caderno de atividades impressao cco4 matematica financeira

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4Cincias Contbeis

Caderno de AtividadesMatemtica Financeira

Caderno de AtividadesCincias Contbeis

Disciplina Matemtica Financeira

Coordenao do CursoProf. Msc. Grasiele Aparecida Loureno

Autor Prof. Milton Rodrigues Gonalves

FICHA TCNICAEquipe de Gesto EditorialRegina Cludia FiorinAna Cristina FerreiraJoo Henrique Canella FirioPriscilla Ramos CapelloAnlise de ProcessosJuliana Cristina e SilvaFlvia Lopes

Reviso TextualAlexia Galvo AlvesGiovana Valente FerreiraIngrid FavorettoJulio CamilloLuana Mercrio

DiagramaoClula de Inovao e Produo de Contedos

ChancelerAna Maria Costa de SousaReitoraLeocdia Agla Petry LemePr-Reitor AdministrativoAntonio Fonseca de Carvalho

Pr-Reitor de GraduaoEduardo de Oliveira EliasPr-Reitor de ExtensoIvo Arcanglo Vedrsculo BusatoPr-Reitora de Pesquisa e PsGraduaoLuciana Paes de Andrade

Realizao:

Diretoria de Planejamento de EAD Jos Manuel Moran Barbara Campos

Diretoria de Desenvolvimento de EAD Thais Costa de Sousa

Gerncia de Design EducacionalRodolfo PinelliGabriel Arajo

2013 Anhanguera EducacionalProibida a reproduo final ou parcial por qualquer meio de impresso, em forma idntica, resumida ou modificada em lngua portuguesa ou qualquer outro idioma.

Como citar esse documento:GONALVES, Milton Rodrigues, Matemtica financeira. P. 1-160, 2013.Disponvel em: www.anhanguera.com. Acesso em: 01 ago. 2013.

CONTEDOSEHABILIDADES

LEITURAOBRIGATRIA

Sees

sees Sees


REFERNCIASFINALIZANDO

GLOSSRIOLINKSIMPORTANTES

AGORAASUAVEZ

6Tema

01

Revi

so

Mat

emt

ica

7Introduo ao Estudo da Disciplina Caro(a) aluno(a).

NICIO

Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro: Matemtica Financeira com HP 12C e Excel do autor Cristiano Marchi Gimenez, editora Pearson, 2010, Livro-Texto 199.

ROTEIRO DE ESTUDO:

Prof. Milton Rodrigues GonalvesMatemtica Financeira


Contedos Nesta aula, voc estudar:

Definio de porcentagem, potenciao, radiciao e logaritmos.

A identificao de uma progresso, discriminando se geomtrica ou aritmtica e seu tipo de razo.

Conceitos bsicos da matemtica financeira.

8NICIOCONTEDOSEHABILIDADES

Habilidades Ao final, voc dever ser capaz de responder as seguintes questes:

Por que importante a matemtica financeira?

O que porcentagem; razo; proporo e regra de trs?

Quais so os tipos de equaes?

LEITURAOBRIGATRIA

Reviso MatemticaVive-se, hoje, em uma economia que sustentada pelo crdito e por aplicaes financeiras. As empresas utilizam crditos e as pessoas fsicas tambm.

A matemtica financeira a ferramenta que determina como as operaes so realizadas e como so apurados os valores envolvidos. importante este conhecimento para uma boa gesto financeira tanto nas empresas como na vida pessoal.Alguns tpicos da matemtica para reviso:

Definio de nmeros

Nmeros naturais: representados pela letra N, so os nmeros inteiros. Exemplos: 0, 1, 2, 3...

Nmeros inteiros: representados pela letra Z. Exemplos: -2, -1, 0, 1, 2...

9LEITURAOBRIGATRIA

Nmeros racionais: So os nmeros que resultam da diviso de dois nmeros inteiros.

Exemplo: 43 .

Nmeros irracionais: So aqueles que podem ser obtidos pela diviso de dois nmeros inteiros. Exemplo: 2 , 3 ...

Nmeros reais: Unio dos conjuntos de nmeros racionais com irracionais.

PorcentagemDefinio: diviso de algo por 100.

Sendo assim: 10% igual a dcima parte de algo, ou seja, 10 dividido por 100.

Porcentagem parte de um total de 100 partes e o seu smbolo %.Exemplos:

a) 1% = 100

1 = 0,01

b) 3,5% = 100

3 = 0,035

c) 100% = 100100 = 1,00

Observe que, se qualquer nmero multiplicado por 1 (ou 100%) ele mesmo, ento qualquer nmero multiplicado por 0,10 (ou 10%) resultar em sua dcima parte.

Exemplos:

a) 10% de 100 = 0,10 x 100 = 10

b) 5% de 2000 = 0,05 x 2000 = 100

c) 0,55% de 600 = 0,0055 x 600 = 3,3

Adio de PercentualSe 10% de 100 10, ento 100 mais 10% de 100 ser igual a 110.

Reescrevendo: (100x1) + (100x0,10) = 110 ou 100 x (1+0,10) = 110.

Importante: veja os exemplos:

10

NICIO

a) 9,5% = 1,095 ou seja 100

5,9 = 0,095 + 1 = 1,095

b) 0,1% = 100

1,0 = 0,001 + 1 = 1,001

c) 120% = 100120 = 1,20 + 1 = 2,20

Observe que na letra C, o valor 120% igual a 1,2, que, somado ao nmero 1, resulta em 2,20.

Subtrao PercentualVeja o exemplo:

Um DVD custa R$ 50,00. Se o preo deste DVD for reduzido em 10%, qual ser o novo preo deste DVD?

O preo em porcentagem 100% e, como voc pode estudar no tpico porcentagem, 100% equivale ao todo, isto , ao preo todo do DVD.

Se o preo do DVD, que 100%, tiver uma reduo de 10%, ele passar a ser 90% do preo em reais. Ento o novo preo ser 90% de R$ 50,00.

Portanto:

Aps a reduo de 10% o DVD passar a custar R$ 45,00.

RazoRazo uma forma de se realizar a comparao de duas grandezas, no entanto, para isto, necessrio que as duas estejam na mesma unidade de medida. A razo entre dois nmeros a e b obtida dividindo-se a por b. Obviamente b deve ser diferente de zero.

32 : 16 um exemplo de razo cujo valor 2, isto , a razo de 32 para 16 igual a 2.

Voc s poder obter a razo entre o comprimento de duas avenidas se as duas medidas estiverem, por exemplo, em quilmetros, mas no poder obt-la caso uma das medidas esteja em metros e a outra em quilmetros ou qualquer outra unidade de medida que no seja o metro. Neste caso, seria necessrio que fosse eleita uma unidade de medida e se convertesse para ela a grandeza que estivesse em desacordo. Na razo, o nmero a chamado de antecedente e o b tem o nome de consequente.

LEITURAOBRIGATRIA

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ProporoProporo nada mais que a igualdade entre razes.Suponha que em determinada escola, na sala A tenham trs meninos para cada quatro meninas, ou seja, existe a razo de 3 para 4, cuja diviso de 3 por 4 igual 0,75. Suponha, agora, que na sala B tenham seis meninos para cada oito meninas. Ento a razo 6 para 8, que tambm igual 0,75. Neste caso, a igualdade entre estas duas razes vem a ser o que se chama de proporo, j que ambas as razes so iguais a 0,75.

Exemplo:

A soma de dois nmeros igual a 46. O primeiro est para o segundo, assim como 87 est para 51. Quais so os nmeros?

Identifique o primeiro deles por a e o segundo por b. Como dito no enunciado, a est para b, assim como 87 est para 51. A segunda propriedade das propores diz que:

a mais b resulta em 46, assim como 87 mais 51 resulta em 138. Substituindo-os na proporo o resultado :

Calculando o b:

Portanto:

O segundo dos nmeros igual a 17 e o primeiro igual a 29.

Regra de trs simplesRegra de trs um mtodo de resoluo de problemas que envolvem grandezas proporcionais.

LEITURAOBRIGATRIA

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NICIOLEITURAOBRIGATRIA

Exemplo: Um automvel viajando a 80km faz determinado percurso em 2 horas. Se a viagem fosse realizada velocidade de 120km/h, qual seria o tempo gasto?. Este um exemplo de problema que pode ser resolvido via regra de trs, no caso, uma regra de trs simples inversa.A soluo dos problemas de regra de trs tem como base a utilizao da propriedade fundamental das propores e a quarta proporcional.

Exemplo:

Uma pessoa leva duas horas e meia para percorrer 15km. Se ela tiver quer percorrer 54km, quanto tempo levar?

Existe a grandeza tempo (T) e a grandeza distncia (D). Quando a distncia aumenta, o tempo tambm aumenta. Por isso, as duas grandezas so diretamente proporcionais e, na representao, as duas tero a seta com a mesma orientao. Portanto no ser necessrio que se faa a inverso de termos para torn-las diretamente proporcionais.Resolvendo a questo:

Portanto, essa pessoa levar 9 horas para percorrer os 54km.

PotenciaoAssim como possvel expressar e resolver de forma mais simples uma soma de vrias parcelas iguais, recorrendo multiplicao, da mesma forma, possvel recorrer exponenciao para obter o produto de vrios fatores iguais. A potenciao ou exponenciao a operao de elevar um nmero ou expresso a uma dada potncia. Para entender o significado disto, observe a figura em vermelho direita.

Note que h o nmero 2 com o nmero 3 sobrescrito sua direita (23). O nmero 2 est elevado terceira potncia, ou ainda, 23 a terceira potncia de 2.

Nesta potncia, o nmero 2 a sua base e ao nmero 3 dado o nome de expoente.

Esta potncia representa a multiplicao de trs fatores iguais a dois, e ento, 23 igual a 2 . 2 . 2, que igual a 8.

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LEITURAOBRIGATRIA

Potncias com expoente 2 ou 3 possuem uma outra forma particular de leitura. A potncia 23 tambm pode ser lida como dois ao cubo, assim como a potncia 32 pode ser lida como trs ao quadrado.

Exemplo:

Calcule 4-2.Na parte terica estudado que:

Ento:

Logo:

4-2 = 1/16.

Radiciao a operao em que, dados o radicando e o ndice, se calcula a raiz.

Uma raiz pode ser quadrada, cbica, quarta, quinta, sexta, etc. O tipo de raiz est indicado no ndice.

Exemplos:

Se , ento, 24 =16. Portanto, a radiciao uma operao inversa potenciao.

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LogaritmosRepresentao algbrica do logaritmo:

bxa =logOnde a a base, x o logaritmando e b o logaritmo. Para qualquer nmero real x>0; a>0. O log acima pode ser representado em forma de potncia.

ba axbx ==log

Exemplo:

EquaesDefinio: sentena matemtica na qual aparece um sinal de igual e uma ou mais letras que representam nmeros desconhecidos chamados de incgnitas. A resposta de uma equao chamada de raiz, ou de soluo. Uma equao pode apresentar mais de uma raiz e isso est relacionado ao seu grau.

