c1 matrizes sistemas lineares

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Matrizes e Sistemas Lineares Andr´ e Rodrigues da Cruz Centro Federal de Educa¸c˜ ao Tecnol´ogica de Minas Gerais Otimiza¸c˜ ao I Andr´ e Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimiza¸c˜ ao I 1 / 64

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Matrizes Sistemas Lineares

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  • Matrizes e Sistemas Lineares

    Andre Rodrigues da Cruz

    Centro Federal de Educacao Tecnologica de Minas Gerais

    Otimizacao I

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 1 / 64

  • MatrizUma matriz A Rmn e um arranjo retangular de numeros com m linhase n colunas. O numero aij R e um elemento da matriz que esta na linhai {1, . . . ,m} e coluna j {1, . . . , n}.

    A =

    a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

    ......

    ......

    am1 am2 . . . amn

    Quando m = n diz-se que a matriz e quadrada.

    Exemplo

    A e uma matriz 3 2 e B e uma matriz 2 4.

    A =

    2 53 01 1

    B = [1 2,3 5 10 6 2 3,2

    ]

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 2 / 64

  • VetorUm vetor coluna (linha) v Rn e uma matriz com n linhas (colunas) euma coluna (linha). Geometricamente, e um segmento de reta orientado.

    v =

    v1v2...vn

    Exemplo

    v e um vetor coluna de dimensao 3 e w e um vetor linha de dimensao 4.

    v =

    153

    w = [2,9 3 335 log 76]

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 3 / 64

  • Igualdade

    Duas matrizes A e B quaisquer sao iguais se, e somente se, possuem amesma dimensao e todos os elementos correspondentes forem iguais, ouseja, aij = bij para todo i e j .

    Exemplo

    [log5 1

    4

    5 3,2 100]

    =

    [0 2

    2,2 1

    ]1,0015

    7

    6=15

    7

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 4 / 64

  • Multiplicacao por Constante

    Seja R um escalar e A Rmn uma matriz qualquer. Tem-se que

    A =

    a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

    ......

    ......

    am1 am2 . . . amn

    Exemplo

    Seja = 2 e A =

    [1 2

    10 30

    ], entao

    2A =

    [2 1 2 2

    2 10 2 30]

    =

    [2 4

    20 60

    ]

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 5 / 64

  • Soma de Matrizes

    Duas matrizes A Rmn e B Rmn quaisquer de mesma dimensaopodem ser somadas da seguinte maneira

    A + B =

    a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

    ......

    ......

    am1 am2 . . . amn

    +b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n

    ......

    ......

    bm1 bm2 . . . bmn

    =

    a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n

    ......

    ......

    am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 6 / 64

  • Soma de Matrizes

    De maneira similar e feito a subtracao

    A B =

    a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

    ......

    ......

    am1 am2 . . . amn

    b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n

    ......

    ......

    bm1 bm2 . . . bmn

    =

    a11 b11 a12 b12 . . . a1n b1na21 b21 a22 b22 . . . a2n b2n

    ......

    ......

    am1 bm1 am2 bm2 . . . amn bmn

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 7 / 64

  • Soma de Matrizes

    Exemplo

    1 20 14 3

    +1 62 5

    6 2

    = 0 82 4

    10 1

    [

    10 1 02 pi 1,2

    ][

    8 3 53 4pi 0,8

    ]=

    [2 2 51 5pi 2

    ][

    69

    ]+

    [2010

    ]=

    [2619

    ]

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 8 / 64

  • Norma de Vetor

    A norma ou comprimento de um vetor v Rn e dado por

    ||v|| = n

    k=1

    v2k =

    v21 + v22 + . . .+ v

    2n

    Exemplo

    v =

    [34

    ] ||v|| =

    32 + 42 =

    25 = 5

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 9 / 64

  • Vetor UnitarioO vetor unitario e um vetor que possui o valor de norma igual a 1. Umvetor v nao-nulo pode ser normalizado da seguinte forma

    u =1

    ||v||v

    Assim, u e um vetor unitario que possui a mesma direcao e sentido de v.

