caderno de 1º ano

115
raUniversidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Aplicação Fernando Rodrigues da Silveira cap-uerj Projeto MATEMÁTICA VIVA - Edição Revisada caderno de matemática 1 o ano Eugenie Maron de Azevedo Lúcia Maria Aversa Villela Nelson de Mello Rezende José Antonio Novaes Monica Rabello de Castro Iniciação Científica: Simone Maria Levy Golçalves Nunes Iran Marcelino de Souza Daniella Assemany da Guia Sérgio Roberto Araújo de Toledo Patrícia Vanessa Alves Fabiano 2003

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Destina-se ao Ensino Médio. Mais uma publicação com a excelente qualidade UERJ.

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Page 1: Caderno de 1º ano

raUniversidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Aplicação Fernando Rodrigues da Silveira

cap-uerj Projeto MATEMÁTICA VIVA - Edição Revisada

caderno de matemática 1o ano

Eugenie Maron de Azevedo

Lúcia Maria Aversa Villela Nelson de Mello Rezende

José Antonio Novaes Monica Rabello de Castro

Iniciação Científica: Simone Maria Levy Golçalves Nunes Iran Marcelino de Souza

Daniella Assemany da Guia Sérgio Roberto Araújo de Toledo

Patrícia Vanessa Alves Fabiano

2003

Page 2: Caderno de 1º ano

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

Reitora: Nilcéa Freire

Vice-reitor: Celso Pereira de Sá

CENTRO DE EDUCAÇÃO E HUMANIDADES

Diretor: Lincoln Tavares Silva

COLÉGIO DE APLICAÇÃO DA UERJ

Diretor: Aristônio Gonçalves Leite Júnior

Vice-diretor: José Roberto Julianelli

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E DESENHO – DMD

Chefe: Ezequiel Rodrigues de Oliveira

Sub-chefe: Geraldo Henrique Botelho Lins

PROJETO MATEMÁTICA VIVA

Coordenação: Monica Rabello de Castro

Page 3: Caderno de 1º ano

Índice

Unidade 1 Introdução a trigonometria .......................................................

1

Unidade 2 Conjuntos numéricos .................................................................

9

Unidade 3 Pares ordenados e plano cartesiano .........................................

12

Unidade 4 Valor absoluto – módulo de um número real ..........................

24

Unidade 5 Gráficos e tabelas .......................................................................

25

Unidade 6 O conceito de função ..................................................................

33

Unidade 7 Gráfico das funções usando a calculadora ...............................

43

Unidade 8 Domínio, imagem, zeros, máximos e mínimos de função .......

48

Unidade 9 Características de algumas funções ..........................................

54

Unidade 10 Translação e deformação de função no plano .........................

62

Unidade 11 Um estudo da função de 1º grau ...............................................

64

Unidade 12 O Estudo das Funções do 2º grau .............................................

70

Unidade 13 Estudo de outras famílias de Funções ......................................

72

Unidade 14 Aplicação do conceito de função na resolução de equações ...

82

Unidade 15 Sistema de Eixos Paralelos – Uma outra representação para função do 1º grau

87

Unidade 16 Algumas transformações no plano ...........................................

94

Anexo ....................................................................................................... 100

Page 4: Caderno de 1º ano

Chegando à modernidade

Nesta etapa de sua escolaridade, você vai estudar uma Matemática muito especial. Ela

começou a ser desenvolvida no século XVII e hoje constitui uma das mais importantes contribuições da Matemática para a humanidade.

O conceito de Função será tratado durante todo esse ano letivo devido à sua importância no

estudo de outras disciplinas, notadamente, a química, a física e a biologia. É um conceito complexo e, por isso mesmo, você deve dar bastante atenção a esse estudo. Como sempre, vamos tentar garantir momentos de muito prazer.

Neste Caderno de Matemática, você vai encontrar atividades que vão desafiar seu espírito

curioso. Se você ousar, poderá encontrar assuntos que têm aplicação direta no cotidiano de nossas vidas. Para isso, precisará estar atento e estabelecer relações entre o que faz na escola com seus outros afazeres.

Nós, do Projeto Matemática Viva desejamos que você tire o máximo de proveito deste

trabalho.

Page 5: Caderno de 1º ano

1

UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA

GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________

O termo “Trigonometria” significa, em grego, “medida do triângulo”. Uma antiga lenda da História da Matemática conta que Tales de Mileto (624- 546 a . C.) determinou a altura de uma das pirâmides do Egito, a partir da observação de sua sombra, no exato momento em que a bengala do sábio e sua sombra tinham o mesmo comprimento. Era já o uso da idéia básica de que, para triân-gulos semelhantes, a razão entre lados correspondentes é a mesma, dependendo apenas dos ângulos em questão. 1 Atividade 1 1.1) Desenhe três circunferências de mesmo raio, sendo uma no seu caderno e as demais em papel de rascunho. a) Recorte um dos círculos do rascunho. b) Divida-o em quatro partes iguais dobrando-o. c) Passe um traço sobre as dobras. d) Recorte um ângulo agudo qualquer de forma que um dos lados do ângulo coincida com um dos

raios traçados. Chame-o de α. e) Pegue o círculo e sobreponha o círculo do seu caderno e marque o ângulo α, o seu

complementar é o ângulo β. f) Recorte o ângulo β . 1.2) Trace uma reta no seu caderno e sobre a mesma marque dois pontos A e B distintos. a) Sobre o ponto A desenhe o ângulo α. b) Em B trace uma perpendicular. Faça a perpendicular encontrar com o lado do ângulo α. c) Assim fica determinado o triângulo retângulo ABC. O que podemos afirmar sobre o ângulo C? d) Se compararmos os ângulos do 1º quadrante com os ângulos do triângulo retângulo, o que

podemos afirmar? e) Como o triângulo retângulo é “especial”, seus lados também recebe nomes “especiais”. Quais

são eles? 1.3) Observando o triângulo ABC construído no item 2, escreva todas as possíveis comparações que podemos estabelecer entre os seus lados.

Dado um triângulo retângulo podemos ter as seguintes situações para determinar valores de ângulos e lados: • Conhecendo-se dois de seus ângulos, podemos determinar o terceiro ângulo pela Lei Angular de

Tales. • Conhecendo-se dois de seus lados podemos determinar o terceiro lado pelo Teorema de

Pitágoras. Mas como podemos determinar um de seus ângulos conhecendo pelo menos dois de seus lados ? • Neste caso, podemos comparar quaisquer dois lados do triângulo que determinaremos as

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS. A seguir iremos analisar algumas relações fundamentais no círculo trigonométrico e no

triângulo.

1 Texto José Paulo Carneiro

Page 6: Caderno de 1º ano

2

1.4) Marque no círculo um ponto P de ângulo, identifique no círculo trigonométrico os valores do seno e do cosseno: a) Este ponto pode-se deslocar sobre o círculo determinando assim novos valores para o seno e o

cosseno. Certo? b) Qual o valor máximo e o mínimo que o valor do seno pode assumir? c) Qual o valor máximo e o mínimo que o valor do cosseno pode assumir? Observando o movimento uniforme de um ponto sobre um círculo de raio unitário, o cosseno e o seno nada mais são do que as coordenadas desse ponto, desde que os eixos coordenados sejam tomados convenientemente. Neste caso as funções trigonométricas não são mais funções de um ângulo, e sim de um número real, que é a abscissa do ponto, medida sobre o círculo. Esta é a abordagem utilizada no estudo dos fenômenos periódicos, dos quais o movimento circular é o protótipo. Por isto, encontramos as funções trigonométricas no estudo de ondas, correntes alternada, calor, som, e até de populações.

Para que servem as relações trigonométricas? Você já deve ter se feito esta pergunta algumas vezes, como também como se chegou aos valores da tabela trigonométrica. Antes de iniciarmos nossa atividade, pegue a tabela. Observe estes valores e registre o que observou em relação aos valores encontrados. 1.5) Desenhe um triângulo retângulo OBA, com um ângulo de 20º e a hipotenusa medindo 1dm. 1.6) Em B levante uma perpendicular que passe pelo ponto A 1.7) Meça o segmento AB; m(AB)= 1.8) Meça o segmento OB; m(OB)= 1.9) Estes valores correspondem aos valores de seno e cosseno de 20º. ATIVIDADE 2

Vimos na atividade anterior que Tales de Mileto calculou a altura da pirâmide pela sua sombra. Mas como calcular num dia nublado? Para esta situação foi desenvolvida uma ferramenta bem simples: duas ripinhas de madeira articuladas por um parafuso. Com o passar do tempo foram desenvolvidos instrumentos mais precisos _ a bússola do agrimensor, o pantômetro, o clinômetro e o teodolito.

Atualmente, até o raio laser é empregado para se medir, com grande precisão, ângulos formados por duas direções _ esse processo foi usado na escavação dos túneis do metrô de São Paulo. (Trota,1979, pág. 185) Voltando as ripinhas. Para o cálculo da altura de um poste, afastamo-nos uma certa distância. A seguir colocamos uma das ripinhas horizontalmente e com a outra miramos o alto do poste. Com um transferidor, pode-se medir o ângulo formado pelas ripinhas. Com a medida do ângulo formado representamos esquematicamente:

Page 7: Caderno de 1º ano

3

Resumindo, dado um ângulo α, por pontos pertencentes a um de seus lados tracemos as perpendiculares ao outro lado: Em vista da semelhança dos triângulos retângulos OAB, OA’B’,

OA”B”, podemos escrever cos α = OBOA

= OBOA

'' =

OBOA

""

= ...

Resolva os problemas:

2.1) Com uso de duas ripinhas meça a altura de algum objeto: o morro do corcovado, a altura do prédio do Cap, etc..

2.2) Desenhe um triângulo qualquer em que um dos ângulos meça 35º e determine o seno e o cosseno deste e do seu complementar. 2.3) Para medir a largura de um rio, sem atravessá-lo, um observador situado num ponto A, distante 3mda margem, visa, perpendicular à sua margem, um ponto B da margem oposta. De A ele traça uma perpendicular à reta AB e marca sobre ela um ponto C distante 30m de A . Em

O

A A’

A’’

B B’ B”

x x - h

h

D

S K

d

A B

C BC → altura do triângulo retângulo _ a ser calculada _ formado pelas ripinhas CÂB →ângulo formado pelas ripinhas AB → medida de comprimento da ripinha horizontal O triângulo ABC é semelhante ao triângulo DSK cujos catetos são formados pela altura do poste x e d a distância entre ele e o observador, conforme a figura abaixo. h → altura do olho do observador

Page 8: Caderno de 1º ano

4

seguida, ele se desloca para C, visa os pontos A e B e mede o ângulo ACB obtendo 42º . Qual é aproximadamente a largura do rio? 2.4) Para obter a altura de uma torre, um topógrafo estaciona o teodolito a 200 m da base da mesma; o ângulo indicado na figura mede 36º. Se a luneta do teodolito está a 1,7 m do solo, qual é aproximadamente, a altura da torre? 2.5) Para obter a altura de um morro, um topógrafo estaciona o teodolito em A, obtendo o ângulo α = 30º . Depois se aproxima do morro, colocando o aparelho em B e mede o ângulo β = 60º. Mede também a distância entre A e B encontrando 5m. Desprezando altura do teodolito, qual é a altura do morro? 2.6) Considere o trapézio isósceles dado abaixo. O ângulo â mede 30o . Calcule a altura deste trapézio, sabendo que a base maior mede M e a base menor mede m. 2.7) Um bastão está apoiado em uma parede fazendo com ela um ângulo de 60o, tal como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que ele escorrega no chão de 30 cm e que depois de escorregar passou a formar com o chão um ângulo de 30o , calcule o comprimento do bastão. 2.8) Encontre cinco arcos côngruos a 555o. Um deles deve necessariamente pertencer a primeira volta.

60o

30o

30 cm

â m

M

Page 9: Caderno de 1º ano

5

2.9)Encontre todos os arcos côngruos a 473º

SENO E CO-SENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

2.10) Num ciclo trigonométrico, um retângulo auxiliar tem um vértice na extremidade do arcoα .

Encontre os três arcos cujas extremidades são os outros vértices do retângulo auxiliar, no caso em que:

2.11) Determine o seno e o cosseno do arco de 150º: Marcando no ciclo, o arco de 150º e o respectivo retângulo auxiliar identificamos o sen 150º e o cos 150º nos eixos.

Conhecendo 21

º30sen = e 23

º30cos = , temos:

21

º30senº150sen == e 23

º30cosº150cos −=−=

2.12) Dê os valores de 3

4sen

π e

34

cosπ

.

32

)

45

)

6)

πα

πα

πα

=

=

=

f

e

d

1017

)

713

)

910

)

πα

πα

πα

=

=

=

i

h

g

º305)

º130)

º20)

=

=

=

α

α

α

c

b

a

Retângulo Auxiliar

A

α−180 α

α−360 α+180

30º 150º

A 23

21

21−

23−

Page 10: Caderno de 1º ano

6

2.13) Indique as sentenças verdadeiras:

º150senº60sen) 3

cos3

2cos)

43

sen4

7sen)

43

cos4

5cos)

=−=

==

eb

da

ππ

ππππ

2.14) Indique as sentenças verdadeiras:

0º290sen)0º230cos)0º200sen)

º100cosº92cos)º20senº70sen)

<<>

>>

e

dc

b

a

2.15) Indique as sentenças verdadeiras:

º10cosº170cos)º285senº105sen)º140senº220sen)

º70cosº110cos)

=−=−=−=

d

c

b

a

2.16) Dê os valores de º90sen e º90cos Resolução: No ciclo trigonométrico, M é a extremidade do arco de 90º. As coordenadas do ponto M são (0,1), logo sen90º=0 e cos90º=1

2.17) Encontre os valores de:

º360cosº360sen)º270cosº270sen)º180cosº180sen)

eceb

ea

2.18) Procure os arcos x da 1ª volta tais que 21

cos =x .

Resolução:

M(0,1)

0 A

1

Page 11: Caderno de 1º ano

7

O valor de x é o arco cujo cosseno vale 21

.21

é o valor de

cos60º, logo, 60º é uma das soluções .Para encontrar a outra, construímos o retângulo auxiliar que tem vértice na extremidade de 60º e o outro vértice no 4º quadrante na extremidade do arco de 300º. Portanto, as soluções da equação são x = 60º e x = 300º. S={60º,300º}

2.19) Sendo π20 ≤≤ x , resolva as equações:

23

sen)

22

cos)

21

sen)

=

−=

−=

xc

xb

xa

2.20) Sendo π20 ≤≤ x , resolva as inequação 22

sen >x .

Resolução: Primeiro marcamos no ciclo as extremidades dos arcos x tais

que 22

sen =x . Observe que os arcos cujos senos são

maiores que 22

têm sua extremidade entre 4

34

ππe .

2.21) Considerando π20 ≤≤ x , resolva as inequações:

3cosf) 21

cos)

21

sen) 23

cos)

1cos) 21

sen)

≥≥

<−<

≤−<

xxc

xexb

xdxa

TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO 2.22) Encontre o valor de tg 135° Resolução: Marca-se no ciclo trigonométrico, o arco de 135º e seu retângulo auxiliar. Prolonga-se o raio OM até encontrar o eixo das tangentes t. Comparando na figura, tg 135º com tg 45º, vemos que: Tg 135º = -Tg 45º Tg 135º = -1. 2.23) Encontre o valor de:

a) tg 120º b) tg 225º c) tg 300º

60º

300º

21

22 4

π

43π

t

0

M(135º) 45º

T

T’

1 -1

Page 12: Caderno de 1º ano

8

d) tg 47π

e) tg 180º f) tg 0º

2.24) Calcule: a) tg 25º + tg 155º b) tg 170º + tg 350º + 2 tg 10º

2.25) Calcule 3

26

5 ππtgtg −

2.26) Indique as sentenças falsas:

a) tg 54º = tg 234º b) tg 280º = tg 260º c) tg 105º = tg 255º d) tg 50º = -tg 130º

2.27) Indique as sentenças verdadeiras:

a) tg 80º < tg 50º b) tg 110º < tg 170º

c) 6

74

3 ππtgtg <

d) 6

113

2 ππtgtg >

2.28) Resolva a equação tg x = 3 , para π20 ≤≤ x

Resolução: Para resolver a equação devemos procurar qual é o ângulo x

cuja tangente é 3 . Observemos que 3 é o valor de 3π

tg ,

logo é um dos ângulos procurados. Para encontrar o outro, basta prolongarmos o raio OM no sentido oposto, encontrando M’. Desta forma M’ será extremidade do outro

arco 3

4π.

