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BTS Electrotechnique

Cours de Mathématiques

François THIRIOUX

[email protected]

Lycée René Perrin, Ugine

Mai 2003

Table des matières

Présentation du programme v

1 Préliminaires 1

1.1 Dé�nitions préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Sommations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Rappels sur les nombres complexes et la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Intégration 8

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Dé�nition de l�intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Méthodes d�intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Séries numériques 14

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Dé�nition d�une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

i

TABLE DES MATIÈRES ii

3.1.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.3 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.2 Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Séries de Fourier 17

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.1 Joseph Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.2 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Coe¢ cients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.1 Formes exponentielle et réelle ; somme de Fourier . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.2 Propriétés des coe¢ cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.1 Egalité de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.2 Convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4 Sommes de Fourier de signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4.1 Signal en créneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.2 Signal en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Equations di¤érentielles 28

5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2 Equations di¤érentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2.1 Dé�nitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2.2 Résolution de l�équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2.3 Recherche d�une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 31

5.2.4 Utilisation d�une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Equations di¤érentielles linéaires du second ordre à coe¢ cients constants . . . . 33

5.3.1 Dé�nitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.2 Résolution de l�équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.3 Recherche d�une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 36

TABLE DES MATIÈRES iii

5.3.4 Utilisation d�une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Développements limités 38

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1.1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.4 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.1 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.2 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.3 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Transformation de Laplace 44

7.1 Introduction et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.1 Pierre Simon de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.3 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.1.4 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.1.5 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2 Transformée de Laplace d�une fonction causale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.2 Résultats essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2.3 Transformées fondamentales usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2.4 Théorèmes complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3 Applications à l�analyse du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3.1 Transformée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

TABLE DES MATIÈRES iv

7.3.2 Equations di¤érentielles linéaires à coe¢ cients constants . . . . . . . . . 53

7.3.3 Circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.3.4 Systèmes di¤érentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Bibliographie 56

Présentation du programme

Ce cours traite grosso modo des items suivants composant le programme :

1. Nombres complexes 2.

2. Suites numériques 2.

3. Fonctions d�une variable réelle.

4. Calcul di¤érentiel et intégral 3.

5. Séries numériques et séries de Fourier.

6. Transformation de Laplace

7. Transformation en z.

8. Equations di¤érentielles.

9. Fonctions de deux ou trois variables.

10. Calcul matriciel.

11. Calcul des probabilités 1.

12. Calcul vectoriel.

v

Chapitre 1

Préliminaires

1.1 Dé�nitions préalables

1.1.1 Factorielle

1.1.1.1 Dé�nition Soit n un entier naturel. La factorielle de n, notée n!; est le nombre

entier :

n! = 1:2:3: � � � :n si n > 1 ;0! = 1 , par convention.

1.1.1.2 Exemple On a : 5! = 1:2:3:4:5 = 120:

1.1.1.3 Remarque Il est souvent utile de noter que (n+ 1)! = (n+ 1):n! .

1.1.1.4 Remarque La croissance de n! est extrêmement rapide. Par exemple, 50! = 3; 0414�1064:

1.1.2 Sommations

1.1.2.1 Notation Si les ai sont des objets (nombres, matrices, fonctions...) que l�on peut

sommer, on dé�nit :nXk=1

ak = a1 + a2 + � � �+ an, où n pourra être +1:

1.1.2.2 Proposition La somme est un opérateur, i.e. C-linéaire :Xk

(ak + bk) =Xk

ak +Xk

bk ,Xk

(�ak) = �Xk

ak , pour tout � 2 C.

1

1. Préliminaires 2

1.1.2.3 Exemple On a, pour z 2 C :

3Xp=0

i:(zp + 1)

p!= i

3Xp=0

zp

p!+ i

3Xp=0

1

p!

= i+ iz + iz2

2+ iz3

6+ i+ i+

i

2+i

6:

1.1.2.4 Exercice Montrer que :nXk=1

k =n(n+ 1)

2:

1.1.2.5 Exercice Montrer que :

nXk=1

k2 =1

3(n+ 1)3 � 1

2(n+ 1)2 +

1

6n+

1

6=1

6n (n+ 1) (2n+ 1) :

1.1.3 Combinaisons

1.1.3.1 Dé�nition On appelle coe¢ cient binômial un nombre entier donné, pour k 6 n;

par :

Ckn =n!

k!(n� k)! :

1.1.3.2 Remarque Plusieurs observations sont nécessaires. D�abord, c�est bien un entier, ce

qui sera démontré dans la suite. Ensuite, ce nombre est parfois noté aussi�nk

�. En�n, plus

concrètement, il représente le nombre de façons de prendre (sans ordre) k éléments parmi n.

Son rôle est très important en probabilités, mais aussi de manière générale dans les autres

domaines.

1.1.3.3 Théorème Soient k 6 n: On a les relations très importantes suivantes :

Ckn = Cn�kn ;

Ckn + Ck+1n = Ck+1n+1:

Preuve. La première relation est évidente. La deuxième nécessite juste un calcul simple

(partir du membre de gauche).

1.1.3.4 Remarque La deuxième relation est fondamentale. Elle prouve, de proche en proche,

que les coe¢ cients binômiaux sont bien des entiers. Mais aussi et surtout, elle fournit un moyen

bien simple de calculer et de représenter ces coe¢ cients : le triangle de Pascal (il semble en fait

que ce soit plus ancien...).

1. Préliminaires 3

n�k 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Bien observer les propriétés de ce tableau (en particulier celles données par le théorème)

n�est pas une perte de temps !

1.2 Polynômes

1.2.1 Rappels

1.2.1.1 Dé�nition On dit qu�une fonction P : C �! C est un polynôme de degré n s�ilexiste des coe¢ cients complexes a0; � � � ; an , an étant non nul, tels que :

P (z) =nXk=0

ak:zk = a0 + a1:z + � � �+ an:zn:

1.2.1.2 Exemple Les trinômes du second degré à coe¢ cients réels sont des polynômes de

degré 2. Les polynômes de degré 0 sont les nombres complexes.

1.2.1.3 Proposition Si n 2 N� et si z et a sont deux complexes, alors :

zn � an = (z � a)n�1Xk=0

zn�1�kak = (z � a)(zn�1 + zn�2:a+ � � �+ z:an�2 + an�1):

Preuve. Développer le membre factorisé ; les termes s�annulent presque tous.

