caderno do aluno matemática 8ª serie 4º bimestre

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Caro(a) aluno(a), Voc est recebendo o ltimo volume do Caderno de Matemtica. Ao longo deste ano, voc encontrou desafios que exigiram os conhecimentos e as habilidades desenvolvidos durante o curso. Parabns pelo esforo! Agora, h outros desafios pela frente. Neste Caderno, voc estudar os clculos mtricos envolvendo o crculo e o cilindro. Para tanto, ser preciso recordar um nmero que est diretamente relacionado medida do permetro, da rea e do volume de figuras circulares: o nmero pi, representado pela letra grega . O nmero vem sendo estudado desde a Antiguidade, poca em que j se buscava atribuir um valor exato a . A constatao de que este um nmero irracional demorou muito a ser construda e aceita. Neste Caderno, o ser apresentado como um nmero irracional, ou seja, um nmero cuja representao decimal infinita e no peridica. Alm disso, com as atividades do Caderno voc resolver problemas envolvendo o nmero no clculo do permetro e da rea do crculo. Em uma das Situaes de Aprendizagem, os clculos mtricos estaro relacionados ao cilindro e voc, mais uma vez, ter a oportunidade de verificar as aplicaes prticas desses estudos. O objetivo deste Caderno contribuir para que o estudo da Matemtica seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!Equipe Tcnica de Matemtica rea de Matemtica Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas Cenp Secretaria da Educao do Estado de So Paulo

a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

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!

SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 A NATUREZA DO NMERO Pi ()

Leitura e Anlise de Texto (A histria a seguir foi extrada do livro de Carl Sagan indicado no final do texto) [...] Na stima srie estavam estudando o pi. Era uma letra grega parecida com a arquitetura em Stonehenge, na Inglaterra: dois pilares verticais ligados por uma barra em cima . Se algum media a circunferncia de um crculo e depois a dividia pelo dimetro desse crculo, isso era pi. Em casa, Ellie pegou a tampa de um vidro de maionese, passou um barbante em sua volta, esticou o barbante e, com uma rgua, mediu a circunferncia do crculo. Fez a mesma coisa com o dimetro e, efetuando uma longa conta, dividiu um nmero pelo outro. Obteve 3,21. Aquilo pareceu bastante simples. No dia seguinte, o professor, sr. Weisbrod, ensinou que pi era igual a aproximada22 mente ___, ou cerca de 3,1416. Na verdade, porm, se a pessoa desejasse exatido, era 7 um nmero decimal que continuava crescendo a vida toda, sem parar, nunca repetindo a sequncia de algarismos. A vida toda, pensou Ellie. Levantou a mo. Estavam no comeo do ano letivo e ela no havia feito nenhuma pergunta naquela aula. Como que se pode saber que os decimais continuam a vida toda, sem acabar? assim porque , disse o professor, com certa rispidez. Mas por qu? Como que o senhor sabe? Como se pode contar casas decimais a vida toda? Srta. Arroway. O professor estava consultando a lista de chamada. Essa pergunta boba. Est nos fazendo perder tempo. Ningum jamais dissera antes que uma pergunta de Ellie era boba, e ela rompeu em lgrimas. Billy Horstman, que se sentava ao seu lado, teve um gesto de simpatia e lhe segurou a mo. Pouco tempo antes, seu pai havia sido processado por mexer nos hodmetros dos carros usados que vendia, de modo que Billy era sensvel a humilhaes pblicas. Ellie saiu da sala aos prantos. Depois de terminadas as aulas, ela foi de bicicleta biblioteca de uma universidade prxima, a fim de consultar livros de matemtica. Pelo que pde discernir do que leu, a3

