caderno biofisica

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BIOFISICACadernodeApoio-2007MiguelTavarelaFerreiraSumarioPrefacio 5Avalia caoePrograma 6Avalia c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Objectivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Frequenciaemetododeavalia c ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Programa Biofsica-2007/2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 FundamentosdeFsica 91.1 No c oesteoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.1 Calculovectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.2 No c oesdecinem aticaedinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Energiaetrabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.4 An alisedimensionaleunidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 FluidoseHemodinamica 262.1 No c oesteoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.1 Hidrost atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.2 Din amicadeuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 OndasLuzeSom 443.1 No c oesteoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.1 Movimentoharmonico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.2 Ondasesuaspropriedades gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.3 Interac c aodaluzcomamateria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.4 Araiolaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 EnergiaeFundamentosdeTermodinamica 634.1 No c oesteoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.1 Leizerodatermodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.2 Temperaturaecalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.3 Dilata c aotermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.4 Leideconserva c ao deenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.1.5 Transportedeenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6815 FsicadoN ucleo,dePartculaseRadia cao 705.1 No c oesteoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.1 N ucleoatomicoeradioactividade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.2 Usoseperigosdaradia c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1.3 Aplica c aoderadia c ao emmedicina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 Electrosiologia 786.1 No c oesteoricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.1.1 Princpiosdeelectricidadeemagnetismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.1.2 Difusaodei oesepotencialdamembrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.1.3 Transportepassivoeactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.1.4 Oelectrocardiograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91AOAlfabetoGrego 93B ConstanteseParametrosFsicos 94CPrexosparaPotenciasde10 952ListadeFiguras1.1 Adi c aogeometrica devectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Decomposi c ao devectoresnassuascomponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Sistemadecoordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Movimentodeumpontomaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Princpiodeac c ao-reac c ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Movimentocircularuniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 AnaveSputnikII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Centrodemassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9 Bin ariodefor cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 Equilbriodocorporgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.11 Determina c aodocentrodemassadeumanimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.12 Momentosdefor casemmedicinaI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.13 Momentosdefor casemmedicinaII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.14 Momentosectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 PrincpiodeArquimedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Tens aosupercialdaagua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Ilustra c ao doprincpiodeconserva c ao demassa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Ilustra c ao doprincpiodeBernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Oescoamento laminarealeidePoiseuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Escoamento deumuidoemtornodeumobst aculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.8 Movimentodeumcorponumuidoviscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.9 Medi c aodavelocidadedecircula c ao sanguneapelometodolaser. . . . . . . . . . . 372.10 Turbulencianoescoamento sanguneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.11 Rela c aoentrepress ao efor ca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1 Estudodamola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Resson ancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Ondaelectromagnetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4 Ondaslongitudinaisetransversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Perodo deonda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.6 Comprimentodeonda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7 Interferenciadeondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8 Varia c ao daintensidadedeluzcomadistancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.9 EfeitoDoppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.10 Coroa lunar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.11 Difrac c aodaluz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.12 Poderderesolu c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5233.13 OsbanhistasemAsni`eredeGeorgesSeurat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.14 Espectroelectromagnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.15 Varia c ao dobrilhosolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.16 Aatmosfera terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.17 Transmit ancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.18 AparelhoderaioX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.19 Bremsstrahlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.20 EfeitoCompton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.21 Raiolaserag as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.22 Invers ao depopula c aonumraiolaser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.23 Fotoesemitidospelolaser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1 Condu c aotermica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2 Oprocesso deconvec c ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3 Radia c ao emitidaporcorposadiferentestemperaturas. . . . . . . . . . . . . . . . 684.4 Mudan cadefase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1 Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 Anti- atomosdehidrogenio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3 Tumorcerebral comatecnicadoTEP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.1 Equa c ao deNerst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2 Transporte activo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3 Esquemadeumcanaldei oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.4 Activa c aoeinactiva c aodocanaldes odio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.5 Potencialdeac c ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.6 Opotencialdeac c aocardaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.7 Opotencialdeac c aodonodoSA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.8 Electrocardiograma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.9 Monotoriza c ao electrocardiogr aca aumc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.10 EsquemaexemplicandoaondaPQRST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.11 Rela c aoentreoelectrocardiograma eospotenciaisdeac c ao . . . . . . . . . . . . . 896.12 Taquicardia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.13 Electrocardiograma deumc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.14 Pacemaker emmedicinaveterin aria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904PrefacioEstecadernofoielaboradocomoobjectivodeservirdeapoio`asaulas. Masn ao e,nempretendeser,umsubstitutodasaulasnemdelivros.Em cada captulo poder a encontrar uma breve introdu c ao teorica ao tema, bem como exercciosresolvidos e exerccios propostos. Muitos dos exerccios aqui presentes n ao s ao originais masretiradosouadaptadosdelivrosdetextoreferenciados nabibliograa.Apesardocuidadotidonaescrita,estecadernon aoest acertamenteisentodeincorrec c oesouimprecis oes. Agrade copoisquemecomuniquemtodososerros queencontrarem notexto.Ultimarevisaodeconte udos: 2007DocumentotranscritoparaambienteLateXporLusaCaladoeMiguelTavarelaFerreira.5Avalia caoeProgramaAvaliacaoBiofsica e uma disciplina semestral do curso de Medicina Veterin aria do Departamento de CienciasAgr arias da Universidade dos A cores. Esta disciplina decorre no 1osemestre do curso. A sua cargahor aria ede4horassemanais(te oricasepraticas),aquecorrespondem 3unidadesdecreditos.ObjectivosO objectivo desta disciplina efornecer aos alunos deste curso os conceitos e conhecimentos b asicosdefsicanecess arios `acompreensao defen omenosbiologicosedetecnologias usadasemmedicina.FrequenciaemetododeavaliacaoOsistemadeavalia c ao dependedoregimedeinscri c ao dosalunos. RegimeOrdin arioA avalia c ao efeita por tres testes escritos (75%),e por um trabalho individual apresen-tadooralmente(25%). N aoh aobrigatoriedadedefrequenciaaumn umeromnimodeaulas. RegimeVolunt arioAavalia c ao efeitaporexameescrito.DefesadeNotaTodos os alunos que obtenham nota igual ou superior a 17 (Dezassete) valores tem de efectuar umaprovadedefesadenota.6ProgramaBiofsica-2007/20081. No c oesfundamentaisdeFsica(a) Grandezasescalares evectoriais. Calculovectorial.(b) No c oesdemovimento.(c) Vectoresposi c ao,deslocamento, velocidadeinstant aneaeacelera c ao instant anea. Velo-cidademedia.(d) Movimentocircularuniforme. Aplica c aoaoestudodacentrifuga c ao.(e) LeisdeNewtonesuaaplica c ao. Equilbriodeumpontomaterial.(f) Centrodemassa. Momentodeumafor caemrela c ao aumponto.(g) Equilbriodeumcorporgido. Momentosectores. Aplica c oesembiofsica.2. FluidoseHemodinamica(a) No c ao de uido. Conceito de densidade e press ao. Fluidos compressveis e incompress-veis.(b) Est atica de uidos. Varia c ao da press ao com a profundidade. Princpio de Arquimedes.Aplica c oesembiofsica.(c) Din amica de uidos. Fluidos ideais e viscosos. Escoamentolaminar e turbulento.N umerodeReynolds. Escoamentos permanentesevari aveis.(d) Leideconserva c ao demassa. Caudal.(e) LeideBernoulliparauidosideias. Aplica c oes.(f) Escoamento de uidos viscosos. Lei de Poiseuille. Resistencia de um uido ao movimentodeumcorponoseuinterior-LeideStokeseLeideNewton.(g) Tens aosupercialdelquidoseofen omenodecapilaridade.(h) Hemodinamica.(i) Difusao.(j) Osmoseeosmoseinversa.3. Ondas: Luzesom(a) Propriedades geraisdeondas.(b) Som: Intensidadeac usticadesom. Somcomoumaondamecanica.(c) Luz: Espectroelectromagnetico. Dualidadeonda-partcula. LeisdeSnelldareex aoerefrac c ao daluz. Reexaototaldaluzesuaaplica c ao. No c aodepolariza c ao, difus aoedispers aodaluz. Aberra c aocrom atica.(d) Interferenciaedifrac c aodosomeluz. Poderresolventedeumalente. Ousodeultra-sonseinfra-sons porseresvivos.(e) Interac c aodaluzcomamateria.(f) Absor c aoetransmissaoderadia c ao -LeideLambert-Beer.(g) OraioXeradiologia. Olaseresuaaplica c ao.4. FundamentosdeTermodinamica(a) Calorespeccoecalorlatente. Expans ao termica.7(b) Primeiraleidatermodinamica.(c) Transportedeenergia: condu c ao,convec c ao eradia c ao.5. Fen omenosnucleareseradia c ao(a) On ucleoatomicoeasfor casnucleares. Aestabilidadedon ucleo.(b) Leisdeconserva c ao massa-energiaecarga electrica.(c) Aleidodecaimentoradioactivo. Decaimentosesuasaplica c oes.(d) Medi c aodaradia c ao.(e) Efeitosbiologicos dasradia c oes.6. Electrosiologia(a) For ca de Coulomb. No c ao de campo electrico e potencial electrico. Leis de Ohm e Joule.Condensadores.(b) Ocampomagneticoeasuaimport anciaembiofsica.(c) Biofsica de membranas. Potenciais electroqumicos. Equilbrioi onico e potenciaiselectricos damembrana. Equa c oes de Nerst e Goldman. Potencial de repousoe abombades odio/potassio.(d) Potenciaisdeac c ao.(e) Ofuncionamentocardaco. Oelectrocardiograma.8Captulo1FundamentosdeFsicaConte udos Grandezasescalares evectoriais. Representa c ao devectores. M odulo,direc c aoesentidodeumvector. Opera c oes comvectores. Decomposi c aodeumvectoremcomponentescartesianas. Versores. Representa c ao devectoresnoutrossistemasdecoordenadas. Deriva c ao deumvector. No c oesdemovimento. Vectoresposi c ao,deslocamento,velocidadeeacelera c ao. Velocidademedia. Movimentocircularuniforme-Aplica c ao`acentrifuga c ao. LeisdeNewtoneasuaaplica c ao. Equilbriodopontomaterial. No c aodecentrodemassa. Determina c aodecentrodemassadeumservivo. Momentodeumafor ca. Equilbriodeumcorporgido. Momentosectores: aplica c oes emanatomia. Princpiosfsicosdeconserva c ao deenergia,massaecarga electrica. An alisedimensionaldeequa c oesegrandezasfsicas. Unidadesfundamentaisederivadas.91.1 Nocoesteoricas1.1.1 CalculovectorialGrandezaescalar-dadaporumn umero(escalar)quepodeserumafun c aodediversasvari aveiscomootempoouvari aveis espaciais,e.g. temperatura,densidade,carga electrica...Grandezavectorial - possui uma intensidade (m odulo, norma ou grandeza do vector), uma direc c aoeumsentido, e.g. for ca,velocidade... Umvectorser arepresentadoquerporumaletracomumaseta,querporumaletraanegrito,e.g. ovectorvelocidadeser arepresentado porV ouV .Opera c oescomvectoresAdi c aodevectoresAadi c aodevectoresgozadaspropriedadescomutativaeassociativa. Aadi c aogeometricadevectorespodeserobtidapelaregradoparalelogramo apresentada naFig.1.1.Figura1.1: Adi c aogeometricadevectores.A multiplica c ao de um vector por um escalar c n ao nulo origina um novo vector com a direc c aodovectororiginalemagnitudecvezesamagnitudedovectororiginal. Secformaiorquezeroosdoisvectorester aoomesmosentido,casocontrarioter aosentidosopostos. Nocasoparticulardec = 0obtemosovectornulo,semdirec c aoesentidodenido.Asubtrac c aodevectoresn aoemais doqueumasomaatendendo`apropriedade

A

B=

A + (1)

B.Decomposi c ao deumvectoremcomponentesEscrevendo

Ax= Ax

i,

Ay= Ay

j sendo Ax e Ay as normas dos vectores

Ax e

Ay respectivamente,pela regra do paralelogramo obtemos

A =

Ax+

Ay= Ax

i +Ay

j. Os escalares Axe Aydesignam-seporcomponentesdovector

A.Seja a comprimento (norma) de

A dado por A, ent ao Ax= Acos , Ay= Asin e A2= A2x+A2you___

A___ =

A =_A2x +A2y.No espa co tridimensional escrevemos

A = Ax

i+Ay

j+Az

k ou equivalentemente

A = (Ax, Ay, Az).Deigualmodo___

A___ =

A =_A2x +A2y +A2z.Norma, modulo, magnitude, intensidade e comprimento de um vector s ao sin onimos e representam-sepor ||