Portanto ���

���=

34

,3

ππS

2.29) Considerando π20 ≤≤ x , resolva a equação tg x = 1 2.30) Sendo π20 ≤≤ x , resolva a equação tg x = - 3 2.31) Resolva a equação [ ]π0,2intervalo no ,032 =− tgxxtg

0

M

M’

A

T

3

Page 13: Caderno de 1º ano

9

2.32) Resolva a equação π2x0 com ,013 2 <<=−xtg 2.33) Resolva a inequação 30 ≤≤ tgx , sendo π20 ≤≤ x

Resolução: Inicialmente marcamos no ciclo trigonométrico as extremidades dos arcos que satisfazem as equações tg x = 0 ou tg x = 3 (como no exercício 2.28). Observe que os arcos x cujas tangentes estão compreendidas entre 0 e 3 têm suas extremidades entre os pontos A e M ou entre A’ e M’. Logo, os arcos que satisfazem a inequação 30 ≤≤ tgx , são

34

ou 3

0πππ ≤≤≤≤ xx

{ }34 30/ πππ ≤≤≤≤ℜ∈= xouxxS

2.34) Com π20 ≤≤ x , resolva as inequações:

1)

033)

11)

−<

<≤−

≤<−

tgxc

tgxb

tgxa

3)

1)

>

tgxe

tgxd

2.35) Informe o valor do sen α = 54

. Encontre o valor de cos α e de tg α, sabendo que α é um arco

do 2o quadrante.

SEGUNDA PARTE – O ESTUDO DAS FUNÇÕES

UNIDADE 2 – CONJUNTOS NUMÉRICOS

GRUPO DE ALUNOS:______________________________________________ Atividade 3 - Os tipos sangüíneos dos humanos são diferentes pela presença ou não de antígenos nas hemácias. Estes antígenos, cuja função é estimular a produção de anticorpos, são chamados de A, B ou Rh. Seja T o conjunto destes antígenos: T = { A, B, Rh} 3.1) Quais são os subconjuntos de T? Chamamos de conjunto das partes de um conjunto M ao conjunto P(M) formado por todos os subconjuntos de M. 3.2) Escreva o conjunto das partes de T: P(T) = { ____________________________________ }

0

M

M’

A

T

3 A’

Page 14: Caderno de 1º ano

10

Obs : Os cientistas convencionaram a pertinência do elemento Rh no tipo sangüíneo com o uso do símbolo (+) e sua ausência com o símbolo (-). Assim, por exemplo, {A, Rh} é representado por A+, {A,B}, por AB- e ∅, por O- . Reescreva P(T) de acordo com esta simbologia: P(T) = { ______________________________________ } 3.3) Escreva em extensão os subconjuntos de P(T) T1 = { x ∈ P(T) �x é tipo sangüíneo ao qual pertence o antígeno A} T1 = { _______________________________________ } T2 = { x ∈ P(T) �x é tipo sangüíneo ao qual pertence o antígeno B} T2 = { _______________________________________ } T3 = { x ∈ P(T) �x é tipo sangüíneo ao qual pertence o antígeno fator Rh} T3 = { _______________________________________ } 3.4) Represente no universo P(T), os conjuntos T1, T2 e T3

2: T1 T2 T3 P(T) Atividade 4 – Com o seu grupo ou dupla, procure respostas para as questões propostas abaixo. Não se esqueça de que sua resposta deve ser justificada.

2 Obs: adaptado do livro matemática Conceitos e Fundamentos, de Antônio Nicolau Youssef Vicent Paz Fernandez, volume 1, segundo grau. Editora Scipione.

Page 15: Caderno de 1º ano

11

4.1) A turma 1C do Cap-UERJ tem 29 alunos. No primeiro teste de matemática, 18 alunos acertaram a 4a questão e, desses, apenas 16 acertaram também a 5a questão. Oito não acertaram nenhuma das duas. Quantos da 1C acertaram a 5a questão não tendo acertado a 4a questão? 4.2) A determinação do tipo sangüíneo de uma pessoa deve-se à presença (ou não) dos antígenos A e B no sangue. Se uma pessoa possuir somente o antígeno A, ela é do tipo A; se tiver somente o antígeno B, é do tipo B; se tiver ambos, é do tipo AB e se não tiver nenhum é do tipo O Num grupo de 70 pessoas verificou-se que 35 apresentam o antígeno A, 30 apresentam o antígeno B e 20 apresentam os dois antígenos. Quantas pessoas são do:

a) tipo A?

b) tipo B?

c) tipo AB?

d) tipo O?

4.3) Represente os conjuntos na reta real:

a) { x ∈ R | -1 < x + 1 ≤ 3 } ____________________________________

b) { x ∈ R -2 ≤ x - 3 ≤ 1 } _____________________________________

c) { x ∈ R | 3/5 < x < 6/5 } _____________________________________

4.4) Determine A ∩ B, sendo A = { x ∈ R x2 + 1 ≤ 4 } e B = { 3 - x ≥ 5 }.

4.5) Determine A ∩ B, sendo A = { x ∈ R 2x -1 ≤ x + 5 } e B = { x ∈ R 2x + 3 > 7 }.

4.6) Determine A ∩ B, sendo A = { x ∈ R 2x -1 ≤ 5x + 5 } e B = { x ∈ R 5x + 3 > 7}, representando o resultado na notação de intervalo real.

4.7) Num vestibular eram eliminados os candidatos que não obtivessem a nota mínima 3,0 em matemática ou redação. Após a apuração dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330 candidatos, sendo 236 em matemática e 218 em redação. Quantos candidatos foram eliminados nas duas disciplinas?

Page 16: Caderno de 1º ano

12

4.8) Sendo A e B conjuntos quaisquer, definimos A�B = (A - B) ∪ (B - A). Se A = [ 0, 8 ] e W = ]-∞, 5], obtenha A�B

UNIDADE 3 – PARES ORDENADOS E PLANO CARTESIANO

GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________

ATIVIDADE 5 – Discuta em grupo tudo que você sabe sobre o plano cartesiano e Pares Ordenados. Em seguida, procure responder os itens que se seguem:

5.1) Determine x e y de modo que:

a) (2x - 1, y + 2) = ( 3x + 2, 2y - 6) b)( 2x, x - 8) = ( 1 - 3y, y)

5.2) Determine a e b tais que ( 3a - b, 2) = ( 5, a2 + a)

5.3) Encontre os valores de a e b de forma que as igualdades abaixo sejam verdadeiras.

a) ( a + 2, 1 - b) = (-2, 2b + 7) b) (-27, 1 - b2) = ( a3, o) c) (2a + b, -12a) = (-3, 4a + b) 5.4) Você vai desenhar no quadriculado abaixo um par de eixos coordenados e, nele, um paralelogramo ABCD que será obtido da seguinte forma:

a) Desenhe o triângulo DEF em que D(2,1), E(-2,2) e F(-2,0). O lado AD do paralelogramo é a altura desse triângulo com relação ao lado EF.

b) Os pontos B e C têm coordenadas respectivamente iguais a (1, -3) e ( 5, -3). Desenhe, agora a

diagonal maior desse paralelogramo.

Page 17: Caderno de 1º ano

13

Calcule o comprimento da diagonal desenhada e a área do paralelogramo.

5.5) No plano cartesiano abaixo, represente o conjunto A ∩∩∩∩B sendo A = �(x,y) | x ∈ ]-3,0[ e y ∈ [-1,4[ � e B = �(x,y) | x ∈ ]- ∞ ,2] e y ∈ ] -1,3[ �

5.6) Sendo ( m + n, m2 - 1) e (m + 1, 3) dois pares ordenados iguais de R x R, calcule o valor de mn.

5.7) No quadriculado abaixo, desenhe um par de eixos coordenados fazendo corresponder à distância entre 0 e 1 cm, e faça o que se pede a seguir: a) Desenhe o paralelogramo ABCD em que A(1;2), B(3;4), C(7;4) e D(m;n). Determine as

coordenadas m e n de D. b) Calcule as medidas das diagonais. c) Ache o valor das medidas dos ângulos.

Page 18: Caderno de 1º ano

14

5.8) Triângulo de vértices M(3,-3) N(3,4) e Q(-1,4) é retângulo? Justifique

5.9) Calcule a distância entre os pontos A(1,2) e B(5,5).

Page 19: Caderno de 1º ano

15

5.10) Represente graficamente os conjuntos:

a) {(x,y)� 1 ≤ x ≤ 5 e y = 1, x e y ∈ R }

b) { (x,y) � x > 0 e y = 1, x e y ∈ R}

5.11) Represente graficamente os conjuntos abaixo num mesmo plano cartesiano que você vai desenhar no quadriculado dado:

a) {(x,y) � -3≤ x ≤ 0, y = 1, x e y ∈R} b) {(x,y) �0 ≤ x ≤ 2 e y = x + 4, x e y ∈R} c) {(x,y) � 2 ≤ y ≤ 5, x > 1, x e y ∈ R}

Page 20: Caderno de 1º ano

16

5.12) Represente o conjunto de pontos do plano cartesiano definido por:

{(x,y) �1≤ x ≤ 4 e y = x +1, x e y ∈R}

5.13) Considerando a área hachurada como a representação dos conjuntos de pontos (x,y), onde x ∈ A e y ∈ B, determine:

a) A = 3

b) B =

c) Um ponto qualquer do interior da região.

-2 5

-1 d) Um ponto do contorno.

5.14) Considerando os gráficos abaixo conjuntos de pontos (x,y) onde x ∈ A e y ∈ B, determine em cada caso A e B.

a) y b)

1 - 1

2 2 x

c)

1

1 -1

-1

y

x

-1 1

1

y

x

Page 21: Caderno de 1º ano

17

5.15) Sendo A x B = {(x,y) � x ∈ A e y ∈ B}, represente graficamente AxB quando: a) A = { 1,2,3} e B = [1,2]

b) A = ]1,2] e B= [ 1,3]

5.16) Sendo A = ] -2,4] e B = [1,4[, represente: a) B x A b) A x B

5.17) No quadriculado abaixo, desenhe um par de eixos coordenados fazendo corresponder a distância entre 0 e 1 a 1 cm, e faça o que se pede a seguir:

a) Desenhe o quadrilátero ABCD em que A(-4,4), B(-3,0), C(0,0) e D (1,4). Calcule a área de ABCD.

b) Hachure a região correspondente ao produto cartesiano de [-2,4[ x [-1,4[. Verifique quais entre os pontos A,B,C ou D pertencem a esta região.

c) Delimite a região do plano em que os pares ordenados têm a abscissa igual ou maior do que a ordenada. Verifique quais entre os pontos A,B,C ou D pertencem a esta região.

Page 22: Caderno de 1º ano

18

5.18) As questões que se seguem devem ser feitas no plano cartesiano dado abaixo. Faça distância entre 0 e 1 corresponder a 1 cm.

a) Desenhe a figura cujos vértices são os pontos A(-5,2), B(-5,5) e C(-1,-1). Calcule a área da figura encontrada.

b) Esboce a região do plano correspondente a [2,5] x [1,-2]. Calcule área e perímetro desta região. c) Considere M = ]-4,-1], N = [-2,0[, O = [-3, +∞ [ e P = ] -∞, -1]. Desenhe a lápis as regiões

correspondentes a M x N e a O x P. Com o lápis de cor , identifique a região correspondente a (M x N) ∩ ( O x P). Calcule a área da região colorida.

y

x

Conclusão: Escreva o que você concluiu sobre o produto cartesiano entre dois conjuntos A e B, que representamos por A x B.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Page 23: Caderno de 1º ano

19

5.19) Para cada uma das representações ao lado, determine:

a) o conjunto dos valores de x.

b) o conjunto dos valores de y

c) x tal que y = 2

5.20) Escreva as coordenadas dos pontos marcados:

5.21) Represente no plano cartesiano:

)3,5(

)5,2(

)3,2(

−−

C

B

A

)5,3(

)2,1(

−−

E

D

5.22) Calcule o perímetro e a área

do triângulo ABC, sendo A( -2,0 ),

B( 0,4 ) e C( 3,0 ):

o

A ( , ) B ( , ) C ( , ) D ( , ) E ( , ) F ( , )

A

E

� � x

y

F D C

B

4

3 2 1 0 -1

-2 -3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

3

2

1 2 3 4

x

y

1

3

2

1 2 3 4

• •

y

x

Page 24: Caderno de 1º ano

20

5.23) Um triângulo eqüilátero ABC tem A( 1,2 ),

B( 5,2 ) e C no perímetro quadrante.

Determine:

a) As coordenadas de C;

b) O perímetro de ABC;

c) A área de ABC.

5.24) ABCD é um quadrado A( -2,1 ), B( -2,-5 ) e C( 4,-5 ).

Determine as coordenadas de D e a área do quadrado.

5.25) Sendo A( -1,3 ), B( 5,3 ) e C( 5,-2 ):

1º) As coordenadas do ponto M, médio de AB M ( , )

2º) As coordenadas do ponto P, médio de BC P ( , )

3º) O comprimento do segmento MP MP =_______

5.26)Calcule os parâmetros m e p para que:

a) P( 2m-1 , 3p+2 ) fique no semi-eixo horizontal positivo

b) P( m-3 , 4p+2 ) fique acima e à direita de A( -2,3 )

c) P( 3m-1 , 4p+3 ) fique no semi-eixo horizontal negativo

d) P( 4m+p , m-p ) coincida com A( 5, 0 )

e) P( m2-4 , m+3 ) fique no semi-eixo vertical positivo

4

3

2

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

-2

-3

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

-2

-3

-4

-5

Page 25: Caderno de 1º ano

21

f) P( m3-m , m2-3m+2 ) fique na origem

g) P( 3m-p , 2p+1 ) fique no eixo horizontal à esquerda de A( -2,3 ).

5.27) ABC é um triângulo eqüilátero A( -2,-1 ), B( -4,-1 ) e C é do 3º quadrante.

Determine as coordenadas de C.

5.28) ABC é um triângulo retângulo em A. Se B( 0,0 ), C( 5,0 ) e AB =3.

Determine as coordenadas de A.

5.29) Sendo P1 (x1 ,y1 ) e P2 (x2 ,y2 ), deduza a fórmula para obtenção das coordenadas m1 e m2 do ponto médio de 21PP .

5.30) Determine P1 , P2 e P3 que AB em 4 partes iguais, sendo A( -1,2 ) e B( 2,3 ).

5.31) Calcule m para que a distância de A( m+1,2 ) ao ponto B( 2,-5 ) seja 25 .

5.32) Sendo P( 2m+1,3p+3 ) o ponto médio de AB, onde A( -2,3 ) e B( 1,4 ).

5.33) Represente na reta real os conjuntos:

{ }{ }

{ }{ }{ }{ }5/)

3/)

132/)311/)

[3,1)[]3,2)]

)1(5)4(3/))2()3(2/)

>ℜ∈

<ℜ∈<−<−ℜ∈

<+<−ℜ∈

−−<−ℜ∈

−>−ℜ∈

xxh

xxg

xxf

xxe

d

c

xxxb

xxxa

Page 26: Caderno de 1º ano

22

5.34) Represente o conjunto dos pontos do plano definido por:

{ }{ }{ }{ }reaisy ex ,31 e 2/),()

reaisy ex ,1 e 51/),()reaisy ex ,42 e 41/),()

reaisy ex ,1 e 0/),()

<<==<<

<<<<=>

yxyxa

yxyxc

yxyxb

yxyxa

.

5.35) Prove que os pontos A( 1,1 ), B( 4,6 ) e C( 6,-2 ) são vértices de um triângulo retângulo. Consultando a tabela trigonométrica determine o ângulo C.

5.36) Considere o plano cartesiano abaixo:

a) Escreva as coordenadas dos pontos marcados

b) Considerando o triângulo retângulo AGF calcule a medida dos lados desse triângulo e as medidas dos ângulos AGF e AFG.

5.37) Dados A( 1,0 ) e B( 4,0), determinar o ponto C no eixo dos y de tal modo que o triângulo ABC tenha área igual a 5.

5.38) No plano cartesiano, os pontos ( 1,0 ) e ( -1,0 ) são vértices de um quadrado cujo centro é a origem. Qual é a área do quadrado?

5.39) Um triângulo eqüilátero ABC tem A( -1,2 ), B( 5,2 ) e C( x,y ). Determine:

a) As coordenadas de C, sendo y>0

b) A área do triângulo ABC

C A

G -1 1 2 3

D

2 1 -1 B -2

F

E

Page 27: Caderno de 1º ano

23

5.40) Dados os conjuntos A = [ -2,2 ] e B = [ -4,4 ], represente o conjunto dos pontos em cada caso abaixo:

{ }xyBAyxa −=∈ 2/x),() { }1/xA),() +=∈ xyByxb

5.41) Obter x para que o triângulo ABC seja retângulo em B.

Dados: A( -1,4 ), B( x,4 ) e C( 3,-3 )

5.42) Desenhe o quadrado ABCD em que A( -1,3 ), B( 1,5 ), C( 3,3 ) e D( 1,1 ). A diagonal AC

do quadrado é um dos lados do paralelogramo ABEC.

Calcule o comprimento da diagonal maior e a área do paralelogramo.

Page 28: Caderno de 1º ano

24

UNIDADE 4 – VALOR ABSOLUTO – O MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Atividade 6

6.1) Sabemos que 3 = -3 = 3, pois na reta real +3 e –3 eqüidistam de 0.