Tipos de equaesEquao do primeiro grau: qualquer equao que possa ser escrita na forma: ax2+bx+c=0, tendo como condio a0. A equao do segundo grau pode ser resolvida pela formula de Bhaskara, dada por:

acabbx

.2)..4(2

= , e apresenta duas razes como soluo, ainda que sejam idnticas ou

complexas.

Exemplo:

O triplo do quadrado do nmero de filhos de Pedro igual a 63 menos 12 vezes o nmero de filhos.

Quantos filhos Pedro tem?

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LEITURAOBRIGATRIA

Sendo x o nmero de filhos de Pedro, 3x2 equivale ao triplo do quadrado do nmero de filhos e que 63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o nmero de filhos. Montando a sentena matemtica:

3x2 = 63 - 12xEla pode ser expressa como: 3x2 + 12x - 63 = 0

H agora uma sentena matemtica reduzida forma ax2 + bx + c = 0, que denominada equao do 2 grau. Encontre, ento, as razes da equao, que ser a soluo do problema.,

Primeiramente calcule o valor de :

Como maior que zero, ento, a equao possui duas razes reais distintas.

As razes encontradas so 3 e -7, mas como o nmero de filhos de uma pessoa no pode ser negativo, descarta-se, ento, a raiz -7.

Portanto: Pedro tem 3 filhos.

Progresses NumricasExistem dois tipos de progresses diretamente utilizadas na matemtica financeira:

Progresso aritmtica (PA) (2, 4, 6, 8, 10)

Progresso geomtrica (PG) (2, 4, 6, 8, 16, 32)

Termo geral de uma PA: Permite que, a partir do valor do primeiro termo de uma PA, denominado a1, e de uma razo conhecida se determine qualquer termo da sequncia. Considere a seguinte PA crescente finita de cinco termos:

PA: (120,140,160,180,200). Note que a razo 20 e o primeiro termo 120.

Ento: an = a1 + (n-1)xr , onde an , um termo n qualquer (a1 o primeiro termo da sequncia, n o nmero de termos at an e r a razo).

Exemplo:

Qual o trigsimo mltiplo do nmero natural 21?

O nmero zero, com exceo dele prprio, mltiplo de todos os nmeros naturais, ento trata-se da seguinte P.A.:

P.A. (0, 21, 42, ..., a30)

16

NICIO

Busca-se o termo a30, sendo que existem os seguintes dados:

Atravs da frmula do termo geral possvel identific-lo:

an = a1 + (n - 1)r an = 0 + (30 - 1).21 an = 609Logo:

O trigsimo mltiplo do nmero natural 21 609.

Progresso Geomtrica (PG)Definio: sequncia numrica, finita ou no, formada por termos no-nulos, na qual, partindo do segundo termo, cada termo igual ao anterior multiplicado por um valor fixo, denominado razo, que simbolizada por (q).Assim como a progresso aritmtica, a PG pode ser crescente, decrescente e tambm outro tipo denominado oscilante.PG crescente finita 1: (2, 4, 8, 16, 32). Essa uma PG de razo q = 2PG decrescente finita 1: (32, 16, 8, 4, 2). Essa uma PG de razo q = PG oscilante finita: (2, -4, 8, -16, 32). Essa uma PG de razo q = - 2Termo geral de uma PG: observe que em uma PG a razo q repete mais de uma vez. Com base nesse conceito segue-se a frmula para o clculo do termo geral de uma PG: an =a1.q

n-1, onde an um termo n qualquer, a1 o primeiro termo da sequncia e q a razo.

LEITURAOBRIGATRIA

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LINKSIMPORTANTES

Quer saber mais sobre o assunto? Ento:Leia o artigo Matemtica financeira sem complicaes. Disponvel em: . Acesso em: 1 ago. 2012. O artigo mostra de maneira prtica as aplicaes da matemtica financeira na vida do micro empresrio.

AGORAASUAVEZ

Instrues: Agora exercite o seu aprendizado por meio da resoluo das questes deste caderno de atividades. Lembre-se que para responder as questes, voc precisar assistir s aulas, ler o Livro-Texto, refletir, pesquisar, elaborar e discutir os temas relativos disciplina de Matemtica Financeira.Leia cuidadosamente os enunciados e atente para o que est sendo pedido e para o modo de resoluo de cada questo.

Ponto de Partida:

Elabore uma tabela contendo todas as frmulas desta aula de reviso, isso ser

muito til no desenvolvimento das prxi-mas aulas de matemtica financeira. Tente elaborar utilizando o recurso do equation editor.

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NICIO

RESPOSTA DISSERTATIVA

Agora com voc! Responda s questes a seguir para conferir o que aprendeu!

Questo 1:

Com a minha ltima venda, reduzi a minha coleo de quadros em 5%. Antes da ven-da eu tinha 80 quadros e agora?

A quantidade de quadros que eu possua anteriormente correspondia a 100% da minha coleo, ou seja, a minha coleo toda. Como eu vendi mais 5%, eu passei a ter 95% da coleo.

A minha coleo agora conta com 105% dos 80 quadros que eu possua. Portanto, a minha coleo agora conta com quantos quadros?

Questo 2:

Fiz uma aposta e perdi 35% dos R$ 1000,00 que possua guardado. Quanto eu ainda tenho?

Questo 3:

Dois nmeros somados totalizam 510. Sabe-se que um deles est para 8, assim como o outro est para 9. Quais so os dois nmeros?

Chame o primeiro nmero de a e o outro nmero de b. Do enunciado, compreenda que a est para 8, assim como b est para

9. Utilizando a propriedade das propores, o resultado ser:

Questo 4:

Em uma panificadora so produzidos 90 pes de 15 gramas cada um. Caso queira produzir pes de 10 gramas, quantos pes ir obter?

Questo 5:

A soma da minha idade com a idade de meu irmo, que 7 anos mais velho que eu, resulta em 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?

Questo 6: O volume de chuvas na minha regio foi de 30 ml nos dois ltimos dias. Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva de hoje?

Questo 7:

O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrs e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?

AGORAASUAVEZ







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Questo 8:

Quais so as razes da equao

x2 - 14x + 48 = 0?

Questo 9:

O nmero 15 possui quantos mltiplos com 2 dgitos?

Questo 10:

(UFRGS) Em uma PG de razo positiva o primeiro termo igual ao dobro da razo, e a soma dos dois primeiros 24. Nessa progresso a razo :

a) 1.b) 2.c) 3.d) 4.

e) 5.

AGORAASUAVEZ

INDIQUE A ALTERNATIVA CORRETA

Neste tema de reviso voc pde rever diversas frmulas para resoluo de problemas que sero essenciais na matemtica financeira.

FINALIZANDO



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NICIO

Percentual: Relativo percentagem.

Progresso: Srie de nmeros ou de quantidades que derivam sucessivamente umas das outras segundo uma mesma lei.

Proporo: Igualdade entre razes.

Radiciao: Operao de extrair de um nmero a raiz indicada.

GLOSSRIO

Tema 1Reviso MatemticaQuesto 1Resposta: A minha coleo conta agora com 76 quadros.

Questo 2Resposta: Os R$ 1000,00 representam 100% da quantia que eu tinha. Como perdi 35%, a nova quantia passou a ser de 65% dos R$ 1000,00. Portanto, ainda tenho R$ 650,00.

GABARITO

21

Questo 3

Resposta: .a e b, somados, resultam em 510, assim como a adio de 8 a 9 resulta em 17. Substituindo estes valores na proporo:

Portanto,os dois nmeros so 240 e 270.

Questo 4Resposta:

Questo 5Resposta: Eu tenho 15 anos de idade.

Questo 6Resposta: O volume de chuva de hoje foi de 10 ml.

GABARITO

22

NICIOGABARITO

Questo 7Resposta: Agora eu tenho 45 anos.

Questo 8Resposta: As razes da equao x2 - 14x + 48 = 0 so 6 e 8.

Questo 9Resposta: P.A. ( 15, 30, 45, 60, 75, 90 ). Logo, o nmero 15 possui 6 mltiplos com 2 dgitos.

Questo 10Resposta: Alternativa C.


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AGORAASUAVEZ

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Tema

02

Mat

emt

ica

Fina

ncei

ra

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Introduo ao Estudo da Disciplina Caro(a) aluno(a).

NICIO


ROTEIRO DE ESTUDO:




Os fundamentos da matemtica financeira.

Noes de juros simples.

Noes de juros compostos.

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NICIOCONTEDOSEHABILIDADES


O que capitalizao simples?

Como fazer o clculo de valores futuros?

Qual a diferena entre juros simples e juros compostos?

LEITURAOBRIGATRIA

Matemtica FinanceiraQuando se fala de crditos ou aplicaes est-se falando de conceitos que utilizam a matemtica financeira como ferramenta principal.

Isto ocorre porque quando se empresta dinheiro de algum, ou para algum(investimento), existe algo comum a ambos, o juro.

A definio clssica de juro :

Juro o custo do capital

A remunerao do trabalho o salrio, a remunerao do uso da terra (imveis) o aluguel e a remunerao do uso do dinheiro de terceiros o juro.Existem dois sistemas de capitalizao de juros:

Juro simples e Juro Compostos.Qual a diferena entre eles?

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LEITURAOBRIGATRIA

Juro simples: No regime de capitalizao de juro simples a base de clculo do juro sempre ser o montante inicial (o valor que d origem a operao), independente do prazo da operao.

Juro Composto: No regime de capitalizao de juro composto a base de clculo do juro sempre ser o saldo final do perodo anterior (composto de saldo + juro).

Itens necessrios para o desenvolvimento de clculos bsicos:Para desenvolver clculos matemticos financeiros necessrio possuir algumas variveis, pois se algum vai emprestar ou aplicar, precisa saber: por quanto tempo? Qual a taxa de juros? Quanto ser emprestado e quanto ser pago?

Terminologias:P Valor presente (PV) o valor inicial de uma operao, representa o instante zero.

Tambm chamado de: Valor origem O, Valor Principal P ou Capital C.

i Taxa de juros peridicaVem do ingls interest rate (taxa de juros).Ela sempre dever estar vinculada a sua forma de incidncia, por exemplo, diria, quinzenal, mensal, semestral, anual etc.

Nos clculos manuais dever ser utilizada sempre na sua forma decimal.

n Nmeros de perodos da operao. o prazo da operao que deve estar em acordo com a taxa de juros.

F Valor futuro (FV) o valor final de uma operao, composto por amortizao mais juros.Tambm chamado de: Valor de resgate, Montante M ou Saldo futuro S.

30

NICIO

Diagrama das operaes financeiras

Para ocorrer uma operao financeira necessrio, pelos menos, dois agentes: o tomador e o financiador.

Esta operao pode ser representada graficamente em forma de diagrama, conhecido como fluxo de caixa e esse diagrama composto por uma linha do tempo, valores de entrada e valores da sada.