A||, |

A|ouapenasA.Opera c oes naformaalgebricaSeja

A = Ax

i +Ay

j +Az

ke

B= Bx

i +By

j +Bz

k.10Figura1.2: Decomposi c aodevectores nassuascomponentes.A soma de dois vectores e dada por

A+ B= (Ax+Bx)

i +(Ay+By)

j +(Az+Bz)

k. Procede-sedemodosemelhanteparaasubtrac c ao.Sistemasdecoordenadasnoplanoeespa coNoplanoPara alem das coordenadas cartesianas h a outros sistemas de coordenadas sendo o mais comumodecoordenadas polares.Ascoordenadas s ao: (, )embora,porvezes,seuseremvezde.-distanciadoponto`aorigem.-anguloentreoeixodosxeovectorposi c aodoponto.Figura1.3: Sistemadecoordenadas polares.Dascoordenadascartesianasobtemosascoordenadaspolares=_x2+y2e=arctanyx.Dascoordenadas polaresobtemosascoordenadas cartesianas x = cos ey= sin.Da gura, por projec c ao, pode-se obter a rela c ao dos versores nos diferentes sistemas decoordenadas:e= cos

i + sin

je= sin

i + cos

j.Notequeosversoresdosistemadecoordenadaspolaresn aos aoxosnoespa coevariamcom(verExerccio 4-b).111.1.2 NocoesdecinematicaedinamicaMovimentodeumpontomaterialFigura1.4: Traject oria deumpontomaterial,vectoresposi c aoedeslocamento.Daguraobtemosovectordeslocamentor = r2r1,eavelocidadeinstant anea e

V=limt0rt=drdt.A velocidade media (do dia a dia) n ao e mais do que Vm= d/t, em que d e o caminho percorrido(deslocando-se da Universidade ate Angra e regressando `a Universidade, o seu deslocamento e nulomasn aoocaminhopercorrido, que eigual`adistanciatotalpercorrida) etotempodecorrido.Porsuavez,aacelera c ao eumamedidadavaria c ao davelocidadea =d

Vdt=ddt(V )v +Vddt(v),emqueV-modulode

V , v-versor nadirec c aode

V .H aacelera c aosemprequeovectorvelocidadevarie, i.e., semprequevarieouamagnitudeouadirec c aodovector(e.g. nomovimentocircular uniformeamagnitudedavelocidade econstantemasadirec c ao evari avel).LeisdeNewton1aLei deNewton(PrincpiodeInerciadeGalileu)Se num corpo n ao actuar nenhuma for ca ou a resultante das for cas for nula, o estado de repousooumovimentodocorpomantem-seinalterado.Reicta:Seaplicarumafor caaumcami aoTIRemrepousoeledeveriaalteraroseuestadoderepouso,masobserva-se queelen aosemexe. Ser aqueestaleis oevalidaemcasosidealizadosedepoucaaplica c aopratica?2aLei deNewton

F= maSenumcorpoactuarumafor caresultante

F,eleter aumaacelera c ao dadapor a =

F/m.Reicta:Seemdoiscorposdiferentesactuaremfor casiguaiscomoser aoassuasacelera c oes? Amassadeumcorpoeumamedidadainerciadessecorpo,i.e., medearesistenciadeumcorpoamudan casaoseuestadodemovimentoourepouso.Efundamental entender queestalei eumalei vectorial. Afor caeacelera c aos aovectoresnecessariamente comamesmadirec c ao esentidoecomintensidadesproporcionais.123aleideNewton-Princpiodeac c ao-reac c aoSeo corpo Aexerce uma for ca nocorpo B(ac c ao), ent ao ocorpo B exerce umafor ca nocorpoAcomamesmaintensidade,direc c ao,massentidocontrario (reac c ao).Exemplo:Figura 1.5: Ilustra c ao do princpio de ac c ao-reac c ao com o sistema Terra-Lua. A for ca que a TerraexercenaLua edeigualintensidade`afor caqueaLuaexercenaTerra.Reicta:Ondesesituaopontodeaplica c aodafor caqueaTerraexercenaLua? Qual doscorpos, TerraouLua,ter amaioracelera c ao?MassaepesoNalinguagemcorrente efrequentearmar-se: OToinopesa80kg. Estaarma c ao eincorrectadopontodevistafsico. Deveriaantesdizer-seOToinotem80kgdemassa.O peso e uma for ca, e por isso uma grandeza vectorial e a sua intensidade medida em unidadesde for ca. O peso e a for ca que, no nosso caso, a Terra exerce sobre um corpo Peso e for ca gravticaser aousadoscomosin onimosemboraalgunsautoresdesignemporpesoasomadafor cagravticacomasfor casn ao-inerciais resultantesdarota c ao terrestre,i.e.,afor cacentrfuga. Estepesoter aumaintensidade diferente se for medidona Lua eser a nulo no espa co interestelar. A massa eumamedidadainerciadocorpoeimut avel1.Reicta:ATerraexerceumafor caemumanimal (peso)mas, peloprincpiodeac c ao-reac c ao, oanimaltambemexerceumafor canaTerraedeigualintensidade. Ent aoporqueraz aoequeeoanimalcai naTerraen aoaTerraque cai emdirec c aoaoanimal?No caodeequilbriodeumpontomaterialUmpontomaterial diz-seemequilbriosees oseafor caresultantequeactuanocorpoenula.Nestecaso,elepoder aestaremrepousoouemmovimentorectilneouniforme.MovimentocircularuniformeNestetipodemovimentoomodulodavelocidadeeconstantemasn aoovectorvelocidadequemudadedirec c ao ao longo dopercurso. Logo h aacelera cao,denominadaacelera c ao centrpeta(deforaparadentro),cujomodulo edadoporac= V2/R,sendoRoraiodaorbita.Ecomumfazermosreferencia`afor cacentrfugaen ao`aacelera c aocentrpeta. Ora,dopontodevistadocorpoemmovimento(e.g. passageirosdumcarroemcurvaapertada, objectonumacentrifugadora) emaissimplesinterpretaresteefeiton aoinercialcomoumafor caemdetrimento1Estaarma c aos o ev alidaemfsicacl assica.13Figura 1.6: Movimento circular uniforme. Aqui erepresentado o vector velocidade em dois pontosda traject oria e o vector diferen ca. Este vector n ao e mais do que o vector acelera c ao e e na direc c aoradial.deumaacelera c ao. Assim, estaacelera c aodeforaparadentro(centrpeta)podeigualmenteserinterpretadacomoumafor cadedentroparafora(centrfuga). Devemosnoentantoestarcientesque,emrigor,n aosetratadeumafor ca.Exemplo:ConsidereocasodoSputnikIIemquefoienviadaparaoespa coacadelaLaikaemNovembrode1957. Admitindoqueoperododaorbitaerade2horasdetermineoraiodasuaorbita.Figura1.7: AnaveSputnikII.Resolu c ao:Emorbita, a unicafor caeafor cagravticaepelalei deNewton, Fg=ma. SubstituindoFg=GMTm/R2eac= V2/RedadoqueV= 2R/P,obtem-seR =3_GMTP242= 7594km.Podemosresolveroproblemadeacordocomooutropontodevista, maisdosensocomum,quee dizer que afor cade gravidade(nosentidodocentrodaTerra) e contrabalan cadapela14for cacentrfuga (nosentidocontrario)GMTmR2= mV2R,queematematicamenteidentica`aequa c ao escritaanteriormente.CentrodemassaOcentrodemassapodeserdenidoparaumsistemadepartculaspontuaisouparaumcorpocontnuocomoumapessoa. Intuitivamente, ocentrodemassaeumaespeciedepontomediodeum corpo. No caso de o corpo ser homogeneo o centro de massa coincide com o centro geometrico.Seconsiderarmosumconjuntodepartculasdemassamievectorposi c aorient aoalocaliza c aodocentrodemassa edadapor:

R =m1r1 +m2r2 +... +mnrnm1 +m2 +... +mnousejaX=m1r1 +m2r2 +... +mnrnm1 +m2 +... +mn, etc,emque

R = (X, Y, Z).Exemplo:Considereumabolademassa10kgligadaaoutrabolademassa5kgporumabarrargidademassadesprezavelecomprimento1m. Determineocentrodemassadosistema.Figura1.8: Centrodemassa.Consideremos um referencial com origem no centro da bola de 10kg. Denotemos as coordenadasdesta bola por (x1, y1) e as coordenadas da outra bola por (x2, y2). Ent ao x1= 0, y1= 0, x2= 1m,y2= 0eascoordenadadocentrodemassas aoX=10 0 + 5 110 + 5=13m; Y= 0.Ano c aodecentrodemassadeumcorpoefundamental. EstandoumcorpodemassaMsobreainuenciadefor casexternas

Fext, oseucentrodemassadesloca-secomacelera c aodadapor: a=

Fext/M. Assim, ocentrodemassamove-secomosetodaamassadocorpoestivesseaconcentrada. Comoexemplo, consideremosadisciplinadeatletismodolan camentodomartelo.Apesar do movimento complexo do martelo, o seu centro de massa tem uma traject oria parabolicasimplesdescritapelasequa c oes demovimentodeumpontomaterialdeigualmassa.Aposi c aodocentrodemassadeumanimaletambemcrucialparaasualocomo c aoeparaoseuequilbrioest avelacadainstante. Comomostraoexemploanterior,ocentrodemassadeumcorpopodeestarnocorpoounoseuexterioreasuaposi c aovariacomaltera c oesdaformadocorpo.Reicta:Um bal ao cheio de ar e em repouso e arrebentado com uma agulha desfazendo-se em varios peda cosprojectados nasvariasdirec c oes. Comosemovimentaocentrodemassadobal ao?15Momentodeumafor caOmomentodafor caFemtornodeumpontoedadoporT= Fd sinemquedeobra codafor ca e oangulo entre afor ca eo bra co. O bra co dafor ca ea distancia do ponto deaplica c ao dafor caaopontoemtornodoqualpretendemoscalcularomomento.Se a for ca tender a rodar o corpo no sentido dos ponteiros do rel ogio, ent ao o momento da for caenegativo,casocontrario ele epositivo.EquilbriodeumcorporgidoFigura 1.9: Bin ario de for cas. A resultante das for cas e nula, mas o corpo ir a rodar pois o momentoresultante en aonulo.Umcorpo rgido est aemequilbrio searesultante dasfor cas externas fornulaeseomomentodasfor casexternasemtornodeumpontoqualquerfortambemnulo:

j

Fj= 0

jTj= 0,comtodososTjcalculadosemrela c ao aomesmoponto2.Exemplo:Considere uma t abua homogenea de 1m de comprimento e 12Kg de massa. Uma marceneira seguranat abuaexercendoafor caF1decimaparabaixocomamaodireitanaextremidadedat abuaeexercendo uma for ca F2 de baixo para cima a 20cm do ponto de aplica c ao da for ca F1. Determinarasfor casF1eF2.Figura1.10: Equilbriodocorporgido.2Nestecursoapenasiremosconsiderocasodasfor casestaremtodasnomesmoplano.16Resolu c ao:Emequilbrio

F= 0e

M= 0,ouseja,F2F1mg = 0eF10 +F2(0.2) 0.5 mg = 0(ocentro de massa da t abua est a no meio da t abua). Resolvendo obtemos F1= 420N, F2= 300N.Reicta:Noexemploanterioroc alculodosmomentosfoi feitoemfun c aodopontodeaplica c aodafor caF1. Repitaosc alculosconsiderandoocentrodemassadat abuacomoopontoparaoc alculodosmomentos.1.1.3 EnergiaetrabalhoTrabalhoOtrabalhorealizadoporumafor cademagnitudeFnodeslocamentoelementardsdeumcorpoedadoporW=Fds cos , sendooanguloentreafor caeodeslocamento. Nocasogeral , aodeslocar deum ponto A a Bo trabalho edado pelo integral decaminho_BA

F.