a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

pergunta que fizera no era to boba assim. Segundo a Bblia, os antigos hebreus haviam considerado que pi era exatamente igual a trs. Os gregos e romanos, que sabiam muitas coisas de matemtica, no tinham nenhuma ideia de que os algarismos de pi prosseguissem eternamente, sem repetio. Na verdade, isso s havia sido descoberto h 250 anos. Como se poderia esperar que ela soubesse se no podia fazer perguntas? Entretanto, o sr. Weisbrod tinha razo com relao aos primeiros algarismos. Pi no era 3,21. Talvez a tampa do vidro de maionese estivesse um pouco amassada e no constitusse um crculo perfeito. Ou talvez ela no houvesse realizado a mensurao com o cuidado necessrio. No entanto, mesmo que tivesse exercido todo o cuidado possvel, no poderiam esperar que ela fosse capaz de medir um nmero infinito de decimais. Havia, porm, outra possibilidade. Podia-se calcular pi com a exatido que se desejasse. Conhecendo uma coisa chamada clculo, podiam-se determinar frmulas de pi que permitiriam calcul-lo com qualquer nmero de decimais que se desejasse, desde que houvesse tempo para isso. O livro fornecia frmulas de pi dividido por quatro. Algumas dessas frmulas eram absolutamente ininteligveis para Ellie. Outras, no entanto, a deixaram des 1 1 1 lumbrada: __ , dizia o livro, era o mesmo que 1 __ + __ __... , com as fraes continuando 4 3 5 7 eternamente. Rapidamente, ela procurou fazer o clculo, somando e subtraindo as fraes alternadamente. A soma saltava de um lado para outro, desde um pouco mais que __ at 4 um pouco menos que __ , mas depois de algum tempo ela pde perceber que essa srie de 4 nmeros seguia uma trilha lenta em direo resposta correta. Nunca se poderia chegar exatamente ao objetivo, mas se podia chegar to prximo quanto se desejasse, desde que se tivesse uma pacincia enorme. Pareceu a Ellie um milagre que todos os crculos do mundo estivessem ligados a essa srie de fraes. Como era possvel que os crculos conhecessem fraes? Ellie tomou a resoluo de aprender clculo. O livro dizia mais uma coisa: pi era chamado de nmero transcendental. No existia nenhuma equao, contendo nmeros comuns, que fosse capaz de dar pi, a menos que essa equao fosse infinitamente longa. Ellie j havia aprendido por si mesma um pouco de lgebra e sabia o que significava isso. E mais: pi no era o nico nmero transcendental. Na realidade, existia uma infinidade de nmeros transcendentais. Mais ainda: existiam infinitamente mais nmeros transcendentais do que nmeros ordinrios, mesmo que pi fosse o nico deles de que ela j havia ouvido falar. Em mais de um sentido, pi estava ligado ao infinito. Ellie tinha captado um vislumbre de algo majestoso. Oculta entre todos os nmeros ordinrios, havia uma infinidade de nmeros transcendentais de cuja presena uma pessoa jamais suspeitaria se no sondasse a matemtica a fundo. A todo momento um deles, como pi, surgia inesperadamente na vida cotidiana. Entretanto, a maioria deles um nmero infinito deles, ela frisou para si mesma estava escondida, cuidando da prpria vida, e quase certamente passava despercebida ao irascvel sr. Weisbrod. [...]Contato/Carl Sagan; traduo Donaldson M. Garschagen. - So Paulo: Companhia das Letras, 1997. p.17-19.

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a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

VOC APRENDEU?

1. Com base no texto apresentado na seo anterior e em seus conhecimentos matemticos, responda s seguintes questes: a) Qual foi a definio de que Ellie utilizou para realizar seu experimento?

b) O resultado encontrado por Ellie (3,21) estava um pouco acima do valor esperado para (aproximadamente 3,14). O que pode ter provocado essa diferena?

c) O texto cita outro mtodo para se obter o valor de , a partir de uma frmula contendo infinitas adies e subtraes de fraes. Qual a principal diferena entre esse mtodo e o mtodo experimental realizado por Ellie?

2. Usando-se a frmula descrita no texto, foram obtidos os seguintes resultados parciais para o valor de : 1 1 1 1 05 parcelas: 4.(1 __ + __ __ + __) = 3,339 3 5 7 9 1 1 1 1 1 1 20 parcelas: 4.(1 __ + __ __ + __ ... + ___ ___) = 3,091 3 5 7 9 37 39 1 1 1 1 1 1 100 parcelas: 4.(1 __ + __ __ + __ ... + ____ ____) = 3,131 3 5 7 9 197 199 1 1 1 1 1 1 251 parcelas: 4.(1 __ + __ __ + __ ... ____ + ____) = 3,145 3 5 7 9 499 501 a) Sabendo que uma boa aproximao para o valor de 3,141, o que voc pode concluir com base nos resultados obtidos acima?

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a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

b) O grfico a seguir ilustra a sequncia de resultados obtidos por meio da frmula descrita no texto.Valor 4

3,5

3,2 3,1 3

2,5

1

51

101

Parcelas

Destaque uma frase do texto que descreva os resultados representados no grfico.

