caderno de atividades - cmcmc.pt · 7. Ângulos internos de um triângulo 14, 15, 23, 26, ......
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Carlos OliveiraFátima Cerqueira MagroFernando Fidalgo Pedro Louçano
Matemática5º Ano
CADERNO DE ATIVIDADES
De ac
ordo
com
Met
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rricu
lare
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e 201
3NOVAEDIÇÃO
De ac
ordo
com
Met
as Cu
rricu
lare
s e N
ovo P
rogr
ama d
e 201
3
Carlos OliveiraFátima Cerqueira MagroFernando FidalgoPedro Louçano
Matemática5º Ano
CADERNODE ATIVIDADES
Figuras no planoResumir 4Praticar 8
1. Transporte de ângulos/construções com régua e compasso 1, 2, 7, 242. Medida de amplitude de ângulos 3, 4, 5, 6, 93. Ângulos complementares e suplementares 8, 9, 10, 22, 324. Ângulos correspondentes 8, 125. Ângulos de lados paralelos e de lados perpendiculares 25, 296. Triângulos 13, 21, 31, 327. Ângulos internos de um triângulo 14, 15, 23, 26, 29, 328. Ângulos externos de um triângulo 15, 26, 29, 329. Construção de triângulos e critérios de igualdade de triângulos 16, 17, 27, 2810. Lados e ângulos de um triângulo 18, 19, 20, 26, 30, 3111. Distância de um ponto a uma reta12. Paralelogramos 1113. Altura de um triângulo
Testar 18
Números naturaisResumir 20Praticar 22
1. Propriedades comutativa e associativa da adição 1, 92. Propriedades comutativa e associativa da multiplicação 2, 93. Propriedade distributiva da multiplicação em relação à
adição e à subtração 2, 94. Critérios de divisibilidade 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 21, 225. Máximo divisor comum 8, 12, 15, 20, 236. Mínimo múltiplo comum 8, 14, 16, 17, 18, 19
Testar 28
Números racionais não negativosResumir 30Praticar 34
1. Fração como razão 3, 15, 25, 362. Fração como medida 2, 12, 13, 14, 383. Números racionais 1, 4, 5, 6, 8, 9, 19, 344. Frações equivalentes 6, 7, 115. Comparação e ordenação de números racionais 10, 16, 18, 20, 28, 34, 35, 406. Adição e subtração de números racionais 17, 19, 21, 24, 26, 31, 33, 357. Percentagens 27, 30, 378. Multiplicação de números racionais 17, 22, 23, 25, 28, 31, 32, 33, 35, 37, 41, 429. Divisão de números racionais 17, 29, 41, 4310. Valores aproximados 39
Testar 48
Atividades Página
Unidade 2
Unidade 1
Unidade 3
Representação e interpretação de dadosResumir 52Praticar 54
1. Referencial cartesiano 12. Tabela de frequências 2, 3, 7, 103. Gráfico de barras 2, 3, 4, 7, 8, 104. Gráfico de linha 3, 95. Diagrama de caule-e-folhas 56. Média e moda 3, 4, 6, 8, 9, 10
Testar 62
ÁreasResumir 64Praticar 66
1. Equivalência de figuras planas 1, 4, 132. Área do retângulo 3, 5, 8, 10, 11, 12, 133. Área do triângulo 4, 5, 6, 7, 9, 134. Área do paralelogramo 2, 6, 7, 9, 11, 12, 13
Testar 72
Provas globaisProva global 1 75Prova global 2 78Prova global 3 80
Soluções 83
Unidade 5
PáginaAtividadesUnidade 4
4
Figuras no plano
UNIDADE 1
RESUMIR
Soma de ângulos
n Um ângulo não giro c é a soma de dois ângulos a e b se c for igual à união de dois ângulos adjacen-tes a’ e b’ respetivamente iguais a a e a b.
Ângulo giro
n Se a união de dois ângulos é o plano todo, diz-se que a soma dos ângulos é o ângulo giro.
Medida de amplitude de ângulos
n O grau é a amplitude de cada um dos ângulos que se obtém quando se divide um ângulo reto em no-venta ângulos geometricamente iguais.
n Para se medir a amplitude de um ângulo utiliza-se um instrumento chamado transferidor.
Bissetriz de um ângulo
n A bissetriz de um dado ângulo é a semirreta nele contida, de origem no vértice e que forma comcada um dos lados ângulos iguais.
b
a
c
a
b
�����
ab
b
a
Bissetriz
Ponto de referênciado transferidor
O transferidor tem duas escalas,de 0º a 180º, em direções
opostas (uma escala interior euma escala exterior)
5
Ângulos complementares e suplementares
n Dois ângulos dizem-se complementares quando a respetiva soma for igual a um ângulo reto.
n Dois ângulos dizem-se suplementares quando a respetiva soma for igual a um ângulo raso.
60º
30º + 60º = 90º
30º
60º
30º
60º30º
60º
120º
120º + 60º = 180º
60º
120º
60º
120º
Ângulos verticalmente opostos
n Duas retas concorrentes definem quatro ângulos. Dois desses ângulos, não sendo adjacentes, dizem-seângulos verticalmente opostos.
n Dois ângulos verticalmente opostos são iguais, ou seja, têm a mesma amplitude.
Semirretas com o mesmo sentido
n Duas semirretas têm o mesmo sentido se tiverem a mesma reta suporte e uma estiver contida naoutra ou se tiverem retas suporte distintas mas paralelas e estiverem contidas num mesmo semi-plano contendo as respetivas origens.
n Duas semirretas com o mesmo sentido dizem-se diretamente paralelas.
n Se duas semirretas tiverem retas suporte coincidentes ou paralelas mas não forem diretamente pa-ralelas dizem-se inversamente paralelas.
Ângulos correspondentes
n Dois ângulos correspondentes de lados, dois a dois, diretamente paralelos são iguais.
C G
53º53º
D
E H
F
n Se duas retas são paralelas, os ângulos alternos internos determinados por uma reta que as cortesão iguais.
n Se são iguais os ângulos alternos internos determinados em duas retas por uma reta que as corte,então as retas são paralelas.
6
Figuras no plano
UNIDADE 1
RESUMIR
n Se duas retas são paralelas, os ângulos alternos externos determinados por uma reta que as corte sãoiguais.
n Se são iguais os ângulos alternos externos determinados em duas retas por uma reta que as corte,então as retas são paralelas.
n Se duas retas são paralelas, os ângulos correspondentes determinados por uma reta que as cortesão iguais.
n Se são iguais os ângulos correspondentes determinados em duas retas por uma reta que as corte,então as retas são paralelas.
n Se duas retas são paralelas, os ângulos internos do mesmo lado da secante são suplementares.
n Se são suplementares os ângulos internos do mesmo lado da secante, então as retas são paralelas.
n Se duas retas são paralelas, os ângulos externos do mesmo lado da secante são suplementares.
n Se são suplementares os ângulos externos do mesmo lado da secante, então as retas são paralelas.
Ângulos de lados paralelos e de lados perpendiculares
n Dois ângulos convexos de lados dois a dois diretamente paralelos são iguais.
n Dois ângulos convexos de lados dois a dois inversamente paralelos são iguais.
n Dois ângulos convexos que tenham dois dos lados diretamente paralelos e os outros dois inversa-mente paralelos são suplementares.
n Dois ângulos de lados perpendiculares dois a dois são iguais se forem da mesma espécie e são su-plementares se forem de espécies diferentes.
Triângulos
n Num triângulo, cada ângulo interno é adjacente a um ângulo externo e cada ângulo interno é suple-mentar a um ângulo externo.
n Um triângulo pode ser classificado quanto ao comprimento dos seus lados (equilátero, isósceles eescaleno) ou quanto à amplitude dos seus ângulos (retângulo, acutângulo e obtusângulo).
n No que se refere ao triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto diz-se a hipotenusa e os ladosa ele adjacentes dizem-se os catetos:
Catetos
Hipotenusa
Ângulos internos de um triângulo
n A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a um ângulo raso.
n Num triângulo não pode existir mais do que um ângulo reto ou obtuso.
7
Critérios de igualdade de triângulos
n Critério LLL (Lado-Lado-Lado) de igualdade de triângulosDois triângulos são iguais se têm os três lados iguais, cada um a cada um: A–B = M–N, A–C = M–P e B–C = N–P
n Critério LAL (Lado-Ângulo Lado) de igualdade de triângulosDois triângulos são iguais se têm dois lados iguais, cada um a cada um, e o ângulo por eles formado igual:A–B = M–N, B–C = N–P e ABC = MNP
n Critério ALA (Ângulo-Lado-Ângulo) de igualdade de triângulosDois triângulos são iguais se têm um lado igual e os dois ângulos adjacentes iguais, cada um a cada um:B–C = N–P, ABC = MNP e ACB = MPN
A
B C
M
N P
A
B C
M
N P
A
B C
M
N P
Lados e ângulos de um triângulo
n Num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais.
n Num triângulo, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.
n Em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais e a ângulos iguais opõem-se lados iguais.
n Ao lado de maior comprimento opõe-se o ângulo de maior amplitude e ao ângulo de maior ampli-tude opõe-se o lado de maior comprimento.
n Ao lado de menor comprimento opõe-se o ângulo de menor amplitude e ao ângulo de menor am-plitude opõe-se o lado de menor comprimento.
n Num triângulo, a medida do comprimento de qualquer um dos lados é menor do que a soma dasmedidas dos comprimentos dos outros dois.
n Num triângulo, a medida do comprimento de um qualquer lado é maior do que a diferença das me-didas dos comprimentos dos outros dois.
Ângulos externos de um triângulo
n Num triângulo, a soma de três ângulos externos com vértices distintos é igual a um ângulo giro.
n Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.
1. Constrói, usando régua e compasso, as bissetrizes dos ângulos a seguir representados.
1.1 1.2
2. Considera os ângulos representados na figura.
2.1 Usando régua e compasso, prova que os ângulos b e d são iguais.
2.2 Constrói, usando régua e compasso, um ângulo k que seja igual à soma de a e c.
2.3 Constrói, usando régua e compasso, a bissetriz do ângulo k.
3. Utilizando os transferidores apresentados, determina a amplitude de cada um dos ângulos se-guintes.
3.1 3.2
3.3
8
PRATICARFiguras no plano
UNIDADE 1
β
α
a
b
c d
4. Estima a amplitude de cada um dos ângulos seguintes. De seguida, confere as tuas estimativasutilizando um transferidor.
4.1 4.2
Estimativa: Estimativa:Medição: Medição:
5. Sem utilizares o transferidor, tenta construir um ângulo com 40° de amplitude. De seguida, uti-liza o transferidor para verificar a amplitude do ângulo que construíste.
6. Com o auxílio do transferidor calcula a amplitude de cada um dos ângulos seguintes.
6.1 6.2 6.3
7. Utiliza o transferidor e a régua para traçares cada um dos seguintes ângulos.
7.1 –ABC, sabendo que ABC = 35° 7.2 –DEF, sabendo que DEF = 90°
7.3 –GHI, sabendo que GHI = 135° 7.4 –JKL, sabendo que JKL = 230°
9
8. Observa a figura.
Sabendo que r // s , indica:
8.1 dois ângulos verticalmente opostos;
8.2 duas semirretas com o mesmo sentido;
8.3 dois ângulos complementares;
8.4 duas semirretas diretamente paralelas;
8.5 dois ângulos suplementares;
8.6 duas semirretas inversamente paralelas;
8.7 dois ângulos adjacentes;
8.8 dois ângulos com um lado em comum, que os separa, mas que não sejam adjacentes.
9. Observa a figura.
9.1 Utilizando o transferidor, determina a amplitude do ângulo x.
9.2 Tendo por base a resposta à alínea anterior, e sem utilizares o transferidor, determina a am-plitude do ângulo y. Explica o teu raciocínio.
10
PRATICARFiguras no plano
UNIDADE 1
A B
D ICG
F
E
H
r
s
•
•
••
•
•
•
• •
yx
10. Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo x.
10.1 10.2
10.3 10.4
10.5 10.6
11. Observa os seguintes polígonos.
A B C D E
F G H I J
Indica pela letra correspondente:
11.1 os quadriláteros; _________ 11.2 os trapézios; _________ 11.3 os paralelogramos; _________11.4 os losangos; __________ 11.5 os retângulos; _________ 11.6 os quadrados. _________
12. Observa a figura, na qual as retas r e s são paralelas.
12.1 Sabendo que f = 130º, determina as amplitudesdos ângulos a, b, c e d.
12.2 Indica dois ângulos que:
a) sejam alternos internos; b) sejam internos do mesmo lado da secante;
c) sejam alternos externos; d) sejam correspondentes;
e) sejam externos do mesmo lado da secante.
11
r
s
gh
ef
u
a
bd
c
50°x
19°
x
50°
x
136°x
113°x
76° 45°
x
13. Completa os espaços em branco, utilizando as palavras obtusângulo, retângulo e acutângulo, demodo a tornar as afirmações verdadeiras.
A. Um triângulo com três ângulos agudos diz-se um triângulo _______________________________ .
B. Um triângulo com um ângulo obtuso diz-se um triângulo _________________________________ .
C. Um triângulo com um ângulo reto diz-se um triângulo ___________________________________ .
14. Observa a figura ao lado.
14.1 Sabendo que A = 60° e B = 60°, determina a amplitude do ângulo C.
14.2 Completa a afirmação: “O esquema anterior sugere que _________________________________
______________________________________________________________________________________ .
15. Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo a. Explica o teu raciocínio.
15.1 15.2
15.3 15.4
15.5 15.6
15.7 15.8
12
PRATICARFiguras no plano
UNIDADE 1
aa
a
a
a
a
a a
65°
36°
125°
36°
61°70°
113°
41°
50°
150°
70°
CA
AC
B
B
16. As imagens abaixo representam esboços de triângulos que não foram desenhados à escala. Utilizando material de desenho adequado, constrói rigorosamente esses triângulos tendo emconta as medidas assinaladas.
17. Diz, justificando, se é possível construir um triângulo cujos lados tenham de comprimento:
17.1 6 cm, 12 cm e 4 cm;
17.2 12 cm, 10 cm e 3 cm.
18. Observa o triângulo [TSU].
Qual dos três lados do triângulo é maior? Justifica.