Procure os valores de x que satisfazem as igualdades abaixo e dê o conjunto solução.

a) x= 4 b) x- 2 = 5 c)| x - 8 | = 3 6.2) Procure os valores de x, se x ∈ R e satisfaz as igualdades abaixo:

a) x=3

b) x + 4=5

c) x + 4=2x

d) 2x + 9 =1 - 3x

6.3) Determine x e y na igualdade abaixo, se x e y ∈ Z:

(x - 2, 5) = ( 7, 2 - 2y) 6.4) Lembrando que 2,7=-2,7= 2,7 , determine x e y ∈ R nas igualdades abaixo: (x2 - 2,5) = (7, 2 - 2y) 6.5) Procure os valores de x ∈ R que satisfazem as desigualdades abaixo:

a) x < 4

b) x ≥ 4

c) x + 4 > 3

d) x - 2 < 2x

e) 2x + 9 < 1 - 3x

6.6) Determine BA ∩ , sendo A = { }51/ ≤+ℜ∈ xx e B = { }432/ <−ℜ∈ xx :

Considere no eixo real de origem O um ponto A de abscissa x:

Chama-se “módulo de x”, e indica-se por |x|, a distância entre os pontos A e O.

|x| = dOA

O A 0 x

A O B -3 0 +3

Page 29: Caderno de 1º ano

25

UNIDADE 5 – GRÁFICOS E TABELAS GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ Atividade 7 – Análise de alguns gráficos Espaço de frenagem de um veículo 7.1) Quando um motorista, a certa velocidade, é forçado a acionar o freio repentinamente, observamos que o veículo ainda percorre uma certa distância até que fique totalmente parado. Esse caminho ainda percorrido pelo automóvel é chamado de espaço de frenagem de um veículo.

O valor dessa distância depende, entre outros fatores, da velocidade em que o veículo se encontra, quando é freiado. Observe o gráfico abaixo, ele representa o espaço de frenagem, na dependência da velocidade, de um certo automóvel *.

a) Quando freiado à velocidade de 80 km/h, o carro percorrerá aproximadamente ainda que distância?

b) Qual é aproximadamente o espaço de frenagem de 120 km/h? c) Quando freiado à velocidade de 60 km/h, o veículo tem um certo espaço de frenagem, e a 80

km/h o espaço de frenagem é maior. De quantos metros é aproximadamente a diferença entre esses dois espaços de frenagens?

d) Quando a velocidade dobra passando de 60 para 120 km/h, o espaço de frenagem também

dobra? e) E quando dobramos de 40 para 80 km/h, o espaço de frenagem também dobra?

Espaço de frenagem de um veículo

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100 120

Velocidade (km/h)

espa

ço d

e fr

enag

em (m

)

Page 30: Caderno de 1º ano

26

esta

tura

(cm

)

Meninos Meninas

f) Que grandezas esse gráfico relaciona? • O automóvel em questão é o Ford Ka CLX 1.3 modelo 97, e o gráfico foi elaborado com dados

publicados na revista Quatro Rodas (mar/97)

O exercício acima foi adaptado do livro Matemática Aplicada, de Fernando Trotta e outros, Volume 1, segundo grau, Editora Moderna. CRESCIMENTO DE MENINOS E MENINAS 7.2) No gráfico seguinte aparecem duas curvas, referente ao crescimento de meninos e meninas, desde o nascimento até o final da adolescência. Os dados referem-se a valores médios de uma população. Observe atentamente o gráfico e responda as próximas questões: a) A comparação das duas curvas mostra que, durante a infância, meninos e meninas da mesma

idade têm, praticamente, a mesma altura. Na adolescência há um período eme que as meninas apresentam estatura maior que a dos meninos. Localize esse período no gráfico. Em que faixa etária se dá?

b) A partir de que idade os meninos passam à frente das meninas em altura? c) Pelo gráfico, em torno de que idade a estatura média dos homens tende a estabilizar? E a das

mulheres? d) Observando o gráfico, diga qual o período de vida da criança em que ela apresenta crescimento

acentuado. e) Qual é o crescimento das crianças nos dois primeiros anos de vida?

Crescimento de meninos e meninas

0

30

60

90

120

150

180

2 4 6 8 10 12 14 16 18

idade (anos)

20

Page 31: Caderno de 1º ano

27

f) Que grandezas esse gráfico relaciona? Obs: O exercício foi retirado da apostila do Telecurso 2º grau, da Fundação Roberto Marinho. 7.3) É dado o gráfico da população brasileira durante os últimos 25 anos. a) Qual era a população brasileira em 1990? b) De quanto cresceu a população brasileira entre 1985 a 1995? c) Existe durante esse período de 25 anos algum período em que o crescimento da população brasileira tenha se mantido proporcional ao tempo? Em caso afirmativo, diga em qual período. d) Em que período a população brasileira alcançou os 130 milhões de habitantes?

020406080

100120140160

1975 1980 1985 1990 1995 1999

em milhões

7.4) A companhia elétrica da cidade de “Simsinhô” cobra R$ 2,00 o quilowatt de energia consumido. Além disso, cobram uma tarifa fixa de R$ 12,00 em cada conta cobrada. a) Encontre a forma algébrica da função que relaciona o total cobrado em uma conta em função do

consumo de energia relativo àquela cobrança. b) Encontre o total de quilowatts consumidos quando a conta apresentada mostra o valor de R$

85,20. VELOCIDADE X TEMPO

7.5) Suponhamos que uma pessoa, em um automóvel, faça uma viagem entre duas cidades, distanciadas de 180 km. Seja v a velocidade do carro t o tempo gasto na viagem. É fácil concluir que:

se v = 30 km/h então t = 6 h se v = 60 km/h então t = 3 h se v = 90 km/h então t = 2 h

a) Qual a relação de dependência entre as grandezas v e t? b) Caso exista, qual o valor da constante de proporcionalidade? c) Como podemos expressar a relação entre grandezas?

Page 32: Caderno de 1º ano

28

d) Represente graficamente a situação:

Obs.:O gráfico representa uma grandeza variando em proporção direta com o inverso da outra :

GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ Atividade 8 – Análise de tabelas e sua relação com os gráficos 8.1) A tabela abaixo indica o deslocamento de um móvel num dado intervalo de tempo.

Intervalo de tempo

(s)

Deslocamento (cm)

0 0 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 6 12 7 14 8 16 9 18

10 20

Observando a tabela, responda:

a) Qual o deslocamento num intervalo de tempo de 7 segundos? b) Qual o intervalo de tempo correspondente a um deslocamento

de 8 cm? c) O deslocamento é uma função do intervalo de tempo? Por quê?

Page 33: Caderno de 1º ano

29

8.2) Na tabela abaixo, a idade de uma determinada pessoa e a altura correspondente. Altura (m) Idade ( anos) 1,00 3 1,10 5 1,20 7 1,30 9 1,40 13 1,50 16 1,60 17 1,75 18 1,75 19 1,75 22 1,75 34 1,75 40 8.3) O preço que um pintor cobra para pintar uma casa varia com a área a ser pintada de acordo com a seguinte tabela:

Área (m2) Preço (R$) 0 a 100 40 101 a 200 80 201 a 400 120 401 a 600 160 601 a 800 200 801 a 1000 240 Obs: os exercícios acima foram retirados do livro ‘Matemática 2º grau’, de Gelson Iezzi e outros, vol 1. Ed. Atual. PESO DAS CRIANÇAS 8.4) Em manuais de pediatria encontramos tabelas que relacionam a faixa etária de uma criança com o peso que ela deve atingir em média. Observe a tabela e o gráfico abaixo:

IDADE EM ANOS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Meninos 3.22 10.39 12.86 14.71 16.92 19.04 20.73 23.35 25.84 29.03 31.07 35.55 Peso em kg Meninas 3.22 9.95 12.20 14.75 16.65 18.51 21.02 23.13 23.94 28.57 30.51 33.96

a) É verdade que para cada idade temos em correspondência uma única altura?

b) É verdade que para cada altura temos, em correspondência

uma única idade? c) É verdade que a altura é uma função da idade? d) É verdade que a idade é uma função da altura? Por quê?

a) Qual o preço a ser pago se a área a ser pintada for de 430 m2?

b) Com R$ 120,00, qual a maior área que pode ser pintada?

c) A área a ser pintada é uma função do preço? Por quê? d) O preço a ser cobrado é uma função da área ? Por quê?

Page 34: Caderno de 1º ano

30

Use a tabela para responder as perguntas abaixo: 1) Qual seria o peso de um menino, a) com 1 ano? b) aos 3 anos? 2) Com que idade as meninas pesam mais do que os meninos?

3) Entre que valores, estaria o peso de um menino aos seis anos e meio? Onde você pode ter informação mais precisa, na tabela ou no gráfico?

4) Quanto um menino pesaria com 1 ano e 4 meses? E com 9 meses?

5) O peso de um menino aos 9 anos é igual à média aritmética dos seus pesos com 0 e 11 anos? Justifique.

6) De 4 para 5 anos, como variam o peso de um menino?

7) Quanto pesa aproximadamente um menino aos 10 anos e 5 meses?

8) Qual a idade provável de um menino cujo peso é 33.5 kg? E de 23 kg?

Peso dos meninos

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Idade (anos)

Pes

o (k

g)

Page 35: Caderno de 1º ano

31

8.5) Construa agora outro gráfico utilizando a tabela das meninas: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.6) Observando os gráficos e as tabelas, responda.

Qual a representação que fornece os valores dos pesos mais facilmente? E a que fornece mais informações? Por quê?

** PROMOÇÃO DO PATINHO 8.7) Observe o cartaz que está afixado na porta de um açougue. 4,5 4,0 3,0 1 2 3 5 1. De que trata o cartaz? 2. Que grandezas variam nesta situação? 3. O que representam os números que estão nos eixos? 4. Só observando o cartaz diga:

� Se uma pessoa comprar exatamente 1 kg de patinho quanto pagará?

� Se comprar 2 kg, quanto pagará por quilo? E se comprar 5 kg? 5. Se uma pessoa comprar 3 kg e 200 g de patinho quanto pagará por quilo? 6. A partir de que peso comprado o preço por quilo não varia mais?

Peso (kg)

R$ / Kg

10

20

3

0 4

0

50

Idade

Peso

Page 36: Caderno de 1º ano

32

7. Uma pessoa tem que comprar 4 kg de carne. O que é mais vantajoso: comprar em uma vez ou comprar em duas vezes? E se ela tiver que comprar 7 kg? Justifique sua resposta.

8. Quanto de carne você pode comprar com 4 reais, nessa promoção? 9. Um cliente pediu um pedaço de carne, que pesou 1.8 kg. O açougueiro sugeriu completar 2 kg.

Você aceitaria a sugestão? Por quê? ** OS CORREIOS 8.8) A tabela abaixo dá algumas tarifas postais para o Brasil, de acordo com o peso da correspondência. CARTA, CARTÃO POSTAL, AEROGRAMA E IMPRESSO URGENTE

Peso (em gramas) Preço (em R$) Até 10.00 0.12

10.01 a 20.00 0.15 20.01 a 50.00 0.22 50.01 a 100.00 0.31 100.01 a 250.00 0.62 250.01 a 500.00 1.12

1) Nesta situação, que grandezas variam?

2) Para representar essa situação em gráfico cartesiano, qual o maior peso em gramas, que você

precisará representar? E o menor?

Em que eixo você vai representar os pesos? E os preços?

3) Faça o gráfico dessa situação. Antes disso, escolha uma escala adequada em cada eixo. Obs: Os exercícios acima com ** foram retirados da publicação ‘Construindo o Conceito de Função no 1º grau’, do Projeto Fundão – UFRJ.

Page 37: Caderno de 1º ano

33

UNIDADE 6 – O CONCEITO DE FUNÇÃO

GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________

ATIVIDADE 9 - As atividades a seguir referem-se a um conceito novo. Discuta com seus colegas e procure ao final verificar se os significados construídos por você coincidem com os deles.

9.1) Mesmo nas ocorrências mais simples, nos fenômenos mais freqüentes do dia-a-dia e da ciência, várias grandezas estão envolvidas simultaneamente. Vamos estabelecer matematicamente algumas relações de interdependência entre pares de grandezas. Procure você expressar a dependência entre:

a) a área y de um quadrado de lado x. y = b) a altura y de um retângulo de área 50 m2 e base x. y = c) a altura y de um triângulo equilátero de lado x. y =

9.2) Seja y a área de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio igual a x. Encontre a relação entre x e y.

9.3) Uma pessoa, recolhendo a água que jorra de uma mangueira, obtém os seguintes dados:

Tempo (s) Volume (l)

5 15

10 30

30 90 a) Qual a relação de dependência entre o volume recolhido e o tempo empregado na operação? b) Qual é o valor da constante de proporcionalidade entre estas grandezas? c) Se designarmos o volume recolhido por v e o tempo correspondente por t, como poderemos

expressar a relação entre estas grandezas?

Page 38: Caderno de 1º ano

34

d) Represente graficamente (plano cartesiano) a situação:

Conclusão:

Escreva que característica tem o gráfico que representa uma grandeza variando em proporção direta com outra.

9.4) Considere um quadrado de lado I e área S.

9.5) Fixando no teto uma das extremidades de uma mola de aço e pendurando na outra um corpo de peso P, em quilogramas-força, a mola se distende e seu comprimento aumenta de x centímetros, obtendo-se a tabela:

P 1 2 3 4 5 x 3 6 9 12 15 a) Verifique se as grandezas P e x são diretamente ou inversamente proporcionais; b) Determine uma fórmula que relacione P com x; c) Calcule o valor de P quando x = 5 cm; d) Calcule o valor de x quando P = 3,5;

Page 39: Caderno de 1º ano

35

Represente graficamente à situação:

9.6) Para estudar a taxa do nível de aprendizagem dos animais, um grupo de estudantes de Psicologia fez uma experiência na qual um rato branco era enviado, repetidamente, através de um labirinto. Os estudantes notaram que o tempo requerido para o rato percorrer o labirinto, na enésima tentativa, era de, aproximadamente;

f(n) = 3 + n

12 (f dado em minutos)

a) Quanto tempo gastou o ratinho para percorrer o labirinto na 3a tentativa?

b) E na 6a tentativa?

c) Em qual tentativa o rato percorreu o labirinto em 4 minutos?

d) De acordo com a lei acima, que aconteceu com o tempo de percurso quando o número de tentativas aumente?

e) O ratinho conseguirá percorrer o labirinto em menos de 3 minutos?

Page 40: Caderno de 1º ano

36

f) Como fica a representação gráfica da situação acima?

9.7) Estima-se que a população de uma certa comunidade suburbana daqui a t anos, será de:

a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? b) De quanto a população crescerá durante o 9o ano? c) Com o passar dos anos, você detecta alguma tendência para o no de pessoas dessa

comunidade? d) Faz sentido ser um número negativo? 9.8) Uma fábrica produz sapatos. A produção é definida pela função P(t) = t 2 + 2t onde t representa horas após o início de suas atividades diárias. Se a fábrica começa a funcionar às 8 horas, entre 10 e 11 horas quantos pares serão produzidos?

9.9) Um pedaço de cartolina quadrado tem lados de 15 cm. Nos cantos inferiores são recortados dois quadrados iguais com lado x cm. Na parte superior é recortado um retângulo de largura x cm. A parte restante tem forma de T e área y.

a) A área do T varia com x? b) Em caso afirmativo, apresente a lei que associa y e x. c) Neste caso, qual o intervalo de variação de x? d) Qual o valor de x e y = 100 cm2 ?

milhares1+t

6-20=p(t)

x cm

x cm

Page 41: Caderno de 1º ano

37

9.10) Considere a figura onde EFGH é um quadrado de lado 10cm. Q pode ser qualquer ponto do lado FG, exceto F e G. x é o segmento FQ e y é a área da figura EQGH.

a) Escreva y em função de x. b) Qual a variação de x? c) Qual o valor de x para y = 60 cm2? 9.11) Na figura como C abaixo expresse o perímetro y em função de x.

x x

x

11

13

9.12) Em uma cidade, os habitantes pagam pela água consumida de acordo com a tabela seguinte:

C (m3) P(reais) 0 < C ≤ 50 P = 1,20

50 < C ≤ 100 P = 1,50 100 < C ≤ 150 P = 1,80

C> 150 P = 2,00 Responda:

a) Qual o preço do m3 de água para um consumo de 112 m3? b) Qual o total a pagar por um consumo de 70 m3? c) O preço do m3 de água é uma função do consumo mensal? (JUSTIFIQUE) d) O consumo mensal é uma função do preço do m3? (JUSTIFIQUE) e) O total a pagar, em determinado mês, foi R$ 90,00; pode-se determinar quantos m3

consumidos? f) O total a pagar é diretamente proporcional ao consumo mensal?