Exemplo:

Voc empresta R$ 1.000,00 de um amigo e dever efetuar o pagamento daqui 5 meses, acrescentando R$ 100,00 de juros.

Fluxo de caixa (viso tomador):

Fluxo de caixa (viso financiador):

LEITURAOBRIGATRIA

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LEITURAOBRIGATRIA

Exemplos:

Qual ser o valor futuro de um emprstimo (Juro Simples) de R$1000.00, com vencimento em 5 meses, com uma taxa de 10%a.m.?

Utilizando uma planilha de evoluo de dvida:

Meses Juros Saldo 0 1.000,001 100,00 1.100,002 100,00 1.200,003 100,00 1.300,004 100,00 1.400,005 100,00 1.500,00

Juros Simples Evoluo linear saldo devedor

Juros SimplesO regime de juros simples aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema no utilizado na prtica nas operaes comerciais, mas, a anlise desse tema, como introduo Matemtica Financeira, muito importante.

Quando se fala em juro simples, deve-se considerar:

32

NICIO

Capital (C): o dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado.Taxa de juros (i): a taxa de porcentagem que se paga pelo aluguel do dinheiro.Tempo (t): o tempo que transcorre durante o emprstimo.Juros (J): juros produzidos depois de t perodos, do capital C aplicado a uma taxa de juros, por perodo, igual a i.Montante (M): o total que se paga no final do emprstimo (capital + juros).

Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, possvel escrever a seguinte frmula, facilmente demonstrvel:

J = C i t

No final de t perodos, claro que o capital ser igual ao capital inicial C adicionado aos juros J produzidos no perodo. O capital inicial, adicionado aos juros do perodo, denominado MONTANTE (M).

Exemplos:

Um aparelho eletrnico custa R$ 620,00 vista. Em 5 prestaes mensais, o preo passa a ser de R$ 868,00. Sabendo-se que a diferena entre os preos devida ao juro, qual a taxa de juros cobrada ao ms por essa loja?

Resoluo:

Deve-se marcar os dados:

C = R$ 620,00

t = 5 meses

M = R$ 868,00

J = R$ 868,00 - R$ 620,00 = R$ 248,00

i = ?

Ento, aplicando a frmula:

j = C.i.t

LEITURAOBRIGATRIA

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LEITURAOBRIGATRIA

248=620.i.5

248=3100.i

3100.i=248

i = 248 / 3100

i = 0,08

i = 8 / 100

i = 8%

Portanto, a taxa de 8% ao ms.

Juros CompostosO atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo e, no caso do composto, o juro incide ms a ms de acordo com o somatrio acumulativo do capital, com o rendimento mensal, isto , prtica do juro sobre juro.

As modalidades de investimentos e financiamentos so calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro.

Tambm, possvel dizer que: aquele que, em cada perodo financeiro, a partir do segundo calculado sobre o montante ao perodo anterior.

Dessa forma, o juro produzido no fim de cada perodo somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no perodo seguinte.

Exemplo:

Qual ser o valor futuro de um emprstimo (Juro Compostos) de R$1000.00 com vencimento em 5 meses, com uma taxa de 10%a.m.?

Utilizando uma planilha de evoluo de dvida:

Meses Juros Saldo 0 1.000,001 100,00 1.100,002 110,00 1.210,003 121,00 1.331,004 133,10 1.464,105 146,41 1.610,51

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NICIO

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Juros Compostos evoluo exponencial saldo devedor

1610

1464

1331

1210

1100

1000

1 2 3 4 5 Meses

Diferena entre juros simples e compostosA capitalizao simples acontece de forma linear, enquanto a capitalizao composta exponencial.Isso faz com que, a partir do valor Presente P, o valor final em um instante Fn qualquer, seja maior nos juros compostos (desde que n seja nmero inteiro e maior que 1).A principal diferena entre juros simples e compostos ocorre quando a capitalizao inferior a 1. Neste caso, os juros simples so maiores que os compostos.

Exemplo:

Tempo n Juros Simples Juros Compostos0,30 de 1 ms F0,3 = 1.030,00 F0,3 = 1.029,00

5 meses F5 = 1.500,00 F5 = 1.610,51

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LINKSIMPORTANTES

Quer saber mais sobre o assunto? Ento:Leia o artigo Matemtica financeira mini curso .

Disponvel em: .Acesso em: 3 ago. 2012.

O artigo mostra as operaes bsicas e todas as terminologias de matemtica financeira.

Leia o artigo: Matemtica financeira juro simples e composto.

Disponvel em: . Acesso em: 3 ago. 2012. O artigo mostra as operaes bsicas e todas as terminologias de matemtica financeira.

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NICIOAGORAASUAVEZ

Instrues: Agora, exercite o seu aprendizado por meio da resoluo das questes deste caderno de atividades. Lembre-se que para responder as questes, voc precisar assistir s aulas, ler o Livro-Texto, refletir, pesquisar, elaborar e discutir os temas relativos disciplina de Matemtica Financeira.Leia cuidadosamente os enunciados e atente para o que est sendo pedido e para o modo de resoluo de cada questo.

Ponto de Partida:

Realize a seguinte expresso e entregue ao seu professor tutor.Ao realizar um emprstimo no valor de R$ 2.300,00 em determinada financeira, seu contrato diz que o prazo de financiamento ser de 6 meses no regime de capitaliza-o de juros compostos, a taxa de 7,5% ao ms. Qual ser o montante que voc paga-r de juros?


Questo 1:

Uma aplicao feita durante 2 anos, a uma taxa de 18% ao ano, rendeu R$ 1800,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada?

Questo 2:

Voc emprestou R$ 300,00 para seu irmo a juros simples. Ele dever lhe pagar daqui 9 meses. Considerando uma taxa de juros de 2% ao ms, quanto voc dever receber?

Questo 3:

Voc paga hoje R$ 1.200,00 por um em-prstimo de R$ 1.000,00 feito h 8 meses. Calcule a taxa mensal a juros simples.

Questo 4:

Um banco cobra 8% ao ms no cheque espe-cial. No incio do ms voc utiliza R$ 100,00 desse limite e cobre sua conta 14 dias aps. Quanto voc pagar de juros?


RESPOSTA DISSERTATIVA RESPOSTA DISSERTATIVA



37

Questo 5:

Voc emprestou R$ 300,00 para seu irmo a juros compostos. Ele dever lhe pagar daqui 9 meses. Considerando uma taxa de juros de 2% ao ms, quanto voc dever receber?

Questo 6: Hoje voc aplicou R$ 1.200,00 em um fun-do que paga 1,37% a.m. (fixo) pelos prxi-mos trs meses. Desconsiderando impos-tos, quanto voc ter o direito de sacar?

Questo 7:

Qual a diferena entre juros simples e compostos?

Questo 8:

Quando o juro simples maior que os juros compostos?

Questo 9:

Se voc receber hoje R$ 740,00 por um emprstimo de 3% a.m., qual o valor desse emprstimo?

Questo 10:

Depois de quanto tempo voc ter o direito de resgatar R$ 8.191,80 se aplicar hoje R$ 3.330 a 7,3% ao ms?

AGORAASUAVEZ

FINALIZANDO

Neste tema de voc estudou como identificar as principais diferenas entre juros simples e compostos. Definir os principais componentes de uma operao financeira, alm das terminologias que constituem na identificao das variveis comuns aos problemas propostos.



RESPOSTA DISSERTATIVARESPOSTA DISSERTATIVA



38

NICIO

Amortizao: Extino gradual de uma dvida; amortizao financeira.

Capitalizao: Ao de capitalizar, de acumular.

Contrapartida: Equivalncia, correspondncia, compensao.

Diagrama: Representao visual estruturada e simplificada de um determinado conceito ou idia.

Juros: Lucro, prmio de dinheiro emprestado.

Linear: Matemtica Funo linear, aquela em que cada varivel no excede o primeiro grau, excludos os produtos das variveis.

GLOSSRIO

GABARITO

Tema 2Matemtica FinanceiraPonto de PartidaResposta: R$ 1.249,59.

Questo 1Resposta: A quantia aplicada foi de R$ 5.000,00.

39

Questo 2Resposta: R$ 354,00.

Questo 3Resposta: 2,5%.

Questo 4Resposta: R$ 1.037,33.



Questo 7Resposta: Os juros simples so lineares e os compostos, exponenciais.

Questo 8Resposta: Quando o perodo de capitalizao for menor do que 1.


Questo 10Resposta: 20 meses.

GABARITO


LEITURAOBRIGATRIA

Sees

sees Sees




AGORAASUAVEZ

42

Tema

03

Calc

ulad

ora

HP 1

2C

43


NICIO


ROTEIRO DE ESTUDO:




Informaes gerais e bsicas sobre a HP 12c.

Como utilizar a HP 12c nos clculos.

Compreender como a HP 12c funciona.

44



Quando e como utilizar as funes financeiras?

Como fazer o clculo de valores futuros?

Como detectar e compreender as mensagens de erro da HP 12c?

LEITURAOBRIGATRIA

Calculadora HP 12CConhecendo a sua calculadora HP 12CDepois de tantas contas feitas manualmente, chegou a hora de resolv-las usando a HP-12C.

Voc ver neste tema algumas operaes, as mais usadas. No seu livro texto voc encontrar outras informaes para o bom uso desta ferramenta to importante para o curso.

A diferena entre uma HP-12C e as calculadoras convencionais est na forma de entrada dos dados. As calculadoras convencionais executam clculos de uma forma direta, ou seja, obedecendo sequncia natural da Matemtica. Para fazer a operao 2+3, tecla-se primeiro 2, depois o +, em seguida o 3 e, finalmente, a tecla =. O Resultado 5.

45

LEITURAOBRIGATRIA

Na HP-12C voc no tem a tecla =. Ela opera com o sistema de entrada de dados RPN (Notao Polonesa Reversa), onde introduzido, primeiro, os dados, separados pela tecla ENTER e, depois, as operaes. Tal sistema torna os clculos extensos muito mais rpidos e simples.

Usando a HP-12C para fazer a operao 2 + 3:

Ligando a HP-12C (pressione a tecla ON)

Caso o visor apresente um nmero diferente de zero, limpe-o usando a tecla CLX (Clear x = limpa o visor).

Depois pressione a tecla f e a seguir a tecla 2 para o visor apresentar duas casas decimais. Agora aperte 2, pressione ENTER e, em seguida, 3. Por ltimo, a tecla +. O Resultado 5.

Configurando as casas decimais

Na matemtica financeira normalmente recomendado trabalhar com, pelo menos, 4 casas decimais para que os clculos tenham boa preciso.Para definir o nmero de casas decimais, pressione a tecla f e depois o nmero de casas decimais que desejar.Exemplo: para trabalhar com 4 casas decimais, pressione f e depois 4.

