Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Aplicação Fernando Rodrigues da Silveira

cap-uerj Projeto MATEMÁTICA VIVA - Edição Revisada

caderno de matemática 7ª série

Monica Rabello de Castro (Coord. e autor.)

Dora Soraia Kindel José Antônio Novaes

Maria da Conceição Vieira Maria Ignez Rocha David Nelson de Mello Rezende

Iniciação Científica: Andrea Lontra

Arthur Kennedy Manhães da Silva Sérgio Roberto Araújo de Toledo

Contribuição dos alunos da Graduação: Silas dos Santos Lopes Ferreira

Marcio Azevedo Majdalani

2003

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

Reitora: Nilcéa Freire

Vice-reitor: Celso Pereira de Sá

CENTRO DE EDUCAÇÃO E HUMANIDADES

Diretor: Lincoln Tavares Silva

COLÉGIO DE APLICAÇÃO DA UERJ

Diretor: Aristônio Gonçalves Leite Júnior

Vice-diretor: José Roberto Julianelli

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E DESENHO – DMD

Chefe: Esequiel Rodrigues Oliveira

Sub-chefe: Geraldo Henrique Botelho Lins

PROJETO MATEMÁTICA VIVA

Coordenação: Monica Rabello de Castro

ÍNDICE POR UNIDADES

Unidade 0 – Revendo frações.................................................................1

Unidade 1 – O plano cartesiano.............................................................2

Unidade 2 – Equações............................................................................7

Unidade 3 – Ângulos ..............................................................................34

Unidade 4 - Polígonos..............................................................................48

Unidade 5 – Áreas, perímetros e volumes.............................................61

Unidade 6 - Congruência de triângulos..................................................67

Unidade 7 – Circunferência, arcos e ângulos.........................................73

Unidade 8 - Expressões algébricas .........................................................78

Unidade 9 – Fatoração...............................................................................

Unidade 10 – Fatoração e resolução da equação do 2º grau................

Unidade 11 – Teorema de Pitágoras.........................................................

Unidade 12 - Propriedades da raiz quadrada – Trabalho com calculadora simples.....................................................................................82

Unidade 13 - Densidade dos racionais................................................74

Unidade 14 - Transformações no plano..............................................88

Índice

Unidade 0 Revendo frações...........................................................................

1

Unidade 1 O plano cartesiano.......................................................................

2

Unidade 2 Equações.......................................................................................

7

Unidade 3 Ângulos ........................................................................................

36

Unidade 4 Polígonos.......................................................................................

45

Unidade 5 Áreas, perímetros e volumes.......................................................

51

Unidade 6 Congruência de triângulos..........................................................

59

Unidade 7 Circunferência, arcos e ângulos.................................

67

Unidade 8 Expressões algébricas .................................................................

71

Unidade 9 Fatoração......................................................................................

82

Unidade 10 Fatoração e resolução da equação do 2º grau..........................

84

Unidade 11 Teorema de Pitágoras..................................................................

90

Unidade 12 Propriedades da raiz quadrada – Trabalho com ..................... calculadora simples

93

Unidade 13 Densidade dos racionais..............................................................

94

Unidade 14 Transformações no plano............................................................

99

Prefácio de autoria de duas ex-alunas da 7a série

A matemática, mesmo que você não perceba, esta ao seu redor, todo o tempo.

Por exemplo: velocidade, dinheiro, tempo, entre outros. Mas a matemática, além de

trazer seus benefícios e aplicações para o cotidiano, traz maravilhas, que estão

presentes nessa apostila pedindo para serem estudadas, analisadas, compreendidas.

Porém, antes de abri-la, você deve saber que nada do que está escrito aqui terá

sentido sem compreensão. E para compreendermos, precisamos pensar, destinar

nosso interesse.

Este ano, damos início a um estudo mais profundo da Geometria, que acarretará

o uso de expressões da álgebra. Entretanto, não se deve pensar na matemática como

um grande grupo com complexas subdivisões e estudá-los um a um. Deve-se estudá-la

de forma global, onde um problema de Geometria seja resolvido através da álgebra e

um problema da álgebra seja resolvido através da geometria, evitando sempre o uso de

letras sem sentido. Por isso, não pense que você ficará livre da Álgebra só porque

avançou um capítulo – ela estará presente, a partir de agora, em todo lugar.

Nessa apostila, não serão cobrados exercícios que exijam conhecimento de

definições ou regras. Serão realizadas atividades onde você deve demonstrar o que

sabe, para entender e chegar à resposta. Ainda nesse livro, você conhecerá uns

números que não podem ser escritos de forma exatas ou como dízimas. Na Geometria,

você estudará os triângulos, suas propriedades e exclusividades, o Teorema de

Pitágoras, outras figuras geométricas, ângulos, representações gráficas, e algo mais.

Quanto a Álgebra, você estudará os sistemas, inequações, as equações de primeiro e

segundo graus, entre outras surpresas que serão apresentadas e que, com certeza,

agradarão aqueles que realmente estão interessados. E para aqueles que nunca

gostaram de matemática, esta é a oportunidade. Você não quer ser do grupo dos que

não sabem Álgebra, quer? Então, motivação e interesse, pois esta matéria vai lhe

acrescentar muito nos seus conhecimentos gerais.

Não se esqueça, a partir de agora, não decore, entenda. Quando você decora,

você esquece, e quando compreende, lembra para sempre.

Por: Carolina Amaral de Almeida e Anália da S. Barbosa – Turma 73 – 2001

1

|UNIDADE 0 – REVENDO FRAÇÕES

UMA HISTÓRIA DAS ARÁBIAS Beremiz era um árabe conhecido como o Homem que Calculava, devido a sua grande habilidade em fazer cálculos rápidos e precisos. Beremiz estava em viagem para Bagdá com seu amigo Habbib. Para viajar ,eles utilizavam como transporte um único camelo que pertencia a Habbib. Ao meio da viagem, depararam com três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e xingamentos gritavam possessos, furiosos: __ Não pode ser! __ Isto é um roubo! __ Não aceito! O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava. __ Somos irmãos__ esclareceu o mais velho__ e recebemos, como herança, esse 35 camelos. Segundo vontade de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed uma terça parte e ao Harim, o mais moço, apenas a nona parte. Não sabemos como dividir dessa forma 35 camelos e a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas? __ É muito simples! Encarrego-me de fazer, com justiça, essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que aqui nos trouxe! Neste ponto, Habbib interveio: __ Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem, se ficássemos sem o camelo? __ Não te preocupe com o resultado. Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero chegar.__ disse Beremiz em voz baixa para seu desconfiado amigo. Imediatamente, Habbib cedeu o seu camelo que foi posto junto com os demais. __ Vou, meus amigos, fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora, em número 36. E voltando-se para o mais velho dos irmãos falou: __ Deverias receber, a metade de 35, isto é , 17 e meio. Receberás a metade de 36 , portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois saíste lucrando com esta divisão! Dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou: __ E tu, Hamed, deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com lucro na transação. Disse ao mais moço: __ E tu, Harim, segundo teu pai , deverias receber uma nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me o resultado! E concluiu com maior segurança e serenidade: __ Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos, couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um resultado de 34 camelos. Dos 36 camelos, sobram dois. Um pertence a meu amigo Habbib, o outro toca por direito a mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da herança! __ Sois inteligente!__ exclamou o mais velho dos irmãos__ Aceitamos vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e igualdade! E o astucioso Beremiz, tomou posse de um dos mais belos camelos do grupo e disse a Habbib, entregando-lhe pela rédea o animal que lhe pertencia: __ Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro! Tenho outro especialmente para mim!

(Texto retirado do livro O Homem que Calculava- autor:Malba Tahan)

2

ATIVIDADES Beremiz utilizou seu extenso conhecimento matemático para resolver um empasse entre irmãos e ainda sair lucrando . Agora, vamos analisar como o Homem que Calculava, resolveu esta situação sem precisar de uma lâmpada mágica... 1) Você poderia representar por frações a parte de herança que caberia a cada irmão? 2) Ao somarmos estas frações, qual total encontramos? 3) Este total corresponde ao número de camelos? O que você observa? 4) Depois que Beremiz acrescenta um camelo, o que ocorre com a soma da herança dos irmãos? 5) Qual conceito matemático Beremiz usou para resolver esta situação? 6) Você teria uma nova maneira de resolvê-la? Qual?

UNIDADE 1 – O PLANO CARTESIANO ATIVIDADE 1) SISTEMAS DE REFÊRÊNCIA No esquema abaixo, pinte as casas: em verde: (3 , a ) ; ( c , 3 ) em amarelo: ( b , 2 ) ; ( 2 , d) em vermelho: ( c , 1 ) ; ( b , 4 ) em azul: ( e , 2 ) ; ( 4 , e )

4 3 2 1 a b c d e

1) Você se encontra na casa (⊕ , ♣), você quer chegar a casa ( ♦ , ∆ ) . Para tanto, você pode atravessar a casa (♥ ,∅ ) , mas você pode também encontrar outros caminhos: saltando de uma casa para a casa vizinha e sendo proibido deslocar-se segundo uma diagonal. Represente 4 caminhos possíveis escrevendo a sequência das casas pelas quais você irá passar.

♣ ∅∅∅∅ ∆∆∆∆ ⊕⊕⊕⊕ ♥♥♥♥ ♦

3

2) a) Desenhe nas casas os símbolos de acordo com as informações abaixo:

1 2 3 1 2 3

b) Que casas não foram ocupadas? ( .......,......) , ( .......,........) , ( ..........,........) 3) Juquinha enterrou em um terreno baldio uma moeda antiga de seu bisavô e agora deseja resgatá-la. Como ele é muito sabido, ao enterrá-la , anotou alguns dados. Que registros ele poderia ter feito, sabendo-se que a moeda foi enterrada no ponto P. OBS: 1cm no desenho corresponde a 10m no terreno. ( Utilize a régua )

4) Uma forma simples de localizar qualquer ponto de uma superfície plana é imaginar um par de retas perpendiculares e encontrar, para cada ponto, a posição dele em relação a cada uma dessas retas. Assim, dê a localização dos pontos A , B , C, D e E na tabela abaixo. Utilize a régua

( 1 , 1 ) ⊗ ( 2 , 3 ) ⊕ ( 1 , 2 ) ♥ ( 3 , 2 ) ♦ ( 2 , 2 ) θ ( 3 , 3 ) ∅

A (...... ,......) B (...... , .....) C (..... , ......) D (..... ,.......) E (.... ., ......)

distância ao distância ao localização eixo vertical. eixo horizontal aos dois eixos

4

5) O diretor do zoológico recebe uma mensagem secreta , anunciando a chegada de um novo animal. Encontre os pontos correspondentes aos pares ordenados escritos na mensagem , ligue-os na ordem dada e você terá a resposta. mensagem escrita: ( 3, 14) ,( 5 ,10 ) , ( 7 ,14 ) , ( 7 , 16 ) , ( 3 , 18 ) , ( 1 ,16 ) , ( 1 ,12 ) , ( -1 , 8 ) , (-5 , 8 ) , ( -3 ,6 ) , ( 1 , 8 ) , (3 , 12 ) , ( 2 , 8 ) , ( 3 ,10 ) , ( 5 , 8 ) , ( 5 , 2 ) , ( 7 , 2 ) , ( 9 , 8 ) , ( 11, 8 ) , ( 13 , 2 ) , (15 , 2 ) , ( 15 ,8 ) , ( 18 , 5 ) , ( 15, 10 ) , ( 13 ,14 ) , ( 7 , 14 ) .

5

6 ) Observe o gráfico abaixo.

a) Escreva na tabela abaixo os pares ordenados correspondentes aos pontos que permitiram traçar o vaso. b) Para cada par ordenado encontrado, escreva na segunda linha da tabela o par correspondente da seguinte forma : b.1) Mantenha o primeiro elemento do par; b.2) Coloque no lugar do segundo elemento do par o seu simétrico.

Figura dada A (.... , . ..) B (.... , ....) C (.... , ....) D (.... , ....) Nova figura A'(.... , ....) B'(.... , ....) C'(.... , ....) D'(.... , ....)

c ) No mesmo sistema de eixos marque os novos vértices ( A’, B’,...) e desenhe a nova figura. 7 ) Para cada item, marque em um par de eixos cartesianos os pontos indicados e calcule a área do polígono formado. Para determinar os polígonos ligue os pontos segundo as seqüências dadas. Use papel quadriculado. a ) A ( 2 , 3 ) ; B ( -1 , 4 ) ; C ( 2 , 8 ) ABCA b ) A ( -1 , 3 ) ; B ( -1 , -2 ) ; C ( 2 , 3 ) ; D ( 2 , -2 ) ABCDA c ) A ( -1 , 4 ) ; B ( -1 , -1 ) ; C ( 2 , 2 ) ; D ( 2 , -3 ) ABCDA d ) A ( -1 , 3 ) ; B ( -1 , -2 ) ; C ( 2 , 2 ) ; D ( 2 , -1 ) ABDCA e ) A ( 0 , 5 ) ; B ( 2 , 3 ) ; C ( 1 , 0 ) ; D ( -6 , 1 ) ; E ( -6 , 3 ) ABCDEA

6

ATIVIDADE 2) FACILITANDO A LOCALIZAÇÃO DE PONTOS NUM PLANO Eixos perpendiculares graduados ( eixos cartesianos ) 1) Desenhe um sistema de eixos cartesianos.

a) Observe com atenção os pares ordenados dados abaixo, que representam os pontos: A, B, C e D. Que tipo de polígono é ABCD? A ( 2 ; 4 ) B ( 5 ; 2 ) C ( 2 ; - 2 ) D ( - 1 ; 7 ) b) Localize no sistema de eixos os pontos P, R, S e V, dados pelo par de números correspondente. Que tipo de polígono é PRSV? P ( 4 ; 3 ) R ( 2 ; - 3 ) S ( -4 ; 3 ) V ( 6 ; 0 ) IMPORTANTE: VOCÊ PODE OBSERVAR:

• o primeiro número do par foi considerado sobre a reta ox (eixo horizontal).

• o segundo número do mesmo par foi considerado sobre oy (eixo vertical). • o ponto correspondente a cada par de números, está situado na interseção de uma paralela a

oy com uma paralela a ox .

7

2) A figura abaixo representa uma grade quadrada de arame e Aracnilda, a aranha esperta, quer ir do ponto A até o ponto B, andando o mínimo possível. Há várias hipóteses para isto, por exemplo : A → ( 0 , 1 ) → ( 1 , 1 ) → ( 2 , 1 ) → ( 2 , 2 ) → ( 2 , 3 ) → ( 3 , 3 ) → B . A (0,0) ; B (3,4) ; C (8,7) a) Encontre 3 outros caminhos para Aracnilda ir de A até B . b) Dê um caminho para ela ir de B até C ? c) Se Aracnilda se pendurasse em um fio de teia e em linha reta, que distância ela andaria de A até B ? E de B até C.

UNIDADE 2 – EQUAÇÕES

Sabemos que resolver equações consiste em “descobrir” números que tornem as sentenças matemáticas abertas em sentenças matemáticas verdadeiras. Estes números são chamados raízes da equação. Assim:

A equação 3x + 4 = x – 26 tem como raiz o número ( -15 ), pois:

3( -15 ) + 4 = -15 –26 -45 + 4 = - 41 ( sentença verdadeira )

Muitos foram os problemas que geraram equações e que fizeram com que os matemáticos dedicassem um bom tempo da história a estudá-las. As equações que, de início, eram uma ferramenta para resolver problemas passaram elas mesmas a ser um objeto de estudo. Para este estudo, foi necessário agrupá-las de acordo com suas características, pois estas características determinam a maneira como se podem encontrar soluções. Ao longo da história, foram propostas diferentes classificações, vamos apresentar as que são importantes para este momento de nosso estudo. • Classificando equações pela quantidade de incógnitas

Uma primeira forma de classificar as equações pode ser pela quantidade de incógnitas que ela tem. Assim, podemos ter equações onde aparece apenas uma incógnita e foi com elas que iniciamos o estudo das equações na unidade anterior. Mas existem situações que, quando modeladas, dão origem a equações com mais de uma incógnita. Reflita sobre o problema seguinte:

A

B

8

No dia da criança o dono da lojinha de doces separou uma boa quantidade de bombons e pirulitos para presentear as crianças que entravam na loja. Cada criança tinha direito a 4 desses dois tipos de doces, podendo escolher todos de um só tipo ou misturar. Quais são as possíveis escolhas que uma criança pode fazer, ou seja, quantos bombons e quantos pirulitos poderá pegar?

Esta situação é bem simples e não é difícil fazer uma lista de todas as soluções, porém vamos representar numa tabela todas elas porque a disposição em tabela geralmente ajuda a não esquecer nenhuma. bombons pirulitos

4 0 3 1 2 2 1 3 0 4

Se representarmos por b o número de bombons e por p o número de pirulitos, a relação entre b e p pode ser expressa pela equação: b + p =4

Você deve estar se perguntando, o problema com várias soluções é mesmo um problema? Vimos acima que podemos dar significado à situação vivida pelas crianças e que as soluções informam muito sobre a situação. Admitindo que o problema é mesmo um problema, todas as soluções são soluções corretas e fazem sentido. O que de fato acontece é que, situações desse tipo determinam uma relação entre dois números desconhecidos. Conhecer a relação entre dois números desconhecidos pode ser muito importante na resolução de problemas.