C: consumo mensal P: preço por m3

Q

G

F E

H

Page 42: Caderno de 1º ano

38

9.13) De acordo com as características das funções e dados os esquemas abaixo que representam relações de A em B, indique as relações que são funções: a) A •••• 1 B d) A B 2•••• •••• 2 -1•••• ••••2 3•••• •••• 3 ••••1 4•••• ••••4 1•••• ••••3 •••• 5 ••••5 b) A ••••0 B e) A B -1•••• ••••1 2•••• 1•••• 4•••• •••• 0 2•••• ••••2 6•••• - 2•••• ••••4 ••••5 c) A ••••3 B f) A ••••4 B 2•••• ••••1 1•••• ••••5 4•••• ••••2 6•••• ••••3 ••••7 ••••5 9.14) Uma panela, contendo uma barra de gelo a -40 0 C, é colocada sobre a chama de um fogão. O gráfico abaixo mostra essa relação onde Y ( 0C ) temperatura da água e x ( minutos): 100 80 60

40 20

água gelo + água 0 -20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x (min.) - 40

gelo

a) Essa relação é uma função? b) Qual o tempo necessário para que o gelo derreta por completo? c) Observando o gráfico qual a temperatura máxima atingida? Em quantos minutos isto ocorre? d) Qual a temperatura da água quando x = 6 min?

Y(oc)

Page 43: Caderno de 1º ano

39

9.15) Na figura, P percorre a semicircunferência AB, e PQ é perpendicular ao diâmetro AB. As medidas dos segmentos são: AQ = x, PQ = y, BQ = z e AB = 2 cm.

a) Exprimir z em função de x e construir o gráfico. P x z A Q B

b) Exprimir y em função de x e construir o gráfico 9.16) Um motorista vai ao centro da cidade e pode escolher parar seu carro em dois estacionamentos A ou B. No estacionamento A, ele pagará R$ 2,00 para entrar e R$ 3,00 por hora de permanência; no estacionamento B, pagará R$ 8,00 para entrar e R$ 1,00 por hora de permanência. a) Chamando de y o total a ser pago após x horas estacionando, dê a função que relaciona x e y

para cada um dos estacionamentos; b) Esboce num mesmo sistema de eixos cartesianos ortogonais os gráficos que representam as duas funções; c) Se o motorista sabe de antemão que ficará estacionado por no mínimo três horas, determine se

há vantagem em escolher um ou outro estacionamento. 9.17) Num laboratório de biologia verificou-se que certo tipo de bactéria ao se reproduzir duplicava-se a cada segundo. a) Quantas bactérias existirão em 10 s? b) Complete a tabela que associa o tempo ao número de bactérias. Tempo número c) O que observa na segunda coluna?

0 1 1 2 d) O que observa na 1ª coluna? 3 8 4 32 e) Que relação existe entre estas duas colunas? f) Quantas bactérias existem entre 10s e 15s?

X y g) Quantas bactérias existem entre 11s e 12s? Por quê?

Page 44: Caderno de 1º ano

40

h) Represente a situação no plano cartesiano:

9.18) Considere as funções f(x) = 4x + 1 e g(x) = 3x+5:

a) Resolva f(x) = g(x) b) Resolva f(x) > g(x)

c) Faça os gráficos das funções e g num mesmo sistema de eixos

Page 45: Caderno de 1º ano

41

9.19) O gráfico abaixo mostra a relação entre o valor da conta d´água e o volume d´água consumido em uma determinada residência.

R$

34 18 5 4 8 12 16 20 24 m3 a) O que você poderia comentar sobre o valor da conta nos diferentes intervalos de

consumo [ 0;8] [8; 16] e [16 ; 24] ? b) Qual seria o valor da conta se o consumo for de 12 m3 ?

c) Qual seria o valor da conta se o consumo for de 24m3 ?

9.20) Considere a função f(x) = 3x + 4, esboce o gráfico:

a) Determine f(10) – f(2) d) os valores obtidos nos itens anteriores s 10 – 2 são iguais ? b) Determine f(4) - f(-1) e) A taxa de variação média depende dos 4 – (-1) valores escolhidos no domínio ? c)Determine f( x2 ) – f (x1)

x2 - x1 9.21) Responder o exercício anterior para f(x) = x2

9.22) O gráfico representa a quantidade de soro que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, caso seja mordida por um animal raivoso .

ml 50 25 10 20 50 100 Kgf

Page 46: Caderno de 1º ano

42

a) Quanto deve tomar de soro uma pessoa que pesa 50 Kgf?

b) Sabe-se que a quantidade de soro a ser tomada deve ser distribuída em 14 injeções. Quantos ml de soro devem tomar em cada injeção uma pessoa de 84 Kgf de peso?

9.23) Duas motos A e B são observadas durante 20 segundos. Os gráficos dados indicam as posições S, em metros, de cada moto, no instante t, em segundos. Pergunta-se:

A) Em que instante a moto A alcança B?

B) Qual a distância entre A e B no final da observação? S A

500 B 350 200 100 10 20 t 9.24) Em determinados movimentos retilíneos, a posição de um móvel é dada pela função: S(t) = Vt + S0, onde S0 é a posição do móvel no instante t =0, V é a velocidade do móvel e S é a posição do móvel no instante t .

Considere o movimento de um móvel A segundo a lei: S(t) = 3t + 2 a) Faça o gráfico.

b) Qual a taxa de variação média entre os instantes t = 1s e t = 2s?

c) A taxa de variação média é constante, ou depende do intervalo de tempo adotado? 9.25) A taxa de inscrição de um clube de natação é R$ 150,00para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente.

a) Expresse a taxas de inscrição em função do nº de semanas transcorridas desde o início do curso.

b) Calcule quanto uma pessoa pagou ao se inscrever cinco semanas após o início do curso.

9.26) É um fato conhecido que, qualquer que seja uma substância, a sua temperatura permanece constante durante a fusão. No processo de aquecimento de uma substância, sua temperatura T (em ºC) variou com o tempo (em minutos) de acordo com a seguinte lei: 20 + 5t se o ≤ t ≤ 30 T(t)= 150 se 30 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 50 20 + 3t se t ≥ 50

Page 47: Caderno de 1º ano

43

a) Esboce o gráfico de T como função de t: b) Qual a temperatura da substância no início do processo, isto é, quando t=0? c) Qual a temperatura da substancia decorridos 3 horas do início do processo? d) Sabendo-se que houve fusão da substancia, em qual intervalo de tempo ela ocorreu? e) Em que intervalo de tempo houve a maior variação da temperatura por minuto?

Explique sua resposta.

9.27) Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 300,00 por mês, mais uma comissão de 5% sobre as vendas que excederem a R$ 1000,00.

a) Denotando-se por y o salário e por x os valores das vendas no mês, construa o gráfico da função que representa o salário mensal desse vendedor.

b) Qual seria o seu salário em um mês cujas vendas atingiriam R$ 1 800,00

9.28) Dadas as funções f e g cujas leis são f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções interceptem-se no ponto (1, 6).

UNIDADE 7 – GRÁFICO DAS FUNÇÕES USANDO A CALCULADORA

GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ ATIVIDADE 10 Com o auxílio da calculadora, construa os seguintes gráficos: a) f(x) = x b) f(x) = x2

Page 48: Caderno de 1º ano

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c) f(x) = x3

d) f(x) = 2 e) f(x) = 2x

f) f(x) = sen x

Page 49: Caderno de 1º ano

45

g) f(x) = 1/x

h) f(x) = �x � i) f(x) = -1

i) f(x) = x3 + x2 + 4

Page 50: Caderno de 1º ano

46

l) f(x) = - ½ x m) f(x) = � x – 4 � n) f(x) = x2 + 4x + 4

Page 51: Caderno de 1º ano

47

o) f(x) = cos x p) f(x) = ½ x Após ter feito todos os gráficos responda: 1) Os gráficos apresentam a mesma forma? 2) Quais são as formas que aparecem? Nomeie as que você conhece. 3) Agrupe as funções conforme suas representações gráficas.

Page 52: Caderno de 1º ano

48

LURUNIDADE 8 - DOMÍNIO, IMAGEM, ZEROS, MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÃO

GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________

ATIVIDADE 11 11.1) Faça o esboço do gráfico das duas funções abaixo: a) f(x) = 2x b) f : A R � y = 1 - 2x e A = ]-1,3]

Indique no gráfico o domínio e a imagem de cada uma das funções.

11.2) Esboce o gráfico das funções f(x) = 2x - 4 e g(x) = 5 - 3x e h(x) = 3. Calcule os três vértices do triângulo determinado pelos gráficos dessas três funções.

11.3) Juntando as pontas de um barbante de comprimento x, é feito um quadrado. A área y desse quadrado depende de x? a) Encontre y para x = 40. b) Escreva y em função de x. c) Determine os possíveis valores de x.

Page 53: Caderno de 1º ano

49

11.4) Sendo f(x) = 3x - 4, encontre os valores de x que tornam f(x) positiva. 11.5) Represente no plano cartesiano a função f(x) = 2x - 1, nos casos em que o domínio seja: a) {-1,0,1,2,3} b) {x ∈ R � -1 ≤ x ≤ 3} 11.6) O ministério da saúde constatou que para imunizar x% da população infantil ( 15 milhões de crianças) teria um custo de: a) Quanto gastaremos para imunizar 100% das crianças? b) Qual o custo para vacinar uma criança? c) Determine o domínio dessa função. 11.7) Qual o domínio das funções abaixo?

11.8) Encontre o domínio das funções abaixo:

x

xxxfb

23

)3(2)()

−−+=

11.9) Calcule o domínio das funções abaixo, e calcule f(-1/2).

dólares de milhões x-200x.150

)x(f =

1-2x1-

)( b)

2xf(x) a)x

xf =

+=

3-x1

+2-x

1=b)f(x)

x-1x

=f(x))a

Page 54: Caderno de 1º ano

50

11.10) Um móvel tem equação horária dada por s(t) = -50 + 20t, (t em segundos e s em metros). Determine o instante em que o móvel passou pela origem do eixo s (das ordenadas).

11.11) Sendo f: R R, uma função definida por f(x) = 2x + 3, pede-se:

a) o valor de x para que f (x) = 0 b) o valor de x para que f(x) = -2/3 11.12) Represente graficamente a função 2x)x(f:f +=ℜ→ℜ e dê o que se pede abaixo:

a) O conjunto imagem da função f.

b) As raízes da função f, se existirem.

c) O valor de f(-3,4). 11.13) Seja f : A → B, uma função definida por f(x) = ax - 5, em que A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B ={-16, -5, 6, 17}. Sabendo-se que f(1) = 6. Calcule: a) o valor de a b) f(-1) + f(10) - f(2) = c) Im(f) = 11.14) Dados os conjuntos A = {-2,0,2} e B = {1/4, 0, 1, 2, 3, 4}, determine o conjunto-imagem da função f: A → B, definida por: a) f(x) = x + 2 c) f(x) = 2x b) f(x) = x2 d) f(x) = �x � 11.15) Considere o conjunto [-3;4[ domínio da função definida por: f(x) = 4 - 2x, determine o gráfico e a imagem de f(x).

Page 55: Caderno de 1º ano

51

11.16) Na figura temos um quadrado com 4cm de lado. a) Determine a área da figura AMCN em função de x. b) Faça o gráfico. c) Dê a imagem da função. d) Dê o domínio da função.

11.17) Os pontos (2,5) e (3,3) pertencem à função f(x) = ax + b. Quais os valores de a e b? 11.18) Seja f(x) = ax + b. Se f(2) = 7 e f(-2) = 15, determine f(1999).

11.19) As funções f e g são definidas por ( ) ( ) a3x4

xge15x3

xf +=−=

Sabendo - se que f(0) - g(0) = 1/3, calcule f(3) - 3.g(1/5).

A

M

D C

B

N

x

x

Page 56: Caderno de 1º ano

52

11.20) A função f abaixo está definida por seu gráfico: a) O grupo deverá investigar essa função, isto é, dizer: se ela é crescente ou decrescente, se possui zeros, se tem valores positivos ou negativos, domínio, imagem e forma algébrica. b) Ao terminar esta investigação, o grupo irá discutir a seguinte situação: A função f relaciona a velocidade em m/s de um móvel em função do tempo s. Procurem descrever o que está acontecendo com esse móvel durante o tempo descrito pelo gráfico. c) Depois de terminada a discussão do item anterior, o grupo deverá discutir a função g que

relaciona o espaço percorrido pelo mesmo móvel durante o mesmo espaço de tempo dada na forma algébrica por:

g(x) = x2 - 8x + 12 Digam, por exemplo, se ele está de acordo com o da função f, que descreve a velocidade do mesmo móvel, que outras conclusões vocês podem tirar a respeito do que aconteceu dentro do mesmo intervalo de tempo, etc. 11.21) Dado o gráfico da função g abaixo, determine o que se pede a seguir:

a) Os intervalos em que a função g é crescente. b) As raízes da função g, se existirem. c) O valor aproximado de g(3). d) O conjunto imagem da função g. 11.22) Dada a função f : R → R, definida por f(x) = 3x - 5, pede-se: a) f ( 1/5) 11.23) Na função f : R→ R, definida por f(x) = x2 - 2x + 3, pede-se:

a) f(0) b)f(-2) c)f ( 2 )

15

4

-4 -3 -2 -1 1 2 3

3 2 1 -1 -2 -3

g

Page 57: Caderno de 1º ano

53

11.24) Seja f uma função real de variável real definida pela seguinte lei de formação: f(x) = 2x - 5. Determine: a) f(2) + f(-3) + f(0) - f(-¾) = b) O zero da função c) A representação gráfica de y = f(x).

11.25) Considere as funções f(x) = 2 – 4x e g(x) = 3(x+3) e faça o que se pede a seguir: a) Calcule o valor da expressão: f(-1) – g(-2,5) + 2f(0,5) b) Encontre os zeros das funções f e g 11.26) Considere a função real h(x) = -x2 + 3x + 4 e faça o que se pede a seguir: a) Encontre os zeros de h, se houver. b) Encontre a imagem de h. c) Esboce o gráfico de h no intervalo [-4,4]. 11.27) Calcule os valores de m para os quais y = (3m-4)x – 3 é crescente. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (2,3) e (-1,4). 11.28) Sabendo que a função h(x) é de 1o grau e que seu gráfico passa pelos pontos (-1,4) e (0,-2), encontre a forma algébrica da função h.

Page 58: Caderno de 1º ano

54

UNIDADE 9 – CARACTERÍSTICAS DE ALGUMAS FUNÇÕES GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________________ ATIVIDADE 12 - Atividades sobre funções definidas por mais de uma sentença 12.1) Vou definir uma função algebricamente com domínio e contradomínio reais.

��������

��������

����

>>>>++++−−−−≤≤≤≤≤≤≤≤++++−−−−

<<<<++++====

2xse10x7x2x0se4x2

0xse4x)x(f

a) O grupo deve investigar essa função. Isto significa saber se ela:

Possui zeros, Se é crescente ou decrescente, Se ela tem valores positivos ou negativos Se ela é continua ou se tem alguma descontinuidade,

b)Ao terminar esta investigação, o grupo irá discutir a seguinte situação: Suponha que essa função defina os lucros em dinheiro que uma empresa tenha ganho durante o tempo contado em anos. Suponha que o tempo zero signifique o momento de uma grande reforma que se deu na administração desta empresa. Portanto, o tempo negativo significaria o tempo decorrido antes da tal reforma. A discussão será feita no sentido de entender se esta reforma administrativa contribuiu ou não para um aumento no lucro da empresa durante os seis primeiros anos após a implementação da reforma administrativa.

12.2) Vou definir uma função pelo gráfico abaixo, com domínio e contradomínio reais:

a) O grupo deve investigar essa função. Isto significa saber se ela :

Possui zeros, Se é crescente ou decrescente, Se ela tem valores positivos ou negativos Se ela é continua ou se tem alguma descontinuidade, b) O grupo deve procurar definir esta função algebricamente. Não há uma única resposta que seja

correta, pois a forma algébrica será obtida por aproximação. Porém, vocês devem encontrar uma que seja a mais próxima possível.

-2

1

-2

Page 59: Caderno de 1º ano

55

c) Aplique a este gráfico a interpretação feita na letra b da primeira questão ressaltando a diferença entre as situações. Imagine que se trata de uma outra empresa que sofreu a mesma reforma administrativa. Compare os efeitos desta reforma nas duas empresas. Analise as situações antes e depois da reforma para as duas empresas.

Relatório.

Neste relatório, o grupo deverá escrever o que concluiu sobre o conceito de função através das duas atividades. Vocês devem falar sobre forma algébrica, forma gráfica, sobre a definição de uma função, elementos que foram importantes e também sobre a relação entre dado matemático e a realidade. O grupo deve fazer comentários, levantar hipóteses, mesmo que não tenham certeza de que estas são verdadeiras. Mas devem identificar quando não têm certeza de algo. 12. 3) Esboce os gráficos de: 2x – 7, se x ≤ 0 x + 2 , se x < -1 f(x) = e g(x) = x2 , se –1 < x ≤ 1 -7, se x < 0 4, se x > 1 e determine o que se pede :

a) os zeros das funções. b) x tais que f(x) < 0. c) x tais que g(x) < 0. d) a imagem das funções. 3x + 2, se x > 0 12.4) Esboce o gráfico de f(x)= 2, se -3 ≤ x ≤ 0 -x –1, se x < -3

INVERTENDO FUNÇÕES

As inversões de funções são muito freqüentes e de grande utilidade. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo1 Num certo dia e local, a posição do sol é função do tempo; mas é muito comum olharmos a posição do sol para saber as horas, ou seja, usamos a função inversa. Exemplo2

Num termômetro o volume do mercúrio é função da temperatura. No entanto, é muito comum usarmos a função inversa, ou seja, determinarmos a temperatura em função do volume.