Leitura e Anlise de Texto O clculo de ao longo da histria O clculo da razo entre a circunferncia e seu dimetro intrigou matemticos e filsofos desde a Antiguidade. No antigo Egito, acreditava-se que essa razo valia, aproximada25 256 mente, ____ . Na Mesopotmia, os antigos babilnios usavam a frao ___ . Em Alexandria, 81 8 por volta do sculo II d.C., o filsofo grego Ptolomeu aproximou o valor de pi da frao 377 ____ . Contudo, atribuda a Arquimedes (287-212 a.C.) uma das primeiras tentativas de 120 se calcular rigorosamente o comprimento da circunferncia e o valor de pi.6

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Em sua obra As medidas do crculo, ele desenvolveu um mtodo de aproximaes para o clculo do comprimento da circunferncia. Como no se conheciam frmulas especficas para calcular o permetro de figuras curvas, Arquimedes resolveu fazer aproximaes por meio de polgonos regulares inscritos e circunscritos circunferncia. A medida do comprimento da circunferncia estaria entre o permetro do polgono inscrito e o permetro do polgono circunscrito. Quanto maior o nmero de lados do polgono, mais ele se aproximaria da circunferncia, por dentro e por fora.

L6 l6

Aproximao por hexgonos (6 lados)

l12

L12 l24 L24

Aproximao por dodecgonos (12 lados)

Aproximao por tetraicosgonos (24 lados)

Arquimedes dobrou sucessivamente o nmero de lados at chegar a um polgono de 96 lados. Dividindo o permetro desse polgono pelo dimetro da circunferncia, obteve um valor entre 3,1408 e 3,1428, uma aproximao muito boa para a poca.7

a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

Essa metodologia mostrou ser possvel obter aproximaes do valor de to precisas quanto desejarmos, bastando aumentar, continuamente, o nmero de lados dos polgonos inscritos e circunscritos. O clculo de Ptolomeu foi feito com base em um polgono de 720 lados. No sculo III d.C., o chins Liu Hui conseguiu obter o valor de 3,14159 com um polgono de 3 072 lados. No final do sculo V d.C., o matemtico Tsu Chung-Chih, usando polgonos com 24 576 lados, obteve um nmero entre 3,1415926 e 3,1415927. Muitos outros matemticos aplicaram o mtodo de Arquimedes para obter aproximaes cada vez mais precisas do valor de . Embora essa razo seja conhecida desde a Antiguidade, o nome e o smbolo usados para represent-la s surgiram no sculo XVIII. A letra , do alfabeto grego, foi escolhida por ser a primeira letra da palavra peripheria (eWjefWoV), cujo significado circunferncia, ou seja, o contorno de um crculo. Tambm foi nessa poca que se fez uma das descobertas mais importantes sobre o . O matemtico francs Johann Lambert conseguiu provar que no h nenhuma razo de nmeros inteiros cujo resultado seja igual a . Ou seja, um nmero irracional, cuja representao decimal infinita e no peridica. A grande evoluo no clculo do valor de aconteceu a partir do momento em que o computador entrou em cena. Para se ter uma ideia desse avano, em 1873, William Shanks calculou o valor de com 707 dgitos. Fazendo os clculos manualmente, ele levou 15 anos para realizar essa tarefa. Com o advento da computao, associado ao descobrimento de mtodos de clculo mais poderosos e eficientes, tornou-se possvel calcular o valor de com milhares de casas decimais em um tempo muito mais curto. Logo, o nmero de dgitos de obtidos saltou para a casa dos milhes. Um dos ltimos recordes foi obtido pelos pesquisadores japoneses Kanada e Takahashi que, em 2002, conseguiram obter o valor de com mais de um trilho de casas decimais. Alm do desafio intelectual relacionado a essas pesquisas, o clculo do usado, hoje em dia, para testar a eficincia dos novos computadores. Por exigir uma computao intensa e precisa, o clculo de milhes de casas decimais do serve de parmetro para verificar a velocidade e a confiabilidade dos novos processadores. Contudo, na prtica, no precisamos conhecer o valor de com tantas casas decimais. Na maioria das aplicaes, uma aproximao do valor de com uma ou duas casas decimais suficiente para garantir preciso em construes, desenhos, etc. Em clculos cientficos, uma aproximao com quatro casas decimais mais do que suficiente. Por exemplo, o valor de com 11 casas decimais permitiria calcular a circunferncia da Terra com uma preciso de milmetros.

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a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

VOC APRENDEU?

3. Com base no texto apresentado, na seo Leitura e Anlise de Texto, responda s seguintes questes. a) O texto cita alguns valores de expressos na forma de frao. Transforme-as em nmeros decimais e veja qual delas mais se aproxima de 3,1415.

Resposta: b) Qual foi a contribuio do mtodo de Arquimedes para a determinao do valor de ?

c) Qual a origem do smbolo , utilizado para indicar a razo entre o comprimento de uma circunferncia e seu dimetro?

d) Atualmente, possvel calcular o valor de com trilhes de casas decimais. Quais foram os principais fatores que possibilitaram a evoluo desse clculo?

e) Qual foi a importante descoberta feita pelo matemtico francs Lambert a respeito de ?