Os matemáticos deram sentido a equações com várias incógnitas e foi importante separá-las quanto ao número de incógnitas pois a forma de encontrar a solução de uma equação difere muito de um caso para outro. Estamos estudando equações que envolvem números. Para as equações que têm uma incógnita cada solução é um número. Para as que têm duas incógnitas, cada solução será um par de números. ATIVIDADE1) 1) Dentre as equações abaixo, aponte as que têm apenas uma incógnita. a) 2x – 5 = 3+ 2y b) 4x + 5 = x2 – 2 c) 2ax – 7 = x + 4 d) x - 4 = 8x e) 3x3 + 2x2 – 4 = 0 2) Sem resolver os problemas abaixo, verifique qual o menor número de incógnitas preciso para modelá-los por equações ou inequações: a) A soma de dois números é 7. Sabe-se que o maior deles é menor do que 17. Quais são estes

números?

Verificamos olhando a tabela que nela estão todas as soluções para o problema e que são ao todo 5 soluções, já que o número de bombons e de pirulitos que uma criança pode pegar varia de 4 a 0, ou seja 4;3;2;1;0] é o conjunto universo para cada uma das incógnitas b e p. Cada solução ë dada por um par de números e deve ficar claro a que tipo de doce cada número corresponde.; neste caso o 1o número informa o total de bombons e o 2o o total de pirulitos. Cada solução é um par ordenado. Lembre-se que (3;1) ≠ (1;3).

9

b) Pensei em um número. Somei 4 a ele e depois dividi por 3 encontrando como resultado 8.

Qual é este número? c) A soma de dois números é 15 e a diferença é 7. Quais são estes números? d) Alfredo pretende comprar uma televisão a prazo. Escolheu uma loja que lhe ofereceu uma

promoção na qual ele pagará o total de R$ 424,00 em 4 vezes sem juros. Qual será o valor da prestação que ele deverá pagar?

e) Em uma fábrica existem duas máquinas que produzem sacos plásticos. Enquanto a primeira

produz 10 sacos plásticos, a segunda produz apenas 3 no prazo de uma hora. Qual o total de sacos plásticos produzidos pelas duas máquinas depois de algumas horas?

3) O Parque de Diversões Alegria foi montado próximo da cidade Ribeirinha. A entrada do parque era um preço fixo. Além da entrada cada brinquedo custava R$ 2,25. a) Imagine que a entrada do parque está custando R$ 5,00. Quanto dinheiro Anita precisa levar

se quiser visitar o Alegria, isto é, entrar no parque sem andar em nenhum brinquedo? b) Com o mesmo preço para a entrada, quanto dinheiro João vai gastar se quiser entrar no

parque e andar de roda- gigante, trem fantasma e barco do amor, uma vez em cada um? c) Como você faz para saber quanto dinheiro se gasta em cada situação? d) Agora imagine que para cada idade o preço da entrada seja diferente. Como poderíamos

modelar o problema por uma equação, agora sem saber o preço da entrada? De quantas incógnitas precisaríamos?

e) Se o preço da entrada para adultos acima de 24 anos é R$ 4,00, quanto o casal Maria e José

devem levar para o parque se pretendem andar juntos em 3 brinquedos?

• Classificando equações pelo conjunto solução

Uma outra forma de agrupar equações é considerar a quantidade de soluções que ela apresenta. Existem equações que têm uma única solução, equações que têm algumas soluções, equações que têm infinitas soluções e ainda aquelas que não têm solução. À medida em que você continuar seus estudos sobre equações, vai aprender algumas características que cada agrupamento de equações tem. No momento, estamos interessados em analisar o que ocorre com as equações que têm apenas 1 incógnita. Mais adiante, você vai analisar o que acontece com aquelas que têm duas incógnitas.

Ao resolvermos uma equação, antes de mais nada, temos que nos lembrar que elas sempre estão definidas em um universo numérico. Uma mesma equação pode ter uma única solução em um universo numérico, mas ter duas soluções em outro. Vamos analisar alguns exemplos.

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Equação com solução única Considere a equação em U = Q 2y – 3 = -19 Usando o princípio aditivo podemos encontrar uma outra que lhe é equivalente 2y – 3 + 3 = -19 + 3 ou ainda 2y = -16 aplicando o princípio multiplicativo 2y ÷2 = -16 ÷ 2 ou ainda y = -8 que tem a solução evidente –8. Como ter certeza de que ela é única?

Equação sem solução Considere a equação em U = Q x = x + 1 Se presto atenção nesta equação e interpreto ela, ela me diz que o número que procuro é igual a ele mesmo mais um. Só por isso percebo que ela não tem solução. Mas se aplico o princípio aditivo x – x = x – x + 1 Encontro a igualdade 0 = 1 que é falsa. O que confirma a conjectura.

Equação com mais de uma solução Considere a equação em U = Q x2 = 25 Esta equação tem como soluções 5 ou –5, pois ambos os números têm quadrado 25. Esta mesma equação, para U = N, tem solução única.

Equação com solução varrendo todo o conjunto universo Considere a equação em U = Q x = x Qualquer número racional é igual a ele mesmo. Portanto, qualquer número racional é solução desta equação. Ou, usando o princípio aditivo, x – x = x – x sendo equivalente a 0 = 0, que é sempre verdade. Equações para as quais o conjunto solução é igual ao conjunto universo são chamadas IDENTIDADES.

Nesta altura do nosso estudo, o único jeito de identificar a qual desses agrupamentos

uma equação se enquadra é procurando suas soluções. Com o passar do tempo, vamos procurar outras formas de facilitar esta tarefa. ATIVIDADE 2) 1) Verifique quais das equações abaixo são identidades em Q. Para isso, você pode usar o processo de tentativas, usar o esquema de flechas ou os princípios aditivo ou multiplicativo da igualdade. Justifique sua resposta somente quando se tratar de uma identidade.

a) 2.(a + 3) = 2a + 6 b) 5 – x = x – 5 c) yy

22

=

d) b + b = b2 e) a + a = 2a f) b – 5 = -5 + b 2) Aponte quais das equações abaixo não têm solução em Q. Justifique sua escolha e compare com a dos colegas. a) 3u = 2u b) 2x – 1 = 1 – 2x c) x + 2 = x + 5 d) 2x – 1 = 2.(x – 1) e) x3 = 3x 3) Verifique quais das equações abaixo têm exatamente duas soluções em Q. (OBS: Lembre-se que -3 = 3 = 3)

a) a = 0,5 b) 3b – 1 = 4 c) 41

– x2 = 0

11

d) y = 3 e) 2(4 – w) = 2w 4) Identifique quais das equações abaixo têm uma única solução em Q. Justifique sua escolha. a) x – 4 = 2x + 3 b) 2 x2 = 8 c) 2.(x – 1) = 3x – 4 d) -2 = a e) 4x = 2x – 1 5) Identifique quais das equações abaixo têm uma e apenas uma solução em N. Justifique sua escolha. a) x + 8 = 4x + 3 b) x2 = 49 c) 2x – 9 = 3x – 4 d) 4 = a e) 2 - 3x = 2x – 8

• Classificando equações por tipos – alguns tipos: modulares, polinomiais, exponenciais.

Resta ainda uma outra classificação muito útil na procura de soluções para as equações. Ela diz respeito às operações que envolvem as incógnitas. Mais uma vez chamamos sua atenção para o fato de que todas essas classificações ficarão mais claras à medida em que seus estudos sobre equações avançar. Agora, você não precisa ficar preocupado em memorizar todos esses nomes, mais a frente em sua escolaridade você vai aprender outras meios de identificar os tipos de equação. Em alguns casos, a identificação do tipo de equação é simples, em outros, vai ser mais sutil. Vamos novamente analisar apenas o caso de equações com 1 incógnita. Para o nosso estudo, no entanto, a identificação dos casos mais simples é suficiente.

Equações nas quais a incógnita aparece envolvida pelo sinal de valor absoluto, por exemplo, são chamadas equações modulares. São exemplos, as equações -2 = y, a= 5a ou

x = 61

.

Equações em que a incógnita aparece no expoente de uma potência são chamadas equações exponenciais, como por exemplo, 2x = 9 ou 5 – 3v = 0.

Estamos interessados aqui em um tipo de equação em que a incógnita ocupa o lugar de parcela, fator ou base de potências nas operações envolvidas na equação. São as chamadas equações polinomiais, como por exemplo, 2x – 3 = 7x, x2 = 4 ou 2x3 + 3x2 = 7. Nas equações polinomiais com uma incógnita, a incógnita não aparece nem como expoente, nem como denominador de fração, nem como radicando e nem num módulo. Para identificá-las, o mais simples é verificar as situações em que a incógnita aparece envolvida em operações que ela não pode estar, por exemplo, na equação xx 23 =+ , a incógnita x aparece envolvida com uma

radiciação, então esta equação não é polinomial. Na equação 2

35

−=

w, a incógnita w aparece

no denominador de uma fração, portanto, também não é polinomial.

Apresentamos três formas de agrupar as equações e esses modos de agrupá-las não são excludentes, ou seja, a equação pode ter características de mais de um grupo.

12

Atividade 3) 1) Dentre as equações abaixo, aponte aquelas que são polinomiais. Justifique a razão de ter descartado cada uma das outras. a) xx −=− 73 b) 3b – 3b = 3 c) 4w – 7 = 3 2 – 3w

d) 32

x – 4 = 7 e) yy

42 =

2) Encontre o conjunto solução somente das equações que forem polinomiais em Q.

a) 5a + 3a = a – 7 b) ww

w −=−

34

c) 3x – 4 - x – 12 = 0

d) yy 332 −=− e) m2 –2m + 1 = 0 3) Dentre as equações abaixo, apenas uma é polinomial. Descubra quem é ela e encontre sua solução em Z.

a) 5 + 3a = 2a – 8 b) xx

−=−

24

4 c) 3x – 4 = x – 12

d) yy =− 73 e) m2 –2m = m 4) Dentre as equações abaixo, apenas uma não é polinomial. Descubra quem é ela e encontre sua solução em Z.

a) 5 = 2a – 8 b) 24 −=x

c) 3x – 4 = 9

d) 3x2 + 4x = 0 e) 2 m - m2 –2m3 = 2 • Conjunto solução de algumas equações

As idéias trabalhadas no item anterior ajudam a resolver algumas equações. O estudo das equações é amplo e depende das características de cada equação. O processo de encontrar a solução de equações por tentativa, no entanto, é válido para qualquer equação. Às vezes, se conhecemos todas as operações envolvidas numa equação simples, podemos encontrar suas soluções se conseguimos interpretar que características têm os números procurados. Uma solução de uma equação também é chamada raiz da equação.

Na equação x= 71

em Q, por exemplo, estamos procurando números racionais cujo valor

absoluto é igual a 71

. Os únicos números racionais que têm valor absoluto 71

são o próprio 71

e

o –71

, pois 71

= 71

= -71

. Isto nos permite concluir que essas são as soluções da equação.

13

O conjunto de números que são solução de uma equação chama-se conjunto solução. O

conjunto solução da equação x= 71

em Q pode ser representado pelo conjunto -71

,71

.

O mesmo acontece, por exemplo com a equação x2 = 0,01 em Q, onde procuramos números racionais que têm quadrado igual a 4. Sabemos que (0,1)2 = 0,01 e que (-0,1)2 = 0,01 e que não existe outro número que tenha o quadrado 0,1.

Na equação 3x = 9 em Q, estamos procurando números racionais para expoente de 3 que dão como resultado da potência 9. Sabemos que somente 32 = 9. Portanto, esta equação tem solução única 2.

Equações que envolvem várias operações são de difícil interpretação. Para estas, ainda nos resta o processo da tentativa. Este processo, porém, não nos dá garantias de que encontraremos todas as soluções de uma equação, em alguns casos, por um processo de aproximação, podemos encontrá-las.

Vamos encontrar a solução da equação y2 – 3y = 0 em Z, e escolher um número qualquer para começar, por exemplo, 5. Verifico qual é o valor do primeiro membro da equação quando a incógnita tem este valor. Para facilitar, montamos uma tabela que relaciona o valor atribuído à incógnita e o valor numérico do primeiro membro. 52 – 3.5 = 25 – 15 = 10

Concluo que 5 não é solução. Agora vejo o comportamento da equação quando atribuo outros valores próximos a 5. Podemos experimentar 6 e 4, por exemplo. 62 – 3.6 = 36 – 18 = 18 que é maior que 10 42 – 3.4 = 16 – 12 = 4 que é menor que 10, mais próximo de 0.

Concluo que devo procurar por valores menores que 4.

Valor de y 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 Valor de y2 – 3y

18 10 4 0 -2 -2 0 4 10 18

Calculando os diversos valores para o primeiro membro da equação, descobrimos um

comportamento bem interessante para esta expressão que vai nos permitir concluir sobre as soluções da equação. Note que, ao encontrarmos a solução 3 para a equação (pois 32 - 3.6 – 0) somos tentados a parar por aí, embora nada nos garantiria que esta solução seria única. Mesmo após termos encontrado a segunda solução, nada nos garante que sejam apenas duas, então teríamos que analisar o comportamento da seqüência de números gerada. Observe que existe uma simetria nos valores encontrados. Como a seqüência vai se distanciando de zero, tanto para números maiores que 6 quanto para números menores do que –3 (verifique), dá para deduzir com uma certa margem de segurança que não haverá outras soluções para tal equação.

Não foi casualmente que propusemos encontrar a solução desta equação em Z. O trabalho fica bem mais difícil quando a equação está definida em Q.

ATIVIDADE 4)

1) Procure pelo menos uma raiz para cada uma das equações abaixo definidas em no universo dos números inteiros. a) x - 2 = 0 b) 1 – m2 = 0 c) b3 = -1 d) 3y = 27 e) x2 – 5x = 0 2) Verifique quais das equações abaixo têm solução no universo dos números naturais. a) 4 = x - 2 b) 25 – m2 = 0 c) b3 = -8 d) 5y = 1 e) x2 + 2x = 0

14

3) Verifique se 2 é raiz de alguma das equações abaixo. a) 2 = x - 4 b) 2 – m2 = 0 c) b3 = -2 d) 2y = 8 e) x2 – 2x = 0 4) Verifique se -3 é raiz de alguma das equações abaixo. a) 6 = x + 3 b) 3 – m2 = 0 c) b3 = -27 d) 3y = -27 e) x2 – 3x = 0 • Um tipo especial de equação polinomial: as que exprimem proporções.

Quando estudamos proporções, estávamos interessados em encontrar dentre os 4 termos de uma proporção, um que era desconhecido. Estes problemas ficam bastante simples quando os modelamos por meio de equações. Em todos eles, temos duas grandezas que são proporcionais. São problemas em que, conhecendo a variação de uma das grandezas, isto é, pelo menos duas medidas dela e, conhecida uma das medidas correspondentes da outra grandeza, queremos encontrar a segunda medida correspondente da segunda grandeza. Escrevendo algebricamente a proporção teremos

dc

ba = ou, a expressão que lhe é equivalente bcad = .

Pois bem, se conhecemos três destes termos, por exemplo, a, c e d, e representando o termo desconhecido por x chegaremos a ax = bc ou ax + bc = 0 e como a, c e d, são números conhecidos a equação é polinomial com uma incógnita. Elas aparecerão como variações da equação acima em x, por exemplo, 3x = 15, 2x – 6 = 0, etc.

E você já sabe como encontrar solução para este tipo de equação. Elas fazem parte de um grupo de equações chamadas equações polinomiais de 1o grau com uma incógnita. Diz-se que elas são do 1o grau porque a incógnita aparece com expoente 1.

Os problemas que envolvem juros simples e porcentagens também podem ser modelados por equações do 1o grau. Observe que algumas equações embora não tenham a aparência das que mostramos acima, são equivalentes a alguma que tem. Por exemplo, a equação 2(x – 4) = 5 + 3 (2x – 3) pode ser reduzida à forma acima e, portanto, também é uma equação de 1o grau com uma incógnita.

15

ATIVIDADE 5) 1) Para cada um dos problemas abaixo, encontre uma equação de primeiro grau com uma incógnita que o modele. a) Para um carregamento de areia, foram necessárias 45 viagens de um caminhão que tem capacidade de 4 m3. Se o transporte fosse feito por um caminhão maior de 6 m3 de capacidade, quantas viagens seriam necessárias para fazer o mesmo aterro? b) Uma torradeira que na semana passada custava R $ 40, 00 , hoje está custando R$ 42,50. De quanto por cento foi aumentado o preço dessa torradeira ? c) Um Jogo eletrônico está sendo oferecido em uma loja por R$129,99 com desconto de 10% no preço à vista. Quanto se deve pagar pelo jogo em tais condições? d) João atrasou o pagamento da mensalidade do curso de Inglês e por isso deverá pagar tal mensalidade aumentada de uma multa de 14,2 % do seu valor. Se a mensalidade normal é de R$ 75,00, quanto ele deverá pagar? 2) Elabore problemas envolvendo grandezas proporcionais que tenham como modelo as equações abaixo: a) 2a = 16 b) 3x – 8 = 0 c) 10 – 2x = 0 d) 2(x+3) = 4 3) Para cada uma das equações abaixo, encontre uma que lhe seja equivalente e que esteja na forma ax + b = 0, onde a e b são números conhecidos. Descubra então os valores de a e b. Observe o exemplo: 5 - (2x + 1) = 3x – 4 é equivalente a 5 – 2x – 1 = 3x – 4, equivalente a 5 – 1 + 4 - 3x - 2x = 0 e ainda 8 – 5x = 0. Então a = -5 e b = 8 a) 5x – 3 = 2 – 4x b) 1 – 2(3x – 4) = 5 + 3x c) 3y – 4 = 3(2 – y) d) 3 + 5(1 – x) = 3 – (3x – 6)

16

• Equações com duas variáveis Atividade 1.1 – O problema das idades de Ana e Carla 1) Exploração do problema I

a) Você saberia dizer que idade tem cada menina apenas com as informações dadas no problema? Exemplifique. b) Se Ana tem 10 anos, que idade tem Carla? c) Se Carla tem 14 anos, que idade tem Ana? d) Complete a tabela com soluções para o problema I. e) Representando por a a idade de Ana e por c a idade de Carla, que equação representa o problema? f ) Quantas soluções a equação anterior possui? CONCLUSÃO: Problemas como o anterior são representados por equações ____________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) Analisando o novo conceito a) Uma equação com duas variáveis possui solução única? b) Se a = 5 e c =1 representam uma solução para equação anterior, a =1 e c = 5 também é solução? ___________ Explique.