13
U
TS
60°
59° 61°
40º
50º
5 cm
3 cm
4 cm
5 cm
4 cm 4 cm
19. Observa o triângulo [ABC]. Qual dos três ângulos internos do triângulo tem maior amplitude? Justifica.
20. Dois dos lados de um triângulo têm 6 cm e 13 cm de comprimento. Indica, justificando, três pos-síveis comprimentos para o terceiro lado.
21. Comenta a afirmação: “Um triângulo retângulo e um triângulo obtusângulo não podem ter trêslados de igual comprimento.”
22. Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude do ângulo x.
22.1
22.2
22.3
23. Determina a amplitude dos ângulos a e e . Explica o teu raciocínio.
14
PRATICARFiguras no plano
UNIDADE 1
x
53° 53°
x x
127°
x
x x
23° 45°
a
e
35°
A
B
C10
94
24. Na aula de matemática o professor do Pedrodesenhou no quadro o ângulo representadoao lado e pediu aos alunos para, utilizando arégua e o compasso, o dividirem em quatroângulos iguais.
24.1 Explica como deverá proceder o Pedro para fazer a divisão do ângulo.
24.2 Utilizando a régua e o compasso efetua a divisão do ângulo.
25. Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude dos ângulos a e b. Explica o teu ra-ciocínio.
25.1 25.2
25.3 25.4
25.5 25.6
26. O Óscar, depois de ajudar o seu avô a vindimar, encostou a escadaque utilizou a uma parede, tal como mostra a figura ao lado.
26.1 Determina a amplitude dos ângulos a, b e c.
26.2 Comenta a afirmação: “Com esta escada podemos atingir al-turas superiores a 1,6 m.”
15
115°
50°
r//s
α
βrr//s
α
βs
r s
rr//s
140°
60°
α
β
s
35° rr//s
α
βs
a
b
59°
1,6 m
c
130°f
α
46°β
27. Constrói um triângulo:
27.1 equilátero com 9 cm de perímetro;
27.2 isósceles com 5 cm de perímetro, cujo lado diferente meça 2 cm.
28. Os dois triângulos representados em cada uma das alíneas seguintes são iguais. Indica, em cadacaso, o critério que pode ser utilizado para provar essa igualdade.
28.1 28.2
28.3 28.4
29. Em cada uma das seguintes situações, determina a amplitude dos ângulos a, b, q e f. Explica oteu raciocínio.
29.1 29.2
16
PRATICARFiguras no plano
UNIDADE 1
45°
120°
4
2
1
42
60°r
s
A
CB
A
B
C
ab
q f
r // s t // u
t
u
a
b
qf
4
42
D
F A B
C
E
73°2
12
3
1
2
D
E
B
AC
F
73° 23
1
E
DF
45°D E
F
2
45°
30. Num triângulo retângulo os dois lados adjacentes ao ângulo reto chamam-se catetos e o terceiro lado chama-se hipotenusa.
30.1 Num dado triângulo retângulo, os dois catetos têm o mesmo compri-mento. Indica, justificando, a amplitude dos ângulos internos desse triângulo.
30.2 Como se designa a propriedade dos triângulos que permite afirmar que “a soma dos com-primentos dos dois catetos é maior que o comprimento da hipotenusa”?
30.3 Comenta a afirmação: “Num triângulo retângulo, a hipotenusa é sempre o lado de maiorcomprimento.”
31. Indica se são verdadeiras, V, ou falsas, F, as seguintes afirmações. Justifica as tuas opções.
A. Dois dos ângulos internos de um triângulo obtusângulo podem ter 40º e 53º de amplitude.
B. Um triângulo retângulo pode ser isósceles.
C. Um triângulo obtusângulo não pode ser isósceles.
32. Na figura ao lado, [DE ]//[AB].
32.1 Determina a amplitude dos ângulos a, b e e. Explica o teu raciocínio.
32.2 Classifica o triângulo [CDE] quanto à amplitude dos seus ângulos. Explica o teu raciocínio.
17
cateto
cate
to
hipotenusa
C
D
A B
E
e
142°
63° b
a
1. Considera os ângulos a e b, representados na figura.
Constrói, usando régua e compasso:
1.1 as bissetrizes dos ângulos a e b;
1.2 um ângulo g que seja igual à soma de a e b.
2. Observa a figura.
2.1 Determina as amplitudes dos ângulos a, b e g.
2.2 Classifica o triângulo [ABC] quanto à amplitude dos seus ângulos.
2.3 Os triângulos [ABC] e [BCD] são iguais. Indica o critério que podes utilizar para provar essaigualdade.
18
TESTARFiguras no plano
UNIDADE 1
α
β
s
A
C
D
x
β
α γ
B
70º
r // s
t // u
v // x80º
r
u
tv
3. O Hugo utilizou o quadriculado do seu caderno dematemática para construir o polígono ao lado.
3.1 Como classificas, quanto ao número de lados, o polígono representado?
3.2 Utilizando um transferidor, determina a amplitude do ângulo a.
3.3 Classifica o triângulo [EDC] quanto à amplitude dos seus ângulos.
4. Para cada uma das afirmações seguintes, indica se é verdadeira ou falsa e corrige as falsas.
A. Todos os ângulos internos de um triângulo retângulo são retos.
B. Dois dos ângulos internos de um triângulo retângulo podem ter 40º e 37º de amplitude.
C. Um triângulo equilátero pode ser retângulo.
5. Na figura ao lado está representado o triângulo isósceles [ABC].
5.1 Determina a amplitude dos ângulos a e b. Explica o teu raciocínio.
5.2 Sabendo que o perímetro do triângulo [ABC] é 12 cm e que A–B = 4,5 cm, determina o com-primento dos lados AC e CB do triângulo. Explica o teu raciocínio.
6. Observa o triângulo [SOL], representado na figura. Semefetuares medições, indica qual dos lados tem maior com-primento. Justifica.
7. Num triângulo retângulo, a amplitude de um dos ângulos é 45º. Classifica o triângulo quanto aocomprimento dos seus lados e quanto à amplitude dos seus ângulos internos.
19
A B
CF
E D
A
B C63°
a
b
a
L
O
S
102º
47º31º
20
Números naturais
UNIDADE 2
RESUMIR
Critérios de divisibilidade
+
comutativa a soma de dois números naturais não se altera quando se troca a ordem dasparcelas.
Exemplo: 56 + 24 = 24 + 56 = 80
associativa a soma de três números naturais não se altera quando se associam as parcelasde um modo diferente.
Exemplo: (23 + 7) + 10 = 23 + (7 + 10) = 40
*
comutativa quando se troca a ordem dos fatores o produto não se altera.
Exemplo: 4 ¥ 5 = 5 ¥ 4 = 20
associativa o produto não se altera quando se associam os fatores de um modo diferente.
Exemplo: (3 ¥ 2) ¥ 4 = 3 ¥ (2 ¥ 4) = 24
distributiva em o produto de um número por uma soma é igual à soma dos relação à adição produtos desse número por cada uma das parcelas.
Exemplo: 5 ¥ (8 + 9) = 5 ¥ 8 + 5 ¥ 9 = 90
distributiva em o produto de um número por uma diferença é igual à diferença entre o relação à subtração produto desse número pelo aditivo e o produto desse nú me ro pelo subtrativo.
Exemplo: 4 ¥ (6 – 4) = 4 ¥ 6 – 4 ¥ 4 = 8
n
3 a soma dos seus algarismos é divisível por 3.
Exemplo: 462 é divisível por 3, pois 4 + 6 + 2 = 12 e 12 é divisível por 3.
4 a soma do dobro do algarismo das dezenas com o algarismo das unidades édivisível por 4.
Exemplo: 872 é divisível por 4, pois 2 ¥ 7 + 2 = 16 e 6 é divisível por 4.
9 a soma dos seus algarismos é divisível por 9.
Exemplo: 495 é divisível por 9, pois 4 + 9 + 15 = 18 e 18 é divisível por 9.
Um número é divisível por… se e só se…
Operação Propriedade
Propriedades dos divisores
n Num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do produto.
n Se um número natural é divisor de outros dois, então também é divisor das respetivas somas e di-ferenças.
21
n Dada uma divisão inteira (D = d x q + r), se um número divide o dividendo (D) e o divisor (d), entãodivide o resto (r = D – d x q).
n Dada uma divisão inteira (D = d x q + r), se um número divide o divisor (d) e o resto (r), então divideo dividendo (D).
n O maior divisor comum entre dois números, a e b, chama-se máximo divisor comum de a e b e re-presenta-se por m.d.c. (a, b).
n Para determinar o máximo divisor comum entre dois números, podem utilizar-se dois processos di-ferentes: através da listagem dos divisores de cada número ou através do algoritmo de Euclides.
Exemplo: Determinar o máximo divisor comum de 16 e 30. Æ Através da listagem dos divisores D16 = {1, 2, 4, 8, 16} D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Assim, m.d.c. (30, 16) = 2. Æ Usando o algoritmo de Euclides
n Quando dois números a e b têm como único divisor comum a unidade, isto é, m.d.c. (a, b) = 1, osnúmeros a e b dizem-se primos entre si.
n O menor múltiplo comum, diferente de zero, entre dois números, a e b, chama-se mínimo múltiplocomum de a e b e representa-se por m.m.c. (a, b).
Exemplo: Determinar o mínimo múltiplo comum de 10 e 15. M10 = {0, 10, 20, 30, 40, …} M15 = {0, 15, 30, 45, …} Assim, m.m.c. (10, 15) = 30.
n O produto de dois números naturais é igual ao produto do máximo divisor comum pelo mínimo múl-tiplo comum.
30
14
16
1
16
02
14
1
14
0
2
7
1. Identifica a propriedade da adição que permite escrever cada uma das seguintes igualdades.
1.1 10 + 12 = 12 + 10
1.2 16 + (6 + 10) = (16 + 6) + 10
2. Identifica a propriedade da multiplicação que permite escrever cada uma das seguintes igual-dades.
2.1 7 x 6 = 6 x 7
2.2 3 x (5 x 7) = (3 x 5) x 7
2.3 7 x (2 + 4) = 7 x 2 + 7 x 4
2.4 9 x (6 – 1) = 9 x 6 – 9 x 1
3. Assinala com um X os números que são:
3.1 divisíveis por 3;
7 9 15 22 35 56 989
3.2 divisíveis por 4;
16 26 37 95 104 296 1252
3.3 divisíveis por 9.
18 25 36 40 72 97 258
4. Escreve:
4.1 todos os divisores de 18;
4.2 todos os divisores de 21;
4.3 todos os divisores de 42.
22
PRATICARNúmeros naturais
UNIDADE 2
5. Dos números 1, 10, 14, 18, 24, 27, 30, 47 e 53, indica os que são:
5.1 múltiplos de 3;
5.2 divisíveis por 5;
5.3 divisores de 30;
5.4 múltiplos de 2 e 5, simultaneamente;
5.5 divisíveis por 2, 3 e 4, simultaneamente.
6. Escreve:
6.1 os primeiros cinco múltiplos de 7;
6.2 os múltiplos de 12, menores que 76;
6.3 os múltiplos de 9, maiores que 18 e menores que 100.
7. Escreve um número maior que cinco e menor que dezanove, com exatamente:
7.1 dois divisores;
7.2 três divisores;
7.3 quatro divisores;
7.4 cinco divisores.
23
8. Determina:
8.1 o máximo divisor comum entre 15 e 20;
8.2 o mínimo múltiplo comum entre 14 e 10.
9. Completa as seguintes expressões, referindo as propriedades que utilizaste:
9.1 4 + 5 = ____ + 4
9.2 (4 + 6) x ____ = ____ x 5 + ____ x 5
9.3 (4 + 6) + ____ = ____ +( ____ + 5)
9.4 (15 x 2) x ____ = 15 x 20
9.5 3 x ( ____ – ____ ) = ____ x 2 – ____ x 6
9.6 12 x 10 = ____ x 12
10. Os divisores de um número são: 1, 2, 4, 8, 16 e 32. Qual é o número?
11. Completa os espaços com algarismos, de forma a tornar as afirmações verdadeiras.
11.1 478 ____ é divisível por 3.
11.2 23 ____ 4 ____ é divisível, simultaneamente, por 3 e 4.
11.3 14 ____ ____ ____ é divisível, simultaneamente, por 4 e 9.
11.4 245 ____ é divisível por 4, mas não é divisível por 3.
24
PRATICARNúmeros naturais
UNIDADE 2
12. Usando o algoritmo de Euclides, indica:
12.1 o m.d.c. (24, 60) 12.2 o m.d.c. (88, 66)
12.3 o m.d.c. (1386, 462)
13. Indica:
13.1 o menor número natural que é, simultaneamente, divisível por 3, 4 e 9;
13.2 o maior número natural, menor que 100, simultaneamente divisível por 3 e por 4.
14. Sabendo que a x b = 143 360 e que o m.d.c. (a, b) = 64, determina o m.m.c. (a, b).
15. O produto de dois números naturais é 4200. Sabendo que o mínimo múltiplo comum desses nú-meros é 420, determina o máximo divisor comum dos mesmos. Explica o teu raciocínio.
16. Em Portugal as eleições presidenciais ocorrem de 5 em 5 anos e as legislativas de 4 em 4 anos.Sabendo que em 2011 decorreram eleições legislativas e presidenciais, determina em que anovoltarão a coincidir as duas eleições, caso estas não tenham necessidade de ser antecipadas.
25
17. Na figura está representada uma rede de metropolitano.
Às 8 horas da manhã, todos os dias, sai um metro-politano da estação do Altinho e outro da estaçãoda Barquinha, em direção ao Cruzeiro.
– O Álvaro entra na estação do Altinho, de onde saium metropolitano de 3 em 3 minutos, que leva 9minutos a chegar ao Cruzeiro.
– A Bárbara entra na estação da Barquinha, de onde sai um metropolitano de 5 em 5 minutos,que leva 6 minutos a chegar ao Cruzeiro.
– O Álvaro e a Bárbara querem sair na estação do Cruzeiro, exatamente ao mesmo tempo, aindaantes das 8:30 horas da manhã. A que horas é que cada um deles deve apanhar o metropolitano?
Apresenta todos os cálculos que efetuares e explica o teu raciocínio.
Retirado de Prova de Aferição de Matemática – B
18. A Sílvia vai preparar um Hambúrguer Gourmet para uns ami-gos que vão jantar a sua casa. Este hambúrguer é acompa-nhado por um ovo escalfado e por umas estaladiças batatasfritas.
