caderno de exercÍcios de mecÂnica dos fluidos · 2 prof. jesué graciliano da silva –...

1 Prof. Jesué Graciliano da Silva – Refrigeração - Câmpus São José - IFSC

CADERNO DE EXERCÍCIOS DE

MECÂNICA DOS FLUIDOS

Prof. Jesué Graciliano da Silva

São José, Agosto de 2018

https://jesuegraciliano.wordpress.com/aulas/mecanica-dos-fluidos/


APRESENTAÇÃO

Nesse caderno de exercícios serão apresentados os conceitos

básicos da área de Mecânica dos Fluidos tais como pressão, vazão e

perda de carga. Também vamos mostrar diversas aplicações na área de

refrigeração e climatização como, por exemplo, instalação de bombas

hidráulicas, tubulações de água gelada e dimensionamento de redes de

distribuição de ar, conforme ilustrado na Figura 1. Outros exemplos

práticos serão explorados durante o curso.

Figura 1 – Dutos de distribuição de ar.

O conteúdo foi preparado para tornar mais fácil o aprendizado

da disciplina. Para cada assunto apresentado foram desenvolvidos

vídeos de curta duração para estudo complementar. Basta apontar o

celular para o QR-Code impresso para abrir os vídeos indicados.

Aproveite e assista aos vídeos em seu tempo livre para compreender

melhor a matéria. Todos os vídeos estão disponíveis também no blog

https://jesuegraciliano.wordpress.com/aulas/mecanica-dos-fluidos.

Bom estudo !

Prof. Jesué Graciliano da Silva


SUMÁRIO:

1-Introdução 5

2- Propriedades Fundamentais. 7

3-Estática dos Fluidos 15

4- Vazão 20

5-Equação da Continuidade 21

6-Equação de Bernoulli 25

7-Equação de Bernoulli Modificada 27

Anexos

Bancada de Teste de vazão 39

Bancada de Testes Hidráulicos 43

Bancada de Associação de bombas 44

Revisão de Matemática Básica 49

Exercícios Resolvidos 69

Dicas de Estudo 80

Lista de exercícios 81


1- INTRODUÇÃO

Para começar nossa disciplina vamos apresentar um ajudante

muito especial: Mr. RAC !

Primeiramente, é preciso entender que um fluido tem como

principal característica não apresentar uma forma definida, podendo

ocupar o espaço dentro de uma vasilha (líquido) ou todo espaço

disponível (gás).

Figura 1- Ilustração da definição de um fluido

No passado cada país seguia seu sistema de medidas. Mas isso

causava muitos inconvenientes. Por isso foi criado o Sistema

Internacional de Unidades (SI) para organizar um sistema unificado

em todo o mundo.


Apesar da unidade SI para temperatura ser o Kelvin (K), o uso

da escala Celsius é ainda bastante comum. O zero na escala Celsius

(0°C) é equivalente a 273,15 K.

Algumas grandezas típicas da área de Ciências Térmicas são

apresentadas na Tabela 1.

Tabela 1- Unidades derivadas do SI

Quantidade Nome e

símbolo

Unidade Expressão em

unidade de base do SI

Força newton (N) m.kg/s2 m.kg/s2

Pressão pascal (Pa) N/m2 kg/m.s²

Energia joule (J) N.m m².kg/s²

Potência watt (W) J/s m².kg/s³

Eventualmente, poderemos nos deparar com unidades do

sistema inglês. Como exemplo, a carga térmica (termo muito utilizado

em climatização), muitas vezes, é calculada em Btu/h (12.000 Btu/h

correspondem a 3.517 W). Os catálogos dos fabricantes de

condicionamento de ar trazem esta unidade na determinação da

capacidade de seus equipamentos. Por isso, a Tabela 2 de conversão

de fatores é bastante útil.

Tabela 2 - Fatores de conversão úteis

1 lbf = 4,448 N 1 Btu = 1055 J

1 lbf/pol² (ou psi) = 6895 Pa 1 kcal = 4,1868 kJ

1 pol = 0,0254 m 1 kW = 3413 Btu/h

1 HP = 746 W = 2545 Btu/h 1 litro (l) = 0,001 m³

1 m3 = 1000 litros

1 kcal/h = 1,163 W 1 TR = 3517 W (tonelada de

refrigeração)

1 atm = 14,7 lbf/pol2 (ou psi) 12000 Btu/h = 1 TR = 3,517kW

Exemplo: Converta 20 cm3 para m

3 e para litros.

1m = 100cm logo 1m3 = 100.100.100cm

3 Fazendo a regra de 3:

1.000.000 cm3 = 1m

3 Então

20cm3 = x m

3 Logo: x=0,00002m

3


2- PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS:

A Massa específica (ρ) ou densidade de uma substância é

definida como a relação entre a MASSA e o VOLUME. Sua Unidade

é kg/m3 .

Figura 2- Definição de densidade

Um corpo pode ter grande volume e possuir pouca massa,

como é o caso dos isolantes térmicos. Já há substâncias que têm

pequeno volume, mas possuem elevada massa. Estas substâncias têm

então uma densidade elevada. Como exemplo, lembramos que a

relação entre a massa e o volume de um navio é inferior à da água e

por isso os navios flutuam como uma rolha de cortiça é capaz de fazê-

lo num copo d’água.

Exemplo: Qual a densidade de um corpo que tem 12.000.000kg

e um volume de 15.000 m3?

Veja que nesse caso basta dividir a massa pelo volume para

obtermos o valor da densidade como sendo de 800 kg/m3.

3

3/800

000.15

000.000.12mkg

m

kg


Tabela 3- Massas específicas aproximadas (Temperatura ambiente)

Material Massa específica [kg/m3]

Aço 7600

Óleos 800

Alumínio 2700

Mercúrio (Hg) 13600

Água no estado líquido 1000

O ar tem sua densidade variando com a pressão e com a

temperatura. A equação para calcular a densidade do ar seco é

mostrada a seguir. Para a pressão atmosférica utilizamos pa = 101325

Pascals. Lembre-se que para converter CELSIUS para KELVIN é

preciso somar o valor de 273,15. Então, para 20oC, a Temperatura em

Kelvin é de 293,15 K.

Exemplo: Qual a densidade de um bloco de gelo de 2m x 2m x 1m e

que tem uma massa de 3.600kg?

Nesse caso, o volume do bloco de gelo é: V = 2. 2. 1 = 4 m2

Considerando a massa dada de 3.600 kg temos que a densidade é:

3

3/900

4

3600mkg

m

kg

Para saber mais assista aos vídeos indicados posicionando seu celular sobre a imagem:

Faça a Auto

Avaliação

indicada a

seguir para

verificar seus

conhecimentos


A Pressão: é a relação entre a força aplicada sobre um corpo e

a área de atuação da mesma. Por isso a pressão tem unidade

“PASCAL” (N/m2).

Figura 3- Definição de pressão.

Nesse caso, o peso do armário é distribuído de forma diferente

sobre o piso. A Área de contato 1 é de 2m2

e a Área de contato 2 é de

0,6m2. O Peso do armário nas duas situações é o mesmo (Peso = m.g).

Quanto menor a área de aplicação da força, maior a pressão. Então a

maior pressão sobre o solo ocorre no caso do armário em pé, onde a

área de contato é menor.

2

1

1 100000,2

10.200.

m

N

A

gmp e

2

2

2 333360,0

10.200.

m

N

A

gmp

A pressão é uma propriedade importante na área de

refrigeração. Ela define, por exemplo, se o fluido refrigerante estará

na fase líquida ou de vapor. Quanto menor a pressão, mais fácil o

fluido se evapora. Por isso no evaporador a pressão é menor que no

condensador. A pressão também aparece nos dutos de climatização. O

ventilador de um self-contained ligado a um duto precisa garantir que

A força

PESO é

calculada

pelo produto

da massa x

aceleração

gravitacional

“g”. O valor

de “g” é de

9,806 m/s2.

Para facilitar

os cálculos

nessa

disciplina

usaremos

g=10m/s2.


a pressão de saída do fluido seja suficiente para vencer a perda de

pressão que ocorre durante o escoamento.

Para se medir pressão foram criados diversos instrumentos

como o barômetro, os manômetros e os transdutores de pressão. O

barômetro foi criado em 1643 pelo italiano Evangelista Torricelli.

Ele utilizou o mercúrio para estimar que a pressão atmosférica

era correspondente à 760mm de Hg. Para os problemas envolvendo

mecânica dos fluidos utilizamos a densidade do Hg como sendo

13.600kg/m3.

A Pressão atmosférica – patm é a pressão exercida pela

atmosfera terrestre. Ela é o resultado do peso da camada de ar

atmosférico sobre a superfície terrestre.

