caderno de estruturas

So Carlos, v.10 n. 47 2008

UNIVERSIDADE DE SO PAULO

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So Carlos, v.10 n. 47 2008

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SSUUMMRRIIOO Aplicao de recursos computacionais em projetos de edifcios em alvenaria Julio Antonio Razente & Marcio Antonio Ramalho 1 Mtodo dos elementos finitos e tcnicas de enriquecimento da aproximao aplicados anlise de tubos cilndricos e cascas esfricas Gustavo Cabrelli Nirschl & Sergio Persival Baroncini Proena 17 Ladrilhos e revestimentos hidrulicos de alto desempenho Thiago Catoia & Jefferson Benedicto Libardi Liborio 53 Plsticos reciclados para elementos estruturais Ricardo Alves Parente & Libnio Miranda Pinheiro 75 Anlise numrica de sees transversais e de elementos estruturais de ao e mistos de ao e concreto em situao de incndio Ronaldo Rigobello & Jorge Munaiar Neto 97 Sobre a formulao de um modelo de dano para o concreto Jos Julio de Cerqueira Pituba & Sergio Persival Baroncini Proena 117

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, So Carlos, v. 10, n. 47, p. 1-15, 2008

APLICAO DE RECURSOS COMPUTACIONAIS EM PROJETOS DE EDIFCIOS EM ALVENARIA

Julio Antonio Razente1 & Marcio Antonio Ramalho2

R e s u m o

A finalidade deste trabalho apresentar o desenvolvimento, atravs da utilizao da linguagem de programao AutoLISP, de programa computacional relacionado etapa de projeto de edifcios em alvenaria. O programa, intitulado ALVPLUS, auxilia nas atividades de modulao das alvenarias, gerao automtica de elevaes e insero de detalhes relacionados alvenaria estrutural como disposies construtivas, armaduras, quantitativos de materiais e legendas, dispostos em arquivos eletrnicos do seu banco de dados. A utilizao deste programa propicia o aumento da produtividade e da padronizao dos projetos de alvenarias, assim como o aumento da qualidade e entendimento desses projetos. Palavras-chave: projetos de edifcio;, alvenaria estrutural; AutoLISP.

1 INTRODUO

Por muitos anos a alvenaria estrutural foi pouco utilizada devido a muitos fatores tais como: preconceito, maior domnio da tecnologia do concreto armado por parte de construtores e projetistas e pouca divulgao do assunto nas universidades durante o processo de formao do profissional. Muitos projetistas so leigos no que diz respeito a este sistema construtivo e acabam, assim, optando pelo concreto armado.

Nos ltimos anos essa situao tem se alterado de forma significativa. O interesse por esse sistema estrutural cresceu de forma notvel, especialmente pelas condies nitidamente favorveis que se obtm em termos de economia. E, no momento, o processo construtivo atende com sucesso ao desafio de se construir no prazo fixado, com qualidade e custo relativamente baixo, edificaes residenciais, comerciais e industriais. O aperfeioamento dos mtodos de clculo e a melhoria dos componentes, ao longo dos anos, tornaram possvel desenvolver edifcios de diversos padres e estruturas cada vez mais altas.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Julio Antonio Razente & Marcio Antonio Ramalho


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Alm disso, tcnicas relacionadas elaborao de projetos foram aperfeioadas atravs da utilizao de computadores e ferramentas especficas para a engenharia. A implementao da informtica nas etapas de projeto permitiu que estes fossem elaborados enfocando os princpios da racionalizao construtiva, destacando-se: a compatibilizao entre projetos, coordenao modular, melhor apresentao de detalhes construtivos e eventualmente de algumas tcnicas de execuo. Os recursos de informtica permitem ainda que os profissionais envolvidos com projeto sejam mais competitivos, diminuindo o tempo gasto para a elaborao dos trabalhos e possibilitando a garantia de prazos relacionados s etapas da obra.

Neste trabalho, rotinas foram desenvolvidas, atravs da linguagem AutoLISP, para o programa AutoCAD. Tais rotinas compem um ambiente que auxilia o usurio nas atividades relacionadas com a representao grfica de um projeto de alvenaria estrutural, permitindo que tarefas repetitivas e demoradas sejam eliminadas durante o desenvolvimento dos projetos de edifcios em alvenaria. O conjunto dessas rotinas permitiu-se criar o programa denominado ALVPLUS, com diversos comandos relacionados tcnica da coordenao modular.

2 APRESENTAO DO PROGRAMA ALVPLUS

2.1 Consideraes iniciais

O conjunto de rotinas desenvolvidas possibilita a realizao de atividades relacionadas modulao e ao detalhamento do projeto executivo das alvenarias, atravs de uma barra de ferramenta e de um menu que auxiliam o usurio, possibilitando maior rapidez nestes projetos.

Uma caracterstica do ALVPLUS que a ferramenta praticamente no altera o ambiente do AutoCAD definido inicialmente pelo usurio. Esta medida permite que o usurio adapte-se somente aos comandos do ALVPLUS, sendo que os demais recursos e comandos do AutoCAD permanecem inalterados.

Todas as informaes que so definidas e alteradas pelo usurio so armazenadas em arquivos que depois o ALVPLUS utiliza para auxiliar na modulao em planta das alvenarias e gerao das elevaes. O banco de dados das rotinas tambm apresenta biblioteca predefinida de blocos encontrados no mercado e mais utilizados atualmente.

Alm disso, existe uma biblioteca contendo alguns detalhes construtivos, tipos de folhas, notas e especificaes. As informaes especificadas no detalhamento do projeto estrutural devem estar de acordo com os critrios adotados durante a concepo do projeto estrutural.

A unidade utilizada na entrada de dados e nos desenhos deve ser o centmetro, exceto onde indicado.

Aplicao de recursos computacionais em projetos de edifcios em alvenaria


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2.2 Tela inicial do ALVPLUS

A Figura 1 indica a barra de ferramentas e o menu do ALVPLUS, onde as rotinas so acionadas quando selecionado um dos cones desta barra ou atravs da escolha de um dos comandos apresentados no menu.

Atravs dos botes, as barras de ferramentas so um modo rpido de se acionar comandos, sem ter que utilizar os menus suspensos.

Figura 1 - Barra de ferramentas e menu do programa desenvolvido.

2.3 Definio dos parmetros de projeto

2.3.1 Definio dos parmetros do projeto de alvenaria

Inicialmente, o ALVPLUS necessita de alguns dados, fornecidos atravs de caixas de dilogo, nas quais o usurio define os parmetros iniciais do edifcio. Nesta mesma caixa de dilogo, possvel definir, atravs do acionamento de botes, os demais parmetros relacionados s portas, janelas, armaduras convencionais, armaduras utilizadas nas juntas a prumo e cintas. O usurio ainda pode definir a famlia de blocos corrente.



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Durante os estudos relacionados etapa de modulao, podem ser inseridos diversos blocos de distintas famlias de blocos, havendo apenas a necessidade de alterar a famlia de bloco utilizada.

Nesta fase, importante que o usurio entre com todas as informaes solicitadas pelas caixas de dilogo, para que o banco de dados seja criado.

2.3.2 Definio das aberturas

A definio de portas e de janelas deve ser realizada com o preenchimento das informaes de todos os itens que constam nas tabelas relacionadas a este comando, informando as principais dimenses das aberturas.

2.3.3 Definio de armaduras e cintas

Nesta etapa de trabalho, pode-se definir as armaduras convencionais e as armaduras utilizadas nas juntas a prumo atravs do acionamento de comandos que ativaro caixas de dilogo referentes a essas armaduras. Os critrios adotados durante a anlise estrutural devero ser inseridos nas caixas de dilogo, com o intuito de permitir que o programa obtenha todas as informaes necessrias para a gerao automtica das elevaes.

Com relao s armaduras convencionais, a entrada de dados feita em dois quadros da caixa de dilogo, onde o primeiro quadro refere s armaduras horizontais e o segundo quadro refere-se s armaduras verticais. Foi criado um auxlio ao usurio que permite a identificao de cada parmetro da entrada de dados das armaduras.

A caixa de dilogo de armaduras utilizadas nas juntas a prumo requer do usurio o preenchimento das informaes referentes ao tipo de armadura, a qual ser utilizada nas paredes que se encontram e que no apresentam amarrao entre seus blocos. As possveis solues dessas armaduras so do tipo grampo, tela ou ferro corrido. necessrio que o usurio preencha todas as informaes solicitadas na coluna do tipo de armadura a ser utilizada. As informaes referentes aos demais tipos de armaduras das juntas a prumo sero descartadas

A posio das cintas devem ser definidas utilizando a caixa de dilogo especfica. No necessrio o preenchimento de todos os espaos, j que sero ignoradas informaes nulas ou inexistentes.

2.4 Definio de critrios atuais

2.4.1 Definio de layers

O termo layer significa nvel ou camada. Pode-se comparar um layer a uma folha de papel vegetal, onde vrias folhas sobrepostas podem ser manipuladas, visualizando-as todas de uma s vez. Ao comear um desenho, conveniente pensar na organizao dos elementos em layers, facilitando a produo dos desenhos do projeto a ser desenvolvido.



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Os nomes dos layers definidos pelo programa podem ser alterados desde que seja utilizada a rotina desenvolvida neste trabalho, permitindo que as demais configuraes dos layers como cor, tipo de linha, e demais propriedades dos layers sejam alteradas conforme a necessidade do usurio. Recomenda-se que os layers sejam alterados no incio do desenho, antes da insero de blocos e aberturas.