No supermercado, a Sílvia verificou que os hambúrgueresapenas eram vendidos em caixas de quatro e os ovos em cai-xas de seis. Sabendo que a Sílvia pretende comprar o mesmonúmero de ovos e de hambúrgueres, determina o menor nú-mero de caixas de hambúrgueres que a Sílvia terá de com-prar para que isso aconteça. Explica o teu raciocínio.
19. O Sr. Ângelo e a D. Maria têm dois filhos, ambos emigrantes: um na Suíça e outro em Inglaterra. O que está na Suíça vem a Portugal visitar os pais de 90 em 90 dias, enquanto o que está em Inglaterra vem de 60 em 60 dias. Sabendo que no dia 25 de dezembro a família esteve toda reu-nida, determina a primeira data em que isso voltou a acontecer.
26
PRATICARNúmeros naturais
UNIDADE 2
Barquinha
Cruzeiro
Altinho
20. Uma empresa de recolha de lixos pretende contratar novosmotoristas para os seus camiões de recolha. A empresa pre-cisa, no mínimo, de cinco novos colaboradores e sabe que,por uma questão orçamental, não pode contratar mais doque dez. Sabendo que a empresa pretende repartir igual-mente entre os novos funcionários quarenta e nove pontosde recolha de lixo, determina quantos funcionários devecontratar a empresa.
21. Considera as afirmações.
A. Todos os divisores de um número par são números pares. B. Todos os divisores de um número ímpar são números ímpares.
21.1 Uma das duas afirmações é falsa. Identifica-a.
21.2 Encontra um contraexemplo que prove que a afirmação que escolheste na alínea anterioré falsa.
22. Considera os números 26 124 e 13 416.
22.1 Mostra que os números são divisíveis por 3 e por 4, mas não são divisíveis por 9.
22.1 Sem efetuares a divisão, mostra que 3 é divisor do resto da divisão inteira de 26 124 por13 416.
23. O Sr. Camilo é criador de cavalos e possui um terreno com 414 m de comprimento e 216 m delargura, que pretende vedar para poder soltar os animais. Calcula a quantidade mínima de estacasnecessárias, sabendo que a distância entre duas estacas consecutivas é a mesma.
27
1. Completa as seguintes expressões referindo as propriedades que utilizaste.
1.1 24 + ____ = 13 + 24
1.2 ____ + (____ + 10) = (7 + 132) + 10
1.3 4 x ____ = ____ x 4 = 36
1.4 4 x (____ x ____) = (4 x 3) x 2 = ____ x ____ = 24
1.5 (2 + ____ ) x 5 = 2 x ____ + 3 x ____ = 10 + ____ = 25
1.6 ____ x (7 – ____ ) = 3 x 7 – ____ x 4 = ____ – 12 = 9
2. Prova que, independentemente do algarismo que se coloque no espaço vazio, o número 437 ____
nunca poderá ser, simultaneamente, divisível por 2, 3 e 5.
3. Completa o número 486 ____ de forma que seja divisível simultaneamente por:
3.1 4 e 5
3.2 4 e 9
4. Usando o algoritmo de Euclides, indica o m.d.c. (36, 48).
28
TESTARNúmeros naturais
UNIDADE 2
5. Determina o m.m.c. (36, 48).
6. Determina o valor de a, sabendo que:
• m.d.c. (a, b) = 36
• m.m.c. (a, b) = 2268
• b = 252
7. O produto de dois números naturais é 1904.
Sabendo que o máximo divisor comum desses números é 4, determina o mínimo múltiplocomum dos mesmos. Explica o teu raciocínio.
8. O número 2012 não é divisível por 3.
Assinala com um X a opção que apresenta o primeiro número par, superior a 2012, que é divisívelpor 3.
[A] 2010
[B] 2013
[C] 2014
[D] 2016
29
30
Números racionaisnão negativos
UNIDADE 3
RESUMIR
Frações
� Uma fração é um número que pode representar uma parte de um todo, que é considerado a unidadede medida.
Uma fração permite também estabelecer uma relação entre duas grandezas ou entre duas medidasda mesma grandeza.
Exemplo: “Dilua 1 porção de concentrado em 7 porções de água.” Æ
Uma relação deste tipo chama-se razão e escreve-se , ou 1 : 7, e lê-se “1 para 7”.
Numa razão, o numerador diz-se o antecedente e o denominador diz-se o consequente.
� Uma fração é o quociente entre um qualquer número inteiro e um número inteiro diferente dezero. O dividendo é o numerador da fração e o divisor é o denominador da fração. Então, umafração pode ser expressa na forma de dízima, havendo dízimas finitas e dízimas infinitas:
Nas dízimas infinitas periódicas, como é o caso do 0,3333…, pode escrever-se, entre parênteses, operíodo da dízima, ou seja, o algarismo ou algarismos que se repetem. Assim, 0,3333… = 0,(3).
� Uma fração pode ser um número inteiro ou um número não inteiro. Um número não inteiro quepossa ser representado por uma fração diz-se um número fracionário.
17
17
17
AntecedenteConsequente
= 1,532
1,5 é uma dízima finita
= 0,3333…13
0,3333… é uma dízima infinita
twwuwwvtwuwv
Exemplos:
1. = 3 Æ Número inteiro
2. = 0,75, ou seja, 75% Æ número não inteiro Æ Número fracionário
3. = 1,3333… Æ número não inteiro Æ Número fracionário
186
34
43
31
Exemplos:
1. , , , , … são frações decimais.
2. = 0,7 , = 0,53 , = 0,227 , = 5,61 , … são números decimais.
710
53100
2271000
561100
710
53100
2271000
561100
Números racionais
� Qualquer número, inteiro ou não inteiro, que possa ser representado por uma fração diz-se umnúmero racional. As frações cujo denominador é 10, 100, 1000, … designam-se por fraçõesdecimais.Os números que podem ser representados por frações decimais dizem-se números decimais.
Frações equivalentes
� Duas frações dizem-se equivalentes se representam o mesmo número racional.
Comparação e ordenação de números racionais
� Uma fração em que o numerador é menor do que o denominador representa um número racionalmenor do que a unidade. Trata-se de uma fração própria.
Exemplo: < 1 porque 3 < 4. Repara que = 0,75.
Outros exemplos: , , , , …
34
34
12
47
117
3333333
� Simplificar uma fração é determinar uma fração que lhe seja equivalente, mas com menor numeradore denominador. Quando não é possível simplificar uma fração diz-se que ela é irredutível.
: 2
= 26
13
e 26
13
são frações equivalentes
: 2
�
: 2 : 7
= = 2052
1026
513
, e 2052
1026
513
são frações equivalentes: 2 : 7
�já não se pode simplificar
É uma fração irredutível
513
ainda se pode simplificar1026
32
Números racionaisnão negativos
UNIDADE 3
RESUMIR
� Uma fração em que o numerador é maior do que o denominador representa um número racionalmaior do que a unidade. Trata-se de uma fração imprópria.
Exemplo: > 1 porque 15 > 2. Repara que = 7,5.
Outros exemplos: , , , , …
� Uma fração em que o numerador é igual ao denominador representa a unidade.
Exemplo: = 1 porque 7 = 7.
Outros exemplos: , , , , …
152
152
43
76
1817
7773
77
44
77
1818
777777
Adição e subtração de números racionais
� Para adicionar dois números racionais representados por frações com o mesmo denominador, adicio-nam-se os numeradores e mantém-se o denominador.
Exemplo: + =
� Para subtrair dois números racionais representados por frações com o mesmo denominador, sub-traem-se os numeradores e mantém-se o denominador.
Exemplo: – =
� Para adicionar ou subtrair números racionais representados por frações com denominadores dife-rentes, deve-se, em primeiro lugar, escrever frações equivalentes às dadas, mas que tenham omesmo denominador. Depois, basta proceder como anteriormente.
� Para adicionar ou subtrair dois números representados como um numeral misto, começa-se por adi-cionar ou subtrair respetivamente as partes inteiras e as frações próprias associadas podendo havernecessidade de se transportar uma unidade.
Exemplos: 5 + 3 = 5 + 3 + + = 8 + + = 8 + = 8
9 – 5 = 8 – 5 = 8 – 5 + – = 3 + – = 3 + = 3
28
48
68
48
28
28
12
26
12
26
36
26
56
56
16
12
76
12
76
12
76
36
46
46
Percentagem
� Uma percentagem é uma razão em que o denominador é 100.
� Uma percentagem pode escrever-se sob a forma de fração ou de numeral decimal.
3333
Valores aproximados
Métodos utilizados para aproximar números:
• Truncatura: “deixa cair” todos os decimais que não são precisos. Resulta sempre numa aproximaçãopor defeito.
• Aproximação por excesso
• Arredondamento: fornece a melhor aproximação possível, escolhendo, consoante o caso, um valoraproximado por defeito ou um valor aproximado por excesso.
Exemplo:
Multiplicação e divisão de números racionais
� Para multiplicar números racionais representados por frações, multiplicam-se os numeradores emultiplicam-se os denominadores das frações. Se um dos números racionais a multiplicar for repre-sentado por um numeral misto, basta aplicar a regra utilizada para multiplicar números racionais re-presentados por frações, após ter convertido o numeral misto numa fração.
Exemplo: 2 ¥ = ¥ = ¥ =
� Para multiplicar um número inteiro por um número racional representado por uma fração, multipli-camos o inteiro pelo numerador e damos ao produto o denominador da fração.
Exemplo: 4 ¥ = =
� Dois números racionais cujo produto é igual a 1 dizem-se inversos um do outro.
Exemplo: ¥ = 1
• O número zero não tem inverso.
• Na prática, pode-se encontrar o inverso de qualquer número, exceto o zero, trocando-lhe o nu-merador pelo denominador.
� Para dividir frações com o mesmo denominador, basta dividir os numeradores.
Exemplo: : = 5
� Para dividir números racionais representados por frações, basta multiplicar o dividendo pelo inversodo divisor.
Exemplo: : = ¥ =
35
23
2 ¥ 5 + 35
23
4 ¥ 23
83
32
23
103
23
25
37
25
23
135
23
2615
73
1415
NúmeroAproximação
por defeitoAproximação por excesso
Arredondamento (2 c.d.)
3,1234 3,12 3,13 3,12
4,1375 4,13 4,14 4,14
1. Assinala com um X a fração que pode representar a parte pintada de verde em cada um dos se-guintes círculos.
1.1
1.2
1.3
1.4
2. A figura seguinte representa parte de uma unidade.
2.1 Se a figura representar da unidade, desenha a unidade.
2.2 Se a figura representar da unidade, desenha a unidade.
3. Em alguns jogos de bilhar, utilizam-se bolas iguais às da figura.
14
24
34
44
210
510
710
910
310
12
69
55
14
24
34
44
12
25
34
PRATICARNúmeros racionais não negativos
UNIDADE 3
Observa a figura e indica a razão entre:
3.1 o número de bolas verdes e o número total de bolas;
3.2 o número de bolas totalmente brancas e o número de bolas coloridas;
3.3 o número de bolas com números pares e o número total de bolas;
3.4 o número de bolas com números ímpares e o número de bolas com números primos.
4. Escreve uma fração com numerador 3:
4.1 que represente um número inteiro;
4.2 que represente um número fracionário.
5. Completa a tabela.
6. Considera as frações:
Indica:6.1 as frações que representam um número inteiro;
6.2 as frações que representam um número fracionário;
6.3 as frações que representam um número maior do que 1;
6.4 duas frações equivalentes;
6.5 duas frações irredutíveis;
6.6 as frações impróprias;
6.7 as frações próprias.
1211
54
26
42
35
77
84
47
17
35
Fração
Quatro terços Não Imprópria Fracionário
Três nonos
Leitura Fração decimal Fração própria ou imprópria?
Número fracionário ouinteiro?
43
25
84
7. Em cada uma das seguintes situações, escreve um número no , de modo a que as duas fra-ções sejam equivalentes.
7.1 = 7.2 =
7.3 = 7.4 =
7.5 = 7.6 =
8. De entre as seguintes frações, apenas uma é uma fração decimal. Assinala-a com um X.
9. A Amélia fez um colar com pedras pretas e pedras brancas. Dois terços das pedras que utilizoueram pretas. Pinta, com o teu lápis, as pedras pretas do colar da Amélia representado abaixo.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2.º Ciclo, 2006
10. Coloca os números , 0,5 e 32% por ordem crescente.
11. Une as frações equivalentes:
• •
• •
• •
• •
12. Que parte de uma hora representam:
12.1 30 minutos? 12.2 15 minutos?
12.3 45 minutos? 12.4 20 minutos?
12.5 60 minutos?
19
63
73
16
48
12
24
14
104
135
126
12
310
17
13
43
76
133
219
23
1620
73
46
45
37
1535
45
36
PRATICARNúmeros racionais não negativos
UNIDADE 3
13. Que parte de um ano representam:
13.1 6 meses? 13.2 3 meses?
13.3 9 meses? 13.4 7 meses?
14. Assinala na reta numérica seguinte. Explica o teu raciocínio.
15. O automóvel do Sr. Artur avariou. O mecânico, depois de analisar o automóvel, disse-lhe:
Como poderia ter o mecânico transmitido a mesma informação? (Escolhe a opção correta.)
[A] Isto é grave! 30% dos automóveis com um problema destes não têm arranjo...
[B] Isto é grave! dos automóveis com um problema destes não têm arranjo...
[C] Isto é grave! dos automóveis com um problema destes não têm arranjo...
[D] Isto é grave! 33% dos automóveis com um problema destes não têm arranjo...
16. Na imagem ao lado vê-se o Constantino a cortar uma parte de uma maçã.
Será que a fração pode representar a parte da maçã cortada pelo Constantino?
Justifica.