1.2.2 Factorisation

1.2.2.1 Théorème Soit P (z) un polynôme de degré n . Alors P (b) = 0 ssi P (z) = (z� b)Q(z), où Q est un polynôme de degré (n� 1) .

1. Préliminaires 4

Preuve. Si P (z) = (z � b)Q(z); alors il est évident que P (b) = 0:Réciproquement, notons P (z) = a0 + a1:z + � � � + an:zn: Puisque P (b) = 0; on a 0 =

a0 + a1:b+ � � �+ an:bn: Ainsi, en utilisant la proposition précédente :

P (z)� 0 = (a0 + a1:z + � � �+ an:zn)� (a0 + a1:b+ � � �+ an:bn)

= a1:(z � b) + � � �+ an:(zn � bn)

= a1:(z � b) + � � �+ an:(z � b)(zn�1 + zn�2:b+ � � �+ z:bn�2 + bn�1)

= (z � b)Q(z) , où Q est un polynôme de degré (n� 1):

C�est ce qu�il fallait montrer.

1.2.2.2 Remarque Ce théorème est fondamental, mais aussi très utile dans des cas simples.

Il ne faut pas oublier qu�il est bien sûr aussi valable pour des nombres réels (puisque R � C ) !

1.2.2.3 Exemple Supposons qu�une parabole f coupe l�axe des abscisses aux points 1 et 5 ,

et que son minimum soit de �1: On trouve facilement la forme factorisée de l�équation de cetteparabole. On applique 2 fois le théorème :

f(x) = (x� 1):g(x) , g de degré 1 s�annulant en 5

= (x� 1)(x� 5):h(x) , h de degré 0, i.e. h(x) est une constante �:

Ensuite, l�extremum d�une parabole se situe au milieu de ses 2 racines (éventuelles), c�est-à-dire

ici en 3 . Ainsi, �1 = f(3) = (3� 1)(3� 5):� = �4�: Soit � = 1

4; i.e. f(x) =

1

4(x� 1)(x� 5) .

(x�1)(x�5)=4

:/windows/TEMP/graphics/swp00011:pdf�:=windows=TEMP=graphics=swp00011:pdfwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=swp0001

1:pdfwidth�:=windows=TEMP=graphics=swp0001

1:pdfheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=swp00011:pdfheight

1.2.2.4 Exemple Supposons que l�on sache que la fonction f(x) = x3� 3x2+2x� 6 s�annulepour x = 3 (par exemple en le devinant graphiquement et en le véri�ant algébriquement). On

sait par le théorème que f(x) se factorise en (x� 3)g(x) , où g est un trinôme du second degré.On pose g(x) = ax2 + bx + c: Puis, en développant (x� 3)g(x) et en identi�ant avec f(x); onobtient f(x) = (x� 3)(x2 + 2):

1. Préliminaires 5

x3�3x2+2x�6

:/windows/TEMP/graphics/swp00012:pdf�:=windows=TEMP=graphics=swp00012:pdfwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=swp0001

2:pdfwidth�:=windows=TEMP=graphics=swp0001

2:pdfheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=swp00012:pdfheight

1.2.2.5 Remarque Au lieu d�identi�er les termes pour trouver les coe¢ cients polynômiaux,

on peut e¤ectuer une division euclidienne de polynômes.

1.2.3 Formule du binôme

1.2.3.1 Théorème Si a et b sont deux nombres complexes, et si n est un entier, alors :

(a+ b)n =nXk=0

Ckn:akbn�k:

Preuve. Supposer que la formule est vraie au rang n , puis la démontrer au rang (n+ 1) ,

en utilisant la relation (a+ b)n+1 = (a+ b)(a+ b)n .

1.2.3.2 Exemple Développons (a+b)4:On lit la ligne n�4 du triangle de Pascal (correspondant

à n = 4 ). On y trouve les coe¢ cients binômiaux qui nous intéressent ici, i.e. les Ck4 . Ainsi :

(a+ b)4 = 1:a4 + 4:a3b+ 6:a2b2 + 4:ab3 + 1:b4:

1.2.3.3 Remarque Les coe¢ cient binômiaux jouent un rôle important en dénombrement. Ici,

observons la formule du théorème. Notons que :

(a+ b)n = (a+ b)(a+ b) � � � (a+ b)| {z }n fois

:

Trouver (dans le développement) le coe¢ cient de akbn�k , c�est compter le nombre de fac�ons

de prendre, dans le membre de droite ci-dessus, k termes \a" parmi n . Donc Ckn représente

bien le nombre de manières de prendre k éléments parmi n .

1.2.3.4 Exercice Pourquoi le raisonnement précédent est-il aussi valable si l�on compte les

\b" au lieu des \a" ?

1. Préliminaires 6

1.3 Rappels sur les nombres complexes et la trigonomé-

trie

1.3.1 Nombres complexes

Di¤érentes formes

1.3.1.1 Notation On note C l�ensemble des nombres complexes, et C� l�ensemble des nombrescomplexes privé de 0 . La lettre i désigne le complexe de carré �1 (en électricité ce nombre estnoté j , a�n d�éviter la confusion avec l�intensité).

1.3.1.2 Proposition Un nombre complexe z peut s�écrire :

1. z = x+ iy , où x et y sont deux réels (forme algébrique) ;

2. si z est non nul, z = �ei� , où � > 0 et � 2 R (forme trigonométrique).

1.3.1.3 Remarque On rappelle que, par dé�nition, ei� = cos �+ i sin � . De plus, le nombre 0

n�a pas de forme trigonométrique (on ne peut dé�nir son argument).

1.3.1.4 Dé�nition Dans ces conditions :

1. x est la partie réelle de z , notée Re(z) , et y est la partie imaginaire de z , notée

Im(z) .

2. � est le module de z (noté jzj ), et � l�argument de z (noté arg(z) ). Cet angle (enradians) est dé�ni à 2k� près, k appartenant à Z .

1.3.1.5 Dé�nition La mesure principale d�un angle est celle comprise dans ]� �; �] .

1.3.1.6 Proposition Si z = a+ ib = �ei� 2 C� , alors � =pa2 + b2 , cos(�) =

a

�et sin(�) =

b

�.

