais da

    histria das equaes algbricas ser feita na

    Situao de Aprendizagem 5.

  • 9Matemtica 3 srie Volume 1

    Mais adiante, o significado da anlise quali-

    tativa de uma equao algbrica estar presen-

    te nas Unidades 11 e 12. Tanto as relaes entre

    os coeficientes do polinmio P(x) e as razes da

    equao P(x) = 0, quanto o fato de que, conhe-

    cendo-se uma raiz x = k da equao P(x) = 0,

    conseguimos reduzir sua soluo de uma

    equao de grau uma unidade menor, assunto

    explorado nas Situaes de Aprendizagem 6 e

    7. Sero entrelaados em atividades os dois re-

    sultados a seguir, que expressam basicamente o

    mesmo fato: x = k raiz da equao P(x) = 0

    equivalente a o polinmio P(x) pode ser

    fatorado e escrito na forma (x k) u Q(x), em que Q(x) um polinmio de grau uma unidade

    menor que P(x). At esse ponto, vrios fatos

    tero sido reunidos a respeito das razes da

    equao P(x) = 0, sendo P(x) um polinmio.

    Relaes entre coeficientes e razes, possveis

    razes inteiras, fatorao de P(x) e diminuio

    no grau da equao, entre outros, podero ser

    sistematizados na Unidade 13.

    A partir da Unidade 14, os nmeros com-

    plexos so abordados mais diretamente. Como

    no caso das equaes, a nfase tambm no

    ser posta nos clculos algbricos, mas sim no

    significado de tais nmeros responsvel por

    uma notvel expanso dos conjuntos numri-

    cos j conhecidos. As mltiplas possibilidades

    da representao geomtrica de um nmero

    complexo z, que tem como imagem um pon-

    to no plano, como um par (x; y) de nmeros

    reais, ou pode escrito na forma z = x + yi.

    Assim, como a reta foi necessria e sufi-

    ciente para se incluir todos os nmeros reais,

    racionais e irracionais, veremos que, com a

    incluso de nmeros que possam ser razes

    quadradas de negativos, ser necessrio (e

    suficiente) todo o plano cartesiano, que ser-

    vir de inspirao para a construo do pla-

    no complexo, suporte para a representao

    de todos os nmeros complexos. A unidade

    imaginria i, que representa o novo nmero

    cujo quadrado d 1, serve de padro para

    a representao no eixo vertical de nmeros

    como 2i, 6i, 7i, 4i etc.

    Em sintonia com tal representao, vere-

    mos que o valor absoluto de um complexo | z |

    |z| = x y2 2+ , e mede a distncia, no plano

    complexo, da imagem de z origem do siste-

    ma de coordenadas. O ngulo que a reta de-

    terminada pela origem e a imagem de z forma

    com o eixo x (medido no sentido anti-horrio)

    o argumento de z, representado por e. As aproximaes com a Geometria Analtica Pla-

    na sero comuns: por exemplo, o conjunto de

    pontos do plano que representam complexos

    de mdulo constante, digamos, |z| = 5, for-

    mam a circunferncia x2 + y2 = 25.

    Plano Cartesiano

    eixo Y

    eixo X

    y

    x

    P (x;y)

    x2 + y2 = 25

    1

    1

  • 10

    Plano Complexo

    eixo Imaginrio

    eixo Real

    y

    x

    i

    z = x + yi

    |z| = 5

    |z|

    1

    O significado das operaes com nmeros

    complexos ser explicitado nas Unidades 15

    e 16. Veremos, em tais unidades, que as ope-

    raes com complexos correspondem rea-

    lizao de certos movimentos no plano. Por

    exemplo, se a um complexo z for somado o

    nmero real 4, sua representao no plano

    ser deslocada na direo do eixo x de 4 uni-

    dades; se a z for somado o nmero imaginrio

    3i, sua representao ser deslocada na dire-

    o do eixo y de 3 unidades; se a z for soma-

    do o nmero 4 + 3i, sua representao sofrer

    um deslocamento horizontal (eixo Real) de

    4 unidades, seguido de um vertical (eixo Imagi-

    nrio) de 3 unidades, ou seja, o deslocamento

    de z ter valor igual ao mdulo do complexo

    4 + 3i, que igual a 5, na direo determinada

    pela origem e a representao deste comple-

    xo. Ao multiplicar o complexo z pelo real 5,

    mostraremos que z permanece com o mesmo

    argumento (ngulo com o eixo x), mas a dis-

    tncia de z at a origem fica multiplicada por

    5; se multiplicarmos z por i, o mdulo de z

    permanecer o mesmo e seu argumento au-

    mentar de 2

    ; j se multiplicarmos z por

    5i, os dois efeitos so combinados: aumenta a

    distncia at a origem, ao mesmo tempo que

    o argumento aumenta de 2

    .

    eixo Imaginrio

    eixo Real

    z + 4 + 3i

    z + 4

    3z

    z u i

    |z|

    |z|

    z

    z + 3i

  • 11

    Matemtica 3 srie Volume 1

    O estudo de tais movimentos na imagem de

    z, decorrentes de operaes realizadas sobre z,

    torna o estudo dos nmeros complexos espe-

    cialmente significativo, abrindo caminho para

    um grande nmero de aplicaes prticas na

    Situao de Aprendizagem 8.

    De modo geral, ao longo das oito ltimas

    unidades do volume, a nfase ser dada ao

    significado de cada equao como uma per-

    gunta, de cada raiz como uma resposta, de

    cada complexo como um ponto do plano, de

    cada operao realizada sobre ele como uma

    transformao em sua imagem no plano.

    Desde as sees iniciais, o exerccio da

    compreenso leitora encontra-se presente em

    todas as etapas do texto. Os clculos a serem

    efetuados ao longo da resoluo das equa-

    es so sempre acompanhados de um texto

    explicativo, o que pode alongar um pouco o

    percurso, mas esperamos que o torne mais

    significativo. Afinal, aprender Matemtica

    tambm significa desenvolver a capacidade de

    expresso na leitura e na escrita, ao lado das

    habilidades de clculo.

    Sinteticamente, as 16 unidades que compem

    o presente Caderno so apresentadas a seguir.

    Quadro geral de contedos do volume 1 da 3a srie do Ensino Mdio

    Unidade 1 O plano cartesiano; distncia entre dois pontos; ponto mdio de um segmento; condio de alinhamento de trs pontos.

    Unidade 2 A equao da reta; significado dos coeficientes; retas paralelas.

    Unidade 3 Retas perpendiculares; regies do plano.

    Unidade 4 Problemas lineares.

    Unidade 5 A equao da circunferncia.

    Unidade 6 Distncia de ponto reta; posies relativas entre reta e circunferncia.

    Unidade 7 Cnicas; apresentao e propriedades da elipse, da hiprbole e da parbola.

    Unidade 8 Equaes da elipse, da hiprbole e da parbola.

    Unidade 9 Equaes algbricas de graus 1, 2, 3, 4, 5, ...; histria, frmulas.

    Unidade 10 A raiz quadrada de um nmero negativo e o conjunto dos complexos.

    Unidade 11 Das frmulas abordagem qualitativa: relaes entre coeficientes e razes.

    Unidade 12 Equaes e polinmios; operaes com polinmios; diviso de um polinmio por x k.

    Unidade 13 Sntese de resultados sobre a resoluo de equaes algbricas de qualquer grau.

    Unidade 14 Nmeros complexos; representao no plano; relaes com Geometria Analtica.

    Unidade 15 Significado das operaes com nmeros complexos; translaes, rotaes, ampliaes.

    Unidade 16 Transformaes no plano complexo; exerccios simples.

  • 12

    SITUAES DE APRENDIZAGEMSITUAO DE APRENDIZAGEM 1

    A GEOMETRIA E O MTODO DAS COORDENADAS

    Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 1

    1. Na Geometria Analtica Plana, representamos os pontos de um

    plano por coordenadas (x; y) e fa-

    zemos clculos relativos a figuras geomtricas

    por meio de operaes algbricas sobre os pa-

    res de coordenadas. Partindo dessa ideia, consi-

    dere os pontos A (2; 3) e B (5; 7), e calcule:

    a) A distncia entre esses dois pontos.dAB = (52)2 + (7 3)2 = 9 + 16 = 25 = 5u

    b) A inclinao do segmento AB.

    m = 6y6x

    = 7 3

    5 2 =

    4

    3

    2. Como voc escreveria a equao da reta paralela ao eixo x que cruza o eixo y no ponto (0; 5)?

    y = 5

    3. Qual a equao da reta paralela ao eixo y, que cruza o eixo x no ponto (2; 0)?x = 2

    O clculo de distncia entre dois pontos

    da inclinao de um segmento, por exemplo,

    pode ser realizado conforme as expresses in-

    dicadas a seguir.

    4. Compare se o que voc fez nas trs primei-ras atividades corresponde ao apresentado

    a seguir:

    Contedos e temas: coordenadas cartesianas no plano; clculo de distncias, coordenadas do ponto mdio, inclinao de segmentos usando coordenadas; escolha de sistemas de coorde-nadas convenientes para a soluo de problemas geomtricos.

    Competncias e habilidades: compreenso da linguagem algbrica na representao de situaes e problemas geomtricos; expresso de resultados geomtricos por meio da linguagem algbrica.

    Sugesto de estratgias: retomada do uso de sistemas de coordenadas j iniciado na 6a srie/ 7o ano do Ensino Fundamental e apresentao de problemas geomtricos simples, que podem ser resolvidos por meio da linguagem das coordenadas.