2.4.2 Definio de blocos atuais

Antes do lanamento da modulao, necessrio que seja definido o bloco atual a ser inserido. Ser apresentada uma listagem dos blocos da "Famlia de Blocos" corrente, onde o usurio pode observar uma exibio da vista em planta do bloco a ser escolhido. Para a insero de bloco em elevao, pode-se escolher uma vista, mesmo em planta, e, atravs dos comandos relacionados distribuio da modulao, o usurio optar pela vista a ser inserida.

2.4.3 Definio de aberturas atuais

O usurio deve tambm escolher quais as aberturas atuais a serem utilizadas para insero de portas e janelas. A escolha da abertura pode ser feita atravs da escolha da janela ou da porta atual, ou mesmo ambos os itens.

2.5 Modulaes em planta

As etapas de projeto de edifcios em alvenaria que despendem maior tempo dos profissionais envolvidos so o lanamento e o detalhamento das alvenarias. Todos os comandos relacionados s modulaes em planta foram criados com o intuito de aumentar a produtividade da distribuio dos blocos, utilizando os conceitos de coordenao modular, e possibilitar a gerao automtica das elevaes das paredes.

2.5.1 Insero de 1 bloco

A rotina de insero de um bloco, bloco atual, foi desenvolvida com o auxlio de uma caixa de dilogo que permite ao usurio escolher o ponto de insero do bloco atual (Figura 2).

Esse ponto de insero deve ser um ponto qualquer do desenho, podendo aproveitar elementos da arquitetura. Deve-se escolher um canto ou o centro do bloco como ponto de insero do bloco. Por exemplo, ao escolher o PT1, um bloco atual ser inserido posicionando o canto inferior esquerdo do bloco no ponto selecionado pelo usurio. Tambm possvel informar o ngulo principal de insero do bloco atravs do acionamento dos botes do tipo rdio ("radio_button"), permitindo a insero de blocos para os ngulos principais iguais a 0 ou 90, ou ainda, adicionando qualquer ngulo ao ngulo principal. possvel que o bloco inserido seja afastado de uma distncia definida por valores denominados "offsets". Caso os



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valores desses "offsets" sejam nulos, o canto ou centro do bloco escolhido ser inserido exatamente no ponto selecionado.

A opo de escolha da vista do bloco permite que sejam inseridos no apenas a vista em planta do bloco atual, mas tambm permitido que sejam inseridas as demais vistas longitudinais e transversais do bloco. Por ltimo, no quadro inferior direito da caixa de dilogo, pode-se definir o layer do bloco a ser inserido como 1 ou 2 fiada atravs dos botes de rdio.

Figura 2 - Caixa de dilogo do comando Insero de 1 bloco.

2.5.2 Insero de 1 bloco com referncia

A rotina de insero de um bloco com referncia foi desenvolvida para facilitar a insero de um bloco atual com alinhamento automtico em relao a um bloco existente, levando em considerao as juntas. Primeiramente, necessrio que o usurio, depois de definido o bloco atual, escolha um bloco j inserido em desenho e, em seguida, um ponto auxiliar, o qual definir o sentido do bloco a ser inserido, na mesma direo do primeiro bloco. Todas as rotinas relacionadas a modulaes foram criadas com um filtro de seleo para escolha de elementos do tipo bloco.



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O bloco ser inserido no mesmo layer do bloco existente, portanto, para realizar a modulao da 2 fiada, por exemplo, recomenda-se que o usurio congele o layer da 1 fiada, evitando escolha incorreta do ponto desejado.

Esta rotina tambm foi desenvolvida para auxiliar no detalhamento das elevaes. Caso seja selecionado um bloco em elevao, o comando solicitar ao usurio a escolha entre elevao longitudinal e transversal, inserindo a elevao do bloco atual com alinhamento automtico em relao elevao de um bloco existente.

Todas as rotinas relacionadas insero de blocos com referncia foram desenvolvidas para funcionar com alvenarias inseridas em qualquer ngulo, aumentando a produtividade durante o lanamento das modulaes.

2.5.3 Insero de N blocos

A rotina de insero de N blocos solicita ao usurio qual o bloco de referncia a ser considerado pelo programa. A prxima instruo pede para ser fornecida a quantidade de blocos a serem inseridos na mesma direo do primeiro bloco e em seguida tambm necessrio fornecer um ponto auxiliar, o qual definir o sentido dos N blocos a serem inseridos.

2.5.4 Insero de 1 bloco rotacionado

Foram desenvolvidas trs rotinas relacionadas insero de um bloco rotacionado em relao a um bloco existente. A primeira rotina refere-se insero de um bloco ortogonal e alinhado a uma das faces do bloco existente. Este comando solicita ao usurio a escolha de um bloco j existente e ponto auxiliar, o qual definir a posio do bloco a ser inserido. A Figura 3 indica algumas possibilidades de insero de um bloco rotacionado e alinhado a uma das faces do bloco existente.



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Direcao do bloco a ser inserido ortogonalmente: B1 no PT2

Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado"Ponto sobre o bloco de referencia: B1 no PT1

2

1

3

Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado"

Direcao do bloco a ser inserido ortogonalmente: B1 no PT3Ponto sobre o bloco de referencia: B1 no PT1

4

5

6

Direcao do bloco a ser inserido ortogonalmente: B1 no PT3Ponto sobre o bloco de referencia: B1 no PT5Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado"

Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado"


Figura 3 - Insere 1 bloco rotacionado e alinhado em relao a uma das faces do bloco existente.

A segunda rotina refere-se insero de um bloco cujo eixo seja perpendicular ao eixo longitudinal do bloco existente. O bloco ser inserido na menor face do bloco existente. A Figura 4 indica algumas possibilidades de insero do bloco ortogonal em relao ao primeiro bloco.



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Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado2"Ponto sobre o bloco de referencia: B1 no PT3Direcao do bloco a ser inserido ortogonalmente: B1 no PT4

Comando: "Alvplus" - "Inserir 1 bloco rotacionado2"


3 4

2

1

Figura 4 - Insere 1 bloco rotacionado na menor face do bloco existente.

A terceira rotina refere-se insero de um bloco cujo eixo seja perpendicular ao eixo longitudinal do bloco existente. O bloco ser inserido na maior face do bloco existente. A Figura 5 indica algumas possibilidades de insero do bloco ortogonal em relao ao primeiro bloco.




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Ponto sobre o bloco de referencia: B1 no PT1Direcao do bloco a ser inserido ortogonalmente: B1 no PT2

4

1

2

Figura 5 - Insere 1 bloco rotacionado na maior face do bloco existente.



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2.5.5 Rotaciona bloco 180

Atravs da seleo de um bloco existente, essa rotina acrescenta 180 ao ngulo de insero do bloco escolhido e foi desenvolvida com o intuito de facilitar na rotao de blocos especiais inseridos em posio errada.

2.5.6 Substitui bloco

Este comando foi desenvolvido para substituir um bloco j inserido por um bloco definido como atual. Assim, possvel que o usurio, aps definir a modulao sem se preocupar com os blocos a serem grauteados, substitua um bloco comum por um bloco grauteado, de acordo com as necessidades estruturais ou construtivas.

2.5.7 Conta bloco em planta

Ao selecionar a opo Extrai Tabela de Blocos em Planta do menu ALVPLUS, pode-se fazer a contagem e extrao da tabela de blocos em planta, atravs da seleo de blocos da primeira fiada. Este comando pede que seja selecionada uma janela, dentro da qual sero contadas todas as entidades do tipo "insert". Por ltimo, solicita-se um ponto onde ser inserida a tabela de blocos em planta.

2.6 Insero de aberturas em planta

2.6.1 Inserir janela atual

Esta rotina possibilita maior agilidade na insero de janelas em planta. A caixa de dilogo e o seu funcionamento so muito semelhantes rotina "Insero de 1 bloco atual", o que facilita ao usurio o aprendizado e utilizao do comando.

A insero das janelas em planta feita atravs de um elemento do tipo poliline, na cota Z igual a 800,0 acrescida do nmero da janela, ou seja, como so permitidos 8 tipos de janelas, a janela J01 ser inserida na cota Z=801,0, a janela J02 na cota Z=802,0 e assim por diante.

2.6.2 Inserir porta atual

Esta rotina possibilita maior agilidade na insero de portas em planta. A caixa de dilogo e o seu funcionamento so praticamente idnticos rotina de insero de janelas em planta. Apenas a cota Z adotada ser igual a 700,0 acrescida do nmero da porta.



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2.7 Gerao automtica de elevao de paredes

2.7.1 Elevao atravs da 1 e 2 fiadas

Primeiramente, o comando solicita ao usurio, a definio de uma janela contendo todos os elementos da elevao. Em seguida, devem ser definidos: a vista da elevao, ttulo da parede, nmero de repeties e ponto de insero da elevao.

Conforme a escolha do ponto da vista da elevao, a rotina desenha o identificador da parede contendo o ttulo da mesma e posicionando o identificador no centro da vista da parede. O ttulo da parede deve ser definido com no mximo sete letras, no podendo haver espaos em branco entre os caracteres do ttulo da parede.

Durante a insero automtica das armaduras dos elementos estruturais, existe a verificao de que, caso a fiada da contraverga seja a mesma fiada que a da cinta, a armadura da contraverga no detalhada. Outro critrio adotado nas elevaes foi que, nas paredes onde houvesse portas, no so detalhadas cintas intermedirias. Caso haja a necessidade de cinta nas paredes com portas, o usurio ter que fazer o detalhamento manualmente. O nmero de repeties da parede servir como multiplicador das armaduras.