Problema I Ana tem uma irmã que se chama Carla.

Quando Carla nasceu, Ana tinha 4 anos. Que idade tem cada menina?

Idade de Ana Idade de Carla

17

c) A solução de uma equação com duas variáveis é um número? ___________ Explique. d) Como representar as soluções de uma equação com 2 variáveis? 3) As soluções (raízes) de uma equação com duas incógnitas são pares ordenados e estes são geometricamente representados por pontos no plano. Assim, represente no plano cartesiano a seguir os pares ordenados que são solução da equação que representa o Problema I.

Observando a representação feita, responda.

a) Como ficaram os pontos? b) Como podemos obter outras soluções para o problema 1 a partir da representação

acima?

3) Represente abaixo os pares ordenados que são raízes da equação 3x + 2y = 24

a) Observando a representação, determine outras raízes da equação. ________________________________________________________________________ b) Como você respondeu o item anterior? ________________________________________________________________________

x

y

0

0 a

c

18

CONCLUSÂO: Os pares ordenados, raízes de uma equação com duas incógnitas, são representados no plano por pontos _________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Atividade 1.2 – O problema do estacionamento a) Representando por c o número de carros e por m o número de motos, escreva a equação que representa o problema. b) Complete a tabela representando possíveis respostas para a situação. Tabela A

c) Represente no plano os pares ordenados que são respostas para o problema

d) Determine outras soluções para o problema a partir do gráfico acima. Justifique.

Problema II Ao meio-dia, verificou-se que num

estacionamento para carros e motos, havia 20 veículos. Quantos eram os carros estacionados neste momento?________

E quantas eram as motos?_______

c m (c,m)

c

m

0

19

Atividade 1.3 – O problema da mesada de Renato

a) Representando por d a quantidade de notas de 10 reais e c a quantidade de notas de 5 reais, escreva a equação que representa o problema. b) Complete a tabela abaixo apresentando respostas para a situação proposta

c) Represente abaixo os pares ordenados obtidos anteriormente d) Determine outras soluções para o problema a partir do gráfico feito. Justifique. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________ Atividade 1.4 – Inventando um problema

Problema III Renato ganhou R$ 100,00 de mesada.

Recebeu esta quantia em notas de 10 e 5 reais. Quantas notas de 10 reais recebeu?________

E de 5 reais?________

d c (d,c)

Problema IV ( você deve criá-lo a partir da equação abaixo)

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d

c

0

20

Equação do problema: x = 3y a) Complete a tabela apresentando possíveis respostas para a situação:

b) Represente abaixo os pares ordenados:

c) Outras raízes para a equação: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Atividade 1.5 – O problema das compras

A Quantidade de Arroz F Quantidade de Feijão

Equação do problema: ________________________

x y (x,y)

x

y

0

Problema V Minha mãe mandou que eu fosse comprar

arroz e feijão. Pediu que eu gastasse ao todo 10 reais sabendo que o quilo de feijão custava R$ 1,50 e o de arroz R$ 1,00. Quantos quilos de arroz comprei? E de Feijão?

A F (A,F) Tabela

21

Gráfico Outras soluções: ____________________________________________________________ Atividade 1.6 Vamos mudar os problemas e refazer todas as respostas? Você deve para cada problema: a) Escrever a equação que representa o problema; b) Completar a tabela de soluções; c) Representar graficamente estas soluções; d) Encontrar outras soluções a partir do gráfico construído.

A Idade de Ana C Idade de Carla Equação do problema: ________________________ Tabela

A

F

0

Problema II Ana tem uma irmã que se chama Carla.

Atualmente a soma de suas idades é 18 anos. Que idade tem cada menina?

A C (A,C)

22

Representando no plano cartesiano

Outras soluções: ___________________________________________________________

c Número de carros m Número de motos Tabela Gráfico

Problema III Ao meio dia verificou-se num

estacionamento para carros e motos havia 60 rodas. Quantos eram os carros estacionados neste momento?

E quantas eram as motos?

c m (c,m)

A

C

0

c

m

0

23

Outras soluções ____________________________________________________________ d nº de notas de 10 reais c nº de notas de 5 reais Equação do problema: ________________________ Tabela Gráfico Outras soluções ____________________________________________________________

Problema IIII Renato recebeu sua mesada em notas de

10 e 5 reais. Ganhou ao todo 20 notas. Quantas notas de 10 reais recebeu?

E de 5 reais?

d c (d,c)

d

c

0

24

Equação: x+y = 15 Tabela Gráfico Outras soluções:_____________________________________________________________ A Quantidade de Arroz F Quantidade de Feijão

x y (x,y)

Problema VI Minha mãe mandou que eu fosse ao

mercado comprar arroz e feijão. Mandou que eu trouxesse 8 Kg ao todo na sacola. Quantos quilos de arroz comprei?

E de feijão?

x

y

0

Problema IVI Você deve criá-lo considerando a mesma

situação anterior. ___________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

25

Equação do problema: ________________________ Tabela Gráfico: Atividade 1.7 Considerando as duas hipóteses... PROBLEMA III Ana tem uma irmã que se chama Carla. Quando Carla nasceu, Ana tinha 4 anos. Atualmente a soma de suas idades é 18 anos. Que idade tem cada menina?

Observe as tabelas e gráficos constituídos anteriormente Representando por a a idade de Ana e por c a idade de Carla, que equações representam o problema? = = Observe as tabelas e os gráficos construídos anteriormente.

a) Algum par ordenado da tabela I aparece na tabela I’? b) Algum ponto do gráfico I também é ponto do gráfico I’?

c) Podemos afirmar agora que idade possui cada menina?

A F (A,F)

A

F

0

26

d) Duas equações de duas incógnitas quando consideradas simultaneamente formam um sistema de equações. Cada equação isolada possui __________ soluções. As duas consideradas ao mesmo tempo formam um sistema de equação que possui uma _____ _____ solução.

Elabore os demais problemas adicionando as duas hipóteses apresentadas e repita o procedi-mento apresentado para o problema I. PROBLEMA II SISTEMA DE EQUAÇÕES Resposta:_______________________ PROBLEMA III SISTEMA DE EQUAÇÕES Resposta:_________________________

=

=

=

=

27

PROBLEMA IV SISTEMA DE EQUAÇÕES Resposta:______________________ PROBLEMA V SISTEMA DE EQUAÇÕES Resposta:______________________ Atividade 1.8 Discutindo um pouco mais...

=

=

=

=

Em várias situações, com o auxílio de duas equações de 1º, podemos solucionar problemas diversos. Duas equações de 1º grau, com duas variáveis formam um sistema de equações. Uma equação de 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções, cada uma delas representada por um par ordenado (x,y).

28

Por exemplo, os pares ordenados (0,8), (4,6) e (2,7) são duas das infinitas soluções da equação x + 2y = 16.

Da mesma forma, os pares ordenados (1,1), (10,16) e (4,6) tornam a equação 5x- 3y = 2 verdadeira.

a) Ache outras duas soluções para cada uma das equações acima. b) Represente as duas equações em um plano cartesiano. O que você observou? c) Qual o significado do par ordenado (4,6)? d) Resolva os sistemas abaixo através de suas representações gráficas.

O que você pode concluir a respeito da solução dos sistemas acima? Todos eles têm solução?

Resolva os problemas abaixo: 1) Marta possui R$ 170,00 em notas de R$ 10,00 e R$ 50,00. Ao todo Marta possui cinco notas. Quantas notas de cada valor Marta possui?

2) Um número é 1/3 de outro. O triplo do primeiro número somado com o dobro do segundo dá 18, Calcule os dois números.

3) Numa papelaria o preço de uma lapiseira é R$ 0,80 e de uma caneta R$ 1,20. Gastei R$ 16,00 comprando lapiseiras e canetas num total de 15. Quantas lapiseiras e quantas canetas comprei?

4) Num triângulo retângulo a diferença das medidas dos ângulos agudos é 20º. Determine as medias desses ângulos.

ATIVIDADES SOBRE EQUAÇÕES E SISTEMAS

1) Os problemas abaixo devem ser solucionados a partir do que estudamos sobre equações e sistemas de equações. Dessa forma, para cada situação você deve:

a) Escrever a EQUAÇÃO ou o SISTEMA DE EQUAÇÕES que representa a situação; b) Achar a solução ( como discutimos em nossas aulas ) e c) Responder a pergunta do problema.

A. Lúcia tem 34 anos e Denise 8 anos. Daqui a quantos anos a idade de uma será a idade do triplo da outra?

B. Comprei 10 frangos e 15 perus pela importância de R$ 400,00. Quanto custou cada ave,

sabendo que um frango e um peru custam juntos R$ 30,00? C. Luís foi passar suas férias numa cidade praiana. Verificou que, se gastasse R$ 80,00 por dia,

poderia passar mais três dias do que se gastassem R$ 100,00 por dia. Quanto possuía Luís?

x – y = -5 2x + 3y = 10 x + 2y = 4

2x + 4y = -8 x – 2y = 4 -2x + 4y = -8

29

D. Dois tanques contém juntos 900 litros de óleo. Se passarmos 100 litros do primeiro para o segundo, este ficará com o dobro do número de litros do primeiro. Quantos litros tinha, no inicio o segundo tanque?

E. Compareceram a um jantar 20 pessoas. Como 5 delas eram convidadas, e por isso nada

pagaram, cada uma das outras teve de contribuir com a sua parcela da conta mais R$ 30,00. Qual o valor total dessa conta?

F. Após ter colhido laranjas no pomar, Laura verificou que, se colocasse 12 laranjas em cada

cesto, faltariam 4 laranjas, e, se colocasse 11, sobrariam 13 em um dos cestos. Qual o número de cestos e de laranjas?

G. Um número é formado por dois algarismos cuja soma é 9. Trocando de posição os seus

algarismos, o novo número ultrapassa de 45 unidades o dobro do primeiro. Qual é o número? H. Tenho marrecos e cabritas num total de 35 cabeças e 110 pés. Quantos cabritos eu tenho? I. Numa sala de aula, 1/3 dos alunos preferem futebol, ¼ vôlei e os 20 restantes basquete.

Quantos alunos têm essa classe? J. Um pai diz ao filho: “ Hoje a sua idade é 2/7 da minha, há 5 anos era 1/6”. Qual a idade do pai

e a do filho? 2) Existem sistemas de equações com duas incógnitas com mais de duas equações. Alguns destes sistemas não têm solução. Investigue nas equações abaixo, quais não têm solução.

a)

====−−−−====−−−−

====++++

2yx34y2x6

5yx b)

========−−−−====++++

3yx4yx35yx2

-

REVENDO O QUE FOI APRENDIDO ....

1) Encontre as soluções das equações e inequações abaixo. Escreva a solução do modo como achar mais claro. Procure as soluções entre todos os números que você conhece. a) 2x – 3 = 2 – 4x

b) 1551 =

a

c) 4y = 5(-3y + 12) d) x > 2 e) 2x – 1 = 2x + 5

f) y = x – 4

g) 4a = b + 1

h) x2 + y2 = 4

i) x = y2

j) x > y

30

2) Encontre soluções que sejam comuns a todas as equações de cada item abaixo: a) y = x e x + 4 = -3y b) 2x – y = 5 e x – y = 3

3) Leia o problema a seguir e responda às perguntas abaixo: “Em uma loja, comprei ao todo 23 itens, entre lápis e canetas. As canetas custam R$ 0,30 e os lápis R$ 0,12 . Gastei no total da compra R$ 4,20. Quantas canetas comprei?” a) Expresse este problema por um sistema de equações. b) Ache a solução para este sistema. c) Responda à pergunta do problema. 4) No plano cartesiano abaixo, faça o que se pede abaixo: a) Desenhe o triângulo ABC sendo A(-3,2), B(2,-3) e C(5,5). b) Encontre a área do triângulo ABC. c) Trace a altura do triângulo ABC em relação ao lado AB. Chame o ponto de interseção do lado

AB com a altura de D. d) Dê as coordenadas do ponto D. e) Construa um retângulo EDFC que tenha DC como diagonal. A solução deste item é única? f) Encontre a área do retângulo EDFC.

31

5) a) Dê exemplo de uma equação com três incógnitas. b) Encontre duas soluções para essa equação. 6) Use o método da adição para encontrar a solução do sistema abaixo:

=+−=−

62453

baba

7) Encontre duas soluções para a equação x - y2 = -1. 8) Encontre duas soluções para a equação 2(x – 3) = x – (6 – x). 9) Represente graficamente, no quadriculado abaixo:

a) todas as soluções da equação cb = . b) as equações do sistema

=−=−

=+

23426

7

yxyx

yx

identificando sua solução.

32

10) Verifique se 1 é solução de algumas das equações dadas. a) 2 y + 3 = 1 - 6y b) 3 - z = 2 z + 6 c) 5. (2x - 2) = - 2 + 2x

11) Encontre o conjunto solução das equações de variável x , válidas para o universo numérico dos números inteiros.

a) 3(x – 1) + 4 = 5 – (3 + 2x)

b) 3(x – 4) = 15

c) 3(x+4) = (7x-6)5

d) 4x – 3x = 5x

e) 9x = 12x + 4 12) Encontre o conjunto solução de cada uma das equações abaixo:

a) -15 . y = - 35 b) 2 - (w - 2) = -1. (1 – 3w) c) -3x

+ 1 = -3

2x

13) a) Dê exemplo de uma equação com duas incógnitas. b) Encontre quatro soluções para essa equação. 14) Encontre uma equação equivalente a cada equação dada:

a) 5 a = - 52

a b) 3 m + 7 = 2 - 2m

15) Escreva uma equação com uma incógnita.

b) Encontre uma solução para essa equação. 16) Encontre duas soluções para a equação x - y + z = -1 .

33

17) Leia o problema a seguir e responda às perguntas abaixo: “A soma das idades de Ana e Pedro é 21. A diferença entre as idades deles é 5. Sabe-se também que a menina é mais velha do que o menino. Qual a idade de Pedro?” a) Expresse este problema por um sistema de equações. b) Ache a solução para este sistema. c) Responda a pergunta do problema. 18) Encontre a solução do sistema abaixo:

−=+=−

22273

baba

19) No caso de equações com duas variáveis, devemos encontrar um par ordenado ( x, y ) que também transforme a sentença matemática aberta em uma sentença verdadeira.

A equação tem como raiz o par , pois:

( sentença verdadeira )

1. Existem outras soluções? Se existem, encontre mais duas. 2. Se x = 5, qual seria o valor de y? 3. O par é solução? Por quê? 4. Quantos elementos você acha que terá o conjunto-solução desta equação?

20) Jan encontrou uma nota de compras feita pela mãe mas observou que a quantidade de arroz e feijão e o preço destas estavam borrados e não dava para ler. Ele sabia que a soma das massas era 15kg. Quantos quilos de arroz sua mãe havia comprado?

Quantidade Descrição Preço unitário(R$) Preço(R$)

Arroz 0,80 feijão 1,20 16,00

Ajude Jan a resolver esta questão. Sugerimos que as condições do problema sejam transformadas em equações. Para isso chamaremos a quantidade de arroz de e a quantidade de feijão de Qual seria a equação da massa total?

Agora, complete a tabela abaixo:

2 3 4 5 6 7

Assim, podemos observar que o preço total é dado por :

( equação do preço total)

34

e) Que relação existe entre estes pontos comuns e o conjunto das raízes de cada equação? f) Se você tomar qualquer solução de uma equação, ela será também solução da outra? 21) Represente graficamente, no quadriculado abaixo, a solução de cada uma das equações abaixo:

a) m2 - 1 = h b) 4 + x = 3y

Você deve ter encontrado a seguinte equação para as massas:

Gere, para esta equação, uma outra tabela como a que você preencheu acima e proceda do mesmo jeito transportando os valores para o mesmo plano cartesiano ao lado. Agora responda? a) Os pontos relativos à primeira tabela

estão alinhados? ( Use uma régua para verificar.)

b) E os pontos da segunda tabela? c) Trace duas retas, uma que contenha os

pontos da primeira tabela e outra que contenha os da segunda.

d) Há pontos comuns às duas tabelas?

Quais?

Marque os valores obtidos no plano cartesiano abaixo.