48
4588
37
0 1
Isto é grave! 3 em cada 9 automóveiscom um problema destes não têm
arranjo…
2313
17. Calcula o valor das expressões numéricas, indicando todos os cálculos que efetuares.
17.1 3 + 2 17.2 0,5 + 17.3 + + 0,5
17.4 5 ¥ 17.5 5 – 2 17.6 ¥
17.7 0,5 ¥ 17.8 ¥ 0,2 17.9 – +
17.10 – 17.11 + + 17.12 + ¥
17.13 + ¥ 17.14 ( – ) + 5 17.15 0,5 + (1 – 0,25) + 3
17.16 + – 0,2 + 2 17.17 ( + ) ¥ 17.18 ¥( + )
17.19 + : 3 17.20 ( + ) : 3 17.21 2 – : 6
18. Completa com os símbolos >, < ou =.
18.1 _____ 18.2 _____ 18.3 _____ 18.4 _____
18.5 _____ 0,6 18.6 _____ 18.7 _____ 18.8 _____
13
33
45
34
43
39
79
73
37
47
13
510
24
98
34
3645
45
4200
7200
1721
3742
45
47
37
14
15
14
23
35
35
72
47
1110
45
110
12
14
16
321
57
13
34
13
52
25
32
43
43
25
32
14
53
32
12
34
12
34
14
35
57
38
PRATICARNúmeros racionais não negativos
UNIDADE 3
19. Das afirmações seguintes, indica as verdadeiras e corrige as falsas.
A. Frações cujo numerador é maior que o denominador representam um númeromenor que 1.
B. Frações cujo denominador é 1 representam um número fracionário.
C. Frações cujo denominador é igual ao numerador representam a unidade.
20. O esquema seguinte mostra a família do Tomás.
A tabela seguinte apresenta as recomendações de alguns especialistas sobre o consumo diáriode leite.
20.1 Que quantidade de leite consome a família do Tomás, num dia, se todos seguirem as indi-cações da tabela? Explica como encontraste a resposta. Para o fazeres, podes usar pala-vras, desenhos ou cálculos.
20.2 Segundo as indicações da tabela, quem deve beber mais leite, o Tomás ou a sua irmã?
Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2.º Ciclo, 2003
39
Idades Quantidade diária de leite (em litros)
Dos 3 aos 9 anos
Dos 10 aos 20 anos
Dos 21 aos 55 anos
A partir dos 56 anos
12
34
12
34
Avô – 70 anos Pai – 41 anos Mãe – 40 anos
Tomás – 12 anos Irmã – 8 anos
21. Perguntou-se aos 30 alunos de uma turma qual era a sua disciplina preferida. 30% dos alunosafirmaram que era Matemática, afirmaram ser Língua Portuguesa e os restantes afirmaramque era Educação Física.
21.1 Que parte dos alunos prefere Educação Física?
21.2 Quantos alunos preferem Matemática?
22. Determina a área da região colorida de cada uma das seguintes figuras. Apresenta todos os cál-culos que efetuares.
22.1 22.2
23. O Rodrigo adora correr e todos os dias se dirige ao parque da cidade, onde faz
um percurso de 1600 m. Normalmente, ao fim de desse percurso,
o Rodrigo faz uma pequena pausa para beber água numa fonte.
Nesse instante, quantos metros faltam ao Rodrigo para terminar oseu percurso diário? Explica o teu raciocínio.
35
40
PRATICARNúmeros racionais não negativos
UNIDADE 3
15
8 cm
5 cm 5 cm
8 cm
24. A Joana construiu um colar de contas. Um oitavo das contas do colar são brancas, dois sétimossão azuis, três doze avos são vermelhas e as restantes são amarelas ou verdes.
24.1 O colar da Joana tem mais contas brancas ou azuis? Explica o teu raciocínio.
24.2 O que representa a expressão + + ? Calcula o seu valor.
24.3 Sabendo que o colar tem tantas contas amarelas como verdes, que parte das contas sãoamarelas? Explica o teu raciocínio.
25. Numa universidade, a razão entre o número de alunos que foram colocados em Arquitetura e o
número de alunos que se candidataram ao referido curso é .
25.1 Comenta a afirmação: “A razão significa que, dos três alunos que se candidataram ao
curso de Arquitetura, apenas um foi colocado.”
25.2 Se foram colocados 90 alunos, quantos alunos se candidataram ao curso? Explica o teu ra-ciocínio.
25.3 Se foram 300 os candidatos, quantos foram colocados no curso? Explica o teu raciocínio.
25.4 Nessa mesma universidade, a razão entre o número de alunos que foram colocados emEngenharia Civil e o número de alunos que se candidataram ao curso é . Em qual dos cursos,
Arquitetura ou Engenharia Civil, se candidataram mais alunos? Explica o teu raciocínio.
312
27
18
13
13
14
41
26. O Carlos e o João praticam futebol no clube da sua freguesia, formando a dupla de avançados titulares. Até agora, em conjunto, marcaram dos golos da equipa no campeonato, sendo oCarlos o melhor marcador.
26.1 Escreve dois números que possam representar a quantidade de golos que cada um deles marcou.
26.2 Calcula o valor da expressão 1 – e interpreta o resultado no contexto descrito.
26.3 Comenta a afirmação: “Em conjunto, o Carlos e o João já marcaram mais golos do que todosos outros jogadores.”
27. O Simão foi ao cinema com os seus colegas de turma. Dos 9 ¤ que levou para o cinema, o Simãogastou 40% no bilhete, nas pipocas e o restante na bebida.
27.1 Quanto custou ao Simão o bilhete para o cinema?
27.2 Quanto gastou o Simão nas pipocas?
27.3 O que foi mais caro: a bebida ou as pipocas? Explica o teu raciocínio.
28. Na semana passada, o Carlos e o João, que são irmãos, ajudaram o seu vizinho a cortar a relva dojardim. Como recompensa, receberam do vizinho duas caixas de bombons iguais, uma para cadaum. O João já comeu dos seus bombons e o Carlos dos dele.
28.1 Qual dos dois irmãos já comeu mais bombons?
28.2 Se cada caixa tinha 36 bombons, quantos bombons ainda têm os dois irmãos em conjunto?
13
610
610
16
14
42
PRATICARNúmeros racionais não negativos
UNIDADE 3
29. O Sr. Joaquim tem um terreno com a forma de um quadrado, ondepretende plantar couves, cebolas, alhos, beringelas, pepinos, tomatese alfaces. A plantação de couves ocupará um quarto do terreno. O resto do terreno será dividido igualmente pelas outras plantações.Utiliza o esquema do terreno para explicar ao Sr. Joaquim como po-derá ele dividir o seu terreno.
30. A arca frigorífica do Firmino avariou e a repa-ração era mais cara do que a compra de umanova. Assim, depois de decidir qual o modeloque pretendia comprar, o Firmino viu preçosem várias lojas. O resumo das informações re-colhidas pelo Firmino apresenta-se ao lado.Em qual das três lojas a arca é mais barata? Ex-plica o teu raciocínio.
31. No seu aniversário, o Joaquim recebeu, dos seus avós, 50 ¤ que usou para comprar um jogo detabuleiro. Gastou do total nessa compra.
31.1 Quanto custou o jogo que o Joaquim comprou?
31.2 O que representa a expressão 50 – ¥ 50?
31.3 Resolve a expressão da alínea anterior.
32. O campo de jogos da escola do Vicente tem 56 m de comprimento e do comprimento de largura.
Quantos metros de rede serão necessários para vedar o campo de jogos? Explica o teu raciocínio.
710
710
47
43
couves
Loja A:
Custa 350 €, mas fazem 10% de desconto. A entrega custa 20 €.
Loja B:
Custa 280 € + IVA (20%). A entrega é gratuita.
Loja C:
Custa 380 €, mas fazem 20% de desconto. A entrega custa 15 €.
33. A Maria gasta, por mês, do seu vencimento em produtos alimentares. Sabendo que dessa
quantia são para comprar peixe, que fração do vencimento gasta a Maria na peixaria? Explica oteu raciocínio.
34. De seguida apresentam-se quatro números fracionários:
Observa a reta numérica seguinte e escreve cada uma das frações anteriores na caixa certa. Explica o teu raciocínio.
35. Para se preparar para um teste de Matemática, o Júlio resolveu muitos exercícios. Um quarto dosexercícios que resolveu eram do Manual, um sexto eram do Caderno de Atividades e os restan-tes eram de uma ficha de trabalho que a professora forneceu.
35.1 Calcula o valor da expressão numérica e interpreta o resultado no contexto descrito:
1 – ( + )
35.2 O Júlio resolveu 200 exercícios. Quantos desses exercícios eram do Manual? Explica o teuraciocínio.
35.3 De onde resolveu o Júlio mais exercícios: do Manual, do Caderno de Atividades ou da fichade trabalho? Justifica.
36. Na figura está representado um quadrado [ABCD].
Que parte do quadrado está colorida de vermelho?
38
25
13
110
15
12
16
14
44
PRATICARNúmeros racionais não negativos
UNIDADE 3
A B
CD
• • •0 1
•
37. O Sr. Fernandes tem um terreno retangular com 30 m de compri-mento, que se encontra representado na figura ao lado.
37.1 Determina a área do terreno sabendo que a sua largura é doseu comprimento.
37.2 Com a passagem de uma estrada, 30% do terreno foi-lhe expropriado pelo Estado, que lhepagou 50,50 ¤ por cada metro quadrado de área. Quanto recebeu o Sr. Fernandes? Explicao teu raciocínio.
38. A Cristiana desenhou no seu caderno de Matemática umasbarras coloridas, como as representadas na imagem.
38.1 Considera como unidade a barra azul. Que fração dabarra azul é representada pela:
a) barra verde? b) barra roxa?
38.2 Considera como unidade a barra vermelha. Que fração da barra vermelha é representada pela:
a) barra preta? b) barra roxa?
38.3 Se a barra azul representar , qual é a barra que representa 1?
38.4 Se a barra verde representar , qual é a barra que representa ?
39. A partir dos dados da figura, inventa um problema que possaser resolvido pela expressão 25 450 ¥ e resolve-a.
23
12
110
15
13
45
30 m
VENDO 25 450 €
40. O Joaquim é designer gráfico e está a criar um logótipo para uma empresa.O Joaquim decidiu que o logótipo terá a forma de um hexágono regularverde, com uma parte pintada de azul. Num modelo, que se encontra re-presentado de seguida, pintou metade do hexágono de azul.O gerente da empresa gostou, mas achou que devia ter menos azul. Assim, pediu ao Joaquimque idealizasse dois novos modelos para ele avaliar: um modelo devia ter pintado de azul e ooutro devia ter . O Joaquim não sabe como o fazer…
Ajuda o Joaquim criando dois logótipos que cumpram as condições do gerente.
1.° modelo 2.° modelo
41. O Gil comprou amêndoas da Páscoa, umas eram azuis e outras eram brancas. As amêndoas com-pradas pelo Gil estão representadas na figura.
41.1 Dois terços das amêndoas que comprou eram azuis. Quantas amêndoas azuis comprou oGil? Explica o teu raciocínio.
41.2 O Gil decidiu dividir todas as amêndoas azuis pelos seus três irmãos. Com que fração deamêndoas azuis ficou cada irmão? Explica o teu raciocínio.
41.3 Quantas amêndoas azuis eram de chocolate? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2007
131
6
46
PRATICARNúmeros racionais não negativos
UNIDADE 3
42. O Aníbal quer comprar um CD de música da sua banda preferida. Para tal, abriu o seu mealheiro,para usar o dinheiro que tinha vindo a juntar. A figura seguinte mostra o dinheiro que o Aníbaltinha no mealheiro.
42.1 O Aníbal pegou em desse dinheiro e deslocou-se à loja de música.
Com que notas e/ou moedas o Aníbal poderá ter saído de casa? Explica o teu raciocínio.
42.2 Quando chegou à loja, o Aníbal reparou que o CD custava do dinheiro que levava consigo.
Escreve uma fração que represente a parte do dinheiro que o Aníbal gastou com o CD. Explica o teu raciocínio.
43. A garrafa da figura tem capacidade para 1 litros de água.
Quantos copos de litro é possível encher utilizando a água de uma
garrafa cheia? Explica o teu raciocínio.
25
34
12
13
47
1. Observa a fotografia de um grupo de alunos de uma turma do 12.º ano.
Indica a razão entre:
1.1 o número de rapazes e o número total de alunos deste grupo;
1.2 o número de rapazes e o número de raparigas do grupo;
1.3 o número de raparigas que vestem saia e o número total de raparigas do grupo.
2. Na figura está representado um retângulo. Sabendo que o retângulo corresponde a da unidade,desenha a unidade.
3. Determina, se possível, a fração decimal que representa cada um dos seguintes números racionais.
3.1 0,9
3.2
29
325
48
TESTARNúmeros racionaisnão negativos
UNIDADE 3
4. Completa de modo a que as duas frações sejam equivalentes.
=
5. Escreve a fração na forma irredutível.
6. Completa os espaços em branco, utilizando os símbolos >, < e =.
6.1 2 _____ 3 6.2 _____ 6.3 _____
7. O Ricardo comprou três embalagens com 20 CD cada uma. Já utilizou dos CD de uma emba-lagem, dos CD de outra e dos CD da terceira embalagem.
7.1 Juntando os CD que sobraram nas três embalagens, quantos CD tem, ao todo, o Ricardo? Ex-plica o teu raciocínio.
7.2 As embalagens de CD estavam em promoção, com um desconto de 20%. Pelas três, o Ricardopagou 12 ¤. Quanto custava cada embalagem sem o desconto? Explica o teu raciocínio.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2.º Ciclo, 2008
8. De seguida apresenta-se uma reta numérica, na qual está assinalado um ponto que representaum número racional.
Escreve uma fração que represente esse número.
34
47
57
73
75
121
415
6714
2836
49
0 1 2 3 4•
9. O Fernando paga uma cota anual de 100 ¤ para ser sócio de um determinado clube de futebol.Como contrapartida, o cartão de sócio funciona como cartão de desconto em algumas lojas par-ceiras do clube. Sabendo que, nessas lojas, apresentando o seu cartão de sócio, o Fernando temum desconto imediato de 10% em todas as compras que efetuar, determina quanto terá de gas-tar anualmente o Fernando nessas lojas para que lhe compense financeiramente ser sócio doclube. Explica o teu raciocínio.
10. A Rita foi para o Algarve passar as férias de verão com os seus pais.Depois de ter percorrido dos 561 km que separam a sua casa do
seu destino de férias, decidiu fazer uma paragem para descansar.
10.1 Quantos metros ainda faltam percorrer para a Rita chegar aoseu destino?
10.2 A Rita vai fazer da viagem em autoestradas. Sabendo que cada quilómetro que percorre
na autoestrada tem um custo de 10 cêntimos, indica o valor, aproximado às unidades, quea Rita vai gastar para chegar ao seu destino.