  • 13

    Matemtica 3 srie Volume 1

    y

    0

    yB

    xA xB x

    yA

    B

    A

    dAB

    dAB = distncia entre A e B

    dAB = (xB xA)2 + (yB yA)

    2

    y

    0

    yB

    xA xB x

    yA

    B

    A

    1

    mAB

    mAB = inclinao de AB

    mAB = yB yAxB xA

    y

    0 x

    A D

    E

    B

    C

    A, B, C no alinhados: mAB mBC

    BC paralelo a DE: mBC = mDE

    y

    0

    y = h (h > 0)

    y = h (h < 0)

    x

    h

    h

    y

    0

    (h < 0)

    x = h

    (h > 0)

    x

    x = h

    Registre as semelhanas e as diferenas en-tre as solues que voc props e as figuras apresentadas.Resposta pessoal. Professor, discuta com os alunos as frmulas

    e as propriedades que foram envolvidas nas atividades de 1 a 3.

    5. Observe os grficos a seguir e busque uma equao que represente a reta r, em cada item:

    a)r

    y

    x0

    3

    21

    54

    6

    7

    21 3 54

    y = x + 3

  • 14

    b)

    y

    0

    3

    4

    5

    x

    r

    6

    7

    2

    1

    21 3 54

    y = 1

    2 x + 5

    6. De forma geral, para as retas inclinadas em relao aos eixos, lembrando dos grficos das funes de 1o grau, temos as equaes indicadas a seguir:

    a)

    0

    y = mx + h (m > 0)

    m

    h

    1

    x

    y

    b)

    0

    y = mx + h (m < 0)

    m

    h

    1

    x

    y

    Compare-as com as equaes encontradas na atividade 5 e identifique, em cada uma, os valores de m e h.a) m = 1 e h = 3

    b) m = 1

    2 e h = 5

    7. Comparando as inclinaes das retas, podemos identificar as que so paralelas e as que so concorrentes e, particular-mente, a relao entre as inclinaes de retas perpendiculares:

    y

    x

    r1: y = m1x + h1

    m1 m2 r1 e r2 concorrentes

    r2: y = m2x + h2

    r1: y = m1x + h1

    r2: y = m2x + h2

    x

    y

    m1 = m2 r1 e r2 paralelas

    Considerando isso, responda s questes

    seguintes:

    a) Qual a posio relativa entre as retas y = 2x + 5 e y = 4x + 1?

    As retas so concorrentes (m1 m2).

    b) Qual a posio relativa entre as retas y = 3x + 4 e y = 3x 2?

    As retas so paralelas (m1 = m2).

  • 15

    Matemtica 3 srie Volume 1

    desafio!

    Para calcular a distncia de um ponto a uma reta, deixando de lado o caso mais simples, em que a reta paralela a um dos eixos, podemos explorar a semelhana de tringulos indi-cada na figura a seguir:

    yPy P

    yr

    h

    xP x

    (yr = mxP + h)

    r: y = mx + h

    yP yr

    dPr

    1

    m1

    2

    + m

    dy y mP r

    Pr

    =

    +

    11 2

    dy y

    mP r

    Pr

    =+1 2

    dy m x h

    mP p

    Pr

    =

    +1 2

    No sistema cartesiano a seguir foram re-

    presentadas retas de equaes:

    r: y = 3; s: x = 4; t: y = 3x + 1

    Localize nesse sistema o ponto (2;15) e

    determine a distncia desse ponto a cada

    uma das retas indicadas anteriormente.Por observao direta, notamos que a distncia de P at

    a reta y = 3 igual a 15 3 = 12. Da mesma maneira, no-

    tamos que a distncia de P at a reta x = 4 4 2 = 2. Para

    calcular a distncia de P at a reta y = 3x + 1, observando

    na figura a semelhana entre os tringulos PAB e MNQ,

    y ts

    x

    16

    14

    12

    10

    8

    4

    2

    0 2 64 82468

    r

    temos: PB

    QM =

    PA

    QN

    d

    1 =

    8

    32 + 12 d = 8

    10 =

    8 10

    10 d = 4 10

    5 . Logo,

    N

    3

    MQ

    P

    y

    A

    x

    B

    d

    15

    7

    3

    1

    0 2

    15 7 = 8

    y2 = 3 2 + 1 = 7

    y = 3

    x = 4

    y = 3x + 1

    1

    10

    10

    4

    dy y mP r

    Pr

    =

    +

    11 2

    dy y mP r

    Pr

    =

    +

    11 2

    BOOK_MAT-SPFE-2014_3S_CP_VOL1.indb 15 25/11/13 17:43

  • 16

    Para aplicar informaes citadas anterior-

    mente, so apresentadas as atividades a seguir.

    8. O hexgono regular ABCDEF tem centro M, como mostra a figura a seguir, e cada

    lado tem 10 unidades de comprimento.

    Utilizando os sistemas de coordenadas

    XOY e XMY, determine:y

    F

    D

    B

    E

    Ax

    M C

    a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, M;

    b) a inclinao dos segmentos FE, DC, BC, AM, FA, ED, AC e FB;

    c) as coordenadas do ponto mdio dos seg-mentos AB, FC, FM, AE, BC, DC e AD.

    Ser necessrio calcular a altura de um tringulo equiltero

    de lado 10, que igual a 5 3 .

    10

    5

    h

    h2 + 52 = 102

    h2 = 75

    h = 5 3

    A partir desse resultado, para o sistema XOY, temos:

    a) A (5; 0); B (15; 0); C (20; 5 3); D (15; 10 3); E (5; 10 3);

    Para continuar nosso estudo de Geometria

    Analtica, trs lembretes so importantes.

    Em primeiro lugar, trata-se de uma retoma-

    da de modo mais sistemtico de um uso dos sis-

    temas de coordenadas que, de fato, j se iniciou

    bem anteriormente, na soluo de sistemas de

    equaes lineares e no estudo das funes.

    Em segundo lugar, o que aqui se pretende

    desenvolver um novo mtodo de abordar pro-

    blemas geomtricos j conhecidos, ou seja, a

    novidade est na forma de tratamento dos pro-

    blemas, no no seu contedo.

    E em terceiro lugar, importante lembrar

    que, muitas vezes, temos a liberdade de escolher

    o sistema de coordenadas que ser utilizado na

    resoluo dos problemas. Nesses casos, convm

    notar que, embora as coordenadas dos pontos

    representados dependam do sistema escolhido,

    existem informaes relativas aos pontos que

    podem depender ou no do sistema. Por exem-

    plo, dados trs pontos A, B, C, a escolha de um

    sistema de coordenadas deve considerar os se-

    guintes aspectos:

    f as coordenadas dos pontos A, B e C de-pendem do sistema XOY escolhido;

    f a distncia entre dois desses pontos no depende do sistema escolhido;

    f a inclinao do segmento AB depende do sistema escolhido;

    f a rea do tringulo ABC no depende do sistema escolhido;

    f a medida do ngulo BAC no depende do sistema escolhido, e assim por diante.

    Y

    X

  • 17

    Matemtica 3 srie Volume 1

    F (0; 5 3); M (10; 5 3).

    b) FE: 3; DC: 3; BC: 3; AM: 3; FA: 3; ED: 0; AC: 3

    3 ;

    FB: 3

    3 .

    c) AB: (10; 0); FC: (10; 5 3); FM: (5; 5 3); AE: (5; 5 3); BC:

    (17,5; 5 3

    2); DC: (17,5; 7,5 3); AD: (10; 5 3).

    Professor!

    importante notar que os segmentos FE e BC so paralelos, assim como tambm o so os segmentos FA e DC, AB e ED, AM e FE etc. Esse o sig-nificado da igualdade das inclinaes, nesses casos.

    Para o sistema X'MY', as coordenadas so as seguintes:

    a) A (5; 5 3); B (5; 5 3;) C (10; 0); D (5; 5 3); E (5; 5 3);

    F (10; 0); M (0; 0).

    b) FE: 3; DC: 3; BC: 3; AM: 3; FA: 3; ED: 0; AC: 3

    3;

    FB: 3

    3 .

    c) AB: (0; 5 3); FC: (0; 0); FM: (5; 0); AE: (5; 0); BC: (7,5; 2,5 3);

    DC: (7,5; 2,5 3); AD: (0; 0).

    Muitos outros exerccios semelhantes

    atividade 1 podem ser apresentados aos alu-

    nos, a fim de recordar fatos e relaes da

    Geometria Plana, expressando-os por meio das

    coordenadas cartesianas. Tringulos, quadra-

    dos, losangos, retngulos, pentgonos, entre

    outros, poderiam ser representados no plano

    por meio de coordenadas, calculando-se com-

    primentos de lados, de medianas, baricentro

    etc. Vale ressaltar que muitos dos problemas

    de Geometria Plana j conhecidos podem ser

    abordados em outra perspectiva, com a parce-

    ria entre a lgebra e a Geometria. A escolha do

    sistema de coordenadas mais simples em cada

    situao tambm pode ser explorada. As ativi-

    dades a seguir ilustram o que se sugere.

    9. Observe o hexgono regular ABCDEF, apresentado na atividade anterior, agora

    com o vrtice F coincidente com um ponto

    do eixo das ordenadas, e com o lado AB

    apoiado sobre o eixo das abscissas.Y

    F

    O B

    DE

    A X

    M C

    Determine:

    a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F;

    A (5; 0), B (15; 0), C(20; 5 3), D(15; 10 3), E(5; 10 3), F(0; 5 3).

    b) as coordenadas do ponto M, centro do hexgono;

    M(10; 5 3).

    c) a inclinao dos segmentos AD e BE;mAD= 3, mBE = 3.

    d) as coordenadas do ponto mdio dos segmentos: AE e BD;

    AE: (5; 5 3), BD: (15; 5 3).