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a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

LIO DE CASA 4. Use o mtodo de Arquimedes e descubra o valor aproximado de (por excesso e por falta) a partir de hexgonos inscritos e circunscritos a uma circunferncia de raio igual a 3 cm. Considere que as medidas dos lados dos hexgonos inscritos e circunscritos so, respectivamente, 3 cm e 3,46 cm.

R

Resposta:

VOC APRENDEU? 5. Observe a figura a seguir. Conexo Editorial

10

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a) Voc observa algum padro de repetio na sequncia de cores da figura?

b) Cada cor da figura representa um algarismo do nmero , comeando no canto superior esquerdo. O vermelho corresponde ao 1; o verde, ao 2; o azul, ao 3; o amarelo, ao 4; o laranja, ao 5; o roxo, ao 6; o preto, ao 7; o cinza, ao 8; o marrom, ao 9 e o branco, ao 0. Com base na figura, escreva os algarismos do nmero com 260 casas decimais. 3,

c) Agora voc vai contar o nmero de vezes que cada algarismo aparece direita da vrgula. Preencha a tabela de distribuio de frequncia e calcule a frequncia relativa de cada algarismo, em porcentagem. (Dica: para efetuar esses clculos, use a calculadora.)

Algarismo Frequncia Frequncia relativa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Total

d) Qual o algarismo que aparece com maior frequncia relativa?

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e) E com a menor frequncia relativa?

f ) Qual a diferena entre a maior e a menor frequncia relativa?

6. Os pesquisadores japoneses Kanada e Takahashi examinaram a frequncia absoluta e relativa dos algarismos decimais de em 200 bilhes de dgitos. Os resultados obtidos esto na tabela a seguir. Algarismo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total Frequncia 20 000 030 841 19 999 914 711 20 000 136 978 20 000 069 393 19 999 921 691 19 999 917 053 19 999 881 515 19 999 967 594 20 000 291 044 19 999 869 180 200 000 000 000 Frequncia relativa 10,00002% 9,99996% 10,00007% 10,00003% 9,99996% 9,99996% 9,99994% 9,99998% 10,00015% 9,99993% 100%

Compare as frequncias relativas obtidas na tabela apresentada no item c da atividade anterior e as apresentadas na tabela acima, e escreva uma concluso sobre a distribuio dos algarismos de .

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?

!

SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 A RAZO NO CLCULO DO PERMETRO E DA REA DO CRCULOVOC APRENDEU?

O comprimento da circunferncia1. Observe a sequncia de imagens a seguir:

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

0

1

2

3

3,14

4

a) Sabendo que vale aproximadamente 3,14, interprete a sequncia de imagens.

13

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b) Qual seria a distncia percorrida por uma circunferncia de dimetro igual a duas unidades? E por uma de dimetro igual a 10 unidades?

2. Escreva a frmula do comprimento da circunferncia C em funo da medida do raio r e em funo da medida do dimetro D. C= C=

Leitura e Anlise de Texto Todo pneu de automvel possui um cdigo de identificao com informaes a respeito de suas dimenses. Ele escrito da seguinte forma: xxx/yy Rdd, em que: xxxamedidadalarguradopneu,emmilmetros; yyarazoentreaalturaealarguradopneu,emporcentagem; Rotipodepneu,radial; ddodimetrodaroda,empolegadas(umapolegadavaleaproximadamente2,54cm). Conexo Editorial

largura do pneu altura do pneu

dimetro do pneu

dimetro da roda

Exemplo: um pneu identificado com o cdigo 205/65 R15 tem 205 mm (20,5 cm) de largura. Sua altura equivale a 65% da largura, ou seja, mede 20,5 . 0,65 = 13,325 cm. O dimetro interno da roda mede 15 polegadas, ou 15 . 2,54 = 38,1 cm.14

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VOC APRENDEU?

3. Com base nas informaes da seo Leitura e Anlise de Texto, determine o dimetro total desse pneu.

Resposta: 4. Qual a distncia, em metros, que esse pneu percorre em um giro completo da roda? Conexo Editorial

Distncia percorrida em uma volta completa

Resposta:15

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LIO DE CASA

5. Calcule a distncia percorrida por cada pneu, em quilmetros, em 1 000 giros completos da roda. (Dica: use uma calculadora para facilitar os clculos.) a) Roda de aro 15: 195/50 R15

Resposta: b) Roda de aro 16: 205/60 R16

Resposta: c) Roda de aro 17: 210/65 R17

Resposta:16

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VOC APRENDEU?