35

22) O gráfico abaixo representa todas as soluções da equação v = 12 – 3t, onde t está definido para o universo de números compreendidos entre 0 e 4, e v para todos os números compreen-didos entre 0 e 12.

a) O grupo deve investigar o conjunto solução dessa equação para responder as questões seguintes:

I. Quais dos pontos abaixo são soluções da equação?

(3,3), (2,2), (0,4) ou (0,12)

II. Qual a ordenada do ponto que tem abscissa 1 e é solução da equação?

III. Qual a abscissa do ponto que tem ordenada 1 e é solução da equação?

b) Suponha que essa equação expressa a velocidade (v) de um móvel em função do tempo (t). O tempo contado em horas e a velocidade em km/h. Suponha que o tempo zero signifique o momento em que começamos a observar este móvel.

I. A que velocidade está o móvel no momento em que começa a observação de seu movimento?

II. Qual a velocidade do móvel depois de uma hora e meia de observação?

III. O móvel está parado em algum instante descrito pelo gráfico? Qual?

IV. Qual seria o significado da solução (2,6) para a situação descrita?

V. Descreva o movimento do móvel no intervalo de tempo descrito pelo gráfico.

23) Considere os dois gráficos dados abaixo. O grupo irá discutir a seguinte situação:

Suponha que essa equação expressa os lucros em dinheiro em milhares de reais (y) que uma empresa tenha ganho durante o tempo contado em anos (x). Suponha que o tempo zero signifique o momento de uma grande reforma que se deu na administração desta empresa. Portanto, o tempo negativo significaria o tempo decorrido antes da tal reforma. A discussão será

•

•

12

4

6

2

t

v

36

feita no sentido de entender se esta reforma administrativa contribuiu ou não para um aumento no lucro da empresa durante os seis primeiros meses após a implementação da reforma administrativa.

UNIDADE 3 – ÂNGULOS Um pouco de história:

COMO E QUANDO SURGIU A GEOMETRIA??? Afirmações sobre as origens da matemática, seja da aritmética, seja da geometria, são necessariamente arriscadas, pois os primórdios do assunto são mais antigos que a arte de escrever. Hoje sabemos que a matemática surgiu, originalmente, como parte diária da vida do homem. Temos registros de desenhos geométricos primitivos aproximadamente 25.000 (vinte e cinco mil) anos atrás. Os babilônios, povo que habitou a mesopotâmia, desde o ano 2000 ªC., já possuíam um considerável conhecimento sobre geometria com aplicações em diversas áreas do conhecimento podemos citar a arquitetura e a astronomia. No Egito por volta de 1300 a.C. a geometria era utilizada de diversas maneiras. A determinação correta da medida de terrenos que freqüentemente sofriam as inundações do rio Nilo e a construção de grandes pirâmides demonstram como os egípcios conheciam muito de geometria. A geometria utilizada pelos babilônicos e pelos egípcios era bem desenvolvida porém era experimental e voltada para aplicações específicas. Por volta de 600 a.C., filósofos e matemáticos gregos, entre os quais devemos citar Tales de Mileto e Pitágoras de Samos passaram a organizar os conhecimentos geométricos da época em termos de princípios gerais. Os gregos foram os primeiros a introduzir o raciocínio dedutivo apoiado em princípios e regras gerais. O grande passo dado na geometria foi realizado por Euclides. Por volta de 300 a.C. Euclides organizou os conhecimentos geométricos da época com ordem lógica, estudando as propriedades das figuras geométricas, as áreas e os volumes. Esta obra possui treze volumes e recebeu o título “Elementos”. Nesta maravilhosa obra a geometria é apresentada de forma dedutiva com desenvolvimento baseado em conceitos intuitivos: os axiomas e os postulados. Por esses motivos esta importante parte da matemática é conhecida como “Geometria

Empresa A

Empresa B

y (LUCRO)

x (TEMPO)

1

1

37

Euclidiana”. Além disso, as denominações Geometria Plana ou simplesmente Geometria também são comuns em diversos livros. Hoje nós estudamos a mesma geometria que Euclides divulgou a mais de 2000 anos, sendo que apenas a forma ou a linguagem são um pouco diferentes. Ainda sobre os “Elementos”: desde sua produção até hoje já teve mais de mil edições. É considerado o segundo livro (obra) mais editado em todos os tempos, só perdendo para a Bíblia. Bem.. você já percebeu o significado da contribuição dada pelos gregos a geometria. Não é à toa que até hoje usamos muitas letras do alfabeto grego em matemática e geometria. Abaixo segue o alfabeto grego que com certeza será muito útil sempre que você precisar identificar o nome de uma letra grega. letra Alfa Beta Gama Delta Épsilon Dzeta Eta Teta Iota Capa Lambda Mi maiúscula Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ minúscula α β γ δ ε ς η θ ι κ λ µ

letra Ni Csi Ômicron Pi Rô Sigma Tau Ípsilon Fi Qui Psi Ômega

maiúscula Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ φ Χ ψ Ω minúscula ν ξ ο π ρ σ τ υ ϑ χ Ψ ω

CONTRIBUIÇÃO DO LICENCIANDO ARTUR KENNEDY (2002/1) ATIVIDADE 1 - Ângulos com dobraduras • material necessário: papel, lápis de cor e régua.

a) Tome uma folha de papel. Dobre-a, de modo que as bordas da folha não coincidam, vinque bem. Abra a folha.

Que figura geométrica a linha de dobra sugere?

b) Abra a folha de dobre-a novamente de forma que não coincida com a dobra anterior mas a intercepte.

c) Quantos ângulos as linhas de dobras determinam no papel? d) Há ângulos iguais? Quais? e) Que figura geométrica cada região sugere? f) Dobre o papel pelo ponto de interseção das linhas de dobras e de tal maneira que uma linha

fique sobre a outra. g) O que você conclui? Justifique. h) Faça um desenho correspondente. i) Determine o valor da medida de cada ângulo α nas figuras abaixo:

38

ATIVIDADE 2 a) Tome uma tira de papel de lados paralelos e faça nela uma dobra inclinada de modo que

forme ângulos com os dois maiores lados paralelos. b) Abra a tira. Que elementos matemáticos sugerem: i) os maiores lados do papel? ii) A linha de dobra? c) Dobre o papel pela linha de dobra. Olhando apenas um lado, quantos ângulos você vê?

Quantos são formados pela linha de dobra e os maiores lados do papel? Marque-os. d) Dobrando o papel para trás, una os vértices dos ângulos marcados. e) Sem separar os vértices, abra um capuz. O que você conclui? f) Nas figuras abaixo, qual é o valor dos ângulos α e β?( considere a // b em cada caso )

α 3x

x + 70o

50o -x x + 15o α

b

β

α

10o + x

a 2x

β

α

2x + 8

x + 90o

a

b

α

a b

73o

38o

39

ATIVIDADE 3

a) Desenhe a figura que você vê na atividade 2, item b, prolongando nos dois sentidos o segmento transversal.

b) Pinte de azul os ângulos agudos que são internos em relação às retas paralelas e alternos

em relação à reta transversal. c) Que relação métrica existe entre os ângulos pintados de azul? d) Pinte de amarelo os ângulos obtusos que são internos em relação às retas paralelas e

alternos em relação à reta transversal. e) Que relação métrica existe entre os ângulos pintados de amarelo? f) Há alguma relação entre um ângulo pintado de amarelo e um ângulo pintado de azul?

Escreva-a. g) Pinte de vermelho os ângulos agudos externos e alternos. h) Pinte de verde os ângulos obtusos externos e alternos. i) Que relação métrica existe entre os ângulos pintados de verde e um pintado de vermelho? j) Num sistema de retas paralelas cortadas por transversais, que relação existe entre um

ângulo agudo e um ângulo obtuso qualquer?

Vamos dar nomes?!...

Se dois ângulos têm a mesma medida, dizemos

que eles são congruentes.

Se dois ângulos têm soma das medidas igual a 90o , dizemos que eles são complementares.

Se dois ângulos têm soma das medidas igual

a 180o , dizemos que eles são suplementares

l) Considere a figura abaixo e complete a tabela classificando os pares de ângulos: i) Usando as palavra alternos ou colaterais e internos ou externos ii) Usando as palavras congruentes ou suplementares.

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Ângulos Alternos / colaterais Internos / externos Suplementares / congruentes

α e θ α e µ δ e λ ε e λ β e µ ε e ϕ

LEI ANGULAR DE TALES ATIVIDADE EM GRUPO 1) Cada elemento do grupo irá desenhar um triângulo. Os alunos farão construções bem

variadas. Por exemplo: Vocês farão um triângulo eqüilátero, um escaleno ou um isósceles, que poderão também ser acutângulo, retângulo ou obtusângulo. Recortar o triângulo construído.

2) Utilizando cores diferentes cada aluno irá destacar os ângulos de seu triangulo, pintando-os como na figura abaixo.

3) Cada elemento irá recortar a sua figura, dividindo – a em três pedaços e separando os ângulos assim:

α β

δ ε

φ λ

θ µ

41

4) Arrumem os pedaços obtidos anteriormente, encostando os lados dos ângulos destacados. O que vocês observaram _______________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5) Escrevam, então, a LEI ANGULAR DE TALES: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6) Tentem, agora, a demonstração (formal) desta lei. Sugestão: a – Use as propriedades obtidas quando discutimos retas paralelas cortadas por transversais. b - Trace uma reta paralela a um dos lados do triângulo que passe pelo vértice oposto a esse lado

7 ) Resolva:

a) Dois ângulos de um triângulo isósceles medem ( 3x - 15 )o e ( x + 13 )o. Quais os possíveis valores de x? ( Obs. Esta questão tem mais de uma solução) b) Os ângulos formados pela altura, relativa ao lado distinto de um triângulo isósceles, e cada lado congruente medem respectivamente ( 4x - 35 )o e ( x + 8 )o . Qual o valor de x? Quanto mede os ângulos deste triângulo?

8) Considere o triângulo ABC abaixo e determine a medida dos seus ângulos internos.

9) Sabendo que r // s, calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC.

A

C B

x + 10o

x + 20o

110°

AA

r

s C B

x 124o 2x – 8

o

42

10) Sabendo que a figura desenhada abaixo é um paralelogramo, determine:

a) os valores de x e y; b) as medidas dos ângulos do paralelogramo.

11) Calcule o valor de x e y considerando as expressões das medidas dos ângulos indicados na figura e que r // s e a // b. SISTEMA SEXAGESIMAL DE UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS Um pouco de história:

Hiparco, em grego Hipparkhos, astrônomo e matemático do séc. II a.C., nasceu em Nicéia, na Bitínia. Viveu em Alexandria, mas trabalhou sobretudo em Rodes, entre 161 a 126 a.C. Destacou-se pelo método e rigor de suas observações. Criou instrumentos tecnicamente aperfeiçoados que lhe permitiram elaborar um catálogo de aproximadamente oitenta estrelas. Determinou as coordenadas celestes de cada uma e as dividiu em seis grandezas, de acordo com sua luminosidade. Essa pesquisa foi inspirada pela descoberta (134 a.C.) de uma estrela nova. Hiparco é um dos cientistas mais representativos da época Alexandrina. Inventa um dioptro especial para medir as variações no diâmetro aparente do Sol e da Lua e introduz na Grécia a divisão do círculo em 360º, cada um divisível em 60 minutos de 60 segundos, sistema inventado pelos babilônios. Os Babilônios não haviam escolhido a base 60 por acaso, o nº 60 tem muitos divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60; e pode ser facilmente decomposto num produto de fatores, o que facilita muito os cálculos, principalmente as divisões. Por esse motivo Hiparco escolheu um múltiplo de 60 ao dividir a circunferência. Cada uma das 360 partes iguais em que a circunferência foi dividida recebeu o nome de arco de 1 grau. Cada arco de 1

y x + 5º

2 x – 30o

r

s

a b

x + 20o

4 x + 80o

y

43

grau foi dividido em 60 partes iguais e cada uma dessas partes recebeu o nome de arco 1 minuto. Cada arco de 1 minuto também foi dividido em 60 arcos de 1 segundo. 1 minuto = 1’ 1 segundo = 1” Dividindo o diâmetro do círculo em 120 partes, determina, pelo cálculo, e não simplesmente por aproximações práticas, o valor das cordas com relação às diversas partes do diâmetro.

Empreende uma formulação primitiva da trigonometria; estabelece uma tabela de cordas de modo a facilitar os cálculos astronômicos que exigem recurso aos diversos valores destas e desenvolve um método para a solução dos triângulos esféricos. No campo da geometria plana, elabora teorema conhecido como o teorema de Ptolomeu. Principais invenções e descobertas:

• Determinou as coordenadas celestes de cada estrela, e dividiu-as em seis grandezas, de acordo com sua luminosidade;

• Calculou a duração do ano com aproximação de seis minutos e trinta segundos; • Utilizou a matemática para determinação de locais na superfície terrestre; • Inaugurou o sistema de localização por latitude e longitude; • Se influenciou pela matemática da Babilônia, com isso, como os Babilônicos, acreditava

que a melhor base para realizar contagens era a base 60.

CONTRIBUIÇÃO DO LICENCIANDO ALEXANDRE PUGA COSTA (2002/1) Medida de um ângulo: O instrumento usado para medir ângulos é o transferidor. A unidade de medida usada é o grau, cujo símbolo é: “ º “. O grau tem dois submúltiplos: o minuto e o segundo.

• 1 grau tem 60 minutos (indica-se: 1º = 60’). • 1 minuto tem 60 segundos (indica-se: 1’ = 60”).

Exemplo:

• Um Ângulo de 15 graus e 40 minutos é indicado simbolicamente por: 15º 40’. • Um ângulo de 15 graus , 40 minutos e 20 segundos é indicado simbolicamente por 15º 40’

20”.

44

ATIVIDADE 1 1) Determine em cada caso as medidas dos ângulos indicados por a, b e c: 2) Encontre o valor da variável x e todos os ângulos formados:

a

35º 25’10”

a) r // s

31º 45’ 28” c b

a

d)

10º 40’ 29”

b

b)

20º 30’ 10” 38º 45’ 55” c

c) a

s // t

106º 30’

36º 45’

s t e)

r // s

4x + 17º s

2x r

a) t // u

x + 20º u

4x t

b)

45

3) Determine em cada caso a medida do ângulo AÔB considerando a = 18º 32’46” e b = 23º 49’ 51”: 4) Considerando a 18º 32’48”, encontre:

a) 3a b) 2a – 10º 45” c) 6a + 15º 28’ 31” d) a/4

UNIDADE 4 – POLÍGONOS ATIVIDADE 1 - FUTEBOL E MATEMÁTICA

Peco e Zilé são dois irmãos fanáticos por futebol. Peco, o mais velho, é fã incondicional de Pelé e Zico. Zilé, por sua vez é fã de Zico e Pelé. Dizem que os nomes deles não são bem estes, que seriam apenas apelidos, só que ninguém sabe por quê nem usam seus verdadeiros nomes. De tanto Peco e Zilé falarem de futebol e de seus ídolos, seu professor resolveu dedicar uma aula de matemática ao futebol. Vamos ver como ficou. Um menino e uma bola! Cena comum nas ruas e praças do Brasil. No entanto falta alguma coisa. O menino faz tudo: embaixadinhas, cabeçadas, chutes, malabarismo, etc. No entanto, a parte mais importante do futebol ele não pode fazer: “o passe”. Isto é: um menino e uma bola tem zero passe a fazer. 1. Se Peco e Zilé estivessem brincando juntos, quantos passes diferentes eles poderiam

realizar? 2. E se fossem três meninos? 3. Determine agora quanto passes distintos podem fazer quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e

dez meninos. 4. Na turma de Peco e Zilé tem 15 meninas e 16 meninos. Quantos passes diferentes as

meninas podem realizar? E os meninos? E a turma toda? 5. Faça uma adaptação do item anterior à sua turma. 6. Coloque todos os resultados anteriores na tabela abaixo.

b)

A

B

a a

a 0

a)

A

B

a b 0

c)

A

B

a

b 0

46

No de meninos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 16 31

No de passes de cada menino

No de passes totais

7. Faça uma generalização, imagine que o número de futebolista é n, qual seria o número de passes P?

8. Imagine, agora, que as crianças formem uma roda e não se movimentem, mas realizem todos os passes possíveis. Quantos caminhos diferentes a bola pode percorrer se o número de meninos é:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e)7 f) 8

g) 9 h) 10 i) 20 j) 50 l) 100 m) x

Já que estamos gostando de imaginar coisas vamos colocar uma regra na brincadeira. “Quem está com a bola não pode passar para os vizinhos”. Com esta nova regra responda:

É possível brincar com apenas 2 jogadores? Por quê?

E com três?

Quantos passes cada jogador poderia efetuar se o número de jogadores que estão jogando é;

Quantos passes diferentes poderiam ser realizados em cada caso?

Quantos caminhos diferentes a bola poderia percorrer?

Que relação existe entre o número de passes realizados e o número de caminhos percorridos?

Complete a tabela abaixo:

No de jogadores 3 4 5 6 7 8 9 10 15 16 31 n No de passes por jogador

No total de passes No de caminhos

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 f) 9 g) 10 h) 15 i) 16 j) 31

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Atividade 1.1 - Confecção de um objeto bonito em grupo Material Empregado: isopor 20cm x 20cm x 1,5 cm. cartolina colorida 20cm x 20cm alfinetes com uma bolinha plástica colorida cola isopor cola plástica linha 10 ou linha de bordar colorida régua lápis borracha transferidor compasso tesoura CONFECÇÃO DE UMA PEÇA EM QUE MATEMÁTICA E ARTE ESTEJAM PRESENTES. - Desenhar na cartolina um polígono de n lados inscrito numa circunferência. - Cada aluno escolhe o número de lados. - Desenhar uma circunferência com 10cm de raio

- Dividir em n partes iguais, desenhando ângulos centrais de medida o

n360

.