  • 18

    e) as medidas AD, BE e FC, diagonais do hexgono.

    dAD = dBE = dFC = (515)2 + (0 10 3)2 = 100 + 300 = 20u

    10. No sistema de coordenadas desenhado no papel quadriculado, represente os

    pontos: A (1; 2), B (3; 8), C (2; 8) e

    D ( 4; 2).

    a) Mostre que os pontos A, B, C e D so os vrtices de um paralelogramo.

    b) Calcule o comprimento do lado maior do paralelogramo ABCD.

    c) Calcule o comprimento da diagonal menor de ABCD.

    d) Trace, em seu desenho, as diagonais do paralelogramo ABCD. Identifique pela

    letra M o ponto em que as diagonais se

    cruzam. Determine as coordenadas do

    ponto M.

    e) Calcule a rea do tringulo AMD.

    yC

    DA

    M

    B

    x0

    2

    -2-4 1 3

    8

    Vamos representar os pontos indicados para orientar a res-

    posta aos diversos itens. No entanto, vale lembrar que pode-

    ramos responder a cada uma das questes apenas com as

    informaes do enunciado, sem qualquer gura.

    a) Calculando as inclinaes dos segmentos AB e CD, nota-

    mos que elas so iguais:

    mAB = 8 2

    3 1 = 3

    mCD = 2 8

    4 (2) =

    6

    2 = 3

    Logo, AB e CD so paralelos. De modo anlogo, mostramos

    que AD e BC tambm so paralelos. Resulta, ento, que o

    quadriltero ABCD um paralelogramo.

    b) Calculando as distncias entre A e B, e entre B e C, obtemos:

    dAB = (8 2)2 + (3 1)2 = 40;

    dBC= (8 8)2 + (2 3)2 = 5

    Logo, o lado AB maior, valendo 2 10.

    c) Calculando as distncias entre A e C e entre B e D, obte-

    mos as diagonais:

    dAC = (8 2)2 + (2 1)2 = 45;

    dBD= (2 8)2 + (4 3)2 = 85.

    Logo, a diagonal menor AC.

    d) Basta lembrar que as diagonais do paralelogramo se cru-

    zam no ponto mdio de cada uma delas e achar o ponto

    mdio de AC, que 1

    2; 5 .

    e) Por inspeo direta, a base do tringulo AMD tem compri-

    mento 5 e a altura mede 3; logo, a rea de AMD igual a 7,5.

    11. Represente os pontos A (0; 0), B (3; 7) e C (2; 13) em um siste-

    ma de coordenadas, sendo M o

    ponto mdio de AC e N o ponto mdio

    de BC:

    a) Determine as coordenadas de M e N.

    b) Calcule as inclinaes dos segmentos AB e MN, verificando que tais segmen-

    tos so paralelos.

  • 19

    Matemtica 3 srie Volume 1

    c) Calcule as distncias dAB e dMN, verifi-cando que dAB = 2 dMN.

    Como no exerccio anterior, vamos fazer um esboo da gura

    que oriente soluo.

    yC

    B

    x

    13

    N

    M

    A0

    7

    -2 3

    a) As coordenadas de M, ponto mdio de AC, so a mdia

    aritmtica das coordenadas correspondentes de A e C:

    xM = xA + xC

    2 =

    0 2

    2 = 1 yM =

    yA + yC

    2 =

    0 + 13

    2 = 13

    2

    M = 1; 132

    . Analogamente, N = 12

    ; 10.

    b) Calculando a inclinao de AB, temos:

    mAB = yB yA

    xb xA =

    7

    3Do mesmo modo, mMN =

    yM yN

    xM xN = 7

    3

    Como as inclinaes so iguais, conclumos que os segmen-

    tos AB e MN so paralelos.

    c) Calculando as distncias entre A e B e entre M e N, obtemos:

    dAB = 58 e dMN = 58

    2

    ou seja, dMN = dAB

    2

    12. Para que trs pontos A, B e C estejam alinhados, necess-

    rio e suficiente que as inclinaes dos seg-

    mentos AB, BC (e, consequentemente, AC)

    sejam iguais, isto , que os trs pontos

    constituam uma nica rampa ABC.

    0 x

    y

    yC

    yB

    yA

    xA xB xC

    A

    B

    C

    mAB mBC

    C

    0 x

    y

    yB

    yC

    yA

    xA xB xC

    A

    B

    C

    mAB = mBC = mAc

    Dados os pontos A (1; 3), B (3; 7) e C (4; k):

    a) Determine o valor de k para que esses pontos estejam alinhados.

    Devemos ter mAB = mBC ; resulta da que 7 3

    3 1 =

    k 7

    4 3 , e,

    ento, k = 9.

    b) Determine o valor de k para que a rea do tringulo ABC seja igual a zero.

    A rea de ABC ser nula quando os trs pontos estiverem ali-

    nhados, ou seja, quando k = 9. interessante aproximar essas

  • 20

    duas informaes: sempre que trs pontos esto alinhados, a

    rea do tringulo formado por eles nula e vice-versa.

    c) Sendo k = 3, desenhe o triangulo ABC e calcule sua rea.

    Vamos construir uma figura para orientar a soluo.

    Observando a figura, verificamos que a base AC mede 3 e

    a altura relativa mede 4; logo, a rea igual a 6.

    yB

    C

    x

    43

    A

    7

    3

    1

    13. No sistema de coordenadas a seguir, repre-sente quatro pontos de modo a formar um

    quadriltero ABCD. Escolha as coordena-

    das vontade.

    y

    x

    6

    4

    14 3 2 1 1 32 4 5

    2

    3

    4

    2

    5

    3

    1

    0

    Analisando o quadriltero formado:

    a) calcule os pontos mdios dos lados AB, BC, CD e DA;

    b) mostre que os quatro pontos mdios obtidos formam um paralelogramo.

    Basta seguir os passos do enunciado: calcular os pontos

    mdios dos quatro segmentos determinados pelos pon-

    tos escolhidos arbitrariamente, calcular as inclinaes dos

    segmentos determinados por esses quatro pontos mdios

    e vericar que elas so iguais duas a duas. Procure vericar

    que isso vale para qualquer quadriltero. Em outras palavras,

    os pontos mdios dos lados de um quadriltero qualquer

    sempre formam um paralelogramo.

    D

    A

    B

    C

    interessante associar esse fato ao resulta-

    do da atividade 11, notando que os lados do

    paralelogramo so os segmentos que unem os

    pontos mdios dos lados dos tringulos em

    que o quadriltero inicial se divide quando

    so traadas as suas diagonais.

    14. Com base na figura, calcule a distncia do ponto P de coordenadas (2; 15) reta r nos casos indicados a seguir:

    a) r: y = 3 b) r: x = 9 c) y = 3x + 1Vamos fazer uma figura para orientar a

    soluo:

  • 21

    Matemtica 3 srie Volume 1

    N

    3

    MQ

    P

    y

    A

    x

    B

    d

    15

    7

    3

    1

    0 2 9

    15 7 = 8

    y2 = 3 . 2 + 1 = 7

    y = 3

    x = 9

    y = 3x + 1

    1

    W10

    a) Por observao direta, notamos que a distncia de P at a reta

    y = 3 igual a 15 3 = 12.

    b) Da mesma maneira, notamos que a distncia de P at a reta

    x = 9 9 2 = 7.

    c) Para calcular a distncia d de P at a reta y = 3 u x + 1, ob-

    servando na gura a semelhana entre os tringulos PAB e

    MNQ, temos: PB

    QM =

    PA

    QN.

    Logo, d

    1 =

    8

    10, ou seja, d =

    8 10

    10.

    Consideraes sobre a avaliao

    Ao final desta primeira unidade, a expec-

    tativa que a Geometria Analtica tenha

    sido assimilada como um novo mtodo novo

    para a abordagem de problemas j conhe-

    cidos, como foi registrado anteriormente.

    Nos exerccios apresentados, o dilogo entre

    a lgebra e a Geometria pode ser observa-

    do e, a partir disso, ela deve ser ampliada

    continuamente.

    Considera-se que o desenvolvimento da

    Situao de Aprendizagem foi bem-sucedido

    se os alunos consolidaram o uso do sistema

    de coordenadas cartesianas, tendo aprendido

    a determinar o ponto mdio de um segmen-

    to, calcular a distncia entre dois pontos e a

    inclinao de um segmento, bem como veri-

    ficar se dois segmentos dados pelas coorde-

    nadas de seus pontos so ou no paralelos,

    alm de outros resultados que o professor

    considerar viveis no contexto de sua aula,

    sempre associados representao de pontos

    por coordenadas.

  • 22

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 A RETA, A INCLINAO CONSTANTE E A

    PROPORCIONALIDADE

    Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 2

    A partir de agora, vamos procurar repre-

    sentar curvas por equaes com base na ex-

    presso algbrica das propriedades que tais

    curvas apresentam. E vamos iniciar a discus-

    so com a mais simples das "curvas", ou seja,

    com a reta, que como uma "curva sem imagi-

    nao", pois segue sempre na mesma direo.

    Para determinar a equao de uma reta, ou

    seja, a relao entre as coordenadas x e y que deve

    satisfazer todos os seus pontos, basta estar atento

    ao fato de que todos os segmentos nela contidos

    tm a mesma inclinao. Deixemos de lado os ca-

    sos particulares das retas paralelas aos eixos coor-

    denados, cujas equaes so do tipo:

    x = constante = k, para todo y (reta para-

    lela ao eixo OY);

    ou ento:

    Contedos e temas: equao da reta: proporcionalidade, inclinao constante; relao entre as inclinaes de retas paralelas e de retas perpendiculares; inequaes lineares e regies do plano cartesiano; problemas envolvendo equaes da reta.