6. Os automveis contam com uma srie de instrumentos que ajudam o motorista a controlar o desempenho de seu carro, como o velocmetro e o indicador de combustvel. O hodmetro mede a distncia total, em quilmetros, percorrida pelo automvel. Ele funciona com um conjunto de engrenagens ligadas ao eixo das rodas. Dependendo do tamanho das rodas, o hodmetro regulado para registrar a quilometragem percorrida em funo do nmero de giros do eixo. Jupiter Images/Grupo Keystone

Em determinado automvel, o hodmetro vem regulado de fbrica para registrar a distncia percorrida para rodas de aro 15 (item a da atividade apresentada na seo Lio de casa). Vamos supor que a distncia percorrida a cada giro da roda corresponda exatamente ao comprimento da circunferncia do pneu, desprezando-se possveis deslizamentos e frenagens. Responda s seguintes questes: a) Quantos giros da roda so necessrios para que o hodmetro registre 1 km rodado?

Resposta:17

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b) Quantos giros o eixo da roda realiza em uma viagem de 200 km?

Resposta: c) Suponhamos que as rodas originais desse automvel sejam trocadas por rodas maiores, de aro 17 (item c da atividade anterior apresentada na seo Lio de casa). O hodmetro passar a marcar mais ou menos quilmetros em uma viagem de 200 km? Justifique sua resposta.

d) Determine quantos quilmetros o hodmetro do carro ir registrar para fazer a mesma viagem de 200 km com o pneu de aro 17.

Resposta:18

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VOC APRENDEU?

A rea do crculo7. Um dos documentos mais importantes do antigo Egito o Papiro de Rhind, encontrado no templo do fara Ramss II. Ele foi copiado pelo escriba Ahms, por volta do ano 1650 a.C., e contm uma srie de problemas matemticos. Ao que tudo indica, era uma espcie de manual de matemtica egpcia, transmitido de gerao em gerao. Acredita-se que esses conhecimentos existissem desde a construo das grandes pirmides, h quase 5 mil anos. Um dos problemas desse papiro tratava do clculo da rea de um crculo. Uma verso simplificada do problema seria a seguinte: Calcule a rea de um crculo inscrito em um quadrado de lado igual a 3 unidades. A estratgia adotada consistia em aproximar a rea do crculo por meio da rea de um octgono inscrito dentro do quadrado, conforme mostram as figuras. British Museum, London, UK/The Bridgeman Art Library/ Grupo Keystone

Fragmento do Papiro de Rhind

Bastaria, assim, calcular a rea do octgono, subtraindo-se, da rea do quadrado, as reas dos quatro tringulos issceles de seus cantos.

19

a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

Calcule a rea do octgono resultante.

Resposta: 8. Nesta atividade, voc vai calcular a rea de um crculo com base em aproximaes por quadrados de lados iguais a 1 cm. a) Aproximao por falta: pinte todos os quadrados inteiros que cabem no crculo e calcule a rea ocupada por eles.

20

a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

b) Aproximao por excesso: pinte todos os quadrados que fazem parte do crculo (mesmo que no totalmente) e calcule a rea ocupada por eles.

c) Compare os resultados obtidos nos itens anteriores e calcule a mdia entre eles.

LIO DE CASA 9. Agora, voc vai calcular a rea do mesmo crculo, s que com base em quadrados menores, de lado igual a 0,5 cm. a) Aproximao por falta: pinte todos os quadrados inteiros que cabem no crculo e calcule a rea ocupada por eles.21

a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

b) Aproximao por excesso: pinte todos os quadrados que fazem parte do crculo (mesmo que no totalmente) e calcule a rea ocupada por eles.

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a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

c) Compare os resultados obtidos nos itens anteriores e calcule a mdia entre eles.

VOC APRENDEU? 10. Acompanhe as etapas para a deduo da frmula da rea do crculo. 1a etapa: dividir o crculo de raio r em n setores circulares iguais.

2a etapa: abrir o crculo, deixando todos os n setores na mesma posio.

3a etapa: reposicionar metade dos n setores em sentido oposto, de modo que se encaixem.

23

a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

Quanto maior for o nmero de divises do crculo, mais o setor circular se aproximar de um tringulo issceles de lado r, e a figura obtida na 3a etapa, de um retngulo. a) Calcule a rea desse retngulo para um crculo de raio r e comprimento C = 2 . . r.

b) Escreva a frmula da rea do crculo. 11. Use a frmula obtida na atividade anterior e recalcule a rea do crculo nas condies do problema do Papiro de Rhind. Em seguida, compare-a com o resultado obtido na Atividade 7.

24

a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

12. Calcule a rea de um crculo de raio igual a 4 cm. Em seguida, compare-a com as mdias obtidas nas Atividades 8 e 9.

LIO DE CASA

13. Calcule a rea do setor circular representado a seguir.

60 2 cm

Resposta:25

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3 14. Determine o raio do crculo a seguir, sabendo que o setor circular corresponde a __ desse cr4 culo e tem rea igual a 108 cm2.