    Exemplo

    Seja v =

    [34

    ]. Assim, ||v|| = 32 + 42 = 5, e o vetor unitario na direcao e

    sentido de v e

    u =1

    ||v||v

    =1

    5

    [34

    ]=

    [3/54/5

    ]=

    [0,60,8

    ]

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 10 / 64

  • Produto Interno de Vetores

    O produto interno ou produto escalar de dois vetores v Rn e w Rn edado por

    v w =n

    k=1

    vkwk = v1w1 + v2w2 + . . .+ vnwn

    ouv w = ||v||||w|| cos

    em que e o angulo entre v e w.

    Consequentemente,

    cos =v w||v||||w||

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 11 / 64

  • Produto Interno de Vetores

    Exemplo

    Dados v =

    [34

    ]e w =

    [11]

    , calcular v w.

    v w = 3 1 + 4 (1) = 1

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 12 / 64

  • Produto Interno de Vetores

    Sejam u e v vetores no espaco. Sabe-se que:

    v v = ||v||2, ou seja, ||v|| = (v v)1/2; Se u e v sao vetores nao-nulos entao o angulo entre eles e:

    I agudo ( [0, pi/2)) se, e somente se, u v > 0;I obtuso ( (pi/2, pi]) se, e somente se, u v < 0;I reto ( = pi/2) se, e somente se, u v = 0;

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 13 / 64

  • Propriedades do Produto Interno de Vetores

    Sejam u, v e w vetores no espaco e um escalar, entao:

    u v = v u; u (v + w) = u v + u w; (u v) = (u) v = u (v); v v > 0 se v 6= 0 e v v = 0 se v = 0.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 14 / 64

  • Multiplicacao de Matrizes

    Dado as matrizes A e B, a multiplicacao AB esta definida se, e somentese, o numero de colunas de A for igual ao numero de linhas de B.

    Se A for uma matriz m n e B uma matriz r s, com n 6= r , entao amultiplicacao AB nao esta definida. Caso n = r , entao AB = C, sendo Cuma matriz m s.

    Sendo AB = C, cada elemento cij de C e resultado do somatorio dasmultiplicacoes entre os elementos correspondentes da linha i de A com oselementos da coluna j de B. Em outras palavras, cij e o produto internoda linha i de A com a coluna j de B.

    cij =n

    k=1

    aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 15 / 64

  • Multiplicacao de Matrizes

    Exemplos

    1 24 0

    2 3

    [3 12 5

    ]=

    1 3 + 2 2 1 1 + 2 54 3 + 0 2 4 1 + 0 52 3 + 3 2 2 1 + 3 5

    = 7 1112 4

    12 17

    [

    10 20 302 3 4

    ]123

    = [14020

    ]

    [

    3 12 5

    ]1 24 02 3

    nao esta definido!

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 16 / 64

  • Multiplicacao de Matrizes

    Exemplo

    Sistema de equacoes lineares como multiplicacao matricial:5 2 43 1 22 7 1

    x1x2x3

    =14

    0

    5x1 + 2x2 + 4x3 = 13x1 + 1x2 + 2x3 = 42x1 + 7x2 + 1x3 = 0

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 17 / 64

  • Multiplicacao de Matrizes

    O produto interno entre dois vetores colunas v e w pode ser interpretadocomo uma multiplicacao de matrizes, ou seja, v w = vtw.Exemplo

    v =

    [12

    ]w =

    [23

    ]

    v w = vtw = [1 2] [23

    ]= 1 2 + 2 3 = 8

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 18 / 64

  • Multiplicacao de Matrizes

    Seja A uma matriz quadrada, entao

    A0 =I

    Ap = AA . . .A p Np fatores

    Exemplo

    A =

    [3 12 5

    ]A3 =

    [3 12 5

    ] [3 12 5

    ] [3 12 5

    ]=

    [49 51

    102 151

    ]

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 19 / 64

  • Matriz Nula

    A matriz nula 0 Rmn e tal que todos os elementos sao 0.

    0 =

    0 0 . . . 00 0 . . . 0...

    ......

    ...0 0 . . . 0

    Para qualquer matriz A adequada tem-se que:

    A + 0 = 0 + A = A; A A = 0; A0 = 0A = 0.