11. Calcula o valor da expressão numérica seguinte.
– ¥
23
23
14
53
611
50
TESTARNúmeros racionaisnão negativos
UNIDADE 3
12. O Sr. Alberto vende, na sua papelaria, canetas de diferentes cores. Esta semana já vendeu de
uma embalagem de canetas azuis, de uma embalagem de canetas vermelhas e de uma
embalagem de canetas pretas.
Atendendo aos dados da figura, responde às seguintes questões.
12.1 Qual foi o tipo de caneta mais vendido, durante esta semana, pelo Sr. Alberto? Explica o teuraciocínio.
12.2 Quantas canetas pretas vendeu o Sr. Alberto esta semana?
12.3 Juntando as canetas que sobraram nas três embalagens, quantas canetas tem ainda paravender o Sr. Alberto? Explica o teu raciocínio.
12.4 Sempre que pode, o Sr. Alberto ajuda os alunos carenciados da escola. Desta vez, dividiu ascanetas pretas que ainda restavam na embalagem por três alunos.
Escreve uma fração que represente a parte da embalagem de canetas com que cada alunoficou. Explica o teu raciocínio.
30 Unidades
30 Unidades
30 Unidades
23
16
25
51
Referencial cartesiano
n No plano, para localizar pontos pode-se utilizar um referencial cartesiano.
n Um referencial cartesiano pode ser composto por dois eixos per pendiculares entre si, cada um delescom uma orientação, indicada por uma seta, e uma graduação. O ponto O, onde os dois eixos seintersetam, diz-se a origem do referencial.O eixo horizontal, Ox, designa-se por eixo das abcissas, ou eixo dos xx. O eixo vertical, Oy, designa-sepor eixo das ordenadas, ou eixo dos yy.
n No plano, a posição de qualquer ponto pode ser definida atra vés de um par ordenado de números,(x, y). O primeiro número desse par, x, é a abcissa do ponto e o segundo número, y, é a ordenada. x e y dizem-se as coordenadas do ponto.
5
Eixo das ordenadas
Origem do referencial
Eixo das abcissas
y
x
4
3
2
1
10 2 3 4 5
Ponto B ,
Ponto A(3, 1)Ordenada
5
x
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5
Abcissa
14
143( )
52
Representação e interpretação de dados
UNIDADE 4
RESUMIR
53
Estatística
n A Estatística é um ramo da Matemática que se dedica a recolher, organizar e interpretar dados.
n Para organizar os dados pode recorrer-se a uma tabela de frequências. A frequência absoluta é onúmero de vezes que se observa um determinado acontecimento. A frequência relativa é o valor que se obtém dividindo a frequência absoluta pelo número total deobservações.
n Depois de organizados, os dados recolhidos podem ser representados por um gráfico:
n A média de um conjunto de dados é o valor que se obtém dividindo a soma dos valores observadospelo número total de observações.
n A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com mais frequência nos dados.
7
6
5
4
3
2
1
0
Crescimento demográfico nas últimas décadas
População(mil milhões)
Anos1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
5
6
7
8
9
1
6
6
2
0
8
4
3
6
3
3
8
9
1
9
7
3
6
6
6
7
1
4
3
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Profissões desejadas pelos alunos
Númerode alunos
Profissões
Astronauta Professor Comerciante FutebolistaMédico
Gráfico de barrasPictograma
Gráfico de linha Diagrama de caule-e-folhas
Janeiro
Garrafas recolhidas para reciclagem
caule folhas
Fevereiro = 20 garrafas
Março
Abril
1. No referencial ao lado estão assinalados alguns pontos.
1.1 Indica as coordenadas de cada um desses pontos.
1.2 Qual dos pontos pertence ao eixo das abcissas?
1.3 Qual dos pontos possui maior ordenada?
2. Uma empresa discográfica realizou um inquérito para averiguar os tipos de música mais apre-ciados por uma comunidade estudantil. Cada um dos inquiridos referiu apenas um tipo de música.Os resultados obtidos encontram-se registados a seguir:
2.1 Quantas pessoas responderam ao inquérito?
2.2 Qual o tipo de música que registou mais simpatizantes?
2.3 Organiza os dados obtidos numa tabela de frequências (absolutas e relativas).
2.4 Qual é a percentagem de pessoas que prefere a música clássica?
2.5 Constrói um gráfico de barras representativo da situação.
54
PRATICARRepresentação e interpretação de dados
UNIDADE 4
Tipo de música Contagem
Clássica |||
Pop |||| ||
Rock ||||
Rap ||||
Eletrónica |||| |
3. A Raquel fez um estudo sobre as nacionalidades dos amigos que possui numa das redes sociaisda Internet. Registou a seguinte contagem:
3.1 Quantos amigos tem a Raquel na rede social?
3.2 Qual é a nacionalidade mais frequente nesse conjunto de amigos?
3.3 Organiza os dados numa tabela de frequências (absolutas e relativas).
3.4 Constrói um gráfico de barras representativo da situação.
3.5 O gráfico de linha ao lado mostra a evo-lução do número de amigos da Raquel, narede social, ao longo dos últimos meses.
a) Quantos amigos tinha a Raquel na redesocial no mês de novembro?
b) Atendendo aos dados do gráfico, fazuma previsão acerca do número deamigos que a Raquel terá, na rede so-cial, no fim do mês de janeiro.
55
Nacionalidade Contagem
Portuguesa |||| |||| |||| |||| |||
Brasileira |||| |||| |||| ||
Inglesa |||| ||||
Espanhola |||| |||| ||||
70
60
50
40
30
20
10
0
Evolução do número de amigosda Raquel ao longo de 4 meses
Núm
ero
de a
mig
os
MesesSetembro Outubro Novembro Dezembro
56
PRATICARRepresentação e interpretação de dados
UNIDADE 4
4. Na turma do Ricardo, os alunos construíram um pictograma com os dados relativos ao instru-mento musical que gostariam de aprender a tocar. Cada aluno escolheu apenas um instrumentomusical.
4.1 Da turma do Ricardo, só duas raparigas gostariam de aprender a tocar piano. Quantos ra-pazes, da turma do Ricardo, gostariam de aprender a tocar piano?
4.2 Utiliza a informação do pictograma anterior para completares o gráfico de barras seguinte.(Escreve o nome dos instrumentos e desenha as duas barras que faltam no gráfico.)
4.3 O Ricardo escreveu um relatório sobre os instrumentos que ele e os seus colegas gostariamde aprender a tocar. Completa, com números, os espaços do relatório assinalados com umtraço, utilizando a informação do pictograma.
Prova de Aferição de Matemática, 2.° Ciclo, 2008
Aprendizagem de um instrumento musical
Instrumentos musicais Número de alunos
Flauta
Harpa
Piano
Violino
Guitarra
Legenda:
= 2 alunos
14
12
10
8
6
4
2
0
Aprendizagem de instrumento musical
Núm
ero
de a
luno
s
Instrumentos musicais
Violino Harpa____________________
Na nossa turma, disseram que gostariam de aprender a tocar guitarra ______ alunos. Pre-
feriam aprender a tocar violino ______ alunos. Há ______ alunos que gostavam de apren-
der a tocar flauta e ______ que preferiam aprender a tocar piano.
Só a Leonor é que disse que gostaria de aprender a tocar harpa.
Concluímos que o instrumento musical que mais alunos gostariam de aprender a tocar
é a guitarra.
Ricardo
57
5. Uma percentagem significativa de estudantes transporta diariamente na sua mochila mais pesodo que aquele que é recomendado. Os dados que se seguem representam o peso das mochilas,com o respetivo material escolar, de 15 alunos do colégio que o Álvaro frequenta.
5.1 Constrói um diagrama de caule-e-folhas representativo da situação.
5.2 Qual foi o peso máximo encontrado?
5.3 Qual é o peso mais frequente? Como se designa esse valor?
5.4 Quanto peso transporta, em média, cada aluno?
5.5 Foi pesada a mochila de um outro aluno desse colégio. Quanto esperas que a sua mochilapese? Explica o teu raciocínio.
5.6 Segundo vários especialistas, para evitar lesões na coluna vertebral, o peso de uma mochila,com o respetivo material escolar, não deve ultrapassar 10% do peso do estudante que atransporta. Considerando este facto e a resposta que deste na alínea anterior, quanto deverápesar, no mínimo, o dono da mochila? Explica o teu raciocínio.
6. Durante o presente ano letivo, o Sebastião teve, nos testes de Matemática, as seguintes classi-ficações: 86%, 95%, 84%, 93% e 86%
Qual é a classificação que o Sebastião tem de alcançar no próximo teste, para conseguir ficarcom uma média de, pelo menos, 90%? Explica o teu raciocínio.
4,9 5,1 4,1 5,2 5,4
5,0 4,7 4,8 5,4 4,3
3,9 4,6 5,3 4,2 4,3
58
PRATICARRepresentação e interpretação de dados
UNIDADE 4
7. O Restaurante São José propõe, diariamente, aos seus clientes, quatro ementas diferentes: umprato de peixe, um prato de carne, um prato vegetariano e uma sanduíche especial.
Para ir ao encontro das necessidades dos seus clientes, a direção do restaurante fez um inquéritoonde era perguntado o prato escolhido para a refeição e o grau de satisfação para com o mesmo(Satisfaz e não satisfaz).
Os dados recolhidos encontram-se repre-sentados no gráfico de barras.
7.1 Quantos clientes preencheram o in-quérito?
7.2 Quantos clientes escolheram a ementacom a sanduíche especial?
7.3 Qual foi a ementa pedida com mais frequência?
7.4 Constrói uma tabela de frequências absolutas que represente a situação.
7.5 Calcula a percentagem de clientes que escolheu a ementa com o prato de carne.
7.6 Calcula a percentagem de clientes que não ficou satisfeito com o prato vegetariano.
7.7 Comenta a afirmação: “Cerca de 60% dos clientes mostram-se satisfeitos com a comidado Restaurante São José”.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Freq
uênc
ia a
bsol
uta
Carne Peixe Vegetariano SanduícheEmentas
Satisfaz
Não Satisfaz
Grau de satisfação com a ementa escolhida
59
8. Num campeonato de futebol cada equipa conquista:
• 3 pontos por cada vitória; • 1 ponto por cada empate; • 0 pontos por cada derrota.
Na tabela abaixo está representada a distribuição dos pontos obtidos pela equipa Os Lutadoresdurante o campeonato.
8.1 Quantos jogos realizou a equipa Os Lutadores durante o campeonato?
8.2 Qual foi o resultado mais frequente desta equipa durante o campeonato?
8.3 Qual foi o total de pontos obtidos pela equipa Os Lutadores nos jogos em que ganharam?
8.4 Qual foi a média de pontos, por jogo, da equipa Os Lutadores, neste campeonato? Apre-senta os cálculos que efetuares.
8.5 Constrói um gráfico de barras representativo da situação.
Adaptado de Teste Intermédio de Matemática, 8.° ano, abril 2009
Pontos Número de jogos
3 15
1 9
0 6
60
PRATICARRepresentação e interpretação de dados
UNIDADE 4
9. O Rúben quer comprar uma bicicleta nova. Para conseguir reunir os 280 ¤necessários à sua compra, decidiu juntar, mensalmente, algum dinheiro.O gráfico ao lado representa as economias feitas pelo Rúben ao longodos últimos meses.
9.1 Quanto dinheiro juntou o Rúben durante o mês de março?
9.2 Até ao momento, em que mês o Rúben conseguiu juntar mais dinheiro?
9.3 Faz uma estimativa do dinheiro que o Rúben conseguiu reunir desde o início do mês demarço até ao final do mês de maio.
9.4 Relativamente ao mês de abril, quanto dinheiro conseguiu o Rúben juntar a mais no mêsde maio?
9.5 Quanto dinheiro teria o Rúben de poupar, em média, por mês, para conseguir comprar a bi-cicleta no final do mês de agosto? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
9.6 Quanto dinheiro juntou o Rúben, em média, por mês, até ao momento? Será esta médiasuficiente para ele comprar a bicicleta no final do mês de agosto? Apresenta todos os cál-culos que efetuares.
9.7 Quanto terá o Rúben de juntar, em média, por mês, no tempo que lhe resta, para ter a bici-cleta no final do mês de agosto?
9.8 Constrói um gráfico de linha que represente as economias mensais do Rúben, ao longo dosúltimos meses.
200180160 Junho
140120 Maio100
806040 Março
Abril
200 Fevereiro
61
10. Na turma do Arsélio fez-se um inquérito acerca da idade de cada um dos seus 21 alunos. Os dados recolhidos encontram-se organizados na tabela seguinte.
10.1 Completa a tabela, sabendo que dos alunos da turma do Arsélio são raparigas. Apresenta
todos os cálculos que efetuares.
10.2 O gráfico de barras não está completo. Completa-o com a informação da tabela preenchida.
10.3 Quantos alunos da turma do Arsélio têm 11 anos?
10.4 Quantos alunos da turma do Arsélio têm mais do que 10 anos?
10.5 Qual é a percentagem de alunos com, pelo menos, 11 anos?
10.6 Atendendo aos dados da tabela por ti preenchida, calcula a média de idades das raparigasda turma do Arsélio.
23
12
10
8
6
4
2
0
Idades dos alunos da turma do Arsélio
Núm
ero
de a
luno
s
RapazesRaparigas
9 anos ____________________
Idade Rapazes Raparigas
9 anos 3 7
10 anos 2
11 anos 1 3
12 anos 0
1. O gráfico estabelece uma comparação entre o preço daschamadas telefónicas da rede fixa de Portugal e o preçomédio do mesmo tipo de chamadas nos restantes paí-ses da comunidade europeia, durante o ano de 2005.
1.1 Que tipo de chamadas fica mais barato realizar apartir de Portugal? Justifica.
1.2 Em que tipo de chamadas se verifica a maior di-ferença de preço? Explica o teu raciocínio.
1.3 Supõe que se realiza uma chamada telefónica, de Portugal para os EUA, com 20 minutosde duração. Qual é o preço a pagar por essa chamada? Apresenta todos os cálculos que efe-tuares.
1.4 Pode-se afirmar que Portugal é o país da comunidade europeia onde são mais caras as cha-madas locais? Explica o teu raciocínio.
2. A Lídia tem aulas de natação todos os sábados. Um dos exercícios que o seu professor lhe propõe,uma vez por aula, é o de suster, o mais possível, a sua respiração. Os valores seguintes são relativosaos tempos conseguidos pela Lídia, desde o momento em que entrou para as aulas de natação.