- Quando o quociente n360o

é inteiro teremos um polígono regular.

- Quando o quociente não é inteiro, faz-se aproximações.

Ex: n =11 11

360o

= 32º 30’ logo faz-se um ângulo central com 32o e outro com 33o

alternadamente. Pequenas aproximações não prejudicam a beleza da peça . O polígono porém não é regular.

- Apagar o desenho feito, porém marcando apenas os vértices. - Colar a cartolina no isopor e em cada vértice colocar um alfinete

colorido. - A proposta agora é construir todas as diagonais do polígono - com a linha. - Fixar um alfinete para início do trabalho, dar um nó na linha e colar. - Não vale construir a mesma diagonal duas vezes. - Traçar todas as diagonais até construir a última , sem cortar a linha. - Partir do primeiro alfinete construindo as diagonais sempre no mesmo sentido. - Num dado momento o aluno que escolher um número par de lados observa que num

determinado alfinete e não tem como continuar. - Conjecture: - Por que é que se n é ímpar, o processo constrói todas as diagonais e quando n é par, não? - No caso de n par pode-se cortar e amarrar a linha no alfinete dando um nó,

e recomeçar com outra diagonal ou ligar dois vértices vizinhos e fazer a distinção entre lado e diagonal.

- Se n é ímpar você pode traçar os lados com linha de outra cor. - Responda: Quantas partem de cada vértice? - Por quê?

2015 ≤≤ n

OBS: Diagonal é o segmento de reta que tem extremidades em dois vértices não consecutivos

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- Quantas diagonais têm seu polígono? - Cada um faz as contas para o seu trabalho. n é uma variável que se substitui pelo número de lados. - Pergunta-se: - A fórmula vale para um polígono convexo não regular? - Observando os trabalhos, no centro de alguns polígonos aparece um espaço - e em outros não. - Por que isto acontece? - Outra pergunta: - Quando n é par , quantas diagonais passam pelo centro? - E o que acontece quando n é ímpar? - Que outras figuras pode se visualizar na sua obra de arte?

Atividade 1.2 – Polígonos e suas diagonais 1) Calcule o número de diagonais de um polígono convexo de:

a) 6 lados b) 9 lados 2) Um segmento que liga dois vértices de um polígono convexo pode ser um de seus lados ou

uma de suas diagonais. Em um polígono convexo de 11 lados, quantos são os segmentos que ligam dois de seus vértices?

3) Considere todos os segmentos que ligam dois vértices de um polígono convexo de n lados. Quantos são esses segmentos? Responda, usando uma expressão algébrica.

4) a) Seis pontos dividem uma circunferência em seis partes iguais. Eles são os vértices de um

polígono convexo. Quantas diagonais desse polígono passam pelo centro da circunferência?

b) Cinco pontos dividem uma circunferência em cinco partes iguais. Eles são os vértices de um polígono convexo. Quantas diagonais desse polígono passam pelo centro da circunferência?

5) Considere n pontos que dividem uma circunferência em n partes iguais. Esses pontos são

vértices de um polígono convexo. Nesse polígono, o número de diagonais que passam pelo centro da circunferência será indicado por D. a) No caso em que n é par, escreva a fórmula de D. b) No caso em que n é ímpar, o que se pode afirmar de D?

6) Quatro times de futebol, A, B, C e D vão disputar um torneio. Jogam

todos contra todos uma só vez. Veja como esses jogos podem ser representados geometricamente.

a) Quantos jogos haverá no torneio?

A

C

B D

49

b) Quantos jogos haveria se o torneio fosse disputado por 12 times?

7) Diagonais e apertos de mão: Numa festa de aniversário, os convidados foram chegando e cumprimentando os outros convidados com um aperto de mão. Cada um cumprimentou o outro uma só vez. Eram 20 convidados. Pergunta-se:

• Quantos apertos de mão foram dados? • Se fossem n pessoas, qual seria a fórmula do número de apertos de mão? • Existem procedimentos em comum para chegar nessa fórmula e na fórmula do número de

diagonais de um polígono? SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO 1) Usando o transferidor, encontre os ângulos internos dos polígonos abaixo para cada figura.

Some as medidas obtidas:

50

2) Considerando os polígonos acima. Faça um estudo sobre as diagonais e ângulos de cada polígono e complete a tabela abaixo:

Nome do Polígono

Número

de vértices

No de diagonais traçadas de um mesmo vértice

Quantidade de triângulos obtidos pelas diagonais traçadas de

um mesmo vértice

Soma das medidas ângulos internos

Medida do ângulo interno

do polígono regular

3) Observe o polígono ao lado: a) Qual é o seu nome? b) Este polígono é regular? Por quê? c) Quantas diagonais podemos traçar de apenas um vértice? d) Quantos triângulos obtermos quando traçamos estas diagonais? e) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono? f) Se o polígono fosse outro, com n lados, quantas seriam as diagonais traçadas de apenas um vértice? g) Qual seria a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono de n lados? h) Se esse polígono de n lados fosse regular, qual a medida de seu ângulo interno? i) Fizemos todas as atividades acima com polígonos convexos. As conclusões também são válidas para polígonos não convexos? Justifique sua resposta.

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UNIDADE 5 – ÁREAS, PERÍMETROS E VOLUMES

Atividade 1 ) Considere as figuras:

a) Dê a área das figuras acima usando, como unidade de área uma quadrícula: b) Idem, para a unidade de área ao lado formada por duas quadrículas. c) Dê o perímetro de cada figura usando, para medida de comprimento, o segmento: d) Idem, para o segmento: Comentário: Você deve ter notado que a unidade de área que usamos, para medir a área, é um quadradinho que tem como lado a medida de comprimento, que usamos para medir o comprimento. Isto em relação aos itens a e c. Responda: i) Quando você dobrou a unidade de área, o que aconteceu com a medida da área? ii) Quando você dobrou a unidade de comprimento, o que aconteceu com a medida do perímetro? iii) Crie uma unidade de área quadrada que tenha como lado a unidade de comprimento o segmento do item d. Isto é, o dobro da unidade de comprimento do item c. Qual a área de cada figura nesta nova unidade? iv) O que aconteceu com a medida da área, de cada figura, quando você dobrou a unidade de comprimento?

Figura 1

Figura 6

Figura 5

Figura 4

Figura 3

Figura 2

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v) Nas figuras acima, algumas são retângulos. Você consegue descobrir uma maneira de calcular área de retângulos? Descreva este procedimento. Atividade 2) Nas figuras abaixo as medidas não estão em VG. Determine a área e o perímetro de cada uma. 11cm D 12cm C a) b) 6cm 10cm 8cm A H B AB // CD e AD // BC

Atividade 3) Se você conseguiu resolver a atividade anterior sem problemas, parabéns! Mesmo assim, sugiro que você faça esta atividade: a) Desenhe em uma folha de papel, em VG, a figura do item b.

b) Recorte-a com uma tesoura.

c) Recorte a figura, paralelogramo, pelo DH .

d) Que relação existe entre a área do paralelogramo inicial e a soma das áreas das duas novas

figuras? e) Junte as duas novas figuras, triângulo e trapézio retângulo, de modo a formar um retângulo.

f) Descreva um procedimento para calcular a área de um paralelogramo. Atividade 4) Recorte dois triângulos congruentes. (Triângulos congruentes têm lados congruentes dois a dois, isto é: um lado de um é congruente a pelo menos um lado do outro.) a) Eles têm a mesma área? b) Com estes dois triângulos é possível formar um paralelogramo? c) Que relação existe entre a área deste paralelogramo e a área do triângulo? d) Descreva um procedimento para calcular a área de um triângulo.

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Atividade 5 ) O trapézio é qualquer quadrilátero que tenha dois lados paralelos. a) Desenhe dois trapézios congruentes. Recorte-os e, com eles, monte um paralelogramo. b)Seguindo raciocínios anteriores, descreva uma estratégia para calcular a área de um trapézio.

Atividade 6 ) Encontre uma maneira de calcular a área do quadrilátero que tem os quatro lados congruentes. Qualquer quadrilátero com esta característica chama-se: losango. Sugestão: Desenhe um destes quadriláteros, recorte-o e ...

Atividade 7 ) Dê uma expressão para o perímetro e outra para a área de cada figura abaixo: a) b) a c y h x b c) A B d) P m Q x h r h y C y D R S AB // CD e AC // BD PQ // RS e) x + 5 f) 2x + 3 x - 1 4 cm g) x 5 cm x

Atividade 8) Observe com atenção uma caixa de fósforo abaixo:

1) Quantos retângulos encontramos na superfície dessa caixa ?_______________________ 2) Todos os retângulos possuem a mesma área? ___________________________________

2 cm

2m

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3) Pode acontecer que todos os retângulos da superfície da caixa possuírem a mesma área? _________________________________________________________________________ Chamemos então, as áreas dos retângulos que formam a superfície da caixa de A1, A2 e A3 conforme a figura: 4) Quanto vale a medida da superfície da caixa? ___________________________________ 5) Se colocarmos a caixa na mesa com o retângulo A1 apoiado na mesa, quanto vale a soma das áreas dos retângulos visíveis? _________________________________________ 6) E se colocarmos retângulo A2 na mesa, quanto é a soma das áreas dos retângulos visíveis?__________________________________________________________________ 7) Compare os resultados obtidos nos ítens 5 e 6. Qual das duas somas é maior? _________________________________________________________________________ 8) E se colocarmos A3 na mesa, a soma das áreas dos retângulos visíveis seria maior?_____ Justifique:_________________________________________________________________ 9) Coloque as áreas A1, A2 e A3 em ordem crescente. Agora formaremos paralelepípedos com 2 caixas de fósforos. Para formar um paralelepípedo, junte 2 caixas de modo que os retângulos de mesma área fiquem sobrepostos. 10) De quantas maneiras podemos fazê-lo? ______________________________________ 11) Desenhe todos os paralelepípedos assim obtidos: Qual o volume de cada paralelepípedo? ________________________________________________ 12) Qual é a medida da superfície de cada um dos paralelepípedos?___________________ _________________________________________________________________________ 13) Qual dessas áreas é maior? ___________ Justifique:____________________________ _________________________________________________________________________ 14) Em qual deles se gasta menos papel para se embrulhar o paralelepípedo? ____________ Por quê?__________________________________________________________________

A2 A3

A1

55

15) O que é necessário para se obter o paralelepípedo com a menor área ?______________

REVENDO O QUE FOI APRENDIDO

1) Decalque e recorte os triângulos que estão na folha seguinte, tente formar, com eles,

paralelogramos. a) Quantos diferentes paralelogramos você conseguiu?____________________________ b) Que relação existe entre a área de um dos triângulos com a área do paralelogramo por ele

formado?____________________________________________________________ c) Que comprimento você precisa conhecer para calcular a área de um paralelogramo? _________________________________________________________________________ d) Como é possível calcular a área de um triângulo? Justifique. 2) Considere o paralelogramo ABCD: a) Calcule o perímetro de ABCD; b) Calcule a área de ABCD; c) Calcule a área de CDE.

5cm

6cm

6cm

4cm

C

E D

A

BB

B

56

3) Calcule a área de cada uma das figuras 4) Observe com atenção a figura abaixo . Calcule: a) Perímetro do paralelogramo; b) Perímetro do triângulo ADC; c) Área do paralelogramo; d) Área do triângulo ABC. 5) Se for informado a medida do segmento AB, destaque o segmento cuja a medida é

necessária para calcular área dos paralelogramos abaixo: 6) Faça o mesmo para os triângulos.

5cm

4cm

4cm

7cm 2cm

5cm

6cm

7cm

4cm 3cm

5cm B

C

A

D

A B

B

A

B

A A B B

A

2,4cm

57

7) Encontre a área e o perímetro da figura abaixo que não está em VG. Leve em conta as medidas dadas. a) 8) Considere o paralelogramo ABCD:

a) Se AP é perpendicular ao lado BC, o que você pode dizer de AP em relação ao lado AD?______________________ __________________________________________________ b) Trace um outro segmento que também seja perpendicular a BC e com extremidade no ponto C. c) Trace um segmento AS tal que seja perpendicular a DC.

OBS: Dizemos que cada um dos segmentos citados mede a distância entre dois lados paralelos tal distância recebe o nome de altura do paralelogramo.

9) No desenho ao lado, vemos a mesma distância representada por vários segmento. Dizemos que a altura do paralelogramo referente ao lado PQ (ou MN ) pode ser representada por qualquer um dos desses segmentos. a) Trace um segmento que represente a altura do paralelogramo, relativa aos lados MQ e NP. b) Quantas alturas possui um paralelogramo? _____________________________________________________

10) O desenho está mostrando como determinar uma das alturas desse paralelogramo, trace você um outro segmento que mostre a outra altura do paralelogramo.

B

A P

C

D N

P Q

M

3 cm

9 cm

6 cm

4 cm

58

11) Considere a figura desenhada abaixo. Sabendo que todos os quadriláteros que a compõem são paralelogramos, calcule as áreas de cada uma das 4 figuras que a compõe. 12) Eu informo que a figura abaixo é um losango e que DE = 2cm e AE = 3cm.

a) Complete: med (DÊA) = _____ med (BÊA)= _____ b) Qual o comprimento de cada diagonal? __________________________________________________ c) Tente montar um retângulo que tenha a mesma área que o

losango.

d) Sabendo as medidas das diagonais, é possível calcular a área do losango? Explique.

__________________________________________________

13) Para cada um dos itens abaixo, desenhe pelo menos dois exemplos de polígonos que satisfaça as condições exigidas: a) Um quadrilátero não convexo. b) Um trapézio retângulo. d) Um triângulo retângulo isósceles e) Um quadrilátero que tem dois lados iguais e não paralelos. 14) Use seu material de desenho para construir as figuras abaixo e avalie em cada caso se a solução é única: a) Um triângulo isósceles com lado maior medindo 8 cm e um ângulo de 125º. b) Um paralelogramo com todos os lados medindo 4 cm e um ângulo de 80o. 15) No plano cartesiano abaixo, faça o que se pede abaixo: a) Desenhe o losango ABCD sendo A(-3,-1), B(0,-3) e D(0,1). b) Encontre as coordenadas do ponto C. c) Encontre a área do losango ABCD. d) Trace a diagonal menor do losango ABCD e considere o triângulo BDE onde E é o ponto

(3,5). Encontre a área do triângulo BDE. e) Trace o paralelogramo BDEF.

6 cm

7 cm

3 cm

4 cm

E

D

C A

B

59

f) Encontre a área do paralelogramo BDEF.

UNIDADE 6 – CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS MATERIAL:

• Papel transparente (do tipo manteiga ou similar) • Régua • Compasso • Transferidor

Obs: Todos os desenhos devem ser feitos no papel transparente Atividades: 1) Construa um triângulo ABC de lados 4cm, 5cm, e 7cm.

a) Comece traçando cmAB 4= . Com o compasso em A e abertura de 5cm, trace um arco. Com o compasso em B, abertura de 7cm, trace outro arco. O vértice C do triângulo fica determinado pela interseção dos dois arcos marcados.

b) Repita a construção começando com o lado de 5cm.

c) Repita a construção começando com o lado de 7cm.

d) Verifique se os três triângulos construídos são congruentes. Use papel transparente se achar necessário.

e) É possível construir um triângulo com as mesmas medidas para os lados que não seja

congruente aos triângulos construídos?_______________________________

60

f) Você sabe explicar por quê? ___________________________________________ _____________________________________________________________________ g) Pegue três tiras de cartolina de comprimentos diferentes, que forme um triângulo, e

prenda-os dois a dois nas pontas com alfinetes.

Observe que não é possível mudar a forma desta montagem, isto é, o triângulo é rígido.

Tente fazer o mesmo com 4 tiras, e verifique se a

estrutura também é rígida. Como a experiência mostra, com 4 tiras não há rigidez.

É por isso que nos portões de madeira sempre há uma tábua em diagonal, formando dois triângulo rígidos.

h) Portanto, dois triângulos que têm os 3 lados respectivamente congruentes ____________

________________________________________________________________________ 2) a) Construa um triângulo ABC com ângulos medindo 40°, 60° e 80°. Use o transferidor. b) Compare sei triângulo com os triângulos de seus colegas. O seu triângulo é congruente aos de seus colegas?________________________________ c) È possível encontrar triângulos não congruentes com essas características? ____________

_________________________________________________________________________ d) Por quê? __________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Dois triângulos que têm os três ângulos respectivamente congruentes têm a mesma forma, mas nem sempre têm o mesmo tamanho. Dois triângulos que têm os ângulos respectivamente congruentes são triângulos semelhantes.

61

3) a) Construir um triângulo com um lado de 6cm e um ângulo de 60°. b) Compare o triângulo que você construiu com o triângulo de seu colega. São congruentes?____________________________ c) Com as características dadas, os 3 vértices do triângulo ficam determinados? _________________________________________________________________________ d) Desenhe outro triângulo com as mesmas características que não seja congruente ao

primeiro que você construiu. È possível?________________________________________ e) Concluímos que triângulos têm apenas um lado e um ângulo respectivamente congruentes _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 4) a) Construir um triângulo com um lado medindo 5cm e um lado medindo 4cm. b) Construa outro triângulo com essas mesmas características, mudando a medida do ângulo formado por esses lados. Observe que dependendo do ângulo formado por estes dois lados, a medida do terceiro lado pode variar. c) Os dois triângulos são congruentes? ___________________________________________ d) Quando dois triângulos têm apenas dois lados respectivamente congruentes ___________ 5) a) Construir um triângulo ABC com lados de 5cm e 6cm, formando um ângulo de 50°.