Mudando de ponto para vrgula Nos Estados Unidos, o padro de utilizao do ponto e da vrgula dos nmeros oposto ao que utilizados no Brasil. L, os milhares so separados pela vrgula e a parte fracionria separada com o ponto.A HP 12C sai da fbrica com esse padro e, para mud-lo para o padro brasileiro, faa o seguinte:

46

NICIO

Com a calculadora desligada, aperte a tecla depois a tecla ponto (mantendo a tecla on pressionada). Segure um pouco e solte ambas. Assim, ponto e vrgula so trocados. Para reverter, faa o mesmo.

Padro Brasileiro

Padro Americano

Apagar todos os registrosAo iniciar qualquer clculo faa a seguinte sequncia: acione f Clx.Como j mencionado no incio, a HP 12C faz as operaes bsicas em RPN, o que significa que primeiro se introduz os nmeros e depois o sinal da operao. Exemplo:

a) 7 + 5 Na sua HP faa o seguinte: 7 enter 5 + o resultado = 12.b) 8 4 Seguir o mesmo procedimento: 8 enter 4 o resultado = 4.

Veja em operaes com mais de uma situao:

a) (2,7 + 4) x 2 Resolvendo na HP 2,7 enter 4 + 2 x o resultado ser 13,4.

b) Resolvendo na HP 3,2 enter 0,27 + 2,27 enter 2 / + enter 4,5 / = resultado 1,023.

Potenciao e RadiciaoPara operaes que envolvem valores exponenciais voc ter o auxlio da tecla yx.Para resolver alguns exerccios, antes de tudo, pressione f CLx .

a) 25 = 2 enter 5 Yx 32,00

LEITURAOBRIGATRIA

47

Outras dicas:

Para elevar potncia, possvel utilizar a tecla yx . Assim, um nmero y elevado a uma base x que est no visor:

34

Pressione Visor3 ENTER 3,00

4 y x 81,00

No entanto, quando o expoente for 2, possvel usar um caminho mais curto:

122

Pressione Visor12 ENTER X 144

Para tirar a raiz quadrada:

Pressione Visor

30 g 5,48

Logaritmo NeperianoA maioria das aplicaes e captaes existentes no mercado financeiro esto inseridas no regime de capitalizao composta, que, matematicamente falando, tem comportamento exponencial ou logartmico.

Os logaritmos neperianos tm base e.O nmero e obtido da expresso quando se faz x crescer indefinidamente, ou seja, tender a infinito. , aproximadamente, 2,718281828... .

Para calcular a logaritmo neperiano - LN na HP12C:

LEITURAOBRIGATRIA

48


Digite o nmero. Pressione ENTER para separar o segundo nmero do primeiro. Digite a tecla g para acionar as funes em azul. Pressione a tecla LN.

Exemplo:

LN 10Na HP 10 ENTER g LN

No visor aparecer = 2,3026

Operaes com datas:Esta funo serve para fazer clculos com datas, manipulando datas entre 15 de outubro de 1582 at 25 de novembro de 4046.

Para trabalhar com datas no formato ms, dia e ano (comum na lngua inglesa):

Pressione a tecla g para acessar funes azuis. Pressione a tecla M.DY .Obs.: No aparecer nada na tela. Porm, a calculadora assumiu este tipo de formato.

A HP12C j vem com este formato pr-definido. Na lngua inglesa a data escrita da seguinte forma: Abril, 01 1998.

Para introduzir datas pelo sistema ingls na HP12C:

Pressione os dois dgitos do ms.

Pressione a tecla do ponto decimal . Pressione os dois dgitos do dia.

Pressione os quatro dgitos do ano.

Pressione ENTER para separar o segundo nmero do primeiro.

49

LEITURAOBRIGATRIA

Exemplo:

Introduzir a data 01 de maio de 1964, no formato ingls.

Pressione 5 (referente ao ms de maio).

Pressione a tecla ponto decimal para separar o ms do restante da data.

Pressione 01 (referente ao dia).

Pressione 1964 referente ao ano.

Pressione ENTER para separar o segundo nmero do primeiro.Pressione f para trabalhar com as teclas de funo amarelas - alterar o nmero de casas decimais.

Para trabalhar com datas no formato dia, ms e ano (comum na lngua portuguesa):

Pressione a tecla g para acessar funes azuis. Pressione a tecla D.MY .Obs.: Aparecer na parte inferior do teclado, ao lado do C, as letras DMY, que correspondem a Day, Month, Year.

Como introduzir datas pelo sistema brasileiro na HP12C:

Pressione os dois dgitos do dia.

Pressione a tecla do ponto decimal .

Pressione os dois dgitos do ms.

Pressione os quatro dgitos do ano.

Pressione ENTER para separar o segundo nmero do primeiro.

50

NICIO

Para se calcular datas e dias transcorridosA calculadora configurada para o padro brasileiro de datas, dia-ms-ano, teclando g DMY.

Para calcular quantos dias se passaram desde 01/01/2000 a 08/04/2011:

Pressione f 6 para deixar com 6 casas depois da vrgula.

Pressione 01.012000 e Enter.08.042011 ?DYS (tecla EEX).

Resultado: 4115 dias.

Se a data desejada for anterior a atual, utilize a tecla CHS para entrar como valor negativo.

08.042011 Enter.

08.022011 CHS ?DYS (tecla EEX).

Resultado: - 59 dias.

Uso da HP 12C para o clculo de porcentagensA calculadora HP12C possui trs teclas para resoluo de problemas de clculo de porcentagem:

D %

%T

%

Clculo de porcentagem uso da tecla %Para calcular x% de N:

Digite o nmero N.Tecle ENTER.Digite o nmero x.Pressione a tecla %.

LEITURAOBRIGATRIA

51

LEITURAOBRIGATRIA

Exemplo: Calcule 22% de R$ 3.000,00.

Insira 3000.ENTER.22.%.

Resultado no visor = 660.

Clculo de diferena percentual uso da tecla D%Para encontrar a diferena percentual entre dois nmeros M (nmero base) e N.

Digite o nmero base M.Tecle ENTER.Digite o outro nmero.Pressione a tecla D%.

Exemplo:

O valor de um lote de 1000 aes de uma empresa baixou de R$ 96,00 para R$ 91,00 . Qual foi a variao percentual?

Na HP 12C:

Pressione 96.

Pressione ENTER.Pressione 91.Pressione D%.

Resultado= -5,21 (o sinal de subtrao quer dizer que houve uma reduo de 5,21%).

Percentual de um total uso da tecla %TPermite calcular qual percentual um nmero representa em relao a outro.

52


Exemplo:

Uma empresa efetuou no ms passado vendas de R$ 3,92 milhes nos Estados Unidos, R$ 2,36 milhes na Europa e R$ 1,67 milhes no resto do mundo. Qual o percentual sobre o total de vendas correspondeu ao resto do mundo?

Na HP12C:

Pressione 3,92.

Pressione ENTER.Pressione 2,36+.

Pressione 1,67+.

Pressione 1,67.

Pressione %t.

Aparecer no visor o nmero 21,00, que corresponde ao percentual de 21,00%.

Outros exemplos de variaes voc encontra no seu Livro, no deixe de exercitar.

Funes Financeiras BsicasAs principais teclas que voc utilizar sero:

PV Valor Presente utilizar sempre em funo de taxa e tempo.PMT Pagamentos/parcelas sempre em funo de taxa e tempo.

FV Valor futuro - sempre em funo de taxa e tempo.i Taxa de juros.n Nmero de perodos.

Na frmula ()niPS += 1 o principal (P) tambm conhecido como Valor Presente (PV) e o montante (S) tambm conhecido como Valor Futuro (FV).

53

LEITURAOBRIGATRIA

Na HP 12C possvel expressar assim: FV = PV (1+i)n.

Algumas InstruesClculo de PV:

Entre com o valor de FV.

CHS FV.

0.

PMT.

Entre com o valor de n.

Tecle n.

Entre com o valor de i.

Tecle i.

Tecle PV.

Clculo de n:

Entre com o valor de PV. CHS PV. 0. PMT. Entre com o valor de FV. Tecle FV. Entre com o valor de i. Tecle i. Tecle n.

54

NICIO

Clculo de i:

Entre com o valor de PV. CHS PV. 0. PMT. Entre com o valor de FV. Tecle FV. Entre com o valor de n. Tecle n. Tecle i.

Exemplo:

Qual o valor total, daqui a 12 meses, se for aplicado R$ 1.000,00 a 2,5% ao ms?

Soluo: FV = 1000 (1+0,025)12 = R$ 1.344,89

Lembre-se:

a) sempre conveniente, antes de operar com a HP 12C, teclar f CLEAR REG (limpa registradores), ou f CLEAR FIN (limpa registradores financeiros, mas, no limpa o visor).

b) Para alterar o nmero de casas decimais apresentados pela HP 12C, estando ela ligada, tecle f seguido de um nmero 1,2,3,4..etc., para obter no visor 1,2,3,4...casas decimais. Por exemplo: o comando f4, colocar a calculadora para exibir no visor 4 casas decimais.

c) Na calculadora HP 12C, o termo registradores significa memrias de armazenamento de dados, enquanto o termo registradores financeiros refere-se aos registros especiais nos quais so armazenados os valores de n, i, PV, PMT e FV.

LEITURAOBRIGATRIA

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LINKSIMPORTANTES

Quer saber mais sobre o assunto? Ento:Leia o artigo: Calculadora HP12C como ferramenta na prtica pedaggica do ensino de estatstica. Disponvel em: . Acesso em: 10 ago. 2012.O artigo mostra as operaes bsicas e todas as terminologias do uso da calculadora HP--12C na matemtica financeira.

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Instrues: Agora exercite o seu aprendizado por meio da resoluo das questes deste caderno de atividades. Lembre-se que, para responder as questes, voc precisar assistir s aulas, ler o Livro-Texto, refletir, pesquisar, elaborar e discutir os temas relativos disciplina de Matemtica Financeira.Leia cuidadosamente os enunciados e atente para o que est sendo pedido e para o modo de resoluo de cada questo.

Ponto de Partida:

Calcule a soluo deste problema:

Um emprstimo de $8.000,00 rendeu juros de R$2.520,00 ao final de 7 meses. Qual a taxa de juros do emprstimo?


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NICIO


Questo 1:Calcule na sua HP essa operao:

(124 12 x 13,9355 - 0,0002 + 16) =

Questo 2:Calcule na sua HP:

(36 + 32 - 24) 11 =

Questo 3:Calcule na sua HP:

[(144 12 + 8) + 10] 3 =

Questo 4:O preo de tabela de um pacote de arroz de R$28,34. O vendedor oferece um des-conto de 5% e o imposto sobre o preo da venda de 7%. Qual ser o valor do desconto do vendedor e o preo total final, caso realize a compra?

Questo 5:Qual a data e o dia da semana, transcor-ridos 100 dias aps 31/12/1999.