Propriétés élémentaires

1.3.1.7 Dé�nition Si z = a+ ib 2 C , on appelle conjugué de z le nombre z = a� ib .

1.3.1.8 Proposition On a zz = jzj2 .

Preuve. Poser z = a+ ib , puis faire tout simplement le calcul.

1.3.1.9 Proposition Soient z1 = �1ei�1 2 C� et z2 = �2ei�2 2 C� . On a les relations suivantes :

1. z1z2 = �1�2ei(�1+�2) ;

1. Préliminaires 7

2.z1z2=�1�2ei(�1��2) ;

3. z1 = �1e�i�1 .

Formules remarquables

1.3.1.10 Théorème Si � est un réel, et si n est un entier naturel, alors on a la formule de

Moivre :

(ei�)n = ein�,

c�est-à-dire (cos � + i sin �)n = (cosn� + i sinn�):

1.3.1.11 Théorème Si x est un réel, alors on a les formules d�Euler :

cosx =eix + e�ix

2et sin x =

eix � e�ix2i

.

1.3.1.12 Remarque Ces formules sont des outils essentiels, elles permettent par exemple de

linéariser un polynôme trigonométrique.

1.3.2 Trigonométrie

1.3.2.1 Remarque Les formules essentielles se trouvent dans le formulaire, il ne s�agit pas de

les recopier ici... Il faut revoir les cosinus et sinus des angles remarquables. On donne juste une

formule, dans le but d�observer sa démonstration.

1.3.2.2 Proposition Si a et b sont deux réels, on a les formules suivantes :

cos(a+ b) = cos a cos b� sin a sin b ;

sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b .

Preuve. On remarque que ei(a+b) = cos(a+ b) + i sin(a+ b) , et on calcule :

cos(a+ b) + i sin(a+ b) = ei(a+b)

= eiaeib

= (cos a+ i sin a)(cos b+ i sin b)

= (cos a cos b� sin a sin b) + i(sin a cos b+ cos a sin b):

En identi�ant parties réelles et imaginaires, on a montré d�un coup les deux formules.

Chapitre 2

Intégration

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I de R, et soient a et b dans I .

2.1 Généralités

2.1.1 Dé�nition de l�intégrale

2.1.1.1 Dé�nition Une primitive de f est une fonction F dérivable sur I et véri�ant F 0 = f .

2.1.1.2 Théorème La fonction f possède des primitives.

Preuve. Hors programme, et admise. Remarquons qu�en terminale, ce résultat n�était

énoncé que pour des fonctions dérivables, et non seulement continues.

2.1.1.3 Remarque Rappelons ici que ces primitives ne di¤èrent que d�une constante

additive.

2.1.1.4 Dé�nition La fonction F : x 7�!R xaf(t)dt est l�unique primitive de f sur I s�an-

nulant en a .

2.1.1.5 Dé�nition L�intégrale de f entre a et b est le nombre dé�ni par :Z b

a

f(t)dt = [F (t)]t=bt=a = F (b)� F (a) .

8

2. Intégration 9

2.1.2 Propriétés élémentaires

Relation de Chasles

2.1.2.1 Proposition Si c est dans I , alors :Z c

a

f(t)dt+

Z b

c

f(t)dt =

Z b

a

f(t)dt .

Preuve. Elémentaire, revenir à la dé�nition.

Linéarité

2.1.2.2 Proposition Si � et � sont des constantes, alors :Z b

a

[�f(t) + �g(t)] dt = �

Z b

a

f(t)dt+ �

Z b

a

g(t)dt .

Preuve. Elémentaire, revenir à la dé�nition.

Positivité

2.1.2.3 Notation Une écriture fonctionnelle du type f 6 g signi�e que, quel que soit t dansI , f(t) 6 g(t) .

2.1.2.4 Proposition Si a 6 b , et si f > 0 , alors :Z b

a

f(t)dt > 0 .

Preuve. Puisque f est positive, F est croissante (se souvenir que F 0 = f ). De ce fait,

F (a) 6 F (b) car a 6 b . Ce qui mène directement au résultat par la dé�nition 2.1.1.5.

2.1.2.5 Corollaire Si a 6 b , et si f 6 g , alors :Z b

a

f(t)dt 6Z b

a

g(t)dt .

Preuve. Considérons la fonction h = g�f . Cette fonction est positive, et on peut appliquerla proposition précédente.

2. Intégration 10

2.1.3 Inégalités

2.1.3.1 Proposition (inégalité de la moyenne) Si a 6 b; et si m 6 f 6M , alors :

m(b� a) 6Z b

a

f(t)dt 6M(b� a) ,

ou encore, si a 6= b :

m 6 1

b� a

Z b

a

f(t)dt 6M .

Preuve. On utilise le résultat 2.1.2.5 : m 6 f 6 M donc leurs intégrales entre a et b sont

classées dans le même ordre. Or, si k est une constante,R bakdt = k(b � a) , ce qui mène à

l�encadrement recherché.

2.1.3.2 Remarque Le terme 1b�aR baf(t)dt est la valeur moyenne de f . On a ainsi juste

prouvé que ce nombre est encadré par les mêmes valeurs que f , ce qui est normal.

2.1.3.3 Corollaire Si a 6 b et si jf j 6 k , alors 0 6R bajf(t)j dt 6 k(b� a) .

2.1.3.4 Proposition (inégalité triangulaire) On a l�inégalité suivante :��Z b

a

f(t)dt

�� 6 Z b

a

jf(t)j dt .

Preuve. Remarquons que � jf j 6 f 6 jf j : Il su¢ t alors d�appliquer le corollaire 2.1.2.5,puis de passer aux valeurs absolues.

2.1.3.5 Dé�nition On dit que f est de classe C1 si f est dérivable et si f 0 est continue.

2.1.3.6 Théorème (inégalité des accroissements �nis) Supposons que f soit C1 sur I .

Si a 6 b et si jf 0j 6 k, alors :jf(b)� f(a)j 6 k(b� a) .

Preuve. Tout d�abord, f est C1, ainsi f 0 est continue donc intégrable. On utilise ensuite la

proposition 2.1.3.4 et le corollaire 2.1.3.3 pour calculer :

jf(b)� f(a)j =��Z b

a

f 0(t)dt

��6

Z b

a

jf 0(t)j dt

6 k(b� a) ,

ce qui est bien l�inégalité recherchée.