108 cm2

Resposta: 15. Determine o ngulo central que corresponde ao setor circular representado a seguir.

62,5 cm2 10 cm

Resposta:26

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16. Ambas as figuras esto inseridas em um quadrado de lado L. Qual delas possui a maior rea?

setor circular de 90

crculo

Resposta: VOC APRENDEU? 17. Na 7a srie/8o ano, voc estudou o teorema de Pitgoras.

B a

c

C

b

A

a) Escreva a expresso algbrica do teorema para o tringulo retngulo ABC.

b) Qual a relao entre as reas dos quadrados representados na figura.

27

a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

18. Na figura a seguir, os crculos foram construdos sobre os lados de um tringulo retngulo. Verifique se, analogamente ao que ocorre no teorema de Pitgoras, a rea do crculo construdo sobre a hipotenusa igual soma das reas dos crculos sobre os catetos. (Medidas: a = 5 cm; b = 3 cm; c = 4 cm.)

B a

c

C

b

A

Resposta: 19. Verifique se essa relao entre as reas vale tambm para as figuras a seguir: a) Regio complementar do quadrado em relao ao semicrculo. (Medidas: a = 10 cm; b = 6 cm; c = 8 cm.)

B

a

c

C

b

A

Resposta:28

a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

b) Setor circular de 90 (faa o clculo literal, com as letras a, b e c).

B

a

c

C

b

A

Resposta:

Leitura e Anlise de Texto As lnulas de Hipcrates Um dos desafios matemticos que mais intrigaram os estudiosos desde a Antiguidade foi o problema da quadratura do crculo. Esse problema consistia em construir um quadrado de rea igual de um crculo com determinado dimetro. Em termos prticos, o problema se reduz a encontrar uma relao entre o lado do quadrado e o dimetro do crculo, o que envolver o nmero . Como sabemos hoje, esse problema s pode ser resolvido por meio de aproximaes, pois um nmero irracional e no pode ser representado por uma razo entre inteiros. Contudo, consta que o matemtico grego Hipcrates de Chios (460 a.C.) conseguiu resolver um problema de quadratura de uma figura curvilnea. Ele mostrou que a soma das reas de duas lnulas era igual rea de um tringulo retngulo. Lnulas so figuras curvilneas delimitadas por dois arcos de circunferncia.29

a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

VOC APRENDEU?

20. Com base nas instrues a seguir, voc vai construir duas lnulas. Para isso, ser necessrio o uso de uma rgua e de um compasso. 1a etapa: construa um tringulo retngulo ABC com lados medindo a = 5 cm, b = 3 cm e c = 4 cm. Nomear os vrtices com as letras A, B e C. O vrtice A deve ser oposto ao lado a; o vrtice B, ao lado b e o vrtice C, ao lado c. 2a etapa: determine os pontos mdios (Ma, Mb e Mc) dos lados desse tringulo. 3a etapa: construa um semicrculo, voltado para fora do tringulo, com centro nos pontos mdios dos catetos b e c. 4a etapa: construa um semicrculo com centro no ponto mdio da hipotenusa, voltado para o interior do tringulo. 5a etapa: pinte levemente com um lpis a regio formada entre os semicrculos dos catetos e o semicrculo da hipotenusa. Essas regies so chamadas lnulas.

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a Matemtica - 8- srie/9o ano - Volume 4

Desafio! 21. Prove, algebricamente, que a soma das reas das lnulas igual do tringulo retngulo ABC representado a seguir.B

a

c

C

b

A

31

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 CILINDROSVOC APRENDEU?

1. Observe atentamente os slidos geomtricos.

I.

II.

Observao! Em ambos os casos, os planos das bases so perpendiculares superfcie lateral.

a) Classifique-os quanto forma (nas lacunas abaixo das imagens). b) Descreva as principais semelhanas e diferenas entre os dois slidos.

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c) Localize, nos slidos, os seguintes elementos: vrtice, aresta, face, base e geratriz. d) Em relao ao slido I, determine: o nmero de vrtices: o nmero de arestas: o nmero de faces: o polgono que forma a base: o polgono que forma a face lateral: e) Em relao ao slido II, determine: a figura plana que forma a base: o polgono que corresponde superfcie lateral planificada: 2. A figura a seguir uma planificao de um cilindro. Sabendo que a altura do cilindro mede 5 cm, e o dimetro das bases, 6 cm, determine o comprimento do retngulo correspondente superfcie lateral. Considere 3,14.