    Analogamente, o vetor nulo e matriz nula com uma unica linha (coluna).

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 20 / 64

  • Matriz Identidade

    A matriz identidade I e uma matriz quadrada que tal que todos oselementos da diagonal principal possui valor 1 e os restantes sao 0.

    I =

    1 0 . . . 00 1 . . . 0...

    ......

    ...0 0 . . . 1

    Para qualquer matriz A adequada tem-se que:

    AI = IA = A.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 21 / 64

  • TransposicaoA transposta de uma matriz A m n e uma matriz B = At n m obtidatrocando-se as linhas com as colunas, ou seja, bij = aji para i {1, . . . , n}e j {1, . . . ,m}.

    At =

    a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

    ......

    ......

    am1 am2 . . . amn

    t

    =

    a11 a21 . . . am1a12 a22 . . . am2

    ......

    ......

    a1n a2n . . . amn

    Exemplo

    At =[

    10 2 121 7 6

    ]t=

    10 212 71 6

    vt =

    [2611

    ]t=[26 11

    ]Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 22 / 64

  • Propriedades da Transposta

    Se os tamanhos das matrizes sao tais que as operacoes indicadas podemser efetuadas, entao

    ((At)t = A; (A + B)t = At + Bt e (A B)t = At Bt ; (A)t = At , em que e um escalar qualquer; (AB)t = BtAt .

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 23 / 64

  • Matriz Simetrica

    Uma matriz quadrada A e dito ser simetrica se ela for igual ao transpostoda mesma, ou seja A = At .

    Exemplo

    A =

    14 5 185 10 1218 12 4

    = At

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 24 / 64

  • PropriedadesSejam A, B e C matrizes com tamanhos apropriados, e escalares. Saovalidas as seguintes propriedades para as operacoes matriciais:

    a) A + B = B + A;

    b) A + (B + C) = (A + B) + C;

    c) (A) = ()A;

    d) ( + )A = A + A;

    e) (A + B) = A + B;

    f) A(BC) = (AB)C;

    g) A(B + C) = AB + AC e (B + C)A = BA + CA;

    h) (AB) = (A)B = A(B);

    i) (At)t = A;

    j) (A + B)t = At + Bt ;

    k) (A)t = At ;

    l) (AB)t = BtAt ;

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 25 / 64

  • Traco

    O traco de uma matriz quadrada A, tr(A), e a soma dos elementos dadiagonal principal, ou seja

    tr(A) =n

    k=1

    akk

    Exemplo

    A =

    1 2 34 5 67 8 9

    tr(A) = 1 + 5 + 9 = 15

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 26 / 64

  • Matriz Inversa

    Dada uma matriz quadrada A, se pudermos encontrar uma matriz B demesmas dimensoes tal que AB = BA = I, entao se diz que A e invertvel eque B e uma inversa de A.

    Exemplo

    B =

    [3 51 2

    ]e uma inversa de A =

    [2 51 3

    ].

    A inversa de A, quando existir, e unica.A inversa de A e designada por A1, portanto, AA1 = A1A = I.

    Se nao existir a inversa entao se diz que A e nao invertvel ou singular.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 27 / 64

  • Propriedades da Matriz Inversa

    Sendo A e B invertveis, entao

    (AB)1 = B1A1; (A1)1 = A; Ap e invertvel e (Ap)1 = (A1)p para p = 0, 1, 2, . . . para qualquer escalar nao-nulo, A e invertvel e (A)1 = 1

    A1;

    (At)1 = (A1)t .

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 28 / 64

  • Equacao Linear

    Uma equacao linear com n variaveis possui a seguinte forma

    a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b

    em que, x1, x2, . . . , xn sao as variaveis, a1, a2, . . . , an e b sao constantesconhecidas.

