REGRESION INTERPOLACION

Los Métodos Numéricos

Métodos mas utilizados

Ajuste de Curvas

Aproximación polinomial por mínimos cuadrados

Los Métodos Numéricos REGRESION

x

x

x

x

x

xx

xx x

x

x

xx

x

x

(x0,y0)

(xn,yn)Distancia mínima

Pm(x)

Objetivo: Obtener un polinomio o función que relaciones x e y

Aproximación polinomial por mínimos cuadrados

El concepto

•Forma de aproximar una función g(x) a diferentes f(x).

•Nos proporciona información acerca de las relaciones existentes entre x e y

•Causa una suavización de la curva formada por un conjunto de datos y elimina en algún grado los errores de observador, de medición, de registro, de transmisión y de conversión

Los Métodos Numéricos REGRESION

m

i

ii

mmm xaxaxaxaxaxP

0

22

11

00)(

Se tiene una secuencia de datos dados por n puntos de la forma (xi,yi)También se tiene un polinomio de grado m, con m<n de la forma

Como los puntos (xi,yi), son datos se evalúa los cuadrados de los residuos para obtener los coeficientes del polinomio P(x) de la forma que:

2

00

2 )(

n

iiim

n

ii yxPrQ Sea mínima

Sea m=2 entonces 2

2102 )( xaxaaxP

0)(0)(2

0

2210

2

0

n

iiii

n

iiim xaxaayQyxPQ

0)(2

0)(2

0)(2

0

2210

2

2

0

2210

1

0

2210

0

n

iiii

n

iiii

n

iii

i

i

i

xaxaayxa

Q

xaxaayxa

Q

xaxaaya

Q

0)(

0)(

0)(

42

31

20

2

0

2210

2

32

210

0

2210

2210

0

2210

iiiii

i

iii

ii

xaxaxayxxaxaayx

xaxaxayxxaxaayx

xaxaayxaxaay

i

n

iii

iii

n

iiii

ii

n

iii

42

31

20

2

32

210

2210

iiii

ii

i

xaxaxayx

xaxaxayx

xaxaay

i

iii

ii

i

ii

i

i

i

yx

yx

y

a

a

a

xxx

xxx

xxn

iiii

ii

i

22

1

0

43

32

21

im

i

ii

i

mmm

m

m

m

i

i

yx

yx

yx

y

a

a

a

a

xx

x

x

x

xxx

xxx

xxn

i

i

ii

i

i

i

iii

ii

i

22

1

0

2

2

1

432

32

2

..

1

CASO GENERAL

bCa

baC1

Ejemplo:Se tiene la siguiente secuencia de datos:

X 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0Y 1.7 0.3 5.6 7.8 10. 11. 12. 14.

0 2 4 6 80

5

10

15

Y

X

Se prueba un polinomio de 2º

i

ii

i

i

i

yx

yx

y

a

a

a

xxx

xxx

xxn

iiii

ii

i

22

1

0

43

32

212

2102 )( xaxaaxP m=2

15979.2924.61

467678414028

91

2

432

iiii

i

yxyxy

xxxx

n

i

iii

1597

9.292

4.61

4676784140

78414028

140289

2

1

0

a

a

a

2

2

1

0

145.0879.2115.0)(

145.0

879.2

115.0

xxxP

a

a

a

0 2 4 6 85

0

5

10

15

P2 x( )

Y

x X

Se prueba un polinomio de 3º

i

i

ii

i

i

i

yx

yx

yx

y

a

a

a

a

xxxx

x

x

x

xxx

xxx

xxn

i

i

ii

i

i

iii

ii

i

3

2

3

2

1

0

6543

5

4

3

43

32

21

33

22103 )( xaxaxaaxP

m=3

7.932115979.2924.61

1848202900846778414028

91

32

65432

iiiii

i

yxyxyxy

xxxxxx

n

ii

iiiii

7.9321

1597

9.292

4.61

184820290084676784

29008

4676

784

4676784140

78414028

140289

3

2

1

0

a

a

a

a

32

4

2

1

0

054.0408.0519.1446.0)(

054.0

408.0

519.1

446.0

xxxxP

a

a

a

a

0 2 4 6 85

0

5

10

15

P2 x( )

P3 x( )

Y

x x X

¿Cual de las soluciones es mejor?

La forma intuitiva para determinar cual de las curvas es la que mejor representa el comportamiento de los datos, nos indica que la suma de las distancias al cuadrado sea lo mas próxima a cero.