2. Intégration 11

2.2 Méthodes d�intégration

2.2.1 Fonctions à valeurs complexes

2.2.1.1 Dé�nition Si f + ig est à une fonction (continue) à valeurs complexes, une de ses

primitives est :

F + iG ,

et si on intègre : Z b

a

[f(t) + ig(t)]dt =

Z b

a

f(t)dt+ i

Z b

a

g(t)dt .

2.2.1.2 Remarque En pratique, on fait les calculs sans se poser de questions (voir l�exemple

important 2.2.1.3). L�utilité d�intégrer ou de dériver des fonctions à valeurs complexes apparaîtra

lors de l�étude des séries de Fourier. Mais, comme va le montrer l�exemple 2.2.1.4, il peut parfois

être judicieux de passer dans C pour faire des calculs dans R .

2.2.1.3 Exemple Soit a dans C� . Une primitive de la fonction réelle à valeurs complexes

t 7�! eat esteat

a: On peut calculer par exemple d�une première manière :

Z 2�

0

eitdt =

�eit

i

�t=2�t=0

=ei2�

i� e

i0

i=1

i� 1i= 0 ,

et d�une seconde :Z 2�

0

eitdt =

Z 2�

0

[cos(t) + i sin(t)] dt =

Z 2�

0

cos(t)dt+ i

Z 2�

0

sin(t)dt = 0 + i0 = 0 .

Nous retrouvons bien le même résultat (important par ailleurs).

2.2.1.4 Exemple CalculonsR �0cos(x)e3xdx ; cette intégrale est la partie réelle de :Z �

0

eixe3xdx =

Z �

0

e(i+3)xdx

=

�e(i+3)x

i+ 3

�x=�x=0

=e(i+3)�

i+ 3� e

(i+3)0

i+ 3

=�e3�i+ 3

� 1

i+ 3

=(�e3� � 1)(�i+ 3)(i+ 3)(�i+ 3)

=�3(e3� + 1)

10+ ie3� + 1

10.

2. Intégration 12

Par conséquent, on obtient :Z �

0

cos(x)e3xdx =�310(e3� + 1) .

2.2.2 Intégration par parties

2.2.2.1 Théorème Si f et g sont C1; alors :Z b

a

f 0(t)g(t)dt = [f(t)g(t)]t=bt=a �Z b

a

f(t)g0(t)dt .

Preuve. Tout d�abord observons que, puisque f et g sont C1 , toutes les fonctions consi-

dérées sont continues. Il su¢ t alors d�écrire (fg)0 = f 0g + fg0 , soit f 0g = (fg)0 � fg0, puisd�intégrer cette égalité entre a et b .

2.2.2.2 Exemple Trouvons la primitive de la fonction ln qui s�annule en e :Z x

e

ln(t)dt =

Z x

e

1 ln(t)dt = [t ln(t)]t=xt=e �Z x

e

t1

tdt = (x ln(x)� e)� (x� e) = x ln(x)� x .

2.2.3 Changement de variable

2.2.3.1 Théorème Soit ' une fonction de classe C1 sur [a; b] , dont les valeurs sont dans I .

Alors : Z b

a

f('(t))'0(t)dt =

Z '(b)

'(a)

f(u)du .

Preuve. Hors programme, et admise.

2.2.3.2 Remarque Expliquons concrètement la méthode. DansR '(b)'(a)

f(u)du , on pose u =

'(t) (changement de variable, donné ou à trouver). Si t vaut a (resp. b ), alors u vaut '(a)

(resp. '(b) ), ce qui conduit à changer les bornes de l�intégrale. Ensuite,du

dt= '0(t) , ou encore

(bien que cette écriture soit formellement incorrecte au niveau BTS) du = '0(t)dt; que l�on

remplace dans l�intégrale.

2. Intégration 13

2.2.3.3 Exemple Calculons, après avoir mis t2 + t+ 1 sous forme canonique :Z 1

0

1

t2 + t+ 1dt =

Z 1

0

1

34

��2tp3+ 1p

3

�2+ 1

�dt=

4

3

Z p3

1p3

1

u2 + 1

p3

2du en posant u =

2tp3+

1p3, d�où du =

2p3dt

=2p3[arctan(u)]u=

p3

u= 1p3

=2p3

��3� �6

�=

�p3

9.

2.2.3.4 Exemple Supposons que f soit T -périodique. Alors l�intégrale de f sur une période

est constante ; par exemple :Z T

0

f(t)dt =

Z T2

0

f(t)dt+

Z T

T2

f(t)dt par la relation de Chasles

=

Z T2

0

f(t)dt+

Z 0

�T2

f(u+ T )du en posant u = t� T

=

Z 0

�T2

f(u)du+

Z T2

0

f(t)dt car f(u+ T ) = f(u)

=

Z T2

�T2

f(t)dt .

Chapitre 3

Séries numériques

3.1 Généralités

3.1.1 Dé�nition d�une série

3.1.1.1 Dé�nition Soit (un)n2N une suite. On appelle série de terme général un la suite

(Sn)n2N formée des sommes partielles Sn =nPk=0

uk .

3.1.2 Convergence

3.1.2.1 Dé�nition Si la suite (Sn) converge, on dit que la série converge, et on note :

S = limn!+1

Sn =+1Xk=0

uk:

3.1.3 Condition nécessaire de convergence

3.1.3.1 Théorème Si une série converge, alors son terme général tend vers 0.

Preuve. Si (Sn) est une série convergente de terme général un , alors les suites (Sn�1) et

(Sn) convergent vers la même limite. Ainsi, leur di¤érence tend vers 0. Or, Sn � Sn�1 = un.

3.1.3.2 Remarque La contraposée de ce théorème est : �si le terme général ne tend pas vers

0, alors la série diverge�. C�est sous cette forme que le théorème est le plus souvent utilisé. Les

séries dont le terme général ne tend pas vers 0 sont dites grossièrement divergentes. Par

exemple,P

n sinn est une telle série.

14

3. Séries numériques 15

3.2 Séries de référence

3.2.1 Séries géométriques

3.2.1.1 Dé�nition Une série géométrique est une série dont le terme général est une suite

géométrique.

3.2.1.2 Proposition Une série géométrique converge si, et seulement si, la suite géométrique

dont elle est issue converge (vers 0).

Preuve. Utiliser l�égalité bien connue :nXk=0

qk =1� qn+11� q ;

puis faire tendre n vers l�in�ni.

