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  • MATEMÁTICA A 10.º ANO

    Caderno de exercícios

    ANTÓNIO PAMPULIM CRISTINA VIEGAS SÉRGIO VALENTE

    INCLUI:

    • Sínteses com exemplos • Mais de 500 exercícios propostos • Respostas • Testes 5+5 (OFERTA ONLINE)

  • Te m

    a

    Te m

    a

    Te m

    a

    Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

    Geometria Analítica

    Álgebra

    Índice

    1

    3

    2

    1. Proposições 4 Proposições 4 Valor lógico de uma proposição 5 Equivalência 5 Negação 6 Conjunção e disjunção 7 Propriedades da negação, da conjunção e da disjunção 9 Implicação 10 Propriedades da implicação e da equivalência 11

    2. Condições e conjuntos 13 Condições 13 Solução de uma condição 14 Operações lógicas sobre condições 15 Quantificador existencial. Condições possíveis e condições impossíveis 17 Quantificador universal. Condições universais 18 Segundas leis de De Morgan 20 Conceito de contraexemplo 21 Definição de um conjunto em extensão 21 Definição de um conjunto em compreensão 21 Igualdade de conjuntos. Relação de inclusão. Interseção, união e diferença de conjuntos 22 Operações sobre condições e sua tradução em termos de conjuntos 24 1. Geometria analítica no plano 46

    Referencial ortonormado 46 Distância entre dois pontos 47 Ponto médio de um segmento de reta 48 Reta 49 Mediatriz de um segmento de reta 51 Circunferência 52 Círculo 53 Elipse 54 Semiplanos 57

    2. Cálculo vetorial no plano 59 Vetores 59 Adição de vetores 60 Produto de um vetor por um número real (escalar) 61 Coordenadas de um vetor 63 Soma de um ponto com um vetor 64 Diferença entre dois pontos 65 Vetor diretor de uma reta. Relação com o declive da reta 66 Equação vetorial de uma reta. Sistema de equações paramétricas de uma reta 67

    1. Radicais e potências de expoente racional 28 Monotonia da potenciação 28

    Definição de � n

    a (raiz índice n de a ), com n � N e n ≥ 2 29 Propriedades dos radicais 29 Racionalização de denominadores 32 Potências de expoente racional 33 Resolução de problemas 34

    2. Polinómios 35 Noção de polinómio 35 Operações com polinómios 36 Casos notáveis 37 Divisão inteira de polinómios 37 Regra de Ruffini 40 Teorema do resto 41 Raiz ou zero de um polinómio 41 Raiz de multiplicidade n de um polinómio 42 Fatorização de polinómios 43 Exercícios globais 44

  • 3. Geometria analítica no espaço 69 Referencial ortonormado no espaço 69 Planos paralelos aos planos coordenados 71 Retas paralelas aos eixos coordenados 72 Distância entre dois pontos 73 Plano mediador de um segmento de reta 74 Superfície esférica 75 Esfera 76

    4. Cálculo vetorial no espaço 79 Vetores do espaço 79 Coordenadas de um vetor 79

    Soma de um ponto com um vetor 80 Diferença entre dois pontos e soma de um ponto com um vetor 81 Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta 82 Equação vetorial de uma reta. Sistema de equações

    paramétricas de uma reta 82

    3. Monotonia, extremos e concavidade 103 Imagem de zero e zeros de uma função 103 Sinal de uma função 104 Funções limitadas 105 Monotonia 106 Extremos 107 Concavidades 109

    4. Estudo elementar de algumas funções e operações sobre funções 110 Funções polinomiais Função quadrática Inequações do segundo grau Função cúbica Inequações do terceiro grau Funções definidas por ramos Função módulo Função composta de duas funções das quais uma é a função módulo Equações e inequações envolvendo a função módulo Resolução de equações e inequações irracionais envolvendo radicais quadráticos Função raiz cúbica Operações com funções

    Te m

    a

    Te m

    a

    Funções Reais de Variável Real

    Estatística

    4 5 1. Generalidades acerca de funções 86 Conceito de função 86 Restrição de uma função 87 Imagem de um conjunto por uma função 88 Função injetiva 89 Função sobrejetiva 89 Função bijetiva 90 Composição de funções 91 Função identidade 92 Função inversa de uma função bijetiva 92

    2. Generalidades acerca de funções reais de variável real 93 Função real de variável real 93 Gráfico cartesiano de uma função real de variável real 94 Teste da reta vertical 95 Teste da reta horizontal 96 Funções pares 96 Funções ímpares 98 Relação entre o gráfico de uma função f bijetiva e o gráfico da função f –1 100 Transformações de gráficos 101