2.7.2 Conta bloco em elevao

Ao selecionar a opo Extrai Tabela de Blocos em Elevao do menu ALVPLUS, pode-se fazer a contagem e extrao da tabela de blocos em planta, atravs da seleo de blocos da primeira fiada. Este comando pede que seja selecionada uma janela, dentro da qual sero contadas todas as entidades do tipo "insert". Por ltimo, solicita-se um ponto onde ser inserida a tabela de blocos em elevao.

2.8 Detalhamento das armaduras

2.8.1 Armaduras

Os textos de armaduras inseridos nas elevaes apresentam formato padronizado, de forma que a armadura seja includa na tabela de armaduras. Cada elevao criada determina um conjunto de armao. Cada armadura a ser inserida armazenada numa posio, no devendo se repetir. A quantidade e o dimetro da armadura (bitola) so obtidos a partir da definio feita pelo usurio atravs da opo Definio das Armaduras Convencionais nos Parmetros de Alvenaria. O comprimento de cada armadura calculado automaticamente. Caso haja a necessidade de repetio de uma mesma posio, possvel acrescentar um multiplicador da posio seguindo o mesmo critrio do comando TA Texto de Armadura. Se o comprimento da armadura for superior a 12,00 metros, a armadura apresentada na elevao ser do tipo corrida, havendo a necessidade do usurio inserir o comprimento da emenda da armadura.



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2.8.2 Verificao das posies

O comando VP utilizado para verificar a existncia de posies vazias em um conjunto de armao. Se for encontrada uma posio em branco, as armaduras so rearranjadas de maneira a existir sempre o menor nmero possvel de posies.

2.8.3 Quantitativos de armaduras

Atravs desse comando, possvel extrair automaticamente a Tabela e o Resumo das Armaduras.

2.9 Outras aplicaes do programa

2.9.1 Insero de detalhes construtivos

Esta rotina permite agilizar a insero de detalhes construtivos no projeto estrutural. O comando exibe caixa de dilogo padro do AutoCAD, selecionando todos os arquivos de desenho com extenso DWG contidos no banco de dados do programa. Estes desenhos podem ser alterados e outros arquivos podem ser adicionados a esta pasta com o objetivo de aumentar a produtividade e melhorar a apresentao dos projetos de edifcios em alvenaria.

2.9.2 Criao de novos blocos na biblioteca de blocos

Foram criados para as famlias dos blocos 30x15, 40x15 e 40x20 os blocos usuais empregados no mercado. Alm dessas famlias, h a possibilidade de serem acrescentadas 3 novas famlias de blocos, denominadas Famlia 4, 5 e 6. Para cada famlia, no existe nenhuma limitao da quantidade de blocos que podem ser utilizados pelo usurio, permitindo-se a insero de novos blocos mesmo para as famlias 30x15, 40x15 e 40x20.

3 CONCLUSES

Este trabalho atendeu ao objetivo proposto de desenvolvimento de um programa que auxiliasse nos projetos de edifcios em alvenaria, visando a reduo do tempo dos projetos estruturais atravs da eliminao de tarefas repetitivas e, ao mesmo tempo, diminuindo a possibilidade de erros do projeto executivo das alvenarias. O programa ALVPLUS pode ser empregado nos projetos de edifcios em alvenaria estrutural, como tambm em qualquer outro sistema construtivo para o qual, atravs dos conceitos da coordenao modular, se deseja atingir um nvel satisfatrio de racionalizao construtiva.

Desde o incio deste trabalho, a principal inteno foi realizar a distribuio das modulaes em planta, desde que permitisse a gerao automtica das elevaes. Para isso, preocupou-se em trabalhar com desenhos em planta, evitando o



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detalhamento tridimensional das estruturas, j que a maioria dos profissionais no possui o conhecimento necessrio para utilizar esse recurso.

Com o intuito de atender s principais necessidades dos usurios em relao insero dos blocos, a primeira etapa do trabalho foi a criao das rotinas relacionadas distribuio das modulaes em planta.

A interface grfica do programa apresentada atravs de menu e barras de ferramentas, ambos contendo os principais comandos do programa, sempre visando o aumento da produtividade do projeto estrutural. Outro recurso utilizado para melhorar a interface grfica foi o desenvolvimento de diversas caixas de dilogo, facilitando a entrada de dados solicitada pelo programa. Todas as informaes especificadas nas caixas de dilogo so salvas em um banco de dados para depois serem utilizadas nas demais etapas de projeto. A facilidade de operao deste programa proporciona ao usurio uma grande confiabilidade no resultado final do projeto.

Diversos blocos estruturais encontrados no mercado foram inseridos no banco de dados do programa. Tambm foram desenvolvidos alguns detalhes construtivos tpicos que podem ser utilizados nos projetos de alvenaria. Todos os desenhos desenvolvidos podem ser editados conforme a necessidade de cada usurio.

Em seguida, foram criados comandos de insero automtica de aberturas em planta, possibilitando que as informaes definidas nos parmetros de projetos auxiliassem na gerao das elevaes.

Outra etapa atingida satisfatoriamente foi o desenvolvimento das rotinas relacionadas gerao das elevaes atravs das 1 e 2 fiadas, apresentando o posicionamento correto dos blocos em elevaes longitudinal e transversal, a disposio das aberturas e das armaduras de vergas, contravergas e cintas.

Rotinas relacionadas extrao de tabelas de blocos e armaduras foram feitas com o objetivo de quantificar os principais componentes empregados nas alvenarias.

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ISSN 1809-5860


MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E TCNICAS DE ENRIQUECIMENTO DA APROXIMAO

APLICADOS ANLISE DE TUBOS CILNDRICOS E CASCAS ESFRICAS

Gustavo Cabrelli Nirschl1 & Sergio Persival Baroncini Proena2

R e s u m o

Sabe-se que o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) em sua forma convencional uma ferramenta poderosa no clculo estrutural moderno. Porm, se o problema apresenta singularidades, como os efeitos de borda tipicamente introduzidos pelos vnculos nas estruturas em casca, a anlise pode exigir grande refinamento da malha. Procurando resolver mais eficientemente esse tipo de problema, e restringindo o estudo s estruturas em casca com simetria de revoluo como os tubos cilndricos e as cpulas esfricas, sugere-se neste trabalho o emprego de formas no-convencionais do Mtodo dos Elementos Finitos. Dadas s simetrias de forma e carregamento, a abordagem pode ser feita em campo unidimensional. Inicialmente resumem-se as respostas analticas, em termos de deslocamentos e esforos, para as estruturas citadas, partindo-se de suas equaes diferenciais governantes. Em seguida, solues aproximativas para as formas fracas correspondentes so propostas, aplicando-se o Mtodo dos Elementos Finitos e incorporando-se alguns tipos de enriquecimento que caracterizam uma abordagem no-convencional para este mtodo. Por fim, mediante exemplos de aplicao, confrontam-se os resultados aproximados entre si, tendo-se por base solues analticas, comprovando o bom desempenho e grande potencial das alternativas sugeridas. Palavras-chave: tubo cilndrico; casca esfrica; mtodo dos elementos finitos; tcnicas de enriquecimento.

1 INTRODUO

O Mtodo dos Elementos Finitos , sem dvida, uma ferramenta bastante poderosa e eficiente para a soluo numrica de problemas no mbito da anlise estrutural. Qualidade e representatividade da soluo so garantidas na medida em que a soluo exata suficientemente suave, MELENK e BABUKA (1996). Boas propriedades de aproximao das solues polinomiais geradas por elementos finitos decorrem ainda do emprego de tcnicas de refinamento, como os refinamentos h 1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Gustavo Cabrelli Nirschl & Sergio Persival Baroncini Proena


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(grau fixo do polinmio e refinamento progressivo da malha) e p (malha fixa e aumento progressivo do grau polinomial). Porm, dependendo da tipologia da estrutura e de particularidades relacionadas sua geometria e carregamento, a boa qualidade dos resultados fornecidos pelo MEF pode exigir um refinamento considervel da malha, ou a utilizao de polinmios de alta ordem, encarecendo os custos computacionais da anlise. Nesse contexto, as tcnicas no-convencionais de enriquecimento da aproximao construda com o MEF objetivam obter solues satisfatrias, mesmo empregando-se malhas pouco refinadas e enriquecimentos da aproximao inicial definida por funes de forma polinomiais de baixo grau. O enriquecimento mediante funes especiais, por exemplo, constitui-se em alternativa que pode ser explorada com vantagens em problemas cuja soluo exata tenha variaes fortemente localizadas. Neste trabalho, esta e outras possibilidades so empregadas na anlise de cascas cilndricas e esfricas (fig. 1.1), particularmente porque essas estruturas apresentam efeitos de flexo que se concentram nas regies de vinculao imposta e so de difcil reproduo numrica.

Figura 1.1 - Estruturas estudadas.