3.2.2 Séries de Riemann

3.2.2.1 Dé�nition Une série de Riemann est une série de terme général1

n�où � est un

réel �xé.

3.2.2.2 Théorème Une série de Riemann converge si � > 1 , et diverge si � 6 1 .

Preuve. L�idée est de comparer une série de Riemann à une intégrale de la fonction1

x�.

3.3 Critères de convergence

3.3.1 Séries à termes positifs

Soient (un) et (vn) deux suites à termes positifs.

3.3.1.1 Théorème Si un 6 vn à partir d�un certain rang, alors :

1. siPvn converge, alors

Pun converge ;

2. siPun diverge, alors

Pvn diverge.

Preuve. Dans le premier cas, utiliser le fait qu�une suite croissante et majorée converge. La

deuxième assertion n�est que la contraposée de la première.

3.3.1.2 Dé�nition On dit que un est équivalent à vn , noté un � vn , si le quotientunvntend

vers 1.

3. Séries numériques 16

3.3.1.3 Théorème Si un � vn; alors les sériesPun et

Pvn sont de même nature (convergente

ou divergente).

3.3.1.4 Théorème (critère de d�Alembert) Supposons que L = limn!+1

un+1un

existe.

1. Si L < 1; alorsPun converge ;

2. si L > 1; alorsPun diverge ;

3. si L = 1; alors on ne peut rien a¢ rmer.

3.3.2 Séries à termes de signe quelconque

3.3.2.1 Dé�nition Une série est dite alternée si le signe de son terme général est alternati-

vement positif et négatif.

3.3.2.2 Proposition Une série alternéePun , telle que (junj) décroit vers 0, converge.

3.3.2.3 Dé�nition Une sériePun est dite absolument convergente si

Pjunj converge.

3.3.2.4 Proposition Une série absolument convergente est convergente, mais la réciproque

est fausse.

Chapitre 4

Séries de Fourier

4.1 Introduction

4.1.1 Joseph Fourier

:/windows/TEMP/graphics/Fourier3:jpg�:=windows=TEMP=graphics=Fourier3:jpgwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=Fourier

3:jpgwidth�:=windows=TEMP=graphics=Fourier

3:jpgheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=Fourier3:jpgheight

Joseph Fourier (1768-1830), étudia à l�Ecole Royale Militaire d�Auxerre et, dès l�âge de treize

ans, manifesta un intérêt certain pour les mathématiques, mais hésita à devenir prêtre (il entra

à Saint-Benoît-sur-Loire, qu�il quitta en 1789). En 1793, il se joint à un comité révolutionnaire

mais, sous la Terreur, faillit être guillotiné (la mort de Robespierre lui permit d�en réchapper).

Il eut, à l�Ecole Normale Supérieure, Lagrange et Laplace comme professeurs, obtint un poste

à l�Ecole Centrale de Travaux Publics, puis enseigna à l�Ecole Polytechnique. Il participa à la

campagne d�Egypte sous Napoléon, fut nommé préfet de l�Isère et, là, étudia la théorie de la

propagation de la chaleur, ce qui le mena à la décomposition des fonctions périodiques.

4.1.2 Première approche

Considérons les fonctions indexées par n dé�nies par :

Sn(t) =4

�

n�1Xk=0

1

2k + 1sin[(2k + 1)2�t]:

Considérons ensuite le signal en créneau f de période 1 :

:/windows/TEMP/graphics/creneau4:pdf�:=windows=TEMP=graphics=creneau4:pdfwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=creneau

4:pdfwidth�:=windows=TEMP=graphics=creneau

4:pdfheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=creneau4:pdfheight

f

17

4. Séries de Fourier 18

Ce signal est discontinu, donc a fortiori non dérivable. Nous allons l�approcher par ses

sommes de Fourier Sn , qui sont des fonctions sinusoïdales (polynômes trigonométriques,

in�niment dérivables et commodes pour les calculs). Trac�ons donc quelques unes de ces sommes,

et observons leurs allures :

:/windows/TEMP/graphics/Fcreneau05:pdf�:=windows=TEMP=graphics=Fcreneau05:pdfwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=Fcreneau0

5:pdfwidth�:=windows=TEMP=graphics=Fcreneau0

5:pdfheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=Fcreneau05:pdfheight

S1




S2




S3




S4




S5




S11

Nous pouvons déjà noter que, plus n est grand, plus la somme de Fourier semble se rappro-

cher du signal en créneau. Plus précisément, Sn converge vers f en tout point de continuité

de f . Cela dit, près d�une discontinuité de f , il reste toujours une �crête�, de plus en plus

proche de la discontinuité, mais d�amplitude constante (environ 9% du saut de discontinuité, à

mesurer sur les dessins !). C�est le phénomène de Gibbs (Josiah Willard Gibbs, américain,

1839-1903). Ceci conduit à faire des moyennes de Cesaro des sommes de Fourier (appelées

sommes de Fejér), rendant la convergence bien meilleure (mais c�est hors programme).

4.2 Coe¢ cients de Fourier

Dans cette partie, nous allons dé�nir la somme de Fourier SN(f) d�une fonction périodique

f ; nous étudierons la convergence de cette somme vers f dans la prochaine section (mais il faut

garder à l�idée que SN(f) est une approximation de f ).

4.2.1 Formes exponentielle et réelle ; somme de Fourier

Dans la suite, soit f une fonction T -périodique continue par morceaux, et soit ! =2�

T.


4.2.1.1 Remarque Attention, les dé�nitions des coe¢ cients des séries de Fourier sont di¤é-

rentes d�un ouvrage à l�autre. Il est donc vivement recommandé d�être vigilant... Les conventions

employées ici sont celles du formulaire de BTS.

4.2.1.2 Dé�nition Pour n dans Z, on dé�nit les nombres complexes :

cn(f) =1

T

Z T

0

f(t)e�i!ntdt .

Ces nombres sont appelés les coe¢ cients de Fourier complexes de f:

4.2.1.3 Remarque Vu que t 7�! f(t)e�i!nt est aussi T�périodique (à véri�er), on pouvaitl�intégrer sur n�importe quel intervalle de longueur T (à véri�er, par un changement de variable),

par exemple [�T2; T2] . Le choix est purement pratique et dépend du signal considéré.