ds. Nestecurso n aoser anecess ariodeterminarmos integraisdecaminho.Umafor cadiz-seconservativaseotrabalhorealizadoporessafor caaodeslocarumcorpodoponto A ao ponto B e independentedo caminho tomado para ir de A para B,quaisquer que sejamospontos AeB.Exemplos defor cas conservativas s ao opesoeafor ca electrica, poroutro lado,oatrito eumafor can aoconservativa (tambemdesignadapordissipativa).EnergiacineticaAenergia demovimento ou cineticadeum corpo edaforma Ec=12mV2,em quem ea massa docorpoeV asuavelocidade(m odulodovectorvelocidade).EnergiapotencialAenergiapotencial eumamedidadacapacidadederealizartrabalhopor partedeumafor ca.Assim, temosdiversasformasdeenergiapotencial comoaenergiapotencial gravtica, aenergiapotencialelasticaeaenergiapotencialelectrica.Princpiosdeconserva caoAs leis fsicas, apesar de por vezes apresentarem formas muito diversas, est ao na maioria dos casosassentesemprincpiosfsicoselementares. Algunsdestesprincpioss ao: Conserva c ao demassa Conserva c ao deenergia Conserva c ao demomentolinear Conserva c ao demomentoangular. Conserva c ao decargaelectrica ...Teoremadeconserva caotrabalho-energiaEste teorema diz-nos que W= Ec- a varia c ao da energia cinetica de um corpo e igual ao trabalhodasfor cas queneleactuam. Esteteorema evalido querpara for cas conservativas querpara for casn aoconservativas.17Conserva caodeenergiaAenergiadeumcorpoondeactuemapenasfor casconservativaseconservada. Seconsiderarmosdoisinstantes,inicialenal,ent ao:Eci +Epi= Ecf+Epf,em que Ecrepresenta a energia cinetica e Epa energia potencial (de origem electrica, gravtica,...).Exemplo:Naquedadeumapedrainicialmenteemrepouso, h atransforma c ao deenergiapotencialgravticaemenergiacinetica`amedidaqueapedracai damontanha, masaenergiatotal, i.e. asomadaenergiacineticaepotencial, econservada.1.1.4 Analisedimensional eunidadesUsamoscomograndezasfundamentais3: Tempo-T Massa-M Comprimento-LUma grandeza fsica X tem dimensoes dadas por: [X] = MLT, em que , e s ao n umerosinteiros.Observemos que:1. Umagrandezavectorial eoseumodulotemasmesmasdimensoes([

V ] = [V ])2. SeA=B, ent aoasdimensoesdeAedeBtemqueseriguais(naofazsentidotermassa=comprimento!). Deigualforma,s opodemosadicionar grandezas comasmesmasdimensoes.3. N aopodemosconfundirdimensoescomunidades.Exemplos1. Determinemosasdimensoesdavelocidade,

V=ddtr; [

V ] = [

drdt] = [rt] = LT1,poisasdimensoesders aoL,easdeumtempoT.2. DeterminemosasdimensoesdaconstantegravitacionalG. Sabendoqueafor cagravticaedadaporF= Gm1m2/d2eF= ma,ent ao[F] = [ma]= MLT2(Eq. 1),poisa = dV/dt.Porsuavez[Gm1m2/d2] = [G][m1m2][1/d2] = [G]M2L2eent aousandoaeq. (1)obtemos[G]M2L2= MLT2[G] = M1L3T2.3. Imaginemosquen aonoslembramosseaenergiacineticaedadaporEc=mV/2ouEc=mV2/2. Aan alisedimensionalpodefacilmentetirar-nosestad uvida.Senoslembrarmosqueaenergiapotencial edadaporU=mghequeassuasdimensoess ao[U]=[mgh]=MLT2L=ML2T2, ent aoaenergiacineticasendoumaoutraforma3Outrasdimens oess aonecess arias paradescrever alguns tiposdefenomenoscomoporexemploosfen omenoselectricosetermicos.18deenergiater aqueterasmesmasdimensoes. EscrevendoEc= mV/2oobjectivoeent aodeterminar o expoente . As suas dimensoes s ao [Ec] = [mV/2] = M(LT1)= MLT.Ora, paraqueasdimensoessejamiguais`asdaenergiapotencialenecess arioque=2, oqueesclareceanossad uvida.UnidadesNuncaedemaisreal caraimport anciadeatribuirunidades`asgrandezasfsicas. Comoexemplo,considere aarma c ao: A distancia de Angra `a Praia s ao 15.Everdadeira ou falsa?A arma c aoeincorrectapoisn aoereferidaaunidadeemqueemedidaadistancia. Seforemquil ometros,aarma c ao efalsa,masseforemmilhasaarma c ao ja ecorrecta.AsunidadesfundamentaisnoSistemaInternacional (SI)s ao: L-metro(m) T-segundo(s) M-kilograma (kg)Assim,podemosfacilmentedeterminar asunidadesdealgumas grandezas fsicasmais comuns.Reicta:Determineasunidadesdevelocidade,acelera c ao, for canoSI.Comofacilmentesemostraaenergiatemunidadeskgm2s2aquesed aonomedeJoule(J).Este tipo de unidade e muito util pois permite simplicar as unidades e e denominada por unidadederivada. Outrosexemploss aooNewtoneoWatt.191.2 Exerccios1. Seja

A = 3

i + 2

je

B=

i

j(a) Representeosvectores

A,

B.(b) Determineasomadosvectorespelaregradoparalelograma.(c) Determine

A

Bgeometricamente.(d) Determineasomadosvectoresalgebricamente erepresente-o.(e) Calcule 2

Berepresente-o.(f) Calcule

A +

B e

A +

B.(g) ConsidereopontoPdecoordenadas cartesianas x=2, y=2. Determineas suascoordenadas polareserepresente-o.Resolu c aoparcial:d)

A+

B= 3

i + 2

j +

i

j= 4

i +

jou

A +

B=(3,2)+(1,1)=(4,1)e)2

B= 2(

i

j)=2

i 2

jf)

A +

B =4

i +

j =42+ 12=17;

A +

B =_32+ 22+_12+ (1)2=13 +2.Conclumosque

A +

B =

A +

B.g)r=_x2+y2=22etan =yx=1 =45o=225o, pelogracoasolu c aocorrecta eaprimeira.2. SejaA = 3i + 4j 2k, B = i +j +kedetermine:(a)

A +

B(b)

A

B(c)

A +

B e

A+

B3. AvelocidadedeumbarcoArelativamenteaumbarcoB e

Vrel=

VA

VB.(a) DetermineavelocidadedobarcoAemrela c ao aobarcoBerepresenteosvectores

VA,

VBevelocidaderelativasabendoque: VA=50km/hnadirec c aoEste, VB=30km/hnadirec c aoNorte.(b) Umbarcodesloca-secomvelocidadede 5km/hparanorte emrela c ao`aagua. Porsuavezaaguadesloca-sea8km/hsul +2km/hoesteemrela caoaofundodomar.Representeestesdoisvectoreseovectorvelocidadedobarcoemrela c aoaofundodomar.4. (a) Ovectorposi c aodeumapartcula edadopor r = 3t

i +t2

j +et

k.i. Determineovectorvelocidade(v=ddtr).ii. Determineovectoracelera c ao (a =ddtv).20Resolu c aodaalnea(i)

V=ddtr =ddt(3t

i) +ddt(t2

j) +ddt(et

k) = 3

i + 2t

j +et

k(ddt

i =ddt

j=ddt

k =

0,poisosversores dascoordenadas cartesianas s aoxos).(b) Sabendo a rela c ao entre os versores em coordenadas polares e os versores em coordenadascartesianas, determinedder,dde. Escreva oresultadoemcoordenadas polares.5. Sejaovectorposi c aodeumapartculadadoporr=3t

i + 2

j m. Determineosvectoresvelocidadeeacelera c ao. Quetipodemovimentosetrata? Determineanormadovectorvelocidade.6.`Avelocidademediade50km/hquantotempodemoraairdeAngra`aPraia? (adistanciaentreestasduascidades ede24km.) ExprimaoresultadoemunidadesdoSI.7. Avelocidadedosomnoarenosoloerespectivamente340m/se420m/s. Aocaminharno Far-West americano, SittingBull ouve ao longe o cavalgar dealguns cavalos. Encostandoum ouvidoao solo detectaumatraso de2s nosom quevem doarem rela c ao aoquevem dosolo. AquedistanciadeSittingBullest aooscavaleiros?8. Nolaboratorioh aumacentrifugadorade10cmderaiocapazdeatingiracelera c oesde100vezesaacelera c ao gravtica terrestre.(a) Determineon umeroderota c oesporminutodestacentrifugadora.(b) Determineaacelera c ao centrpetadasuamaquinadelavarroupa.(c) Imagine que coloca uma planta num dispositivo que a faz rodar r apida e continuamentedurante meses ou anos. Como crescer a a planta em rela c ao a outra n ao sujeita a rota c ao?9. (a) Um automobilista desloca-se de Angra `a Praia `a velocidade media de 70 km/h e efectuaaviagem de regresso `a velocidade mediade 90 km/h. Determine a velocidade mediadetodaaviagememostrequeelan aoe80km/h,i.e., avelocidademedian aoeamediadasvelocidades(b) Imagine que se desloca`acidade daPraia`avelocidade mediade 40km/h. Aquevelocidademediatemqueregressarparaqueavelocidademediadaviagemtotal seja80km/h?Resolu c ao:(a) Seja: Dist anciaAngra -Praia -D;tempodeida-t1;tempodevolta-t2;tempototal-t.Recordando a deni c ao de velocidade, V=dist anciatempo, obtemos uma rela c ao entre o tempoeadistancia:IdaV1=70km/h,t1=D/70;voltaV2=90km/h,t2=D/90.`Aviagem totaldeidaevoltacorresponde umadistanciade2Deumtempodeviagemdet=t1+t2.Usando a rela c ao t=2D/V, em que V e a media de velocidade da viagem total, obtemosD70+D90=2DVV=2170+190= 78.75km/h.21(b) Resolva.10. Umautomobilista viajasem cintodeseguran ca etemumacolis ao frontalcom outroveculoque faz com que seja projectado pelo p ara-brisas. Qual e a for ca que o projecta para a frente?ExpliqueoquesepassoucombasenasleisdeNewton.11. Critiqueaseguintearma c ao: A1ae3aleis deNewtonn aopodemser ambas validas.Imagine umajuntadeboispuxandoumacarro ca. Sea3alei evalida ent ao`afor ca exercidapela junta de bois corresponde uma outra for ca de igual intensidade e direc c ao mas de sentidocontrarioaoqueacarro caexercenosbois. Afor caresultanteeent aonulaepela1alei deNewtonacarro can aosepodemoverseestavainicialmenteemrepouso! Se,poroutrolado,a1alei est acorrectaent aoofactodeacarro caentraremmovimentomostraqueasfor casn aos aoiguaisemmagnitudeoqueimplicaquea3alei efalsa!12. Determineaposi c aodocentrode massade umc aosabendoqueabalan cadaesquerdaregistra 20Kgeadadireita16Kg. Asbalan casest aodistanciadasde1,5m.Figura1.11: Determina c aodocentrodemassadeumanimal.13. Considereag.1.12representandoocasoemqueoantebra cofazumangulode50ocomobra coeamaocarregaumobjectode15Kg. Seamaoeoantebra coemconjuntotiveremumamassade4Kgeseoseucentrodegravidade estivera20cmdocotovelo, determine:(a) Amagnitudedafor caexercidanoantebra copelosbicpites.(b) Afor caexercidapelocotovelo noantebra co.14. Considereodispositivodagura1.13usadoparafortalecer osquadricpites.OcorpoWtemmassade10kgeaplacaumamassade2kg.(a) Determineos momentos das for cas do peso da t abua e do peso W em torno do ponto Oquandoat abuaest anahorizontal.(b) Repitaosc alculosdaalneaanterior quando = 30o.(c) Sabendoqueadistanciadnagura e30cmdetermineafor caexercidapelope.15. Osmomentosectoresexercidosnosossospodemserdiminudosquandomaisdoqueumm usculoexerce for ca noosso ouseom usculotiverumainser c ao emforma delequenoosso.AdmitaqueF1=2F2, equeobra cotemumcomprimentode50cm. Considereoesquemadag.1.14representativo dobra coeantebra co:22Figura1.12: Momentosdefor casemmedicinaI.Figura1.13: Momentosdefor casemmedicinaII.(a) Calculeamagnitudedasvariasfor casexistentes.(b) Determineosmomentoectoresexercidosnosvariospontosdoosso.(c) Repitaosc alculosanteriores paraocasoemquen aoexisteumafor ca.16. Uma aguia ca ca fazendo um voo em queda livre ate `as suas presas. Neste tipo de voo a aguiachegaaatingirvelocidadesmaximasde400km/h. Considereumaaguiaaplanaraumaaltitudede2km. Eladetectaumapresavoandoaumaaltitudede100mecome caumvooemquedalivreate`apresa. Determineavelocidadequeaaguiaatingeaochegar`apresa.Compareessavelocidadecomavelocidademaximadada. Qualaorigem dadiscrepancia?17. Converta aunidadesdoSistemaInternacional:(a) v=10km/dia;(b) L=1mm;(c) = 1g/cm3.23Figura1.14: Momentosectores.18. (a) Qualamassade1m3deaguacujadensidade e1g/cm3?(b) Considerearela c ao: V=cx, cumaconstante, V-velocidade, x-posi c ao. Quaisasdimensoesdaconstantec?19. Veriqueseasseguintesrela c oesest aocorrectas sobopontodevistadimensional:(a) mgh=mV2,(b) x=gt(c)