Resposta:33

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LIO DE CASA

3. Agora, voc vai construir um cilindro com base nas medidas da planificao da atividade anterior.

Material necessrio! folha de papel sulfite tamanho A4; tesoura; rgua; fita adesiva; compasso. Etapas da construo 1a etapa: desenhe os segmentos r e s que dividem a folha ao meio, na largura e no comprimento.r m s n

2a etapa: desenhe dois segmentos, m e n, paralelos ao segmento s, distando 2,5 cm do mesmo.

3a etapa: construa dois crculos de 6 cm de dimetro, tangentes aos segmentos m e n, e com centro no segmento r.

4a etapa: desenhe o retngulo correspondente superfcie lateral planificada.

m

m

n

n

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5a etapa: recorte a planificao do cilindro do papel A4.

6a etapa: usando fita adesiva, construa o cilindro com base na planificao.

m

n

4. Com base nas medidas do cilindro montado na atividade anterior, calcule: a) a rea das bases;

b) a rea da superfcie lateral;

c) a rea total do cilindro.

d) Compare a rea do cilindro com a da folha A4 utilizada. Qual foi a porcentagem de papel utilizada na construo do cilindro?

5. Escreva uma frmula para o clculo da rea de um cilindro reto, com base no raio r das bases e na altura h do cilindro.35

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VOC APRENDEU?

6. Preencha a tabela a seguir com as frmulas usadas para clculos mtricos em figuras circulares. a) Comprimento da circunferncia C=

rea do crculo

A=

rea do cilindro

A=

Volume do cilindro

V=

Volume da esfera

4..r V = _______ 33

b) Descreva as principais caractersticas das frmulas da tabela.

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7. Sabendo que 1 dm3 equivale a 1 , calcule a capacidade (em litro ou seus submltiplos) de um cubo cujos lados medem:

a) 10 cm

b) 1 cm

c) 1 m

8. Calcule a capacidade do cilindro, em m, construdo na Atividade 3 (use 3,1).

Resposta:37

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LIO DE CASA 9. As latas de refrigerante so confeccionadas com folhas de alumnio. O Brasil um dos pases que mais reciclam esse tipo de material no mundo. Segundo a Associao Brasileira dos Fabricantes de Latas de Alta Reciclabilidade (Abralatas), o Brasil produziu cerca de 10 bilhes de latas de alumnio em 2005 e reciclou cerca de 96% desse total. Considerando que o formato da lata assemelha-se a um cilindro reto, determine:

12 cm

6 cm

a) a capacidade, em m, da lata de alumnio representada (use 3,1);

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b) quantos centmetros quadrados de uma folha de alumnio so necessrios para confeccionar uma lata;

c) quantas latas podem ser confeccionadas com uma chapa de alumnio de 1 m de comprimento por 1,72 m de largura.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 PROBABILIDADE E GEOMETRIA

Leitura e Anlise de Texto O e a agulha de Buffon O estudo da probabilidade, aparentemente, no tem uma ligao direta com a Geometria. A probabilidade trata da razo entre eventos, ao passo que a Geometria relaciona-se ao estudo das formas. Uma interseo entre esses dois assuntos parece um tanto improvvel, dada a natureza distinta de cada um. Contudo, ao analisar um problema aparentemente banal, um naturalista francs do sculo XVIII, conhecido como Conde de Buffon, descobriu uma curiosa ligao entre esses dois assuntos. primeira vista, o problema parece ser um tanto despretensioso. Ele consistia na observao e contagem de agulhas sobre um plano formado por linhas paralelas. Jogando ao acaso um punhado de agulhas de comprimento menor que a largura entre as linhas paralelas, o Conde de Buffon anotava quantas delas caam sobre as retas e quantas caam entre os espaos, sem tocar as linhas. Seu intuito era descobrir qual a probabilidade de uma agulha, jogada ao acaso no tabuleiro, cair sobre uma das linhas.

caso favorvel

caso desfavorvel

Pode-se fazer isso por meio de sucessivas experimentaes, contando-se os casos favorveis e comparando-os ao total de lanamentos. Contudo, o Conde desejava obter uma frmula que determinasse essa probabilidade teoricamente. Usando clculos simples envolvendo ngulos e reas de figuras planas, ele chegou seguinte frmula: 2a P = _____ .d Nela, P a probabilidade de a agulha cortar uma das linhas do tabuleiro, a o comprimento da agulha e d a distncia entre as linhas paralelas. No entanto, o fato mais40