4.2.1.4 Dé�nition Soit N dans N. La somme de Fourier d�ordre N de f est la fonction

dé�nie par :

SN(f)(x) =NX

n=�Ncn(f)e

i!nx .

4.2.1.5 Proposition Soit n dans N. On a les résultats suivants :

cn(f) + c�n(f) =2

T

Z T

0

f(t) cos(!nt)dt ;

i(cn(f)� c�n(f)) =2

T

Z T

0

f(t) sin(!nt)dt .

Preuve. On calcule simplement :

cn(f) + c�n(f) =1

T

Z T

0

f(t)e�i!ntdt+1

T

Z T

0

f(t)ei!ntdt

=1

T

Z T

0

f(t)(ei!nt + e�i!nt)dt

=1

T

Z T

0

f(t):2 cos(!nt)dt

=2

T

Z T

0

f(t) cos(!nt)dt ;


puis :

i(cn(f)� c�n(f)) = i1

T

Z T

0

f(t)e�i!ntdt� i 1T

Z T

0

f(t)ei!ntdt

= �i 1T

Z T

0

f(t)(ei!nt � e�i!nt)dt

= �i 1T

Z T

0

f(t):2i sin(!nt)dt

=2

T

Z T

0

f(t) sin(!nt)dt .

On a bien démontré nos deux égalités, en utilisant les formules d�Euler.

4.2.1.6 Notation On dé�nit, pour n dans N� , des nombres réels (appelés coe¢ cients deFourier réels) par :

a0(f) =1

T

Z T

0

f(t)dt ;

an(f) =2

T

Z T

0

f(t) cos(!nt)dt ;

bn(f) =2

T

Z T

0

f(t) sin(!nt)dt .

4.2.1.7 Corollaire Soit n dans N�. On en déduit les égalités fondamentales suivantes :

cn(f)ei!nx + c�n(f)e

�i!nx = an(f) cos(!nx) + bn(f) sin(!nx) ;

c0(f) =1

T

Z T

0

f(t)dt = a0(f) .

Preuve. On calcule directement, en utilisant la relation eit = cos t+ i sin t , et en n�oubliant

pas que cos(�t) = cos t :

cn(f)ei!nx + c�n(f)e

�i!nx = cn(f)[cos(!nx) + i sin(!nx)] + c�n(f)[cos(!nx)� i sin(!nx)]

= [cn(f) + c�n(f)] cos(!nx) + i[cn(f)� c�n(f)] sin(!nx)

= an(f) cos(!nx) + bn(f) sin(!nx) .

Ensuite :

c0(f) =1

T

Z T

0

f(t)e�i0!tdt

=1

T

Z T

0

f(t)dt

= a0(f) .

Et nous avons démontré le corollaire.


4.2.1.8 Remarque Le coe¢ cient c0(f) = a0(f) est la valeur moyenne de f .

4.2.1.9 Conclusion Soit N dans N�. On obtient le résultat fondamental suivant :

SN(f)(x) = a0(f) +

NXn=1

[an(f) cos(!nx) + bn(f) sin(!nx)] ,

et en particulier SN(f) est une fonction à valeurs réelles (ce qui n�était a priori pas

évident).

Preuve. On calcule directement :

SN(f)(x) =NX

n=�Ncn(f)e

i!nx

= c0(f) +

NXn=1

[cn(f)ei!nx + c�n(f)e

�i!nx] ,

ce qui mène directement au résultat en utilisant le corollaire précédent.

4.2.1.10 Dé�nition Le terme a1(f) cos(!x) + b1(f) sin(!x) est appelé le fondamental (de

fréquence 1T). Pour n > 2; le terme an(f) cos(!nx) + bn(f) sin(!nx) est appelé harmonique

de rang n (c�est un signal de fréquence nT, multiple du fondamental).

4.2.2 Propriétés des coe¢ cients

Nous déterminerons concrètement ultérieurement des coe¢ cients de Fourier usuels, mais

il faut d�abord voir quelques propriétés fondamentales de ces coe¢ cients et quelques astuces

pratiques qui permettent de gagner du temps dans les calculs.

Propriétés algébriques

4.2.2.1 Proposition On retrouve les coe¢ cients complexes à partir des coe¢ cients réels grâce

aux formules, valables pour n dans N� :

cn(f) =1

2[an(f)� ibn(f)] ;

c�n(f) =1

2[an(f) + ibn(f)] .

Preuve. Utiliser la proposition 4.2.1.5.

4.2.2.2 Proposition Les coe¢ cients complexes d�indices opposés sont conjugués :

pour n dans N , c�n(f) = cn(f) .

Preuve. Utiliser la proposition précédente.


Energie et spectre des fréquences

4.2.2.3 Proposition L�énergie de l�harmonique de rang n > 1 est (par dé�nition) le nombre :

En(f) = jcn(f)j2 + jc�n(f)j2 =an(f)

2 + bn(f)2

2.

Preuve. Utiliser la proposition 4.2.2.1 pour démontrer la deuxième égalité.

4.2.2.4 Dé�nition Le spectre des fréquences de f s�obtient en représentant les fréquencesnTdes harmoniques en abscisse, et jcn(f)j+ jc�n(f)j =

pan(f)2 + bn(f)2 en ordonnée.

Limites

4.2.2.5 Théorème (lemme de Riemann-Lebesgue) Les coe¢ cients de Fourier tendent

vers 0 à l�in�ni :

limn!+1

jcn(f)j = limn!�1

jcn(f)j = limn!+1

an(f) = limn!+1

bn(f) = 0 .


4.2.2.6 Remarque 1. Ainsi, lorsque n est grand, l�harmonique de rang n est négligeable

(son amplitude est petite). Mais attention, ceci ne veut pas dire que l�importance des

harmoniques va forcément en décroissant (une harmonique de rang élevé peut être domi-

nante).

2. En pratique, on va négliger les termes de rangs �élevés�de la somme de Fourier. Tout

dépend du degré de précision souhaité. En général, on fait un spectre des fréquences,

et par une appréciation pifométrique du plus bel e¤et, on oublie les harmoniques qui

représentent un �faible�pourcentage de l�énergie totale.

3. En fait, plus f est régulière (i.e. dérivable), plus on est assuré de la décroissance rapide

des coe¢ cients de Fourier (l�idée est de comparer cn(f) et cn(f0), puis par extension cn(f)

et cn(f (k)) ).