2 CASCAS DE REVOLUO

A teoria linear das cascas delgadas, ou finas, GRAVINA (1957), tem por base as seguintes hipteses fundamentais: 1 O material da estrutura homogneo, istropo e obedece Lei de Hooke. 2 A espessura pequena em relao s outras dimenses. 3 As tenses normais superfcie mdia so desprezveis em relao s demais componentes de tenso. 4 Os pontos pertencentes, antes da deformao, a retas normais superfcie mdia, encontram-se sobre retas perpendiculares superfcie mdia deformada. 5 - Os deslocamentos so muito pequenos em relao espessura. Observa-se que, no caso de estrutura de superfcie com espessura muito pequena, a hiptese 5 perde validade, sendo necessrio considerar uma abordagem

Mtodo dos elementos finitos e tcnicas de enriquecimento da aproximao aplicados ...


19

geometricamente no-linear. Este trabalho se restringe abordagem linear, que preserva, em particular, a sobreposio de efeitos.

2.1 Casca ou tubo cilndrico

A formulao analtica para o tubo cilndrico em regime linear submetido a solicitao externa com simetria de revoluo clssica e encontra-se descrita em vrios livros, entre eles: BELLUZZI (1967) e BILLINGTON (1965). Observa-se que o tubo cilndrico submetido internamente presso linearmente distribuda, (fig. 2.1), recebe neste texto a denominao: reservatrio cilndrico.

Figura 2.1 - Reservatrio cilndrico.

Adotam-se, portanto, as hipteses gerais de simetria axial em geometria e carregamento, alm de espessura delgada. Essa ltima hiptese garantida se a relao entre a espessura da parede e o raio do reservatrio for menor ou igual a 1/20. Em regime linear, o chamado problema dos reservatrios em regime de flexo, formulado em termos de deslocamentos axiais e radiais, resulta desacoplado, uma vez que as equaes diferenciais que envolvem tais componentes so independentes. A equao que envolve os deslocamentos radiais claramente aquela de maior interesse. Tendo-se em vista os comentrios anteriores, pode-se mostrar que a combinao das relaes de equilbrio, compatibilidade e constitutiva leva seguinte equao diferencial, BILLINGTON (1965):

)y(p)y(w*r

)y(h*E)y(dy

wd*)y(Ddyd

22

2

2

2=+

(2.1)

em que: y uma coordenada de posio vertical, com origem na base do reservatrio;



20

w(y) a funo que descreve o deslocamento horizontal ao longo da parede do reservatrio, com valores positivos apontando para o centro da casca;

D(y) a rigidez flexo da casca, igual a: )1(*12

)y(h*E2

3

;

r o raio mdio do reservatrio;

o coeficiente de Poisson; h(y) a espessura da parede do reservatrio na posio y; E o mdulo de elasticidade; p(y) a funo que descreve a solicitao externa, na forma de presso interna linearmente distribuda. Acrescentam-se ainda os seguintes dados:

P o peso especfico do material da parede do reservatrio; e H a altura total do tubo. Para o caso particular de espessura constante (h(y)=h), a eq. (2.1) passa a ser escrita como:

D)y(p)y(w**4)y(

dywd 44

4=+ (2.2)

O coeficiente que aparece na relao anterior tem, por definio:

422

2

h*r)1(*3 = (2.3)

Tem-se, em geral, para a soluo da forma homognea da eq. (2.2):

))y*(sen*C)y*cos(*C(*e

))y*(sen*C)y*cos(*C(*e)y(w

43)y*(

21)y*(

h

++++=

(2.4)

sendo C1 a C4 constantes a determinar. Para o caso de presso interna linearmente distribuda, tem-se a seguinte soluo particular:

h*Er*)y(p)y(w

2

p = (2.5)

Deve-se observar que a soluo dada pela eq. (2.5) tem por correspondncia o regime de membrana do reservatrio, uma vez que dela decorrem esforos de flexo nulos. A soluo geral para os deslocamentos horizontais da parede do reservatrio compe-se da soma das eqs. (2.4) e (2.5) soluo da homognea mais soluo particular. Em boa parte dos textos clssicos no tema, as constantes C1 e C2 so impostas como nulas para efeitos de simplificao dos clculos. Desde que o



21

reservatrio seja longo, essa simplificao reproduz bem o fato de que efeitos de flexo de uma borda no se propagam at a outra borda. Neste trabalho, entretanto, pretende-se resolver o problema sem recorrer tal simplificao. As constantes C1 a C4 dependem, portanto, dos vnculos adotados em cada caso considerado. De modo mais freqente esto as condies de contorno para reservatrios de base engastada ou articulada fixa, com topo livre. Por outro lado, independente das condies de contorno consideradas, os esforos solicitantes (esforo normal tangencial N, momentos fletores My e M e esforo cortante Qy) relacionam-se com os deslocamentos radiais mediante as seguintes equaes:

)y(w*r

h*E)y(N = (2.6)

)y(dy

wd*D)y(M 22

y = (2.7)

yM*)y(M = (2.8)

)y(dy

wd*D)y(Q 33

y = (2.9)

Na fig. 2.2, pode-se visualizar a conveno de sinais positivos para os esforos indicados nas eqs. (2.6) a (2.9).

NM

Q

w(y) w(y)

y

N

M

y

N

Ny

y

yQ

y

My

M

Figura 2.2 - Convenes de sinal para esforos em reservatrio cilndrico.

A relao para o esforo Ny(y) resulta de uma anlise de equilbrio independente. Quando se considera o peso prprio da parede, a relao resultante a seguinte:



22

h*)yH(*)y(N py = (2.10)

2.2 Casca esfrica

Uma casca esfrica (ou, cpula esfrica) uma estrutura laminar de dupla curvatura (ver fig. 1.1) usualmente empregada como cobertura. Os aspectos principais da teoria clssica, GRAVINA (1957), para formulao e resoluo do problema da cpula com carregamento de revoluo so resumidos a seguir. Inicialmente, considera-se uma casca esfrica sujeita ao peso prprio, conforme ilustra a fig. 2.3. Entre os elementos que l aparecem indicados esto: g: a funo representativa do peso prprio da cpula (por unidade de rea); t: a espessura (constante) da cpula; R: o raio cpula;

C : o ngulo central de abertura da cpula.

Figura 2.3 - Casca esfrica sujeita a peso prprio.

Explorando as simetrias de revoluo em forma e carregamento, segundo um sistema de coordenadas esfricas, os esforos internos solicitantes e suas variaes podem ser representados como indicado na fig. 2.4.

Figura 2.4 - Esforos atuantes na casca esfrica.



23

Combinando-se as relaes de equilbrio, de compatibilidade entre deslocamentos e deformaes e constitutiva, possvel reduzir o conjunto de variveis incgnitas apenas duas, Q e , e exprimir o equilbrio mediante as seguintes relaes:

)2(*)(sen*g*R)(*t*E

)(*)(gcot*)()(gcot*)(d

d)(

d

d

CC

C2

2

2

+=++

QQQQ

(2.11)

)(*DR )(*)(gcot*)()(gcot*)(

dd)(

dd

C

2

C2

2

2=+

+

Q (2.12)

em que:

a posio angular medida a partir do topo da cpula esfrica (fig. 2.5); () o giro sofrido pela tangente em ao meridiano, aps a deformao da cpula, como ilustrado na fig. 2.5;

DC a rigidez flexo da cpula, igual a: )1(*12

t*E2

C

3C

;

EC o mdulo de elasticidade do material da cpula; e

C o coeficiente de Poisson do material da cpula.

()

antes da deformao

aps a deformao

()

Figura 2.5 - Deslocamento horizontal e giro , em funo do ngulo , para casca esfrica.

As equaes diferenciais (2.11) e (2.12) possuem soluo geral composta pelas parcelas de soluo homognea e particular. Aqui, como no caso da casca cilndrica, a soluo de membrana constitui boa aproximao para a soluo particular do sistema, desde que, BELLUZZI (1967), a espessura da casca seja suficientemente pequena em relao ao raio.

Para o regime de membrana (em que Q = M = M = 0), reproduzem-se em seguida as relaes representativas do deslocamento horizontal e do giro , alm dos esforos N e N , todos em funo do ngulo (ver figs. 2.4 e 2.5).



24

++= )cos(

)cos(11*)(sen*

t*ER*g)( C

C

2

(2.13)

)(sen*)2(*t*E

R*g)( CC

+= (2.14)

))cos(1(R*g)( += (2.15)

+= )cos()cos(11*R*g)( (2.16)

O problema de flexo rene os efeitos dos vnculos nas bordas ou ainda, de forma equivalente, os efeitos da aplicao externa de uma fora horizontal HC e momento externo MC distribudos na borda da cpula esfrica (fig. 2.6).

Figura 2.6 - Cpula esfrica sujeita a fora horizontal HC e momento MC distribudo na borda.

A soluo rigorosa do problema de flexo detalhada na literatura, envolvendo sries hipergeomtricas, mas apresenta-se muito trabalhosa, especialmente nos casos de estruturas delgadas, ou seja, com valores elevados da constante (eq. (2.20)). Alm disso, nesses casos, a convergncia das sries se d com razo muito pequena, BELLUZZI (1967).