Examinando a performance de dois atletas Ninho e Tinho são atletas com formas de treinamento diferentes para próxima maratona.

Ninho corre 5 km por dia nos 5 dias que antecedem a prova e Tinho corre 5,6,7,8,9 km respectivamente em cada dia dos 5 dias que dispõe.

Podemos descrever a situação acima através de tabelas ou diagramas.

Page 60: Caderno de 1º ano

56

Treino de Ninho Dias (x) 1º 2º 3º 4º 5º

Quilômetros Corridos 5 5 5 5 5

Quilômetros Corridos 5 5 5 5 5 Dias (x) 1º 2º 3º 4º 5º

A B B A

Sabemos que uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma relação que associa

cada elemento de A a um, e somente um, elemento de B. Podemos notar que só a primeira tabela (Ninho) representa uma função ( Função constante

de Im = {5} ). Vamos examinar as tabelas e diagramas do treino de Tinho:

Dias (d) 1º 2º 3º 4º 5º

Quilômetros Corridos (q) 5 6 7 8 9

Quilômetros Corridos (q) 5 6 7 8 9 Dias (d) 1º 2º 3º 4º 5º

A B B A

Quando analisamos o treino de Tinho, percebemos que as duas tabelas (ou diagramas )

definem funções . Vamos agora analisar outros exemplos que, quando invertemos as linhas de uma tabela que

define uma função, obtemos uma outra função.

Outro exemplo: Imaginamos que uma Van usada no transporte de pessoas ao Centro tenha seu 6 lugares

ocupados durante um mês. Logo existe uma função do conjunto L (lugares ) no conjunto P (de pessoas ), pois que cada lugar corresponde a um, e somente uma pessoa.

Carlos,Zaira,Pedro, Roberta,Sérgio e Mário são as pessoas que contrataram o transporte num certo mês.

Fazendo a tabela, temos :

Pessoas ( P) Carlos Zaira Pedro Roberta Sérgio Mário Lugares (L) 1 2 3 4 5 6

1º 2º 3º 4º 5º

5

1º 2º 3º 4º 5º

5 �

1º 2º 3º 4º 5º

5 6 7 8 9

1º 2º 3º 4º 5º

5 6 7 8 9

Lei da função q= d+4

Lei da função d= q-4

Page 61: Caderno de 1º ano

57

Fazendo o diagrama : P L

Note que o domínio da função é P e o conjunto imagem é L.Invertendo as linhas da tabela,

uma outra função pode ser estabelecida do conjunto L (dos lugares ) no conjunto P (das pessoas presentes )

Lugares (L) 1 2 3 4 5 6 Pessoas ( P) Carlos Zaira Pedro Roberta Sérgio Mário

L P

Observe agora que o domínio é L e o conjunto é P. Podemos dizer que a primeira

função (P L) inversa que é a segunda função ( L P). Se um determinado dia do mês, por algum motivo,Carlos faltou. Nesse caso os diagramas

se apresentarão assim: F C C F

Define uma função de P em L Não define uma função de P em L (nem todo elemento do conjunto L tem

correspondente em P)

Carlos Zaira Pedro

Roberta Sérgio Mário

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

Carlos Zaira

Pedro Roberta Sérgio Mário

Zaira Pedro

Roberta Sérgio Mário

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

Zaira Pedro

Roberta Sérgio Mário

Page 62: Caderno de 1º ano

58

Um outro exemplo para investigarmos se uma função dada possui inversa. Numa seção de pagamento de um banco existe dois caixas: uma que atende idosos e outra

que atende clientes do banco. Então, existe uma função do conjunto F (clientes idosos ou não )no conjunto C( caixas ) e

lembramos que num caixa pode atender vários clientes. Os diagramas nessa situação podem ser:

F C C F

Nesse caso, dizemos que a função não possui inversa.

A tabela a seguir mostra alguns valores da velocidade de um atleta numa maratona em função do tempo, nos 5 primeiros segundos da maratona.

Tempo em segundos (t) 0 1 2 3 4 5 Velocidade em m/s ( v) 0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5

Lei que define a função v =1,5t Domínio [0;5] Imagem [0;7,5] Também podemos escrever o tempo em função da velocidade: Domínio [0 ; 7,5] Imagem [0 ; 5]

Dizemos que T = 5.1

v é a função inversa de V=1,5t.

Conclusão

Define uma função (cada cliente é atendido por um único caixa )

Não define função (um caixa pode atender vários clientes )

Cl1

Cl2

Cl3

Cl4

C1

C2

Cl1

Cl2

Cl3

Cl4

C1

C2

T = 5.1

v

Dizemos que uma função admite inversa, quando ao invertermos as linhas da tabela de uma função a

nova tabela também define uma função.

Page 63: Caderno de 1º ano

59

Exercícios 1) Verifique se as seguintes funções dadas pelas tabelas,possuem inversa. A seguir dê a lei da

função dada e de sua inversa, quando existir.

t 0 1 2 3 4 5 v 0 3 6 9 12 15

x -1 0 1 2 3 y 2 2 2 2 2

e -2 -1 0 1 2 3 s -5 -3 -1 1 3 5

n -3 -2 -1 0 1 2 v 0 1 2 3 4 5

Observações As funções constantes não possuem função inversa.

Toda função do 1º grau (da forma y = ax+b ) possui função inversa cuja lei é

X = a

by −

Uma função do 2º grau (da forma y = ax² + bx + c ) pode possuir ou não inversa, dependendo do seu domínio. È muito comum denotarmos a inversa de f(x) por f-1 (x).

Falando sobre os gráficos de f e de f-1. É fácil observar que trocando a ordem dos elementos dos

pares ordenados, esses pares representados nos eixos coordenados são simétricos em relação à reta y = x .

“ Num plano,a simetria de 2 figuras em relação a uma reta pode ser entendida intuitivamente da seguinte forma : “dobrando o plano ” através daquela reta tais figuras devem ” sobrepor uma exatamente sobre a outra ” . Vejamos alguns exemplos : A (1,2) A= (2,1) B (2,5) B= (5,2) C (-2,2) C= (2,-2)

r -2 -1 0 1 2 3 c 4 1 0 1 4 9

t -2 -1 0 1 2 3 s 5 2 1 2 5 10

x -5 -4 -3 -2 -1 0 y 26 17 10 5 2 1

a) b) c) d)

e) f) g)

M1

-2 1 2 5

5 2 1

B(2,5)

B’ (5,2)

M2

A(1,2) C

C’

A’ (2,1) M3

Page 64: Caderno de 1º ano

60

Observamos que os pontos M1, M2 e M3 são os pontos médios dos segmentos determinados pelos pares simétricos, assim:

2

'

2'

2

'321

CCM

BBM

AAM

+=+=+=

Vimos que uma função facilmente inversa quando invertendo as linhas da tabela, a nova

relação sendo função será considerada a sua função inversa ( f –1 ). -1f a)(b, então f, b)(a, se Logo ∈∈

Sendo assim,se construímos os gráficos de f e f -1 num mesmo sistema de eixos coordenados; eles apresentarão uma simetria em relação à reta y=x .

Vejamos a função f definida por v =2t + 3 em todo real e a sua inversa f -1 definida por

23−= v

t .

TABELAS

t v v t -1 1 1 -1 0 3 3 0 1 5 5 1 2 7 7 2

No caso da função do 2º grau dependendo do seu domínio ela pode, não admitir inversa.

Vejamos as funções f1(x)= x² - 1 com D = R e f2 (x) =x² -1 com D = R+. Usamos neste momento tabelas com números inteiros para facilitar a construção .

f1(x)= x² - 1 D = R

x -2 -1 0 1 2 f1(x) 3 0 -1 0 3 f1(x) não admite inversa

(7,2)

y=x

f -1

f

(1,-1)

(3,0)

(5,1)

(2,7)

(1,5)

(0,3)

(-1,1)

t( para f) v( para f –1)

v ( para f) t ( para f –1)

y = x

f 1-1 ( não é função)

f1

-2 -1 0 1 2

3 1 -1

Page 65: Caderno de 1º ano

61

f2 (x) =x² -1 D = R+.

x 0 1 2 3 f2(x) -1 0 3 8 f2 (x) admite inversa

Atividades sobre funções inversas 1)Considere a função f(x) = x2 – 4. a) Determine quais devam ser o domínio e o contradomínio da função f de modo que ela possua inversa. b) Defina a função inversa de f. c) Calcule f-1(3).

Atividades sobre função composta 1) Construir o gráfico das funções abaixo nos planos cartesianos correspondentes: a) f(x) = 2x – 3 c) h(x) = 2x

b) Considere a função w(x) = x + 2. O grupo deve investigar como seria o gráfico das funções: f(w(x)), g(w(x)) e h(w(x)). Desenhe os gráficos no mesmo plano cartesiano que as funções do item a correspondentes.

y = x

f 2-1 ( é função)

f2

-1 0 2

3 -1

Page 66: Caderno de 1º ano

62

c) Agora, considere a função p(x) = x – 3. d) O grupo deve investigar como seria os gráficos das funções: F(p(x)), g(p(x)), e h(p(x)). Desenhe também estes gráficos no mesmo plano cartesiano que as funções do item a correspondentes. e) Considere a função q(x) = x – a. O grupo deve levantar conjecturas sobre os gráficos da função f(q(x)) para possíveis valores de a. 2) Sendo f(x) = 2x – 2 e f(g(x)) = 10x + 13, calcule g(x). 3) Sabendo que f(x – 3) = x – 1, determine f(2).

UNIDADE 10 - TRANSLAÇÃO E DEFORMAÇÃO DE FUNÇÃO NO PLANO

Atividade 13 13.1) Seja a função y = ½ x , determine o gráfico cartesiano desta função definida de R em R.

a) Desenhe no mesmo gráfico a curva simétrica a esta em relação ao eixo y. Qual é a lei de formação que associa x e y?

Page 67: Caderno de 1º ano

63

b) Trace a reta y = x e agora trace a curva simétrica à y = 2x em relação à esta reta. O que observou?

c) Que curva é esta? e) Represente no plano cartesiano log ½ x.

e) O que pode observar ao compará-la com y = ½ x ?

Vocês conseguiram descobrir a lei de formação das curvas simétricas tanto em relação ao eixo y, quanto em relação a reta dada? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Page 68: Caderno de 1º ano

64

13.2) Desenhe em um mesmo plano cartesiano as representações gráficas das seguintes funções: a ) f1(x) = x2 b ) f2(x) = f1(x) + 2 = x2 +2 c) f3(x) = f1(x) - 2 = x2 - 2 13.3) Tome um pedaço de papel transparente e copie o eixo OY e o gráfico que representa a função f1(x) = x2 . O que você precisa fazer para chegar com este desenho nas representações gráficas das outras funções da atividade anterior? Os gráficos têm a mesma forma? 13.4) Desenhe em um mesmo plano cartesiano as representações gráficas das seguintes funções: a ) f1(x) = x2 b ) f2(x) = f1( x +2 ) = x2 + 4x + 4 c ) f3(x) = f1( x - 2 ) = x2 - 4x + 4 13.5) Repita a atividade 16 usando os gráficos da atividade 17. 13.6) Desenhe em um mesmo plano cartesiano as representações gráficas das seguintes funções: a ) f1(x) = x2 b ) f2(x) = 2x2 c ) f3(x) = 0,5x2 d ) f4(x) = - x2 13.7) Os gráficos da atividade anterior mantiveram a mesma forma? O que aconteceu com o gráfico da função f1(x) = x2 quando o segundo membro da sentença foi multiplicado por um número negativo? 13.8) Dê a representação gráfica das seguintes funções, levando em consideração as experiências anteriores e a equivalência indicada em cada item. a ) f1(x) = x2 - 4x + 6 ⇔ f1(x) = ( x - 2 )2 +2 b ) f2(x) = x2 + 6x +5 ⇔ f2(x) = ( x +3 )2 - 4 c ) f3(x) = x2 - 2x - 1 ⇔ f1(x) = ( x - 1 )2 - 2 d ) f4(x) = x2 + 8x + 20 ⇔ f1(x) = ( x + 4)2 +4 e ) f5(x) = - x2 + 4x - 6 ⇔ f1(x) = - ( x - 2 )2 - 2 f ) f6(x) = - x2 + 6x - 6 ⇔ f1(x) = - ( x - 3 )2 + 3

UNIDADE 11 – UM ESTUDO DA FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU

GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________

ATIVIDADE 14 14.1) Construa os seguintes gráficos, no mesmo plano cartesiano:

Page 69: Caderno de 1º ano

65

a) y = x + 2 , y = x , y = x – 2 , e y = x + 1 b) y = 2x , y = 3x , y = x / 2 c) y = 3x + 1 e y = 3x – 2

d) y = 5x , y = 5x + 1, e y = 5x + 2

Page 70: Caderno de 1º ano

66

e) y = -2x , y = -2x +1 e y = -2x - 1

f) y = 2x + 3 , y = 3x +3 , y = 3x – 1 e y = 3x - 2 Agora discuta com os colegas e responda: a) Quais funções têm o gráfico passando pela origem? Você sabe explicar por que isto acontece?

b) Quais funções têm o gráfico NÃO passando pela origem? Você sabe explicar por que isto acontece?

c) Caracterize as equações que definem funções que passam pela origem. Reflita e discuta sobre as questões a seguir: 14.2) Se o gráfico abaixo representa a função f(x) = ax + b, então: a) a + b = y b) tg α = 2 β c) cos β = 4 x

α

Page 71: Caderno de 1º ano

67

14.3) Qual a área sombreada do triângulo da figura abaixo. y 14.4) Calcule a área da figura sombreada. x 4 8

14.5) Considere a distância entre 0 e 1 como 1cm. Observe o gráfico da função f(x) e determine: a) f(2) = b) D(f) = c) Im(f) = d) x tais que f(x)< 0

14.6) Desenhe em um mesmo plano cartesiano os gráficos seguintes. Busque alguma regularidade entre eles. y = -x + 3, y = x + 3, y = -x + 4, y = x + 4, y = -x – 1 e y = x - 2

43x-12

=)x(f

x

2x

-6=)x(f

y

y

x

Page 72: Caderno de 1º ano

68

a)Quais funções são crescentes e quais são decrescentes? b) Caracterize as equações que definem as funções crescentes e as decrescentes.

c) Variando o termo independente de x, qual a relação entre os gráficos? ( OBS: por exemplo, item d e f da atividade 14.1) 14.7) Classifique as funções abaixo em crescente ou decrescente. a) f(x) = 2x - 67 c) f(x) = 45 - 0,65x b) f(x) = 5 - 4(8 - x) d) f(x) = (x - 3)(x + 5) - x2 14.8) Dê os valores de m para os quais a função g(x) = (4 + 4m) - (3m - 2)x é crescente. Após isso, dê o exemplo de uma g decrescente. 14.9) Para que valores de k a função f(x) = (7 - 2k)x + (k - 6) é decrescente? 14.10) São dados os gráficos de quatro funções do tipo y = ax +b. Dê o sinal de a e b em cada caso. y y y y x x x x 14.11) Na figura a reta r representa o gráfico da função f(x) = 2x + 4 e a reta s o gráfico da função g(x) = 2x - 8 (r//s). O ponto D pertence a reta r e B é um ponto de s. Sabemos que BC e AD são segmentos paralelos ao eixo y. Determine as coordenadas dos vértices A, B, C e D deste quadrilátero. y C r s D B x A

Page 73: Caderno de 1º ano

69

14.12) Analisando o gráfico da função F(x) abaixo, responda y 4

3

2

-8 -3 0 3 12 15 x

9/2

- 6 a) Domínio de f(x)? b) Imagem de f(x) ? c) Para que valores de x temos f(x) = 0? d) Para que valores de x temos f(x) < 0 ? e) Para que valores de x temos f(x) decrescente? 14.13) Gráfico abaixo mostra o dinheiro gasto por uma empresa na produção de resmas de papel. Com base no gráfico, responda às perguntas que se seguem. custo (em R$)

240 220 180

25 50 75 qtde de resmas a) O que acontece com o custo quando não há produção? b) Quanto a empresa gasta para produzir 60 resmas de papel? c) Encontre a função que exprime o custo das resmas de papel em função de sua produção. d) Explique, baseando-se no gráfico, quantas resmas a empresa precisaria fabricar para que o preço unitário fosse o menor possível.