    Competncias e habilidades: compreenso da linguagem algbrica na representao de situaes e problemas geomtricos; expresso de situaes envolvendo proporcionalidade por meio de equaes e inequaes envolvendo retas.

    Sugesto de estratgias: caracterizao da reta tendo por base a inclinao constante do seg-mento formado por qualquer par de seus pontos; resoluo de situaes-problema envolven-do proporcionalidade, com base na equao da reta.

    y = constante = h para todo x (reta parale-

    la ao eixo OX).

    Consideremos agora as retas que cortam

    os eixos. Se uma reta corta o eixo OY no pon-

    to P0 (0; h), tendo o valor de m como inclina-

    o comum a todos os seus segmentos, ento

    um ponto qualquer P (x; y) da reta deve ser

    tal que a inclinao do segmento P0P seja

    igual a m.

    A inclinao constante de todos os seg-

    mentos de uma reta pode ser associada

    representao de grandezas diretamente pro-

    porcionais. De fato, se uma grandeza y direta-

    mente proporcional a outra grandeza x, ento yx

    = constante = m, ou seja, y = mx, que repre-

    senta uma reta de inclinao m, passando pela origem. Se a reta no passar pela origem, mas

    cortar o eixo y no ponto de ordenada h, temos: y h

    x 0 = m.

  • 23

    Matemtica 3 srie Volume 1

    Ou seja, quando x aumenta em uma unida-

    de, a variao de y ser y y = m.

    1. Na equao y = 473,5x + + 12,879, se x variar uma uni-

    dade, passando, por exemplo,

    de 2 008 para 2 009, de quanto

    ser o aumento de y? Tente responder a

    essa questo sem efetuar clculos.

    O aumento de y ser de 473,5, pois esse valor a taxa de

    variao de y para cada unidade de x.

    Os sinais dos coeficientes m e h

    Muitos exemplos de retas com diferentes

    valores e sinais para m e h so apresentados a seguir, e convm associar a cada uma das retas

    representadas o pequeno tringulo correspon-

    dente ao significado da inclinao.

    x

    y

    h

    0

    1

    m

    y = mx + h

    Retas paralelas ao eixo OX, que tm equao

    do tipo y = h, podem ser consideradas retas de

    inclinao m = 0. Retas que passam pela origem

    do sistema de coordenadas tm equao do tipo

    y = mx, uma vez que h = 0. Para as retas parale-

    las ao eixo OY, no se define inclinao.

    Logo, todo ponto da reta satisfaz a equa-

    o y = mx + h, considerando os seguintes aspectos:

    f h: ordenada do ponto em que a reta cor-ta o eixo OY;

    f m: inclinao da reta, ou seja, a varia-o na ordenada y por unidade a mais

    de x.

    Cabe enfatizar que, com base em certo

    valor h, y varia de modo diretamente pro-porcional a x, ento temos: y h = mx, ou

    seja, y = mx + h. A inclinao m representa a constante de proporcionalidade, e inte-

    ressante notar que m corresponde varia-o no valor de y quando o valor de x au-

    menta em uma unidade:

    x y = mx + h

    x = x + 1 y = m(x + 1) + h = = mx + m + h = y + m

    x x = 1 y y = m

  • 24

    x

    y

    y = h

    y = h

    (h > 0)

    (h < 0)

    0

    Nesses casos m = 0

    x = kk < 0

    y

    x0

    x = kk > 0

    Nesses casos no existe m

    Se duas retas so paralelas, ento elas tm a

    mesma inclinao; se so concorrentes, ento suas

    inclinaes so diferentes. As figuras a seguir po-

    dem facilitar a compreenso de tais afirmaes:

    m1 = m2 r1 e r2 paralelas

    y

    x

    0

    r1r2

    y = m1x + h1 y = m2x + h2

    m1 m2 r1 e r2 concorrentes

    y

    x0

    r1

    r2

    y = m1 u x + h1

    y = m2 u x + h2

    Para que voc se familiarize com tais fatos,

    so apresentados a seguir alguns exerccios.

    As questes formuladas so simples, mas

    representam conhecimentos fundamentais.

    Com os valores de h e m, podemos escrever diretamente a equao da reta (atividade 2).

    Tambm podemos facilmente escrever a equa-

    o da reta que passa por um ponto dado,

    com inclinao dada, ou que passa por dois

    pontos dados (atividades 3 e 4).

    2. Represente no plano cartesiano as retas r1 a r9 de equaes do tipo y = mx + h, corres-

    pondentes aos valores de h e m registrados na tabela a seguir.

    h m

    r1 0 5

    r2 3 2

  • 25

    Matemtica 3 srie Volume 1

    h m

    r3 3 2

    r4 1 5

    r5 3 7

    r6 5 6,4

    r7 0

    r8 0,5 7

    r9 0,8

    y

    6

    7

    1 4 62 3 51

    3

    5

    2

    4

    6

    7

    4

    2

    5

    3

    1

    0

    13 24 x

    Um esboo das nove retas, destacando-se os valores relati-

    vos dos coeficientes m e h, indicado a seguir:

    y = 5 + 6,4x

    y = 0,5 7 x

    y = 3 7x

    y = 0,8 + x

    y = 3 2x

    y = 5x

    y = 3 2x

    y =

    r1

    r2

    r3

    r4

    r5

    r6

    r7

    r8

    r9

    y = 1 + 5 x

    y

    x

    3. Determine a equao da reta que passa

    pelo ponto A (2; 5) e tem inclinao m = 3.

    35

    y

    2

    P

    1

    X x

    Y

    1a soluo

    A equao da reta do tipo y = mx + h, ou seja, y = 3x + h

    Como o ponto (2; 5) pertence reta, ento: 5 = 3 2 + h

    Logo, h = 1, e a equao y = 3x 1

    2a soluo

    Sendo (x; y) um ponto genrico da reta,

    devemos ter: m = y 5

    x 2 = 3.

    Logo, y 5 = 3(x 2), ou seja, y = 3x 1

    BOOK_MAT-SPFE-2014_3S_CP_VOL1.indb 25 25/11/13 17:43

  • 26

    4. Escreva a equao da reta que passa pelos pontos A (1; 7) e B (4; 16).

    0 x

    y

    1

    A

    B

    7

    16

    4

    1a soluo

    Sendo a reta inclinada em relao aos eixos, a equao da

    forma y = mx + h.

    Substituindo as coordenadas dos pontos, temos:

    7 = m u 1 + h

    16 = m u 4 + h

    Resolvendo o sistema, temos: m = 3 e h = 4.

    Logo, a equao y = 3x + 4.

    2a soluo

    A inclinao da reta m = 16 7

    4 1 = 3.

    E j sabemos que a equao do tipo y = 3x + h.

    Se ela passa pelo ponto A (1; 7), temos: 7 = 3 u 1 + h

    ou seja, h = 4. Logo, a equao y = 3x + 4.

    5. Considere o quadrado ABCD cujo lado mede 5 unidades e o tringulo equiltero EFG cujo lado mede 10 unidades, repre-sentados no sistema cartesiano.

    y

    BA

    D 5x

    C

    y

    xF

    M

    G

    10

    E

    O

    a) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equa-

    es das retas AB, BC, CD, DA, AC e BD.

    b) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escre-

    va as equaes das retas EF, FG, GE e

    OM, onde M o ponto mdio do lado

    EF e O o ponto mdio do lado GF.

    Naturalmente, existem muitas respostas distintas para a ques-

    to. So indicados a seguir alguns exemplos de sistemas de

    coordenadas que poderiam ser escolhidos:

    y

    BA

    D 50x

    C

    Sugesto para o professor!

    Apresente exerccios de fixao sobre os fatos bsicos explorados nas atividades anteriores. Proponha aos alunos a deter-minao de diversas equaes de retas a partir de diferentes informaes:

    f Reta passando por dois pontos dados; f Reta passando por um ponto dado, sendo fornecida tambm a inclinao.

    A atividade pode ficar ainda mais inte-ressante e significativa se forem inclu-dos os casos de retas paralelas aos eixos coordenados.

  • 27

    Matemtica 3 srie Volume 1

    y

    x

    F

    M

    G

    10

    E

    0

    a) reta AB: y = 5 reta DC: y = 0 reta AD: x = 0 reta CB: x = 5

    reta DB: y = x reta AC: y = x + 5

    b) reta FG: y = 0

    tcalculando a altura do tringulo equiltero, obtemos

    h = 5 3; logo, as retas EF e EG tm equaes do tipo

    y = mx + 5 3;

    tcomo a reta EF passa pelo ponto F(5; 0), conclumos

    que 0 = m u 5 + 5 3, ou seja, m = 3; a equao de EF y = 3x + 5 3;

    tdo mesmo modo, como EG passa pelo ponto (5; 0),

    conclu mos que sua inclinao 5 3

    5 , ou seja, igual a 3;

    sua equao y = 3 x + 5 3;

    ta reta OM ter equao do tipo y = m u x, uma vez que passa

    pela origem.

    Como as coordenadas do ponto M so 52

    ; 5 3

    5

    , cal-

    culamos o valor de M e obtemos m = 3; portanto, a equa-

    o de OM y = 3x.