Uma soluo analtica simplificada, vlida para coeficientes mais elevados, que explora o amortecimento dos efeitos das singularidades de borda, como ocorre nos tubos, fornecida pelo Mtodo de Geckeler, GRAVINA (1957). A soluo de Geckeler vlida tambm para cascas abatidas (C pequeno), desde que a relao R/t seja grande. Admitindo-se situaes em que as hipteses do Mtodo de Geckeler sejam satisfeitas, os termos de ordem de derivao mais baixa da parte homognea do sistema (2.11) e (2.12) podem ser desprezados em relao aos termos de ordens mais altas, obtendo-se:



25

)(*t*E )(d

dFC2

2

=Q

(2.17)

)(*DR)(

dd

C

2

2F

2=

Q (2.18)

em que F a parcela de flexo de . Combinando-se (2.18) e (2.17), de modo a eliminar o giro F, tem-se finalmente a equao diferencial que representa o regime de flexo da casca esfrica:

0)(**4)(d

d 44

4

=+ Q

Q (2.19)

em que:

42

2C t

R*)1(*3

= (2.20)

A soluo da eq. (2.19) semelhante quela apresentada para a flexo do tubo cilndrico (eq. (2.5)). Sendo assim:

))*(sen*L)*cos(*L(*e

))*(sen*L)*cos(*L(*e)(

43)*(

21)*(

++++=

Q (2.21)

em que:

= C (ver fig. 2.5); e L1 a L4 so constantes a determinar. A imposio das condies de contorno em cada caso permite identificar os valores das constantes L1 a L4. Em funo da soluo acima, os esforos solicitantes e as variveis cinemticas, para o regime de flexo, podem ser determinadas pelas seguintes equaes:

+

= )(gcot*)(*)(dd

*t*E

)(sen*R)( CCC

CF Q

Q (2.22)

)(d

dt*E

1)( 2

2

C

= Q*F (2.23)

)(gcot*)()( CF = QN (2.24)



26

)(d

d)(F =

QN (2.25)

)(d

dt*E*R

D)( 3

3

C

C

= Q

*M (2.26)

)(*)( C = MM (2.27)

3 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF)

3.1 MEF aplicado a cascas cilndricas

De incio, a equao diferencial da casca cilndrica (eq. (2.1)) reescrita de modo a permitir levar em conta, convenientemente, a possibilidade de variao da espessura. Nesse sentido, considere-se que a espessura do reservatrio seja determinada por:

)y(f*h)y(h 0= (3.1)

em que h0 a espessura na base do reservatrio. Para o caso de variao linear da espessura ao longo da altura, pode-se definir f(y) como:

y*H

)1(1)y(f

= (3.2)

em que um coeficiente adimensional definido pela razo entre a espessura no topo e a espessura na base do reservatrio. Deste modo, a eq. (2.1) passa a apresentar a seguinte forma:

0

402

23

2

2

D)y(p)y(w*)y(f**4)y(

dywd*)y(f

dyd =+

(3.3)

em que:

)1(*12h*ED 2

30

0 = (3.4)

40

20

0 D*r*4h*E= (3.5)



27

Considerando-se uma funo aproximativa )y(w~ , com boas propriedades de representatividade da soluo, pode-se escrever, inicialmente, a seguinte forma em resduos ponderados:

=

+

H

0 0

402

23

2

20dy*

D)y(p)y(w~*)y(f**4)y(

dyw~d*)y(f

dyd*)y(v (3.6)

em que: v(y) uma funo de ponderao; e

)y(w~ deve apresentar, pelo menos, continuidade at a ordem 3.

Adota-se, em seguida, uma discretizao para o domnio da soluo mediante um conjunto de ns e elementos. Neste trabalho, cada elemento contm 2 ns nas suas extremidades. Na fig. 3.1, os graus de liberdade associados cada n so indicados sobre um elemento genrico.

ELEMENTO N

ELEMENTO 2

ELEMENTO 1

DISCRETIZAO EM ELEMENTOS

FINITOS

ELEMENTOGENRICO

p(y)

we12ew

we43ew

ye

y

RESERVATRIOCILNDRICO

~~

~ ~

hep(y)

Figura 3.1 - Discretizao de um reservatrio cilndrico para aplicao do MEF.

Considerando a diviso do domnio, a integral que aparece na eq. (3.6) passa a ser composta pela soma das integrais sobre os elementos. Pode-se ento representar a forma fraca para um elemento genrico derivando-se duas vezes por partes a primeira parcela da eq. (3.6):

+

++

++

=

=++

+

1ey

ey 0

1ey

ey4

01ey

ey 2

2

2

23

1ey

ey2

23

1ey

ey2

23

dy*)y(v*D

y)(p

dy*)y(v*(y)w~*)y(f**4dy*)y(dy

vd*)y(dy

w~d*)y(f

)y(dydv*)y(

dyw~d*)y(f)y(v*)y(

dyw~d*)y(f

dyd

(3.7)



28

em que ye e ye+1 so, respectivamente, as coordenadas dos ns inicial e final do elemento e.

Note-se que na eq. (3.7) as derivadas sobre v(y) e )y(w~ so da mesma ordem, proporcionando simetria formulao. De modo a garantir a existncia de soluo dentro dos limites do elemento, as integrais envolvendo as funes aproximativa e ponderadora (formas bilineares) somadas devem apresentar valor finito; nesse sentido, adota-se uma funo aproximativa polinomial de grau 3, que o menor grau que garante aquela condio. Nessas condies, a aproximao passa a ser representada por:

)y(*w~)y(w~4

1j

ej

ej

e =

= (3.8)

em que ejw~ so os graus de liberdade primrios (deslocamento e giro nos ns de

coordenadas locais 0 e he). As quatro funes de forma do elemento, indicadas em (3.8), so dadas por:

=

=

=

+

=

e

2

e

e4

3

e

2

e

e3

2

e

e2

3

e

2

e

e1

hy

hy*y)y(

hy*2

hy*3)y(

hy1*y)y(

hy*2

hy*31)y(

(3.9)

As funes de forma (3.9) constituem uma base aproximativa hermitiana cbica para o MEF. Outra base de interesse a linear, indicada abaixo:

hy)y(N

hy1)y(N

e

e2

e

e1

=

= (3.10)

Utilizando-se a mesma base de aproximao para v(y) e )y(w~ (Galerkin), a sua substituio na eq. (3.7) leva ao seguinte conjunto de equaes para o elemento finito genrico:

[ ] ) 1,...,4 i ( 0Fw~*K ei41j

ej

ej,i ==

= (3.11)

em que:



29

223 4

02 204, ( ) * ( ) * ( ) * ( ) * ( ) *

e

eeh je e ei

i j e e i j

ddK f y y y y * f y y * ( y ) y d yd y d y

= + + + (3.12)

00

( * ( ) *ehe e ee

i i i

p y y )F y d y QD

+= + (3.13) Os termos (3.12) compem os componentes da chamada matriz de rigidez do elemento que, neste caso, simtrica; j a eq. (3.13) fornece os componentes do chamado vetor de foras nodais do elemento e, isto : as foras nodais correspondentes s foras diretamente aplicadas e s foras nodais prescritas nas extremidades do elemento. A gerao em forma matricial do sistema global resolvente a partir das contribuies dos elementos indicada na fig. 3.2, sendo N o nmero de elementos. Observa-se que, na ausncia de foras nodais concentradas, os termos eiQ (ver eq. (3.13)) anulam-se na sobreposio.

Figura 3.2 - Matriz de rigidez (K ) e vetor de foras nodais (F ) obtidos na formulao do MEF.

Na simbologia adotada para a matriz global K , indicada na fig. 3.2, cada quadrado preenchido representa a matriz de rigidez de um elemento, cujos valores so calculados pela eq. (3.12). No vetor global F , cada retngulo preenchido representa o vetor de foras nodais de um elemento, com seus valores calculados pela eq. (3.13).



30

A estrutura da matriz de rigidez global (K ) tem uma forma em banda, porque os ns do problema esto, por hiptese, numerados seqencialmente no sentido crescente de y, e, alm disso, simtrica. As condies de contorno essenciais devem ser impostas diretamente no sistema global representado na fig. 3.2. Para o conjunto de problemas analisados, considera-se que o contorno superior livre e o inferior pode ser engastado ou articulado fixo. Uma vez encontrado o vetor incgnito, possvel novamente considerar o arranjo de elementos e encontrar a distribuio de esforos ao longo de cada elemento finito:

)y(w~*r

)yy(h*E)y(N~ eee += (3.14)

)y(yd

d*w~*)yy(f*D)y(M~

4

1j2

ej

2ej

3e0

ey

+=

= (3.15)

)y(yd

M~d)y(Q~

eye

y = (3.16)

)y(M~*)y(M~ eye = (3.17)

3.2 MEF aplicado a cascas esfricas

A resoluo numrica do problema da casca esfrica mediante aplicao do MEF, poderia partir analogamente ao caso dos tubos, da ponderao do sistema de equaes diferenciais descrito pelas (2.11) e (2.12). Entretanto, trata-se de um sistema misto envolvendo duas variveis distintas a serem aproximadas. Tal procedimento ser aqui simplificado, considerando-se apenas os efeitos de uma fora horizontal HC e de um momento externo MC distribudos ao longo da borda da casca esfrica (fig.3.3). Desse modo, pode-se reduzir o sistema a uma nica equao na varivel representativa do esforo cortante, alm do que so para estes casos que existe soluo analtica de confronto.



31

ELEMENTOSFINITOS

CASCA ESFRICA

ELEMENTOGENRICO

E

1Q~ e

2Qe~

~ eQ3

Q~

4e

c

e

ELEMENTO N

ELEMENTO 1

Hc

Mc

Figura 3.3 - Discretizao de uma casca esfrica para aplicao do MEF.