Page 74: Caderno de 1º ano

70

UNIDADE 12 – ESTUDO DAS FUNÇÕES DE 2O GRAU

GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ ATIVIDADE 16

16.1) Complete a tabela abaixo de acordo com a função: f(x) = x2 - 4x +3.

x f(x) Ponto - 1 8 A( -1; 8 ) 0 B( ; ) 1 C( ; ) 2 D( ; ) 3 E( ; ) 4 F( ; ) 5 G( ; )

16.2) Marque em um plano cartesiano, use papel quadriculado, os pontos da atividade anterior. 16.3) Trace a representação gráfica da função da atividade 1 unindo por uma curva suave os pontos da atividade 2. 16.4) Usando um espelho, verifique que tipos de figuras vocês conseguem formar. a ) Uma letra M b ) Uma letra W c ) Uma figura quase oval d ) Um coração 16.5) Coloque o espelho paralelo ao eixo OY exatamente no ponto do eixo OX de abscissa igual a 2. O que vocês observam? 16.6) Desenhe a reta r paralela ao eixo OY e que contenha o ponto ( 2; 0 ). Quais as distância de cada ponto da atividade 2 à reta r ? 16.7) Complete a tabela abaixo de acordo com a função: f(x) = -x2 +2x + 3.

x f(x) Ponto - 2 - 5 A( - 2; - 5 ) - 1 B( ; ) 0 C( ; ) 1 D( ; ) 2 E( ; ) 3 F( ; ) 4 G( ; )

16.8) Marque em um plano cartesiano, use papel quadriculado, os pontos da atividade anterior.

Page 75: Caderno de 1º ano

71

16.9) Trace a representação gráfica da função da atividade 7 unindo por uma curva suave os pontos da atividade 8. 16.10) Copie em um papel transparente o plano cartesiano e o gráfico que representa a parábola. Não esqueça de marcar a escala. 16.11) Dobre o papel pela reta paralela ao eixo das ordenadas e que passa pelo ponto de abscissa 1. 16.12) Repita a atividade 4 para a função da atividade 7. 16.13) Que relação existe entre as raízes e a abscissa do eixo de simetria de uma função do 2o grau?

Dizem que recordar é viver. Vocês são capazes de lembrar quanto dava a soma das raízes de uma equação do 2o grau? Havia até uma fórmula para isso, vocês estão lembrados?

16.14) Dê a representação gráfica das seguintes funções; a f x x x b f x x x

c f x x x d f x x x

e f x x f f x x x

) ( ) ) ( )

) ( ) ) ( )

) ( ) ) ( )

= − + = − +

= − + − = + +

= − = − −

2 2

2 2

2 2

6 5 4

3 2 4

8 2 3 1

O VÉRTICE DA PARABOLA

1) O gráfico ao lado representa uma função do 2o grau, f(x) = ax2 + bx +c. Observe que ela não tem raízes reais. Com relação a esta função responda:

a ) Quanto vale f(0)? Marque este valor no eixo OY. b ) Existe um outro valor de x, digamos x0, tal que f(x0) seja igual a f(0)? Marque x0 no eixo OX. c ) Que relação existe entre x0 e o xv? Qual? d ) Encontre xv em função de a e b. É possível? e ) Ë claro que yv = f(xv) . Encontre um valor para yv em função de a, b e c. Lembrando que b2 - 4ac = ∆, Escreva oura expressão para yv.

xv

yv

y

x

Page 76: Caderno de 1º ano

72

UNIDADE 13 - ESTUDO DE OUTRAS FAMÍLIAS DE FUNÇÕES

GRUPO DE ALUNOS:______________________________________________________

I - Funções modulares 1. Represente graficamente a função xxff −=ℜ→ℜ 2)(: e dê o que se pede abaixo:

a) O conjunto imagem da função f. b) O valor de f(2,5). c) Os valores de x para os quais f(x) = 3,5. 2) Represente graficamente a função

2x)x(f:f +=ℜ→ℜ - 3

e dê o que se pede abaixo: d) O conjunto imagem da função f. e) As raízes da função f, se existirem. f) O valor de f(-3). 3) Represente graficamente a função

4x2)x(f:f −=ℜ→ℜ

e dê o que se pede abaixo: g) O conjunto imagem da função f. h) As raízes da função f, se existirem. i) O valor de f(1). II – Funções trigonométricas 1) Considere as funções dadas abaixo. h(x) = sen x f(x) = 2 + sen x a) Construa o gráfico destas duas funções utilizando-se do mesmo sistema de eixos cartesianos. b) Compare os gráficos e dê as características da função f tomando como referência a função h.

(sugestão: analise o domínio, o conjunto imagem, o período e a amplitude de cada uma das funções.)

2) Esboçar o gráfico da função abaixo, analisando seu comportamento:

Se tem raízes e quais Domínio e imagem Crescimento Período e amplitude.

g(x) = )xsen( ++++++++2

23π

Page 77: Caderno de 1º ano

73

III – Funções exponenciais e logarítmicas

Recordando Potências Atividade 1 Você seria capaz de simplificar os cálculos abaixo?

a) 2048 . 256 c) (512)3 b) 524288 : 25536 d) 4 1048576

Com toda certeza a tabela abaixo facilitaria seus cálculos. Observe o exemplo abaixo:

a) . . = . = 2 15+8 = 2 19 = 524288 Você observou que a propriedade mnmn aaa +=. , foi importantes. Procure, usando as propriedades da potenciação, fazer os cálculos restantes. b) 524288 : 25536 c) (512)3

d) 4 1048576

Atividade 2

Com o auxílio da tabela construída em 1617 pelo inglês Henry Briggs. (Nessa tabela, os

números de 1 a 1000 aparecem escritos como potências de 10), vamos calcular 7 107,0 2.3 : Veja:

7 107,0 2.3 = 7 10301,07,0477,0 )10.()10( = 310101010.10 4777,07344,3

7 344,37 01,3334,0 ≅===

322

162

82

42

22

5

4

3

2

1

===

==

10242

5122

2562

1282

642

10

9

8

7

6

===

==

327682

163842

81922

40962

20482

15

14

13

12

11

===

==

2048 256 211 28

1010

910 610 310

810 510 210

710 410 110

1

0,9430,778477,0

0.9030,699301,0

0,8450,6020

====

===

===

10485762

5242882

2621442

1310722

655362

20

19

18

17

16

=

====

Page 78: Caderno de 1º ano

74

Agora é a sua vez...

1) Escreva todos os fatores na base 2 e calcule o valor de 2

23

43

41

.2.21

8.5,0.2−

��

���

���

���

2) Consulte a tabela e escreva os números abaixo como potências de 10:

a)15 b)64

c)21 d)5,5 (pense em 5,5 = 11/2)

A função exponencial Exemplo 1 - Uma determinada planta cresce a uma taxa de 100% ao mês. Considerando um comprimento inicial de 2 cm, vamos obter uma lei que forneça o comprimento y (em milímetros) em função do tempo (em meses).

• Início = 2 cm • Após um mês =4 cm • Após dois meses = 8 cm • Após três meses = 16 cm • Após quatro meses = 32 cm • Após n meses = 2 n cm Logo, y = 2 n

Os pontos (0,2), (1,4), (2,8), (3,16), (4,32) etc. Mas, como o crescimento da planta é Represente essa função no plano: contínuo, podemos desenhar o gráfico: Definimos, assim, a função exponencial y = 2 n, sendo n qualquer número real. Exemplo 2 - A pressão que a camada de ar exerce sobre um corpo, ao nível do mar, é de 1 atm (atmosfera). Um metro acima do nível do mar, é de 0,9 atm. E assim, para cada 1 m de altura, essa pressão cai em 10 %. Vamos obter a lei que fornece a pressão y (em atmosferas) em função da altitude x (em metros).

Altitude (m) Pressão (atm) 0 1 atm 1 0,9 atm 2 0,81 atm 2)9,0(≅

3 0,73 atm 3)9,0(≅

4 0,66 atm 4)9,0(≅ ... ... x (0,9)x

n (meses) x (meses)

y (centímetros)

0 1 2 3

16 8 4 1

0 1 2 3

16 8 4 1

y (centímetros)

• •

Page 79: Caderno de 1º ano

75

Logo, y = (0,9)x

Os pontos (0,1), (1 ; 0,9), (2 ; 0,8), (3 ; 0,73), Mas, como a variação da pressão ( 4 ; 0,66)etc. Represente essa função no plano: atmosférica é contínua, podemos desenhar o gráfico: Definimos, assim, a função exponencial y = (0,9)x, sendo x qualquer número real. Em geral, a função exponencial é toda função cuja lei é dada pela equação y = a x, sendo a um número negativo real positivo e diferente de 1. O gráfico da função exponencial y = a x ou f (x) = a x tem as seguintes características:

• Passa pelo ponto P (0 , 1); • Apresenta uma das seguintes configurações:

Mais atividades: 1) Esboce o gráfico das funções f(x) = 10x e g(x) = 0,1x e faça o que se pede a seguir: a) Calcule o valor da expressão: f(-1) – g(-2) + 2.f(3) b) Encontre os zeros das funções f e g, se houver c) Dê o conjunto imagem das funções f e g d) Verifique o crescimento das funções f e g.

2) A população de um país tem seu crescimento dado pela lei P = 2000000 . (1,03) n onde n é o numero de anos que decorrem depois que esse país ultrapassar dois milhões de habitantes. Observe a base da potência e esboce o gráfico dessa função. Ache a população estimada desse país para n = 2.

a > 1 0 < a < 1

y

x x

y

0 0

P P

y = a x y = a x

0,9

0,81

0,73

0,66 •

• •

0 1 2 3 4

1

x (meses)

y (milímetros)

• •

• •

0 1 2 3 4

1

x (meses)

y (milímetros)

0,9

0,81

0,73

0,66

Page 80: Caderno de 1º ano

76

3) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produzia mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9) x . Observe a base da potência e esboce o gráfico dessa função. Quantas unidades foram produzidos no segundo ano desse período recessivo? O logaritmo

O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII, quando já havia a necessidade de facilitar os complicados cálculos trigonométricos de Astronomia e da Navegação. A ideia básica era substituir operações como multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e subtração. Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço Jobst Bürzi ( 1552-1632) e o escocês John Neper (1550-1667) cujos trabalhos foram produzidos independentes um do outro. Convém mencionar que os primeiros neperianos tinham sérios inconvenientes e foram logo modificados por Neper e por Henty Briggs (1561-1631), um dos maiores admiradores do trabalho de Neper. O resultado foi o apa-recimento dos logaritmos decimais. O astrônomo Kepler (1571-1630) se interessou por essa dêsco-berta e empregou largamente esse novo instrumento nos cálculos que o levaram e descobriu sua 3º lei planetária. Reproduzimos abaixo, um trecho da tabela que Henry Briggs publicou em 1817. Na versão original, os números indicados na coluna 10m variavam de 1 a 1000 e os indicados na coluna m, apre-sentavam 14(catorze) casas decimais:

10m m .... .....

100 2,000000 101 2,004321 102 2,008600 103 2,012837 104 2,017033 105 2,021189 .... ....

Analisando a tabela podemos escrever:

102,000000 = 100 102,008600 = 102 102,012837 = 103 Os expoentes de 10 são denominados logaritmos. Logo: O expoente 2,000000 é o logaritmo de 100 na base 10. O expoente 2,008600 é o logaritmo de 102 na base 10. O expoente 2,012837 é o logaritmo de 103 na base 10. O que significa dizer que o número 2,017033 é o logaritmo de 104 na base 10? Na escrita usa-se o símbolo log para simplificar a notação de logaritmo.

Escrevemos log10104 = 2,017033 Assim a tabela de Briggs pode ser escrita com a seguinte indicação.

Page 81: Caderno de 1º ano

77

x log10 x

.... ..... 100 2

101 2,004321 102 2,008600 103 2,012837 104 2,017033 105 2,021189 .... ...

Definição de logaritmos

Considere N e a números reais positivos, com a ≠1. Definimos,

loga N = x ⇔ ax = N onde: a é a base do logaritmo; N é o logaritmando; x é o logaritmo de N na base a.

Exemplos:

a) log10 105 = 2,021189, porque 102,021189 = 105; b) log5 125 = 3, porque 53 = 125; c) log3 3 = 1, porque 31 = 3; d) log5 1 = 0, porque 50 = 1; e) log10 0,1 = -1, porque 10-1 = 0,1.

Obs: As restrições impostas à base (a >0 e a ≠1) do logaritmo garantem a existência e a unicidade do logaritmo de qualquer número positivo.

Exemplo: Se log2 5 = x, então 2x = 5.

Observando o gráfico da função y = 2x, verificamos que esse valor existe e é único.

Quando a base do logaritmo é 10, é comum não indicá-la e o logaritmo é chamado decimal. Assim log10 N = log N.

Usando logaritmo Ex1: Como calcular (1,03)100, sem usar calculadora? O valor dessa potência pode ser obtido através de uma tabela de logaritmos. Considere N = (1,03)100, observe a tabela:

x log x 1,03 0,0128 13,4 1,28

Pela 1º linha da tabela, podemos escrever a seguinte equivalência:

Page 82: Caderno de 1º ano

78

log10 1,03 = 0,0128 ⇔ 100,0128 = 1,03; Logo: N = (1,03)100 = (100,0128)100 = 101,28 � N = 101,28; O nº cujo logaritmo é 1,28 é obtido na tabela: 13,4. Ex2: Os logaritmos também podem ser aplicados em outras áreas do conhecimento. Por exemplo,

na medição de terremotos. Para medir a energia liberada pelo tremor em forma de ondas, uma das escalas mais utilizadas é a escala Ritcher. Considere R1 e R2 indicações das intensidades de dois terremotos na escala Ritcher; e M1 e M2 energias liberadas por esses tremores. A relação entre R1 e R2 é dada por:2

R1 – R2 = log 2

1

MM

Considerando que ocorreram dois terremotos, um correspondente a R1 = 6 e o outro correspondente a R2 = 4, determine a razão entre as energias liberadas. Ex3: Suponha que num sistema de engorda de gado, em regime de confinamento, cada animal tem

um ganho de peso de 8% ao mês. Considerando log 1,08 = 0,034 e log 2 = 0,301. Determine o tempo aproximado necessário para que um animal dobre de peso.

Vamos imaginar que o animal tenha hoje peso p. No mês seguinte passará a ser: p + 8%p = p + 0,08p = 1,08p Logo ao final de cada mês, o peso do animal é multiplicado por 1,08. Desse modo:

- Ao final do 2º mês, o peso será 1,08p . 1,08 = 1,082p; - Ao || || 3º mês, o || || 1,082 p . 1,08 = 1,083 p; - Ao final de n meses, o peso será 1,08n p. Desejamos saber após quanto tempo, o animal passará a pesar 2p. 1,08n p = 2p (p≠0) (1,08)n = 2

Como log 1,08 = 0,0334 ⇔ 100,0334 = 1,08 e log 2 = 0,301 ⇔ 100,301 = 2 Podemos escrever: (100,0334)n = 100,310 100,0334n = 100,310

n = 0,03340,310

= 9,281

9,281 = 9 meses + 0,281 do mês 9,281 = 9 meses + 18,43 dias

Agora faça você: Uma população de bactérias, em condições favoráveis, reproduz-se aumentando seu número em 25% a cada dia. Após quantos dias o número de bactérias será 200 vezes maior que o número inicial? Use log 2 = 0,301 e log 5 = 0,699

Page 83: Caderno de 1º ano

79

Uso da tabela no cálculo dos logaritmos Ex: Consulte a tabela abaixo e calcule:

a) 3,78 x 4,7 Pela tabela → log 3,78 = 0,5775 ⇔ 100,5775 = 3,78 log 4,7 = 0,6721 ⇔ 100,6721 = 4,7 Logo, 100,5775 . 100,6721 = 100,5775 + 0,6721 = 101,2496 = 17,76 b) 13,2 : 7,56 = 101,1206 : 100,8785 c) (1,75)10 = (100,2420)10

d) 263 = 21

(263)

Cálculo do logaritmo a partir de outro Ex: Sabendo que log 2 = 0,301 , log 3 = 0,477 e log 15 = 1,17 , calcular:

a) log 45 ( 45 = 3 x 15 )

b) log 7,5 ( 7,5 = 2

15)

c) log 9 ( 9 = 32 )

d) log 15 ( 15 = 21

15 ) Solução: Se log 2 = 0,301 , então 100,301 = 2; Se log 3 = 0,477 , então 100,477 = 3; Se log 15 = 1,17 , então 101,17 = 15;

a) Fazendo log 45 = A, temos 10A = 45 � 10A = 3 x 15 = 100,477 x 101,17 = 100,477 + 1,17 Podemos concluir que: 10A = 100,477 + 1,17 , então A = 0,477 + 1,17 = 1,647 E mais ainda: log 45 = 0,477 + 1,17 = 1,647 Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo do produto:

log A . B = log A + log B

b) Fazendo log 7,5 = B, temos 10B = 7,5 ou 10B = 15 Logo podemos concluir que:

x log x 1,75 0,2420 3,78 0,5775 4,7 0,6721 7,56 0,8785 13,2 1,1206 16,2 1,2068

17,76 0,2496 263 2,4200

Page 84: Caderno de 1º ano

80

10B = 10 1,17 - 0,301 , então B = 1,17 – 0,301 = 0,769 E mais ainda: log 7,5 = log = 1,17 – 0,301 Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo do quociente:

log BA

= log A - log B

c) Fazendo log 9 = C, temos 10C = 9 ou 10C = 32

10C = (100,477)2 = 102 x 0,477

Logo, podemos concluir que:

10C = 102 x 0,477 , então C = 2 x 0,477 = 0,954 E mais ainda:

log 9 = log 32 = 2 x 0,477

Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo da potência:

log An = n . log A

d) Fazendo log 15 = D, temos 10D = 15 ou 10D = 21

15

10D = 2117,1 )10( � 10D = 2

17,110

Logo, podemos concluir que:

10D = 217,1

10 , então D = 217,1

= 0,585

e mais ainda

log 15 = log 21

15 = 217,1

Daí podemos definir a propriedade do logaritmo do radical

log n A = n1

log A

Exercícios 1) Se log 2 = 0,30 significa que 100,30 = 2 e log 3 = 0,48, significa que 100,48 = 3, descubra:

a) log 6 b) log 1,5 c) log 210 d) log 3

Page 85: Caderno de 1º ano

81

2) Usando a tabela abaixo, calcule:

X log10 x 251 252 253 254

2,399 2,401 2,403 2,404

a) 251 x 253 (aproximadamente) b) 254 : 251 (aproximadamente) c) 254 3) (CEFET RJ) Um explorador descobriu na selva amazônica uma espécie nova de planta e pesquisando-a durante anos, comprovou que seu crescimento médio, variava de acordo com a fórmula A = 40 . (1,1)t, em que a altura média A é medida em centímetros e o tempo t em anos. Verificou também que seu crescimento estaciona, após os 20 anos, abaixo de 3 metros. Sabendo que log 2 = 0,30 e log 11 = 1,04, determine:

a) a altura média, em centímetros, de uma planta dessa espécie aos 3 anos de vida b) a idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de 1,6m.