F=ddt(m

V )(m-massa,V-velocidade,t-tempo,x-deslocamento,g-acelera c ao gravtica,t-tempo,h-altura.)20. Classiqueasseguintesarma c oesdeVouF,justicandobrevemente.(a) Asomadedoisvectoresoriginaumescalar.(b) Anormadeumvectorpodeserpositiva,negativaounula.(c) A posi c ao dum ponto na superfcie terrestre e melhor descrita em coordenadas cartesianas.(d) Press ao, volumeecomprimentos aograndezas escalares.(e) Afor cadopesodocorpoA e30kg.(f) AmassadocorpoA e30kg.(g) Afor cadopesodocorpoA eigualnaTerraenaLua.(h) Seafor caresultantenumcorpofornulaent aoocorpoest aemrepouso.(i) Seumcorpoest aemrepousoent aoafor caresultantequeactuanocorpo enula.(j) Consideremos duasgrandezas fsicas AeB.SeA =Bent ao asdimensoes deAeBs aoiguaisassimcomoassuasunidadesnoS.I..(k) Se

V =constante a=0.(l)Enecess arioquehajamaterianocentrodemassadeumcorpo.(m)E suciente que o somat orio das for cas que actuam num animal seja zero para que estejaemequilbrio.24(n) Numcorpoemequilbrioest atico,omomentototaldasfor casemtornodeumponto enulo.25Captulo2FluidoseHemodinamicaConte udos No c aodeuido. Conceitodedensidadeepress ao. Hidrost atica. Varia c ao dapress ao comaprofundidade.PrincpiodeArquimedes. Din amicadeuidos. Fluidosideaiseviscosos. Escoamentolaminareturbulento. N umerodeReynolds. Leideconserva c ao demassa. Caudal. Fluidosideais: LeideBernoulli. Fluidosviscosos: EscoamentodePoiseuille; resistenciadeumuidoaomovimentodeumcorponoseuinterior-LeideStokes. Lquidos: Tens aosupercialeofen omenodecapilaridade. Hemodinamica. Difusao. PrimeiraleideFick. Osmoseeosmoseinversa.262.1 NocoesteoricasConceitosbasicosDensidadeA densidade de um corpo e a massa por unidade de volume do corpo que, em geral, varia de pontoparapontoenotempo. Matematicamente: = limV 0MV=dMdVou dM= dV.Naformaintegral escreve-se M=_dV , enocasodeumcorpodedensidadeconstanteobtem-se simplesmente M=V . Os uidos paraos quais adensidadee constante dizem-seincompressveis. Geralmenteeumaboaaproxima c aoconsideraroslquidos,masn aoosgases,como incompressveis. A unidade do S.I. de densidade e kgm3. Alguns autores usam, erradamente,densidadeparaaquantidadeadimensional / agua.Figura 2.1: A densidade da agua salgada e superior `a da agua doce. (a) agua doce (b) agua salgada.H arelatosdenaviosqueap osumacidente,masaindautuando,s aorebocados ateumporto(deagualdoce)echegandoaafundam-secomoresultadodamenorutuabilidadedaaguadoce.PressaoApress aoeaintensidadedefor caexercidapelouidoporunidadedeareanumasuperfcierealouimaginarianadirec c aodanormalaessasuperfcie.Afor caesemprenormal`asuperfciedevidoaofactodeumuidoemrepousoserincapazdesuportarumatens aodecisalhamento (tensoestangenciais).Notarqueafor ca eumagrandezavectorial eapress ao umagrandeza escalar.Aunidade de press aodoS.I. e oPascal, 1Pa =1Nm2. S aotambemusadas commuitafrequencia asunidades: atmosferas -1atm =1.013 105Pa;milmetros demerc urio (outorr) -1mmHg=1.33 102Pa,eaunidadebar-1bar=1 105Pa.Eaindacomumousodeunidadesimperiaisdelibrasporpolegadaquadrada -1psi = 6894.6Pa,eemmeteorologia efrequenteousodaunidadehectopascal.Reicta:Como epossvel deitar-senumacamadepregossemsentirdor,masaosentar-se numpregosentedor(n aoexperimente!!)?272.1.1 HidrostaticaVaria caodapressaonumuidoemrepousoApress aodeumuidoaumentacomaprofundidadedeacordocomalei P=P0 + ghsendoP0apress aoemumnveldereferenciaehaprofundidade,i.e.,adistanciacontadadecimaparabaixo. Recordemosqueacausadoaumentodapress aocomaprofundidaderesultadosimplesfactodopesodouidoaactuarnumadadasuperfcieiraumentandocomaprofundidade.Alei, naformaapresentada,s oevalidaparauidosincompressveis, i.e., dedensidadecons-tante.E por isso de aplica c ao limitada para o estudo de gases como e o caso da atmosfera terrestre.Reicta:1. Um mergulhador de garrafa n ao deve suster a respira c ao enquanto sobe, sob risco de danicarospulmoes. Porque?2. Umbal aode S. Joaosobe ate umaalturamaximae caestacion arioenquantoque umsubmarinoalcan caofundodomarsesecome caraafundarenenhumaaltera c aoforfeita.Porque?PrincpiodeArquimedesUmcorpomergulhadonumuidorecebe, porpartedeste, umafor ca, cujadirec c aoevertical ecujo sentido e de baixo para cima e intensidade igual ao peso do volume de uido deslocado - for cadeimpulsao1.A for ca deimpulsao e de intensidade uidogV ol,V ol- volume do corpo imerso (que pode sermenorqueovolume totalmasnuncamaior!). Notequeadensidade eadensidadedouidoen aodoobjecto.Figura2.2: Princpiode Arquimedes. Apress aonoponto1e superior `apress aonoponto2resultandodaumafor canosentidoascendente,afor cadeimpulsao.Exerccio:Determineasdimensoesde uidogV oleveriquequetemdimensoesdeumafor ca.Este princpio permite-nos compreender um enorme n umero de fen omenos do nosso quotidiano.Aocolocarmos umcorporgidonumlquidopodemocorrer tressitua c oesdiferentes:1. Ocorposobenolquido, emergeumapartedoseuvolumees odepoisseimobiliza(caautuar).1Em alguns dos livros recomendadosde tradu c ao brasileira a for ca de impuls ao e designada por for ca de empuxo.282. Ocorpoimobiliza-senaposi c aoemqueodeixamos possuiutuabilidadeneutra.3. Ocorpodescenolquidoeimobiliza-senofundodorecipiente.Nocasodetermos umuidogasosoas situa c oess aosemelhantes aouidolquido, comasaltera c oes resultantes dog asserumuidocompressvel, e.g. ocorpodesce/sobenaatmosferaateasuadensidadeigualaradaatmosferaqueorodeia,casoistosejapossvel,ouatecairnosolo.Exemplo:Umhipop otamoarrefecebanhando-senasaguasdorioZambeze. Asuadensidademediae=0.99 103kgm3e a da agua = 1.0 103kgm3. Determine a percentagem do volume do animalqueest aimersa.Resolu c ao:Como a densidade do animal e menor que a da agua, ele ir a utuar. Em equilbrio, a for ca do pesodeintensidade animalV olgeigual(masdesentidocontrario)`afor cadeimpulsaodeintensidadeI animalV olg- eafrac c ao devolumeimersa.P= I animalV olg = aguaV olg V olV ol=animal agua= 0.99.Conclumosent aoqueapercentagem deanimalimerso ede99%.O cerebro e extremamente fr agil e n ao suporta o seu proprio peso. Assim, no nosso cranio existeumuido,uidocerebroespinal, quepermiteaocerebroestarnumestadodequaseutuabilidadeneutra.Reicta:Doisaqu ariosidenticosest aocheiosdeaguaate`aborda, masnumdelesutuaumpeixemorto.Qualdosaqu arios emaispesado?Eseopeixeestivervivoeparado ameiaagua?Tensaosupercial eofenomenodecapilaridadeFen omenos emqueintervematens aosupercial s aonossos conhecidos nodiaadia: insectosquesedeslocam`asuperfciedaagua, gotas deaguasuspensas (cf. g. 2.3) ebolas desab ao.Estesfen omenosresultamdaexistenciadefor castangenciais`asuperfciedeumlquido. Aonvelmicroscopio, estafor caresultadefor caselectrost aticasentreasmoleculasdolquido. Podemoscompararoquesepassanasuperfciedeumlquidoaumamembranadeborrachaesticada. Sezermos um pequeno corte na membrana, os dois lados do corte separam-se, a for ca que os mantinhaunidos, afor cadetens ao, deixade sefazer sentir. Assim, asuperfciedeumlquidoquandoperturbadapelopesodeumobjectoexerceumafor canoobjectoresultantedatens aosupercial,em semelhan ca com o que aconteceria se o objecto fosse colocado numa membrana elastica esticada.Denimosamagnitudedatens aosupercial por=Fl , ouseja, atens aosupercial eumafor ca por unidade de comprimento. Consideremos uma bolha esferica de um lquido (e.g. bolha desab ao) deraior.A tens ao supercial do lquido exerce uma for ca resultante para o interior da bolha de intensidadeF=2(2r) , sendoofactor 2resultantedabolhadolquidoter dois lados. Estafor caeequilibradaporumafor caparaoexteriorresultantedasdiferen casdepress aoentreointerioreoexterior Fp=(PiPe)A=(PiPe)r2. Em equilbrio,4/r=(PiPe)(equa c ao deLaplace).Reicta:1. Quaisasdimensoeseunidadesdetens aosupercial?292. A press ao no interior de uma bolha e maior ou menor que no exterior?Se formar duas bolhasdesab aoderaiosr=2cmer=10cm,qualaraz aoentreasdiferen casdepress aonosdoiscasos?Figura2.3: Tens aosupercialdaagua.Ofen omenodecapilaridaderesultadaac c aodatens aosupercial. Aointroduzirumcapilarnumrecipientecomlquido, olquidon aocaaomesmonvel dentroeforadotubo, elesobeoudesce dentro do capilar conforme molha ou n ao as paredes do tubo. A altura que o lquido sobe oudesceresultadafor cadasparedesdocapilarque puxam ou empurram olquidoemreac c ao`afor ca resultante da tens ao supercial (ac c ao capilar). No caso de um capilar de sec c ao circular estaaltura edadaporh = 2 cos /rg,emqueeoanguloentreadirec c aodatangente`asuperfciedouidoeaverticalnopontodecontactoentreouidoeotubo.2.1.2 DinamicadeuidosPropriedades doescoamentodeumuido: Permanente ou nao-permanente (tambem designado por estacion ario ou n ao estacion ario).Um escoamento diz-se permanente se as grandezas fsicas que caracterizamo uido num ponton aovariamcomotempomasapenasdepontoparaponto. Viscosoounao-viscoso: Apesardetodososuidosseremviscosos2, h asitua c oesondeaviscosidade pode ser desprezada sem alterar o resultado da descri c ao do escoamento do uidoefacilitandoacaracteriza c ao fsico-matematica doescoamento- uidosideais. Laminar ou turbulento: Aumentando a velocidade a que um uido viscoso u em torno deum obst aculo, o escoamento passa de estacion ario em que simplesmente contorna o obst aculopara umescoamento em quea velocidade num ponto varia com o tempooudeumamaneiracclica ou de uma maneira caotica. O tratamento matematico da turbulencia e extremamentedifcileaindan aoexisteumateoriadaturbulencia.Lei deConserva caodeMassaNumescoamentopermanente,amassadeuidoqueentraemAporunidadedetempo(uxodemassa)eigualaouxoemB. Matematicamentepodemosescreverestarela c aocomoASAVA=BSBVB,ouequivalentementeSV =constante,emqueSeaareadasuperfcie.2Atemperaturaspertodozeroabsolutoepossvelobteruidossemviscosidade-ossuperuidos.30Figura2.4: Ilustra c aodoprincpiodeconserva c aodemassa. OafunilamentodotubodeAparaBaumentaavelocidadedouido.ConsiderandoocasoilustradonaFig.2.4,comoaareadotuboemAemaiordoqueemB,enecess arioqueavelocidadeou/eadensidadeaumentemdeAparaB. Oslquidoss ao,numaboaaproxima c ao, incompressveis, ent ao = constante e a lei de conserva c ao de massa pode ser escritacomoSV =constante. DenimosocaudalcomosendoovolumedeuidoquepassaporunidadedetempoQ=SV .Reicta:QuaisasdimensoeseunidadesnoS.I.decaudal?Lei deBernoulliA lei de Bernoulli e valida para escoamentos permanentes de uidos incompressveis e n ao viscosos,ediz-nosqueP+ gh +12V2econstanteaolongodeumalinhadecorrente. Seouidoforirrotacional3ent aoaconstante eamesmaemtodoouido;estavaiseranossabasedetrabalho.Exemplo:Considereumatubagemhorizontaldesec c aocircularderaio1me0.2memcadaumadasextre-midadessendoavaria c aodoraioaolongodatubagemgradual. Umuidoincompressvelcirculacomvelocidade1m/secompress aode7atmnaextremidademaislargadotubo. Determineavelocidadeepress ao douidoaopassar napartemaisestreitadotubo(uido = 2 103kgm3).Resolu c ao:Aleideconserva c ao demassadiz-nosquenapartemaisestreitadotubotemos:Ve= Vl(r2lr2e) = 25ms1.AplicandoaleideBernoulli,Pe +gh +12V2e= Pl +gh +12V2l,ecomoasduasextremidadesest aoaomesmonvel:Pe= Pl +12(V2lV2e ) = 7 105+12 2 103(12252) = 0.76 105Pa = 0.76atm.Conclumos que a velocidade na sec c ao mais estreita do tubo e mais elevada, como intuitivamenteesperaramos, mas a press ao e mais baixa. Ou seja, se a velocidade aumenta ent ao a press ao diminuicomoilustraag. 2.5.Ecomorigemnestadiferen cadepress aoquesurgeafor caqueaceleraouido.3Umuidodiz-se comrotacionalseaocolocarmosumpequenoobjectonumqualquerlugardouido eleadquiremovimentoderota c ao-vorticidade.31Figura2.5: Ilustra c aodoprincpiodeBernoulli. Noslocaisdemaiorvelocidadeedeigualalturaapress ao emenor.EscoamentolaminardeuidosviscososOescoamentodeuidosviscososnoregimelaminaremtubagensdesec c aocirculareregidopelaleidePoiseuille4:Q =(P1P2)r48L.Estaequa c aopodeserescritacomoQ=(P1 P2)/R, emqueRearesistenciahidrodinamica,R = 8L/r4. Note a analogia entre esta equa c ao e a lei de Ohm para circuitos electricos, I= V/R.`Adiferen cadepress ao corresponde adiferen cadepotencialelectricoeaocaudalaintensidadedecorrente.Nocasoden aohaverviscosidaden aoenecess arioexistirumadiferen cadepress aoparaquehaja movimento do uido.E tambem de notar que se a viscosidade do uido aumentar ent ao, paramanterocaudalconstante, enecess ario aumentaradiferen cadepress ao.Estaexpress aotemcomorevela c aomaisimportanteagrandedependenciadocaudal noraiodatubagem. Sediminuirmosoraioametade,ocaudalresultante eapenas6.25% doinicial!TurbulenciaUma grande parte dos escoamentos relevantes para o dia a dia n ao s ao laminares mas turbulentos.Econvenientedenir umagrandezaadimensional, n umerodeReynolds, queearaz aoentreainercia e a for ca de viscosidade Re= DV/, em que e a densidade do uido, Va sua velocidade,asuaviscosidadeeDumadimensaocaracterstica. Estadimensaopodeserodiametrodeumaesferaoucilindroqueouidocontorna,ouodiametrodeumatubagemporondeouidoescoa,etc.Ousodon umerodeReynoldsedeimport anciacrucial. Ocomportamentodedois uidosdistintoss opodesercomparado setiverem iguaisn umerosdeReynolds.Eistoquepermiteousodemaquetasparaoestudodebarragens, pontes,avi oes,etc.4V alidoparauidosNewtonianos(regrageraltodososuidosconstitudospormoleculassimples). N ao ev alidopara alguns uidos importantes como o sangue ou solu c oes de polmeros. H a tambem alguns uidos com propriedadesel asticas(e.g. claradeovo,liquidosinovial).32Figura2.6: Oescoamentolaminar e alei dePoiseuille. Numuidoviscosoe necess arioumadiferen cadepress aoparaquehajamovimento.Seconsiderarmosumuidoemmovimentoeformosaumentandoavelocidadedeescoamento(aumentando Re) o uido passa de laminar a turbulento coma forma c aode vortices que sepropagamequebramquerdeumamaneiraregular, querdeumamaneirairregularoucaotica.On umeroaquesed aapassagem delaminaraturbulentodependedoproblemaemquest ao. Nocasodoescoamento deumuidonumatubagemcilndricaesten umero eaproximadamente 2000.Figura 2.7: Escoamentode umuido emtornode umobst aculo. Ajusante do obst aculoomovimento eturbulentocom apresen ca devortices. Longedoobst aculo oescoamento mantem-selaminar.MovimentodeumcorponumuidoviscosoEequivalenteconsiderarmosomovimentodeumcorponumuidoemrepousoouomovimentodouidoemtornodeumcorpoemrepouso(obstaculo). Defacto, oimportanteeomovimentorelativo. Afor cadeatritodinamicoou,nalinguagem deuidos,afor cadeviscosidade,opor-se- aaomovimento.Estes conceitos s ao extremamente importante para o estudo da sedimenta c ao de partculas numuido como a agua ou a atmosfera e para compreendermos o funcionamento de uma centrifugadora.33Figura2.8: Movimentodescendentedeumcorpo numuidoviscoso sujeito`asfor cas dopeso(P),deimpulsao(I)ederesistencia douido(F).No caso do escoamento do uido ser laminar, a for ca de viscosidade e proporcional `a velocidade,F= CrV , em que Ce uma constante numerica e r o raio caracterstico do corpo. No caso de umcorpoesferico,C= 6,eobtemosaleideStokes,F= 6rV . Nocasodoescoamentodouidoser turbulento, a for ca de viscosidade e proporcional a V2e n ao a V , ou seja, um uido turbulentoexerceumafor cadeviscosidadecommaiordependencianavelocidadedoqueumuidolaminar.Nocasodetransi c aoentrelaminareturbulentooproblemaemaiscomplicadoen aoh aumaleisimplesparaodescrever.Exemplo:Considereumapoeiraderaio0.1mmedensidade = 3 103kgm3quecainomar( = 1.025 103kgm3). Determineavelocidadeterminal dapoeirasabendoqueoescoamentoelaminareaviscosidadedaagua e = 1.0 103Ns/m2.Resolu c ao:Ograoatingeasuavelocidadenalouterminalquandoavelocidadeetalqueafor caresultanteactuantenograo enula. Pela1aLeideNewton,omovimentomanter-se- a inalter avel.