    Professor:

    Outros sistemas de coordenadas poderiam ser escolhidos. Em sala de aula, essa diversi-dade possibilita algumas comparaes inte-ressantes sobre quais resultados dependem e quais no dependem de tal escolha. Nesse momento tambm interessante analisar qual o sistema mais conveniente, no sentido de simplificar as equaes a serem obtidas.

    6. Se duas retas inclinadas em relao aos ei-xos coordenados r1 e r2 so perpendiculares,

    ento suas inclinaes m1 e m2 tem sinais

    opostos e so inversas, isto , m1 u m2 = 1, como possvel perceber pela anlise da fi-

    gura seguinte:

    y

    0x

    1

    h2

    h1

    y = m2 x + h2

    y = m1 x + h1

    m1

    m2

    Os ngulos assinalados nos dois tringulos

    retngulos so congruentes. Isso nos permi-

    te afirmar que m11

    = 1

    m2 (note que, como

    m2 < 0, o segmento que corresponde ao lado

    do tringulo tem comprimento igual a m2).

    Sendo assim, conclumos que m1 u m2 = 1.

    Considerando esse resultado, determine a

    equao da reta t que passa pelo ponto A e perpendicular reta r, nos seguintes casos:

    A r

    (0; 0) y = 4 3x

    (0; 4) y = 2x 5

    (0; 3) y = 0,2x + 7

    (0; 7) y = 3 x + 2

    (1; 2) y = 3x + 7

    Em cada caso, buscamos a equao da reta que passa pelo

  • 28

    ponto dado e perpendicular reta dada. Para obter a in-

    clinao m da reta procurada, basta tomar a inclinao m

    da reta dada, inverter e trocar o sinal, pois sabemos que o

    produto m m deve ser igual a 1.

    Assim, temos a seguinte tabela:

    A r m m'

    (0; 0) y = 4 3x 31

    3

    (0; 4) y = 2x 5 2 1

    2

    (0; 3) y = 0,2x + 7 0,2 5

    (0; 7) y = 3 x + 2 31

    3 = 3

    3

    (1; 2) y = 3x + 7 3

    1

    3

    As retas perpendiculares so, portanto: y = m u x + h, com o

    m de acordo com a tabela anterior e com o h calculado com

    base no fato de que elas passam pelo ponto indicado.

    No primeiro caso, teramos: y = 1

    3 + h; como a reta passa

    pela origem (0; 0), h = 0, e temos y = 1

    3 x.

    No segundo caso:

    y = 1

    2 x + h; como a reta passa pelo ponto (0; 4), temos:

    4 = 1

    2 u 0 + h, ou seja, h = 4; portanto y =

    1

    2 x + 4 .

    Nos demais casos, temos, sucessivamente:

    y = 5x 3 y = 1

    3 + 7 y =

    1

    3 x +

    7

    3

    Professor, para justificar o fato "se as retas

    r1 e r2 so perpendiculares e m1 e m2 so,

    respectivamente, as inclinaes dessas re-

    tas, ento m1 m2 = 1", pode-se discutir

    com os alunos a argumentao a seguir:

    Para justificar esse fato, basta observar a figura:

    y

    0 x

    1

    h2

    h1

    y = m2x + h2

    y = m1x + h1

    m2

    m1

    Pode-se notar que, no tringulo retngulo

    formado pelas duas retas e pelo segmento

    em que esto representadas as inclinaes

    m1 e m2, a altura relativa hipotenusa

    igual a 1; logo, o produto dos comprimen-

    tos dos segmentos representados por m1

    e m2 igual a 1, uma vez que o quadrado

    da medida da altura relativa hipotenusa

    igual ao produto das medidas das proje-

    es dos catetos sobre ela. Como as incli-

    naes tm sinais opostos, conclumos que:

    m1 m2 = 1, ou seja, m1 = 1m2

    .

  • 29

    Matemtica 3 srie Volume 1

    Outro modo de comprovar tal relao

    aplicar o Teorema de Pitgoras no tringulo

    retngulo anteriormente referido, obser-

    vando que um dos catetos 1 + m12 ,

    o outro 1 + m22 , e a hipotenusa m1 m2

    (lembrar que m2 negativo; logo, o com-

    primento do segmento representado pelas

    duas inclinaes m1 m2).

    Isso significa que:

    (m1 m2)2 = 1 + m1

    2 + 1 + m22, portanto,

    m1 u m2 = 1.

    7. Como observado anteriormente, a equa-o y = mx + h representa os pontos de uma reta inclinada em relao aos eixos

    coordenados. Uma reta divide o plano em

    dois semiplanos. Em um deles, o que se si-

    tua acima da reta, os pontos so tais que

    y > mx + h; no outro, abaixo da reta, temos y < mx + h. Se os semiplanos incluem os pon-tos da reta, temos y mx + h para os pontos acima da reta ou na reta, e y mx + h para os pontos abaixo dela ou na reta.

    y

    x0

    y > mx + h

    y < mx + h

    y = mx + h

    y

    x0

    y mx + h

    y mx + h

    y = mx + h

    Observao sobre a notao:

    y > mx + h: pontos do semiplano situado acima da reta y = mx + h.

    y mx + h: pontos do semiplano situado acima da reta, mais os pontos da reta y = mx + h.

    y < mx + h: pontos do semiplano situado abaixo da reta y = mx + h.

    y mx + h: pontos do semiplano situado abaixo da reta, mais os pontos da reta y = mx + h.

  • 30

    Partindo dessa ideia, associe cada uma das re-

    gies coloridas A, B, C, D, E, F a uma inequao

    ou a um sistema de inequaes do tipo y > mx + h, ou, ento, y < mx + h, considerando-se a conti-nuidade ou no da regio solicitada.

    Ay = 3x + 5

    x

    y

    0

    B

    y = 5 0,5x

    y

    x0

    C

    y = 5 + 2x

    x

    y

    0

    y = 3 + 2x

    D

    y = 7 0,5x

    y = 4 0,9xx

    y

    0

    E

    7 x

    y

    0

    y = 4 + x

    y = 4

    F

    5 x

    y

    0

    y = 2x

    y =

    A: y 3x + 5

    B: y < 5 0,5x

    C: 3 + 2x y 5 + 2x

    D: 4 0,9x y < 7 0,5x

    E: 4 y 4 + x para 0 x 7

    F: / 2 x < y / para 0 x 5

    A equao da reta em sua forma geral

    ax + by = c no foi especialmente contem-

    plada na apresentao das ideias neste texto.

  • 31

    Matemtica 3 srie Volume 1

    Entretanto, consideramos importante que o pro-

    fessor explore em alguns exerccios o fato de que

    tal equao sintetiza adequadamente os dois ca-

    sos aqui estudados separadamente: as retas para-

    lelas aos eixos coordenados e as retas inclinadas

    em relao aos eixos. Particularmente importan-

    te, nesse caso, reconhecer a inclinao da reta

    apresentada na forma geral ax + by = c. Sendo

    b 0, a reta no ser paralela ao eixo OY e pode-

    mos encontrar sua inclinao. Explicitando o va-

    lor de y, escrevemos y = a

    b x +

    c

    b e notamos que

    a inclinao da reta m = a

    b. Seria interessante

    praticar tal reconhecimento em variados exerc-

    cios. Para dedicar mais espao neste Caderno

    explorao de temas menos frequentemente abor-

    dados, deixamos tal tarefa a cargo do professor.

    8. Uma pessoa deve fazer uma dieta em que deve ingerir, no mnimo, 75 g de protenas por

    dia, servindo-se apenas de certo alimento A.

    a) Se cada grama de A fornece 0,15 g de protena, quantos gramas de A devero

    ser ingeridos por dia, no mnimo?

    Sendo x a quantidade de gramas de A a ser ingerida, deve-

    mos ter x u0,15 75.

    Conclumos, ento, que x 500, ou seja devem ser ingeridos

    no mnimo 500 g do alimento A.

    b) Represente algebricamente a relao entre a quantidade x de A em gramas a ser ingerida e a quantidade y de prote-nas correspondente.

    A quantidade y em gramas de protena ingerida uma fun-

    o da quantidade x em gramas ingeridos do alimento A. En-

    to, temos: y = 0,15x.

    c) Represente no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares

    (x; y) para os quais a prescrio da die-

    ta atendida.

    Os pares (x; y) do plano cartesiano que correspondem ao

    atendimento prescrio da dieta so os pontos da reta

    y = 0,15x, tais que x 500, ou seja, so os pontos da reta

    y = 0,15x direita da reta x = 500.

    d) Represente no plano cartesiano a regio em que a dieta estaria igual-

    mente satisfeita, porm com alimen-

    tos mais ricos em protenas do que o

    alimento A.

    Os pares (x; y) que correspondem a alimentos mais ricos em

    protenas do que A so tais que y > 0,15x, ou seja, ingerindo-se

    x gramas, a quantidade y de protenas ser maior do que 0,15x:

    trata-se da regio acima da reta y = 0,15x; como devemos

    ter a ingesto de, no mnimo, 75g de protena, ento y 75,

    e devemos considerar, na regio y > 0,15x, apenas os pontos

    acima da ou na reta y = 75.

  • 32

    9. Um fazendeiro dispe de 18 al-queires para plantar milho e alfa-

    fa. Chamando de x a rea a ser plantada de milho, e y a rea a ser planta-da de alfafa, e sabendo-se que o fazendei-

    ro pode optar por deixar uma parte das

    terras sem plantar nenhuma das culturas,

    responda s questes a seguir:

    a) Represente a relao algbrica que deve existir entre os valores de x e y.