Desenhe outro triângulo com as mesmas características.

b) Verifique se houve coincidência por superposição. c) È possível construir um triângulo com essas características que não seja congruente aos

triângulos construídos? ______________________________________________________ ___________________________________________________________________________ d) Com essas características, os 3 vértices ficam bem determinados ? __________________ e) Concluímos que dois triângulos que possuem dois lados e o ângulo formado por eles

respectivamente congruente __________________________________________________ ___________________________________________________________________________

6) a) Construir um triângulo com ângulos de 40º e 80° , de modo que o lado comum a esses ângulos meça 5 cm .

b) Os 3 vértices do triângulo ficam determinados pelos 3 elementos dados ? ______________ ___________________________________________________________________________

c) É possível construir outro triângulo com as mesmas características que não seja congru-ente ao triângulo construído? ______________

62

d) Concluímos que dois triângulos que possuem ângulos e o lado comum a eles respec-tivamente congruentes ________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

7) Registre, na tabela abaixo, as conclusões tiradas sobre os triângulos construídos nos itens

(1) a (6) :

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

Nº de lados dados 3

Nº de ângulos dados --

Ordem em que os elementos Conhecidos aparecem no triângulo LLL

Está o triângulo bem determinado? Sim

Os triângulos dos itens (1) , (5) e (6) ficaram bem determinados pelos elementos dados.

Isto significa que todos os triângulos que possuem estas características são congruentes a eles com as mesmas características. Logo, para verificar os dois triângulos são congruentes não é necessário verificar se os seis pares de elementos correspondentes nos dois triângulos são congruentes . basta verificar a congruência de três pares de elementos correspondentes , exatamente os três pares de elementos dados nos casos (1) , (5) e (6) acima.

Estes casos são chamados casos de congruência de triângulos

Dois triângulos que tem três lados respectivamente

congruentes são congruentes.

Dois triângulos que tem os dois lados e o ângulo formado por esses lados respectivamente

congruentes são congruentes.

Dois triângulos que tem um lado e os ângulos adjacente a

esse lado respectivamente congruentes são

congruentes.,

1º Caso (LLL) 2º Caso (LAL)

3º Caso (ALA)

63

Em resumo, para garantir a congruência de dois triângulos é necessário que eles tenham 3 pares de elementos correspondentes respectivamente congruentes, e que pelo menos um deles seja um lado.

8) Verifique se os pares de triângulos são congruentes, e indique o caso de congruência: a) b)

c) d)

9) Nos triângulos abaixo, os elementos correspondentes que têm a mesma medida estão assinalados. Identifique os caso de congruência que garantam a congruência dos triângulos:

a) b)

São congruentes?_____ Caso de Congruência: _____

São congruentes?_____ Caso de Congruência: _____

São congruentes?_____ Caso de Congruência: _____

São congruentes?_____ Caso de Congruência: _____

64

c) d) e) f)

10) Os pares de triângulos abaixo são congruentes. Determine o valor de x em cada caso:

a) b) c)

1,2cm

4cm

3,3cm

x x 4cm

3cm 5cm

x

4cm

3cm

5cm

65

MAIS ATIVIDADES ( CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS)

1) Estabeleça dois casos de congruência específicos para triângulos retângulos. Quantos elementos correspondentes são necessários?

2) O triângulo ABC ao lado é isósceles, pois tem dois

lados congruentes: BCAB ≡ . Seja M o ponto médio de BC , e AM a mediana relativa à base BC . Os triângulos AMB e AMC são congruentes ? _____________________________________ Por quê ?

______________________________________________________________________________________________________________________________________

Como conseqüência da congruência dos triângulos AMB e AMC, temos: a) B = _____ => os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes . b) AMB = AMC => a mediana AM também é ______________ do triângulo

isósceles, relativa à base. c) BAM = CAM => a mediana também é ____________ do ângulo do vértice do

triângulo isósceles .

3) Uma professora de artes pediu para seus alunos construírem um triângulo ABC tal que: Â = 25º , AB = 4cm e BC , = 3cm .

Tente você também. Apesar de ter dois lados e um ângulo determinados, os triângulos construídos não eram todos congruentes. Você é capaz de explicar por quê ? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4) Na figura ao lado, M é o ponto médio

de AB e CD . Pode se afirmar que :

a) ∆ MAC = ∆ MBD ? _________ Por quê ? ________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

A

B M C

A

C

M

D

B

66

b) DBAC ≡ .? ______________ Justifique : ____________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) BCAB // ? _______________

Justifique : ____________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________

5) Observe os triângulos ABC e DEF :

a) Quantos pares de elementos congruentes têm os 2 triângulos ? ___________ b) Os dois triângulos são congruentes ? ________________ c) Você sabe explicar por quê ? _________________________________

6) Use algum caso de Congruência de triângulos para justificar a propriedade: “ As diagonais

do retângulo cortam-se ao meio.” Sugestão: Mostre que ADM = BCM.

DISCUTINDO UM POUCO MAIS...... 1) Desenhe pelo menos dois triângulo com as condições indicadas em cada item: a) lados de medidas: 5cm, 6cm e 8cm b) lados de medidas: 40mm, 25mm, 50mm c) 2 lados de medidas: 5cm e 7cm e um ângulo medindo 30o d) ângulos de medidas 40o , 55o e 85o

D C

A B

M

67

e) um lado medindo 6cm e 2 ângulos de medidas: 40o e 70o f ) lados de medidas: 5cm 4cm e 11cm. 2 ) Analisando a atividade acima, arrisque algumas conclusões: a ) Em que itens vocês construíram mais de um triângulo? b ) Que relação você observou entre os lados e os ângulos de um triângulo? c) Que condições deveriam ser satisfeitas pelas medidas dos lados para que exista um triângulo? d) Que condições mínimas seriam necessárias para que dois triângulos sejam congruentes? 3) Desenhem dois triângulos isósceles distintos. Trace em cada um a altura relativa ao lado diferente. Usando compasso e transferidor responda: a) Quanto mede cada ângulo formado pela altura e um dos lados congruentes? b) Compare os segmentos determinados, no lado diferente, pela altura. O que vocês concluem? 4) Os lados de um triângulo são expressos em centímetros por 5cm, 8cm e ( 2x - 5 ) cm. Determine os possíveis valores inteiros de x.

UNIDADE 7- CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E ÂNGULOS I) Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é chamado ___________________. A distância constante é o comprimento do _________________. O raio da circunferência é um segmento de reta cujas extremidades são ____________________. Uma corda é um segmento de reta cujas extremidades são __________________. O diâmetro é uma corda que _____________________. É a maior corda da circunferência. Uma secante a uma circunferência é uma reta que ______________________________________________________. Uma tangente a uma circunferência é uma reta que _______________________________________. Tarefa: Construa uma circunferência qualquer de centro O e exemplifique nela todos os conceitos anteriores. II) Quando construímos uma circunferência e nela consideramos dois pontos distintos A e B, verificamos que a mesma ficou divida em duas partes. Desenhe a figura.

68

Cada uma dessas partes é chamada _______________________________ e os pontos A e B são as __________________________________. Indicamos o arco menor __________. E o maior, como é nomeado?_____________________

III) Ângulo CENTRAL é aquele com vértice no centro da circunferência. Construa uma circunferência de centro O e um ângulo central AÔB.

Os lados de um ângulo central determinam um arco na circunferência. Na figura anterior, ______________ é o arco determinado pelo ângulo central AÔB.

Por DEFINIÇÃO, a medida do arco menor em graus, é igual à medida do ângulo central cujos lados passam pelas extremidades do arco. A medida do arco maior, em graus, é igual à diferença entre 360º e a medida do arco menor.

Assim, na figura ao lado temos: med ( AB ) = _________ med ( AXB) = _________ Atenção: a medida em graus de um arco independe do tamanho da circunferência! Justifique. EXERCÍCIOS:

1) Na figura abaixo determine a medida, em graus, dos arcos AB, CD, EF e DBF.

2) O ponto O é o centro da circunferência.

a) Se o ângulo AB mede 75º, qual a medida do arco ACB? b) Se a medida do arco BC é 175º , qual a medida do ângulo BC? c) Qual a medida de AC? d) Se a méd (DÔB) = 30º, nomeie o arco que mede 330º.

3) Determine a medida do ângulo central correspondente, sabendo que:

a) o arco é 3/8 da circunferência. b) o arco é 2/9 da circunferência.

4) Um relógio marca exatamente 5h.

a) Quanto mede o ângulo formado pelos ponteiros do relógio? b) Qual é a medida do arco maior determinado pelos ponteiros do relógio?

70º

A x

B

0 A C

B

60º

30º

D E F

0 A

C

D

B

69

IV) Outros ângulos na circunferência e suas medidas:

a) Ângulo INSCRITO Denomina-se ângulo inscrito todo ângulo que _________________________________

Medida de um ângulo inscrito – DEMONSTRAÇÃO. 1º caso: o centro O pertence a um dos lados do ângulo. Na figura acima trace o raio OB. Considere med (ℜ) = a, med (B)= b e med (BC) = x. Assinale essas medidas. O triângulo AB é __________________. Assim, a = ________ e x = __________. Logo 2º caso: o centro O é interno ao ângulo. Trace o diâmetro AD e os raios OC e OB. Represente as medidas dos ângulos usando variáveis e use a conclusão anterior para efetuar a demonstração. 3º caso: o centro O é externo ao ângulo. Use o mesmo procedimento anterior. CONCLUSÃO: Nos três casos considerados, a medida do ângulo inscrito é igual a ________________________________________________

B

C

. 0

A

.

B

C 0 A

B C

0 .

A

0 .

B

C A

70

b) Ângulo de SEGMENTO Denomina-se ângulo de segmento todo ângulo que ____________________________________________________ Medida de um ângulo de segmento - DEMONSTRAÇℜO Trace os rios PO e AO. Represente as medidas dos ângulos e use que OP é perpendicular a BP para efetuar sua demonstração. CONCLUSÃO: _______________________________________________________________

c) Ângulo EXCÊNTRICO INTERNO na circunferência.

É o ângulo formado por duas cordas que _________________________________________________________

Medida de um ângulo excêntrico interno – DEMONSTRAÇÃO Trace a corda CD, represente as medidas dos ângulos do triângulo CDP e, utilizando as conclusões anteriores, efetue a demonstração. CONCLUSÃO:__________________________________________________________________________________________________________________________________________

d) Ângulo EXCÊNTRICO EXTERNO relativo à circunferência.

1º caso:

B P

0

A

.

B

. 0

A

C D

P

. B

C

0

A

D

P

71

2º caso: 3º caso: 0 ângulo excêntrico externo é aquele que __________________________________________________________ Para demonstrar como calculamos sua medida, utilize as seguintes dicas para cada caso: 1º caso: trace BD0 2º caso: trace AB CONCLUSÃO:__________________________________________________________________________________________________________________________________________

UNIDADE 8 – EXPRESSÕES ALGÉBRICAS LADRILHAMENTO ALGÉBRICO 1) Você está recebendo o material para as atividades abaixo, explore-o. 2) Em álgebra, uma variável tal como x ou y representa, de maneira genérica, uma quantidade.

Separe uma de cada tipo das peças brancas: • vamos representar por x o comprimento do lado do maior quadrado branco. Assim, podemos dizer que a área do quadrado maior branco é .......... . • o lado maior do retângulo branco tem o mesmo comprimento do lado do quadrado branco grande? ........... . Podemos representar este lado maior do retângulo branco por x ? .......... . • e o lado menor deste retângulo branco, pode ser representado pela mesma variável x ? ......... .

.

B

C

0

A

P

.

B

0

A

P

72

em caso afirmativo, qual será a área deste retângulo? ........ • em caso negativo, chame de y esta nova medida e diga qual é a área deste retângulo? ......... . • vamos trabalhar agora com o menor quadrado branco: o lado deste quadrado coincide com o menor lado do retângulo branco? ...... . Com que variável representaremos este lado? ..... . Qual é a expressão da área do menor quadrado branco? ...... .

Trabalhemos agora com as peças de cor cinza: pegue uma de cada forma e tamanho. • o comprimento do lado do maior quadrado cinza coincide com o do maior quadrado branco? ....... . Qual a variável que representa este comprimento? ...... Qual a área deste quadrado grande cinza? ...... • o retângulo cinza é congruente ao retângulo branco? ...... . Qual a expressão da área deste retângulo cinza? ....... . • o menor quadrado cinza é congruente ao menor quadrado branco? ...... . Qual a expressão da área do menor quadrado cinza? ........ .

3) Use seus ladrilhos cinza e construa uma superfície cuja expressão da área seja: a) 4x

2

Especifique a quantidade e o tipo de peças que você usou: ..........................................................................................................................

b) 3xy Especifique a quantidade e o tipo de peças que você usou:

..........................................................................................................................

c) 2y2.

Especifique a quantidade e o tipo de peças que você usou: ..........................................................................................................................

d) 2x2 + 4xy + y

2

Especifique a quantidade e o tipo de peças que você usou: ..........................................................................................................................

e) 3x2 + 2y

2

Especifique a quantidade e o tipo de peças que você usou: ..........................................................................................................................

4) Determine a área da superfície abaixo, formada por peças de cor branca:

73

5) Designaremos um valor negativo a cada ladrilho cinza, o que permitirá a representação também de termos negativos.

Exemplos: 2x2 + ( - 2xy) ou 2x2 - 2xy Construa as superfícies conforme o combinado anteriormente:

a) 2x2 - 4xy + y2 Especifique a quantidade, a cor e o tipo de peças que você usou: .......................................................................................................................... b) x2 - y2 Especifique a quantidade, a cor e o tipo de peças que você usou: .......................................................................................................................... c) 3y2 + x2 - xy Especifique a quantidade, a cor e o tipo de peças que você usou: ..........................................................................................................................

6) Pegue uma peça branca qualquer. Pegue agora uma outra, de mesma forma e tamanho, mas

cinza. Com essas duas peças, por exemplo, podemos representar o zero .

xy - xy Obs.: xy + ( - xy ) = 0 (princípio zero)

Assim, há muitas maneiras de se representar o zero. Represente com suas peças: a) y2 - y2 b) x2 + 3y2 - x2 - 3y2 c) 3x2 - 3x2

7) Qual a menor quantidade de ladrilhos para representarmos a expressão 2x2 + 0xy + y2 ? ...... . Você pode fazê-lo com 5 ladrilhos? ..... . E com 6? ....... . E com 7 ? ......... .

Justifique suas respostas. ............................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 8) Use 10 ladrilhos para modelar a expressão 3x2 - 2xy- y2. ( Há seis diferentes maneiras para

que isto possa ser feito).

74

Registre as maneiras que você conseguiu: ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 9) Monte um desenho para mostrar que, por aplicação do princípio zero, os ladrilhos quadrado

branco grande e retângulo cinza podem ser arrumados para representar um retângulo cujas dimensões são x e x - y.

10) Descreva como estes ladrilhos podem ser arrumados para modelar um quadrado cujos lados

medem x - y. x2 - xy - xy y2 11) Como y representa um número qualquer, consideremos o caso em que y = 1, isto é, o lado

do quadrado pequeno e portanto também o menor lado do retângulo será considerado como 1. Dessa forma, represente agora as seguintes expressões algébricas:

a) 1 - 1 Especifique a quantidade, a cor e o tipo de peças que você usou: .......................................................................................................................... b) x2 - 3x + 4 Especifique a quantidade, a cor e o tipo de peças que você usou: ..........................................................................................................................

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Jorge Luís Borges ( 1899-1986), escritor argentino)

No Brasil, e em boa parte do mundo, mede-se a temperatura em graus Celsius. Já os norte-americanos usam graus Fahrenheit. Certa vez, Marcelo preparava a mala para uma viagem a Washington, quando ficou em dúvida sobre o tipo de roupa levar. Via Internet, soube que a temperatura na capital americana era de 77o F. Para transformar esse valor em grau Celsius, ele usou esta fórmula:

75

C F= −( ).32 59

a ) Qual era a temperatura em graus Celsius em Washington? b ) Wendy, que mora em Nova Iorque e desejava passar férias em Fortaleza, também usou a rede de comunicações e descobriu que a temperatura na capital do Ceará era de 32o C. Esse valor corresponde a quantos graus Fahrenheit?

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E TANGRANS ATIVIDADE 1

É comum, em matemática, representar valores desconhecidos por um símbolo. Normalmente este símbolo é uma letra. Pensando assim escolha uma letra para representar a medida de um lado do triângulo pequeno de um tangram.

1. É possível determinar o perímetro e a área desta peça usando apenas esta medida? Por

quê? 2. Caso seja preciso escolha outra letra para medir o lado desconhecido, até este momento, e

expresse estas medidas. 3. Qual é o perímetro e a área do quadrado? E do paralelogramo? E do triângulo médio? O que

é igual nestas peças? O que é diferente? A que conclusão podemos chegar? 4. Qual é o perímetro e a área do triângulo grande? 5. Qual é o perímetro e a área do tangram? ( Entendemos aqui que tangram é o quadrado

montado com as sete peças) 6. Você usou duas letras para representar as medidas dos lados do triângulo pequeno. Que

relação há entre a medida do maior e a do menor lado? ( Obs. Há duas expressões distintas para a área do paralelogramo.)