Parité du signal

4.2.2.7 Proposition 1. Si f est une fonction paire, alors ses coe¢ cients bn(f) sont nuls, et

donc ses sommes de Fourier ne sont composées que de cosinus.

2. Si f est une fonction impaire, alors ses coe¢ cients an(f) sont nuls, et donc ses sommes

de Fourier ne sont composées que de sinus.


Preuve. Prouvons par exemple la deuxième assertion. Comme on l�a déjà précisé, on peut

calculer les coe¢ cients de Fourier de f en intégrant sur [�T2; T2]: Ensuite, puisque t 7�! cos(!nt)

est paire, on remarque que t 7�! f(t) cos(!nt) est impaire ; ainsi son intégrale, sur un intervalle

symétrique comme [�T2; T2] , est nulle. Ce qui signi�e que an(f) = 0:

4.2.2.8 Exemple Les sommes de Fourier du signal en créneau considéré dans l�introduction

ne sont composées que de sinus, puisque ce signal est impair.

4.3 Théorèmes de convergence

4.3.1 Egalité de Bessel-Parseval

4.3.1.1 Dé�nition La norme euclidienne de f est le nombre réel :

kfk =�1

T

Z T

0

f(t)2dt

� 12

:

4.3.1.2 Remarque 1. Les coe¢ cients de Fourier sont en fait dé�nis grâce à un produit sca-

laire (hors programme) sur l�espace des fonctions T -périodiques continues par morceaux,

et la norme de f est issue de ce produit scalaire, d�où son quali�catif �euclidienne�.

2. La norme euclidienne de f est la valeur e¢ cace du signal f sur une période.

3. Le carré de la valeur e¢ cace de f est l�énergie du signal f sur une période : E(f) = kfk2.

4.3.1.3 Théorème (égalité de Bessel-Parseval) On a l�égalité fondamentale suivante :

kfk2 =+1Xn=�1

jcn(f)j2 = a0(f)2 ++1Xn=1

an(f)2 + bn(f)

2

2.


4.3.1.4 Remarque 1. On récupère au passage le lemme de Riemann-Lebesgue 4.2.2.5. En

e¤et, puisque les séries considérées convergent, leurs termes généraux tendent vers 0.

2. Cette égalité nous permettra de calculer la somme de quelques séries usuelles, l�idée étant

de créer un signal périodique dont les coe¢ cients de Fourier sont �semblables�aux termes

de la série étudiée.

4.3.1.5 Remarque En termes physiques, l�énergie d�un signal périodique f est la somme des

énergies des harmoniques (cf 4.2.2.3) et du carré de la valeur moyenne :

E(f) = a0(f)2 +

+1Xn=1

En(f) .


4.3.2 Convergence des séries de Fourier

4.3.2.1 Dé�nition On dit que f est C1 par morceaux s�il existe une subdivision 0 = x0 <

x1 < � � � < xp = T de l�intervalle [0;T ] telle que, pour 0 6 i 6 p � 1 , la restriction de f à]xi;xi+1[ est prolongeable par continuité sur [xi;xi+1] en une fonction de classe C1 .

4.3.2.2 Théorème (Dirichlet) Si f est de classe C1 par morceaux, alors, quel que soit x , la

série de Fourier SN(f)(x) converge vers la demi-somme des limites à droite et à gauche de f

en x . Formellement :

8x 2 R; limN!+1

SN(f)(x) =f(x+) + f(x�)

2.


4.3.2.3 Corollaire Si f est continue en x , alors SN(f)(x) converge vers f(x) lorsque N tend

vers l�in�ni.

4.3.2.4 Remarque 1. La véri�cation systématique des conditions du théorème de Diri-

chlet n�est pas un objectif du programme de BTS. On retiendra que tout honnête signal

périodique les satisfait...

2. Le théorème con�rme, sous certaines conditions, que les sommes de Fourier de f en sont

des approximations. Mais encore une fois attention, si f n�est pas continue, la convergence

est simple (i.e. se traite pour un x donné), mais pas uniforme (i.e. partout de la même

manière). En e¤et, il se produit le phénomène de Gibbs aux discontinuités. Par contre, si

f est continue, alors il n�y a pas de phénomène de Gibbs, et la convergence de la série de

Fourier de f est uniforme (on le constatera graphiquement sur les exemples de la section

4.4).

4.4 Sommes de Fourier de signaux usuels

Nous allons ici déterminer les sommes de Fourier de deux signaux électriques classiques.


4.4.1 Signal en créneau

Calcul des coe¢ cients

C�est le signal que nous avons étudié dans l�introduction. On calcule les coe¢ cients de

Fourier de f :

an = 0 car f est impaire ;

bn =2

1

Z 12

� 12

f(t) sin(2�

1nt)dt

= 4

Z 12

0

f(t) sin(2�nt)dt par parité de la fonction intégrée

= 4

Z 12

0

sin(2�nt)dt

= 4

��cos(2�nt)

2�n

�t= 12

t=0

=4

2�n(� cos(�n) + cos(0))

=2

�n(1� (�1)n) car cos(�n) = (�1)n (faire un cercle trigo pour s�en convaincre)

=

8<: 0 si n est pair4

�nsi n est impair

:

Ainsi, on trouve :

SN(x) =

NXn=1

n impair

4

�nsin(2�nx) ,

ce qui correspond bien à la formule de l�introduction (dire que n est impair, c�est dire qu�il

s�écrit 2k+1). Puisque f est C1 par morceaux mais pas continue, sa somme de Fourier converge

simplement (théorème de Dirichlet).

Représentations graphiques

:/windows/TEMP/graphics/Screneau11:pdf�:=windows=TEMP=graphics=Screneau11:pdfwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=Screneau

11:pdfwidth�:=windows=TEMP=graphics=Screneau

11:pdfheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=Screneau11:pdfheight

f; S1; S3; S5; S7

:/windows/TEMP/graphics/Dcreneau12:pdf�:=windows=TEMP=graphics=Dcreneau12:pdfwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=Dcreneau

12:pdfwidth�:=windows=TEMP=graphics=Dcreneau

12:pdfheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=Dcreneau12:pdfheight

spectre des fréquences


4.4.2 Signal en triangle

Calcul des coe¢ cients

Considérons le signal 2�-périodique f , dé�ni sur [��; �] par f(t) = jtj (voir plus bas sareprésentation graphique). Il faut observer immédiatement que :

1. la fonction f est paire, donc ses coe¢ cients bn sont nuls (cf 4.2.2.7) ;

2. la fonction f est C1 par morceaux et continue, ce qui assure une convergence uniforme

de sa série de Fourier.