A pressão atmosférica padrão (condições normais de

temperatura e pressão) ao nível do mar é aproximadamente 101 kPa.

patm = 101 kPa = 1 atm = 760 mmHg

Os manômetros de Bourdon são muito utilizados para medir a

pressão manométrica dos fluidos refrigerantes (Figura 4). Nesse caso,

os valores medidos devem ser somados à pressão atmosférica para

obtenção da pressão absoluta dentro de um tanque.

Figura 4 – Ilustração de um manômetro de Bourdon.

A pressão

atmosférica varia

com a altitude. Ao

nível do mar nas

CNTP seu valor é

de 101325

Pascals.

Para facilitar os

cálculos

utilizaremos o

valor da pressão

atmosférica como

sendo 101 kPa.

Lembre-se que

1 kPa = 1000 Pa


Suponha que um manômetro indique uma pressão de 76psi.

Nesse caso, para encontrarmos a pressão no Sistema Internacional de

Unidades é preciso fazer a conversão com uma regra de três.

kPaxpsi

kPapsi

76

1017,14

Logo a pressão manométrica do fluido dentro do cilindro é de

aproximadamente 524 kPa. Sua pressão absoluta será então de

aproximadamente 625 kPa (pabsoluta =524 kPa + 101 kPa).

A pressão absoluta é utilizada na maioria das análises

termodinâmicas, entretanto, a maioria dos manômetros indica a

diferença entre a pressão absoluta e a atmosférica, diferença esta

chamada de pressão manométrica.

O esquema representado na Figura 5 ilustra a diferença entre a

pressão absoluta e a pressão manométrica.

Figura 5- Ilustração de diferentes níveis de pressão.

Na Figura 6 mostramos uma configuração conhecida como

TUBO DE VENTURI, que nada mais é que uma contração do

escoamento para medição da velocidade do fluido. Nas paredes da


tubulação são instalados manômetros para obtenção da diferença de

pressão entre a entrada e o meio do Tubo de Venturi.

Figura 6- Configuração de um Tubo de Venturi.

A equação para obtenção da velocidade do fluido a partir da

medida “h” é mostrada a seguir:

A variável “BETA” (β) é a relação entre o diâmetro da garganta

do Venturi e seu diâmetro de entrada. A variável “DELTA P” (DP) é a

pressão obtida em Pascal a partir da leitura de “h”. A densidade “ρ” é

a do fluido escoando.

Como exemplo, suponha que BETA = 0,7 e que a variação de

pressão medida seja de 12 mmHg (0,012m). Considere escoamento de

água, cuja densidade é de 1.000kg/m3. Nesse caso, o valor de DP será

de 1632 Pascals (13.600kg/m3 x 10m/s

2 x 0,012m) e a Velocidade 2

será estimada em: 2 m/s.

Observe que precisamos converter a medida lida no manômetro

de coluna para a pressão em Pascal. Isso é conseguido multiplicando-

se a densidade do Hg (13.600kg/m3) pelo valor da aceleração

gravitacional “g” (10m/s2) e pelo valor da altura em metros (0,012m).

Posteriormente vamos explicar o motivo dessa multiplicação.

A densidade

do Mercúrio

(Hg) é de

13.600 kg/m3


Outra forma de se medir a velocidade do ar em um determinado

ponto do escoamento é com uso de um TUBO DE PITOT.

O PITOT mede a pressão de velocidade, que é a diferença entre

a PRESSÃO TOTAL E A PRESSÃO ESTÁTICA (Figura 7).

A pressão estática é a pressão que o fluido exerce nas paredes

da tubulação. Um tanque de pressão sempre terá uma pressão estática.

A pressão de velocidade só existe em fluidos em movimento.

Figura 7 – Ilustração da utilização de um Tubo de Pitot.

Como exemplo, suponha que “Dh” seja medido como sendo

5mmHg. Se o escoamento é de ar (ρ=1,2 kg/m3), é possível determinar

a velocidade como sendo de 33 m/s por meio da equação:

Para saber mais assista ao vídeo indicado:


Exercícios de Aplicação:

1- Seja um Tubo de Venturi, onde foi instalado um manômetro de

coluna para obtenção da pressão de sua entrada e de seu meio. Dentro

do tubo tem-se o escoamento de ar. Nesse caso, considerando que a

leitura da coluna da entrada do Venturi seja de 60mmca e que a leitura

da coluna do meio do Venturi (no estrangulamento do escoamento)

seja de 20mmca, qual será a velocidade de ar dentro da tubulação?

2- Um tubo de PITOT é utilizado para medir a velocidade de ar dentro de

um duto de climatização. A pressão total foi lida como sendo 500 Pascals. A

pressão estática na parede foi lida como sendo 250 Pascals. Nesse caso, qual

é a velocidade estimada para o escoamento?

Faça a Auto

Avaliação

indicada a

seguir para

verificar seus

conhecimentos.


3- ESTÁTICA DOS FLUIDOS

A Estática dos fluidos é a área da física onde são estudados os

fenômenos relacionados aos fluidos parados. Ou seja, podemos

utilizar o conhecimento da estática dos fluidos para determinar

pressões atuando nas paredes de uma piscina, em uma comporta de

uma barragem, as forças atuando em um sistema hidráulico ou o

empuxo provocado por corpos submersos. Vamos nos concentrar no

estudo de três princípios: de Stevin, Pascal e de Arquimedes.

Stevin demonstrou que a pressão que atua em um ponto do

fluido situado a uma dada profundidade é calculada pela equação a

seguir, somando-se a pressão atmosférica que atua sobre a superfície

do fluido. A patm pressão atmosférica (ao nível do mar esse valor é de

101,325 kPa). Na Figura 8, “h” é a profundidade e “ρ” é a densidade

do fluido. A pressão no ponto B pode ser calculada pela expressão:

pB = patm + ρ . g. h

Figura 8- Pressão em um ponto dentro do fluido.

Na Figura 9 mostramos que a pressão em uma determinada

profundidade do fluido é independente da área ou formato do

recipiente.


Figura 9- Pressão no fundo de um recipiente.

Como exemplo, lembramos que em um mergulho tem-se o

aumento de 1 atmosfera de pressão a cada 10m de profundidade.

Então, a 10m de profundidade uma pessoa estará a 2 atmosfera (soma

da pressão atmosférica + a pressão da coluna de 10m de água).

Stevin também mostrou que para um mesmo fluido, as pressões

em um mesmo nível de profundidade são iguais. Como exemplo,

observe na Figura 10. A pressão em A deve ser igual à pressão em C.

Figura 10- Aplicação do Princípio de Stevin.

A pressão no ponto C é igual à pressão atmosférica somada

com a pressão decorrente da coluna de fluido dentro do manômetro de

coluna. A densidade do fluido Hg é de 13.600kg/m3. Se a distância

entre os pontos C e B é de 5mmHg (Dh) temos:

pC = 101325 + (13600 . 10 . 0,005) = 101325 + 680 Pascals.


Para saber mais assista aos vídeos indicados posicionando seu celular sobre o QR-Code:

Pascal demonstrou que incrementos de pressões são

transmitidos através dos fluidos. As aplicações mais comuns deste

princípio são os elevadores para carros, os freios hidráulicos e todos

os sistemas hidráulicos e pneumáticos utilizados nas indústrias.

Observe que uma pequena força aplicada em um fluido na área menor

provoca um incremento de força muito maior na área maior (Figura

8). Ou seja, a partir dessa informação podemos projetar equipamentos

capazes de aplicar forças grandes, com um pequeno esforço. Os

elevadores hidráulicos e freios dos automóveis, por exemplo, seguem

o Princípio de Pascal. Observe a Figura 11 e aponte seu celular sobre o

QR-Code para saber mais sobre o assunto:

Figura 11- Aplicação do Princípio de Pascal

Já Arquimedes foi o matemático grego que descobriu o

princípio do EMPUXO, utilizado até hoje para inúmeras aplicações

como, por exemplo, o projeto de embarcações.


Um corpo imerso em um fluido desloca uma dada quantidade

deste fluido, e isso provoca uma força para cima chamada de

EMPUXO (E) conforme mostrado na Figura 12. O empuxo pode ser

calculado pela equação:

Empuxo = ρfluido . Vimerso . g

Figura 12- Ilustração de um corpo flutuando sobre a água.

Na Figura 10 é possível observar que se o corpo está em

equilíbrio a Força Peso para baixo deve ser igual à força de Empuxo

para cima. De forma simplificada, considerando que para a água a

densidade do fluido é 1000 kg/m3, podemos escrever:

Vcorpo . ρcorpo = 1000 . Vimerso

Exemplo:

Uma viga de madeira de comprimento 3m e secção transversal

de 50cm x 50cm flutua sobre a água. Considerando-se que sua

densidade é de 800kg/m3 qual é o volume que fica fora da água?