FR= 0 Peso=Impuls ao+for cadeviscosidade,gV ol = aguagV ol + 6rVterminalEnt ao,Vterminal= gV ol( agua)6r=29gr2( agua) = 0.04ms1OsmoseedifusaoConcentra caoConsideremos uma solu c ao aquosa constituda por um soluto e um solvente. H a in umeras maneirasdeexprimirconcentra c ao. Algumasdasmaisfrequentessao: Molaridade: numerodemolesdesolutoporlitrodesolu c ao. Osmolaridade: molaridade don umerototaldepartculasprovenientesdosoluto(e.g. umasolu c ao1MdeNaCle2Osm)DifusaoAdifus aodeumpoucodeleitenoch aedetodosconhecida5. Sedoisuidos,cadaumcomumadada concentra c ao de soluto, s ao postos em contacto h a passagem (difusao) de partculas do solutodeumuidoparaoutroateseigualarem asconcentra c oes.5Esteprocessoenormalmenteaceleradomexendooch a, introduzindoassimmovimentosconvectivos nouido(cf.4.1.5)34Ouxodesoluto(i.e. onodemolesdesolutoqueatravessa umadadasuperfcieporunidadedetempo)queatravessa umadadaregiao deareaA edadopelaprimeiraleideFick:J= DAdCdx ,sendoDocoecientededifus aoeCaconcentra c aodesoluto. Estalei diz-nosqueouxodesoluto,ouataxadedifus ao, etantomaiorquantomaiorforogradientedeconcentra c ao.Membranas,OsmoseePressaoOsmoticaAs membranas celulares s aoperme aveis acertos i oes e moleculas mas imperme aveis aoutros.Considerando que existem concentra c oes diferentes de um soluto no meio extra-celular e intracelularhaverapassagemdesolutoateasconcentra c oesseigualaremcasoamembranasejaperme avel `asuapassagem. Casocontrario,naimpossibilidadedehaverpassagemdesoluto,haverapassagemdesolvente(essencialmenteagua)nosentidodediluiromeiodemaiorconcentra c ao. Istoocorreatequeoaumentodepress aoresultantedapassagemdeaguaequilibreatendenciaparaouxodesoluto. Aestefen omenodepassagem desolvented a-seonomedeosmosee`apress aoquelevaaquehajaestemovimentodesolutod a-seonomedepress ao osmotica.Umasolu c aoemrela c ao aoutradiz-se: Iso-osm otica- seexerceamesmapress aoosmoticaatravesdeumamembranaperme avelapenas ao solvente. Assim, duas solu c oes com a mesma concentra c ao de partculas dissolvidastemamesmaosmolaridade eportantos aoiso-osmoticas. Hipo-osmotica- seexercemenorpress aoosmoticaqueaoutraatravesdeumamembranaperme avelapenasaosolvente. Hiper-osm otica- seexercemaiorpress aoosmoticaqueaoutraatravesdeumamembranaperme avelapenasaosolvente.Um conceito relacionado mas distinto e o de tonicidade. Uma solu c ao diz-se isotonica para umadada celula ou tecido se a celula imersa nessa solu c ao nao altera o seu volume. De maneira an aloga,seacelulaincha,asolu c aodiz-sehipotonicaeseacelulaenrruga asolu c ao diz-sehipert onica. Seasmembranascelularesfossemimperme aveis`apassagemdetodosossolutosent aotonicidadeeosmolaridade seriamsin onimos.Exemplo:Aosmolaridade douidointracelular ede300 mOsm. Seumacelulaestiver numasolu c aode300mOsmdeNaCl(n aopenetrante)e100mOsmdeureia(penetrante)comumtotalde400mOsmasolu c aoehiperosmotica. Noentantoelaeisotonica, poisaureiadifundir-se-aatehaverigualosmolaridade nointerior eexterior dacelula,n aohavendo noprocesso modica c oes dovolumedacelula.HemodinamicaOsangue eumuidocomplexoporque: Apresentacaractersticas deuidon ao-Newtoniano. Nasuacircula c ao gera-seporvezesturbulencia. Circulaqueremvasosdegrandediametro, queremvasosmicroscopicos. Asparedesdosvasosn aos aorgidasmaspossuemcaractersticas elasticasvari aveis.35 Pertodocora c ao oregimedoescoamento en aopermanente. As propriedades dinamicas do sangue variam com diversos factores: idade, estado de repousoouexerccio,estadodesa ude,etc.Apesardestascomplexidades,emuitasvezespossvel usarasleisrelativamentesimplesapre-sentadasanteriormenteparacompreenderoupreverocomportamentodoescoamentosanguneo.Ouseja, eemcertas situa c oes umboaaproxima c ao usaraleideBernoulli apesardestaservalidaapenaspara uidos n aoviscosos, oumesmoaleidavaria c ao dapress ao para uidosemequilbriohidrostatico!Para a melhor compreensao do sistema circulat orio e tambem necess ario abordar o funcionamentodocora c ao queser afeitanocaptulodeelectrosiologia.Sanguecomouidonao-NewtonianoOsangue econstitudoporplasmasanguneo( 55%)ehemat ocritos( 45%). Aviscosidadedoplasma e mais elevada do que a da agua pois contem moleculas volumosas de protenas. Tal como aagua, a sua viscosidade e tambem vari avel com a temperatura, aumentando consideravelmente comadiminui c aodetemperatura. Abaixacircula c aosanguneaemdedosfriosedetodosconhecida,podendoemcasosextremosconduzir`anecrosedostecidos.A presen ca de globulos vermelhos, e em menor percentagem plaquetas e globulos brancos, alteramuitosignicativamenteaspropriedadesfsicasdosangue. Porumlado,aviscosidadesanguneaaumenta como aumento de hemat ocritos6. Por outrolado, atribu aosangue caractersticasn ao-Newtonianas. Deummodosimples, podemosdeniruidoNewtonianocomoumuidodeviscosidadeconstante(independentedavelocidadeegradientedevelocidadedouido,dimensoesdovasoondecircula,etc).Caractersticas n ao-Newtonianas dosangue: Diminui c aodaviscosidadecomogradientedevelocidade: parabaixosgradientesdeveloci-dade, os globulos vermelhos tendem a agrupar-se sem orienta c ao denida formando agregadosque conferemmaior viscosidade ao sangue. Aumentando o gradiente de velocidade, osglobulosorientam-seseguindoas linhas decorrentedosanguecomumamenor tendenciaparaagrupamento, diminuindoassim aviscosidade sangunea. Varia c ao daviscosidadecomodiametrodovaso: a viscosidade sangunea aumenta comodiametrodovaso- efeitoFahraeus-Linqvist. Emcapilaresdedimensaocomparavel `adosglobulos vermelhos, a no c ao de sangue como um uido contnuo deixa de ser valida, reectindo-senumaredu c aodaviscosidade. Emarterias eveias depequenocalibre, h aumamaiorconcentra c aodeglobulosvermelhosnocentrodovasodoquenaperiferia. Assim, h aumadiminui c ao da viscosidade na periferia com o consequente aumento do gradiente de velocidade,levandoaumadiminui c aoglobaldaviscosidade. Esteefeitodeplasmaskimmingtambem eobservado emvasosdegrandecalibremasn aotemefeitoassinal avel naviscosidade.Medi caodavelocidadedecircula caosanguneaH a varios metodos que permitem a medi c ao da velocidade sangunea, abordemos os mais importantes: Metodoultra-s onico: eummetodon aoinvasivobaseadonodesvioDoppler deultra-sonsreectidospelacorrentesangunea.6Aconcentra c aodegl obulosvermelhosvariadeespecieparaespecie.36 Metodoelectromagnetico: estemetodoeaplicadoapenas duranteinterven c oes cir urgicasemqueumvasoest aexposto. Dadoqueosangue eumlquidocondutoremmovimento,napresen ca de um campo magnetico gera-se uma diferen ca de potencial entre as paredes do vasoque emedidaatravesdeelectrodos. Estadiferen cadepotencial eproporcional `avelocidadedosanguepermitindodestemodoasuamedi c ao. Metodo laser: Um metodo n ao invasivo recente que usa o efeito Doppler de um feixe laser debaixapotenciaparamediracircula c ao sangunea. Estemetodo eilustradonaFig.2.9.Figura2.9: Medi c aodavelocidadedecircula c ao sanguneapelometodolaser.Perl deescoamentodosanguenosvasosO perl de escoamento de um uido nas condi c oes de aplicabilidade da lei de Poiseuille e parabolico.Em muitos casos, e uma boa aproxima c ao o uso desta lei para o estudo da circula c ao sangunea. H ano entanto diversas situa c oes em que o perl do escoamento sanguneo afasta-se consideravelmentedestalei: O escoamento em capilares de diametro comparavel `a dimensao dos eritr ocitos como descritoanteriormente. Emregimeturbulento,comumemvasosdecalibremedioeelevado. Aacumula c aodeeritr ocitosnocentrodevasoslevaaumacurvaturamenosacentuadadoperldevelocidadesnapartecentral.ComplacenciadosvasossanguneosOsanguen aouiemtubosrgidosmasemvasoscomcapacidadeselasticas. Assim,osvasostemcapacidadededilata c aooucontrac c ao. Aumaumentodepress aosanguneacorrespondeumadilata c ao dos vasos com um correspondente aumento de volume. Denimos complacencia de umvasocomoacapacidadedeacumula c aodevolumesanguneoquandosujeitoaumaumentodepress ao-C= V/P. H aassimacumula c ao deenergiaelasticanasparedesdosvasossujeitosaumatens ao.Acomplacencia vascular sistemica venosa e muito maior do que a complacencia vascularsistemicaarterial.37Figura2.10: Turbulencianoescoamentosanguneonumaarterianormal enoutracomestenose.Est ao representados contornos de vorticidade (turbilh oes). Poder a ver uma anima c ao desteprocessoemhttp://web.mit.edu/selee/www/menu1/gallery/sten_carot2.htmlAmenor complacenciados vasos empessoas idosase respons avel por umaumentodasuapress aoarterialmedia.Etambemimportantereferirqueosvasosdemenordiametros aosujeitosavaria c oes nasuasec c aopor factores externos.Eoque se passaquandoumapessoapassarapidamentedaposi c aohorizontal paraavertical. Estar apidavaria c aodepress aoedealgummodolimitadaporac c aomuscularnasparedesdosvasossanguneosimpedindoumadiminui c aoacentuadadouxosanguneonocerebromasmesmoassim eporvezescausadora detonturas.Aplica caodaleideLaplaceApequena espessurados capilares associada`a baixavelocidade de circula c aodo sangue, s aonaturalmente essenciais para permitirem as trocas com as celulas. Embora a press ao sangunea noscapilaressejasemelhanteoumesmosuperior`apress aonasveias,assuasparedess aomuitomaisnas. Comoepossvel quepress oessemelhantesrequeiramparedesdeespessurast aodiversas?Arespostae-nos dadapelaequa c aode Laplacenageometriacilndrica: P =T/r. Paraamesmadiferen cadepress ao, vasosdemenorraiorequerem tens oesmenoresparahaverequilbrio.Assim, aumentandoo tamanho do vasoe for cosoque aumente tambema espessuradas suasparedesnecess ariaparaconterosangueempress ao. Ousodestaequa c aotambeme util paracompreendermos operigodeumaneurisma(cf. Exerccios).38Exerccios1. Ordene, emordemcrescentededensidade, osseguinteselementos: agualquida, gelo, ar,helio,chumboemadeiradecriptomeria.2. Diga quais dos uidos `a temperatura ambiente podem, em boa aproxima c ao, ser consideradoscomoincompressveis: sangue,agua,ar,merc urioemetano.3. Onossot oraxmedecercade0,5m por0.4m.