7. Qual é o perímetro do hexágono formado pelas 7 peças do tangram? ATIVIDADE 2

A partir deste momento é necessário desenhar a figura criada, pois podem acontecer soluções diferentes e corretas. 1. Crie um paralelogramo com todas as peças do tangram. Determine o perímetro e a área. 2. Faça o mesmo para um retângulo não quadrado. 3. Há, pelo menos, dois hexágonos formado com todas as peças do tangram. Forme um e

calcule sua área e seu perímetro. 4. Faça o mesmo para outro hexágono. Eles têm o mesmo perímetro? 5. Algum dos hexágonos acima é convexo? Há um hexágono convexo formado como acima.

Qual o perímetro deste?

Sendo: F a temperatura em grau Fahrenheit C a temperatura correspondente em graus Celsius

76

ATIVIDADE 3 Tome apenas o triângulo médio e os dois triângulos pequenos para realizar os itens abaixo. 1. Construa um paralelogramo com estas peças. Calcule a área e o perímetro. 2. Faça o mesmo para um retângulo não quadrado. Há um quadrado? 3. Há ainda um trapézio e um triângulo retângulo isósceles. Não deixe de fazer o mesmo. 4. Crie um hexágono com estas três peças. Calcule a área e o perímetro. 5. Refaça as atividades acima trocando o quadrado pelo quadrado. É possível? Por quê? 6. Troque agora o triângulo médio pelo paralelogramo, ainda é possível? Há outras figuras?

Quais? Todas da tinham sido vista antes? ATIVIDADE 4 1) A figura ao lado é um polígono formado por duas peças do tangram; o triângulo pequeno e o triângulo grande. O lado pequeno do triângulo pequeno mede x e o lado maior y.

a) Qual é o nome do polígono em função do número de lados? Resposta: ______________________ b) Qual é o perímetro em função de x e y? ( Mostre os cálculos ) Resposta: ______________________ c) Qual é a área? Indique o seu raciocínio. Resposta: ______________________

2) Nas figuras abaixo, encontre um polinômio para a área e outro para o perímetro. a) b) x x - 4 x + 1 x - 1 2x + 4 x + 6 3x + 2

Se você encontrou, na figura do item f, A = 2x2 - x - 1, você acertou. Este polinômio tem três monômios e por isso nós o chamamos de trinômio. O primeiro termo deste trinômio é o monômio 2x2. Este monômio, assim como todos os outros monômios, é composto de duas partes: uma numérica 2 e outra literal x2 . Pensando nisso complete a tabela abaixo: Monômio

5xy3

- 2,5x5

xz3

5

- x2

2/3x4

Parte numérica

3

1

0

Parte literal

x2y7

xyz

x9z5

Obs. A parte numérica de cada monômio é chamada coeficiente.

77

ATIVIDADES – REVISANDO O QUE FOI DISCUTIDO

1) Observando o retângulo da figura, pede-se:

a) Qual a expressão que representa a área do retângulo 1 ?

b) Idem, do retângulo 2 .

c) Idem, do retângulo 3

d) Qual a expressão que representa a área total da figura ?

e) Quando a = 3,5 cm e b = 2 cm, qual é a área total da figura?

2) A área do pentágono menor é igual a y2,e a área do pentágono maior é igual a 4y2 . Determine a área da parte pintada. 3) Observando a figura abaixo, responda o que se pede:

a) Qual é a expressão algébrica que representa a área da região colorida da figura?

b) Qual o valor numérico dessa expressão para a = 8 cm , b = 3 cm ?

4) Um chefe de departamento de promoção de vendas nota que, quanto mais ele anuncia na televisão, mais ele vende. Ele também observa que o n.º de mercadorias vendidas durante a semana é representado pela expressão algébrica 3/2 x + 150, onde x representa o número de comerciais de televisão durante a semana. Qual será o n.º de mercadorias vendidas se formem feitos 60 comerciais de televisão durante a semana ? Em seguida, quantos comerciais deverão ser feitos para serem vendidas 600 mercadorias ?

78

5) Observando o retângulo da figura, pede-se:

2x + 3 a) A expressão algébrica reduzida que representa o perímetro desse retângulo.

3x - 1 b) O perímetro desse retângulo quando x = 6,5 cm

6) Idem para a figura :

y a) Idem ao exercício anterior

b) O perímetro para x = 2,5 cm e y = 1,5 cm

10

x x

y

10

7) Qual é a expressão algébrica que representa a área das figuras pintadas seguintes ?

a) x y b) 5 cm

x y

x

8) Neste retângulo as letras x e y representam números :

5x2y y

2y

Responda:

a) Qual é a expressão algébrica que representa o comprimento LR de LUAR ?

b) Qual é a expressão algébrica que representa a área de LUAR ?

c) Qual é a área de LUAR para x = 1,5 cm e y = 3 cm ?

U

L

A

RL

79

9) A expressão 81x5y representa a área do retângulo abaixo. Determine a expressão que representa o comprimento do retângulo.

9xy

?

10) Observando a figura (retângulo) escreva a expressão algébrica que representa a área do retângulo MODA .

M 3a 7 A

a

9

O D

11) A expressão algébrica 18 a4 - 15 a3 + 3 a2 representa a área do retângulo MNPQ , e o monômio 9 a2 representa um n.º que é a medida do lado PQ. Responda :

a) Qual é a expressão algébrica que representa a medida de NP ?

b) Quais são as medidas dos lados do MNPQ para a = 3cm ? 18 a4 - 15 a3 + 3 a2

c) Qual é a área de MNPQ para a = 3 cm?

12) Encontre a expressão algébrica mais simples que exprima o perímetro das figuras, as

medidas todas são dadas em cm. (Atenção, lados iguais estão assinalados.) a) b)

M Q

9 a2

N P

3a - b

5b – 2ab + a

5ab + b

8

x2-3x+4

2x – 2x2

6

6 – 4x – 3x2

80

c) d) 2 a + 3b -5

3 a –2b +5

6 a - 7b + 10 8 a - 6 7b + 3 5 a - 4b + 3

e)

13) Determine a expressão algébrica da medida do lado destacado, considerando a expressão da área ou do perímetro das figuras: a) A B Área: 10 a4b + 15 a2b - 15 a2b Med (AD) = _______________ D C 5 a2b b) E F 8x4y3z H G Área: 2x5y3z + 4x4y3z3 - 6x4y3z Med (EF) = _________________________

4x2 - 2x + 6

3x2 - 5x - 9 8x

20

10x

4x2

x2 + 3x + 4

3ac 8ab + 2bc

5bc – ab

7ac - 3ab

5ac

2ab + 3bc - 4ac

81

c ) 2 a + 10 a + 6 3 a - 2 G H Perímetro: 17 a med(GH) = _____________________ 4 14) Determine a expressão algébrica da área das figuras abaixo: 2x + 3y + 4 a) 2x – y - 8 b) 4 a - 2b 5 a + 3b c) 2x + 3z + 7 6y 3x - z -5 d) 5ab - 3b 2b + 4 a - 6

82

15) Determine o valor numérico de: a) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 , para x = 2 e y = -3. b) 2ab – 5ac + 4bc, para a = 1/2 , b = - 4 e c = 1/3. c) 5xy2 - 2x2y + 6xy, para x = ¼ e y = - 2. 16) As expressões algébricas que aparecem nas questões anteriores são chamadas de POLINÔMIOS. Para responder às perguntas propostas, você realizou operações com estes polinômios. Identifique que operação foi feita em cada caso e escreva que “PRINCÍPIOS” são válidos para cada uma delas.

UNIDADE 9 - FATORAÇÃO

ATIVIDADE 1) FATORAÇÃO DE UM NÚMERO Atenção aos seguintes fatos. Você já aprendeu a decompor um número em fatores primos, o número 60 decomposto em fatores primos pode ser escrito como: 60 = 2.2.3.5 Se eu tenho uma soma, posso escrevê-la da forma de produto. Observe a soma abaixo.

18 + 24 = 42 6.(3 + 4) = 6.7

• FATOR COMUM

Considere três retângulos da mesma largura a :

Área =_________ Área =________ Área =________ A soma das três áreas é_____________________________________________________________________ Ao juntarmos esses retângulos, forma-se outro retângulo, como ficará a área desse novo retângulo?

Área =________________________________

a

x y

a

z

a

a

x y z

83

ATIVIDADES 1.1) Verifique se a igualdade é verdadeira, usando o método acima: a) x² + 3x = x (x + 3) b) 24 xy + 4xz + 8x = 4x (6y + z + 2) Então se tivermos essa expressão 3xy + 9xy + 6x, como podemos fatorá-la? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ao fazermos isso, dizemos que ________ foi colocado em evidência. Obs.: Quando todos os termos de uma expressão algébrica tem um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. Exemplo a) Vamos fatorar 6x3 + 8x2 . O fator comum é ___________________________ A fatoração é muito útil para simplificar expressões em forma de fração. Verifique o fator comum da fração abaixo:

Na fração y2

4xy2 ++++ O fator comum do numerador é ___, logo ao simplificarmos a fração termos

o polinômio __________ 1.2) Faça a fatoração dos números abaixo com 2 fatores, 3 fatores e 4 fatores:

a) 300

b) 228

c) 180 1.3) Efetue esses cálculos (OBS: PENSE EM UMA MANEIRA QUE DÊ PARA FAZER “DE CABEÇA”)

a) 13 . 43 + 27 . 43 + 16 . 26 + 24 . 26 = b) 17 . 79 + 79 . 3 = 7 . 79 + 2 . 79 + 79 c) 102 . 71 + 102 . 29 - 24 . 52 - 52 . 76 =

84

1.4) Sendo a b = 8, a2 + 5 b = 24 ; fatore o polinômio a3b + 5a b2 + 4 a b e dê o valor numérico. 1.5) x y = 10 e 2 x - y = 6, quanto vale 2x2y - x y2? 1.6) Se m n2 = 14 e m + n =9, quanto vale 3 m2n2 + 3 m n3 ? 1.7) Fatore, colocando o fator comum em evidência:

a) ax - ay + a = b) 9x4 - 3x2 = c) 15 x5 - 35x2y + 25 x3 = d) 2m3 + 6my + 12m2 z = e) 10 y3z3 + y2z + 20 yz = f) x y z + x z + x = 2 4 2 g) ab + a5b3 - ab4 = 5 15 10

1.8) Fatore ao máximo as expressões algébricas abaixo:

a) 3a2b – 15ab4

b) 3x2y2 + 7x3 - + 3x4y

c) 12m3n – 20mn + 28m3n2

UNIDADE 10 – FATORAÇÃO E A RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU (MÉTODO ALGÉBRICO)

Você está recebendo, em anexo, folhas com 4 quadrados grandes, 10 retângulos e 20

quadrados pequenos. O lado do quadrado pequeno será tomado como unidade de comprimento; chamaremos essa unidade de u. Os retângulos têm o lado menor ou igual a 1u e o lado maior medindo xu. O quadrado grande tem lado igual a xu. Figuras que serão utilizadas:

xu

xu

xu

1u

1u

1u

85

Considerações • Quadrados pequenos serão tomados como unidade de área, chamada de q. • Qual a área dos retângulos? ________________________________________________ • Qual a área do quadrado grande? ____________________________________________ • Ao colocarmos uma peça ao lado da outra, estaremos somando áreas. • Ao colocarmos uma peça sobre a outra, estaremos subtraindo áreas Os exemplos abaixo representam algumas situações de composição de áreas feitas com as figuras: Obs: Como em todas as situações usaremos a mesma unidade de área, estaremos omitindo essa unidade, ou seja, no lugar de x²q escreveremos x². 1º Exemplo: Área = x²+2x 2º Exemplo: Área = x²-2x (representado pelo retângulo R) As atividades que vêm a seguir consistem em , a partir de um trinômio , construir um retângulo (ou quadrado, já que todo quadrado é retângulo) com o material recortado. Atividade 1 Componha o retângulo cuja área é representada pelo trinômio x²+3x +2. Registre suas soluções. Esboço Quantidade de peças __ quadrado __ barras __ unidades A medida dos lados do retângulo formado: Considerando que podemos representar a área desse retângulo pelo produto das medidas de seus lados, complete a igualdade: x²+3x +2 = _______________________________________________________________ Com isso, vimos que podemos substituir este trinômio do 2ºgrau pelo produto de dois binômios de 1ºgrau.

x² x x

R

86

Atividade 2 Repita a atividade anterior para o binômio x²+3x Esboço Quantidade de peças __ quadrado __ barras __ unidades Medida dos lados :__________________________________________ Área do retângulo:____x2 + 3x =______________________________________ Pesquise as composições para os polinômios abaixo. Registre suas soluções. Faça desenhos e apresente a fatoração de cada polinômio.

a) x²+2x +1

b) x²+4x +4

c) x²+4x +3

d) x²+5x +4

e) 2x²+3x +1

f) x²+x +1

g) 2x²+ 3 Responda:

Foi possível montar retângulos em todos os casos?_________________________________ Atividade 3

Para obter o retângulo R de área representada pelo trinômio 2x²-3x , teremos que usar uma peça sobre a outra pois temos uma subtração. Esboço Quantidade de peças __ quadrado __ barras __ unidades Logo o retângulo R fica com as dimensões: ___________________ Área do retângulo R: 2x2 – 3x =______________________

87

Atividade 4 Componha o retângulo R cuja área é representada pelo trinômio x²- 2x + 1. Registre sua solução. Quantidade de peças Esboço Medidas dos lados do

Retângulo R __ quadrado __ barras __ unidades Área do Retângulo R x2 – 2x + 1 = _______________ Considerando a equação x2 – 2x + 1 = 0, como ela ficará quando fatorarmos o 1o membro? A partir daí, qual a sua solução? __________________________ Por que? ______________ __________________________________________________________________________ Fatore os polinômios que estão no 1o membro das equações e determine o conjunto solução de cada uma delas:

a) x²-3x +2 = 0 b) x²-2x +1 = 0 c) x²-4x +4 = 0 d) x²-4x +3 = 0 e) 2x²-5x +3 = 0

Atividade 5 Resolver a equação x²- 1 = 0. Observe que nesse polinômio temos um quadrado menos uma unidade, e que não forma retângulo Vamos acrescentar uma barra e subtrair uma barra para conseguir o retângulo desejado

R

88

Os lados do retângulo R são (x +1) e (x -1) A área do retângulo R é (x +1) (x -1) Equação fatorada (x +1) (x -1) = 0 Resolução: Ou bem x + 1 = 0, o que implica x = -1 ou bem x – 1 = 0, o que implica x = 1 Soluções x =1 ou x = -1 S = -1,1 Atividade 6 Resolva a equação 2x²+ 3x - 5 = 0 Quantidade de peças Esboço Retângulo R __ quadrado __ barras __ unidades Área do retângulo: 2x2 + 3x – 5 = (Trinômio fatorado) Equação fatorada :__________________________________________ Soluções :__________________________________________ 1) Resolva usando o material

a) x²-4 = 0 b) x²- x - 2 = 0 c) x²-2x - 3 = 0 d) 2x²-x - 1 = 0 e) 2x²+ 3x - 2 = 0 f) 2x²+ 3x - 5 = 0

2) Encontre o conjunto solução das equações de variável x, válidas para o universo numérico dos números inteiros.

a) 3(x – 1) + 4 = 5 – (3 + 2x)

b) 3(x2 – 4) = 15

c) 3(x+4)(7x-6) = 0

d) 4x – 3x2 = 5x

e) 9x2 – 12x + 4 = 0

89

3) Considere os três retângulos dados abaixo. O lado do quadrado pequeno será tomado como unidade de comprimento; chamaremos essa unidade de u. Os retângulos têm o lado menor igual a 1u e o lado maior medindo xu. O quadrado grande tem lado igual a xu.

Faça o esboço dos retângulos que tenham a área igual a a) x2 + 5x + 6

b) x2 + 2x – 8 II. Encontre o conjunto solução das equações abaixo, por qualquer processo que escolher. c) x2 + 5x + 6 = 0

d) x2 + 2x – 8 = 0 ATIVIDADE 7) RESUMINDO O QUE FOI APRENDIDO

Você já pode concluir que todas as equações do 2o grau, após efetuadas as transformações convenientes, pode ser reduzida à forma geral:

ax2 + bx + c = 0 onde x representa a incógnita e a, b e c são coeficientes. Observe que:

a) os coeficientes b e c podem ser nulos. Neste caso a equação ficará reduzida a um ou dois termos. Estas equações serão chamadas, equações incompletas.

b) O coeficiente a não pode ser nulo, caso contrário, a equação fica reduzida a uma de 1o grau.

1) Reduza as equações à forma geral, identifique seus coeficientes, a, b e c e classifique-as em

completas ou incompletas.

a) x(7x + 2) + 4 = 2(x2 + x + 2) b) 15x2 – 7x + 3 = 3 – 4x c) 2(x2- 6) + x = x – 4 d) 5(1 – x) + (x – 3)2 = 3(x + 1) – 8x + 2 e) x2 + 12 x = 39 + 2x 2) Resolva as equações abaixo: a) 2x2 – 8 = 0 b) 3x3 = 5x2 c) 3x2 – 7x = 0 d) x2 – 14x + 49 = 0

xu

xu

xu

1u

1u

1u

90

UNIDADE 11 - TEOREMA DE PITÁGORAS

INTRODUÇÃO

1) Desenhe e recorte um triângulo retângulo escaleno (cada dupla do grupo deve desenhar um triângulo diferente)

2) Nomeie a hipotenusa (lado maior do triângulo, oposto ao ângulo reto) de a e pelas letras b e c as medidas dos catetos.