Solução:

Como o corpo está em equilíbrio tem-se que:

Empuxo = Peso

Faça a Auto

Avaliação a

seguir para

testar seus

conhecimentos:


Vcorpo . ρcorpo = 1000 . Vimerso

(3m x 0,5m x 0,5m) . 800 kg/m3 = 1000 . Vimerso

Vimerso = 0,75.800/1000 Vimerso = 0,6m3

Nesse caso, o Volume total da madeira é de 0,75m3. Então o

Volume fora da água é o Volume total (0,75m3) menos o Volume

imerso (0,6m3), que resulta em 0,15m

3.

Para saber mais assista aos vídeos indicados posicionando seu celular sobre o QR-Code:


4- VAZÃO

A vazão de um fluido é um dos conceitos mais importantes na

área de climatização. Pode ser definida como o volume de fluido

deslocado em um determinado tempo, conforme ilustrado na Figura

13. As unidades de vazão mais comuns são litros por minuto, metros

cúbicos por segundo e metros cúbicos por hora.

Figura 13 – Conceito de Vazão

Exemplo:

Uma piscina de 8m de largura, por 4m de largura e 2m de

profundidade precisa ser cheia com uma mangueira em um intervalo

de tempo de 8 horas. Qual será a vazão necessária da mangueira?

Solução:

Nesse exemplo temos que calcular primeiro o volume da

piscina que é: Volume = 8m.4m.2m=64m3. Considerando que em 1

m3 cabem 1000 litros de água podemos afirmar que nessa piscina

cabem 64.000 litros de água. Se a piscina precisa ser cheia em 8

horas, podemos dizer que a vazão necessária na mangueira é de 8000

litros por hora ou ainda 8m3/hora.

Para saber mais assista ao vídeo indicado posicionando seu celular sobre o QR-Code:

Faça a Auto

Avaliação

indicada a

seguir:


5- EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

A equação da continuidade é uma forma de expressar a

conservação da massa. Em regime permanente ela estabelece que: “a

vazão mássica total de um fluido entrando no sistema em análise será

igual àquela que está saindo, apesar da área da seção transversal poder

ser diferente.”

Na Figura 14 tem-se que

V1 . A1 = V2 . A2

V = Velocidade do ar e A = área da secção do duto.

Figura 14- Ilustração do princípio da continuidade

A Equação da Continuidade é utilizada no dimensionamento de

rede de dutos de distribuição de ar (Figura 15).

No exemplo mostrado a seguir, considere que no trecho AB a

vazão seja de 7200m3/h. No trecho BC de 3200 m

3/h e no trecho BD

de 4000m3/h. Considerando a velocidade do ar é fixa em 5m/s em

todos os trechos e altura dos dutos como sendo 40 cm, qual é a largura

de cada trecho de duto? Assista ao vídeo indicado ao lado da Figura

15.


Figura 15- Ilustração de um duto de distribuição de ar.

Para resolver essa questão construímos uma tabela de cálculos.

É importante converter a vazão para a unidade de metros cúbicos por

segundo. Para isso basta dividir m3/h por 3600.

Trecho Vazão

(m3/h)

Vazão

(m3/s)

V

(m/s)

A

(m2)

Duto (m x m)

AB 7200 2,00 5 0,40 1,00 x 0,40

BC 3600 1,00 5 0,20 0,50 x 0,40

BD 4000 1,11 5 0,22 0,55 x 0,40

A área da secção transversal dos dutos é dimensionada dividindo-se a

vazão pela velocidade. Com a área e a altura (que foi dada no

enunciado) é possível se obter a largura do duto.

Exercício indicado 1:

Dimensione a rede de dutos mostrada Na Figura 16 pelo

método da velocidade. Considere a Velocidade do ar em todos os

trechos como sendo 4m/s. As alturas dos dutos são 0,35m, 0,30m,

0,25m e 0,20m nos trechos AB, BC, CE e CD respectivamente. Se os

trechos AB, BC, CE e CD possuem comprimentos de 6m, 10m, 3m e

5m respectivamente, qual é a massa de chapas necessária para


construção dos dutos? A vazão em cada boca de insuflamento é de

1400m3/h. Assista ao vídeo indicado ao lado da Figura 16.

Figura 16- Ilustração de uma rede de dutos de climatização.

Trecho Vazão (m

3/h)

Vazão (m

3/s)

Vel (m/s)

Área (m

2)

Larg (m)

Alt (m)

AB

BC

CD

CE

Para calcular a massa de chapas de aço, considere a densidade

do aço como sendo 7.600 kg/m3 e a espessura da chapa como sendo

de 0,79mm.

Exercício indicado 2:

Dimensione a rede de dutos mostrada na Figura 17 pelo método

da velocidade. Considere a Velocidade do ar em todos os trechos

como sendo 5m/s. As alturas dos dutos são indicadas na tabela. A

vazão em cada boca de insuflamento é de 900m3/h.



Trecho Vazão (m

3/h)

Vazão (m

3/s)

Vel (m/s)

Área (m

2)

Largura (m)

Altura (m)

AB 0,40

BC 0,30

CD 0,20

BE 0,30

EF 0,20

3- Exercício indicado 3:

Na instalação de climatização mostrada na Figura tem-se uma

ocupação de 5 pessoas. Se o equipamento split system está insuflando 3400

m3/h de ar no ambiente e a taxa de renovação de ar é de 27m

3/h por pessoa,

então qual é a vazão de ar de retorno?



6- EQUAÇÃO DE BERNOULLI

A equação de Bernoulli é fundamental para a análise de

escoamento de fluidos em canalizações. Considere o escoamento

através de um duto entre os pontos 1 e 2 mostrado na Figura 19.

Figura 19- Ilustração do escoamento de um fluido

Em geral, consideramos que não há variações de densidade do

fluido durante o escoamento, nesse caso ele é chamado de escoamento

incompressível e pode ser descrito pela equação a seguir.

Onde “p” é a pressão absoluta (Pa), “ρ” é a densidade (kg/m3),

“z” é a elevação do fluido (m) em relação a uma referência e “V” é a

velocidade (m/s).

Observe que a unidade (m/s)2

é uma forma diferente de se

escrever a unidade de energia Joule. Essa equação foi escrita

considerando-se que as soma das energias de pressão, cinética e

potencial no ponto 1 é igual a soma das energias no ponto 2.

Podemos aplicar a equação de Bernoulli para uma linha de

corrente que liga o ponto 1 e 2 de um escoamento. Uma aplicação

simples dessa equação é para descobrirmos qual é a velocidade da


água que escoa através de um furo na lateral inferior de um tanque

(Figura 20). Para tanto, a equação é simplificada porque o ponto 1

estão sobre a superfície (p1 = patm), o ponto 2 é na saída (p2=patm). A

velocidade no ponto 1 é próxima de zero, o que é uma boa suposição

se o tanque for grande.

Figura 20 Aplicação do escoamento de fluido por um orifício

Observamos que nesse caso colocamos nossa referência de cota

no nível do ponto 2. Dessa forma z1= h. A pressão de 1 é a da

atmosfera. Como em 2 o fluido está escoando na forma de um jato

livre, sua pressão também é a da atmosfera. Estes dois termos se

anulam na equação de Bernoulli. A cota de 2 é zero, ou seja, z2=0. A

velocidade do fluido no ponto 1, que fica na superfície livre do tanque,

é praticamente zero. Logo, a equação ficou simplificada e V2 é

calculada da seguinte forma:

Conheça um

pouco mais

sobre a

contribuição

de Daniel

Bernoulli


7- EQUAÇÃO DE BERNOULLI MODIFICADA

Na prática os escoamentos nas tubulações sofrem o efeito do

atrito do fluido com as paredes internas. Ou seja, há perda de carga.

Nesse caso a equação de Bernoulli deve ser reescrita da seguinte

forma:

Onde De, cuja unidade é m2/s

2, representa a perda de energia no

escoamento por atrito, um dos nossos maiores problemas a serem

resolvidos. Há diversas tabelas que fornecem perdas de carga para

diferentes tipos de materiais e de acessórios (válvulas, curvas, tubo

reto etc). Há uma forma simples para avaliar a perda de carga nas

tubulações. Cada acessório provoca um acréscimo de comprimento

equivalente.

Após determinar o comprimento equivalente total, basta utilizar

o Diagrama de Moody (Disponível na página 31) para obter o fator de

atrito e por consequência a perda de carga total. No diagrama é preciso

primeiro calcular o número de Reynolds e conhecer a rugosidade do

material. Para dutos de ar pode-se adotar a aproximação de tubo liso.

Para dutos retos podemos calcular a perda de energia entre dois

pontos distantes a uma distância L um do outro da seguinte forma:

Nessa equação, “f” – fator de atrito, é determinado em função

do número de Reynolds e da rugosidade da tubulação (e/D). Observe

que υ = viscosidade cinemática.