2.1 Há quantas semanas a Lídia frequenta as aulas de natação? Explica o teu raciocínio.
62
TESTARRepresentação e interpretação de dados
UNIDADE 4
33 45 44 34 56
36 51 63 49 50
57 61 35 41 53
58 50
Locais
0,37
0,650,76
3,11
2,13
0,35
Nacionais Internacionais (para os EUA)
PortugalUE 25
Preços das chamadas telefónicasda rede fixa em 2005
(em euros, por minuto)
63
2.2 Qual foi o período máximo de tempo durante o qual a Lídia conseguiu suster a sua respiração?
2.3 Durante quanto tempo consegue a Lídia, em média, suster a sua respiração? Apresentatodos os cálculos que efetuares.
2.4 Qual foi o tempo que a Lídia conseguiu alcançar mais vezes? Como se designa, estatistica-mente, esse valor?
2.5 Constrói um diagrama de caule-e-folhas representativo da situação.
3. Completa a seguinte lista com um número de 1 a 5, de tal forma que exista uma única moda su-perior a 2.
5, 4, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 1, 5, 5, 3, 2, 4, 2
4. No gráfico abaixo está representada a precipitação total anual, verificada em Portugal continental,entre os anos de 1990 e 2004.
Fonte: Instituto Português do Mar e da Atmosfera
4.1 Qual foi o ano mais chuvoso da década de 90?
4.2 Quando se verifica uma precipitação total anual inferior a 700 mm por ano, o país enfrentaproblemas de falta de água (“seca”). Atendendo a este facto, indica os anos em que Portugalenfrentou este tipo de problemas.
4.3 Faz uma estimativa acerca da precipitação total verificada entre os anos de 2000 e 2004.
1200
1000
800
600
400
200
0
Precipitação total anual no continentemm
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
64
Áreas
UNIDADE 5
RESUMIR
Duas figuras planas fechadas são equivalentes quando têm a mesma área.
Duas figuras dizem-se geometricamente iguais (congruentes) se, quando sobrepostas, coincidemponto por ponto, ou seja, quando têm a mesma forma e dimensões.
Exemplo:
As duas figuras apesar de se encontrarem em diferentes posições, são geometricamente iguais, pois,quando sobrepostas, coincidem ponto por ponto.
Área do quadrado = lado ¥ lado Área do retângulo = comprimento ¥ largura
� �
c�
Área do retânguloÁrea do quadrado
65
Área do paralelogramo
Área do paralelogramo = base ¥ altura
Área do triângulo
Área do triângulo =
A
B
A
BB
D
D
C
D
C
C
base ¥ altura2
Qualquer polígono de quatro lados diz-se um quadrilátero. Os quadriláteros têm particularidades queos caracterizam e relacionam uns com os outros. Os quadriláteros com dois pares de lados paralelos,designam-se por paralelogramos.
Exemplos:
Paralelogramo sem ângulos retos.
Paralelogramo com quatro ângulos retos.
Paralelogramo com quatro lados
geometricamente iguais.
Paralelogramo com quatro ladosgeometricamente iguais e
quatro ângulos retos.
Paralelogramo obliquângulo
Retângulo Losango Quadrado
1. Observa as figuras.
1.1 Tomando como unidade de medida a área de uma quadrícula, determina a medida da áreade cada uma das figuras.
1.2 Indica, caso existam, duas figuras equivalentes.
1.3 Indica, caso existam, duas figuras geometricamente iguais.
1.4 Desenha uma figura que seja equivalente à figura B, mas que tenha maior perímetro.
2. Calcula a área e o perímetro do paralelogramo.
16 cm
10 cm 6 cm
66
PRATICARÁreas
UNIDADE 5
Figura A Figura B Figura C
3. A linha a tracejado divide a figura inicial emduas figuras geometricamente iguais.
Calcula, em centímetros, o perímetro da figura,tendo em conta os comprimentos indicados.Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 2.º Ciclo, 2003
4. Considera os triângulos:
Figura A Figura B Figura C 1 cm
4.1 Calcula a medida da área de cada um dos triângulos. Explica o teu raciocínio.
4.2 Constrói três quadriláteros que sejam equivalentes aos triângulos representados nas figurasA, B e C.
1 cm
67
17 cm
15 cm
11 cm
7 cm
68
PRATICARÁreas
UNIDADE 5
5. Observa a figura seguinte, onde se encontra representado o retângulo [ABCD]. Repara que o lado[AB] do retângulo está dividido em 10 partes iguais e o lado [AD] em 3 partes iguais.
Uma parte do retângulo está sombreada. Determina a área dessa parte.
6. Observa a figura seguinte, na qual está representada o paralelogramo [ABCD].
Sabe-se que:
• o paralelogramo [ABCD] tem 40 cm2 de área;
• o lado [AB] está dividido em quatro partes iguais;
• A–B = 10 cm.
Determina a área do triângulo [BDG].
7. Considerando que cada quadrícula tem 1 cm de lado, determina quantas vezes é a área do para-lelogramo [ABCD] maior que a área do triângulo [BED]. Explica o teu raciocínio.
A B
D CE
A B
CD
E F G
A B4 cm
125
D C
cm
69
8. Também conhecida por Terreiro do Paço, a Praça do Comércio, em Lisboa, é considerada ummarco da reconstrução pombalina, efetuada depois do grande terramoto de 1755.
A praça é retangular, tem 192 m de comprimento e 177 m de largura.
8.1 Determina a medida do perímetro do Terreiro do Paço.
8.2 Se duplicássemos as medidas dos diferentes lados do Terreiro do Paço, o que iria acontecerà medida do respetivo perímetro? Explica o teu raciocínio através de palavras, cálculos ouesquemas.
8.3 Na situação referida na alínea anterior, o que aconteceria à medida da área do Terreiro doPaço? Explica o teu raciocínio através de palavras, cálculos ou diagramas.
9. Na figura seguinte, encontra-se representado o pentágono [ABEDC]. Calcula a sua área, consi-derando que cada quadrícula tem 1 cm de lado.
A
D
B
CE
70
PRATICARÁreas
UNIDADE 5
10. O Sr. Júlio precisa de fertilizar dois dos seus terrenos. Um desses terrenos é retangular e tem 22 mde comprimento e 8 m de largura. O outro terreno tem a forma de um quadrado e tem 15 m de lado.
10.1 O Sr. Júlio decidiu vedar ambos os terrenos com uma corda, durante o processo de fertilização.Determina quantos metros de corda irá precisar o Sr. Júlio para vedar ambos os terrenos.
10.2 Sabendo que cada embalagem de fertilizante dá para fertilizar 180 m2 de terreno, determinao número de embalagens que o Sr. Júlio tem de comprar para fertilizar os dois terrenos.
10.3 Qual dos dois terrenos precisou de uma maior quantidade de corda para ser vedado? E qualprecisou de uma maior quantidade de fertilizante? O que te permitem concluir estes dados?
11. Na figura seguinte estão representados um triângulo equilátero [EFG], um quadrado [ABCD], umpentágono [HIJKL] e um paralelogramo [MNPQ].
11.1 O quadrado, o triângulo e o pentágono têm a mesma medida de perímetro. Determina:
a) F–G
b) J–K
11.2 O quadrado e o paralelogramo têm a mesma medida de área. Determina O–Q.
M
JF
G
E A D
B
3 cm
C
K
I
HL
P Q
N O
2 cm
12. Na figura estão representados um paralelogramo [ABCD] e um retângulo [EFCD]. Prova que têma mesma área, e bases e alturas respetivamente iguais.
13. Na figura está representado um paralelogramo [ABCD]. Prolongando um pouco o lado [AB], demodo a que as perpendiculares traçadas de D e C para a base o intersetem, obtém-se dois pontosE e F, sendo H a interseção de [DE] com [BC].
Prova que a área do paralelogramo [ABCD] é igual à área do retângulo [EFCD] e que E–F = A–B, per-correndo os seguintes passos:
13.1 Prova que os triângulos [AED] e [BFC] são iguais.
13.2 Conclui da alínea anterior que os quadriláteros [ABHD] e [EFCH] são equivalentes.
13.3 Conclui que a área do paralelogramo [ABCD] é igual à área do retângulo [EFCD] e justificaa igualdade E–F = A–B.
13.4 Conclui que a área do paralelogramo é igual ao produto da medida da base pela altura.
71
D C
FB
D C
FEBA
EA
a
b
H
72
TESTARÁreas
UNIDADE 5
1. Determina a medida da base de um triângulo com 12 cm de altura e 144 cm2 de área.
2. Tomando para a unidade de área a área de uma quadrícula, constrói um retângulo equivalenteao triângulo da figura.
3. Observa a figura.
Sabe-se que a medida do perímetro do retângulo [ABCD]é igual a 18 cm. Atendendo aos dados apresentados, de-termina a medida de área da região colorida.
4. Observa a figura, na qual está representada o paralelogramo [DCBA].
Determina a medida da área da figura colorida de azul.
B
A C
B
A
C
B E C
A
6 cm
4 cm
4 cm
D
E
3 cm
8 cm
D
73
5. Observa a figura.
Sabe-se que os triângulos [ABC] e [BDE] são equiláteros.
5.1 Sem efetuar qualquer cálculo, justifica que os triân-gulos [ABE] e [BDE] são equivalentes.
5.2 Calcula a medida da área do triângulo [ABE].
6. Observa a figura seguinte. Determina a medida da sua área.
7. Na figura ao lado encontra-se representado um retângulo [ABCD]com 40 cm de medida de perímetro.
Sabe-se que:
• o segmento AD representa da medida do perímetro;
• o segmento DC encontra-se dividido, tal como a figura sugere, em quatro segmentos de retageometricamente iguais.
Determina a medida da área do triângulo que se encontra sombreado a verde.
310
A D
CB
C E
A
6 cm
12 cm
cm
cm
4 cm
B D
4 cm
72
73
74
PROVAS GLOBAIS
1.11.2a)
1.2b)
2.12.2 a)
2.2 b)
2.2 c)
3.1 3.2 3.3 4.14.2 a)
4.2 b)
4.2 c)
X X X
X X
X X X X X X
X X
X
Unidade
Figuras no plano
Números naturais
Números racionais não negativos
Representação e interpretação de dados
Áreas
Grelhas de conteúdosProva global 1
1.1 1.2 2. 3. 4.14.2a)
4.2b)
5.1 5.2 5.3 5.4
X
X X
X X X
X X X X
X
Unidade
Figuras no plano
Números naturais
Números racionais não negativos
Representação e interpretação de dados
Áreas
Prova global 2
1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 3.1 3.2 4.5.1a)
5.1b)
5.2a)
5.2b)
6.1 6.2
X X
X
X X
X X X X X X
X X X
Unidade
Figuras no plano
Números naturais
Números racionais não negativos
Representação e interpretação de dados
Áreas
Prova global 3
De seguida apresenta-se um conjunto de 3 provas globais, com o objetivo de te conseguires prepararpara a prova de aferição que irás realizar no final do 6.° ano de escolaridade.
As provas são precedidas de 3 tabelas com a identificação do conteúdo trabalhado em cada atividade,para uma mais fácil identificação da matéria em avaliação.
75
1. O Sr. Costa abriu um minimercado na sua aldeia. O minimercado “TemTudo”… No dia da inau-guração, o Sr. Costa entregou a cada cliente, como presente de boas-vindas, uma caixa depapel com três bombons no seu interior.
1.1 A caixa tem a forma de uma pirâmide triangular com as faces todas iguais. Desenha umadas faces sabendo que cada uma tem 18 cm de perímetro.
1.2 Numa das faces laterais da caixa debombons, o Sr. Costa mandou gravar ologótipo do seu minimercado, que seencontra representado ao lado.
a) Determina a amplitude do ângulo b. Explica o teu raciocínio.
b) O logótipo é constituído por um pentágono e por um triângulo. Classifica o triânguloquanto à amplitude dos seus ângulos e quanto ao comprimento dos seus lados, jus-tificando.
2. No seu minimercado, o Sr. Costa criou um espaço onde colocou à venda produtos tradicionaisportugueses certificados.
2.1 De 10 em 10 dias, recebe produtos provenientes da zona sul. De 8 em 8 dias, recebeprodutos provenientes da zona norte. Sabendo que, no dia 12 de março, o Sr. Costa re-cebeu produtos tradicionais portugueses certificados provenientes quer do norte querdo sul, determina em que dia do mês de abril isso voltou a acontecer.
Minimercado Costa
β
53°
PROVA GLOBAL 1
76
PROVA GLOBAL 1
2.2 Pretendendo analisar a procura das alheiras deMirandela, o Sr. Costa registou, na tabela aolado, o número de alheiras vendidas em cadaum dos dias de uma determinada semana.
a) Constrói um gráfico de barras representa-tivo da situação.
b) Calcula a percentagem de alheiras vendidas nos últimos dois dias dessa semana. Apre-senta todos os cálculos que efetuares.
c) Indica em que dias as vendas foram superiores à média. Explica o teu raciocínio.
3. Quando decidiu abrir o minimercado, o Sr. Costa observou duas lojas para alugar: a loja A, quecustava 300 ¤ por mês, e a loja B, que custava 250 ¤ por mês. As plantas de cada uma daslojas, apresentam-se a seguir.
3.1 Qual das duas lojas tem maior área? Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Dia da semana N.° de alheiras vendidas
segunda-feira 22
terça-feira 18
quarta-feira 10
quinta-feira 12
sexta-feira 20
sábado 42
Loja A
1 mLoja B
77
3.2 O Sr. Costa optou pela loja que apresentava melhor relação área/preço. Qual das duaslojas terá alugado o Sr. Costa? Explica o teu raciocínio.
3.3 A mensalidade de 300 ¤ que pediram ao Sr. Costa pelo aluguer da loja A já incluía umdesconto de 75%, pelo facto da loja se encontrar por alugar há vários meses. Qual era opreço da loja antes do desconto?
4. No primeiro aniversário do seu minimercado, o Sr. Costa decidiu efetuar o sorteio de um pre-sunto entre os seus clientes habituais. Assim, a cada cliente entregou uma das 150 rifas quemandou fazer.
4.1 A rifa premiada tinha inscrito um número maior que 100 e menor que 120, divisível por4 e 9, simultaneamente. Qual é o número inscrito na rifa premiada?