    Uma equacao linear nao envolve produtos, divisoes e potencias entrevariaveis, tao pouco ha tambem funcoes trigonometricas, logartmicas ouexponenciais.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 29 / 64

  • Equacao Linear

    Uma solucao de uma equacao linear e um conjunto de n valoress1, s2, . . . , sn tais que a equacao e satisfeita ao substituirx1 = s1, x2 = s2, . . . , x2 = sn de modo que

    a1s1 + a2s2 + . . .+ ansn = b

    Exemplo

    Uma solucao para a equacao 3x1 + x2 = 1 pode ser x1 = 2 e x2 = 5.O conjunto de todas as solucoes de uma equacao e chamado deconjunto-solucao ou solucao geral.

    Exemplo

    A solucao geral para a equacao 3x1 + x2 = 1 e x1 = t e x2 = 1 3t paraqualquer t R.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 30 / 64

  • Sistemas LinearesUm conjunto finito de m equacoes lineares e n variaveis x1, x2, . . . , xn echamado de sistema de equacoes lineares ou simplesmente sistema linear,e possui a forma

    a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

    ......

    ......

    am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

    Exemplo

    Exemplo de sistema linear

    9x1 + 4x2 + 7x3 = 13x1 + 2x2 + 5x3 = 2

    10x1 + 3x2 + 4x3 = 3

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 31 / 64

  • Sistemas LinearesA forma matricial de um sistema linear possui a forma Ax = b

    a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

    ......

    ...am1 am2 . . . amn

    x1x2...xn

    =b1b2...bm

    em que A e a matriz de coeficientes, b e o vetor de termos independentese x e o vetor de variaveis a serem determinados.

    Exemplo

    A forma matricial do sistema apresentado no exemplo anterior e 9 4 73 2 510 3 4

    x1x2x3

    =12

    3

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 32 / 64

  • Sistemas Lineares

    A solucao do sistema e um conjunto de n valoresx1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn tais que todas as equacoes sao satisfeitas.

    Exemplo

    A solucao para o sistema linear

    9x1 + 4x2 + 7x3 = 13x1 + 2x2 + 5x3 = 2

    10x1 + 3x2 + 4x3 = 3

    e

    x =

    x1x2x3

    =1,758,5

    2,75

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 33 / 64

  • Matriz Aumentada

    O sistema linear

    a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

    ......

    ......

    am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

    pode ser abreviado em uma matriz aumentada da seguinte formaa11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

    ......

    ...am1 am2 . . . amn bm

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 34 / 64

  • Matriz Aumentada

    Exemplo

    A matriz aumentada do sistema linear

    9x1 + 4x2 + 7x3 = 13x1 + 2x2 + 5x3 = 2

    10x1 + 3x2 + 4x3 = 3

    possui a seguinte forma 9 4 7 13 2 5 210 3 4 3

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 35 / 64

  • Operacoes Elementares sobre Linhas

    Sao operacoes que transformam um sistema linear em um outroequivalente (com mesma solucao).

    As operacoes sao:

    Multiplicar uma linha (equacao) inteira por uma constante nao-nula; Trocar duas linhas (equacoes) entre si; Somar um multiplo de uma linha (equacao) a outra linha (equacao).

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 36 / 64

  • Observacoes

    Para solucionar um sistema de equacoes lineares devemos transformaro sistema original em um equivalente mais simples atraves dasoperacoes elementares de linha.

    O sistema equivalente mais simples desejado e a forma escalonadareduzida por linhas.

    Todo sistema linear possui, ou nenhuma solucao, ou exatamente uma,ou entao um numero infinito de solucoes.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 37 / 64

  • Forma Escalonada Reduzida por Linhas

    Uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas possui as seguintespropriedades:

    Se uma linha nao consistir so de zeros, entao o primeiro numeronao-nulo da linha e 1, que e o pivo;

    Se existirem linhas constitudas somente de zeros, elas estaoagrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz;

    Em quaisquer duas linhas sucessivas que nao consistem so de zeros, opivo da linha inferior ocorre mais a direita que o pivo da linha superior;

    Cada coluna que contem um pivo tem zeros nas demais entradas.