A rugosidade o ferro fundido é aproximadamente 0,5mm, do

cobre 0,0015mm, do aço galvanizado 0,15mm. Para escoamentos

laminares, isto é para Reynolds menores que 2300, f = 64/Re. Para os

demais escoamentos devemos utilizar o diagrama de Moody para

obtenção do fator de atrito.

A presença de obstáculos ao escoamento pode ser traduzida em

um acréscimo do comprimento equivalente das tubulações. Assim

sendo, há tabelas que apresentam o quanto cada acessório (válvulas,

curvas etc) acrescentam de comprimento ao trecho reto já existente da

tubulação, conforme o diâmetro (Figura 21).

Figura 21- Comprimento equivalente de tubulação.

Para uma tubulação de 32mm, a passagem por uma válvula de

retenção é o mesmo que o fluido percorrer 4m de tubulação reta. Se o

fluido atravessar uma válvula de globo, a perda de carga é a mesma

que percorrer 15m de tubulação reta. E assim por diante.

A viscosidade

cinemática da

água é de 1 x

10-6

m2/s

Esse valor

pode ser escrito

como 0,000001

m2/s.


Em aplicações envolvendo o uso de uma bomba para

deslocamento do fluido, a equação de Bernoulli passa a ser utilizada

da seguinte forma:

Todos os termos da equação acima tem como unidade (m/s)2. A

grandeza wB multiplicada pelo fluxo de massa, .m , origina o termo

BW pois: BB wmW Cujas unidades são:

O fluxo de massa é calculado pelo produto da vazão pela

densidade do fluido. A Potência da bomba pode ser determinada da

seguinte equação:

Exemplo 1

Considere que a tubulação tenha diâmetro interno de 32mm e

que a velocidade da água no seu interior seja de 4m/s. As curvas e

válvulas (retenção, globo e de crivo) acrescentam 20m de

comprimento equivalente. Na Figura 22, considere C = 6m, B=3m e

A=2m. A soma das medidas de tubulação horizontal “Dhor” é de 7m.

Para resolver essa questão identificamos inicialmente os pontos

1 e 2 localizados nas superfícies dos reservatórios. Vamos aplicar a


equação de Bernoulli modificada entre esses dois pontos. Como

hipóteses simplificativas consideraremos que V1=V2= ZERO e que

p1=p2=pressão atmosférica. Consideraremos também que Z1=zero.

Figura 22- Aplicação da equação de Bernoulli modificada

Então, a equação de Bernoulli modificada pode ser simplificada

conforme mostrado a seguir:

Que origina uma equação bem mais simples:

Na equação acima, tem-se que g = 10m/s2, z2 = B+C=9m. O

fluxo de massa (“m ponto”) é calculado a partir da vazão. A vazão é

encontrada multiplicando-se a velocidade de escoamento pela área da

secção transversal interna da tubulação.

smms

mVAZÃO /0032,0

4

032,0.14,3.4 32

2

Considerando que 1 m3 tem 1000 litros, o fluxo de massa é de

3,2 litros por segundo ou 3,2kg/s.

Assista ao

vídeo para

entender

melhor o

funcionamento

de uma bomba

hidráulica:


O número de Reynolds é calculado em aproximadamente 1,3 x 106.

5103,11280000000001,0

032,0.4Re x

No Diagrama de Moody (Figura 23) obtemos para TUBOS

LISOS o valor de “f” – fator de atrito – como sendo de 0,016.

Figura 23- Obtenção do fator de atrito

Com o valor do fator de atrito “f” =0,016 e com o comprimento

total de tubulação (L = comprimento dos tubos retos + comprimento

equivalente dos acessórios = 18m + 20m = 38m) encontramos o valor

de De (m2/s

2).

2

22

152032,0.2

4.38.016,0

s

me

Finalmente a potência da bomba em Watts pode ser

determinada substituindo-se os valores na equação:

Logo: WW 7741529.10.2,3

Ou seja, o cálculo teórico resulta em aproximadamente 1CV.

Ressaltamos que esse é um cálculo teórico e não considera a eficiência

da bomba e de seu motor.


Nos catálogos é comum utilizar a Vazão e a Altura

manométrica (Hman) para seleção do equipamento mais adequado.

Como De =152m2/s

2, a altura manométrica Hman é de 15,2m,

que é igual a De/g, onde “g” é a aceleração gravitacional = 10 m/s2.

Diagrama de Moody

Figura 24– Diagrama de Moody

Para um tubo de PVC com 32mm de diâmetro devemos

adicionar um comprimento equivalente de 1,5m para cada joelho,

0,3m para registro de gaveta aberto, 15m para cada registro de

globo aberto, 3,10m para válvula de pé e mais 1,3m para a saída

da canalização.


Exemplo2:

Calcular a potência da bomba para elevação da água até o

reservatório superior. Considere a velocidade do fluido no ponto 2

como sendo 5m/s.

BOMBA

VG

VG

VP

PVC 75mm

AÇO50mm

ÁGUA

2m

2m V2= 5m/s

1m 1m

1m

2m

10m

3m VR

RESERVATÓRIO SUPERIOR

Figura 25- Esquema do sistema de bombeamento.

Para definirmos as perdas de carga, considere que as curvas e

válvulas acrescentam um comprimento equivalente de trecho reto da

seguinte forma:

Na sucção, para o diâmetro da tubulação de 75mm tem-se os

seguintes acréscimos de comprimento equivalente: Os valores foram

determinados em ábacos (anexo).

1- válvula de pé = 20m

2- curva = 1,6m

3- válvula globo = 26m

4- trecho reto = 5m

Total de comprimento equivalente no trecho 1 – sucção = 52,6m.


Para depois da bomba, onde o diâmetro da tubulação é de

50mm tem-se os seguintes acréscimos de comprimento equivalente:

1- 3 curvas = 3,3m

2- Válvula globo = 17,4m

3- Válvula de retenção = 4,2m

4- Saída = 1,5m

5- Trecho reto = 17m

Total de comprimento equivalente no trecho 2 – após a bomba =

43,4m.

O problema deve ser iniciado calculando-se a velocidade da

água na sucção. Isso é simples, pois a massa se conserva e desta

forma:

sm

A

AVVAVAV 22,2

4

75.

4

50.

5.

.....2

2

1

221222111

Com a velocidade V1 calcula-se o número de Reynolds. Com o

número de Reynolds e a rugosidade do tubo, obtém-se o fator de atrito

f no Diagrama de Moody (anexo).

5

610655,1

10006,1

075,022,2.Re

DV

TUBO 1 – PVC liso – f~0,016 no Diagrama de Moody.

A perda de energia na sucção é determinada da forma:

2

222

7,27075,0.2

22,2.6,52.016,0

2 s

m

D

VLfe

s

sucção


Para o recalque com a velocidade de 5m/s, calcula-se o número

de Reynolds e com a rugosidade do material – aço cujo e/D=0,003

obtém-se o novo fator de atrito f = 0,026 no Diagrama de Moody.

5

610485,2

10006,1

05,05.Re

DV

Dessa forma, a perda de energia no recalque é dada por:

2

222

1,28205,0.2

5.4,43.026,0

2 sm

D

VLfe

r

recalque

A perda de energia total é a soma da perda de carga na sucção e

no recalque:

22 /310 sm=Δe+Δe=Δe recalquesucçãototal

O fluxo de massa de água é obtido pela equação:

skgD

Vm 8,94

1000

2

11

A equação para o cálculo da potência da bomba é simplificada

da seguinte forma:

CV=kW=W=+=Δe+gh+V

m=W total2B 64,54508310.9,8.142

59,8.

2

22

A seguir, mostramos como fazer a seleção de uma bomba

hidráulica a partir de um catálogo. O que se busca é um ponto ótimo

entre a curva da bomba e da tubulação, conforme ilustrado na Figura

26.


Figura 26- Ponto de operação de um sistema de bombeamento

Para seleção em catálogo é importante entrar com a vazão de

escoamento e com a ALTURA MANOMÉTRICA (Hman) das bombas

hidráulicas. A Hman é a soma da altura geométrica com Hf referente às

perdas de pressão durante o escoamento. Lembre-se que Hf é obtido

pela divisão de “De” (m2/s

2) pela aceleração gravitacional “g” (m/s

2).

Figura 27– Definição da altura manométrica

Com a vazão de bombeamento em metros cúbicos por hora e a altura

manométrica é possível encontrar a família de bomba mais adequada para a

rotação de interesse. Como exemplo, suponha que um sistema de

bombeamento tenha vazão de 25m3/h e altura manométrica de 60m.