4.2 Depois de entregar todas as rifas, o Sr. Costa reparou que apenas dos seus clienteshabituais receberam rifa.
a) Escreve uma fração que represente os clientes habituais que não receberam rifas.
b) De entre os clientes habituais, foram mais os que receberam rifas ou os que não receberam?
c) Quantas rifas mais devia ter feito o Sr. Costa para que nenhum dos seus clientes ha-bituais tivesse ficado sem rifa?
13
78
PROVA GLOBAL 2
1. No dia em que fez 11 anos, a Lurdes e o seu irmãomais novo foram visitar o jardim zoológico comos seus pais. Quando chegaram à bilheteira do jar-dim zoológico encontraram um cartaz com a in-formação apresentada ao lado.
1.1. Quanto terá de pagar a família da Lurdes para visitar o jardim zoológico? Explica o teuraciocínio.
1.2. Quando a mãe da Lurdes se preparava para fazer o pagamento foi informada pela fun-cionária da bilheteira que os grupos de quatro elementos beneficiavam de um desconto.Sabendo que a mãe da Lurdes pagou, no total, 46,40 ¤, indica a percentagem de des-conto a que a família teve direito. Explica o teu raciocínio.
2. Na figura está representada, de forma esquemática, parte da planta do jardim zoológico.
Atendendo aos dados da figura, calcula, em metros quadrados, a área da jaula dos leões.
3. Durante a visita, a Lurdes ficou a conhecer melhor alguns animais. O que mais a surpreendeufoi saber que os leões apenas se alimentam de três em três dias e que algumas cobras apenasprecisam de alimento de quatro em quatro dias.
Sabendo que o tratador dos animais alimentou as espécies acima referidas durante a visitada Lurdes, indica passado quanto tempo estes animais voltam a ser alimentados no mesmodia. Explica o teu raciocínio.
Preçário:
Crianças (até aos 12 anos): 12,50 ¤
Jovens (dos 13 aos 18 anos): 13,50 ¤
Adultos (mais de 18 anos): 16,50 ¤
Elefantes6 m
Leões Mac
acos
79
4. A certa altura da visita, a Lurdes e o seu irmão encontravam-se, respetivamente, ao lado dajaula dos tigres e ao lado da jaula dos koalas, nas posições A e B assinaladas no seguinte es-quema.
Depois de observarem esses animais, dirigiram-se simultaneamente para a loja das lembranças.
4.1. Atendendo aos dados da figura e supondo que os dois irmãos se deslocam à mesma ve-locidade, qual será o primeiro a chegar à loja das lembranças? Explica o teu raciocínio.
4.2. Na loja, são lembranças de mamíferos e são lembranças de répteis.
a) Existem mais lembranças de mamíferos ou de répteis?
b) Sabendo que no total existem 750 lembranças, calcula quantas são de mamíferos.
5. O gráfico ao lado representa o número de pessoas quevisitaram o jardim zoológico ao longo de uma deter-minada semana.
5.1. Qual foi o dia em que o jardim zoológico tevemais visitantes?
5.2. Quantas pessoas visitaram o jardim zoológico nessa semana?
5.3. Quantas pessoas visitaram, em média, o jardim zoológico por dia?
5.4. Escreve mais uma pergunta que possa ser respondida com a informação do gráfico.
A
B
75°
63°
Segunda0
Terça Quarta Quinta SextaDia da semanaSábado Domingo
350300250200150100500
Número de visitantes do jardim zoológico
Número de visitantes
120
210180 160
320270
36
518
80
PROVA GLOBAL 3
1. Um grupo de alunos da escola do Nuno está a tentar sensibilizar a comunidade escolar para apreservação da Natureza. Assim, iniciaram a campanha Pensar Verde!
Para promoverem esta iniciativa, decidiram construir um folheto informativo acerca do pro-cesso de reciclagem. Surgiram duas propostas para a forma do folheto: uma com a forma deum retângulo e outra com a forma de um quadrado, tal como sugere a figura.
1.1. Atendendo aos dados da figura e sabendo que, apesar das formas diferentes, os folhetostêm a mesma medida de perímetro, calcula, em centímetros quadrados, a medida daárea do folheto com a forma de quadrado.
1.2. Os polígonos sugeridos pelos folhetos são figuras equivalentes? Justifica.
1.3. Comenta a afirmação: “Figuras com a mesma medida de perímetro têm a mesma medidade área”.
2. O mesmo grupo de alunos decidiu criar um logótipo para representaresta iniciativa. A certo momento da fase de construção, o logótipotinha a aparência da figura ao lado.
2.1. Estima um valor para a amplitude do ângulo ABC.
2.2. Determina, para o valor estimado, a amplitude dos restantes ângulos internos do triângulo[ABC]. Explica o teu raciocínio.
18 cm
AC
9 c
m
B
81
3. Na tabela encontram-se o número de folhetos distribuídos na escola por alguns alunos.
3.1. Sabendo que a média dos folhetos distribuídos pelos oito alunos é 21, quantos folhetosdistribuiu o Nuno? Explica o teu raciocínio.
3.2. Representa através de um diagrama de caule-e-folhas os dados recolhidos na tabela.(Caso não tenhas respondido à alínea anterior, considera que o Nuno distribuiu 28 fo-lhetos.)
4. Os professores juntaram-se a este projeto e promoveram a separação de lixo, em todos oslocais da escola, através de ecopontos. Dadas as necessidades da escola, o lixo do tipo Papele Cartão será recolhido por uma empresa de reciclagem a cada quatro dias úteis e os restantestipos de lixo serão recolhidos a cada seis dias úteis.
Sabendo que a empresa de reciclagem fez a primeira recolha, de todos os tipos de lixo, no dia26 de fevereiro, em que dia voltou a empresa a fazer a recolha simultânea de lixos? Explica oteu raciocínio.
(Utiliza o calendário abaixo para dar resposta a esta questão.)
Nome Sara Filipa Luís Mariana Paulo Pedro Ana Nuno
Número de folhetos 21 17 24 12 29 28 9
82
PROVA GLOBAL 3
5. Para recolher o lixo colocaram-se ecopontos na escola.O professor de ciências pediu aos alunos da turma doNuno para apresentarem uma proposta. Sobre a plantado recinto escolar, os alunos construíram um referencialcartesiano, como o da figura, onde se encontram mar-cados quatro pontos.
5.1. Nos pontos A e B os alunos colocaram respetivamenteum ecoponto para papel e um para plástico/metal.
a) Indica as coordenadas do ecoponto para plás-tico/metal.
b) Indica as coordenadas do ecoponto para vidro sabendo que este se encontra cincounidades para a direita e duas unidades para cima do ponto B.
5.2. O ponto C e o ponto D correspondem a entradas para o recinto escolar. Os alunos pre-tendem que o pilhão fique à mesma distância das entradas.
a) Indica as coordenadas do ponto onde deverá ser colocado o pilhão.
b) Esse ponto será único? Justifica.
6. Um mês após o início da campanha Pensar Verde! foi feito um inquérito para averiguar o impactoque a iniciativa teve sobre os alunos. Responderam ao inquérito todos os 200 alunos da escola.
6.1. Sabendo que, desde o início da campanha, 80% dos inquiridos fazem separação de lixosem casa, calcula o número de alunos que ainda não fazem essa separação.
6.2. Da análise ao inquérito, conclui-se ainda que dos alunos que iniciaram a separação delixos em casa fizeram-no durante a primeira semana da campanha, durante a segundasemana e, os restantes, durante as duas últimas semanas.
Em que período achas que a campanha teve mais impacto? Explica o teu raciocínio.
38
25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
D
B
A
C9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
y
83
SOLUÇÕESUnidade 1 – Figuras no plano
1. 1.1. 1.2.
2. 2.2. 2.3.
3. 3.1. 50° 3.2. 135° 3.3. 65°
4. 4.1. Medição: 84° 4.2. Medição: 130°
6. 6.1. Amplitude: 199° 6.2. Amplitude: 213°
6.3. Amplitude: 305°
7. 7.1. 7.2.
7.3. 7.4.
8. 8.1. – HAE e – CAD 8.2. Por exemplo, FB e CD
8.3. – BAE e – IDA 8.4. Por exemplo, AB e GD
8.5. – IDA e – ADC 8.6. Por exemplo, AB e CG
8.7. – DAB e – BAH 8.8. – DAB e – ADC
9. 9.1. x = 45° 9.2. y = 135°
10. 10.1. 40° 10.2. 71° 10.3. 44° 10.4. 67° 10.5. 59° 10.6. 40°
11. 11.1. A, B, C, D, E, F, H e I 11.2. C e H 11.3. A, B, D e F
11.4. B e D 11.5. A e B 11.6. B
12. 12.1. a = 50º; b = 130º; c = 130º e d = 50º
12.2. a) – a e – g b) – g e – c c) – e e – d d) – h e – b e) – b e – c
13. A. acutângulo B. obtusângulo C. retângulo
14. 14.1.C = 60°
14.2. O esquema anterior sugere que a soma das ampli-
tudes dos ângulos internos de um triângulo é igual
a 180°.
15. 15.1. a = 60° 15.2. a = 26° 15.3. a = 55° 15.4. a = 58°
15.5. a = 72° 15.6. a = 45° 15.7. a = 145° 15.8. a = 35°
17. 17.1. Não, porque 12 > 6 + 4.
17.2. Sim, porque 12 < 10 + 3.
18. [SU] é o lado maior porque em qualquer triângulo ao ângulo
de maior amplitude opõe-se o lado de maior comprimento.
19. –ABC é o ângulo que tem maior amplitude porque num
triângulo ao lado de maior comprimento opõe-se o ân-
gulo de maior amplitude.
20. 8 cm, 9 cm e 10 cm.
21. A afirmação é verdadeira.
22. 22.1. x = 74° 22.2. x = 26,5° 22.3. x = 60°
23. a = 77°; e = 58°
24. 24.1. O Pedro deverá traçar a bissetriz do ângulo, ob-
tendo assim dois ângulos iguais. De seguida, em
cada um dos ângulos obtidos, deverá traçar a bis-
setriz, obtendo assim quatro ângulos iguais.
24.2.
25. 25.1. a = 50° 25.2. b = 46°
25.3. a = 40°; b = 140° 25.4. a = 35°; b = 35°
25.5. a = 30°; b = 60° 25.6. a = 130°; b = 65°
26. 26.1. a = 121°; b = 31°; c = 149°
27. 27.1. 27.2.
28. 28.1. Critério LLL 28.2. Critério ALA
28.3. Critério LAL 28.4. Critério LLL
29. 29.1. b = 60°; a = 75°; q = 135°; f = 45°
29.2. b = 30°; a = 30°; f = 60°; q = 120°
30. 30.1. Como os comprimentos dos catetos são iguais,
então os ângulos que se lhes opõem têm igual
amplitude. Logo, as amplitudes dos ângulos inter-
nos do triângulo são 90°, 45°, 45°.
30.2. Desigualdade triangular.
30.3. A afirmação é verdadeira. Num triângulo retân-
gulo, o ângulo de maior amplitude é o ângulo reto
(90°) pelo que o lado que se lhe opõe será o lado
de maior comprimento.
31. A. Afirmação falsa. B. Afirmação verdadeira.
C. Afirmação falsa.
32. 32.1. b = 38°; a = 79°; e = 117°
32.2. O triângulo [CDE] é acutângulo.
Testar
1. 1.1. 1.2.
βα
•
•
F
E D
•
•
C
B A
•
•L
K J
•
•
I
H G
3 cm 3 cm
3 cm
2 cm
1,5 cm 1,5 cm
k
αβ
84
2. 2.1. a = 70º; b = 80º e g = 30º
2.2. Triângulo acutângulo 2.3. Critério ALA
3. 3.1. Hexágono 3.2. 136°
3.4. O triângulo [EDC] é obtusângulo.
4. A. Afirmação falsa. Um dos ângulos internos de um
triângulo retângulo é reto.
B. Afirmação falsa. Dois dos ângulos internos de um
triângulo retângulo podem ser 40° e 50°.
C. Afirmação falsa. Um triângulo isósceles pode ser re-
tângulo.
5. 5.1. b = 63° a = 54° 5.2. A–C = 4,5; B–C = 3 cm
6. O lado [OS] tem maior comprimento.
7. Triângulo retângulo e isósceles
Unidade 2 – Números naturais
1. 1.1. Propriedade comutativa da adição.
1.2. Propriedade associativa da adição.
2. 2.1. Propriedade comutativa da multiplicação.
2.2. Propriedade associativa da multiplicação.
2.3. Propriedade distributiva da multiplicação em rela-
ção à adição.
2.4. Propriedade distributiva da multiplicação em rela-
ção à subtração.
3. 3.1. 9, 15 3.2. 16, 104, 296, 1252 3.3. 18, 36, 72
4. 4.1. D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 4.2. D21 = {1, 3, 7, 21}
4.3. D42 = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}
5. 5.1. 18, 24, 27, 30 5.2. 10, 30 5.3. 1, 10, 30
5.4. 10, 30 5.5. 24
6. 6.1. 0, 7, 14, 21, 28 6.2. 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72
6.3. 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99
7. 7.1. 11 7.2. 9 7.3. 8 7.4. 16
8. 8.1. m.d.c. (15, 20) = 5 8.2. m.m.c. (14, 10) = 70
9. 9.1. 4 + 5 = 5 + 4
Propriedade comutativa da adição
9.2. (4 + 6) ¥ 5 = 4 ¥ 5 + 6 ¥ 5
Propriedade distributiva da multiplicação em rela-
ção à adição
9.3. (4 + 6) + 5 = 4 + (6 + 5)Propriedade associativa da adição
9.4. (15 ¥ 2) ¥ 10 = 15 ¥ 20
Propriedade associativa da multiplicação
9.5. 3 ¥ (2 – 6) = 3 ¥ 2 – 3 ¥ 6
Propriedade distributiva da multiplicação em rela-
ção à subtração
9.6. 12 ¥ 10 = 10 ¥ 12
Propriedade comutativa da multiplicação
10. 32
11. 11.1. 4782 11.2. 23244 11.3. 14364 11.4. 2456
12. 12.1. m.d.c. (24, 60) = 12 12.2. m.d.c. (88, 66) = 22
12.3. m.d.c. (1386, 462) = 462
13. 13.1. 36 13.2. 96
14. 2240
15. 10
16. 2031
17. Álvaro – 8:12 h Bárbara – 8:15 h
18. 3 caixas de hambúrgueres; 2 caixas de ovos.
