Pela Difuso do Conhecimento Crtico 1

XXVII

PPPPPOLINMIOSOLINMIOSOLINMIOSOLINMIOSOLINMIOS I I I I INTRODUONTRODUONTRODUONTRODUONTRODUO

MMMMMAAAAATEMTEMTEMTEMTEMTICATICATICATICATICA III III III III IIIDEFINIO

Toda funo definida pela relaoP(x)= anx

n + an-1xn-1 + an-2x

n-2 +...+a2x2 + a1x

1 + a0 denominada fun-o polinomial ou, simplesmente, polinmio.

Na funo polinomial: x varivel complexa; an , an-1 , an-2 , ... ,a2 , a1 , a0 so nmeros complexos chamados coefi-cientes; a0 o termo independente; {1; 2; 3; ;n} N.Exemplos1) P(x) = 5x5 + 3x4 - 6x3 + x2 - 5x + 10 (Polinmio completo, poisnenhum dos coeficientes do polinmio igual 0)

2) (Polinmio incompleto, pois o coefici-

ente do termo x3 zero)

3)

Observaes:Se an 0, o expoente mximo n dito grau do polinmio e indi-

camos gr(P) = n.

Exemplosa) P(x) = 7 ou P(x) = 7x0 um polinmio constante, isto , gr(P) =0.b) Q(x) = 2x 1 um polinmio do 1 grau, isto , gr(Q) = 1.c) P(x) = 0x4 + 6x3 + x2 um polinmio do 3 grau, isto , gr(P) = 3.

VALOR NUMRICOO valor numrico de um polinmio P(x), para x = a, o nmero

que se obtm substituindo x por a e efetuando todas as operaesindicadas pela relao que se define o polinmio.

ExemploSe P(x) = x3 + 2x2 - x - 1, o valor numrico de P(x), para x = 2 :Soluo:P(x) = x3 + 2x2 - x -1P(2) = (2)3 + 2.(2)2 - (2) -1P(2) = 13Observao:Se P(a) = 0, o nmero a denominado raiz ou zero de P(x).

No polinmio P(x) = x2 - 5x + 6, por exemplo, temos P(2) = 0; logo,2 raiz ou zero do polinmio.

Exemplos1) Calcular m R, para que o polinmioP(x) = (m2 - 1)x3 + (m + 1)x2 - x + 4 seja:a) do 3 grau.b) do 2 grau.c) do 1 grau.Soluo:Fazendo os coeficientes de x3 e x2 iguais a zero, temos:m - 1 = 0m = 1m + 1 = 0m = -1Logo:a) Se m 1 e m -1, o polinmio do 3 grau.b) Se m = 1, o polinmio do 2 grau.c) Se m = -1, o polinmio do 1 grau.2) Sabendo-se que -3 raiz de P(x) = x3 + 4x2 - ax + 1, calcular ovalor de a.Soluo:Se x = -3 raiz de P(x), ento P(-3) = 0.P(-3) = 0 P(-3) = (-3)3 + 4(-3)2 - a.(-3) + 1 = 0

3) Seja um polinmio P(x) do 2 grau. Sabendo-se que 2 raiz deP(x), P(-1) = 12 e P(0) = 6, calcular P(3).Soluo:Se P(x) do 2 grau, ele tem a forma P(x) = ax2 + bx + c; logo:P(2) = 0 4a + 2b + c = 0 (I)P(-1) =12 a b + c = 12 (II)P(0) = 6 c = 3 (III)Substituindo (III) em (II) e (I), vem:4a + 2b = -6a b = 6Resolvendo o sistema, temos: a = 1 e b = -5; portanto,P(x) = x2 -5x + 6.Calculando P(3), obtemos: P(x) = (3)2 - 5.(3) + 6 P(3) = 0.

1) (Ufrj) A figura adiante representa o grfico de uma certa funo polinomialf:R R, que decrescente em [-2, 2] e crescente em ]-, -2] e em [2, +[.

Determine todos os nmeros reais c para os quais a equao f(x)=c admiteuma nica soluo. Justifique.

2) (Unesp) dado o polinmio cbico P(x) = x3 + x2 - 2x, com x R.

a) Calcule todas as razes de P(x).b) Esboce, qualitativamente, o seu grfico no plano (x, P(x)), fazendo-opassar por suas razes.

3) (Unesp) Considere as funes polinomiais f(x) = x3 + x2 + 2x -1 eg(x) = x3 + 3x + 1, cujos grficos se interceptam em dois pontos comoesboado na figura (no em escala).

2 Pela Difuso do Conhecimento Crtico

Determine para quais valores reais f(x) g(x), isto , determine o conjuntoS = {x R | f(x) g(x)}.

4) (Fatec) Seja f: IR - {0} IR, definida por f(x) = 1 - x-1 -2x-2, e S oconjunto de todas as razes reais da funo f(1/x).Esse conjunto S est contido no intervaloa) [-1, 1[ b) ]-1, 2] c) ]-2, 0[d) ]-, -2] e) ]0, +[

5) (G1 - cftmg) Se a funo f definida por f(x) = 2x3 - 1, ento, a somaS = f (0) + f (- 1) + f (1/2) igual aa) - 3/4 b) - 15/4 c) - 17/4 d) - 19/4

6) (Ufmg) O grfico da funo p(x) = x3 + (a+3)x2 - 5x + b contm ospontos (-1, 0) e (2, 0).Assim sendo, o valor de p(0) a) 1. b) - 6. c) -1. d) 6.

7) (Ufrs) Considere o grfico abaixo, que representa uma funo polinomialf, de terceiro grau e domnio R.

Sendo g(x) = f(x) - 5, o nmero de razes da equao g(x) = 0 a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.

8) (Ufrs) A figura a seguir apresenta o grfico de um polinmio p(x) de grau3.

Ento, p(- 2) a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.

9) (Unifesp) Se a figura representa o grfico de um polinmio real, p(x),podemos afirmar:

a) p(x) tem uma raiz a, tal que 3 < a < 5.b) p(x) divisvel por x - 1.c) p(x) tem apenas 4 razes reais.d) p(x) no tem raiz real.e) o grau de p(x) maior ou igual a 5.

10) (Unesp) Considere a funo polinomial de 3 grau,p(x) = x3 - 3x + 1a) Calcule p(-2), p(0), p(1), p(2) e esboce o grfico.b) Com base no item (a), responda, justificando sua resposta, quantas razesreais e quantas razes complexas (no reais) tem p(x).

11) (G1) Sabendo que a + b = -9 e a - b = 13, determine o valor numricoda expresso(a2 + 2ab + b2) + (a2 - 2ab + b2)

12) (Ufsc) Assinale a(s) proposio(es) CORRETA(S).(01) O valor numrico do polinmio p(x) = x2 - 4x + 5 para x = i p(i) = 4- 4i.(02) O conjugado do nmero complexo z = (2 + i)/i 1 + 2i.(04) A forma trigonomtrica do nmero complexo z = 1 - i 3 z = 2[cos(5/3) + isen(5/3)].

(08) O determinante define um nmero complexo. O

mdulo desse nmero complexo 1 (um).(16) Dadas as funes f(x) = x2 - 2x + 1 e g(x) = x2 + x, o valor doquociente [f(2 + i)/g(1 - i)] (-3/5) + (i/5).Soma ( )

1) Para que a equao f(x)=c tenha uma nica soluo, a reta y=c deve interceptar ogrfico de f em um nico ponto. Para que isso ocorra, esta reta deve passar acima doponto (-2,2) ou abaixo do ponto(2, -6). Isto , devemos ter c>2 ou c