Nesse caso, encontramos no catálogo de um determinado fabricante

que a família mais adequada para esse escoamento é a “32 – 200”. Ou seja,

diâmetro do recalque (após a bomba) de 32 mm e diâmetro do rotor de

aproximadamente 200mm.

Figura 28- Determinação do tipo de bomba hidráulica.

Com essas informações, para a família 32-200 obtemos a eficiência

da bomba como sendo de aproximadamente 52% nas isocurvas de

eficiência.

Figura 29- Determinação da potência de bombeamento em CV.


Com o diâmetro do rotor (186mm) é possível estimar a potência da

bomba em 10CV.

Na literatura especializada há uma expressão matemática

aproximada para o cálculo da potência da bomba em CV:

.75

)(./.1000)(

3 mHsmVazãoCVPotência man

Se o rendimento (h) da bomba calculada no exemplo 2 fosse de

60%, a potência da bomba hidráulica em CV seria:

CV

ms

m

CVPotência 7,650,0.75

)(31.0098,0.1000

)(

3

No exemplo 2, De era de 310m2/s

2. Por isso a Altura manométrica

utilizada na equação acima foi de 31m, que é o resultado da divisão de 310

pela aceleração gravitacional “g = 10m/s2”.

Para saber mais, assista aos vídeos explicativos sobre dimensionamento de

bombas hidráulicas.


ANEXOS:

ANEXO 1 - BANCADA DE TESTE DE VAZÃO

1- Descrever a bancada

2- Determinar a vazão de escoamento

3- Construir a curva do ventilador e da tubulação

4- Avaliar os possíveis erros de medição

Figura 30 – Foto da Bancada de Testes de Vazão de Ar

Aponte seu celular para o QR-Code para assistir ao vídeo explicativo:

Ou digite no Youtube: Bancada de vazão

https://youtu.be/BAoXJV0mih0

https://youtu.be/BAoXJV0mih0


DESCRIÇÃO DO FUNCIONAMENTO DA BANCADA:

1- TUBO DE VENTURI

O tubo de Venturi é muito utilizado para obtenção da velocidade de

escoamentos. Sua configuração é mostrada na Figura, onde se tem uma

contração de secção seguida de uma expansão suave que provoca uma

diferença de pressão proporcional à velocidade do fluido.

Modelo teórico:


As medidas obtidas nos manômetros do ventilador e do Venturi estão

na unidade mmca (milímetros de coluna de água). Para obter o valor em

Pascal, deve-se multiplicar por 10. Para a bancada em questão tem-se: para T = 29

oC, β = 0,70, D da

garganta = 0,049m e Diâmetro da Tubulação = 0,070m. A massa específica

do ar é de 1,16kg/m3. Nesse caso, também é possível se determinar a vazão

por uma equação simplificada:

Onde K = 0,00281 se a unidade desejada da vazão for na unidade

metros cúbicos por segundo e K=10,12 se a unidade desejada da vazão for

em metros cúbicos por hora.

Exemplo: Para variação de pressão de 128mmca tem-se uma

variação de pressão em Pascal = 128 x 10 = 1280 Pascals.

Logo: Vazão = 362 m3/h.

∆ Pressão

mmca

∆ Pressão

em Pascal

Vazão calculada

m3/h

128 1280 362

67 670 262

37 370 195

7 70 85

Com as vazões encontradas é possível traçar a curva do ventilador.

Para tanto é preciso medir o diferencial de pressão do ventilador e o

diferencial de pressão do Tubo de Venturi.

Diferencial de pressão no ventilador

Diferencial de pressão no

VENTURI

Vazão calculada em m

3/h.

930 Pascals 1280 362

1190 Pascals 670 262

1300 Pascals 370 195

1360 Pascals 70 85


Variando-se a rotação do ventilador é possível traçar as curvas

indicadas na Figura.

2- TUBO DE PITOT

Para obtermos o perfil de velocidades do ar dentro da tubulação é

possível regular a posição da medição do Tubo de PITOT.

P total – P estática = Pressão dinâmica

A vazão é determinada pela multiplicação da velocidade de

escoamento pela área da secção de passagem do ar.


ANEXO 2 – BANCADA DE PERDA DE CARGA

A bancada de perda de carga permite comparar a perda de energia

teórica e experimental entre 2 pontos do escoamento.

Primeiramente, os estudantes devem descrever e medir os

componentes da bancada. Depois devem ler a vazão no

rotâmetro, aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 e

avaliar a perda de energia.

Figura – Ilustração esquemática da bancada de hidráulica.

Digite no youtube: Aula prática - Bancada de Hidráulica -

Mecânica dos Fluidos – RAC. Após assistir ao vídeo, responda:

a) Qual é a área de passagem da água (m2)?

b) Qual é a velocidade de escoamento da água (m/s)?

c) Qual o fator de atrito do escoamento

(Re = Veloc . D / 1 x 10-6

)?

d) Qual é a pressão absoluta da água na sucção da bomba (Pa)?

e) Qual é a perda de energia real entre os pontos 1 e 2?

f) Qual é o comprimento equivalente entre os pontos 1 e 2?

g) Qual é a perda teórica de energia do escoamento?


ANEXO 3 – ASSOCIAÇÃO DE BOMBAS

A bancada de duas bombas hidráulicas permite a avaliação

do ponto de operação quando as mesmas estão funcionando em

série e em paralelo.

Figura – Ilustração esquemática bancada de duas bombas.

1- Descreva o funcionamento da bancada.

2- Analise o circuito hidráulico para operação em série e em paralelo.

3- Construa a curva de uma bomba hidráulica em 3 diferentes vazões

4- Construa a curva de duas bombas ligadas em série

5- Construa a curva de duas bombas ligadas em paralelo

6- Construa a curva de operação do sistema.


ANOTAÇÕES:


Em uma

equação tem-se

uma letra que

representa a

variável (valor

desconhecido) e

um sinal de

igualdade. O

lado esquerdo

da equação

chama-se

primeiro

membro e o

direito segundo

membro.

ANEXO 2- MATEMÁTICA BÁSICA

Nesse anexo vamos mostrar um resumo de alguns

conceitos de matemática básica como regra de três, cálculo de

áreas, equações simples, volumes e uso de triângulos.

1- NOÇÕES DE ÁLGEBRA

Pense no seguinte problema: Se a idade do meu pai

somada com a minha é de 100 anos e a diferença entre nossas

idades é de 40 anos, qual é a minha idade?

Antes de responder a esta pergunta, vamos observar uma

balança em equilíbrio onde temos 2 bolas de alumínio de mesma

massa e um peso de 8kg no prato da esquerda e dois pesos no

prato da direita, o primeiro com 8kg e o segundo com 3kg. Qual

será a massa de cada bola de alumínio?

8 8 3

A álgebra é muito útil para resolver situações deste tipo. A

solução para este problema pode ser bastante facilitada através do

uso de um número desconhecido representado por uma letra. A

letra “x” é bastante utilizada como variável desconhecida. Uma

análise do problema acima sugere que há equilíbrio entre os dois

lados da balança, ou seja, a massa de um lado é igual à massa do

outro. Se escrevermos a massa desconhecida como sendo “x”

temos a seguinte relação:


2. x+8=8+3+x

2. x−x=8+3−8⇒1 .x=3

Ou seja, a partir de uma equação algébrica ficou fácil obter

o valor da massa da esfera de alumínio como sendo 3kg.

Outro exemplo pode ser observado a seguir: Imagine que a

soma de dois números consecutivos seja 13. Quais são esses

números?

Observe que podemos calcular mentalmente estes dois

números como sendo 6 e 7, mas isto só é possível porque os

números são pequenos e inteiros. Mas quando o problema

envolver outros números é comum o uso de equações algébricas

como forma de facilitar os cálculos. Veja a solução. Considere

que o primeiro número seja x. O segundo, sendo consecutivo só

pode ser x+1. Observe ainda que foi dito no enunciado que a

soma destes números é igual a 13. Logo temos:

6122113.2

131.2

13)1(

xxx

x

xx

O primeiro número é 6 e o segundo é 7 conforme já

havíamos calculado mentalmente. O que acabamos de fazer

chama-se equacionamento. Por definição sabemos que uma

EQUAÇÃO é uma igualdade entre duas expressões matemáticas

que só é satisfeita por alguns valores. No exemplo anterior, o

número 6 era quem satisfazia o problema proposto.

Veja por exemplo a equação:


48.2

210.2

102.2

xx

x

x

Graficamente podemos representar o problema da seguinte

forma:

Observe que podíamos trocar o peso de 10 por um de oito

e outro de 2kg. Como temos dois quilogramas de cada lado,

podemos tirar estes dois pesos sem mudar o equilíbrio. A massa

de oito do lado direito poderia ser substituída por outras duas

massas de 4kg cada. Como temos agora duas esferas de mesma

massa fica claro que a massa da esfera é de 4kg.