(a)`Apress aode1atmnospulmoeseigualpress aonoexterior,qualafor caexercidapeloarnot orax?Porraz aon aotemosquefazerumafor caemoposi c aoaestaousentimosdor?(b) Expliqueporqueequeemcertascircunst anciasoarsai dos pulmoesenoutrasoarentra.4. Naguraest aorepresentadostresrecipientescomfundosdeigualarea,cheiosate`amesmaalturaecomomesmolquido. Osrecipientesn aotemigualvolumedelquido.(a) Compareapress ao dolquidonofundodorecipientenosdiferentescasos.(b) Compare afor ca totalexercida pelolquidono fundodo recipiente nosdiferentes casos.(c) Qualdosrecipientespossumaiormassadelquido?Figura2.11: Rela c aoentrepress aoefor ca.5. Considereadensidadedosangue = 1.06 103kgm3.(a) Calcule a diferen ca de press ao sangunea existente entre o cerebro e os pes de uma pessoade1,95mdealtura7.(b) Eumapessoade1,5mdealtura?(c) Porqueraz ao apress aoarterial esempremedidanobra co?Resolu c ao:(a) Apress aonumuidoemeqilbriohidrostaticoaumentadaformaP=P0 + gh. SejaP0apress aosanguneanocerebroe P a press aonos pes. Adiferen cade press aoP= P P0= gh = 1.06 1039.8 1.95 = 2.03 104Pa.(b) Resolva.(c) Resolva.7Considereosangueemrepousooumaiscorrectamentecapilaresdospesecerebrocomvelocidadeigual.396. Os pulmoes humanos podemoperar contraumapress aodiferencial maximade0.05atm(diferen cadepress aoentreointerioreoexterior). Qualaprofundidademaximanomaraqueummergulhador podeirseestiverarespirar porumtuboate`asuperfcie?Sugest ao:Respondaprimeiro`aperguntadoexerccio3: Oquefazcomqueoarentrenospulmoes?7. Umpeixemantem-seaumacertaprofundidadenaaguadomarajustandoaquantidadedearcontidaemsacosdear, parafazercomqueasuadensidademediasejaigual `adaagua.Suponhaque, estandoosseussacosdearvazios, adensidadedeumpeixeede1.08g/cm3.Inando os sacos de ar, qual devera ser o aumento percentual do volume do peixe para reduzirasuadensidademedia,tornando-a igual`adaagua?( aguamar= 1.03gcm3).8. A agua ascendea9.5cm noespa co entre duasplacas paralelas submergidas parcialmente emagua(tensaosupercialdaagua=0.072N/m).a)Comosedenominaestefen omeno?b)Determineadistanciaentreasplacas.c)Oqueaconteceria nocasodomerc urio?Porque?9. Umaaranhade2gest aapoiadasobreasuperfciedaagua. Supondoquecadapatasuportaum oitavo do peso da aranha, qual e o raio da depressao provocado por cada pata?(Considere = 45o, =0.072N/m).10. Considere ocaso em que adiferen ca entreas press oes externa einterna do alveolo pulmonarede133.25Paeatens aosupercialdolquidopulmonarde3.3 103N/m. Determineoraiodoalveolo.11. Por vezes os ruminantes ingeremplantas ricas em substancias depressoras da tens ao supercialo que pode originar acidentes graves, ou mesmo mortais, por forma c ao de espuma no interiordo rumem. Umdos mecanismos que leva `a dissipa c ao da espuma e a difus ao do g asaprisionadonas bolhas, atraves das respectivas paredes. Se duas bolhas de espuma dediametros diferentes, estiveremcoladas entre si, emque sentido se difunde o g as nelasaprisionado- dabolhagrandeparaapequenaoudapequenaparaagrande? Justiqueasuaresposta.12. Ac orneadoolhopodeconsiderar-seumasuperfcieesfericacomraiodecurvaturade7,7mmaproximadamenteesobtens ao. Ohumoraquosoportrasdac orneaest anormalmentesubmetido `a press ao de 24mm de merc urio acima da press ao atmosferica. Determine a tens aoaqueest asubmetidaac ornea.13. -Aarteriaaortatemumdiametrodeaproximadamente2cm. Ocora c aobombeiacercade5litrosporminuto.(a) Qual eavelocidademediadosanguenaarteriaaorta?(b) Sabendo que o diametro medio dum capilar e 8 m e que a velocidade media do sanguenumcapilar e0.33mm/s,qual eon umerodecapilaresnocorpohumano?14. Considere um tanque com grandes dimensoes contendo um lquido que escoa por um pequenoorifcio aumadistanciah,abaixodonveldolquido. Otanque eabertonaparte superior.(a) Aplicando a equa c ao de Bernoulli, `a linha de corrente que liga os pontos 1, 2 e 3, mostrequeavelocidadecomqueolquidosaidoorifcio eV=2gh.40(b) Seasadadoorifcio apontarparacima,qualser aaalturamaximaatingidapelojactodelquido?(c) Dequemodoaviscosidadeouturbulenciaafectariam estaan alise?Resolu c ao:(a) No ponto1apress aoe identica`apress aoatmosfericae avelocidadee, numaboaaproxima c ao, nula(poisotanque edegrandesdimensoes).No ponto 2 a velocidade continua sendo nula, mas agora o uido est a a uma profundidadeh,logoapress aoaumentaparaP2= P1 +gh= Patm +gh.Noponto3, apress ao enovamenteigual`apress aoatmosferica(poisalquidoest aemcontacto com o ar) eaplicando a leideBernoulli Patm +12V2= P2,pois ospontos 2e3encontram-se `amesmaprofundidade.Resolvendoemordem`avelocidadeobtemosV =2(P2Patm)=_2gh.Notar que a velocidade n ao depende da densidade do lquido e aumenta com a profundidadeecomaacelera c ao dagravidade.(b) Aalturamaximaser aatingidaquandoavelocidadedojactofornulanumpontoquedesignamospor4. AplicandoaleideBernoulli`alinhadecorrente queligaospontos3e4 obtemosP3 ++12V2= P4 +gh4,h4-altura doponto 4(estandoo ponto3aumaalturanula).Apress aonospontos3e4eidenticaeigual`apress aoatmosferica. Ent aoh4= V2/2gesubstituindopelaexpress aoacimaencontradaparaV obtem-seh4=h. Ouseja, ojactovolta`aalturainicial,oqueexprimeconserva c ao deenergia.(c) Nocasodeumuidoviscoso,ounapresen cadeturbulencia,h aperdadeenergia,logoojacton aoalcan caria aalturahmasumaalturamenor.15. ConsidereoaparelhodaFig. 2.4atravesdoqual u agua. SejaSA=4.75SBeSA, SBasareas dotubodesec c ao circularnospontosAeBrespectivamente. Apress aonopontoA e2.12atm.(a) DetermineosvaloresdeVAeVB,talqueapress aonopontoBseanule. (Ofen omenoqueocorre noponto B econhecido por cavita c ao, a agua vaporiza em pequenas bolhas.Eoquesepassanumperfumeoudetergentecomvaporizador.)(b) Calculeocaudalcorrespondente seodiametronopontoAfor5.2cm.4116. Um aneurisma e uma dilata c ao vascular localizada (saco aneurismal) resultante da fragiliza c aodaparedeque, assim, vai cedendo`apress aodosangue. Nazonadilatadaoraioefectivoemaior do que o das partes s as do vaso. O raio efectivo do saco aneurismal tende a aumentar,diminuirouestabilizar?Justiqueasuaresposta.17. Determine adiferen cade press aonecess ariaparaumcaudal Q=5L/minutode sanguepercorrer40cmdeumaarteriaderaioconstanter=0.5cm. Qual adiferen cadepress aonecess ariaseaarteriaestiver parcialmentebloqueadaeoraiofor apenasder =0.1cm?Quaisasconsequenciasdobloqueamentoparaocora c aodoanimal?( = 1.06 103kgm3, = 4 103kgm1s1)18. Calcule a maior velocidade comque o sangue pode uir por uma arteriade 3.8mmdediametro, demodoaqueoescoamentopermane calaminar. (=1.06 103kgm3, =4 103kgm1s1)19. Um cilindro contem um lquido de viscosidade desconhecida e densidade = 1.20103kgm3.Umaesferade diametro2mme densidade 8.92 103kgm3e deixadacair no lquidoerapidamenteatingeavelocidadeterminal. Abolademora3.52sparasedeslocar20cm.(a) Determineaviscosidadedolquido,admitindoqueoescoamento elaminar.(b) Determineon umerodeReynoldsparaesteescoamento. SabendoqueparaR>100oescoamento deixa de ser laminar, verique a validade do pressuposto da alnea anterior.Resolu c ao:(a) Sabendoqueabolarapidamenteatingiuavelocidadeterminal, ent aoos20cmforampercorridos avelocidadeconstantedadaporV= d/t = 0.2/3.52 = 0.057m/s.Avelocidadeconstante, aresultantedasfor casnocorpoenula(1aLei deNewton).Asfor cass ao: Opesodocorpo, afor cadeimpulsaodouidonocorpoeafor cadeviscosidadenaformaPeso=Impuls ao+for caviscosidadebola.V ol.g = liq.V ol.g + 6...r.V =V ol.g.(bolaliq)6...r.V= 0.3Ns/m2.(b) Re=liqDV/=(1.2 103) (2 103) 0.057/0.3=0.5, opressupostodaalneaanterior evalido.20. Nolaboratoriousamosumamembranaarticial de0.1mmdeespessuraparaseparardoisreservatorios com umasolu c ao deglicose. Nasolu c ao I,`aesquerda damembrana, h a10gdeglicose em 1Ldesolu c ao, enasolu c ao II`adireita h a5gdeglicose em 1L desolu c ao. A areatotal damembranae1.5cm2eosporosdamembrana, perme aveis`aglicose, ocupam20%daareatotal. Opesomoleculardaglicosee180. Seocoecientededifus aoeD=0.3 105cm2s1,qualon umerodemolesdeglicosequeatravessam amembranaporsegundo?21. Considereumamembranaperme avel `aaguamasn ao`aglicose. Colocam-se5gdeglicosenumtubovertical (raioR=0.5cm) queseencontratapadonoseuextremoinferiorpelamembrana. Aparteexteriordamembranaest aemcontactocomumrecipientedeaguadegrandevolume. Qual aalturadasolu c aonotubonasitua c aodeequilbrio? (ConsidereT=20oedensidadedasolu c ao1g/cm3,pesomoleculardaglicose e180)22.Epossvelumasolu c aohiperosmoticaserisotonica?Sesim,emquecondi c oes?4223. Numatinacom doiscompartimentos separados porumamembranaperme avel aossolutosesolventes, deitou-seumlitrodesolu c aoemcadaumdoscompartimentos. Odocomparti-mentoIcom0.1OsmeocompartimentoIIcom0.7Osm.(a) Emequilbrioqualaosmolaridade dassolu c oes?(b) Compareosvolumesdassolu c oesnosdoiscompartimentos nasitua c aodeequilbrio.(c) Qualaosmolaridade dassolu c oes emequilbrionocasodeasolu c ao inicialnocompar-timentoIItiverumvolumede2litros?