3) Recorte outros (sete) triângulos congruentes a esse primeiro.

4) Desenhe e recorte um quadrado cujo lado tenha a medida da hipotenusa. Nomeie-o com a letra A.

5) Desenhe e recorte dois quadrados: um de lado b e outro de lado c. Nomeie -os com as letras B e C, respectivamente.

6) Com o quadrado A e quatro triângulos, forme um novo quadrado. Qual a área deste novo quadrado?_________________________________________________________

Qual a medida do lado deste novo quadrado?______________________________

7) Agora, faça um novo quadrado usando os dois quadrados menores e os outros triângulos forme um novo quadrado. Qual a medida do lado deste novo quadrado, e de sua área?______________________________________________________________________

O que podemos concluir sobre as áreas dos quadrados menores quando comparados com o quadrado de lado a?_________________________________________________________ _________________________________________________________________________

Decalque, recorte e construa, com as figuras abaixo, um quebra-cabeças. Forme A com as peças obtidas em B e C.

A

T C

B B

A

C

91

TEOREMA DE PITÁGORAS - Uma Relação no triângulo retângulo 1) Considere o triângulo retângulo ABC:

a) Qual a medida do maior cateto? (use a régua) b) Quanto mede a hipotenusa? c) Mostre que para este triângulo se verifica o teorema de Pitágoras. d) Calcule a área do triângulo ABC 2) Desenhe em verdadeira grandeza, um triângulo retângulo no qual:

a) As medidas dos catetos sejam 2,5 cm e 3,2 cm. Meça a hipotenusa do triângulo construído. b) Verifique se essas três medidas conferem com o teorema de Pitágoras. c) Calcule a área desse triângulo retângulo. 3) Trace uma diagonal do retângulo desenhado.(esboço)

a) Sem usar régua calcule a medida dessa diagonal. 4) Considere que: ABCD é um paralelogramo, AE = 3 cm, BE = 4 cm e AD = 9 cm. Observando a figura e as informações dadas acima, calcule: a) O perímetro do paralelogramo. b) A área do paralelogramo. c) A área do triângulo BDC. ATIVIDADES SOBRE O TEOREMA DE PITÁGORAS

1) Calcular a área do triângulo retângulo de lados a, b e c abaixo, sabendo que a = 5m e b = 3m.

2) Sabendo-se que a área de um triângulo retângulo mede 100 cm2 e que um dos seus catetos mede 20 cm, calcule a medida de sua hipotenusa. 3) A figura abaixo mostra um edifício de 3 andares que projeta uma sombra de 3 m sobre o chão. Cada andar do edifício tem 3 m de altura. Calcule a distância do pé de um menino que se coloca no limite desta sombra até o ponto mais alto do edifício.

A

C B

8 m

6 m

.

B

A E

C

D

a b

c

92

4) Observe os triângulos ABC, DEF e RST. Para cada um deles, construa quadrados utilizando que tenham lados com a mesma medida de seus catetos e hipotenusas. No triângulo ABC, desenhamos um quadrado que tem o lado igual a sua hipotenusa. Comece construindo dois quadrados que tenham cada um o lado com a mesma medida que um dos catetos.

A

B

C

D

EF

R S

T

O que se pode concluir da experiência acima?

93

UNIDADE 12 - PROPRIEDADES DA RAIZ QUADRADA – TRABALHO COM CALCULADORA

SIMPLES Atividade 1 ) Calcule o valor das seguintes raízes ou expressões:

==⋅=⋅==

==⋅=⋅==

==⋅=⋅==

2471913)1913)19)13)

4085)85)8)5)

632)32)3)2)

mlji

hgfe

dcba

O que os resultados acima pode levar você a concluir? Atividade 2 ) Dependendo da conclusão que você obteve acima fica facílimo calcular as seguintes raízes. Portando, mãos a obra!

===

===

==×==×=

216)961)625)

441)576)729)

256)369324)916144)

ihg

fed

cba

Você observou alguma coisa estranha? Foi possível usar a sua conclusão da atividade anterior em todos os itens dessa? Atividade 3 ) Observe nos itens abaixo a quantidade de zeros do radicando e a quantidade de zeros da raiz.

====

====

1000)00025,0)04,0)6400)

3600)900)250000)1600)

hgfe

dcba

O que você concluiu? Há raiz quadrada exata de número terminado com quantidade ímpar de zeros? Nas raízes de decimais, que relação há entre a quantidade de casas decimais do radicando e da raiz?

94

UNIDADE 13 - DENSIDADE DOS RACIONAIS

ATIVIDADE 1) INVESTIGANDO O COMPORTAMENTO DOS NONOS

1) Complete a tabela com a representação decimal de cada fração.

91

= 96

= 911

= 9

16

92

= 97

= =9

12

917

=

93

= 98

= 9

13=

918

=

94

= 99

= 9

14=

919

=

95

= 9

10=

915

=

Descobriu algum padrão para estes números? Escreva suas conclusões. 2) Agora faça um estudo das frações que têm denominador 99. Escreva o que descobriu. 3) Faça, por fim, um estudo das frações que têm denominador 999. Escreva o que descobriu. Atividade 2) Desenhe um losango de lado 10 cm e nomeie-o ABCD. 1) Qual a sua área? Determine o ponto médio de cada um dos lados. Una estes pontos para formar um quadrilátero. Que quadrilátero formou? Como pode justificar? 2) Qual a área deste quadrilátero? 3) Compare a sua área, figura 2, com a área da figura 1, losango ABCD. Qual a razão entre as duas? Determine o ponto médio de cada um dos lados da figura. Desenhe o novo quadrilátero, figura 3, cujos vértices são estes pontos. 4) Qual a área da figura 3? 5) Compare sua área com a área da figura 1, o que pode afirmar? 6) É possível encontrarmos quadriláteros com este processo indefinidamente?

Por quê?

95

Desenhe o maior número de quadriláteros possíveis e compare a área de cada um deles com a área do quadriláteros ABCD. 8) Qual a razão entre estas áreas e o losango ABCD? 9) Escreva as razões entre os quadriláteros e o losango dado ABCD em ordem decrescente. Se desenhássemos um triângulo equilátero e encontrássemos o ponto médio de seus lados e uníssemos obteríamos um novo triângulo. Qual a razão entre a área do novo triângulo e a do triângulo dado? Repita o processo várias vezes e compare as áreas dos triângulos encontrados com a do triângulo inicial. O que você descobriu? Atividade 3) 1) Desenhe um segmento cujo comprimento seja igual à medida do lado do losango ABCD. Nomeie-o RS. Neste segmento, represente por pontos as frações encontradas na ficha anterior considerando o ponto R como origem. O que observou? 2) Agora, transporte com compasso o comprimento do lado de cada quadrilátero e marque-os no segmento RS. Compare cada um deles com a fração correspondente. O que observou? 3) O que concluiu? Atividade 4) 1) Marque na reta a posição do zero. Marque as frações nas retas. 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, .... a) u = 8 cm b) u = 4 cm c) u = 2 cm d) u = 1 dm O que acontece quando a medida de u muda e as frações são as mesmas?

96

2) Seja u = 4cm, marque as frações dos conjuntos dados abaixo na reta usando cores diferentes. A = 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, 6/2, 7/2,... B = 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4, 6/4, 7/4, 8/4, 9/4,... C = 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 8/8, 9/8, 10/8,... a) Existem frações marcadas no mesmo lugar? Por quê? b) O que acontece quando aumentamos o numerador das frações e mantemos o mesmo denominador? c) O que acontece quando mantemos o numerador e mudamos o denominador? d) O que você verifica em relação à origem quando mantemos o mesmo numerador e Aumentamos o denominador das frações? e) O que se pode dizer sobre as frações que estão entre 1 e 2? f) E entre 3 e 4? g) É verdade que as frações que estão entre 5 e 6 possuem o numerador maior do que 5 vezes

o valor do denominador? h) Onde está localizado, nesta reta, o número 3? i) Que frações das seqüências acima coincidem com o número 3? Por que? j) Sempre podemos marcar outra fração entre duas frações quaisquer? Dê um exemplo. k) Cite 5 frações que estão entre ¼ e 1/2. Hoje iremos usar a calculadora para encontrar a representação decimal de frações. Para isto para resolver a fração usando a calculadora deve-se: Teclar o numerador Apertar a tecla da divisão Teclar o denominador da fração Apertar a tecla igual Ler o resultado no visor. É importantíssimo que você anote a fração escolhida e a sua representação decimal para que possa fazer a análise das observações.

97

I- Determine: 12

= 62

= 112

= 162

22

= 72

= 122

= 172

=

32

= 82

= 132

= 182

=

42

= 92

= 142

= 192

=

52

= 102

= 152

=

O que observou? II- Escolha quinze frações cujo denominador seja quatro. Anote-as com sua respectiva

representação decimal. O que observou? III- Idem para os oitavos. Compare os resultados de todas as frações e verifique os pontos comuns e não comuns entre elas. Registre. IV- Dado a reta abaixo, localize as frações do exercício I em vermelho.

a) O que observou? b) Sobre a mesma reta localize em azul as frações do exercício II. c) Dentre as observações feitas quais as que se aplicariam quando localizasse os oitavos?

98

Justifique sua resposta. d) Verifique localizando-os na reta em verde. Escreva um relatório contando esta pesquisa. Neste relatório deve constar o que fez, como fez, o que observou e o que concluiu. ATIVIDADE - João e a Maria

Atividade adaptada de Baldino, R.R.(G- RIO) João e Maria perderam-se na floresta. Na estrada havia toras de madeira nos dois lados durante todo percurso. Uma bruxa, que também andava pela floresta, quando os encontrou deu-lhes uma tarefa como desafio. Se a tarefa fosse cumprida, estariam salvos, caso contrário morreriam. Cada uma das crianças deveria seguir por um dos lados da estradas . Para Maria ela disse: Maria, você pegará a primeira tora e a colocará no saco. A segunda você cortará em dois e colocará um pedaço no saco. A terceira você cortará em três e colocará um pedaço no saco. A quarta você cortará em quatro e colocará um pedaço no saco. E assim por diante. a) Quanto Maria colocará no saco? Justifique. _______________________________________ _____________________________________________________________________________ b) Represente a situação graficamente.

Ao João a bruxa deu a seguinte tarefa: A primeira tora você colocará no saco. A segunda você cortará em dois e colocará um pedaço no saco. A terceira você cortará em quatro e colocará um pedaço no saco. A quarta você cortará em oito e colocará um pedaço no saco. E assim por diante. a) Quais os pedaços que João colocará no saco?___________________________________ _________________________________________________________________________ b) Quanto ele colocará no saco? Justifique_______________________________________ _________________________________________________________________________ c) Represente graficamente. 1) Ao compararmos o que cada um colocou no saco, o que pode observar?______________ _________________________________________________________________________ 2) Quem carregará mais peso?_________________________________________________ 3) Quem chegará na casa da bruxa? Por quê?_____________________________________ _________________________________________________________________________

99

UNIDADE 14 - TRANSFORMAÇÕES NO PLANO

Atividades propostas por Silas dos Santos Lopes Ferreira

SIMETRIA

1) Encontre a figura 2, após efetuar a simetria de todos os pontos da figura 1 em relação ao eixo y, e preencha as tabelas com as coordenadas dos pontos dados e de seus respectivos pontos simétricos (A’,B’,C’,D’,E’ e F’)

A

F

B

E

CD

y

x

FIG 1 FIG 2 FIG 3 x y x y x y 2) Escolha um ponto qualquer do interior da figura 1. Chamando este ponto de G, encontre o G’ na figura 2 e acrescente nas tabelas as coordenadas desses pontos. 3) Que relação podemos observar entre as coordenadas de um ponto da figura 1 e seu simétrico na figura 2 ? Existe uma regra que permite, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da figura 1, obter-se as coordenadas do seu simétrico na figura 2. Escreva e explique esta regra. 4) Encontre a figura 3, após efetuar a simetria de todos os pontos da figura 2 em relação a ori-gem O dos eixos coordenados. Complete as tabelas com as coordenadas dos pontos simétricos A”,B”,C”,D”,E”,F” e G”.

100

5) Observe a relação entre as coordenadas de um ponto da figura 2 e de seu simétrico na figura 3. 6) Que transformação poderíamos efetuar em todos os pontos da figura 1 para obter diretamente a figura 3? 7) Observando as tabelas, esta uma regra que permita, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da figura 1, obter-se as coordenadas do seu correspondente na figura 3.

HOMOTETIA

1) Encontre a figura 2, após efetuar a homotetia de razão -2 em todos os pontos da figura 1, em relação à origem, e informe as coordenadas dos pontos dados e de seus respectivos pontos homotéticos (A’, B’, C’ e D’) nas tabelas

y

x

A B

CD

FIG 1 FIG 2 FIG 3 x y x y x y A B C D E

101

2) Escolha um ponto E qualquer da figura 1 e encontre seu ponto homotético. Informe nas tabelas as coordenadas desses pontos. 3) Tente estabelecer uma regra que permita, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da fig.1, obter-se as coordenadas de seu ponto homotético. 4) Encontre a fig.3, após efetuar a homotetia de razão -3 em todos os pontos da fig.2, em rela-ção à origem, e informe as coordenadas dos pontos homotéticos A”, B”, C”, D” e E”. 5) Estabeleça uma regra que permita, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da fig.2, obter as coordenadas de seu ponto homotético na fig.3. 6) Verifique qual transformação poderíamos efetuar em todos os pontos da fig.1 para obter dire-tamente a fig.3. Estabeleça uma regra que permita, a partir de um ponto qualquer da fig. 1, obter-se as coordenadas de seu ponto correspondente na fig.3. 7) Encontre o segmento A’B’, após efetuar a homotetia de razão 1/3 em todos os pontos do segmento AB, em relação a origem.

y

x

A

B

FIG 1 FIG 2 x y x y A B C 8) Escolha um ponto C qualquer do segmento AB, obtenha seu ponto homotético C’ no seg-mento A’B’ e informe as coordenadas desses pontos.

9) Compare o comprimento de AB e A’B’. a) Existiria algum ponto de AB que não possuísse correspondente em A’B’? b) Você acha que o segmento AB possui o mesmo número de pontos que A’B’? Discuta esta situação com seu grupo.

102

10) Para um ponto D de coordenadas (p, q) encontramos o homotético D’? Como deveriam ser suas coordenadas? 11) Construa um triângulo MNV, conhecendo-se as coordenadas dos pontos M (2, 1) e N (5, 1) . Escolha o vértice V de modo que a altura do triângulo em relação ao lado MN seja igual a 3 unidades.

y

x

12) Encontre o triângulo M’N’O’, após efetuar a homotetia de razão 3 em todos os pontos do triângulo MNO em relação a origem. 13) O que aconteceu com o lado MN do triângulo após a transformação? E com a sua altura relativa ao lado MN ? Calcule as áreas desses dois triângulos? O que você observa? 14) Encontre o triângulo M”N”O”, após efetuar a homotetia de razão 4 em todos os pontos do triângulo MNO em relação a origem. 15) O que aconteceu com o lado do triângulo após essa transformação? E com a sua altura relativa ao lado MN? Calcule a área do triângulo M”N”O” e diga o que você observa em relação à área do triângulo MNO. 16) Se aplicássemos uma homotetia de razão x ao triângulo MNO, o que aconteceria com a sua base? E com sua altura? E com sua área?

103

TRANSLAÇÃO

1) Encontre a fig.2, após efetuar a translação de 5 unidades de todos os pontos da fig.1 no sen-tido positivo do eixo das abscissas. Informe as coordenadas dos pontos dados de seus corres-pondentes na fig.2.

y

x

A B

C D

E

FIG 1 FIG 2 FIG 3 x y x y x y A B C D E

2) Observando as tabelas, estabeleça uma regra que permita, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da fig.1, obter as coordenadas do seu ponto correspondente na fig.2. 3) Encontre a fig.3, após efetuar a translação de 3 unidades de todos os pontos da fig.2 no sentido negativo do eixo das ordenadas. Preencha a tabela com as coordenadas dos pontos correspondentes na fig.3. 4) Observando as tabelas, estabeleça uma regra que permita, a partir das coordenadas de um ponto qualquer da fig.2, obter as coordenadas do seu ponto correspondente na fig.3.

Atividades propostas por Marcio Azevedo Majdalani

Atividade 1

As retas x + y = 7 e x - y = 3 ,determinam com o eixo y um polígono. a) Determine a figura simétrica desse polígono em relação ao eixo y b) O que você observou quanto as coordenadas x e y na nova figura? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________

104

c) Crie uma regra para as simetrias em relação ao eixo y. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________

y

x

Atividade 2

A reta x + y = 3 forma um triângulo com os eixos x e y ( figura A)

y

x3

3

a) Traçando-se uma outra reta, x . + y = 3, qual figura obtemos?_________________________ 2 b) Que transformação você observou da figura A para figura B? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) Crie uma regra para essa transformação e generalize para qualquer outra do tipo. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

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Atividade 3 A reta x + y = 10 forma com os eixos x e y um triângulo, o mesmo acontecendo com a reta 2 x + 2 y = 4. a) Que tipo de transformação ocorreu do triângulo menor para o maior? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Como se classificam as retas? _________________________________________________________________________ c) Descubra uma regra para essa transformação. _________________________________________________________________________