    Sendo x a quantidade de alqueires plantados de milho e y a

    quantidade de alqueires plantados de alfafa, e sabendo-se que

    existe a opo de no plantar todos os 18 alqueires, devemos

    ter, ento, a soma x + y menor ou igual a 18, ou seja, x + y 18.

    b) Represente a regio A do plano carte-siano que corresponde relao entre x e y anteriormente referida.

    Representando no plano cartesiano, obtemos o semiplano

    abaixo da reta x + y = 18, e mais os pontos da reta x + y = 18;

    naturalmente, somente faz sentido no problema em questo

    os pares (x; y) em que temos x 0 e y 0.

    y = 75

    x = 500

    y = 0,15x

    x

    y

    Para obtermos a representao dos pontos da reta x + y = 18,

    basta escolhermos os pontos em que x = 0 (e, portanto, y =

    =18), e em que y = 0 (e, portanto, x = 18).

    c) Sabendo-se que devem ser plantados, no mnimo, 5 alqueires de milho, qual

    a regio B do plano correspondente

    aos pares (x; y) que satisfazem as con-

    dies formuladas?

    Sabendo que devem ser plantados no mnimo 5 alqueires de mi-

    lho, temos, ento, x 5; no plano, teremos a regio direita da reta

    x = 5, e abaixo da reta, x + y = 18.

    d) Sabendo-se que devem ser plantados, no mnimo, 5 alqueires de milho e, no mni-

    mo, 3 alqueires de alfafa, qual a regio C

    do plano que corresponde aos pares (x; y)

    que satisfazem as condies formuladas?

    Sabendo que devem ser plantados no mnimo 5 alqueires de

    milho e no mnimo 3 alqueires de alfafa, devemos ter, simulta-

    neamente, x + y 18, x 5 e y 3; no plano, trata-se da regio

    acima da, ou na reta y = 3, direita da, ou na reta x = 5, e abaixo

    da, ou na reta x + y = 18 (incluindo-se os pontos das duas retas).

  • 33

    Matemtica 3 srie Volume 1

    Consideraes sobre a avaliao

    Ao final desta Situao de Aprendizagem,

    fundamental que as equaes de retas estejam

    naturalmente associadas variao proporcio-

    nal entre x e y, tanto a partir da origem quanto

    a partir de outros valores: y = kx, y h = kx,

    ou ainda, y y0 = k(x x0).

    Espera-se que os alunos compreendam que re-

    tas paralelas aos eixos tm equaes simples, e que

    retas inclinadas em relao aos eixos tm equaes

    na forma y = mx + h e ainda que saibam interpre-

    tar o significado dos coeficientes m e h. Especial ateno deve ser dada ao pequeno tringulo que

    determina a inclinao de cada reta, em decorrn-

    cia das mltiplas informaes que ele oferece.

    Tambm faz parte das expectativas de

    aprendizagem o reconhecimento de regies

    do plano determinadas por desigualdades

    do tipo y < mx + h, ou y > mx + h, bem

    como de suas variaes, envolvendo igual-

    dade e desigualdade.

    x + y = 18

    18

    5180 x

    y

    B

    x + y = 18

    18

    5180 x

    y

    C

    3

    x + y = 18

    18

    180 x

    y

    A

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 PROBLEMAS LINEARES MXIMOS E MNIMOS

    Contedos e temas: equao da reta em diferentes contextos: problemas lineares; representa-o de retas e regies do plano cartesiano: problemas de mximos e mnimos.

    Competncias e habilidades: capacidade de recorrer linguagem da Geometria Analtica para enfrentar situaes-problema em diferentes contextos; reconhecimento da importncia da ideia de proporcionalidade e de sua relao direta com as equaes das retas.

    Sugesto de estratgias: apresentao de uma coleo de problemas lineares, alguns deles envolvendo situaes de mximos ou mnimos, como motivao para uso das equaes e inequaes associadas a retas e regies do plano.

  • 34

    Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 3

    De maneira geral, situaes que envolvem

    grandezas diretamente proporcionais, ou cujas

    variaes, a partir de certo valor inicial, traduzem

    uma proporcionalidade direta, resultam em equa-

    es de retas, quando traduzidas algebricamente.

    Vamos examinar, nas atividades a seguir, algumas

    situaes concretas desse tipo. Os enunciados dos

    problemas podem no parecer usuais no conte-

    do de Geometria Analtica, mas o requisito para a

    soluo de todos eles apenas o conhecimento b-

    sico que j foi apresentado envolvendo equaes

    de retas ou inequaes correspondentes a regies.

    Alguns dos problemas examinam situaes de

    otimizao, ou seja, em que se busca a soluo

    de um problema de mximo ou de mnimo. As

    perguntas iniciais de cada problema so simples e

    servem de degraus para facilitar a compreenso e

    a soluo das ltimas questes.

    1. Em uma fbrica que produz um s tipo de produto, o custo C da

    produo de x unidades a soma de um custo fixo C0 com um custo varivel C1,

    que proporcional a x. Se o processo de produ-o for tal que cada unidade produzida a mais

    tenha sempre o mesmo custo, independente-

    mente do valor de x, ento C1 = kx, onde k re-presenta o custo de cada unidade do produto.

    Em uma fbrica como a descrita acima, tem-se:

    C = 3 000 + 150x (x o nmero de artigos; C o custo da produo em reais).

    a) Esboce o grfico de C em funo de x.O grco de C = 3 000 + 150x uma reta de inclinao

    m = 150, cortando o eixo OY, em que est representado o

    custo C, no ponto (0; 3 000):

    C = 3 000 + 150x

    C

    x

    3 000

    150

    1

    b) Para qual valor de x o custo fixo se igua-la ao custo varivel?

    O custo xo 3 000 e o custo varivel 150x; eles so iguais

    quando x = 20.

    C = 3 000 + 150xC

    3 000

    1

    150 C1 = 150x

    20

    x

    c) A partir de qual valor de x o custo fixo passa a representar menos de 10% do

    custo total da produo?

    O custo xo passar a corresponder a 10% do custo total na

    seguinte situao:

    3 000 = 10% de (3 000 + 150x), ou seja, na seguinte situao

    3 000 = 0,1(3 000 + 150x), e ento x = 180.

    2. Uma fbrica produz dois tipos de produtos: A e B. A quantidade produzida diariamente

    de A igual a x, e a quantidade diria de B igual a y. O processo de produo tal que

  • 35

    Matemtica 3 srie Volume 1

    x

    y

    5x + 8y = 3 200

    5x + 8y = 2 400

    480

    400

    300

    6400

    c) Represente em um sistema de coorde-nadas no plano os pares (x; y) para os

    quais se tem C 3 200.

    Teremos o custo C menor ou igual a 3 200 na regio do pri-

    meiro quadrante situada na reta 5x + 8y = 3 200 ou abaixo dela:

    y

    x0 640

    5x + 8y = 3200

    400

    3. Uma pessoa deve fazer uma dieta que for-nea pelo menos 6 mg de vitamina B2, ali-

    mentando-se exclusivamente dos alimen-

    tos I e II, oferecidos em pacotes de 100 g.

    Cada pacote do alimento I fornece 1,2 mg

    de B2, e cada pacote do alimento II for-

    nece 0,15 mg de B2. Sendo x o nmero de pacotes do alimento I a serem ingeridos, e

    y o nmero de pacotes do alimento II:

    cada unidade produzida de A custa sempre

    5 reais e cada unidade de B custa 8 reais, sen-

    do, portanto, o custo da produo conjunta

    de A e B igual a C = 5x + 8y (C em reais).

    a) Sendo o valor de C, em determinado dia, igual a R$ 2 400,00, determine dois

    pares de valores possveis para x e y.Para 2400 = 5x + 8y, podemos ter x = 0 e y = 300, ou ento,

    y = 0 e x = 480, ou ainda, x = 400 e y = 50. Existem innitos pares

    de valores de x e de y que satisfazem a relao dada: so os cor-

    respondentes aos pontos da reta cuja equao 5x + 8y = 2 400

    representada a seguir:

    5x + 8y = 2 400

    480

    400

    300

    50

    x

    y

    0

    b) Sendo o mximo valor admissvel para C igual a R$ 3 200,00, qual o valor m-

    ximo possvel para x? E qual o valor

    mximo possvel para y? (Observao:

    x 0, y 0).

    Sendo C = 3 200, ento temos:

    5x + 8y = 3 200. Os pares (x; y)

    correspondentes situam-se sobre a reta

    5x + 8y = 3 200 (que paralela reta

    5x + 8y = 2 400).

    Quando y = 0, x assume o valor mximo possvel: x = 640.

    Quando x = 0, y assume o valor mximo possvel: y = 400.

  • 36

    a) Escreva a relao que deve existir entre x e y para que a dieta seja satisfeita.

    Como cada pacote do alimento I fornece 1,2 mg de vitamina B2,

    x pacotes de I fornecero x u 1,2 mg de vitamina B2; se cada pa-

    cote de II fornece 0,15 mg de B2, ento y pacotes de II fornece-

    ro 0,15 u y mg de B2. Logo, ingerindo x pacotes de I e y pacotes

    de II, a quantidade ingerida de B2 ser igual a 1,2x + 0,15y. Para a

    dieta ser satisfeita, devemos ter 1,2x + 0,15y 6.

    b) Represente graficamente os pares (x; y) que satisfazem essa relao. (Lembre-se de que

    devemos ter, naturalmente, x 0, y 0.)

    y

    x0 5

    1,2x + 0,15y = 6

    40

    Os pontos (x; y) que satisfazem a relao 1,2x + 0,15y 6 so

    os pontos do primeiro quadrante que se situam acima da ou

    na reta 1,2x + 0,15y = 6. Essa reta intercepta o eixo OX no pon-

    to (5; 0) e o eixo OY no ponto (0; 40).