Uma vez obtida a forma fraca de (2.19), considerando-se uma soluo aproximada )(~ Q e adotada uma discretizao formada por elementos finitos definidos em funo do ngulo de abertura da casca, fig. 3.3, a relao para um elemento resulta:

0d*)(v*)(~**4d*)(d

vd*)(d

~d

)(ddv*)(

d

~d)(v*)(

d

~d

1e

e

41e

e 2

2

2

2

1e

e2

21e

e3

3

=++

+

+ +

+

+

QQ

QQ

(3.18)

em que:

v() uma funo de ponderao; e e e e+1 so as coordenadas angulares do n inicial e final do elemento e. Adotando-se uma funo aproximadora polinomial de grau mximo 3, como feito para os tubos, em coordenadas esfricas locais do elemento os parmetros nodais assumem os seguintes significados:

)(d

~d~ )(~~

)0(d

~d~ )0(~~

E

ee4E

ee3

ee2

ee1

==

==

QQQQ

QQQQ

(3.19)

Resulta, para o elemento finito genrico a seguinte aproximao:

)(*~)(~4

1j

ej

ej

e =

= QQ (3.20)



32

sendo as funes de forma dadas por:

=

=

=

+

=

E

2

E

e4

3

E

2

E

e3

2

E

e2

3

E

2

E

e1

*)(

*2*3)(

1*)(

*2*31)(

(3.21)

Nas relaes anteriores:

E o ngulo de abertura do elemento E; e a coordenada angular local, indicada na fig. 3.3. Substituindo-se (3.20) em (3.18) e considerando-se para v() uma aproximao dada pelas mesmas funes de forma de )(~ Q , resulta:

[ ] 0~*K41j

ej

ej,i =

=Q (3.22)

em que:

224

2 204, ( ) * ( ) * ( ) *

E

eee eje ii ji j

ddK * * ( ) dd d

= + (3.23) As contribuies das matrizes de rigidez e dos vetores de foras nodais dos elementos geram um sistema global que segue sistemtica idntica quela apresentada para casca cilndrica indicada na fig. 3.2. As condies de contorno que devem ser impostas diretamente ao sistema global correspondem fora HC e momento MC aplicados na borda inferior da casca. Depois de encontrado o vetor incgnito, possvel voltar ao arranjo de elementos e encontrar as outras variveis de interesse (deslocamento horizontal e~ , giro e~ , esforo normal e~ N ,esforo tangencial e~ N e momentos e~ M e e~ M , de acordo com as figs. 2.4 e 2.5):

++

+= )(gcot*)(~*)(d

~d*

t*E)(sen*R)(~ e

eC

e

C

ee QQ

(3.24)



33

)(d

~dt*E

1)(~ 2

e2

C

e

= Q* (3.25)

)(gcot*)(~)(~ eee += QN (3.26)

)(d

~d)(~

ee

=

QN (3.27)

)(d

~dt*E*R

D)(~ 3

e3

C

Ce

= Q

*M (3.28)

)(~*)(~ eCe = MM (3.29)

4 ENRIQUECIMENTO DAS APROXIMAES DO MEF

4.1 Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG)

O Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG), DUARTE, BABUKA e ODEN (2000), TORRES (2003), incorpora na estrutura bsica do MEF tcnicas e recursos dos chamados Mtodos sem Malha, com o propsito de melhorar a aproximao no domnio do problema. O MEFG tem como principal caracterstica o enriquecimento sobre aproximaes que se caracterizam como partio da unidade, (PU), ou conjunto de funes cujo somatrio dos valores num ponto do domnio igual unidade. No MEF clssico, embora seja possvel construir espaos de funes no-polinomiais que fornecem boas propriedades de aproximao local, tal procedimento no garante a continuidade entre elementos da funo de aproximao global, MELENK e BABUKA (1996). J o MEFG, ao explorar a PU, garante a construo de espaos de aproximao conformes, mesmo utilizando funes no-polinomiais. No MEFG, o nmero de funes de forma composto pelas funes de forma originais do MEF, que constituem uma PU, mais uma combinao delas com outras funes, chamadas enriquecedoras. Porm, se forem enriquecidas tambm outras funes da base aproximativa que no constituam uma PU, o enriquecimento no , a rigor, um MEFG, e sim um MEF hierrquico. Genericamente, a funo aproximativa do MEFG para um campo u, num domnio governado pela varivel x, tem a seguinte forma:

b*)x(FE)x(u*)x()x(u)j(I

1jj

n

1jjj

n

1jj

=

==+= (4.1)

em que jb so parmetros nodais acrescentados pelo enriquecimento.



34

Acrescenta-se que o enriquecimento pode ser seletivo, isto , feito apenas em uma regio especfica do domnio, sendo a parte restante aproximada sem enriquecimento e com a estrutura convencional do MEF. Como exemplo do procedimento de enriquecimento, considere-se uma base aproximativa do MEF dada por 4 funes de forma, e1 , e2 , e3 e e4 , e seja FE uma funo enriquecedora. Admita-se que, dessa base, apenas e1 e e3 formem uma PU. De acordo com o MEFG, para a regio enriquecida, haver 6 funes de forma: e1 ,

e2 , e3 , e4 , e1 *FE e e3 *FE. Na fig. 4.1 est representado o sistema correspondente

ao exemplo, para o caso de 2 elementos, com os trs ns enriquecidos.

u^

1 2

111u^ u^ 2 u^

13 u^

14

2u^ 2u^

u^2324b 1 2b

2b

3b

2

u^ 1

u^ 23

4

u 3^ 1 u 1

^ 2

u^1

u^ 1

1

1b

b2 b2

b3

42u^

enriquecimento

22u^

K = F =

Figura 4.1 - Esquema de enriquecimento pelo MEFG.

4.2 Alternativas de enriquecimento

O procedimento chamado aqui de MEFH caracteriza-se por conter funes na base aproximativa que apesar de no formarem uma PU podem ser multiplicadas por funes de enriquecimento. Na fig. 4.2 est indicado um sistema genrico montado de acordo com o MEFH, para 2 elementos e 1 funo enriquecedora adicionada mesma base polinomial descrita no item 4.1. No procedimento denominado enriquecimento por base expandida, MEFBA, a base inicial ampliada mediante adio de funes de forma especiais de interesse. Obviamente, cada funo adicionada se associa um grau de liberdade primrio, no-atrelado n e sem qualquer significado fsico. Neste caso, o sistema global ter um aumento em sua ordem igual ao nmero de funes enriquecedoras. Encontra-se na fig. 4.3 uma visualizao de um sistema genrico do MEFBA com 2 elementos e 1 funo enriquecedora adicionada mesma base polinomial descrita no item 4.1. A funo aproximadora de um campo u, num domnio governado pela varivel x global, no caso do MEFBA, tem a seguinte forma:



35

( ) b*)x(FEu*)x()x(u )j(I1

j

n

1jj

=

=+= (4.2)

5b24u^

u^

u^

u1^ 1

1b u 2^ 1

b u^ 22

u3b31

1

^3

5bu 342^1

2

4u^2

b

bb3

41

23u^

u^3

1

1

13

2

u^

u^

12u^

11u^

b 2 b 4

b 4

b 6

2b

4b

6b

22

b4

u^

K = F = enriquecimento

Figura 4.2 - Esquema de enriquecimento MEFH.

24u^

u^

u^

u1^ 1

1bu 2^ 1

u^ 22

u31

1

^ u 342^1

2

4u^2

41

23u^

u^

1

13

2

u^

u^

12u^

11u^

u 22

1b

^K = F = enriquecimento

Figura 4.3 - Esquema de enriquecimento MEFBA.

4.3 Enriquecimentos do MEF aplicados aos tubos

No caso dos tubos, empregam-se nas alternativas de enriquecimento comentadas no item anterior, funes que fazem parte da soluo analtica para espessura constante. Assim, adotam-se:

)y*cos(*e)y(f y*3 = (4.3)

)y*(sen*e)y(f y*4 = (4.4)



36

As possibilidades de emprego do MEF testadas, que incluem as alternativas de enriquecimento, esto descritas abaixo com as siglas a elas associadas. 1) RMEFL: Caso particular do MEF utilizando as funes de forma lineares dadas em (3.10). Aplica-se essa aproximao exclusivamente para anlise do regime de membrana (base deslizante) do reservatrio com espessura constante. 2) RMEF: Caso particular do MEF convencional sem enriquecimento utilizando como base aproximativa as funes de forma dadas em (3.9). 3) RMEFH: MEFH utilizando as funes (4.3) e (4.4) para enriquecer todas as funes da base (3.9). 4) RMEFG: MEFG utilizando as funes (4.3) e (4.4) para enriquecer as funes da base (3.9) que constituem uma PU. 5) RMEFBA: MEFBA utilizando como base aproximativa as funes de forma dadas em (3.9), sendo realizado enriquecimento com as funes (4.3) e (4.4).

5 PROGRAMA

Elaborou-se um programa em linguagem FORTRAN, cuja apresentao encontra-se descrita no que segue. 1) Uma janela de apresentao (fig. 5.1) aparece quando o aplicativo executado.

Figura 5.1 - Janela de apresentao do aplicativo.

2) Acionando-se o boto INICIAR, aparece a janela para as escolhas da estrutura a ser calculada e da base aproximativa de funes do MEF (fig. 5.2). Nota-se que, independentemente da escolha do mtodo aproximado, os grficos de respostas exibem sempre a soluo analtica da estrutura.



37

O reservatrio cilndrico pode ser analisado somente com foras linearmente distribudas na parede e a cpula admite anlise dos efeitos de peso prprio (soluo analtica) ou de foras e momentos distribudos uniformemente em sua extremidade.