Questo 6: O preo do combustvel teve uma reduo no seu valor na bomba do posto de gasoli-

na, passando de R$ 2,95 para R$ 2,20. Qual foi a variao percentual no preo?

Questo 7:Uma exportadora de produtos alimentcios fez a seguinte operao de sua produo: R$ 7,99 milhes para a Itlia, R$ 8,10 mi-lhes para a Espanha, R$ 800 mil para a Argentina e R$ 2,78 para a Frana. Qual o percentual que representou as vendas para a Argentina?

Questo 8:Quanto se deveria pagar hoje para ter o direito de receber R$ 10.000,00 daqui 5 anos, a juros de 10% ao ano?

Questo 9:Calcular qual a taxa de juros que deve-se empregar o capital de R$ 150.000,00 para render, no final do perodo de 6 anos, o montante de R$ 251.565,00? Questo 10:O capital de R$ 37.500,00 colocado no regime de capitalizao composta taxa de 9% ao trimestre. No fim de certo prazo, o montante atingiu R$ 62.891,25. Calcule o nmero de meses.

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FINALIZANDO

Neste tema de voc estudou as principais operaes com a calculadora HP 12C, essa ferramenta ser muito til na sua vida profissional e pessoal e o aprendizado poder lhe proporcionar um melhor entendimento de diversas operaes financeiras, hoje aplicadas no dia a dia e, principalmente, na sua vida profissional.

GLOSSRIO

Logaritmos: Em termos simples, o logaritmo o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potncia.

Potenciao: A potenciao ou exponenciao a operao de elevar um nmero ou expresso a uma dada potncia.

Radiciao: uma operao matemtica, sendo a raiz apenas uma forma de se representar a potenciao com expoente fracionrio.

Taxa Interna de Retorno (TIR): Em ingls IRR (Internal Rate of Return), uma taxa de desconto hipottica que, quando aplicada a um fluxo de caixa, faz com que os valores das despesas, trazidos ao valor presente, seja igual aos valores dos retornos dos investimentos, tambm trazidos ao valor presente.

Valor Presente Lquido (VPL): Tambm conhecido como valor atual lquido (VAL) ou mtodo do valor atual, a frmula matemtico-financeira capaz de determinar o valor presente de pagamentos futuros descontados a uma taxa de juros apropriada, menos o custo do investimento inicial.

58

NICIO

Tema 3Calculadora HP 12CPonto de PartidaResposta: SOLUO:j = Pin.

2520 = 8000.i.7.

Da, vem imediatamente que i = 2520 / 8000.7.

Ento, i = 0,045 a.m = 4,5% a.m.

Questo 1Resposta: 160,000.




Questo 5Resposta: 31.121999 Enter 100 DATE (tecla CHS)Resultado: 9.042000 7 (09/04/2000 Domingo) ( 1 segunda, 2 tera, ... 7 domingo).

GABARITO

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Questo 6Resposta: Variao de -25,42%.Questo 7Resposta: Representou 4,07%.

Questo 8Resposta: 10000 = PV (1 + 0,10)5 :. PV = R$ 6.209,21.

Questo 9Resposta: 251565 = 150000 (1 + i)6 :. i = 9% a.a.

Questo 10Resposta: 62891,25 = 37500 (1 + 0,09)n :. n = 6trimestres = 18 meses.

GABARITO


LEITURAOBRIGATRIA

Sees

sees Sees




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Tema

04

Utili

zand

o o

Exce

l

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NICIO


ROTEIRO DE ESTUDO:




Os princpios bsicos do excel.

Conhecer os recursos aplicados na matemtica.

Criao de planilhas teis nos clculos.

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Como realizar clculos no Excel.

Como programar frmulas no Excel.

Utilizar o Excel nos problemas relacionados a matemtica financeira.

LEITURAOBRIGATRIA

Utilizando o ExcelIntroduo Esta aula tem a finalidade de lhe oferecer uma viso geral do processo de criao, edio, impresso e manuteno de uma planilha, e, ao completar este primeiro processo introdutrio, voc ter condies de criar suas primeiras planilhas com todos os recursos necessrios. , sem dvida, o captulo mais importante. Pratique-o.

Iniciando o ExcelPara iniciar o Microsoft Excel voc deve dar um clique duplo em seu cone no menu Programas Microsoft Excel. Outra maneira de fazer isso por intermdio do atalho para o programa, que estar disponvel na pasta Microsoft Office. A aparncia da pasta vai depender da instalao ou da verso de seu software.

65

LEITURAOBRIGATRIA

A rea de TrabalhoAo ser iniciado, o Excel exibir sua rea de trabalho, mostrando uma planilha (pasta de trabalho) em branco com o nome de Pasta1. Veja a figura abaixo:

Painel de Tarefas

Barra de rolagem vertical

Rolagem Vertical

Barra de rolagem horizontal

Rolagem Horizontal

Barra de Status Barra de Status

N Linhas

N Linhas

Caixa Nome

Letras das Colunas

Barra de Frmulas Barra de Ferramentas Barra de Menus

A rea de trabalho do Excel XP composta por diversos elementos, entre os quais possvel destacar os seguintes itens como sendo principais:

ClulasUma planilha composta por clulas. Uma clula a interseo de uma coluna com uma linha. Sua funo armazenar informaes que podem ser um texto, um nmero ou uma frmula e que faam meno ao contedo de outras clulas. Cada clula identificada por um endereo, que composto pela letra da coluna e pelo nmero da linha onde se encontra posicionado o cursor. Por exemplo, a clula F23 situa-se no cruzamento da linha 23 com a coluna F.Quando o Excel iniciado, a clula A1 sempre ser a clula ativa, ou seja, a clula que destacada por uma borda mais grossa e que recebe o efeito de digitao ou os comandos que afetem uma nica clula.

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NICIO

Pasta de TrabalhoO Excel trabalha com o conceito de pasta de trabalho, no qual cada arquivo criado como se fosse uma pasta com vrias planilhas. Na maioria das vezes, voc trabalhar apenas com a primeira planilha da pasta. Com esse conceito, em vez de serem criadas dez planilhas diferentes para mostrar as vendas de cada uma das dez filiais da sua empresa, voc poder criar uma nica planilha e utilizar dez planilhas da sua pasta especfica.

Guias da PlanilhaServem para selecionar uma determinada planilha, da mesma maneira que os marcadores de uma agenda de telefones. Esses marcadores recebem automaticamente os nomes de Plan1, Plan2, Plan3, etc., mas podem ser renomeados a qualquer momento. Como padro, trs planilhas so criadas para cada pasta de trabalho. Esse nmero pode ser alterado pelo usurio tambm atravs da insero de novas planilhas.

Barra de FrmulasPossui como finalidade exibir o contedo da clula atual e permitir a edio do contedo de uma clula.

Barras de StatusTem como finalidade exibir mensagens com fins informativos ou de advertncia sobre os procedimentos que esto sendo executados, assim como sobre o estado de algumas teclas, como Num Lock, End, Insert, etc.

PlanilhaUma planilha do Microsoft Excel XP possui uma dimenso fsica muito maior do que uma tela pode exibir. O Excel permite que voc crie uma planilha com 65.536 linhas por 256 colunas. Apesar dos recursos de zoom, a rea de trabalho somente pode ser mostrada de forma visvel: 12 colunas por 20 linhas.

LEITURAOBRIGATRIA

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LEITURAOBRIGATRIA

Painel de TarefasA verso XP introduziu o painel de tarefas. Ele consiste em uma rea exibida na parte direita da tela que concentra vrios comandos ou aes relacionadas a tarefas do dia a dia. O Excel XP possui quatro desses painis, em que o painel Nova Pasta de Trabalho exibido automaticamente. Voc pode remover o painel de tarefas por meio do menu Exibir.Nesse, basta desmarcar a opo Painel de Tarefas.

Pastas de Trabalho e PlanilhasNo Microsoft Excel XP, uma pasta de trabalho o arquivo no qual voc trabalha e armazena seus dados. Cada pasta de trabalho pode conter muitas planilhas. A partir do momento que o Excel foi iniciado, cada vez que o usurio criar uma planilha, seu nome ser automaticamente criado como Pasta2, Pasta3, e assim por diante.

Os nomes das planilhas aparecem nas guias localizadas na parte inferior da janela da pasta de trabalho. Para mover-se entre as planilhas, clique nas guias das planilhas uma nica vez com o boto esquerdo do mouse. O nome da planilha ativa aparecer em negrito.

Voc pode inserir e editar dados em vrias planilhas simultaneamente e realizar clculos com base nos dados dessas planilhas. Ao criar um grfico, voc pode coloc-lo na planilha com seus dados relacionados ou em uma planilha separada.

Movimentando-se pela PlanilhaPara que uma clula possa receber algum tipo de dado ou formatao necessrio que ela seja selecionada previamente, ou seja, que se torne a clula ativa. Para isso, voc deve mover o retngulo de seleo a clula, utilizando um dos muitos mtodos disponveis:

a) As teclas de seta para mover o retngulo clula a clula na direo indicada por ela.

b) As teclas de seta em combinao com outras teclas para acelerar a movimentao.

c) Uma caixa de dilogo para indicar o endereo exato.

d) O mouse para movimentar o indicador de clulas e com isso selecionar uma clula especfica.

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Utilizando as teclasA tabela apresentada abaixo exibe um resumo das teclas que movimentam o retngulo de seleo pela planilha. So elas:

AO Teclas a serem utilizadasMover uma clula para a direita. Seta para a direita.Mover uma clula para a esquerda. Seta para a esquerda.Mover uma clula para cima. Seta para cima.Mover uma clula para baixo. Seta para baixo.ltima coluna da linha atual. Ctrl + Seta para direita.Primeira coluna da linha atual. Ctrl + Seta para esquerda.ltima linha com dados da coluna atual. Ctrl + Seta para baixo.Primeira linha com dados da coluna atual. Ctrl + Seta para cima.Mover uma tela para cima. PageUp.Mover uma tela para baixo. PageDown.Mover uma tela para a esquerda. Alt + PgUp.Mover uma tela para a direita. Alt + PgDown.Mover at a clula atual. Ctrl + Backspace.Mover para a clula A1. Ctrl + Home.Mover para a primeira clula no vazia quando a clula atual for vazia.

End + Seta para a esquerda ou End + seta para a direita.

Prxima planilha. Ctrl + PgUp.Planilha anterior. Ctrl + PgDown.Ativar caixa de dilogo. F5.