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surpreendente da frmula de Buffon a presena da constante . Algo que geralmente usado para calcular o comprimento ou a rea de um crculo aparece no clculo de probabilidade. Para o caso particular em que a distncia entre as linhas o dobro do comprimento da 1 agulha (d = 2a), a frmula de Buffon pode ser escrita como P = __ . Isso nos leva a outra possibilidade de uso da frmula. Fazendo uma srie de lanamentos de agulhas e calculando o valor de P experimentalmente, pode-se determinar o valor aproximado de . De fato, essa estratgia, quando aplicada em um grande nmero de lanamentos, resulta em uma aproximao bastante aceitvel para o valor de . Alguns pesquisadores dedicaram-se a esses experimentos e obtiveram resultados surpreendentes: Lazzerini obteve uma aproximao de 3,1415929 para aps 3 408 lanamentos. Entretanto, pode-se questionar o significado prtico de tais procedimentos ou frmulas. Para que saber a probabilidade de uma agulha cair sobre um feixe de paralelas? Por que determinar o valor de por meio do lanamento de agulhas, se ele pode ser calculado de inmeras maneiras mais simples? De fato, primeira vista, a frmula de Buffon no tem utilidade prtica alguma. Todavia, anos mais tarde, ela serviu de base para uma das invenes mais importantes do sculo XX: o aparelho de tomografia computadorizada. Mas em vez de empregar linhas paralelas sobre um tabuleiro, esse aparelho trabalha com feixes de radiaes paralelas. Usando a frmula de Buffon, possvel determinar as dimenses de um objeto a partir de um feixe desse tipo, o que, de forma bastante simplificada, est por trs do funcionamento desse aparelho.

O exemplo da agulha de Buffon bastante ilustrativo para relativizar o argumento de que alguns assuntos de Matemtica no tm aplicaes prticas na vida real. Quando comearam os estudos sobre os fenmenos eletromagnticos, no incio do sculo XIX, muitos pensavam que se tratava de uma pesquisa intil, sem nenhum interesse prtico. Hoje em dia ningum pode se imaginar vivendo em um mundo sem eletricidade, no mesmo?41

Conexo Editorial

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VOC APRENDEU? 1. Com base no texto apresentado na seo Leitura e Anlise de Texto, responda: a) Qual era o intuito original do experimento do Conde de Buffon?

b) O que ele acabou descobrindo nessa experincia?

c) Como obter um valor aproximado de com base na experincia do Conde de Buffon?

d) Como voc avalia a questo da utilidade prtica do experimento realizado pelo Conde de Buffon?

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2. Responda as questes a seguir. a) Use a frmula do Conde de Buffon e calcule a probabilidade de uma agulha de 3 cm cair sobre uma linha de um tabuleiro formado por linhas paralelas distantes 3 cm umas das outras. Use uma calculadora e expresse o resultado em porcentagem (use 3,14).

Resposta: b) O que acontece com essa probabilidade se a distncia entre as linhas do tabuleiro for o dobro do comprimento da agulha?

Resposta:43

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c) Qual deve ser a distncia entre as linhas de um tabuleiro para que a probabilidade de uma agulha de 3 cm cair sobre uma das linhas seja de 50%?

Resposta: VOC APRENDEU?

3. Considere uma roleta circular com um ponteiro central mvel. Ao girarmos livremente esse ponteiro, ele vai parar em uma determinada regio da roleta. a) Na roleta representada a seguir, o ngulo correspondente ao setor I mede 60 e o correspondente ao setor III, 180. Calcule a probabilidade de o ponteiro da roleta, ao ser girado livremente, parar na regio II.

II

I

III

Resposta:44

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b) Na roleta da figura, os ngulos correspondentes aos setores circulares coloridos variam em sequncia crescente, de 10 em 10 graus. O menor ngulo mede 10. Qual a probabilidade de o ponteiro parar em um setor azul?

Resposta: c) Qual a cor da regio em que o ponteiro central tem a maior probabilidade de parar? Justifique sua resposta.

Resposta:

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4. A figura a seguir mostra um alvo usado em um jogo de dardos. O crculo central tem raio igual a 10 cm, e os anis (coroas circulares) esto igualmente espaados, de 10 em 10 cm.

a) Calcule a rea de cada uma das regies coloridas do alvo. Regio vermelha:

Regio azul:

Regio amarela:

Regio verde:

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b) Qual a regio do alvo (cor) com a maior probabilidade de acerto no lanamento de um dardo ao acaso? E a regio com menor probabilidade de acerto?

Observao! Vamos considerar que o jogador esteja com os olhos vendados, para que a intencionalidade no interfira no lanamento do dardo. Faa o clculo da probabilidade para cada uma das regies.

Resposta:

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Desafio! 5. O alvo democrtico Voc capaz de construir um alvo circular em que as quatro regies coloridas permitam a mesma probabilidade de acerto? Faa os clculos literais e desenhe o alvo democrtico, usando rgua e compasso.

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