Figura 5.2 - Janela para escolha da estrutura e mtodo de clculo aproximado.

3) Aciona-se o boto AVANAR e, dependendo da escolha estrutural, uma janela aparece para a entrada de dados referentes geometria, s foras externas e ao mtodo de enriquecimento (se desejado). Na fig. 5.3 mostrada a janela de entrada de dados para reservatrio cilndrico e, na fig. 5.4, a janela de entrada de dados para cpula esfrica sujeita a fora horizontal (Hc) e momento concentrado na extremidade (Mc).



38

Figura 5.3 - Janela de entrada de dados referente a reservatrio cilndrico.

Figura 5.4 - Janela de entrada de dados referente a cpula esfrica sujeita a Hc e Mc.



39

Os dados referentes ao nmero de elementos finitos, seguindo a conveno dada na figura que aparece na janela de entrada de dados, devem ser preenchidos no grupo DADOS SOBRE O MEF. Para se utilizar elementos de comprimentos iguais em todo o domnio, deve-se informar o nmero de elementos na caixa de edio do grupo TODOS OS ELEMENTOS COM O MESMO COMPRIMENTO e acionar, em seguida, o boto INCLUIR ELEMENTOS. Fazendo isso, os comprimentos dos elementos so exibidos na lista do grupo COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS, bem como so exibidos o somatrio dos comprimentos dos elementos e o nmero de elementos nas caixas estticas do canto inferior direito do grupo DADOS SOBRE O MEF. Para se utilizar comprimentos diferentes dos elementos, seus valores devem ser cadastrados um a um, na caixa de edio do grupo ELEMENTOS COM COMPRIMENTOS DIFERENTES, acionando-se o boto INCLUIR ELEMENTO para incluir um elemento na lista do grupo COMPRIMENTO DOS ELEMENTOS. Cadastrados os elementos, devem ser fornecidos os dados sobre o enriquecimento, no grupo DADOS SOBRE O ENRIQUECIMENTO. Deve-se escolher o tipo de enriquecimento por meio da caixa de lista no grupo ESCOLHA O TIPO DE ENRIQUECIMENTO, sendo que as funes enriquecedoras podem ser visualizadas acionando-se o boto VER FUNES DISPONVEIS. Feito isso, incluem-se os ns a serem enriquecidos por meio dos botes no grupo NS A SEREM ENRIQUECIDOS. Tais ns podem ser cadastrados um a um, no grupo INCLUSO INDIVIDUAL, ou todos de uma vez, pelo boto TODOS. Na lista NS ENRIQUECIDOS aparecem os ns a serem enriquecidos. Na fig. 5.5 aparece a janela de entrada de dados para cpula esfrica sujeita a peso prprio, em que apenas possvel a anlise da soluo analtica.

Figura 5.5 - Janela de entrada de dados referente a cpula esfrica sujeita a peso prprio.



40

4) Preenchidos os dados de entrada, pode-se conferir visualmente os dados fornecidos, para os casos representados nas figs. 5.3 e 5.4, acionando-se o boto VERIFICAR DADOS. Aparece uma janela grfica independente, como a das figs. 5.6 (reservatrio cilndrico) e 5.7 (cpula esfrica), cujos desenhos so apenas para verificao, no apresentando uma escala definida.

Figura 5.6 - Janela de verificao grfica dos dados de entrada - reservatrio cilndrico.

5) Preenchidos e verificados os dados de entrada, nas janelas das figs. 5.3, 5.4 ou 5.5, aciona-se o boto CALCULAR, aparecendo uma janela de confirmao (fig. 5.8) depois de concludo o processamento.

Figura 5.7 - Janela de verificao grfica dos dados de entrada para cpula esfrica sujeita a

fora horizontal e momento concentrado na base.



41

Figura 5.8 - Janela de confirmao do sucesso dos clculos.

Acionando-se o boto CONTINUAR na janela da fig. 5.8, aparece a janela referente aos resultados. Nas figs. 5.9, 5.10 e 5.11 so mostradas as janelas de resultados para os trs casos representados nas figs. 5.3, 5.4 e 5.5, respectivamente.

Figura 5.9 - Janela de resultados referente a reservatrio cilndrico.



42

Figura 5.10 - Janela de resultados referente a cpula esfrica sujeita a Hc e Mc.

Figura 5.11 - Janela de resultados referente a cpula esfrica sujeita a peso prprio.

Nas janelas das figs. 5.9, 5.10 e 5.11, aparece uma figura referente conveno para os sentidos positivos dos parmetros de sada. Tal ilustrao tambm no oferece interatividade nem obedece a uma escala geomtrica. Os dados de sada tm seus valores impressos em listas organizadas segundo os valores nodais (caso haja mtodo de clculo aproximado) aps ps-



43

processamento (coluna esquerda) e segundo 200 pontos igualmente espaados sobre o domnio (coluna direita). Alm das janelas dos dados de sada no programa, os dados numricos de sada so impressos no arquivo RESULTADOS.TXT. Nas janelas das figs. 5.9, 5.10 e 5.11, existem ainda botes na parte superior que, depois de acionados, exibem, em uma janela grfica independente, os grficos correspondentes aos parmetros ao longo do domnio. Na fig. 5.12 exibido um exemplo de grfico de sada de deslocamento para reservatrio cilndrico. Uma ltima considerao que a aplicao criada no restrita a um sistema fixo de unidades. Esto indicadas, ao lado das caixas de edio de entrada de dados e ao lado dos valores de sada, as dimenses de cada varivel, sendo elas: L (dimenso de comprimento) e F (dimenso de fora).

Figura 5.12 - Exemplo de janela de grfico de deslocamento referente a reservatrio cilndrico.

6 EXEMPLOS NUMRICOS

6.1 Resultados para reservatrio cilndrico

A tabela 6.1 apresenta os dados de entrada escolhidos para o exemplo numrico de reservatrio cilndrico.



44

Tabela 6.1 - Dados de entrada utilizados para o clculo de reservatrio cilndrico. PARMETRO VALOR

Altura (m) 10,00 Raio (m) 8,00

Espessura constante (m) 0,05 Coeficiente de Poisson 0,30

Mdulo de elasticidade (kN/m2) 2,10*109

Peso especfico do lquido de preenchimento (kN/m3) 1000,00

Colocam-se em confronto os valores de deslocamento horizontal w, esforo cortante Qy e momento fletor My, com suas convenes de sinal e direo visualizadas nas fig. 2.2. Os valores de N e M no so aqui exibidos, j que so proporcionais a w e My, respectivamente (ver eq. (3.14) e (3.17)). O primeiro resultado refere-se ao regime de membrana do reservatrio (base deslizante), cujo nico procedimento aproximado aplicado foi o RMEFL. No grfico 6.1 so apresentadas as solues aproximada e analtica dos deslocamentos para 10 elementos igualmente espaados. Naturalmente, o esforo cortante Qy e o momento fletor My so nulos, de acordo com as hipteses do regime de membrana.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-7.00E-03 -6.00E-03 -5.00E-03 -4.00E-03 -3.00E-03 -2.00E-03 -1.00E-03 0.00E+00

deslocamento horizontal w (m) - base deslizante

altu

ra d

o re

serv

atr

io (m

)

Soluo analtica RMEFL Posies dos ns Grfico 6.1 - Curva de deslocamento w para o caso RMEFL.

Acrescenta-se que com apenas um elemento os deslocamentos obtidos com o procedimento RMEFL so exatos, pois a soluo analtica regida por uma funo linear. Para uma comparao entre os procedimentos descritos no caso de base articulada fixa, considera-se uma discretizao como a mostrada na fig. 6.1. Lembra-se que, no caso RMEFBA, o enriquecimento no mais seletivo.



45

Figura 6.1 - Discretizao adotada para reservatrio cilndrico com base articulada fixa.

Nos grficos 6.2 a 6.4 mostram-se curvas obtidas para deslocamento horizontal w, momento fletor My e esforo cortante Qy, pelos procedimentos RMEF, RMEFH, RMEFG e RMEFBA, alm da soluo analtica.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-7.00E-03 -6.00E-03 -5.00E-03 -4.00E-03 -3.00E-03 -2.00E-03 -1.00E-03 0.00E+00

deslocamento horizontal w (m) - base articulada fixa

altu

ra d

o re

serv

atr

io (m

)

Soluo analtica RMEF RMEFH RMEFGRMEFBA Ns enriquecidos Ns no enriquecidos Grfico 6.2 - Deslocamento horizontal - base articulada fixa.



46

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-450 -350 -250 -150 -50 50

momento fletor My (kN*m/m) - base articulada fixa

altu

ra d

o re

serv

atr

io (m

)

Soluo analtica RMEF RMEFH RMEFGRMEFBA Ns enriquecidos Ns no enriquecidos

Grfico 6.3 - Momento fletor - base articulada fixa.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500

esforo cortante Qy (kN/m) - base articulada fixa

altu

ra d

o re

serv

atr

io (m

)

Soluo analtica RMEF RMEFH RMEFGRMEFBA Ns enriquecidos Ns no enriquecidos

Grfico 6.4 - Esforo cortante - base articulada fixa.