    Toda matriz possui uma unica forma escalonada reduzida por linhas.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 38 / 64

  • Forma Escalonada Reduzida por Linhas

    Exemplo

    A matriz abaixo esta na forma escalonada por linha:1 0 0 40 1 0 70 0 1 1

    x1 = 4

    x2 = 7x3 = 1

    Solucao unica.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 39 / 64

  • Forma Escalonada Reduzida por Linhas

    Exemplo

    A matriz abaixo esta na forma escalonada por linha:1 0 0 4 10 1 0 2 60 0 1 3 2

    x1 = 1 4x4

    x2 = 6 2x4x3 = 2 + 3x4

    x1 = 1 4tx2 = 6 2t

    x3 = 2 + 3tx4 = t

    t RInfinitas solucoes.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 40 / 64

  • Forma Escalonada Reduzida por Linhas

    Exemplo

    A matriz abaixo esta na forma escalonada por linha:1 6 0 0 4 20 0 1 0 3 10 0 0 1 5 20 0 0 0 0 0

    x1 = 2 6x2 4x5

    x3 = 1 + 3x5x4 = 2 5x5

    x1 = 2 6t 4sx2 = t

    x3 = 1 + 3sx4 = 2 5s

    x5 = st, s R

    Infinitas solucoes.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 41 / 64

  • Forma Escalonada Reduzida por Linhas

    Exemplo

    A matriz abaixo esta na forma escalonada por linha:1 0 0 00 1 2 00 0 0 1

    A terceira equacao do sistema e

    0x1 + 0x2 + 0x3 = 1

    Como esta equacao nao pode ser resolvida, o sistema nao tem solucao.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 42 / 64

  • Eliminacao de Gauss-Jordan

    E um processo usado para transformar qualquer matriz aumentada narespectiva forma escalonada reduzida por linhas, utilizando as operacoeselementares sobre linhas.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 43 / 64

  • Eliminacao de Gauss-Jordan

    Exemplo

    Vamos resolver o seguinte sistema linear

    2x3 + 7x5 = 122x1 + 4x2 10x3 + 6x4 + 12x5 = 282x1 + 4x2 5x3 + 6x4 5x5 = 1

    que possui a matriz aumentada0 0 2 0 7 122 4 10 6 12 282 4 5 6 5 1

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 44 / 64

  • Eliminacao de Gauss-Jordan

    Exemplo

    Localize a coluna mais a` esquerda que nao seja constitudainteiramente de zeros.No presente exemplo, e a primeira coluna.

    Permute a primeira linha com uma outra linha, se necessario, paraobter uma entrada nao-nula ao topo da coluna encontrada noprimeiro passo.Com isso, a matriz do exemplo se torna:0 0 2 0 7 122 4 10 6 12 28

    2 4 5 6 5 1

    2 4 10 6 12 280 0 2 0 7 12

    2 4 5 6 5 1

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  • Eliminacao de Gauss-Jordan

    Exemplo

    Se a entrada que agora esta no topo da coluna encontrada noprimeiro passo e a, multiplique a primeira linha por 1/a paraintroduzir um pivo.No presente exemplo, a primeira linha foi multiplicada por 1/2:2 4 10 6 12 280 0 2 0 7 12

    2 4 5 6 5 1

    1 2 5 3 6 140 0 2 0 7 12

    2 4 5 6 5 1

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 46 / 64

  • Eliminacao de Gauss-Jordan

    Exemplo

    Some multiplos convenientes da primeira linha a`s linhas inferiorespara obter zeros em todas as entradas abaixo do pivo.No exemplo, a primeira linha foi multiplicada por 2 e depois somadaa terceira linha:1 2 5 3 6 140 0 2 0 7 12

    2 4 5 6 5 1

    1 2 5 3 6 140 0 2 0 7 12

    0 0 5 0 17 29

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 47 / 64

  • Eliminacao de Gauss-Jordan

    Exemplo

    Repita os passos anteriores e some multiplos convenientes, da linhacom o pivo, a`s linhas superiores para obter zeros em todas asentradas acima do pivo. O pivo deve ser o unico elemento nao nuloda coluna. Continue desta maneira, ate que toda a matriz esteja naforma escalonada reduzida por linhas.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 48 / 64

  • Eliminacao de Gauss-Jordan

    Exemplo

    No exemplo, a segunda linha deve ser multiplicada por 1/2.Soma-se essa nova linha multiplicada por 5 com a primeira. Depois,soma-se a nova linha multiplicada por 5 com a terceira:1 2 5 3 6 140 0 2 0 7 12