Clculos no ExcelColocar Frmulas Matemticas:

Alm de texto e nmeros (e como natural numa folha de clculo), tambm possvel colocar frmulas matemticas nas clulas. Estas frmulas podem ser constitudas apenas

69

LEITURAOBRIGATRIA

por nmeros e operadores matemticos ou por nmeros, operadores matemticos e referncias s outras clulas. Por exemplo: para efetuar uma operao de adio entre dois nmeros (4 e 8 por exemplo) bastar colocar na clula em que se pretende efetuar a operao o seguinte: =4+8 (nota: necessrio colocar o smbolo = para que o Excel entenda que uma frmula).Aps ser dado um Enter o Excel efetua a operao surgindo na clula o nmero 12. Para efetuar uma alterao na frmula basta ir Barra de Frmulas e efetuar a alterao pretendida.Para efetuar uma operao com referncias a outras clulas, no lugar dos nmeros, dever ser indicada a identificao da clula. Por exemplo: para somar o contedo da clula A2 com o contedo da A3, bastar, numa qualquer outra clula, escrever a seguinte frmula: =A2+A3. Desta forma, sempre que for alterado o nmero da clula A2 ou da clula A3, o resultado da operao atualizado automaticamente.

Operadores matemticos

+ adio.

- subtrao.

* multiplicao.

/ diviso.

^ potncia.

Frmula e funesA principal caracterstica de uma planilha a possibilidade de voc utilizar e relacionar o contedo das clulas para a obteno de algum resultado. O relacionamento de clulas obtido por intermdio da criao de frmulas. Com elas, voc pode realizar operaes matemticas, estatsticas e manipular o contedo das demais clulas da planilha.

FrmulasUma frmula composta, basicamente, de referncias a outras clulas, operadores matemticos e funes do Excel. Como foi dito no Captulo 1, Viso geral, cada clula da

70


planilha pode ser vista como uma sofisticada calculadora cientfica/financeira, onde os mais variados tipos de clculos podem ser obtidos. No seu conceito mais simples, voc poderia simplesmente inserir nmeros e operadores matemticos para obter um resultado, como este:

+ 25 + 40 + 50

Uma frmula tambm pode conter quaisquer dos seguintes itens: funes, referncias, operadores e constantes.

= PI ( ) * A2 ^ 2Contudo, na possibilidade de referir-se a outras clulas que reside a maior vantagem de uma planilha. Note que, no lugar da frmula digitada, apareceu a soma das clulas, enquanto que na linha de frmula aparecia a frmula digitada. A partir desse momento, se qualquer uma das clulas referidas na frmula tiver o seu valor alterado, a frmula ser recalculada e exibir o novo resultado.

Note que o smbolo de igualdade foi includo no incio da frmula na barra de frmulas. Esse sinal o elemento bsico que o Excel usa para notar que voc est digitando uma frmula. Embora no exemplo tivesse comeado a digitar a frmula com o sinal de adio, essa uma das poucas excees feitas pelo Excel. Nos demais casos, se no for digitado o sinal de igualdade antes do incio da frmula, ele interpretar o seu contedo como texto ou data.

OperadoresQuase todas as frmulas que voc escrever certamente contero algum operador matemtico. Esses operadores indicam qual tipo de operao ser realizada. Os operadores disponveis no Excel so os seguintes:

71

LEITURAOBRIGATRIA

Operador Realiza Exemplo Comentrio

+ Adio =A1+B1 Soma os resultado das clulas A1 e B1.

_ Subtrao =A1-B1 Subtrai o resultado da clula B1 de A1.

/ Diviso =A1/B1 Divide A1 por B1.

* Multiplicao =A1*B1 Multiplica A1 por B1.

% Percentual =A1*20% Multiplica A1 por 0,2.

^ Exponencial =A1^3 Eleva A1 terceira potncia.

Alguns operadores atuam em dois valores, como as quatro operaes matemticas. Porm, o atual operador de porcentagem atua diretamente no nmero que o antecede, dividindo-o por cem. Alm desses operadores, o Excel possui operadores especiais que avaliam dois valores e retornam o valor lgico Verdadeiro (True) ou Falso (False).

Operador Descrio Exemplo Comentrio

= Igualdade=20=20

=20=21

VerdadeiroFalso

> Maior que =20>21 Falso

< Menor que =20= Maior ou igual que =20>=21 Falso

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A: Usar o operador (^).

B: Usar a funo POTNCIA.

A sintaxe da funo POTNCIA : = POTNCIA(nmero; potncia).

Veja os exemplos:

Operador (^)

Funo POTNCIA

Logaritmos no Excel:Se voc precisa executar funes logartmicas em uma planilha Microsoft Excel 2003, as seguintes funes podem ser teis:

=LOG(nmero;base):

Retorna o logaritmo do nmero designado para a base.

73

LEITURAOBRIGATRIA

=LN(nmero):

Retorna o logaritmo natural de um nmero.

=LOG10(nmero):

Retorna o logaritmo da base 10 de um nmero.

Variaes percentuais no Excel: As porcentagens so calculadas usando-se esta equao:

Valor/total = porcentagem

A porcentagem est no formato decimal. No Excel, voc pode facilmente calcular qualquer uma dessas variveis. Pode, tambm, exibir rapidamente o resultado como uma porcentagem clicando em Estilo de Porcentagem na barra de ferramentas Formatao.

Por exemplo: se voc comprar um computador por R$ 800,00 e houver um imposto sobre vendas de 8,9%, quanto precisar pagar de imposto? Neste exemplo, voc quer encontrar 8.9% de 800.

Para calcular esse resultado, configure uma planilha semelhante a esta ou copie o exemplo em uma planilha em branco.

74

NICIO

A1 Preo de compra Imposto sobre vendas (no formato decimal)2 800 0,089

Frmula Descrio (resultado)

=A2*B2Multiplica 800 por 0,089 para encontrar o valor do imposto sobre vendas a ser pago (R$ 71,20)

OBSERVAO Para converter um nmero no formato de porcentagem para uma decimal, divida o nmero por 100. Por exemplo, o imposto sobre vendas, 8,9, dividido por 100, 0,089.

Funes Financeiras no Excel:

As funes financeiras do Excel so as mesmas que encontradas na calculadora HP 12-C. Ao selecionar o boto Colar funo, encontra-se diversas funes disponveis.

Selecione a categoria Financeira e, ao lado direito, aparecero todas as funes financeiras disponveis. A seguir alguns exemplos:

Em uma loja, um televisor comprado no valor de R$ 500,00 vista. As condies de pagamento so:

sem entrada em 12 pagamentos taxa de juros de 5% ao ms.

LEITURAOBRIGATRIA

75

Qual ser o valor da prestao?

Selecione a opo PGTO em colar funo.

O valor da prestao ser de R$ 56,41. As informaes no quadro acima podem ser substitudas por regies da planilha onde constam os dados.

Observe: no Tipo definido 0, se for sem entrada, e 1, se for com entrada. possvel usar, ainda, as opes TAXA, VP e NPER para descobrir a taxa usada, o valor vista e o tempo, sempre observando o Tipo.

Conceitos Bsicos de Matemtica FinanceiraValor Presente (VP) - o valor total do capital inicial, seja investimento ou emprstimo, tambm conhecido como valor principal ou valor nominal. JUROS (J) - Remunerao do investimento ou emprstimo por um certo tempo. Podendo ser definido como aluguel pago pelo uso do dinheiro.

TAXA DE JUROS (i) - a razo entre os juros recebidos (ou pagos ) no fim de um perodo de tempo e o capital inicialmente empregado. A taxa de juros sempre relacionada ao tempo, veja as mais utilizadas:

a.a. - ao ano a.s. - ao semestre a.q. - ao quadrimestre a.t. - ao trimestre a.m. - ao ms a.d. - ao dia

LEITURAOBRIGATRIA

76


PRAZO (n) - Durao do investimento ou do emprstimo.

VALOR FUTURO (VF) - Tambm conhecido como valor final, ou seja , o que se tem a pagar ou a receber aps a incidncia de um determinado perodo e taxa de juros sobre o valor presente. Tambm conhecido como valor final.

VALOR DAS PRESTAES (PMT) - Pagamento ou recebimento peridico de pagamentos constantes, ou seja, parcelas, com uma taxa de juros constante.

1 - Suponha que voc acabou de comemorar seu 19 aniversrio. Um tio rico abriu uma conta em seu nome que ter R$ 100.000,00 quando voc fizer 25 anos. Se a taxa de desconto for 11% a.a., quando deve valer essa conta hoje?

Juros Compostos no ExcelAbra o Microsoft Office Excel 2003 e crie a planilha com o valor do Capital na clula B1, a taxa de juros em B2 e os meses devidamente distribudos, conforme a figura abaixo:

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LEITURAOBRIGATRIA

Logo em seguida, clique na clula B4 e coloque a frmula: =B1*(1+(B2/100))^A4, conforme a figura abaixo:

Logo aps, clique na clula B5 para calcular o juro embutido no segundo ms e coloque a frmula =B4*(1+($B$2/100))^A5, conforme a figura abaixo:

Em seguida, calcule a projeo dos juros em moeda e em porcentagem Assim, ficar mais fcil saber quanto pago a mais (mensalmente), tanto em moeda quanto em porcentagem.

Clique na clula C4 e digite a frmula =B4-$B$1, conforme a figura abaixo:

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Explicando: para saber a projeo de juros em Moeda, basta subtrair o capital pelo montante do ms desejado. Para compor todos os resultados copie a frmula, arrastando para as clulas seguintes, conforme a figura abaixo:

Agora, clique na clula D4 e digite a seguinte frmula =B4-$B$1, conforme a figura abaixo:

Explicando: para saber a projeo de juros em Porcentagem, primeiramente, necessrio dividir o correspondente ao primeiro ms pelo valor do capital. Note que o resultado idntico taxa de juros definida.

Finalmente, calcule a projeo desse percentual ms a ms, ou seja, quanto de juros vai sendo acrescentado em relao ao juros embutido no primeiro ms. Para tanto, clique na clula D5 e digite a seguinte frmula: =(C5/$B$1)-D4.

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LEITURAOBRIGATRIA

Explicando: para saber realmente quantos juros sero cobrados nos meses posteriores, dividida o valor do juro correspondente ao segundo ms pelo capital (parte dividida pelo todo) e subtraia o resultado dessa diviso pelo percentual de juros do ms anterior, a fim de que aparea, conforme a figura abaixo:

Dessa forma, obtm-se somente a diferena do percentual de juros, conforme a figura abaixo:

Arraste a frmula para baixo para que voc obtenha o resultado final:

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NICIO

Quer saber mais sobre o assunto? Ento:Leia o artigo Uso do Excel no ensino de matemtica financeira: diagnsticos de uma inves-tigao pautada na engenharia didtica. Disponvel em: . Acesso em: 14 ago. 2012.O artigo relata experincias do uso desta ferramenta no ensino da matemtica.

LEITURAOBRIGATRIA

LINKSIMPORTANTES

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AGORAASUAVEZ


Ponto de Partida:

Calcule a soluo deste problema:

Voc financiou um automvel por 48 meses. Se o valor de cada prestao de R$ 431,23 e o valor financiado foi de R$ 16.000,00, qual a taxa nominal anual aplicada?


Questo 1:

Fao um emprstimo de R$100.000,00 por 120 dias, a uma taxa de 3,5% a.m. Qual seria o montante a ser desembolsado para o pagamento do emprstimo?