    4. Retome o enunciado da atividade anterior. Considere que cada pacote de 100 g do ali-

    mento I custa 5 reais, e que cada pacote do

    alimento II custa 2 reais.

    a) Expresse o custo C da alimentao, se forem utilizados x pacotes de I e y pa-cotes de II.

    Como cada pacote de I custa 5 reais e cada pacote de II custa 2

    reais, o custo C ser igual a 5x + 2y, ou seja, C = 5x + 2y (C em reais).

    b) Represente graficamente no plano car-tesiano os pares (x; y) que correspon-

    dem ao custo C1 = 40 reais, notando que

    eles correspondem a uma reta r1.

    Sendo o custo C1 = 40, os pares (x; y) que satisfazem a relao

    40 = 5x + 2y so os pontos da reta r1, representada a seguir.

    Para representar tal reta, basta notar que quando x = 0, y = 20, e que

    quando y = 0, x = 8, ou seja, os pontos (0; 20) e (8; 0) pertencem a r1.

    y

    x

    20

    C1 = 40

    5x + 2y = 40

    r1

    0 8

    c) Represente os pontos que correspondem ao custo de C2 = 60 reais e C3 = 80 reais,

    notando que eles correspondem s retas

    r2 e r3, paralelas reta r1 do item anterior.

    Os pontos que correspondem ao custo C2 = 60 e C3 = 80 so pon-

    tos, respectivamente, das retas r2 : 5x + 2y = 60 e r3 : 5x + 2y = 80,

    representadas a seguir.

    Para representar r2, basta notar que:

    se x = 0, ento y = 30;

    se y = 0, ento x = 12.

    Para representar r3, analogamente, temos:

    x = 0, y = 40; y = 0, x = 16.

    As retas r2 e r3 so paralelas, pois tm a mesma inclinao m,

    determinada pelos coecientes 5 e 2: m = 5

    2 .

    d) Mostre que quanto menor o custo, me-nor a ordenada do ponto em que a reta

    que o representa intercepta o eixo y.

  • 37

    Matemtica 3 srie Volume 1

    Para cada valor xado de C, a reta C = 5x + 2y intercepta o eixo

    OY no ponto 0; C2

    ; assim, quanto menor o custo, menor

    o valor de C

    2. Podemos observar esse fato nos exemplos dos

    itens anteriores, para C igual a 40, 60 e 80.

    y

    x0 8 12 16

    r2

    r1C1 = 40

    C2 = 60

    C3 = 80

    r3

    40

    30

    20

    e) Para qual dos pares (x; y) tem-se a dieta satisfeita e o custo da alimentao o me-

    nor possvel?

    y

    x0 5

    40

    1,2x + 0,15y 6

    Recordemos, da atividade 3, que para a dieta ser satisfeita, os

    pares (x; y) devem pertencer regio do primeiro quadrante

    situada na reta 1,2x + 0,15y = 6, ou acima dela. Estamos, agora,

    procurando o par (x; y) que corresponde ao custo mnimo en-

    tre os pontos da regio em que 1,2x + 0,15y 6.

    Vamos observar como as retas que traduzem os custos da ali-

    mentao, representadas anteriormente, situam-se na regio

    que satisfazem a dieta.

    Notamos que:

    tpara os diversos valores do custo, as retas representativas

    so paralelas inclinao igual a 5

    2 ;

    tquanto mais baixa for a reta que representa o custo, menor

    esse custo seu valor determina o ponto em que a reta

    corta o eixo y, que 0; C2

    ;

    to ponto mais baixo a que se pode chegar sem sair da regio

    que satisfaz a dieta (acima ou na reta 1,2x + 0,15y = 6), o

    ponto (5; 0);

    tnesse ponto, o custo ser C = 5 u 5 + 2 u 0 = 25, que o

    custo mnimo.

    Todos esses fatos esto reunidos na gura a seguir:

    y

    x850 12

    20

    16

    1,2x + 0,15y 6

    C = 5x + 2y

    C = 80C = 60

    C = 40

    fora da regio de satisfao da dieta

    CmnimoC = 25

    30

    12,5

    40

    Portanto, o custo mnimo, nas condies do enunciado,

    ocorre com 5 pacotes do alimento I e nenhum pacote do

    alimento II; tal custo corresponde a 25 reais.

    5. Um pequeno fazendeiro dispe de 8 alqueires para plantar milho e

    cana. Ele deve decidir quanto plan-

    tar de milho e quanto de cana, em alqueires,

    de modo que seu rendimento total seja o

    maior possvel. Cada alqueire de milho plan-

    tado deve resultar em um rendimento lquido

  • 38

    de R$ 20 mil, e cada alqueire de cana dever

    render R$ 15 mil. No entanto, cada alqueire

    de milho requer 20 000L de gua para irriga-

    o e cada alqueire de cana requer somente

    10 000L de gua, sendo que, no perodo cor-

    respondente, a quantidade de gua dispon-

    vel para tal fim 120 000L.

    Considere x e y as quantidades de alqueires plantados de milho e cana, respectivamente.

    a) Como se pode representar, em termos de x e y, o rendimento total R a ser rece-bido pelo fazendeiro, supondo que ven-da a totalidade de sua produo?

    Cada alqueire de milho render 20 000; logo, se plan-

    tar x alqueires, o rendimento ser 20 000x. Cada alqueire

    de cana render 15 000; logo, se plantar y alqueires de

    cana, o rendimento ser 15 000y. O rendimento total ser

    R = 20 000x + 15 000y.

    b) Qual a relao entre x e y que traduz a exigncia de que o total de alqueires plantados no pode ser maior do que 8? Represente no plano cartesiano os pon-tos (x; y) que satisfazem essa relao.

    Sendo x a quantidade de alqueires a ser plantados de milho e y

    a quantidade de alqueires plantados de cana, a soma x + y no

    pode ultrapassar os 8 alqueires disponveis, ou seja: x + y 8.

    y

    x8

    8

    x + y 8

    c) Qual a relao entre x e y que traduz a exigncia de que o total de gua a ser

    utilizado no pode superar os 120 000L?

    Represente no plano cartesiano os pon-

    tos (x; y) que satisfazem essa relao.

    Como cada alqueire de milho requer 20 000L de gua, x al-

    queires requerero 20 000x L; da mesma forma, y alqueires de

    cana utilizaro 10 000y L de gua. Assim, o total de litros de

    gua utilizados ser 20 000x + 10 000y, e no poder ultrapas-

    sar o limite de 120 000, ou seja: 20 000x + 10 000y 120 000. Isso

    corresponde aos pontos situados abaixo da reta ou na reta

    20 000x + 10 000y = 120 000. Veja a representao:

    y

    12

    0 6 8

    2x + y = 12

    2x + y 12

    x

    Para representar a reta, podemos simplicar os coecientes,

    obtendo 2x + y = 12.

    tpara x = 0, temos y = 12;

    tpara y = 0, temos x = 6.

    d) Represente no plano cartesiano o conjunto dos pontos que satisfazem simultaneamen-

    te as duas exigncias expressas nos itens b e c (lembrando que devemos ter x 0, y 0).

    Os pontos do plano que satisfazem simultaneamente as duas

    restries so os pontos situados abaixo ou na reta x + y = 8,

    e abaixo ou na reta 2x + y = 12. Formam o quadriltero ABCD

    indicado na representao a seguir.

  • 39

    Matemtica 3 srie Volume 1

    r1: 4x + 3y = 15 r2: 4x + 3y = 24

    x = 0 A y = 5 x = 0 A y = 8

    y = 0 A x = 15

    4 y = 0 A x = 6

    f) Mostre que, quanto maior o rendimento R, maior a ordenada do ponto em que a reta que o representa intercepta o eixo OY.

    Para cada valor xado do rendimento R, a reta R = 20 000x +

    + 15 000y corta o eixo OY no ponto em que x = 0, ou seja,

    em que y = R

    15 000. Isso signica que quanto maior o ren-

    dimento, maior a ordenada do ponto em que a reta que o

    representa intercepta o eixo y.

    g) Determine o ponto da regio do item d que corresponde ao rendimento total mximo.

    Buscamos agora o ponto da regio de viabilidade do pro-

    blema, ou seja, que foi determinado no item d, no qual o

    rendimento total R o maior possvel. O maior valor possvel

    para a reta R = 20 000x + 15 000y cortar o eixo y sem sair da re-

    gio de viabilidade corresponde reta que passa pelo ponto

    de interseo das retas x + y = 8 e 2x + y = 12. Calculando tal

    ponto, obtemos x = 4 e y = 4. No ponto (4; 4), portanto, o valor

    de R o maior possvel, respeitadas as condies de x + y 8

    e 2x + y 12. Calculando o valor de R nesse ponto, obtemos:

    R = 20 000 u4 + 15 000 u4, ou seja, R = 140 000 reais. Acompa-

    nhe o raciocnio que foi feito na gura abaixo:

    fora da regio da viabilidade

    Rmximo

    4

    4

    y

    12

    B

    x + y = 8

    86 15 ___ 4 xC

    R2 = 120 0002x + y = 12

    R1 = 75 000

    A

    5

    D

    0

    8

    y

    12

    8 A

    D C

    B

    0 6 8

    2x + y = 12

    x + y = 8

    x

    e) Determine o conjunto dos pontos (x; y) do plano que correspondem ao

    rendimento R1 = 75 mil e os que corres-

    pondem ao rendimento R2 = 120 mil.