As diferenas entre o RMEF e os procedimentos enriquecidos so mais marcantes quando se analisam os esforos (grficos 6.3 e 6.4), j que nos procedimentos enriquecidos as derivadas das funes enriquecedoras exponenciais resultam ainda em funes exponenciais, o que no acontece no RMEF. Pode-se afirmar que o RMEFH e o RMEFBA apresentam os melhores resultados. Observa-se que o RMEFH tem custo computacional bem maior do que o RMEF ou o RMEFBA. Este fato, que desprezvel para o caso unidimensional, pode vir a ser importante num equacionamento em duas ou trs dimenses. Acrescenta-se que o RMEFBA, com apenas 1 elemento, apresenta solues exatas para deslocamento e esforos. Para reservatrio com base engastada necessrio um nmero maior de elementos para aproximar bem os resultados, em comparao com a base articulada



47

fixa. Os resultados comparativos so, entretanto, qualitativamente iguais aos apresentados para essa ltima base.

6.2 Resultados para cpula esfrica

Neste exemplo, os resultados numricos obtidos com o MEF, aplicado segundo o procedimento descrito no item 3.2, para o problema da cpula esfrica so comparados com as respostas analticas. Os dados da cpula esto indicados na tabela 6.2 e a discretizao adotada representada na fig. 6.2. Tabela 6.2 - Dados de entrada utilizados para a anlise da cpula esfrica.

PARMETRO VALOR ngulo de abertura (graus) 60

Raio (m) 8,00 Espessura constante (m) 0,05 Coeficiente de Poisson 0,30

Mdulo de elasticidade (kN/m2) 2,10*109 Hc (kN/m) 1,00

Mc (KN*m/m) 1,00

Figura 6.2 - Discretizao adotada para cpula esfrica.

Nos grficos 6.5 a 6.9 esto as curvas para esforo cortante Q, momento fletor M, esforo tangencial N, giro e deslocamento horizontal , obtidos com o MEF e confrontados com a soluo analtica.



48

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-1.1 -0.6 -0.1 0.4 0.9 1.4

esforo cortante Q (kN/m)

ngu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Soluo analtica CMEF Posies dos ns Grfico 6.5 - Curva de esforo cortante Q para o caso MEF.

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-0.2 0.1 0.4 0.7 1

momento M (kN*m/m)

ngu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Soluo analtica CMEF Posies dos ns Grfico 6.6 - Curva de momento fletor M para o caso MEF.



49

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-25 -5 15 35 55 75 95

esforo tangencial N (kN/m)

ngu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Soluo analtica CMEF Posies dos ns Grfico 6.7 - Curva de esforo tangencial N para o caso MEF.

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-6.00E-06 4.00E-06 1.40E-05 2.40E-05

giro (radianos)

ngu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Soluo analtica CMEF Posies dos ns Grfico 6.8 - Curva de giro para o caso MEF.



50

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

-1.70E-06 3.00E-07 2.30E-06 4.30E-06 6.30E-06

deslocamento (m)

ngu

lo -

base

par

a to

po (g

raus

)

Soluo analtica CMEF Posies dos ns Grfico 6.9 - Curva de deslocamento horizontal para o caso MEF.

Os valores de N e M no esto aqui exibidos porque so proporcionais a Q e M, respectivamente (ver eqs. (3.26) e (3.29)).

Nota-se que as respostas, exceto momento fletor M (grfico 6.6), so bem prximas das exatas. Para M a funo aproximativa resulta uma composio de polinmios lineares (terceira derivada do esforo cortante), o que explica a menor preciso e a necessidade por uma discretizao mais refinada.

7 CONCLUSES

Nota-se o grande potencial do enriquecimento com funes especiais para a soluo numrica do problema do reservatrio cilndrico, principalmente em relao descrio dos esforos. A aplicao convencional do MEF, que emprega base aproximativa hermitiana limitada, particularmente no que se refere descrio dos esforos internos generalizados. De fato, os grficos dos esforos apresentam descontinuidades entre os elementos, em razo da menor ordem de continuidade das derivadas da base aproximativa, diretamente empregadas na descrio do momento fletor e da fora cortante. As descontinuidades nos esforos so reduzidas com os procedimentos de enriquecimento propostos, quase desaparecendo para o RMEFH e para o RMEFBA. Cabe observar, entretanto, que a continuidade entre elementos da base aproximativa determina tambm a continuidade da aproximao enriquecida, independente do grau de enriquecimento atingido no interior do elemento. Portanto, a eficcia dos procedimentos de enriquecimento depende fortemente da continuidade da base aproximativa utilizada. De fato, considerando-se bases muito simples, apesar dos esforos serem mais bem representados pelos procedimentos enriquecidos em comparao com o MEF convencional, a continuidade entre os elementos, para as derivadas, no necessariamente garantida. Nesse aspecto o enriquecimento por base estendida mostra-se mais eficiente, permitindo contornar a questo de



51

continuidade, dispensando a alternativa de um aumento do grau de continuidade da aproximao base. Em relao s cpulas esfricas, a varivel aproximada pelas funes base foi diretamente um esforo solicitante, de modo que a forma convencional do MEF, recorrendo apenas ao refinamento da malha mostrou-se eficiente.

8 AGRADECIMENTOS

Agradecemos a CAPES, pelo apoio financeiro, e aos funcionrios do Departamento de Estruturas da USP de So Carlos, que forneceram toda a estrutura necessria para a realizao das pesquisas.

9 REFERNCIAS

BARROS, F. B. (2002). Mtodos sem Malha e Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados em Anlise No-Linear de Estruturas. 222p. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de So Carlos Universidade de So Paulo.

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BILLINGTON, D. P. (1965). Thin shell concrete structures. McGraw Hill Book Company, Inc.

DUARTE, C. A.; BABUKA, I.; ODEN, J. (2000). Generalized finite element methods for three-dimensional structural mechanics problems. Computers & Structures, v. 77, n. 2, p. 215232.

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MELENK, J. M.; BABUKA, I. (1996). The partition of unity finite element method: Basic theory and applications. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 39, p. 289314.

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REDDY, J. N. (1993). An introduction to the Finite Element Method. New York. McGraw-Hill.

TORRES, I. F. R. (2003). Desenvolvimento e aplicao do mtodo dos elementos finitos Generalizados em anlise tridimensional no-linear de slidos. So Carlos. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de So Carlos Universidade de So Paulo.

ZIENKIEWICZ, O. C. (1986). The Finite element method. London; New-York. McGraw-Hill.

ISSN 1809-5860


LADRILHOS E REVESTIMENTOS HIDRULICOS DE ALTO DESEMPENHO

Thiago Catoia1 & Jefferson Benedicto Libardi Liborio2

R e s u m o

Os ladrilhos hidrulicos so revestimentos produzidos utilizando aglomerante hidrulico, cuja tecnologia de produo no acompanhou a grande evoluo tecnolgica dos concretos, as disponibilidades de novos materiais e tcnicas de utilizao ocorrentes nos ltimos anos, sendo assim esses revestimentos perderam espao e competitividade no mercado pela caracterstica artesanal de sua produo. O trabalho tem como objetivo desenvolver uma argamassa para produo de ladrilhos hidrulicos utilizando a tecnologia utilizada na produo de concretos de alto desempenho. Os agregados foram selecionados e compostos utilizando diferentes tcnicas de empacotamento de partculas, essas tcnicas foram implementadas experimentalmente e seus resultados foram analisados e comparados atravs da medida de massa unitria no estado compactado seco. Os aglomerantes foram selecionados de forma a atender a utilizao de pigmentos claros e escuros necessrios para a produo de ladrilhos hidrulicos decorativos, assim foram elaboradas duas diferentes composies de aglomerantes, a primeira com cimento Portland branco estrutural e metacaulinita branca, e a segunda com cimento Portland de alta resistncia inicial resistente a sulfatos e slica ativa de ferro-silcio. Diferentes aditivos superplastificantes foram testados, sendo a medida de compatibilidade com os aglomerantes e a determinao dos teores ideais a serem utilizados com cada tipo de aglomerantes, realizadas atravs da medida de consistncia em mesa cadente. A avaliao das argamassas desenvolvidas para produo dos ladrilhos hidrulicos foi realizada atravs dos ensaios de compresso axial simples, trao na compresso diametral, e determinao do mdulo de elasticidade. Os ladrilhos hidrulicos foram produzidos em frmas previamente elaboradas e moldados com auxlio de vibrao, aps desmoldagem e cura foram avaliados atravs dos ensaios de mdulo de flexo, desgaste por abraso, absoro de gua, retrao por secagem, ao qumica, e determinao das variaes de dimenses em diferentes tempos de cura. Aps elaborao, produo e avaliao dos ladrilhos hidrulicos, tambm foram realizados alguns testes prticos, e avaliados os custos dos materiais para produo desses revestimentos, como parte de um estudo para implementao da produo desses elementos em escala industrial. Os ladrilhos hidrulicos desenvolvidos apresentaram alto desempenho nas caractersticas avaliadas, com resistncia compresso axial simples de at 143 MPa e absoro de gua prxima a 1 %, tambm apresentando viabilidade de produo. Palavras-chave: ladrilho hidrulico; argamassa; CAD; revestimento; durabilidade.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas EESC-USP, [email protected] 2 Coordenador do Laboratrio de Materiais Avanados Base de Cimento EESC-USP, [email protected]

Thiago Catoia & Jefferson Benedicto Libardi Librio


54

1 INTRODUO

Os ladrilhos hidrulicos so revestimentos produzidos com aglomerantes hidrulicos (cimentos Portland), definido pela NBR 9457:1986 como placa de concreto de alta resistncia ao desgaste para acabamento de paredes e pisos internos e externos, contendo uma superfcie com

caderno de estruturas

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