    0 0 5 0 17 29

    1 2 5 3 6 140 0 1 0 3,5 6

    0 0 5 0 17 29

    1 2 0 3 11,5 160 0 1 0 3,5 6

    0 0 5 0 17 29

    1 2 0 3 11,5 160 0 1 0 3,5 6

    0 0 0 0 0,5 1

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 49 / 64

  • Eliminacao de Gauss-JordanExemplo

    Seguindo no exemplo, a terceira linha deve ser multiplicada por 2.Soma-se essa nova linha multiplicada por 11,5 com a primeira.Depois, soma-se a nova linha multiplicada por 3,5 com a segunda:1 2 0 3 11,5 160 0 1 0 3,5 6

    0 0 0 0 0,5 1

    1 2 0 3 0 70 0 1 0 3,5 6

    0 0 0 0 1 2

    1 2 0 3 0 70 0 1 0 0 10 0 0 0 1 2

    x1 = 7 2t 3rx2 = tx3 = 1x4 = rx5 = 2

    t, r R

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  • Sistemas com Matriz de Coeficientes Comum

    Para resolver uma sequencia de sistemas lineares Ax = b1, Ax = b2, . . .,Ax = bk , no qual possuem a mesma matriz de coeficientes A, pode-seconstruir a matriz aumentada[

    A b1 b2 . . . bk]

    e depois reduzi-la a forma aumentada por linhas. Dessa maneira, seraresolvido k sistemas de uma so vez por eliminacao de Gauss-Jordan.

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  • Sistemas com Matriz de Coeficientes ComumExemplo

    Vamos resolver os seguintes sistemas lineares

    9x1 + 4x2 + 7x3 = 13x2 + 2x2 + 5x3 = 2

    10x3 + 3x2 + 4x3 = 3

    e9x1 + 4x2 + 7x3 = 23x2 + 2x2 + 5x3 = 3

    10x3 + 3x2 + 4x3 = 5

    que possui a matriz aumentada 9 4 7 1 23 2 5 2 310 3 4 3 5

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 52 / 64

  • Sistemas com Matriz de Coeficientes ComumExemplo

    9 4 7 1 23 2 5 2 310 3 4 3 5

    19 linha 1

    1 4/9 7/9 1/9 2/93 2 5 2 310 3 4 3 5

    3 linha 1 + linha 2; e 10 linha 1 + linha 3 1 4/9 7/9 1/9 2/90 2/3 8/3 5/3 7/3

    0 13/9 34/9 17/9 25/9

    32 linha 2

    1 4/9 7/9 1/9 2/90 1 4 5/2 7/20 13/9 34/9 17/9 25/9

    49 linha 2 + linha 1; e 13

    9 linha 2 + linha 3

    1 0 1 1 4/30 1 4 5/2 7/20 0 2 11/2 47/6

    12 linha 3

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 53 / 64

  • Sistemas com Matriz de Coeficientes Comum

    Exemplo

    1 0 1 1 4/30 1 4 5/2 7/20 0 1 11/4 47/12

    1 linha 3 + linha 1; e 4 linha 3 + linha 2 1 0 0 7/4 31/120 1 0 17/2 73/6

    0 0 1 11/4 47/12

    Portanto, a solucao para o primeiro sistema e

    x =

    7/417/211/4

    e a solucao do segundo e x =31/1273/6

    47/12

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  • Matriz Elementar

    Uma matriz n n que pode ser obtida da matriz identidade I de tamanhon n executando-se uma unica operacao elementar sobre linhas, echamada de matriz elementar. Toda matriz elementar e invertvel e ainversa da mesma e tambem uma matriz elementar.

    Exemplo

    A matriz A e a respectiva inversa A1 sao matrizes elementares:

    A =

    1 0 00 1 03 0 1

    A1 = 1 0 00 1 03 0 1

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 55 / 64

  • Metodo para Encontrar a Matriz Inversa

    Para encontrar a matriz inversa de uma matriz invertvel A, com tamanhon n, deve-se encontrar uma sequencia de operacoes elementares sobre aslinhas de A que a reduza a` matriz identidade e depois efetuar esta mesmasequencia de operacoes em I para obter A1.