    Os pontos (x; y) que correspondem ao rendimento

    R1 = 75 000 reais so os pontos da reta r1 de equao

    75 000 = 20 000x + 15 000y,ou seja, simplificando os coefi-

    cientes, 4x + 3y = 15.

    Os pontos que correspondem ao rendimento R2 = 120 000 so

    os pontos da reta r2 de equao 120 000 = 20 000x + 15 000y, ou

    seja, simplicando os coecientes, 24 = 4x + 3y. As duas retas so

    paralelas e esto representadas a seguir:

    y

    12

    8

    B

    x + y = 8

    86 15 ___ 4 x

    C

    R2 = 120 000

    2x + y = 12

    R1 = 75 000

    A

    5

    D

    0

  • 40

    Desafio!

    Uma fbrica utiliza dois tipos de mquinas, M1 e M2, para produzir dois tipos de produtos, P1 e P2.

    Cada unidade de P1 exige 2 horas de trabalho de M1 e 2 horas de M2; cada unidade de P2 exige 1 hora

    de trabalho de M1 e 4 horas de M2. Sabe-se que as mquinas M1 e M2 podem trabalhar, no mximo,

    10 horas por dia e 16 horas por dia, respectivamente, e que o lucro unitrio, na venda de P1, igual a 40

    reais, enquanto na venda de P2, o lucro unitrio de 60 reais. Representando por x a quantidade di-ria a ser produzida de P1 e por y a quantidade a ser produzida de P2, responda s questes seguintes:

    a) Qual a relao entre x e y de modo que o tempo de utilizao da mquina M1 no ultrapasse as horas dirias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano

    cartesiano.

    Cada unidade de P1 utiliza 2 h de M1; cada unidade de P2 utiliza 1 h de M1; logo, produzindo-se x unidades de P1 e y unidades de

    P2, a mquina M1 car ocupada x u 2 + y u 1 horas. Como M1 poder trabalhar no mximo 10 h, devemos ter 2x + 1y 10. Corres-

    ponde regio do plano abaixo da ou na reta 2x + y = 10 (ver a seguir).

    y

    x8

    2x + 4y 16

    4

    y

    x5

    10

    2x + y 10

    b) Qual a relao entre x e y de modo que o tempo de utilizao da mquina M2 no ultrapasse as horas dirias permitidas? Represente os pontos correspondentes no

    plano cartesiano.

    Da mesma maneira, ao item anterior, cada unidade de P1 utiliza 2 h de M2, e cada unidade de P2 utiliza 4 h de M2. Logo, x unidades

    de P1 e y unidades de P2 utilizaro 2x + 4y horas de M2, e devemos ter 2x + 4y 16. O grco est representado anteriormente.

    c) Represente a regio do plano cartesiano que corresponde aos pontos (x; y) que satisfa-zem simultaneamente s duas restries dos itens a e b.

  • 41

    Matemtica 3 srie Volume 1

    Trata-se da regio do primeiro quadrante situada abaixo das ou nas retas 2x + y = 10 e 2x + 4y = 16; o quadriltero A de vrtices

    (0; 0), (5; 0), (0; 4) e (4; 2). Para encontrar o vrtice (4; 2), basta achar a interseo das retas 2x + y = 10 e 2x + 4y = 16

    y

    x85

    2

    2x + 4y 16

    A

    2x + y 104

    10

    4

    d) Qual a expresso do lucro total L que resulta da venda de todas as unidades produzidas de P1 e P2?

    O lucro total L, que resulta da venda de todas as x unidades produzidas de P1 e y unidades produzidas de P2, igual a 40x + 60y, pois

    cada unidade de P1 gera um lucro de 40, e cada unidade de P2 gera um lucro de 60. Assim, temos L = 40x + 60y.

    e) Represente os pontos do plano que correspondem a um lucro total igual a 120 reais. Se o lucro L for igual a 120 reais, temos: 120 = 40x + 60y. Os pontos que satisfazem a essa relao pertencem a uma reta, represen-

    tada a seguir:

    y

    x3

    2

    0

    120 = 40x + 60y

  • 42

    f) Qual o ponto da regio do item c que corresponde ao lucro total mximo? Devemos encontrar o ponto da regio A, indicada no item c, para o qual o lucro total L seja mximo. A regio A formada pelos

    pares (x; y), que obedecem s duas restries inicialmente apresentadas, constituindo, assim, a regio de viabilidade para o pro-

    blema. Para descobrir tal ponto, vamos relacionar o lucro L com a regio A.

    2x + 4y 16

    y

    10

    8653 4x

    2

    2x + y 10

    Lmximo

    L = 240

    Lucro crescente

    AL = 120

    4

    Para cada valor de L, a expresso L = 40x + 60y representa uma reta; para valores diferentes de L, as retas correspondentes so

    todas paralelas. Por exemplo, para L = 240, temos 240 = 40x + 60y, que uma reta que intercepta o eixo x no ponto (6; 0), e o eixo y

    no ponto (0; 4).

    Para encontrar o lucro mximo, basta procurar entre as retas paralelas L = 40x + 60 u y aquela que corta o eixo y o mais alto pos-

    svel, sem sair da regio de viabilidade do problema. Tal reta a que passa pelo ponto (4; 2); o valor de L correspondente

    L = 40 u 4 + 60 u 2 = 280. O lucro total mximo , portanto, 280 reais.

    Consideraes sobre a avaliao

    Nesta presente Situao de Aprendizagem,

    foram explorados problemas lineares, envol-

    vendo exclusivamente equaes de retas, em

    alguns dos quais o que estava em foco era uma

    questo de otimizao (de mximo ou de m-

    nimo). Tais problemas, apesar de seus enuncia-

    dos relativamente longos, no so muito com-

    plexos, exigindo apenas uma leitura atenta das

    informaes apresentadas. Eles podem se pres-

    tar muito bem realizao de pequenos proje-

    tos de estudo ou de investigao sobre os temas

    abordados, como as dietas ou a organizao do

    trabalho em uma fbrica, por exemplo.

    Os objetivos da Situao de Aprendizagem

    estaro garantidos se os alunos conseguirem

    explorar de modo analtico, com conscincia,

    todas as informaes apresentadas em pelo

  • 43

    Matemtica 3 srie Volume 1

    menos em uma das atividades de otimiza-

    o, compreendendo o fato de que a soluo

    desta exige apenas conhecimentos iniciais de

    Geometria Analtica. No necessrio que

    o professor resolva todos os exerccios, mas

    preciso que estabelea como meta explorar

    muito bem pelo menos uma das modelagens

    apresentadas para problemas prticos.

    Sobre a forma de avaliao, consideramos que

    o assunto favorece uma utilizao de mltiplos

    instrumentos, no se limitando s provas. Traba-

    lhos de modelagem matemtica e equacionamen-

    to de problemas lineares, incorporando-se outras

    vari veis ou condies, alm das referidas, podem

    ser realizados, explorando-se centros de interesse

    dos alunos.

    Contedos e temas: caracterizao da circunferncia e das cnicas (elipse, hiprbole e parbola) por meio de propriedades; equaes da circunferncia e das cnicas em situaes simples, com centro na origem; utilizao das equaes das circunferncias e das cnicas em diferentes contextos.

    Competncias e habilidades: capacidade de expressar por meio da linguagem algbrica as pro-priedades caractersticas de curvas muito frequentes na natureza, como as circunferncias e as cnicas; capacidade de reconhecer, em diferentes contextos, a presena das circun-ferncias e das cnicas, expressas por meio de suas equaes; capacidade de lidar com as equa-es das circunferncias e das cnicas para resolver problemas simples, em diferentes contextos.

    Sugesto de estratgias: apresentao de um conjunto de situaes em que as circunferncias e as cnicas esto presentes, explorando suas propriedades tendo em vista a representao de tais curvas por meio de equaes; apresentao de alguns exerccios exemplares, para sinali-zar aos professores os principais centros de interesses dos temas estudados.

    Roteiro para aplicao da Situao de Aprendizagem 4

    Nas trs Situaes de Aprendizagem

    anteriores, a nfase foi dada abordagem

    algbrica de problemas geomtricos en-

    volvendo as retas e suas equaes. A par-

    tir de agora, outras curvas sero estudadas

    com os mtodos da Geometria Analtica.

    Tambm aqui no se trata de apresentar cur-

    vas e propriedades desconhecidas, mas sim

    de abordar de uma maneira nova uma s-

    rie de curvas e de problemas j conhecidos,

    aumentando, assim, nossa capacidade de

    resolver situaes-problema.

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 CIRCUNFERNCIAS E CNICAS: SIGNIFICADOS,

    EQUAES, APLICAES

  • 44

    As circunferncias e as cnicas (elipses, hiprboles e parbolas) so curvas que

    tambm podem ser representadas no plano cartesiano e cuja propriedade obede-

    cida pelos seus pontos pode ser descrita por meio de uma equao de duas variveis.

    A circunferncia e a elipse podem ser vistas a partir de sees de um cilindro circular; a

    elipse no passa de uma circunferncia alongada em uma das duas direes.

    circunferncia elipse

    circunferncia

    elipse

    Os quatro tipos de curvas podem ser vistos como sees de uma superfcie cnica.

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

    Tambm possvel observar superfcies cnicas colocando-se gua em recipientes ciln-

    dricos ou cortando-se adequadamente uma pea de salame.

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

    A caracterizao dessas curvas pode

    ser feita com mais vagar pelo professor,

    sendo interessante, inclusive, a observa-

    o destas colocando-se gua em recipien-

    tes cilndricos, cortando-se um salame, ou

    construindo materiais para serem usados