Questo 2:

Voc fez um investimento que paga 0,055% ao dia de juros. Se o investimento for resga-tado em um ano, quanto voc ter recebido por um investimento inicial de R$ 3.000,00? Considere um ano de 252 dias teis.

Questo 3:

Sabendo que a taxa cobrada para um em-prstimo 6% ao ms. Se o emprstimo for pago aps 45 dias, qual ser o valor se a retirada foi de R$ 500,00 e os juros apli-cados diariamente?

Questo 4:

Sua empresa projeta um crescimento m-dio anual de 10,5%. Sabendo que as ven-






82

NICIO

das este ano totalizaram R$ 100.000,00, qual ser o tamanho das vendas em 3 anos?

Questo 5:

Sabendo que a taxa anual nominal de 77% para emprstimos pessoais, quanto voc emprestou, se ao final de seis meses voc pagou R$ 1.452,31 com uma capitali-zao mensal?

Questo 6: Voc efetua um investimento de R$ 1.000,00 e resgata R$ 2.107,18. Se a taxa anual nominal de 15% e os juros so ca-pitalizados mensalmente, quanto tempo durou o investimento?

Questo 7:

Sabendo que a taxa cobrada por um emprs-timo de 6% ao ms, se o valor do emprs-timo foi de R$ 500,00, com juros aplicados diariamente, em quanto tempo o emprstimo foi pago se o valor pago foi de R$ 547,04?

Questo 8:

Voc far um depsito mensal de R$ 500,00 por x anos em um fundo de investimentos.

Se a taxa paga pelo fundo de 1,05% ao ms e o valor acumulado no perodo foi de R$ 41.497,79, qual este x de anos?

Questo 9:

Voc resgata R$ 40.460,20 aps 24 meses de investimento. Sabendo que a taxa apli-cada foi de 1%, quanto voc investiu men-salmente neste fundo?

Questo 10:

Um investimento de R$ 367,00 passa para R$ 550,27 em dois anos. Sabendo que os juros foram compostos semestralmente, cal-cule a taxa efetiva anual do investimento?

AGORAASUAVEZ







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FINALIZANDO

Neste tema de voc estudou como o Excel pode ajudar nos clculos dos problemas de matemtica financeira. O uso desta ferramenta no dia a dia uma ajuda fundamental na resoluo de problemas.

GLOSSRIO

NPER: o nmero total de perodos de pagamento de uma anuidade.

Taxa Nominal: A taxa nominal de juros relativa a uma operao financeira. Pode ser calculada: Taxa nominal = lucros pagos / valor nominal do emprstimo.

Taxa real de juros: Taxa real de juros e correo monetria a diferena entre a taxa nominal e a inflao.

Desembolso: O que se pagou adiantadamente, o que se gastou.

Resgate: Recuperao de algo vendido mediante restituio do preo ao comprador: venda com direito a resgate.

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NICIO

Tema 4Utilizando o ExcelPonto de PartidaResposta: =TAXA(48;-431,23;16000)x12=13,2503%






Questo 6Resposta: 60 meses.

Questo 7Resposta: 45 dias.

GABARITO

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Questo 8Resposta: 60 anos.


Questo 10Resposta: 10,6566%.

GABARITO


LEITURAOBRIGATRIA

Sees

sees Sees




AGORAASUAVEZ

88

Tema

05

Juro

s Si

mpl

es

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NICIO


ROTEIRO DE ESTUDO:




Os conceitos e operaes em juros simples.

Taxa de juros e perodos de capitalizao.

Desconto bancrio ou comercial.

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Identificar onde devero ser aplicadas operaes a juros simples.

Como calcular os juros pagos bancrios.

Realizar desconto comercial.

LEITURAOBRIGATRIA

Juros SimplesRelembrando:

A frmula de uma operao de juros simples a seguinte:

Jn = P x i x nJn representa o valor obtido de juros em determinado perodo.i a taxa de juros expressa em sua forma centesimal, ajustada mesma base do perodo n.Para se encontrar o valor futuro Fn ou montante a juros simples. O Fn pode ser encontrado pela seguinte frmula:

Fn = P + JFn = P + (P x i x n)Fn = P x [1 + (i x n)]

O regime de juros simples ou de capitalizao simples aquele em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial.

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LEITURAOBRIGATRIA

Elementos NotaoValor futuro ou montante ................................................ MValor presente ou principal ............................................. VTaxa de juros .................................................................... iNmero de perodos ....................................................... n

Juros simples .................................................................... j

Calculando o Juro SimplesJ = P . i . n (I)

Exemplo: A dvida de R$ 600,00 dever ser liquidada 21 dias aps o vencimento, taxa de juros de 0,3% ao dia. Calcular os juros simples a serem pagos.

Dados: P = R$ 600,00; i = 0,3% ao dia; n = 21 dias; J = ?

J = P . i . n = 600 . 0,003 . 21 =R$ 37,80

Para achar o montante:Fn = P x [1 + (i x n)]Fn = 600 x [1 + (0,003 x 21)]Fn = 600 x [1 + 0,063]Fn = 600 x 1,063 Fn = 637,80

Taxas Equivalentes a Juros SimplesUtilize a regra de trs. Exemplo:

Uma operadora de Carto de Crdito cobrou 7,8% de juros no atraso do pagamento da fatura que havia vencido h 15 dias. Qual foi a taxa diria cobrada?

15 dias----------7,8%

1 dia---------------x%

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NICIO

Resolvendo:

Taxa Efetiva de uma Operao com Base em uma Taxa Nominal:Diversas so as informaes sobre os juros a pagar. Para saber se est pagando corretamente, possvel utilizar o clculo da taxa efetiva e, efetivamente, saber quanto se est pagando de juros.

Jn = P x i x n

Exemplo:

Apliquei R$ 2.000,00, que me rendeu R$ 710,00 de juros em um ano. Qual foi a taxa mensal de juros simples desta operao?

Jn = P x i x n710 = 2000 x i x 12i x 12 = 710 / 2000 i x 12 = 0,355i = 0,355 / 12 = 2,958% a.m.

Mtodo Hamburgus Este mtodo muito utilizado quando se fala em cheque especial nos casos dos clientes de bancos. Ele permite calcular, de maneira simples e direta, os juros produzidos por capitais diferentes em perodos distintos.

No caso do cheque especial, por esse mtodo que os juros so calculados sobre cada saldo devedor dentro do ms.Para isso se utiliza a seguinte frmula:

J = P x i x nO Mtodo Hamburgus introduz uma simplificao nos clculos de juros simples, quando h diversos valores de principal, aplicados por diversos prazos a uma mesma taxa de juros.

A frmula abaixo mostra que a taxa i pode ser colocada em evidncia:

Jt = i x [(P1 x n1) + (P2 x n2) + (P3 x n3) + ... (Pn x Nn)]

LEITURAOBRIGATRIA

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LEITURAOBRIGATRIA

P representa o saldo devedor em uma data e n o nmero de dias em aberto.Veja no seu livro texto as sequncias desta operao.

Desconto Bancrio ou ComercialO desconto bancrio ou comercial ocorre quando o possuidor deste ttulo (de valor nominal N) resgata-o antes do vencimento junto a um agente financeiro. Os ttulos mais comuns nesta operao so: nota promissria, letras de cmbio, duplicatas e cheques pr-datados (mesmo sem serem reconhecidos legalmente).Dados importantes para esta operao:

N valor nominal.n tempo.i taxa de juros.

Frmula do Desconto ComercialDc = N x i x nDc o valor do desconto comercial, i a taxa de juros mensal e n o tempo.Exemplo:

Voc quer antecipar uma dvida no valor de R$ 32.000,00 que tem seu vencimento para daqui a 6 meses. A taxa de juros aplicadas foi de 2,8% ao ms. Qual ser o valor do desconto?

Dc = N x i x nDc = 32.000 x 0,028 x 6 = 5.376,00

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NICIO

Quer saber mais sobre o assunto? Ento:Acesse o link: Finanas bancrias e comerciais. Disponvel em: . Acesso em: 15 ago. 2012. Nele voc poder conhecer os modelos de finanas bancrias e comerciais e exemplos de aplicaes financeiras.

Acesse o link: Descontos de Duplicatas. Disponvel em: . Acesso em: 16 ago. 2012. Nele voc encontrar diversas formas de descontos e poder utilizar, como exemplo, nas atividades do dia a dia.

LINKSIMPORTANTES


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Ponto de Partida:

Calcule pelo juro simples a seguinte situao:

Apliquei em determinado fundo o montante de R$ 5.000,00. Aps 3 meses e 18 dias resgatei essa aplicao a juros simples. Qual ser o valor do resgate considerando uma taxa de 12,50% a.a.?


Questo 1:

A dvida de R$ 1.200,00 dever ser liqui-dada 24 dias aps o vencimento, taxa de juros de 0,25% ao dia. Calcular a quantia que liquidar a dvida.

Dados: P = R$ 1.200,00; i = 0,25% ao dia; n = 24 dias.

Questo 2:

Paguei, por 21 dias de atraso, 12,4% de juros ao Banco XYZ referente a um emprstimo. Qual foi a taxa de juros diria cobrada pelo Banco XYZ?

Questo 3:

Calcular os juros simples e o montante de:

a) $ 500,00 a25%a. a. em8 meses.

b) $2.200,00 a 30,2% a. a. em, 2 anos e 5 meses.c) $3.000,00 a34%a. a. em19 meses.

Questo 4:

Qual o capital que rende:

a) $1.150,00 a18% a.a. em10meses .

b) $648 a 21,6% a.a. em2 anos e 6 meses.

c) $1.500 a 30% a.a. em3 anos e 4 meses.

Questo 5:

Quais as proposies corretas?

a) 1%ao ms equivale a12%ao ano.

b) 2,25 ao bimestre equivalem a 26,80% ao binio.c) 3,4% ao trimestre equivalem a 13,6% ao ano.d) 50%ao ano equivale a 20% em5 meses.

e) 0,50% ao ms equivale a 12% ao ano.

Questo 6: Uma aplicao de R$ 70.000,00 em fundos de aes rendeu R$29.800,00 de juros em um ano. Qual foi a taxa mensal de juros simples desta operao?


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NICIO

Questo 7:

As vendas de uma loja de lmpadas au-mentaram 40% em relao ao ms anterior. Sabendo-se que neste ms a loja vendeu 35.000 lmpadas, de quanto foi a venda do ms passado?

Questo 8:

Tenho R$ 59.409,00 para comprar objetos novos. Os objetos que escolhi custam R$ 72.450,00. Qual a porcentagem que devo pedir de desconto para poder pag-los com o dinheiro que tenho?

Questo 9:

A taxa de juros simples relativa a uma apli-cao de R$ 10.000,00 por um perodo de 10 meses, que gera um montante de R$ 15.000,00, de:

a) 48% a.a.

b) 15% a.m.

c) 10% a.m.

d) 100% a.a.

e) 5% a.m.