    1. Características amostrais O símbolo de somatório Variável estatística quantitativa Amostra de uma variável estatística Dados agrupados Média Desvios em relação à média Soma dos quadrados dos desvios em relação à média Variância e desvio padrão Teorema de Chebycheff Amostra ordenada Percentil de ordem k Percentis de ordem 25, 50 e 75 Percentil de ordem k de um conjunto de dados quantitativos organizados em classes

    Respostas

  • Te m

    a Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos1

  • Proposições Proposição é uma expressão suscetível de ser verdadeira ou de ser falsa.

    Exemplos:

    São proposições:

    2 + 3 = 5

    «O mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6 é 24.»

    «Lisboa é a capital de Portugal.»

    proposições expressões que designam entes, como, por exemplo:

    2 + 3

    «O mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6.»

    «A capital de Portugal.»

    Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente verda- deira e falsa.

    Por isso, afirmações verdadeiras para uns e falsas para outros não são proposições.

    Exemplos:

    «Coimbra é uma linda cidade.»

    «A Julia Roberts é mais bonita que a Jodie Foster.»

    1. Das seguintes expressões, indica as que são proposições. «A cenoura é mais saborosa que o tomate.»

    «O rio Douro nasce na serra da Estrela.»

    «Maradona foi o melhor jogador de futebol de sempre.»

    «O maior número inteiro menor do que .»

    «O máximo divisor comum dos números 10 e 24.»

    «O menor número primo é par.»

    Julia Roberts Jodie Foster

    4

    1. Proposições

  • Valor lógico de uma proposição Se uma proposição é verdadeira, dizemos que tem valor lógico «verdade» (V).

    Se uma proposição é falsa, dizemos que tem valor lógico «falso» (F).

    2. Indica o valor lógico de cada uma das seguintes proposições.

    a) –3 – 5 = 8 b) 1 2

    + 1 3

    = 2 5

    c) 2 3 7

    = 14 3

    d) 23 + 25 = 28 e) 3 – ��2 – 2� = 1 – �2 f) 2–4 = –8 g) «4 é o máximo divisor comum dos números 12 e 16.»

    h) «40 é o mínimo múltiplo comum dos números 4 e 10.»

    i) «A soma dos números primos que pertencem ao intervalo [1, 9] é um número primo.»

    j) «A área de um triângulo equilátero que tem perímetro 6 é �3 .»

    Equivalência Dadas duas proposições, p e q , podemos construir a proposição p q , que se lê « p é equivalente a q », a qual é verdadeira se as proposições p e q tiverem o mesmo valor lógico e é falsa se as proposições p e q não tiverem o mesmo valor lógico.

    Exemplos:

    a proposição 50 = 1 > 2 é verdadeira ( 50 = 1 e > 2 são proposições verdadeiras);

    a proposição 32 = 6 –5 > 0 é verdadeira ( 32 = 6 e –5 > 0 são proposições falsas);

    a proposição 4 < –5 2 + 1 = 3 é falsa ( 4 < –5 é falsa e 2 + 1 = 3 é verdadeira).

    Tabela de verdade:

    p q p q

    V V V

    V F F

    F V F

    F F V

    3. Considera as seguintes proposições: p : «O número �49 é racional.» q : 2 + 3 × 4 = 20 r : –3 < –5 s : «Os números 2 e 3 são divisores de 3456.»

    Indica o valor lógico das seguintes proposições.

    a) p q b) q r c) p s

    4. Sejam p e q duas proposições tais que p é falsa e q é verdadeira. Indica, justificando, o valor lógico da proposição (p q) p .

    5

  • Negação Dada uma proposição p , podemos construir a proposição �p , que se lê «não p », a qual é verdadeira se a proposição p for falsa e é falsa se a proposição p for verdadeira.

    Exemplo:

    A negação da proposição «Barcelona é uma cidade francesa.» é «Barcelona não é uma cidade francesa.»

    Tabela de verdade:

    p �p

    V F

    F V

    Tem-se a seguinte propriedade (dupla negação): [�(�p)] p

    5. Seja p a proposição: «D. Dinis foi o primeiro rei de Portugal.» Escreve, em linguagem corrente, a proposição �p .

    6. Seja p a proposição: «O telemóvel da Inês é da mesma marca do telemóvel da Catarina.» A proposição �p pod

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