Para finalizar a equação é preciso verificar se a resposta

satisfaz: Para tanto, coloque o valor “4” na posição de “x” da

equação. Observe que o resultado fica 10 = 10.

2.x+ 2 = 10


Agora que você já aprendeu tudo isso, pense na pergunta

inicial. Lembre-se que eu disse que a idade de meu pai somada

com a minha dá 100 anos.

A diferença entre nossas idades é de 40 anos. Para resolver

o problema, basta considerar que “x” é a idade do filho e “y” é a

idade do pai, logo:

40

100

xy

yx

Podemos isolar o valor de y na segunda equação e

substituir na primeira como segue:

302

6060.2

40100.210040

100)40(

40

xxx

xxx

xx

xy

Logo a idade de meu filho é de 30 anos.

2- REGRAS DE OPERAÇÕES

Agora que você está craque em equações é bom relembrar

algumas regras de operações com números e expressões

numéricas. Nesta aula vamos falar um pouco sobre propriedades

das operações como comutativa, distributiva e associativa. Elas

são muito importantes para uma correta análise das equações

aprendidas na aula anterior.


Supondo que um pai vá fazer uma compra de material

escolar, cujos cadernos custam R$ 18,00, os livros R$40,00 e as

canetas R$32,00. Como ele deve somar todos estes valores

mentalmente e de forma rápida? Isso pode ser feito sem

problemas usando algumas regras matemáticas. Veja de que

forma!

905040)3218(40

321840324018

Observe que usamos a propriedade comutativa (trocando o

40 e o 18 de posição) e a propriedade associativa (juntando o 18

e o 32). O importante aqui é lembrar sempre que numa adição a

ordem dos fatores não altera o resultado. Podemos comutar e

associar termos sem problema, o que facilita a realização dos

cálculos.

Na multiplicação estas regras também são válidas. Por

exemplo, considere um terreno de 20 metros de comprimento e

15 metros de largura em que precisamos fazer o muro em todo

seu contorno. Quantos metros quadrados de alvenaria são

necessários se a altura do muro fosse de 1,5m?


A soma das medidas laterais do terreno em metros

(PERÍMETRO) é de 20m+15m+20m+15m, ou seja, 70m. A área

lateral do muro será 70m de comprimento vezes 1,5m de altura,

ou também 1,5m vezes 70m, o que resulta em 105m2 de

alvenaria. Observe que a ordem dos fatores também não afeta o

resultado na multiplicação. Se para cada metro quadrado de

construção do muro são necessários 25 tijolos, então precisamos

comprar 2625 tijolos.

Observe ainda que a ordem de realização das operações.

Primeiro devem ser realizadas as multiplicações e as divisões

para somente depois realizarmos as adições e subtrações. A

seguir ilustramos uma aplicação do que acabamos de dizer:

741262

123698

3363.1298

=+

=+

=÷+

Para cálculos mais difíceis é importante conhecer regras na

aplicação das propriedades. Para tanto utilizamos representações

como ( ), [ ] e { } que são os parênteses, colchetes e chaves.

Esses sinais indicam a preferência da realização dos

cálculos. Observe o exemplo: Primeiramente realizamos as

operações que estão entre parênteses, depois entre chaves para

finalmente realizar aquelas que estão entre colchetes.


23815878

84288

8412168

843364.48

=+=++

=+÷+

=+÷++

=+÷)÷(+)(+

3- REGRA DE TRÊS

Você já ouviu falar de regra de três? Talvez não, mas tenho

certeza que você utiliza este conceito no dia a dia. Por exemplo,

quando o jornalista fala na televisão que um dólar está valendo

R$ 3,00. Quanto você teria em reais se tivesse guardado

U$20,00? É simples, se um dólar vale 3 reais, então 20 dólares

valem 60 reais.

Outro exemplo é o caso de um carro que percorre uma

rodovia a 80km/h. Em doze horas, quantos quilômetros ele

percorrerá? Você pode resolver o problema através de um

raciocínio mental ou através de uma tabela de proporcionalidade

como segue:

Tempo (horas) Espaço (km)

1 80

12 x

O tempo e o espaço são proporcionais, ou seja, à medida

que o tempo passa o espaço percorrido também aumenta. Assim

sendo temos uma relação de proporcionalidade direta e podemos

montar uma proporção conforme a tabela acima.

kmxxx

96080.12.180

12

1


Observe que o nome regra de três vem dessa tabela. Ou

seja, conhecemos 3 elementos e desejamos encontrar o quarto.

Esse tipo de regra é muito importante nas conversões de

unidades.

Outro exemplo: Para aquecer 2 litros de água em 50oC é

preciso 100 kcal (k é igual a 1000). Logo, para aquecer 6 litros de

água serão necessárias 300 kcal. Isto é feito diretamente porque

as grandezas são proporcionais.

Agora que aprendemos um pouco mais sobre regra de três

fica claro o que fazer quando um catálogo diz que a capacidade

do aparelho é de 24.000Btu/h e desejamos saber quanto esse

valor vale em Watts, que é a unidade do Sistema Internacional.

Das tabelas de conversões sabemos que 12.000Btu/h é igual a

3.517W, isto quer dizer que 24.000Btu/h vale “x”, ou seja, x é

igual a 7014 W. Observe o quadro:

Potência (Btu/h) Potência (W)

12000 3517

24000 x

Mas nem toda regra de três é tão direta assim. Existem

aquelas em que a relação de proporção é inversa. Veja o

interessante caso. Um exemplo: Se 2 pintores gastam 18h para

pintar uma casa. Quanto tempo levarão 4 pintores para realizar o

mesmo serviço?

Número de pintores Tempo (h)

2 18

4 x


Observe agora que se o número de pintores aumenta é

claro que o tempo do serviço cairá. Logo a relação de proporção

é inversa. Se número de pintores dobra o tempo cai pela metade.

hxxx

9.418.2184

2

Como estamos trabalhando com grandezas inversamente

proporcionais temos que inverter a posição do “x”.

Além da regra de três simples existe a regra de três

composta, mas não entraremos em detalhes sobre o seu uso aqui.

Outra aplicação importante da regra de três é no cálculo de

porcentagem. Por exemplo, suponha que você aplique R$600,00

na poupança e ao final do mês a correção foi de R$21,00.

Pergunto-lhe qual foi a taxa de rendimento?

Observe que R$ 600,00 é o valor principal (capital) e

R$21,00 é o rendimento. A taxa de rendimento (i) é dada da

seguinte forma:

Capital (R$) Rendimento (%)

600,00 100

21,00 X

35,0100

5,3%5,3

00,600

%100.00,21x

Observe que escrevemos 3,5% na forma fracionária

(3,5/100) que é o mesmo que dizer 0,35. Cuidado com isso

porque em algumas situações o valor deve ser introduzido na

equação a ser trabalhada de maneira decimal.


4- CÁLCULO DE ÁREAS

Para se escolher o melhor aparelho de ar condicionado

para um dado ambiente o técnico necessita calcular uma série de

áreas como das janelas, paredes e coberturas. Outro exemplo

onde este cálculo é fundamental é na confecção dos dutos. Dessa

forma é possível especificar a quantidade de chapas de aço são

necessárias para a execução da obra.

Não existe um equipamento para medir área, como o

termômetro que serve para medir temperatura ou como a trena

que serve para medir o comprimento. O que se faz é comparar a

nossa superfície de interesse, uma janela, por exemplo, com um

quadrado de 1 metro de lado.

Olhe este exemplo: Quantos vidros de 1m por 1m cabem

em uma área de janela de 3 metros de largura por 1 metro de

altura? A área da janela pode ser calculada multiplicando o seu

comprimento vezes sua largura. Já a área do quadrado obtida

através da multiplicação de seus lados. Cada quadrado tem 1 m2,

logo na janela temos 3 pedaços de 1 m2 de vidro.

1m

1m1m2


Observe ainda que assim como 1 metro quadrado refere-se

a um quadrado de 1metro de lado, 1 km quadrado corresponde a

uma superfície de um quadrado de 1 quilômetro de lado. Da

mesma forma, 1cm2 é correspondente a uma superfície de um

quadrado de 1 cm de lado.

Agora pense bem: Quantos cm2 cabem em um quadrado de

1 m de lado? Lembre-se que em 1 metro cabem 10 cm. Por isso,

cabem 10000 quadradinhos de 1 cm2 no quadrado de 1metro por

1 metro de lado.

Existem algumas figuras que são bastante utilizadas na

prática profissional. Por isso é importante que você saiba calcular

as áreas de quadrados, retângulos, triângulos, círculos, losangos e

de trapézios.

QUADRADO: Conforme já vimos, a área do

quadrado é seu lado multiplicado por ele mesmo. Podemos

utilizar letras para representar os lados destas figuras, no caso do

quadrado chamamos de “a” o lado. Logo a área é dada por “a”

vezes “a” que é igual a “a2”.