2

00

2 )(

n

iiim

n

ii yxPrQ

n

ii

n

iiim

yy

yxPR

0

2

2

02

)(Coeficiente de correlación

R cuadrática =0.9426R cúbica =0.9492

Regresión lineal:

xaaxP 101 )(

x

F(x)

0)(0)(2

010

2

0

n

iii

n

iiim xaayQyxPQ

0(2

0)(2

010

1

010

0

n

iiii

n

iii

xaayxa

Q

xaaya

Q

ii

i

i

i

yx

y

a

a

xx

xn

i 1

02

1

ii

i

i

i

yx

y

xx

xn

a

a

i

1

21

0 1

Interpretación física de las constantes de la regresión:

Marco de estudio: Análisis de costos, por ejemplo la variable independiente, corresponde a la cantidad de productos y la variable dependiente corresponde a los costos asociados:

Ejemplo:Se ha adquirido un aditivo para la electro-refinación de la forma dada en los siguientes datos:

Costo 11 12 14 5 13 14 15Cantidad 5 6 8 2 8 7 9

0 5 100

10

20

f x( )

Y

x X

624.1

363.1

1

0

a

a

$ 1.363 es el costo fijo

$ 1.624 es el costo marginal

Utilización de programa de tipo Comercial

EXCEL

Solución del ejemplo anterior:Datos:

Costo 11 12 14 5 13 14 15Cantidad 5 6 8 2 8 7 9

Paso 1.- Ingresar datos al Excel Picar par hacer grafico

Selección del tipo de datos a graficar regresión

Los Métodos Numéricos INTERPOLACION

Aproximación polinomial mediante polinomio de newton

x

x

x

x x

x

(x0,y0)

(xn,yn)

Pn(x)

Objetivo: Obtener un polinomio que relaciones x e y

Los Métodos Numéricos INTERPOLACION

m

i

ii

mmm xaxaxaxaxaxP

0

22

11

00)(

El concepto

•Forma de aproximar una función g(x) a diferentes polinomios f(x).

•Nos proporciona información acerca de las relaciones existentes entre x e y

•La función polinomial obtenida pasa por cada uno de los puntos o evaluaciones de función inicial g(x)

Se tiene una secuencia de datos dados por n puntos de la forma (xi,yi)También se tiene un polinomio de grado m, con m=n-1 de la forma

Como se tienen n puntos, el polinomio de ajuste debe ser de grado n-1 y como debe pasar por todos aquellos puntos se debe cumplir que:

nnnnnn

nn

nn

nnnn

xaxaxaay

xaxaxaay

xaxaxaay

yxyxyxyx

12

210

112121101

012020100

111100 ),(),,(),,(),,(

n

n

n

n

nnnn

nnnn

n

n

y

y

y

y

a

a

a

a

xxx

xxx

xxx

xxx

1

1

0

1

2

1

0

21

211

1211

0200

1

1

1

1

yaX

Se obtienen los coeficientes invirtiendo la matriz:

yXa 1Sea n=3 2

2102 )( xaxaaxP

2222102

2121101

2020100

xaxaay

xaxaay

xaxaay

),(),,(),,( 221100 yxyxyx

2

1

0

2

1

0

222

211

200

1

1

1

y

y

y

a

a

a

xx

xx

xx

))()((

)()()(

))()((

)()()(

))()((

)()()(

100212

0122011202

100212

102202

2121

20

1

100212

1001220220

211221

20

0

xxxxxx

yyxyyxyyxa

xxxxxx

yyxyyxyyxa

xxxxxx

xyxyxxyxyxxyxyxa

Ejemplo:Se tienen 3 puntos con los valores dados en la tabla I, Determine el polinomio de interpolación.

Solución:Como se tienen 3 puntos, el polinomio debe ser cuadrático de la forma:

22102 )( xaxaaxP

X 1 3 4Y 3.78 20,56 35,67

67.36

56.20

78.3

1641

931

111

2

1

0

a

a

a

0 2 40

20

40

60

f t( )

y

t x

22 24.257.011.2)( xxxP

Problemas frecuentes con polinomios de alto orden:

X 1 3 4 5 6 7Y 3.78 20,56 17,67 17.25 32.3 3.56

Se tienen 6 puntos, por lo tanto se debe interpolar un polinomio de grado 5

55

44

33

22105 )( xaxaxaxaxaaxP

1 2 3 4 5 6 710

0

10

20

30

40

P5 z( )

Y

z X

y3 23.25

1 2 3 4 5 6 710

0

10

20

30

40

P5 z( )

Y

z X

Ejemplo:Se desea determinar el caudal que tiene una bomba de agua; para lograrlo en forma experimental, se ha diseñado el siguiente esquema:1.- Se preparan 5 tambores de 200 litros de capacidad2.- Se llenan sin cortar el flujo y se toma el tiempo de llenado de cada tambor

El resultado obtenido es:

Tambor 1 2 3 4 5Tiempo (s) 5.0 9.0 12.0 14.9 17.7

Solución:Se escribe la tabla anterior en función de los litros de agua y no en función del número de tambores:

Caudal (litros) 200 400 600 800 1000Tiempo (s) 5.0 9.0 12.0 14.9 17.7

0 5 10 15 200

500

1000

1500

P5 x( )

Y

x X

Como se tienen 6 puntos se debe interpolar con un polinomio de grado 5

54325 002.0105.0891.1485.12071.61)( xxxxxxP

Caudal de bomba

0 5 10 150

200

400

600

800

1000

1200

P5 x( )

Y

dP5 x( )

x X x