Questo 10:

As taxas de juros ao ano, proporcionais s taxas 25% a.t.; 18% a.b.; 30% a.q. e 15% a.m., so, respectivamente:

a) 100%; 108%; 90%; 180%.

b) 100%; 180%; 90%; 108%.

c) 75%; 26%; 120%; 150%.

d) 75%; 150%; 120%; 26%.

e) 100%; 150%; 120%; 108%.


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Neste tema de voc estudou sobre juros simples, como calcular e as suas atribuies no mercado e na matemtica financeira, alm de ser uma das formas mais utilizadas no mercado financeiro.

FINALIZANDO



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GLOSSRIO

Agente econmico: qualquer entidade fsica ou jurdica capaz de praticar um ato econmico.

Desconto comercial: Consiste na aplicao sucessiva do conceito de desconto comercial simples.

Desconto composto: aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro, deduzidos os descontos acumulados at o perodo imediatamente anterior.

Desconto racional: a diferena entre o valor nominal do ttulo e seu valor na data do resgate.

NPER: o nmero total de perodos de pagamento de uma anuidade.

Tema 5Juros SimplesPonto de PartidaResposta: O valor do resgate ser de R$ 5.187,50.


GABARITO

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NICIO

Questo 2Resposta: ao dia.

Questo 3Resposta: A) R$ 83,33 e R$ 583,33.

B) R$ 1.605,63 e R$ 3.805,63.

C) R$ 1.615,00 e R$ 4.615,00.

Questo 4Resposta: A) R$ 1.000,00.

B) R$ 420,00.

C) R$ 750,00.

Questo 5Resposta: Alternativas A e C.

Questo 6Resposta: 3,548% a.m.

Questo 7Resposta: 25.000 lmpadas.

Questo 8Resposta: Dever pedir um desconto de 18%.

GABARITO

99

GABARITO

Questo 9Resposta: Alternativa E.

Questo 10Resposta: Alternativa A.


LEITURAOBRIGATRIA

Sees

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AGORAASUAVEZ

102

Tema

06

Juro

s Co

mpo

stos

103


NICIO


ROTEIRO DE ESTUDO:




Os conceitos de Valor Presente e Valor Futuro.

Sequncia de Pagamentos.

Taxas a juros compostos.

Amortizao de emprstimos e equivalncia de capital a juros compostos.

104



Verificao de rendimentos em aplicaes financeiras.

Como calcular o valor fixo das parcelas de financiamento.

Clculos de taxa de juros efetiva de um financiamento.

Compreender a correo monetria.

Como resolver problemas de juros compostos.

LEITURAOBRIGATRIA

Juros CompostosValor presente e valor futuro (Captulo 5)Conceito de valor futuro Fn, montante ou valor de resgate ou valor final. Uma vez que o valor Presente P seja corrigido por uma taxa de juros em funo do tempo, ele produzir um valor futuro Fn, composto pelo valor presente P mais os juros ocorridos no perodo.Em geral ele resgatado ou pago em uma nica parcela.Exemplo:

Na frmula M = P . (1 + i)n , o principal P tambm conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M tambm conhecido como Valor Futuro (FV = future value).Ento essa frmula pode ser escrita como:

105

LEITURAOBRIGATRIA

FV = PV (1 + i)n

Isolando PV na frmula:

PV = FV / (1+i)n

Na HP-12C, o valor presente representado pela tecla PV.

Com esta mesma frmula possvel calcular o valor futuro a partir do valor presente.

Exemplo:

Quanto ter uma pessoa, daqui a 12 meses, se aplicar R$1.500,00 a 2% ao ms?

Soluo:

FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36

Frmula para quando o perodo considerado for igual a n: Fn = P x (1 + i)n

Fn representa o valor futuro de uma operao em determinado instante, cujo valor presente P foi acrescido da taxa i (expressa em sua forma decimal) n vezes, de forma composta (juros sobre juros).

Como determinar o valor Presente P a partir do valor Futuro FnFrmula para o clculo do valor Presente P, dado o valor Futuro Fn no instante n (Fn ):Fn = P x (1 + i)

n

Logo: ()P

iF

nn =

+1 ou seja: ()nn

iFP+

=1

Como determinar tempo n de uma operao que envolva valor Presente P e o valor Futuro FnFn = P x (1 + i)

n

106

NICIO

Como determinar a frmula para clculo do n, dado o valor Presente P, o valor Futuro Fn e a taxa i

Sendo que n representa o tempo, P representa o valor Presente da operao e Fn o valor Futuro, a taxa i expressa em sua forma decimal.

Como determinar a frmula para o clculo do i, dado o valor Presente P, o valor Futuro Fn e o tempo n

Esta frmula ser utilizada toda vez que se deseje determinar a taxa de juros i necessria para transformar um valor Presente P em determinado valor Futuro Fn dado um determinado perodo.

Veja no seu Livro-Texto diversos exerccios com todas essas frmulas.

Sequncia de Pagamentos (Captulo 6)

Fixando alguns fundamentos importantes:

P Valor Presente da operao.Fn Valor Futuro.i Taxa de juros.

No dia a dia possvel verificar vrios apelos de consumo e de poupana atravs de planos de pagamentos que se adaptam aos mais diversos oramentos, que so possveis atravs do parcelamento ou recomposio de dbitos. O estudo das sries fornece o instrumental necessrio para estabelecer planos de poupana, de financiamento, de recomposio de dvidas e avaliao de alternativas de investimentos.

LEITURAOBRIGATRIA

107

Define-se srie, renda ou anuidade a uma sucesso de pagamentos, exigveis em pocas pr-determinadas, destinada a extinguir uma dvida ou constituir um capital. Cada um dos pagamentos que compem uma srie denomina-se termo de uma renda e, conforme sejam iguais ou no, a srie se denominar, respectivamente, uniforme ou varivel.

Se os pagamentos forem exigidos em pocas cujos intervalos de tempo so iguais, a srie se denominar peridica. Caso contrrio, se os pagamentos forem exigidos em intervalos de tempo variados, a srie se denominar no peridica.

Se o primeiro pagamento for exigido no primeiro intervalo de tempo a que se referir uma determinada taxa de juros, ocorre uma srie antecipada, caso contrrio, ela ser diferida. Ocorre uma srie temporria ou uma perpetuidade conforme seja, respectivamente, finito ou infinito o nmero de seus termos. As sries peridicas e uniformes podem ser divididas em sries postecipadas, antecipadas e diferidas.

ConceitosSrie de progresso aritmtica (PA): Tem como principal caracterstica a soma ou subtrao de um nmero fixo a cada um de seus termos a partir do segundo. O exemplo fornecido pelo Livro-Texto demonstra a seguinte situao:

Um emprstimo de R$ 1.000,00, em 5 parcelas, nos valores de R$ 300,00, R$ 280,00, R$ 260,00, R$ 260,00, R$ 240,00 e R$ 220,00. O questionamento foi: quanto ser pago por este emprstimo?

Observe que o valor das parcelas cai R$ 20,00 todo ms. Essa srie uma PA de diferena d entre os termos no valor de (-) R$ 20,00.

Frmula para determinar a soma dos termos de uma PA finita:()

21 naaS nn

+=

Como calcular o montante pago M:( ) 1300

23600

25220300

55 ==+

= MM

Sendo assim, voc pagou R$ 1.300,00 pelo emprstimo de R$ 1.000,00.

LEITURAOBRIGATRIA

108

NICIO

Srie de progresso geomtrica (PG): A Progresso Geomtrica (PG) tem como principal caracterstica a multiplicao ou a diviso de um nmero fixo a cada um de seus termos a partir do primeiro.Sequncia de pagamentos uniformes: Esta sequncia utilizada nos casos em que um emprstimo pago em parcelas iguais e consecutivas, perodo a perodo. Pode assumir duas formas: a de pagamento postecipado e a de pagamento antecipado.

Sequncia de pagamentos uniformes postecipados: quando o primeiro pagamento ocorre somente ao final do primeiro perodo.

Sries PostecipadasSo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos so efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, e cuja representao grfica a seguinte:

PMT PMT PMT PMT PMT

PV

1 2 3 4 n 0

...

...

FV

O valor presente representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo, considerando a mesma taxa de juros. Ele corresponde soma dos valores atuais dos termos da srie. Valor presente dos termos da srie:

Resumindo esta frmula atravs da soma dos termos progresso geometria, tem-se a seguintes frmulas:

Para encontrar o valor presente (atual) ou Fator de valor atual FVA:

LEITURAOBRIGATRIA

109

LEITURAOBRIGATRIA

Encontrar o valor futuro ou Fator de formao de capital FFC.

Encontrar o valor da PMT existe duas frmulas, onde a primeira utilizada quando se tem o PV e a segunda quando se tem o FV.

Fator de recuperao de capital FRC:

Fator de acumulao de capital FAC:

Sries AntecipadasSo aquelas em que os pagamentos ou recebimentos so efetuados no incio de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, e cuja representao grfica a seguinte:

PMT PMT PMT PMT PMT

PV

1 2 3 4 n 0

...

...

FV

PMT

110

NICIO

As frmulas para encontrar PV, PMT, FV possuem uma pequena diferena das sries postecipadas, pois apresentam (1+i), ou seja, parte paga na data Zero. So elas:

Para encontrar o valor presente (atual) ou Fator de valor atual FVA:

Encontrar o valor futuro ou Fator de formao de capital FFC:

Fator de recuperao de capital FRC:

Fator de acumulao de capital FAC:

Sries DiferenciadasSo aquelas em que o primeiro pagamento ou recebimento s efetuado depois de decorridos perodos de tempo a que se referir a taxa de juros considerada, e cuja representao grfica a seguinte:

LEITURAOBRIGATRIA

111

LEITURAOBRIGATRIA

Caso de postecipado: Caso de antecipado:

PMT

PV

1 2 3 4 0

...

...

PMT

n

FV

PMT

5

Carncia

SRIE UNIFORME DE PAGAMENTOSPode-se definir uma srie uniforme de pagamentos como uma sucesso de recebimentos, desembolsos ou prestaes de mesmo valor, representados por R, divididos regularmente num perodo de tempo. O somatrio do valor acumulado de vrios pagamentos, montante, calculado pela expresso mostrada abaixo e representado no fluxo de caixa da figura 1. Este somatrio deduzido a partir da equao da capitalizao composta VF=VP(1+i)n para o clculo do montante de cada pagamento R. Trata-se, portanto, do clculo da soma dos termos de uma progresso geomtrica limitada, de razo q = 1 + i.

Taxas a Juros CompostosRelembrando alguns conceitos:

Valor Presente e valor Futuro.Fn = P x (1 + i)

n

Sequncia uniforme de pagamentos postecipados.

PMT

PV

1 2 3 4 0

...

...

PMT

n

FV

PMT

5

Carncia PMT

112


Sequncia uniforme de pagamentos antecipados.

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