RETÂNGULO: Neste caso um lado é maior que o

outro. Sendo a e b medidas destes lados podemos escrever que a

área é “a” vezes “b”.


b

a A= b.a

PARALELOGRAMO: esta figura tem como característica

o fato de seus lados serem paralelos. Dessa forma o quadrado e o

retângulo não deixam de ser paralelogramos com 4 ângulos retos

cada (90 graus entre um lado e outro).

Observe que “h” é a distância entre uma base até a outra

na perpendicular!! Analisando a figura obtida após modificar a

posição do triângulo da esquerda para o lado direito temos que a

área é dada por base “b” vezes altura “h”, isto é:

A= b.h

LOSANGO: é uma figura geométrica de lados iguais e

diagonais perpendiculares. Um losango muito famoso é o da

bandeira do Brasil em amarelo. Considerando que AB é a

diagonal maior “D” e CD é a diagonal menor “d” podemos

escrever a área do losango como:


CÍRCULO: Considerando que R represente o raio do

círculo, sua área pode ser calculada como sendo:

Vale lembrar ainda que em relação ao círculo, uma relação

importante é o perímetro da sua circunferência que é dada por:

DRPerímetro ...2

TRIÂNGULO: Os triângulos são figuras geométricas

muito importantes e o segredo de sua construção já era conhecido

pelos antigos egípcios há 4000 anos.

O seu uso é generalizado na construção do ângulo de 90

graus entre duas paredes, o mesmo princípio utilizado para

construir as bases das perfeitas pirâmides regulares dos antigos

faraós. Sua área é calculada por:


No caso de um triângulo retângulo, quando duas

dimensões do triângulo são conhecidas e uma delas não, usamos

o Teorema de Pitágoras que diz que: a soma do quadrado dos

catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Observe que os arquitetos egípcios já conheciam esta

relação entre os lados de um triângulo retângulo há muito tempo.

222 cba

Ou seja, se conhecemos que a hipotenusa de um triângulo

retângulo mede 5m e que um lado vale 3m e que o triângulo é

retângulo então através do Teorema de Pitágoras temos o outro

lado do:


Observe na figura a seguir que os egípcios utilizavam

cordas com nós para fazer o esquadro das bases das pirâmides.

TRAPÉZIO: um trapézio é um quadrilátero com 2 lados

paralelos (base). Para o cálculo de sua área podemos usar uma

equação pronta ou dividir a figura em paralelogramos e

triângulos, calculando assim a área de cada figura em separado e

depois somando tudo. Veja o exemplo: Nesse caso a área da

figura poderia ser escrita como:

5- CÁLCULO DE VOLUMES

Finalmente vamos comentar um pouco sobre volumes de

alguns elementos geométricos bastante utilizados na vida

profissional de um técnico, tais como cubos, paralelepípedos,

cilindros, esferas e pirâmides.

Volume de um PARALELEPÍPEDO: considere um

aparelho de ar condicionado de janela. Podemos com uma trena

saber que seus lados têm medidas definidas por a, b e c. O seu


volume nesse caso é calculado pela multiplicação direta destes

três lados, ou seja:

Volume de um CILINDRO: o cilindro tem seu volume

definido pela área da base multiplicada pela altura. Lembre-se

que o diâmetro da base é sempre duas vezes o raio.

HRπ=HA=V b ... 2

Volume de uma ESFERA. Uma esfera é uma forma

geométrica apreciada por todos. Seu volume é escrito como:

3..3

4Rπ=V

Volume de um CONE e de uma PIRÂMIDE. Um cone ou

uma pirâmide têm seus volumes calculados através da equação:

onde H é a altura do cone ou da pirâmide.


EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:

1- Um duto de climatização tem 20m de comprimento e diâmetro

de 80cm. Calcule qual é a área de chapas necessária para sua

construção.

2- Um auditório tem 20m de comprimento por 12m de largura

por 5m de altura. Se é preciso renovar o ar a uma taxa de 6

volumes de ar por hora, qual é a taxa de ar de renovação por

hora?

3- Um duto de climatização tem formato oval e 12m de

comprimento. Qual é a área de chapas necessária para sua

construção?

4- Uma caixa d´água de um tanque de termoacumulação tem

12m de altura e 2m de diâmetro. Quantos litros de água cabem

nesse reservatório?

5- Uma tubulação de cobre com diâmetro interno de 3/8” e 20m

de comprimento tem um volume aproximado de quantos metros

cúbicos? A espessura do tubo é de 3mm (1” = 1 polegada =

25,4mm).


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

W. F. Stoecker, J. W. Jones. Refrigeração e Ar Condicionado.

Caio Simões Alexandre. Distribuição de Ar;

Enio Cruz da Costa. Ventilação;

W. P. Jones. Engenharia do Ar Condicionado.

Silva, Introdução à Tecnologia da Refrigeração e da Climatização

Saiba mais sobre Matemática Básica:


EXERCÍCIOS

DE MECÂNICA

DOS FLUIDOS

Faça os exercícios indicados e assista aos vídeos recomendados.

Aponte seu celular para o QR-Code. Anote as equações utilizadas. Bom

estudo !


1- Conversão de Unidades

Equações Básicas

1 m3

= 1000 litros

Volume cilindro = (π.D2/4).H

1 litro = 0,001 m3

1 polegada = 25,4mm

14,7 psi = 101,325 kPa

1m = 100cm

Exemplo 1:

Faça as conversões de unidade indicadas:

a) 200 mm para __________m

b) 400 psi para __________kPa

c) 12 polegadas para _____mm

d) 0,0008 m2 para _____cm2

Problemas indicados:

a) 400 mm para __________m

b) 210 psi para __________kPa

c) 10 polegadas para __________mm

d) 0,05 m2 para _____________cm2


2- Princípio de Stevin

Equações Básicas

p = patm + ρ . g. h

patm = 101.325 Pa

Exemplo 2:

Qual a pressão dentro de um tanque se o

manômetro de coluna indica um

diferencial de 5mm de Hg?

Solução:

Problema indicado:

Qual a pressão dentro de um tanque se o

manômetro de coluna indica um

diferencial de 12mm de Hg?


3- Volumes

Equações Básicas

Volume = Área da Base x Altura do

tanque

1 m3 = 1000 litros

Exemplo 3:

Em um tanque de 400cm de diâmetro e

3m de altura cabem quantos litros de

água?

Problema indicado:

Um tanque de 120cm de diâmetro e 4m

de altura é cheio por uma mangueira que

tem vazão de 8 litros por minutos.

Quanto tempo demora a encher?


4- Vazão mássica e potência

Equações Básicas

Exemplo 4:

Um sistema de climatização com

condensação à água precisa dissipar

precisa dissipar 12kW na torre de

arrefecimento. A água entra na torre de

arrefecimento a 32oC e retorna ao

condensador a 27oC. Qual a vazão

mássica de água bombeada para o

condensador em kg/s?

Problema indicado:

Um sistema de climatização com

condensação à água precisa dissipar

precisa dissipar 10kW na torre de

arrefecimento. A água entra na torre a

30oC e retorna ao condensador a 25

oC.

Qual a vazão de água bombeada para o

condensador em m3/h?


5- Princípio de Stevin

Equações Básicas

p = patm + ρ . g. h

Exemplo 5-

Qual é a pressão no ponto A, que está

localizado na base de um tanque de

água com altura h = 2m e diâmetro =

1m?

Problema indicado:

Qual é a pressão no ponto A, que está

localizado na base de um tanque de

água com altura h = 3m e diâmetro =

2m?


6- Vazão mássica e potência

Equações Básicas

Exemplo 6:

Um fan-coil de 10 TR é utilizado para

resfriar o ar de um ambiente. A água

gelada vindo do chiller entra no fan-coil a

8oC e retorna a 14

oC. Nessa condição,

calcule que é a vazão mássica (kg/s) de

água.

Problema indicado:

Um fan-coil de 5 TR é utilizado para

resfriar o ar de um ambiente. A água

gelada vindo do chiller entra no fan-coil a

7oC e retorna a 12

oC. Nessa condição,

calcule que é a vazão mássica (kg/s) de

água.


7- Volumes e Áreas

Equações Básicas

Atrapézio =H.(B+b)/2

Volume = Atrapézio . PROF

Exemplo 7:

Uma piscina tem 8m de comprimento,

4m de largura e profundidade variável,

começando por 1,2m em uma das

bordas e terminando com 2m de

profundidade na borda oposta. Qual o

volume dessa piscina?

Problema indicado:

Uma piscina tem 6m de comprimento,

4m de largura e 1,5m de profundidade.

Qual o volume dessa piscina em m3 e

em litros?