(d) Repitaaalnea anterior para ocaso em queamembrana eimperme avel `apassagem dosoluto.43Captulo3OndasLuzeSomConte udos Movimentoharmonicosimples. No c aoderessonancia. Velocidadedepropaga c ao. Perodo, frequenciaecomprimentodeonda. Sobreposi c aodeondas. Varia c aodaintensidade de ondacomadistancia`afonte. Ondas transversais elongitudinais. EfeitoDoppler. Som: Intensidadeac usticadesom. Somcomoumaondamec anica. Reexao, refrac c aoedifrac c ao dosom. Infrasonseultrasons. Aplica c oesmedicas. Luz: Reexao. Refrac c ao. Reexaototal. Aplica c oes. No c aodepolariza c ao, difrac c ao,interferencia, difus ao e dispers ao da luz. Poder resolvente de uma lente. Aberra c ao crom atica. Oespectroelectromagnetico. Aimport anciadaatmosferaterrestre. Oquantadeenergia.Rela c aodeEinstein. OatomodeBohr. Quantica c ao dosnveisdeenergia. Interac c aoda luz comamateria: Efeitofotoelectrico, efeito de Compton, uorescencia,fosforescencia. No c aodecorponegro. Absor c aoetransmissaodeenergia-lei deLambert-Beer. OraioXesuaaplica c ao. OLaseresuaaplica c ao.443.1 Nocoesteoricas3.1.1 MovimentoharmonicosimplesConsideremosumamolademassadesprezavel,xanumadasextremidadesecomumobjectodemassa m preso na outra extremidade. Se a mola e esticada ela reage, exercendo uma for ca no corpocomsentidocontrarioaodeslocamentonatentativadevoltar`aposi c aoinicial. Arela c aoentreodeslocamento da mola, x,e a for ca exercida pela mola e F= kx, sendokuma constante positivaedenominadaporconstanteelasticadamola1.Figura3.1: Molaemequilbrioemoladistendidaumadistanciaxdasuaposi c aodeequilbrioPela2aLeideNewtonaequa c aodemovimentodoobjecto ema = F md2xdt2= kx d2xdt2= kmx,cujasolu c ao ex = Acos(t +)com=_k/meumaconstante.Assim, aposi c aodoobjectovariasinusoidalmentecomotempo, sendoAaamplitudedessemovimento,afrequenciaangular domovimento2eafase. Estetipodemovimento eextrema-mentefrequenteemMecanicaeedenominadomovimentoharmonicosimples. Omovimentode uma corda de um piano ou de um pendulo de um rel ogio s ao exemplos deste tipo de movimento.Uma propriedadeimportantssimadeste tipo de movimentoe que a frequenciaouperododeoscila c ao n aodependedaamplitudedomovimento.EnergianomovimentoharmonicosimplesAenergiacineticadocorpodemassamquandonaposi c aox e:Ec=12mV2=12mA22sin2(t +) =12kA2sin2(t +)easuaenergiapotencial e:Ep= W = _Fdx =12kx2=12kA2cos2(t +).Aenergiatotal eent ao:E= Ec +Ep=12kA2.1Estarela c aoedesignadaporlei deHookequedescreven aos oocomportamentodemolasmasamaioriadoss olidosquandocomprimidosouesticadosateumdadolimite.2Afrequenciaangularest arelacionadacomafrequenciadaforma=2v, ecomoperododeoscila c aodaforma= 2/P.45Assim,no movimento harmonico simplesa energia cinetica ea energia potencial variam no tempomas a energia total e constante. Note que a energia total e proporcional `a amplitude do movimentoelevadaaoquadrado. Operododeoscila c aodamolae, porsimilaridade, deumpendulo, n aodepende daamplitude de oscila c aomas apenas de constantes fsicas. Nocasodamola, estasconstantes s ao a massa do objecto e a constante da mola, no caso do pendulo s ao o comprimento dopendulo e a acelera c ao gravtica. De facto, se observarmos um rel ogio de pendulo em funcionamento,vericamos queaamplitudedeoscila c ao vaidiminuindomasorel ogio continuaacontar correcta-menteotempo.RessonanciaAfrequencianatural deoscila c aodamolae=_k/m. Senamolaactuaumafor caexternaoscilante de frequencia igual `a frequencia natural da mola, a mola ir a oscilar com amplitudes muitoelevadas. Estefen omeno edenominadoderessonancia eocorre frequentementenanatureza3.Figura 3.2: Ilustra c ao da destrui c ao de uma ponte excitada por uma fonte externa numa frequenciapertodeumafrequencianaturaldevibra c ao daponte.3.1.2 OndasesuaspropriedadesgeraisImagine-se afazer vibrar umacorda colocada nahorizontal com movimentos navertical com umadadafrequencia. Opulsodeondair apropagar-seaolongodacorda. Focandoasuaaten c aonumpontodacordanotaraqueacordaapenassedeslocaparacimaeparabaixo, nadirec c aoperpendicular`apropaga c aodaonda. Aestetipodeondad a-seonomedeondatransversal. Asondasnasuperfciedaaguas aonaturalmenteondasdestetipo.Outrasondasdestetipos aoasondaselectromagneticas- luz. Ocampoelectricoeocampomagnetico oscilamem planos mutuamente perpendiculares e em direc c oes perpendiculares `a direc c aodepropaga c ao daluz.H anoentantooutrotipodeondaparaoqualasuadirec c aodepropaga c ao eamesmaqueadirec c ao da perturba c ao. Ao comprimirmos o ar numa dada direc c ao essa perturba c ao ir a propagar-secomoondadepress aoenadirec c aodaperturba c aointroduzida. Assimumaondadepress ao(comoosomnumuido) eumaondalongitudinal.Avelocidadedepropaga c aodumaondadependedainerciadomeio(quantomaiorainerciamenoravelocidade),edafor caquetendearestabeleceroequilbrio(quantomaiorafor camaior3Umexemplocl assicoderesson anciaocorrequandoumacantoraatravesdeumsomagudodefrequenciamuitopr oxima` afrequencianaturaldevibra c aodeumcopoolevaavibrarcomamplitudeselevadasate, eventualmente,oquebrar.46Figura 3.3: Propaga c ao daonda electromagnetica aolongo doeixo dox. Ocampoelectrico oscilanoplanoyxeocampomagneticonoplanozx.Figura3.4: Ondatransversal (a)eondalongitudinal(b).avelocidade): V2for ca/massa.Assim,umaondanumacorda demassa porunidadedecomprimento sobtens ao Tpropaga-secomvelocidadeV =_T/. Umaondasonoranumuidocomdensidadeeapress aoPpropaga-se comvelocidadeV=_P/.Consideremosagoraumtremdeondasnumacordapresanumaextremidade. Podemosrepre-sentaroqueaconteceaumpontodacordaaolongodotempo. Omovimentorepete-secomumadadaperiodicidade-perododaonda.Podemostambemrepresentaroqueacontece`acordanumprecisoinstantedetempoquenosseriadadoporumafotograa. Observa-se tambemumaperiodicidadenoespa co-comprimentodeonda.Avelocidadedepropaga c aodaondaeadistanciapercorridaporunidadedetempo, ouseja,V= /T= .Seduasoumaisondas(numacorda,nasuperfciedomar,deluz,etc)coexistiremnomesmopontoent aoessas ondasir aointerferirumacom aoutra. Ainterferencia podeserconstrutiva -as47Figura3.5: 1=Onda,2=Tempo, 3=Deslocamento,T=Perododeonda,=Amplitudedeonda.Figura 3.6: 1 = Onda, 2 = Dist ancia, 3 = Deslocamento, = Comprimento de onda, = Amplitudedeonda.ondasest aoemfase,oudestrutiva-asondasest aodesfasadas de,ouumcasointermedio4.Reexaoerefrac caodeondasSe uma onda incide numa fronteira que separa dois meios, parte da onda volta para tras (reexao)e parte da onda atravessa a fronteira e continua a propagar-se no outro meio (onda transmitida ourefractada). Istoevalidoparatodootipodeondas: som, luz, ondasnasuperfciedeumuido,ondasnumacorda, etc. Todosestamosfamiliarizadoscomareex aodosomnumagruta(eco),ouarefrac c aodaluzquandovemosumpeixenaaguaapartirdasuperfcie. Masareex aoerefrac c aodeondasest aotambempresentesnoutrosfenomenoscomunsedeformamenosobvia:miragem, arco-ris, ofactodeobservarmosoSol mesmoap oseledescerabaixodohorizonteeaconcep c aodeumasaladeconcertosparaumaboaac ustica.Avelocidadedepropaga c aodeumaondaemdoismeiosdistintosediferente5. Issoobriga`amudan cadedirec c ao depropaga c ao daondaaomudardemeio. Asleisdereex ao erefrac c ao daluzs aodesignadasporleisdeSnell:Reexao: incidente = reectido(reexaoespecular)4A interferencia electromagnetica e de todos conhecida: a interferencia da passagem de um avi ao com a televis ao,ainterferenciadotelem ovelcomocomputador,etc.5Apropaga c aodesomouluznaatmosferasofreumrefrac c aocontnuapoisadensidadeetemperaturadomeiovariamcontinuamentefazendovariaravelocidadedepropaga c aodasondas.48Figura3.7: Duasondascoexistemnoespa coeinterferem(a). Ainterferenciapodeserconstrutiva(b)oudestrutiva(c).Refrac cao: nincidentesin incidente = nrefractadosin refractadoOndice de refrac c aodo meioe uma medida davelocidade de propaga c aoda ondanessemeio:n = c/V ,c-velocidadedaluznovazio.Reicta:Ser apossveln < 1?Porque?Para certos angulos de incidencia e para ondas a propagarem-se de meios de ndice de refrac c aosuperior para meios de ndice de refrac c ao inferior n ao e possvel a refrac c ao. Ou seja, toda a luz ereectida - reex ao total. O fen omenode reex ao total edegrande import ancia nas bras opticascomaplica c oesdiversas desdeamedicina`astelecomunic oes.Varia caodaintensidadedeumaondacomadistancia`afonteConsideremos uma fonte de ondas emitindo uniformemente em todas as direc c oes. Seja P a potenciaemitidapelafonte. Quantomaispertoumobservadorestiverdafontemaiorser aaintensidadedaondasentida(dolorosamente facildevericar quandonosaproximamos deumacolunadesomnumadiscoteca). Aintensidadedaondaeaenergiaqueatravessaumasuperfcieunit ariaporunidadedetempo: I=E/tA=P/A, emqueA=4r2eaareadeumasuperfcieesfericaderaior. Assim, admitindoquen aoh aabsor c aodeenergiaentreafontedeondaeoreceptor, aintensidadedeumaondavariacomoinversodoquadradodadistancia.49Figura 3.8: Ilustra c ao da varia c ao da intensidade de luz com a distancia. Reparemos que a mesmaquantidade de energia atravessa uma superfcie cuja area aumenta `a medida que a distancia `a fonteaumenta,levandoassimaumadiminui c aodaintensidade.EscaladedecibeisA nossa percep c ao do som varia deuma forma n ao linear, isto e,se a intensidade de som duplicar,n osidenticamosumaaltera c aodaintensidademasn aoqueelatenhaduplicado. Estudossiol o-gicos indicam queanossa percep c ao desom eaproximadamente logartmica.Eent ao convenienteintroduzir a no c ao de intensidade ac ustica como fun c ao da intensidade de som e medida em decibeis: = 10 logII0,em que I0 e uma constante. Quando I= I0ent ao = 0, ou seja, I0representa o limite de audi c ao.Estelimitedeaudi c aovariadepessoaparapessoaedependetambemdafrequenciadosom. Ovalorconsideradomedio eI0= 