19. A família volta a estar toda reunida passados 180 dias,
ou seja, em 23 de junho.
20. 7 funcionários
21. 21.1. A afirmação A é falsa.
21.2. Por exemplo, o número 18 é par e tem divisores
que são ímpares: o 3 e o 9
23. 70 estacas
Testar
1. 1.1. 24 + 13 = 13 + 24
Propriedade comutativa da adição
1.2. 7 + (132 + 10) = (7 + 132) + 10
Propriedade associativa da adição
1.3. 4 ¥ 9 = 9 ¥ 4 = 36
Propriedade comutativa da multiplicação
1.4. 4 ¥ (3 ¥ 2) = (4 ¥ 3) ¥ 2 = 12 ¥ 2 = 24
Propriedade associativa da multiplicação
1.5. (2 + 3) ¥ 5 = 2 ¥ 5 + 3 ¥ 5 = 10 + 15 = 25
Propriedade distributiva da multiplicação em rela-
ção à adição
1.6. 3 ¥ (7 – 4) = 3 ¥ 7 – 3 ¥ 4 = 21 – 12 = 9
Propriedade distributiva da multiplicação em rela-
ção à subtração
3. 3.1. Por exemplo, 0. 3.2. Por exemplo, 0.
4. m.d.c. (36, 48) = 12
5. m.m.c. (36, 48) = 144
6. 324
7. 476
8. [D]
Unidade 3 – Números racionais não negativos1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
2. 2.1. Por exemplo,
2.2. Por exemplo,
69
210
44
34
85
3. 3.1. = 3.2. 3.3. 3.4. =
4. 4.1. 4.2.
5.
6. 6.1. ; ; 6.2. ; ; ; ; e
6.3. ; ; e 6.4. e
6.5. e 6.6. ; ; e
6.7. ; ; e
7. 7.1. = 7.2. = 7.3. =
7.4. = 7.5. = 7.6. =
8.
9.
10. 32% < 0,5 <
11.
12. 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 1
13. 13.1. 13.2. 13.3. 13.4.
14.
15. [C]
16. Não
17. 17.1. 5 17.2. 17.3. 17.4.
17.5. 2 17.6. 17.7. 17.8. 0,22
17.9. 17.10. 17.11. 17.12.
17.13. 17.14. 17.15. 5 17.16.
17.17. 17.18. 17.19. 17.20.
17.21.
18. 18.1. < 18.2. = 18.3. <
18.4. < 18.5. > 0,6 18.6. >
18.7. > 18.8. =
19. A. A afirmação é falsa. B. A afirmação é falsa.
C. A afirmação é verdadeira.
20. 20.1. A família do Tomás consome 3 litros de leite por dia.
20.2. Segundo as indicações da tabela, o Tomás deverá
beber mais leite porque > . = < .
21. 21.1. 16 alunos preferem Educação Física.
21.2. 9 alunos preferem Matemática.
22. 22.1. 20 cm2 22.2. 16 cm2
23. Faltam 640 m para terminar o percurso.
24. 24.1. Tem mais contas azuis.
24.2. Representa a fração de contas brancas, azuis e
vermelhas.
24.3.
25. 25.1. A afirmação é falsa. 25.2. 270 alunos
25.3. Foram colocados no curso 100 alunos.
25.4. Tendo por base apenas as razões entre o número
de candidatos e o número de colocados em cada
um dos cursos não é possível determinar o curso
com mais procura, ou seja, o curso a que se can-
didataram mais alunos. Com base nas razões po-
demos, contudo, determinar o que tem uma
melhor taxa de sucesso na candidatura.
26. 26.1. e
26.2. . A expressão representa a parte dos golos da
equipa marcados pelos restantes elementos da
equipa do Carlos e do João.
26.3. A afirmação é verdadeira.
27. 27.1. O bilhete para o cinema custou 3,6 ¤.
27.2. O Simão gastou 3 ¤ nas pipocas.
27.3. As pipocas foram mais caras.
1211
54
26
35
47
17
42
77
84
42
84
1211
54
42
84
1211
54
42
84
47
17
26
35
47
17
63
189
12
48
42
126
310
45
13
34
14
12
712
34
14
12
32
34
920
2110
3135
103
5915
619
Fração
Quatro terços Não Imprópria Fracionário
Dois quintos Não Própria Fracionário
Três nonos Não Própria Fracionário
Oito quartos Não Imprópria Inteiro
LeituraFração
decimalFração própria ou imprópria?
Número fracio-nário ou inteiro?
43
25
39
84
• •
• •
• •
• •
23
219
73
1620
45
46
1535
37
10 48
65
112
2521
27
1912
125
3815
238
34
512
4320
33
35
510
24
98
34
73
37
47
13
1721
3742
45
3645
45
4200
7200
34
24
12
12
34
10350
135
24
12
73
146
3756
410
21025
43
86
716
115
18
216
19112
86
28. 28.1. O João comeu mais bombons.
28.2. Os dois irmãos ainda têm, em conjunto, 57 bombons.
29.
30. Loja A: 335 ¤ Loja B: 356 ¤ Loja C: 319 ¤
A arca é mais barata na loja C.
31. 31.1. Gastou 35 ¤.
31.2. O dinheiro que sobrou depois de comprar o jogo.
31.3. 15
32. São necessários 176 m de rede.
33. Gasta do seu vencimento.
34.
35. 35.1. é a parte dos exercícios resolvidos pelo Júlio
que eram da ficha de trabalho fornecida pelo
professor.
35.2. O Júlio resolveu 50 exercícios do Manual.
35.3. O Júlio resolveu mais exercícios da ficha de traba-
lho fornecida pelo professor.
36. do quadrado está colorido de vermelho.
37. 37.1. O terreno tem 600 m2 de área.
37.2. O Sr. Fernandes recebeu 9090 ¤.
38. 38.1. a) b) 38.2. a) b)
38.3. A barra vermelha. 38.4. A barra roxa.
40.
41. 41.1. Comprar 18 amêndoas azuis.
41.2. Cada irmão ficou das amêndoas azuis.
41.3. Os dados do problema não permitem responder
a esta questão.
42. 42.1. Por exemplo, uma nota de 10 ¤, uma nota de 5 ¤,
uma moeda de 2 ¤ e duas moedas de 1 ¤.
42.2.
43. É possível encher 4 copos.
Testar
1. 1.1. 1.2. 1.3.
2. Por exemplo,
3. 3.1. 3.2.
4. =
5.
6. 6.1. 2 < 3 6.2. < 6.3. >
7. 7.1. O Ricardo tem 41 CD por utilizar.
7.2. Cada embalagem custava 5 ¤, sem desconto.
8.
9. O Fernando terá de efetuar compras no valor superior
ou igual a 1000 ¤.
10. 10.1. Faltam percorrer 255 km.
10.2. A Rita vai pagar, aproximadamente, 37 ¤.
11.
12. 12.1. Foram as canetas azuis.
12.2. Vendeu 12 canetas pretas.
12.3. 53 canetas 12.4.
Unidade 4 – Representação e interpretaçãode dados
1. 1.1. A(2, 1); B(1, 3); C(4, 0); D(0, 2); E( , 1); F( , ) 1.2. Ponto C 1.3. Ponto F
2. 2.1. 25 pessoas 2.2. Pop
2.3.
2.4. 12%
2.5.
712
12
110
910
15
25
couves
tomates
alfaces
pepinos
cebolas
alhos
beringelas
110
15
13
12
10• • • •
320
13
13
16
310
27
27
29
12100
910
67
1214
79
75
73
57
47
34
13
32
215
92
52
72
Tipos de música Freq. absoluta Freq. relativa
Clássica 3 = 0,12
Pop 7 = 0,28
Rock 5 = 0,2
Rap 4 = 0,16
Eletrónica 6 = 0,24
Total 25 0,1
3257
255
254
256
25
Tipo de músicaClássica Pop Rock Rap Eletrónica
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Tipo de música preferido
Freq
uênc
ia a
bsol
uta
87
3. 3.1. 64 amigos 3.2. Portuguesa
3.3.
3.4.
3.5. a) 30 amigos b) Cerca de 110 amigos
4. 4.1. 4 rapazes
4.2.
4.3. … onze… quatro… sete… seis…
5. 5.1. 5.2. 5,4 kg
5.3. 4,3 e 5,4. Moda – distribuição bimodal. 5.4. 4,75 kg
5.5. Aproximadamente 4,75 kg
5.6. Aproximadamente 47,5 kg
6. Pelo menos 96%
7. 7.1. 30 clientes 7.2. 7 clientes
7.3. A ementa com o prato de peixe.
7.4.
7.5. 30% 7.6. 75% 7.7. Afirmação verdadeira.
8. 8.1. 30 jogos 8.2. Vitória
8.3. 45 pontos 8.4. 1,8 pontos
8.5.
9. 9.1. 40 ¤ 9.2. Maio (80 ¤) 9.3. 140 ¤ 9.4. 60 ¤
9.5. 40 ¤ 9.6. 36 ¤. Não é suficiente 9.7. 50 ¤ por mês
9.8.
10. 10.1.
10.2.
10.3. 4 alunos 10.4. 6 alunos
10.5. Aproximadamente 29% (0 c.d.)
10.6. 10 anos
Testar
1. 1.1. As chamadas nacionais.
1.2. Nas chamadas internacionais.
1.3. 62,2¤ 1.4. Não
2. 2.1. 17 semanas 2.2. 63 segundos
2.3. 48 segundos 2.4. 50 segundos; Moda
NacionalidadePortuguesa Brasileira Inglesa Espanhola
25
20
15
10
5
0
Nacionalidade dos amigos darede social que a Raquel utiliza
Freq
uênc
ia a
bsol
uta
Instrumentos musicaisHarpaViolinoGuitarraFlautaPiano
14
12
10
8
6
4
2
0
Aprendizagem de um instrumento musical
Núm
ero
de a
luno
s
3 9
4 1 2 3 3 6 7 8 9
5 0 1 2 3 3 4
EmentaGrau de satisfação
Satisfaz Não satisfaz
Carne 7 2
Peixe 6 4
Vegetariano 1 3
Sanduíche 6 1
Pontos0 1 3
16
14
12
10
8
6
4
2
0
Distribuição dos pontos obtidospela equipa Os Lutadores
Núm
ero
de jo
gos
8070605040302010
0
Economias mensais do Rúben
Valo
r eco
nom
izad
o (€
)
MesesFevereiro Março Abril Maio Junho
Idade Rapazes Raparigas
9 anos 3 7
10 anos 3 2
11 anos 1 3
12 anos 0 2
12
10
8
6
4
2
0
Idade dos colegas da turma do Arsélio
Núm
ero
de a
luno
s
RapazesRaparigas
9 anos 10 anos 11 anos 12 anos
Nacionalidade Freq. absoluta Freq. relativa
Portuguesa 23 0,36
Brasileira 17 0,26
Inglesa 10 0,16
Espanhola 14 0,22
Total 64 1
88
2.5.
3. 4
4. 4.1. 1996 4.2. 1991; 1998; 1999 e em 2004
4.3. Cerca de 3600 mm.
Unidade 5 – Áreas
1. 1.1. AA = 5 u.a. AB = 3,75 u.a. AC = 4,5 u.a.
1.2. As figuras A e C 1.3. Não existem.
1.4. Por exemplo,
2. A = 96 cm2; P = 52 cm
3. P = 94 cm
4. 4.1. Figura A: A = 2 cm2 Figura B: A = 2 cm2
Figura C: A = 3 cm2
4.2.
5.
6. A = 3,9 cm2
7. 4 vezes
8. 8.1. P = 738 m 8.2. P = 1476 m
8.3. A medida da área quadriplicava.
9. 11 cm2
10. 10.1. P = 120 m
10.2. O Sr. Júlio tem de comprar 3 embalagens.
10.3. O terreno que precisou de maior quantidade de
corda foi o terreno retangular.
11. 11.1. a) 4 cm b) 2,4 cm 11.2. 4,5 cm
Testar
1. 24 cm
2.
3. A = 15 cm2
4. 20 cm2
5. 5.2. 12 cm2
6. cm2
7. A = 12 cm2
Prova global 1
1. 1.1.
1.2. a) b= 74° b) O triângulo é acutângulo e isósceles.
2. 2.1. Voltará a receber os dois produtos ao mesmotempo passados 40 dias, ou seja, no dia 21 de abril.
2.2. a)
b) 50% c) As vendas foram superiores à médiana segunda-feira e no sábado.
3. 3.1. A loja A tem 34,5m2 de área e a loja B tem 30 m2,pelo que a loja A tem maior área.
3.2. O Sr. Costa alugou a loja B porque é a que tem me-lhor relação área/preço.
3.3. Antes do desconto, pediam 1200 ¤ pelo aluguer daloja.
4. 4.1. 108
4.2. a)
b) Foram mais os clientes que não receberam rifas.
c) O Sr. Costa devia ter feito mais 300 rifas.
Prova global 21. 1.1. 58 ¤ 1.2. 20%
2. A = 288 m2
3. Passados 12 dias
4. 4.1. O irmão da Lurdes. 4.2. a) Existem mais lembranças de mamíferos. b) 375
5. 5.1. Sábado 5.2. 1260 pessoas 5.3. 180 pessoas 5.4. “Existirá algum dia em que o jardim zoológico se
encontre fechado? Explica o teu raciocínio.”
Prova global 31. 1.1. 182,25 cm2 1.2. Não 1.3. Afirmação falsa.
2. 2.1. Estimativa 110°. 2.2. 35° cada um.
3. 3.1. 28 folhetos 3.2.
4. 13 de março
5. 5.1. a) (2, 4) b) (7, 6) 5.2. a) (1, 5) b) Não
6. 6.1. 40 alunos 6.2. Durante a primeira semana.
23
Figura A Figura B
Figura C
0 91 2 72 1 4 8 8 9
4050
2596
6 cm
6 cm6 cm
3 3 4 5 64 1 4 5 95 0 0 1 3 6 7 86 1 3
Dias da semanaSegunda-fe
ira
Terça-feira
Quarta-fe
ira
Quinta-feira
Sexta-feira
Sábado
Alheiras de Mirandela vendidas
Núm
ero
de a
lhei
ras
vend
idas 45
40353025201510
50