4) Suponha que um carro sofra uma desvalorização de 10% ao ano. Em quanto tempo o valor do carro se reduzirá a um terço do valor inicial? (Use log 3 = 0,477) 5) (UERJ 2003) Jorge quer vender seu carro por R$ 40 000,00. Pedro, para comprá-lo, dispõe R$ 5 000,00, e aplica esse valor em um investimento que rende juros compostos a uma taxa de 28% a cada 2 anos. Considere que a desvalorização do carro de Jorge seja de 19% a cada dois anos, calculada sobre o valor do carro no período de dois anos imediatamente anterior. Calcule o tempo mínimo em que Pedro terá dinheiro para o carro de Jorge. Utilize em seus cálculos, log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.

Mudando de Base

As tabelas de logaritmos usadas em quase todos os livros são sempre de logaritmos decimais (base dez). Então como podemos obter um logaritmo numa base que não seja dez? Sabendo que log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 5 = 0,699 responda:

a) Qual é o logaritmo de 3 na base 2 ?

log2 3 = x � 2x = 3 A partir da igualdade podemos escrever:

log 2x = log 3 � x log 2 = log 3 � x = 2log3log

= 301,0477,0

≅ 1,586

Logo, log2 3 = 2log3log

b) Qual é o logaritmo de 27 na base 2?

log2 25 = x � 2x = 25 � log 2x = log 25 � x log 2 = log 25 � x = 644,40,310

398,12log5log2

2log25log ≅==

Logo, log2 25 = 2log25log

Page 86: Caderno de 1º ano

82

c) Faça você agora! Qual é o logaritmo de 9 na base 5? O que você observou sobre o cálculo do logaritmo procurado?

Exemplos: 1) Calcule x e y a) log8 b = x log2 b b) log27 b = y log3 b

TERCEIRA PARTE – O ESTUDO DAS EQUAÇOES

UNIDADE 14 - APLICAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

1 – Introdução O que é resolver uma equação? Resolver uma equação é encontrar soluções, valores para as variáveis de modo que ambos os

lados de uma expressão sejam matematicamente iguais. Ex: x–3 = 5. Devemos encontrar soluções para o x, de forma que iguale o outro lado da equação. Resolvendo algebricamente, a solução é x = 8. Através de artifícios algébricos consegue-se resolver esta e outras equações mais complexas. Vamos então estudar algumas equações mais complexas usando o que já sabemos a respeito de função. Vamos definir duas funções: uma delas será definida pelo primeiro membro da igualdade e a outra, o segundo membro. Chamaremos o membro da esquerda de função y1 e o da direita de y2. Então na realidade estamos resolvendo y1 = y2 ( duas funções que estão se igualando). Vamos traçar o gráfico de cada uma delas:

Observe abaixo as duas funções (y1 e y2) em um só gráfico: Graficamente, observamos que a solução é x=8.

2 – Exemplos dos diversos tipos de função 2.1) Equações exponenciais As equações que apresentam incógnitas como expoente são chamadas equações exponenciais. Na resolução de equações exponenciais, utilizamos todas as propriedades das potências. Outra propriedade usada é a seguinte:

Nosso objetivo aqui é mostrar que o método gráfico nos auxilia a visualizar melhor o que

estamos objetivando ao resolver uma equação, dividindo a equação em duas ou mais funções (como no exemplo anterior).

a a m n am n= ⇔ = > ≠ e a 1)( 0

Page 87: Caderno de 1º ano

83

Exemplo 1 Qual o valor real de x, tal que 2x = 16? chamando 2x de y1, e 16 de y2, vamos desenhar cada uma das funções:

A função y1 é crescente ( em funções do tipo y = ax, se a é maior que 1, a função é crescente; como 2 > 1, nosso gráfico também é crescente)

y2 = 16 é uma função constante. Para todo x pertencente aos números reais, y = 16

Agora, colocando ambas as funções em um só gráfico, chegamos à solução da equação: O Graphmat nos dá a resposta: x=4; olhando a figura sabemos com certeza que a resposta

está bem próxima de 5. Solução Algébrica de 24 = 16. Fatorando o número 16, obtemos 16 = 24 Logo, 2x = 24 e x = 4.

Exemplo 2

Consultando a tabela dos números expressos como potências de 10 (Henry Briggs), encontramos em valor aproximado de x, assim:

2 = 100,301

5 = 10 0,699

Como 2x = 5 ( 100,301 ) x = 10 0,699 301,0699,0=x 32,2≅x

Atividades:

1 - Encontre todas as soluções para as equações abaixo. a) 81x = 3 9

b) 10y . 0,1y = 100y – 9

c) 8a + 43a = a32

5−−−−

Page 88: Caderno de 1º ano

84

2.2) Equações logarítmicas São equações envolvendo logaritmos, onde as variáveis aparecem no logaritmando ou na base. Sendo a e b números reais tais que a>0, b>0 e b�1, chamamos de logaritmo de a na base b, o expoente real x ao qual se eleva a base b para se obter a: As condições impostas para a base são necessárias para que bx tenha significado para todo x pertencente aos números reais.

logo podemos escrever:

Exemplo Considere a equação: Segundo a definição exposta acima, x deve ser > 0 e � 1. Vamos observar o desenho de ambas as funções em um mesmo eixo: y1=y2

Veja como o gráfico se comporta: a função y1=logx(2x+15) não é contínua, pois x não

pode ser 1, logo os valores de x se aproximam de 1, enquanto os de y tendem a mais, ou menos infinito. Observe também como não existem valores negativos para x.

A solução da equação passa pelo encontro dos dois gráficos, assim x= 5. 2.3) Equações trigonométricas 1) Encontre as soluções das equações abaixo sendo x um arco pertencente à primeira volta:

a) sen x = sen 23o

b) tg 2 x = 21

log ( )x x2 15 2+ =

logbxa x b= ⇔ ≠= a, com a > 0, b > 0 e b 1

Page 89: Caderno de 1º ano

85

2) Encontre todas as soluções para as equações abaixo: a) cos 31o = cos 2x

b) sen 2 x = 43

3) Encontre as soluções para a equação abaixo, sendo x um arco ao intervalo [ -2π, 2π ]::

sen x cos x = 21

4) Encontre todas as soluções para a inequação abaixo, sendo x um numero real qualquer:

2 sen 4x ≥ - 3

5) Encontre as soluções das equações abaixo, sendo x um arco pertencente à primeira volta:

a) sen x = sen 23o

b) tg 2 x = 21

6) Encontre todas as soluções para as equações abaixo: c) cos 31o = cos 2x

d) sen 2 x = 43

Resolvendo equações que envolvem mais de uma família de funções 1) Considere as funções f(x) = sen x e g(x) = 4 – 3x. Quantas são as soluções da equação f(x) = g(x)? Justifique sua resposta. 2) Considere as funções f(x) = log x, g(x) = 9 – x2 e w(x) = 7 + x Encontre a solução para cada uma das equações e inequações abaixo:

a) f(x) = g(x) b) 0≤)x(w

)x(g).x(f c) g(x) > w(x)

3) Encontre o conjunto-solução da equação log2 (2x + 4) = log2 (3 – x). 4) Encontre o conjunto-solução da inequação )35(log2log

31

31 xx −≤ .

Page 90: Caderno de 1º ano

86

5) Encontre o conjunto-solução da inequação )3(log)42(log31

31 −≤− xx .

6) Encontre a solução da equação 0)1)(4( =−−

xxx

.

7) Quantos pontos em comum têm os gráficos das funções f(x) = log x e g(x) = 4x? Justifique sua resposta.

8) Quantos pontos em comum têm os gráficos das funções f(x) = cos2x e g(x) = 4x

?

Justifique sua resposta.

9) Considere os gráficos de f(x) e g(x) abaixo, onde f(x) é crescente e g(x) é decrescente. a) Determine g(x) y b) Determine x tal que f(x).g(x) ≥ 0 2 1 -1 1 2 3 x

10) Dê o conjunto solução da inequação: 24x24x ≥

−+

11) Quais os valores de x que tornam verdadeiras as sentenças:

a) (5 - 2x)(3x + 9) ≥ 0 b) (-x + 2)(2x - 6) < 0 12) Encontre todas as soluções para a inequação abaixo: ( )( )( )

( )2 2 4 3 5

10

x x xx

− − +−

a) Represente graficamente esta solução b) Represente por intervalo esta solução.

Page 91: Caderno de 1º ano

87

13) Represente graficamente a solução das inequações abaixo:

a) 3(4 – x) > 6

b) x – y > 0

∗∗14) Observe a solução de uma inequação e responda1: -2 3 sinal de f(X) sinal de g(x) S = { x ∈ R / x < -2 ou x > 3 } a) f é uma função crescente, decrescente ou constante? b) Dê o sinal de g(2).f(-3). c) Monte uma inequação que possa ter dado origem a esta solução.

UNIDADE 15 – SISTEMA DE EIXOS PARALELOS – UMA OUTRA REPRESENTAÇÃO PARA A FUNÇÃO DO 1O GRAU

GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ ATIVIDADE 15 Vamos estudar uma outra maneira de representar graficamente uma função do 10 grau, não é uma representação muito usada e nem tampouco conhecida, mas é super interessante, vale a pena você conhecer. A representação gráfica já conhecida é aquela que usa o plano cartesiano. Nele marcamos os pontos que representam os pares ordenados. 15.1) No mesmo plano cartesiano represente os pontos B(3;2), D(-2;1), C(-3;-2), E(2;-1), F(0;3), G(0;-2), H(2;0) e I(-3;0).

1 O exercício assinalado com ∗∗ foi elaborado pela aluna Simone Maria Levy Gonçalves Nunes (Bolsista - licenciatura, Projeto Matemática

- Viva - Cap/UERJ)

Page 92: Caderno de 1º ano

88

y

5

4

3

2

1

-4

14 -3 -2 -1

0 1

1 2 3 4 5 6 7 x

-1

-2

-3

Será que se mudássemos a posição dos eixos, colo-cando-os em paralelo como na ilustração abaixo, conse-guiríamos representar os pares ordenados?

Se você não conseguiu, veja como pode ser feito. Neste caso ao invés de utilizar-mos pontos para representar os pa-res, utilizaremos segmentos de reta. Veja o exemplo:

Representar o ponto A(2;3).

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

-3 -3

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

-3

13 -3

-4 -4

-5 -5

f(x) x

f(x) x

Page 93: Caderno de 1º ano

89

15.2) Aproveite os eixos do exemplo acima para representar os pares da atividade 15.1

Esta nova maneira de colocarmos os eixos e representarmos os pares é chamado de Representação em eixos paralelos (R.E.P).

Para você saber mais sobre a R.E.P

A representação em eixos paralelos (R.E.P), consiste em dois eixos paralelos verticais (retas numeradas). O eixo à esquerda representa o domínio e o da direita o contradomínio. O par ordenado (x,f(x)) é representado pelo segmento que une a abscissa x a sua imagem f(x), este segmento é chamado de linha de ligação.

O R.E.P foi desenvolvido pelo professor argentino Abraham Arcavi.

15.3) Faça a representação das seguintes funções.

a) f(x) = 2x + 1 x f(x) 5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

-3

13 -3

-4 -4

b) f(x) = 2x - 1 x f(x)

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

-3

13 -3

-4 -4

-5 -5

Page 94: Caderno de 1º ano

90

x f(x) 5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

-3

13 -3

-4 -4

-5 -5

x f(x)

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

x f(x)

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

-3

13 -3

-4 -4

-5 -5

c) f(x) = 3 - x

( )2

3+= xxfd)

e) f(x) = - x

Page 95: Caderno de 1º ano

91

f) f(x) = 3x + 3 x f(x)

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

-3

13 -3

-4 -4

-5 -5

Para pensar... Uma função do 1o grau é representado no plano cartesiano por um conjunto de pontos que dão origem a reta, no R.E.P toma a forma de .....

15.4) Utilizando somente a R.E.P ( sem usar a lei da função),como você poderia garantir que os pares (2,5 ; 6) e ( -1,5 ; 2 ) pertencem a função a), os pares (1,5; 2) e (-1,5; -4) a função b), (0,5: 2,5) e (-0,5; 3.5) a c) ? Encontre uma justificativa para sua resposta.

15.5) Observando um gráfico cartesiano, o valor do coeficiente angular a da função do 1o grau f(x) = ax + b pode ser encontrado facilmente. Será que observando a R.E.P., também podemos encontrar o valor desse coeficiente? Encontre uma justificativa para sua resposta. 15.6) Observando a R.E.P. abaixo, podemos afirmar que a representação é de uma função do 10 grau? Por quê?

Page 96: Caderno de 1º ano

92

x f(x)

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

-3

13 -3

-4 -4

-5 -5

O foco As linhas de ligação prolongadas se interceptam em um único ponto que chamamos de foco. A R.E.P nos permite estudar as funções através dos focos. A função é representada por um único ponto (o foco). Exemplo: As funções que possuem o coeficiente angular maior que 1 ( a > 1), os seus focos estarão localizados à esquerda do eixo x. Confira você mesmo esta afirmativa voltando na atividade 3. 15.7) Baseado nas informações já adquiridas, responda as seguintes perguntas: O que pode ser observado nas funções que apresentam seus focos localizados: a) à direita do eixo y; b) entre os eixos. 15.8) Existem funções que não possuem foco? Caso afirmativo, quais são? Continuando a observar os focos, podemos perceber que funções que possuem o mesmo coeficiente linear, os seus focos ficam localizados sobre uma reta transversal (não perpendicular) aos eixos. Veja a ilustração abaixo. Exemplo: x f(x) •••• •••• •••• 0 •••• 0 •••• ••••

Page 97: Caderno de 1º ano

93

15.9) Verifique a afirmativa acima, utilizando os eixos abaixo. x f(x)

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

-1 -1

-2 -2

-3

13 -3

-4 -4

-5 -5

15.10) a) Se representarmos várias funções na mesma R.E.P e os focos destas funções ficarem localizadas sobre uma reta paralela aos eixos. O que podemos afirmar sobre essas funções? b) E se os focos ficarem localizados sobre uma reta perpendicular aos eixos? 15.11) Quando observamos uma função representada na R.E.P. podemos afirmar se a função é crescente, decrescente ou constante? Por quê? 15.12) Na representação gráfica cartesiana, a solução de um sistema linear de duas equações é facilmente identificada pelo ponto de interseção de duas retas. Como encontraremos a solução desse sistema na R.E.P? 15.13) Até agora, as atividades propostas tiveram a finalidade de investigar algumas características importantes, sobre este novo modo de representar graficamente a função. Para finalizar o nosso estudo, descreva alguma característica que deixamos de mencionar nas atividades anteriores .

Page 98: Caderno de 1º ano

94

UNIDADE 16 – ALGUMAS TRANSFORMAÇÕES NO PLANO

GRUPO DE ALUNOS:_____________________________________________ Atividade 17 17.1) Considere a transformação que leva os pares (x,y) em (x, -y). Aplique esta transformação sobre os pontos limitados pelo triângulo ABC do plano cartesiano abaixo, e responda as perguntas a seguir: a) O que acontece com o triângulo ABC após a transformação? b) Quais são as características da figura transformada em relação à figura de origem? c) Esta transformação é função? Nesse caso, quem seria a imagem desta função. d) Classifique esta transformação entre translação, simetria, homotetia ou alongamento, projeção, etc. 17.2) Sobre o triângulo ABC abaixo, faça as transformações abaixo e utilize-as para refletir sobre as propostas a seguir (você pode também trabalhar com outras figuras no lugar do triângulo ABC): � Aplique a transformação (x,y) → (0,y) no triângulo ABC. � Aplique a transformação (x,y) → (-x,-y) no triângulo ABC. � Aplique a transformação (x,y) → (-x,y) no triângulo ABC. � Aplique a transformação (x,y) → (x,y + 2) no triângulo ABC. � Aplique a transformação (x,y) → (x + 2,y) no triângulo ABC. � Aplique a transformação (x,y) → (x + 2,y + 2) no triângulo ABC. � Aplique a transformação (x,y) → (x,2y) no triângulo ABC. � Aplique a transformação (x,y) → (2x,y) no triângulo ABC. � Aplique a transformação (x,y) → (y,x) no triângulo ABC. � Aplique a transformação (x,y) → (2x,2y) no triângulo ABC.