1012Wm2.Oouvidon aotemamesmasensibilidadeparatodasasfrequenciasaudveis. Assim, sonsdeigual intensidade mas frequencias distintas ir ao ser apercebidos como sons de intensidade distintas.Oouvido humano, emgeral, n ao detecta sons de frequencia inferior a cerca de 20Hz ousuperior a 20kHz. Sons de frequencia fora deste intervalo s ao denominados de infrasons e ultrasons,respectivamente.EfeitoDopplerSe houver movimento entre a fonte emissora de ondas e o observador, ent ao a frequencia observadadifere da frequencia emitida. A frequencia observada aumenta em rela c ao `a emitida se o movimentofordeaproxima c aoediminuinocasocontrario. Considerandoumaondasonoradefrequencia,afrequenciaouvida, ,edadapor= V V0V Vf,em que Ve a velocidade do som no meio, V0a velocidade do observador e Vfa velocidade da fonte.OefeitoDopplerrelativsticodeumaondadeluzapropagar-se noespa co edadopor:= 1 +Vc1 Vc,50Figura 3.9: Ondas emitidas por uma fonte deslocando-se de baixo para cima. A frequencia da ondadetectadaporumobservadoramontante(jusante)dafonteemenor(maior)doqueafrequenciaemitida.em que Ve a velocidade relativa entre o observador e a fonte. No limite V c, a express ao anteriorsimplica-separa=(1+V/c). Avaria c aodefrequenciadaonda, positivaounegativa, eent aodadapor/=V/c.Difrac caodeumaondaUmaondafaceaumobst aculotendeacontorn a-lo. Aestefen omenod a-seonomededifrac c ao.Assim, e-nos possvel ouvir alguemestandodooutroladode umaesquina, semovermos - osomdobraaesquina. Domesmomodo, umaondaapassar por umaaberturair adifractar-se. Osefeitosdadifrac c aoser aomaioresquantomenorforaaberturaquandocomparadacomocomprimentodeonda.Figura3.10: Osarcos coloridos aproximadamente circulares visveisemtornodaLuaresultam dadifrac c aodaluzlunarporpequenasgotasdeaguadasnuvens. Notequeiston ao eumarco-ris.Assim, aluz, sendoumaonda, tambemsofredifrac c ao. Noentanto, comoaluzvisvel temcomprimento de onda muito pequeno, a difrac c ao s o se manifesta para orifcios muito pequenos - a51Figura3.11: Adifrac c aodaluzaopassarporumorifcio.difrac c ao da luz e-nos por isso menos familiar. H ano entanto fen omenos dodia-a-dia que ocorremdevido`adifrac c ao. S ao exemplosdisso aluzcolorida quevemosreectida porumCD,ouacoroaobservadafrequentementeemtornodoSoloudaLuacomoilustraagura3.10. Tenteimaginarcomo ser a aluz aatravessar um orifcio. Agora, veja agura 3.11 ... e noteque n ao temos apenasumpontodeluzmasum conjuntodecrculos deluzalternados com crculos escuros. Este padr aode difrac c ao resulta da interferencia construtiva e destrutiva da luz que atravessa o orifcio consigopropria. Estefactoobservadoexperimentalmenteveiodarcredito`ateoriaondulat oriadaluz.Adifrac c ao deondascolocalimitesaotamanhodosobjectosquepodemosdetectar.PoderresolventedeumalenteO poder resolvente e o limite de resolu c ao de uma lente s ao conceitos relacionados. O limitederesolu c aoeomenorangulodesepara c aoentredoisobjectosparaoqualepossvel distingui-los.Estedependedocomprimentodeondadaradia c aousadaedaabertura(di ametro)dalente(nocasodoolhoser aaaberturadapupila). Para umaabertura(lente)circular,olimitederesolu c aoedadopelocriteriodeRayleigh: = 1.22/D( anguloemradianos).Figura3.12: Poderderesolu c ao. Naimagemdaesquerdaepossvel distinguirosdoisobjectospoisosseusdiscosdedifrac c aoest aoseparados. Naimagemdadireitatal jan aoepossvelpoisosdiscosdedifrac c aoest aosobrepostos.Estacaractersticadaluzedavisaofoi exploradanomundodapinturanumacorrentecujomaior expoenteter aeventualmentesidoopintor Seurat. Estes quadros n aos aoformadosporpinceladas contnuas mas ao inves por pontos. Vistos de perto s ao estranhos e difceis de interpretar.Noentanto, aolonge, ospontosencontram-sejaseparadosporumanguloinferioraolimitede52resolu c aodoolho, formandoassimumaimagemcontnuaemquefacilmentesereconheceacenaretratada.Figura3.13: OsbanhistasemAsni`eredeGeorgesSeuratnatecnicadepontilhismo.Detec c aodeumobjectoParavermosumobjectotemquehaverluzemitidaoureectidaporesseobjectonadirec c aodosnossosolhos. Deigual modo, ummorcegodetectauminsectoemitindoondassonorasques aoreectidaspeloinsectonadirec c aodomorcego. Seocomprimentodeondadaluzoudosomincidentenoobjectoformaiordoqueoobjectoquesepretendedetectarent aoaondadifractaen aosed aareex ao daondanecess ario paraadetec c aodoobjecto.Reicta:1. Adetec c aodeummosquitoporummorcegopodeserefectuadacomfrequenciasaudveis?Porque?2. Quaisasvantagensdomicroscopico electronicoemrela c ao aooptico?DispersaodaluzA velocidade de propaga c ao da luz num meio varia com o comprimento de onda da radia c ao. Assim,luzbrancaaoentrarnumprismadevidroouquartzosofrerefrac c aosendooanguloderefrac c aodiferente para cores distintas. Isso leva `a decomposi c ao da luz branca nas suas cores componentes.Paraumgranden umerodemateriais, ondicederefrac c aodiminui comocomprimentodeonda. Assim, a luz vermelha e a menos deectida e a luz violeta a mais deectida ao sarem de umprisma.Reicta:Porqueraz ao temaslentesaberra c ao crom atica?DifusaodaluzAdifus aodaluzeoresultadodainterac c aodaluzcomaspartculasdomeioondesepropaga.Assim, enquantonaLuaepossvel ver oSol eoceuestreladoaomesmotempo, naTerratal53n aoepossvel. Naatmosferaaluzeespalhadaemtodasasdirec c oes,sendoaluzvioletaamaisespalhadaeavermelhaamenosespalhada.Reicta:Porqueraz ao eoceuazulado?Eporque eoSolmaisavermelhado aonascereaop or-se?EspectroelectromagneticoComojavimos, avelocidadedepropaga c aodeumaondarelaciona-secomasuafrequenciaecomprimentodeonda. Paraaradia c aoelectromagneticaestarela c aotomaaformac=, -comprimentodeonda,-frequencia,c-velocidadedaluz(c = 3 108ms1).Figura3.14: Espectroelectromagnetico.RecordemosqueaenergiatransportadaporumfotaodefrequenciaeE=h, emquehrepresentaaconstantedePlanck.AatmosferaterrestreA radia c ao solar que chega `a Terra varia ao longo do tempo devido a pequenas varia c oes intrnsecasnoSoletambemavaria c oes nadistanciaTerra-Sol,dadoqueaorbitadaTerra eelptica.Avaria c ao intrnsecadobrilhosolar erepresentada nag.3.15.Figura 3.15: Varia c ao do brilho solar. Note que estas varia c oes s ao muito pequenas tendosido nas ultimasdecadasinferioresa0.1%.54Figura3.16: Aatmosferaterrestre earadia c ao solar.Aatmosfera terrestre absorve selectivamente a radia c aosolar sendo muito importantes asabsor c oes pelasmoleculasdoozonoedaaguacomoilustraagura3.16.AtomodeBohrOndas electromagneticas s ao produzidas quando electroes livres s ao acelerados6, ou quando electroesnum atomo ou molecula transitam para um nvel energetico inferior. Como veremos no Captulo 5,transi c oesenergeticas non ucleod aoorigem aradia c ao muitoenergetica,aradia c ao .NomodelodoatomodeBohr, oselectroesencontram-seforadon ucleoatomicoemnveisdeenergiaquanticados. Onvel deenergiamaisbaixooufundamental correspondean=1eoestadoionizadocorrespondeaonvel n= . Atransi c aodonvel nparaonvel moriginaaemissaoouabsor c aodeumfotaodeenergiaE= |EnEm| . Ocomprimentodeondadofotaoabsorvido/emitido e1= RH1n2 1m2,RH-constantedeRyderberg,RH= 1.1 107m1.Reicta:Qual aenergiadofotaoassociado`atransi c aodonvel n=1paran=3? Nestatransi c aoh aemissaoouabsor c ao deenergia?Transi c oes donvel:n=1-seriedeLymann=2-seriedeBalmern=3-seriedePaschen6Exemplosimportantess aoomovimentodeumelectr ao` avoltadaslinhasdecampomagneticocomemiss aoderadia c ao dita de ciclotr ao e a emiss ao de radia c ao quando electr oes s ao travados ao incidir num alvo (bremsstrahlung- radia c ao de frenagem). Neste ultimo caso, a radia c ao e um espectro contnuo na banda dos raios X juntamente comumconjuntodelinhasespectraisproduzidasportransi c oesdeelectr oesdos atomosdoalvoem orbitasinteriores.553.1.3 InteraccaodaluzcomamateriaLei deLambert-BeerA energia de uma onda electromagnetica a propagar-se num meio que n ao o vazio pode ser absorvidapelos atomos ou moleculas desse meio. A radia c ao visvel atravessa um vidro ou um copo com aguasemexistirdiminui c aosignicativa. Noentanto,aintensidadedeluzsolarquechegaaofundodomardiminuicomaprofundidade. Apartirdecertas profundidades,aintensidadedeluz emesmonula. A agua e todas as partculas quese encontram na agua do mar, absorvem a radia c ao tal queaintensidadeluminosavai diminuindo.Edenotarquealgumascoresdesaparecemprimeiroqueoutras,i.e.,aabsor c ao en ao eigualparatodososcomprimentosdeonda.Considerando um feixe monocrom atico de intensidade I0que incide num componente optico deespessuradeleter a`asadaumaintensidade(inferior)I.`Araz aopercentualI0/I 100%d a-seonomedetransmitanciaeaquantidadeassociada, log10(I0/I),denomina-sepordensidadeoptica.Figura3.17: No c aodetransmitancia. UmfeixedeluzcomintensidaeI0incidenumasolu c aodeconcentrac c ao ceespessural,tendo`asadaintensidadeI.Arela c ao entreIeI0edadapelaleideLambert: I= I0ekd,k-coecientedeabsor c ao (emgeral eumafun c aode). Nocasodetermosumasolu c aodemoleculasabsorventes numsolventetransparente com concentra c ao c, a lei exprime-se da forma I= I0ekcd(lei de Lambert-Beer), emque kdepende da solu c ao e do comprimento de onda da radia c ao. Torna-se pois possvel conceberummetodosimplesparaamedi c aodeconcentra c oes desolu c oesusandoestalei.Aprodu caoderaiosXOaparelhoderaiosXusadoparansdediagnosticomedicobaseia-senaemissaoderaiosXporumanododetungstenioquandobombardeado porelectroes deelevadaenergia.NumaampolaemvacuoumlamentoeaquecidoporefeitoJouleoriginandoassimaemissaodeelectroes. Esteselectroess aoaceleradosporumadiferen cadepotencialelevad