8- Vazão e equação da continuidade

Equações Básicas:

V1.A1 = V2.A2

Exemplo 8:

Considere a vazão em cada boca de

insuflamento como sendo 900m3/h. A

velocidade dentro da tubulação é de 5m/s.

Dimensione as larguras dos trechos.

Considere as alturas dos dutos como

sendo de 30cm no trecho AB, 20cm no

trecho BE, 20m no trecho CD e 25cm no

trecho BC.

Trecho

Vazão

(m3/s)

Área

(m2)

L

(m)

H

(m)

AB

BE

BC

CD

Problema indicado:

Considere a vazão em cada boca de

insuflamento como sendo 1400m3/h. A

velocidade dentro da tubulação é de 5m/s.

Dimensione a rede de dutos. Considere as

alturas dos dutos como sendo de 40cm no

trecho AB, 35cm no trecho BE, 25m no

trecho CD e 35cm no trecho BC.


9- Princípio de Pascal

Equações Básicas:

F1.A2=F2.A1

Exemplo 9:

Um carro de 2.000kg é suspenso

por um elevador hidráulico. O

diâmetro maior é de 2m. O

diâmetro menor é de 20cm. Qual a

força F1 para equilibrar o carro.

Problema indicado: Um carro de

1.800kg é suspenso por um

elevador hidráulico. O diâmetro

maior é de 4m. O diâmetro menor é

de 30cm. Qual a força F1 para

equilibrar o carro.


10- Equação de Bernoulli Aplicada

Equações Básicas

Exemplo 10-

Calcule qual é a potência aproximada da

bomba hidráulica. Considere o

comprimento equivalente devido às

perdas localizadas como sendo de 20m. A

diferença de altura entre os pontos 1 e 2 é

de 16m. A velocidade da água na

tubulação é de 3m/s. A tubulação têm

diâmetro interno de 32mm.

Problema indicado:

Qual a potência aproximada da bomba

hidráulica. A distância entre os pontos 1 e

2 é de 16m. A velocidade da água é de

5m/s e o diâmetro da tubulação é de

50mm.


ANEXO - DICAS DE ESTUDO

Há pessoas que aprendem melhor ouvindo do que escrevendo.

Nesse caso, gravar o áudio de uma videoaula em mp3 ou gravar no celular o

resumo da matéria para escutar durante o tempo livro pode contribuir para

uma melhor fixação dos conteúdos. Há pessoas que aprendem fazendo

resumos, outras precisam associar os conteúdos com questões concretas do

dia a dia. Há estudos que afirmam que lembramos apenas uma pequena

parte do que somente ouvimos e lemos. Lembramos 70% do que discutimos

com outros e, aproximadamente, 90% do que nós, pessoalmente,

experimentamos e ensinamos para os outros. Então, a dica é colocar em

prática todo conteúdo ensinado pelos professores e estabelecer conexões

concretas com o dia-a-dia. Por isso é tão importante aproveitar bem as aulas

de laboratório para entender na prática os fenômenos físicos explicados em

aula.

No ensino tradicional, ASSISTIR AULAS muitas vezes é uma

atividade passiva e coletiva. Os alunos podem estar pensando em qualquer

coisa durante as aulas. O processo de ESTUDAR é uma atividade ativa e

solitária. Temos que refletir sobre o assunto, fazer relações, analisar as

aplicações na nossa vida.

Mas isso não significa que não possamos aprender em grupo. O ideal

é mesclar o estudo individual com o estudo em grupo, o que permite uma


rica troca de conhecimentos. Explicar o que entendemos sobre um assunto

para o colega faz com que a retenção do conteúdo seja aumentada. Dizem

que quem ensina o que sabe aprende duas vezes.

Por muito tempo era necessário que o aluno e o professor estivessem

no mesmo espaço para que o processo de ensino-aprendizagem acontecesse.

Na atualidade, com a internet o estudante pode aprender também por

iniciativa própria, avaliando catálogos de equipamentos, assistindo a

videoaula e lendo livros e apostilas disponíveis na rede.

Há excelente material no Portal do Professor (MEC), na Khan

Academy e no YOUTUBE. Os estudantes podem obter grande quantidade

de informações de forma rápida. Mas é preciso saber filtrar as informações

úteis do lixo eletrônico disponível. Há muitas aulas disponíveis na internet

para que o aluno aprenda no seu próprio ritmo ao longo de toda a vida. Há

muitos blogs, grupos de Whattapps e fóruns de profissionais que estão

estudando o mesmo conteúdo e isso permite o compartilhamento de

experiências.

Há muitos especialistas que afirmam que ALUNO (origem da

palavra: a = sem, luno = luz) é um ser passivo no processo de ensino-

aprendizagem. Um aluno pode estar presente, mas não estar concentrado

nos assuntos tratados na aula. Já um ESTUDANTE é um ser ativo que

assume a responsabilidade pelo seu aprendizado. Um ESTUDANTE pode

estudar em casa e ainda ter uma postura proativa em sala de aula,

acompanhando o que está sendo explicado e participando das discussões.

Aproveite para tirar as dúvidas nos horários de atendimento paralelo

de seus professores. Anote os horários para procurá-los sempre que for

necessário.

Estamos torcendo pelo seu sucesso. Uma grande caminhada começa

com pequenos passos ! Bom estudo !


ANEXO – LISTA DE EXERCÍCIOS

1- Faça a conversão das pressões em psi para kPa: 28psi, 60psi, 350psi,

500psi.

2- Converta para notação exponencial: 100000, 543000000, 0,000000655,

120, 22500000.

3- Faça a operação inversa à questão 3: 4,5x106 , 2,5x102, 3,2x105,

8,31x104

4- Quais as unidades mais utilizadas na área de Mecânica dos Fluidos?

5- O que é energia? Qual sua diferença em relação à potência?

6- Quantos reais são gastos para manter funcionando uma bomba de 4CV

durante 2 horas por dia durante 30 dias no mês? Considere 1kW.h = R$

0,70.

7- O que é pressão absoluta e pressão manométrica?

8- O que é pressão estática e pressão dinâmica?

9 Qual a pressão provocada por um armário de área de base 1 metro por 40

cm cuja massa interna é de 200 kg?

10- Qual a pressão que atua em mergulhador que está a 20 m de

profundidade?

11- Em um duto foi instalado um manômetro de coluna com mercúrio em

seu interior. Considerando o desnível do mercúrio como sendo 3cm, calcule

qual a pressão estática atuando na parede interna do duto.

12- Considerando um elevador hidráulico, estime o peso máximo possível

que pode ser sustentado pelo peso de uma criança de 30kg se a relação de

entre as áreas dos êmbolos é de 1 para 8.

13- Estime qual o volume total de um iceberg, cujo volume visível é de

200m3. Qual a massa estimada do iceberg?


14- Como você faria para estimar a densidade de um vaso impermeável de

formato irregular?

15. Qual a pressão da água na profundidade de 35m? Considere que a

superfície da água está no nível do mar e que a densidade da água é

1000kg/m3.

16. Um bloco de madeira flutua na água com 0,646 do seu volume

submerso. No óleo 0,918 do seu volume fica submerso. Determine: a)

densidade da madeira e b) a densidade do óleo.

17- Uma bomba d’água tem potência de 6CV. Considerando que a mesma é

utilizada durante 6h por dia, calcule o consumo mensal de operação.

Considere 30 dias no mês e o custo de 1kWh de R$ 0,70. (1CV ~ 735W)

18- Uma caixa d’água de 5mil litros precisa ser cheia em um tempo de 3h.

A tubulação tem diâmetro interno de 25 mm. Qual a vazão e a velocidade do

escoamento?

19- Calcule as larguras da rede de dutos formada por três trechos em série,

considerando vazão no trecho AB de 4800m3/h, no trecho BC de 3600m

3/h e

no trecho BD de 1800m3/h. A velocidade do ar é fixa em 5m/s. A altura dos

dutos é fixa em 40 cm.

20- Calcule as larguras da rede de dutos formada por três trechos em série,

considerando vazão no trecho AB de 3000m3/h, no trecho BC de 2000m

3/h e

no trecho BD de 1000m3/h. A velocidade do ar é fixa em 4m/s. A altura dos

dutos é fixa em 30 cm.


ANEXO: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1- Conversão de unidades

2- Princípio de Stevin – Pressão no interior de um tanque

3- Volume de um reservatório em litros


4- Pressão na base de um reservatório

5- Fluxo de massa de água em uma torre de arrefecimento

6- Fluxo de massa de água em um fan-coil


7- Volume de água em uma piscina

8- Princípio de Pascal – Elevadores hidráulicos

9- Potência de uma bomba hidráulica

caderno de exercÍcios de mecÂnica dos fluidos · 2 prof. jesué graciliano da silva –...

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