    Deve-se executar uma sequencia de eliminacoes de Gauss-Jordan tais quepartindo-se do sistema [A|I] chega-se em [I|A1].

    Em outras palavras, deve-se resolver o sistema linear [A|e1|e2| . . . |en], emque ek e o vetor canonico que possui o valor 1 na posicaok {1, 2, . . . , n} e zeros nas demais.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 56 / 64

  • Metodo para Encontrar a Matriz Inversa

    Exemplo

    1 2 3 1 0 02 5 3 0 1 01 0 8 0 0 1

    2 linha 1 + linha 2; e 1 linha 1 + linha 3 1 2 3 1 0 00 1 3 2 1 0

    0 2 5 1 0 1

    2 linha 2 + linha 3 1 2 3 1 0 00 1 3 2 1 0

    0 0 1 5 2 1

    1 linha 3 1 2 3 1 0 00 1 3 2 1 0

    0 0 1 5 2 1

    3 linha 3 + linha 2; e 3 linha 3 + linha 1

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 57 / 64

  • Metodo para Encontrar a Matriz Inversa

    Exemplo

    1 2 0 14 6 30 1 0 13 5 30 0 1 5 2 1

    2 linha 2 + linha 1 1 0 0 40 16 90 1 0 13 5 3

    0 0 1 5 2 1

    Portanto, a matriz inversa de

    1 2 32 5 31 0 8

    e a matriz 40 16 913 5 3

    5 2 1

    , e vice-versa.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 58 / 64

  • Metodo para Encontrar a Matriz Inversa

    E possvel determinar se uma matriz quadrada nao possui inversa atravesdo metodo de eliminacao:

    Exemplo

    1 6 4 1 0 02 4 1 0 1 01 2 5 0 0 1

    2 linha 1 + linha 2; e linha 1 + linha 3 1 6 4 1 0 00 8 9 2 1 0

    0 8 9 1 0 1

    linha 2 + linha 3 1 6 4 1 0 00 8 9 2 1 0

    0 0 0 1 1 1

    Ocorreu uma linha de zeros no lado esquerdo. Quando ha este tipo de

    inconsistencia, a matriz nao possui inversa.

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 59 / 64

  • Sistemas de Equacoes Lineares e Invertibilidade

    Se A e uma matriz invertvel n n, entao para cada matriz b de tamanhon 1, o sistema de equacoes Ax = b tem exatamente uma solucao, asaber x = A1b. Pois

    Ax = bA1Ax = A1b

    Ix = A1bx = A1b

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 60 / 64

  • Sistemas de Equacoes Lineares e Invertibilidade

    Exemplo

    Seja o sistema de equacoes lineares

    x1 + 2x2 + 3x3 = 52x1 + 5x2 + 3x3 = 3x1 + 8x3 = 17

    possui o formato matricial

    A =

    1 2 32 5 31 0 8

    , x =x1x2x3

    , b = 53

    17

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 61 / 64

  • Sistemas de Equacoes Lineares e Invertibilidade

    Exemplo

    A matriz A =

    1 2 32 5 31 0 8

    possui inversa A1 =40 16 913 5 3

    5 2 1

    .Portanto, a solucao do sistema linear e

    x =

    x1x2x3

    = A1b =40 16 913 5 3

    5 2 1

    5317

    = 11

    2

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 62 / 64

  • Afirmacoes Equivalentes

    Se A e uma matriz n n, entao as seguintes afirmacoes sao equivalentes: A e invertvel; Ax = 0 so tem a solucao trivial; A forma escalonada por linhas de A e I; A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares; Ax = b e consistente para cada matriz b de tamanho n 1; Ax = b tem exatamente uma solucao para cada matriz b de tamanho

    n 1; O determinante de A e diferente de zero.

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  • Fim do Topico

    Andre Rodrigues da Cruz (CEFET-MG) Matrizes e Sistemas Lineares Otimizacao I 64 / 64