B

C A

Page 99: Caderno de 1º ano

95

e) Classifique cada uma das transformações acima. f) Se você considera que todas essas transformações são funções definidas sobre subconjuntos do

plano, responda: como você definiria essas funções?

UMA TRANSFORMAÇÃO NUM SISTEMA DE REFERÊNCIA MISTO 17.4) Agora considere o sistema de referência para o plano em que um par ordenado é representado da seguinte forma: a) o primeiro elemento do par determina um ângulo contado a partir da semi-reta OM. (O ângulo pode

ser medido em radianos, se quisermos usar o sistema decimal, ou em graus, caso isso não seja necessário).

b) O segundo elemento do par determina o afastamento com relação à origem da semi-reta. (Esse afastamento pode ser medido em cm ou em qualquer outra unidade de comprimento).

B

C A

Page 100: Caderno de 1º ano

96

Desse modo, o par (1,2) se utilizarmos as medidas em radianos e centímetros seria o ponto A marcado abaixo. O Agora considere as medidas dos ângulos em graus e a dos afastamentos como sendo 1 a distância entre dois círculos concêntricos e marque os pontos abaixo. B (30.2) C (45.5) D (180,2) e E (270,1) a) Desenhe o quadrilátero BCDE e diga se ele é ou não convexo. b) Faça uma rotação de 45 graus no quadrilátero BCDE em relação à origem. c) Responda: Esta rotação é uma função? Caso afirmativo, defina o domínio e a imagem desta

função.

Semi-reta de origem M

Ponto A

Ângulo de 1 radiano 2 cm

Page 101: Caderno de 1º ano

97

d) 17.5) Agora invente você uma função e represente neste sistema. 17.6) Represente a função linear y = 2x + 1 no sistema de eixos abaixo. Represente também a função y = x2

Após fazer todas as atividades, discuta em seu grupo o que se pode concluir a respeito das representações gráficas que são possíveis para as funções? ATIVIDADE 18

Discuta com os colegas suas conclusões sobre as novas representações que você trabalhou para funções e faça os itens propostos abaixo.

Page 102: Caderno de 1º ano

98

18.1) Transforme a figura dada de acordo com o que é pedido e responda as perguntas: 3 2 3 5 6 a) Faça a translação do segmento BC de 3 unidades na direção horizontal para a direita,

determinando o segmento B’C’. Como será a nova figura AB’C’D?

b) Faça a translação do segmento AB de 2 unidades na direção vertical para baixo, determinando o

segmento A’B’. Como será a nova figura A’B’CD?

c) Para cada ponto do quadrilátero ABCD, troque cada ordenada pelo seu oposto, determinando uma

nova figura. Como será esta nova figura?

d) Para cada ponto do quadrilátero ABCD, troque cada abscissa pelo seu oposto, determinando uma

nova figura. Como será esta nova figura?

e) Para cada ponto do quadrilátero ABCD, troque o que é abscissa por ordenada e vice-versa. O que

acontece com a figura?

f) Para cada ponto do quadrilátero ABCD, some 3 unidades a cada coordenada do par. Como será a

nova figura?

g) Dobre a distância de cada ponto do trapézio ABCD em relação aoponto (2,1). Como será a nova

figura?

h) Reduza à metade a distância de cada ponto do trapézio ABCD ao ponto fixo (2,1). Como será a

nova figura?

18.2) Explique o que acontece com a área de cada figura transformada acima.

18.3) Repare nos pares ordenados da figura transformada nas letras a e b e diga o que aconteceu com relação à figura de origem.

18.4) Repare nos pares ordenados da figura transformada nas letras c e d e diga o que aconteceu com relação à figura de origem.

D C

B A

Page 103: Caderno de 1º ano

99

18.5) Repare nos pares ordenados da figura transformada nas letras f e diga o que aconteceu com relação à figura de origem.

18.6) Escreva qual foi a transformação nas letras abaixo: a) (x,y) → (x,-y) e) (x,y) → (0, y) b) (x,y) → (kx, y), k ∈ R* f) (x,y) → (-x, y) c) (x,y) → (x + p, y + p) p ∈ R* g) (x,y) → (-x, -y) d) (x,y) → (x, ky), k ∈ R* h) (x,y) → (x, 0) 18.7) Observe os exemplos abaixo: ♦ Seja f: M → N (x, y) → (x + 3, y) ; onde M = {pontos do trapézio ABCD} Determinando N, temos: N = {pontos do trapézio A’B’C’D’ transladado 3 unidades horizontalmente para a direita}

♦ Seja f: P → Q (x, y) → (x, 0) ; onde P = {pontos do trapézio ABCD} Determinando Q, temos: Q = {segmento de reta com extremidades nos pontos (2,0) e (6,0)} Conclusões: 18.8) Para as funções abaixo, defina um domínio e encontre o contra-domínio: a) f: A → B c) f: A → B (x,y) → (x,-y) (x,y) → (x,x)

b) f: A → B d) f: A → B (x,y) → (0,y) (x,y) → (x, x2) 18.9) Construa o gráfico da função y = x

18.10) A partir do gráfico do exercício anterior, encontre o esboço das funções abaixo sem marcar os pontos de cada função, e sim utilizando seus conhecimentos sobre transformações no plano. a) y = x + 3 b) y = x – 2 c) y = 3x d) y = 3x + 1 18.11) Escreva qual foi a transformação em cada item da atividade anterior. 18.12) Construa o gráfico da função y = x2 18.13) A partir do gráfico do exercício anterior, encontre o esboço das funções abaixo sem marcar os pontos de cada função, e sim utilizando seus conhecimentos sobre transformações no plano. a) Y = x2 + 2 d) y = (x+3)2 b) Y = x2 – 4 e) y = 2x2 c) Y = (x-3)2 f) y = 2x2 – 4 18.14) Escreva qual foi a transformação em cada item da atividade anterior.

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ANEXO

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O logaritmo

O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII, quando já havia a necessidade de facilitar os complicados cálculos trigonométricos de Astronomia e da Navegação. A ideia básica era substituir operações como multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e subtração. Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço Jobst Bürzi ( 1552-1632) e o escocês John Neper (1550-1667) cujos trabalhos foram produzidos independentes um do outro. Convém mencionar que os primeiros neperianos tinham sérios inconvenientes e foram logo modificados por Neper e por Henty Briggs (1561-1631), um dos maiores admiradores do trabalho de Neper. O resultado foi o apa-recimento dos logaritmos decimais. O astrônomo Kepler (1571-1630) se interessou por essa dêsco-berta e empregou largamente esse novo instrumento nos cálculos que o levaram e descobriu sua 3º lei planetária. Reproduzimos abaixo, um trecho da tabela que Henry Briggs publicou em 1817. Na versão original, os números indicados na coluna 10m variavam de 1 a 1000 e os indicados na coluna m, apre-sentavam 14(catorze) casas decimais:

10m m .... ..... 100 2,000000 101 2,004321 102 2,008600 103 2,012837 104 2,017033 105 2,021189 .... ....

Analisando a tabela podemos escrever:

102,000000 = 100 102,008600 = 102 102,012837 = 103

Os expoentes de 10 são denominados logaritmos.

Logo: O expoente 2,000000 é o logaritmo de 100 na base 10. O expoente 2,008600 é o logaritmo de 102 na base 10. O expoente 2,012837 é o logaritmo de 103 na base 10.

O que significa dizer que o número 2,017033 é o logaritmo de 104 na base 10? Na escrita usa-se o símbolo log para simplificar a notação de logaritmo.

Escrevemos log10104 = 2,017033

Assim a tabela de Briggs pode ser escrita com a seguinte indicação.

x log10 x .... .....

100 2 101 2,004321 102 2,008600 103 2,012837 104 2,017033 105 2,021189 .... ....

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Definição de logaritmos

Considere N e a números reais positivos, com a ≠1. Definimos,

loga N = x ⇔ ax = N onde: a é a base do logaritmo; N é o logaritmando; x é o logaritmo de N na base a.

Exemplos:

a) log10 105 = 2,021189, porque 102,021189 = 105; b) log5 125 = 3, porque 53 = 125; c) log3 3 = 1, porque 31 = 3; d) log5 1 = 0, porque 50 = 1; e) log10 0,1 = -1, porque 10-1 = 0,1.

Obs: As restrições impostas à base (a >0 e a ≠1) do logaritmo garantem a existência e a unicidade do logaritmo de qualquer número positivo.

Exemplo: Se log2 5 = x, então 2x = 5.

Observando o gráfico da função y = 2x, verificamos que esse valor existe e é único.

Quando a base do logaritmo é 10, é comum não indicá-la e o logaritmo é chamado decimal. Assim log10 N = log N.

Usando logaritmo

Ex1: Como calcular (1,03)100, sem usar calculadora? O valor dessa potência pode ser obtido através de uma tabela de logaritmos. Considere N = (1,03)100, observe a tabela:

x log x 1,03 0,0128 13,4 1,28

Pela lº linha da tabela, podemos escrever a seguinte equivalência: log10 1,03 = 0,0128 ⇔ 100,0128 = 1,03; Logo: N = (1,03)100 = (100,0128)100 = 101,28 � N = 101,28; O nº cujo logaritmo é 1,28 é obtido na tabela: 13,4.

Ex2: Os logaritmos também podem ser aplicados em outras áreas do conhecimento. Por exemplo, na medição de terremotos. Para medir a energia liberada pelo tremor em forma de ondas, uma das escalas mais utilizadas é a escala Ritcher. Considere R1 e R2 indicações das intensidades de dois terremotos na escala Ritcher; e M1 e M2 energias liberadas por esses tremores. A relação entre R1 e R2 é dada por:2

R1 – R2 = log 2

1

MM

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Considerando que ocorreram dois terremotos, um correspondente a R1 = 6 e o outro correspondente a R2 = 4, determine a razão entre as energias liberadas. Ex3: Suponha que num sistema de engorda de gado, em regime de confinamento, cada animal tem

um ganho de peso de 8% ao mês. Considerando log 1,08 = 0,034 e log 2 = 0,301. Determine o tempo aproximado necessário para que um animal dobre de peso.

Vamos imaginar que o animal tenha hoje peso p. No mês seguinte passará a ser: p + 8%p = p + 0,08p = 1,08p Logo ao final de cada mês, o peso do animal é multiplicado por 1,08. Desse modo:

- Ao final do 2º mês, o peso será 1,08p . 1,08 = 1,082p; - Ao || || 3º mês, o || || 1,082 p . 1,08 = 1,083 p; - Ao final de n meses, o peso será 1,08n p. Desejamos saber após quanto tempo, o animal passará a pesar 2p.

1,08n p = 2p (p≠0) (1,08)n = 2

Como log 1,08 = 0,0334 ⇔ 100,0334 = 1,08 e log 2 = 0,301 ⇔ 100,301 = 2 Podemos escrever: (100,0334)n = 100,310 100,0334n = 100,310

n = 0,03340,310

= 9,281

9,281 = 9 meses + 0,281 do mês 9,281 = 9 meses + 18,43 dias

Agora faça você: Uma população de bactérias, em condições favoráveis, reproduz-se aumentando seu número em 25% a cada dia. Após quantos dias o número de bactérias será 200 vezes maior que o número inicial? Use log 2 = 0,301 e log 5 = 0,699

Uso da tabela no cálculo dos logaritmos

Ex: Consulte a tabela ao lado e calcule:

a) 3,78 x 4,7 Pela tabela → log 3,78 = 0,5775 ⇔ 100,5775 = 3,78 log 4,7 = 0,6721 ⇔ 100,6721 = 4,7

Logo, 100,5775 . 100,6721 = 100,5775 + 0,6721 = 101,2496 = 17,76

b) 13,2 : 7,56 = 101,1206 : 100,8785

c) (1,75)10 = (100,2420)10

d) 263 = 21

(263)

x log x 1,75 0,2420 3,78 0,5775 4,7 0,6721 7,56 0,8785 13,2 1,1206 16,2 1,2068 17,76 0,2496

Page 113: Caderno de 1º ano

Cálculo do logaritmo a partir de outro

Ex: Sabendo que log 2 = 0,301 , log 3 = 0,477 e log 15 = 1,17 , calcular:

a) log 45 ( 45 = 3 x 15 )

b) log 7,5 ( 7,5 = 2

15)

c) log 9 ( 9 = 32 )

d) log 15 ( 15 = 21

15 ) Solução: Se log 2 = 0,301 , então 100,301 = 2; Se log 3 = 0,477 , então 100,477 = 3; Se log 15 = 1,17 , então 101,17 = 15;

a) Fazendo log 45 = A, temos 10A = 45 � 10A = 3 x 15 = 100,477 x 101,17 = 100,477 + 1,17 Podemos concluir que: 10A = 100,477 + 1,17 , então A = 0,477 + 1,17 = 1,647 E mais ainda: log 45 = 0,477 + 1,17 = 1,647 Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo do produto:

log A . B = log A + log B

b) Fazendo log 7,5 = B, temos 10B = 7,5 ou 10B = 15 Logo podemos concluir que:

10B = 10 1,17 - 0,301 , então B = 1,17 – 0,301 = 0,769

E mais ainda:

log 7,5 = log = 1,17 – 0,301

Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo do quociente:

log BA

= log A - log B

c) Fazendo log 9 = C, temos 10C = 9 ou 10C = 32

10C = (100,477)2 = 102 x 0,477

Logo, podemos concluir que:

10C = 102 x 0,477 , então C = 2 x 0,477 = 0,954 E mais ainda:

log 9 = log 32 = 2 x 0,477

Daí, podemos definir a propriedade do logaritmo da potência:

log An = n . log A

d) Fazendo log 15 = D, temos 10D = 15 ou 10D = 21

15

Page 114: Caderno de 1º ano

10D = 2117,1 )10( � 10D = 2

17,110

Logo, podemos concluir que:

10D = 217,1

10 , então D = 217,1

= 0,585

e mais ainda

log 15 = log 21

15 = 217,1

Daí podemos definir a propriedade do logaritmo do radical

log n A = n1

log A

Exercícios

1) Se log 2 = 0,30 significa que 100,30 = 2 e log 3 = 0,48, significa que 100,48 = 3, descubra:

a) log 6 b) log 1,5 c) log 210 d) log 3

2) Usando a tabela abaixo, calcule:

X log10 x 251 252 253 254

2,399 2,401 2,403 2,404

a) 251 x 253 (aproximadamente) b) 254 : 251 (aproximadamente) c) 254 3) (CEFET RJ) Um explorador descobriu na selva amazônica uma espécie nova de planta e pesquisando-a durante anos, comprovou que seu crescimento médio, variava de acordo com a fórmula A = 40 . (1,1)t, em que a altura média A é medida em centímetros e o tempo t em anos. Verificou também que seu crescimento estaciona, após os 20 anos, abaixo de 3 metros. Sabendo que log 2 = 0,30 e log 11 = 1,04, determine: a) a altura média, em centímetros, de uma planta dessa espécie aos 3 anos de vida b) a idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de 1,6m.

4) Suponha que um carro sofra uma desvalorização de 10% ao ano. Em quanto tempo o valor do carro se reduzirá a um terço do valor inicial? (Use log 3 = 0,477) 5) (UERJ 2003) Jorge quer vender seu carro por R$ 40 000,00. Pedro, para comprá-lo, dispõe R$ 5 000,00, e aplica esse valor em um investimento que rende juros compostos a uma taxa de 28% a cada 2 anos. Considere que a desvalorização do carro de Jorge seja de 19% a cada dois anos, calculada sobre o valor do carro no período de dois anos imediatamente anterior. Calcule o tempo mínimo em que Pedro terá dinheiro para o carro de Jorge. Utilize em seus cálculos, log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.

Page 115: Caderno de 1º ano

Mudando de Base As tabelas de logaritmos usadas em quase todos os livros são sempre de logaritmos decimais (base dez). Então como podemos obter um logaritmo numa base que não seja dez? Sabendo que log 2 = 0,301, log 3 = 0,477 e log 5 = 0,699 responda:

a) Qual é o logaritmo de 3 na base 2 ? log2 3 = x � 2x = 3 A partir da igualdade podemos escrever: log 2x = log 3 � x log 2 = log 3 � x =

logo log2 3 = 2log3log�

301,0477,0 ≅ 1,586

b) Qual é o logaritmo de 27 na base 2?

log2 25 = x � 2x = 25 � log 2x = log 25 � x log 2 = log 25 � x = Logo, log2 25 =

c) Faça você agora! Qual é o logaritmo de 9 na base 5? O que você observou sobre o cálculo do logaritmo procurado?

Exemplos: 1) Calcule x e y a) log8 b = x log2 b b) log27 b = y log3 b