Calculons :

a0 =1

2�

Z �

��jtjdt

= 21

2�

Z �

0

jtjdt par parité de la fonction valeur absolue

=1

�

Z �

0

tdt

=�

2;

an =2

2�

Z �

��jtj cos(nt)dt

=2

�

Z �

0

t cos(nt)dt par parité de la fonction intégrée

=2

�

�tsin(nt)

n

�t=�t=0

� 2

�

Z �

0

sin(nt)

ndt en intégrant par parties

= � 2

�n

�� cos(nt)

n

�t=�t=0

car sin(n�) = 0

=2

�n2((�1)n � 1)

=

8<: 0 si n est pair

� 4

�n2si n est impair

.

Ainsi, on trouve :

SN(x) =�

2�

NXn=1

n impair

4

�n2cos(nx):


Représentations graphiques

:/windows/TEMP/graphics/Striangle13:pdf�:=windows=TEMP=graphics=Striangle13:pdfwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=Striangle

13:pdfwidth�:=windows=TEMP=graphics=Striangle

13:pdfheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=Striangle13:pdfheight

f; S1; S3; S5; S7

:/windows/TEMP/graphics/Dtriangle14:pdf�:=windows=TEMP=graphics=Dtriangle14:pdfwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=Dtriangle

14:pdfwidth�:=windows=TEMP=graphics=Dtriangle

14:pdfheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=Dtriangle14:pdfheight

spectre des fréquences

Energies et approximation

L�énergie du signal f sur une période est :

E = kfk2 = 1

2�

Z �

��jtj2dt = 1

�

Z �

0

t2dt =1

�

�t3

3

�t=�t=0

=�2

3.

L�énergie de l�harmonique de rang n est nulle si n est pair. Si n est impair, elle vaut :

En =a2n + b

2n

2=1

2

��4�n2

�2=

8

�2n4.

La formule de Parseval appliquée à f donne :

�2

3= E = a20 +

+1Xn=1

En =�2

4+

+1Xn=1

8

�2n4.

(On remarquera au passage que cette égalité permet de calculer la somme d�une série nu-

mérique.)

Ce qui nous intéresse, c�est de savoir où tronquer la série de Fourier. Pour cela, on calcule :

E =�2

3' 3; 2899 ;

a20 =�2

4' 2; 4674 soit 75% de E ;

a20 + E1 =�2

4+8

�2' 3; 2780 soit environ 99; 64% de E ;

a20 + E1 + E3 =�2

4+8

�2+

8

81�2' 3; 2880 soit environ 99; 94% de E .

On peut donc raisonnablement approcher f par la valeur moyenne et le fondamental, c�est-

à-dire S1 . En fait, plus on est précis, plus les calculs sont lourds. Tout est une question de

dosage. Mais attention, au niveau BTS, on ne contrôle pas réellement l�erreur commise lors des

calculs, et donc on ne fait plus vraiment des mathématiques...

Chapitre 5

Equations di¤érentielles

5.1 Préliminaires

5.1.1 Introduction

5.1.1.1 Dé�nition Une équation di¤érentielle d�ordre n est une équation reliant une

fonction y (n fois dérivable) à ses n premières dérivées.

5.1.1.2 Dé�nition Résoudre une telle équation, c�est trouver toutes les fonctions y satisfai-

sant cette équation.

5.1.1.3 Notation Si y est une fonction dérivable du temps, alors on note y0 oudy

dtsa dérivée

première, y00 oud2y

dt2sa dérivée seconde, etc... On prendra garde à éviter l�abus de notation

classique :dy

dtn�est pas un nombre, c�est une fonction.

5.1.1.4 Exemple Si y(t) = sin(3�t); alorsdy

dt(t) = y0(t) = 3� cos(3�t) .

5.1.2 Exemple fondamental

5.1.2.1 Exemple Si l�on se place dans un circuit série RLC soumis à une tension e(t), alors

l�intensité i(t) induite par cette di¤érence de potentiel véri�e l�équation :

Ldi

dt(t) +Ri(t) +

1

C

Z t

0

i(u)du = e(t):

Si le signal e est dérivable, on peut dériver cette équation, et l�on obtient l�équation di¤é-

rentielle linéaire du second ordre à coe¢ cients constants suivante :

Ld2i

dt2(t) +R

di

dt(t) +

1

Ci(t) =

de

dt(t);

28

5. Equations di¤érentielles 29

ou, si l�on reprend les notations mathématiques :

Li00(t) +Ri0(t) +1

Ci(t) = e0(t):

5.1.2.2 Remarque 1. Si le signal e n�est pas dérivable, la démarche précédente ne peut

s�appliquer. La théorie des distributions, qui contourne cet obstacle, permet de s�en sortir,

mais elle est hors programme. Ceci dit, l�utilisation de la transformation de Laplace (au

programme) se révèlera fort utile.

2. Si e est périodique, une autre manière de s�a¤ranchir de sa non-dérivabilité est de lui

substituer une somme de Fourier l�approchant. Celle-ci est non seulement dérivable, mais

aussi sa simplicité permet de résoudre explicitement l�équation di¤érentielle (de manière

approchée).

5.2 Equations di¤érentielles linéaires du premier ordre

5.2.1 Dé�nitions et structure des solutions

5.2.1.1 Dé�nition Une équation di¤érentielle linéaire d�ordre 1 est une équation (E)

de la forme :

a(t)y0(t) + b(t)y(t) = c(t);

où a; b; et c sont des fonctions continues sur un intervalle I; avec a(t) 6= 0 sur I:

5.2.1.2 Dé�nition L�équation homogène associée à (E) est l�équation sans second membre

(E�) :

a(t)y0(t) + b(t)y(t) = 0:

5.2.1.3 Théorème La solution générale de (E) est obtenue en ajoutant une solution parti-

culière de (E) à la solution générale de (E�):

Preuve. Soit y1 une solution particulière de (E). Elle véri�e donc a(t)y01(t)+b(t)y1(t) = c(t):

Ensuite :

y est solution de (E)

() a(t)y0(t) + b(t)y(t) = c(t)

() a(t)y0(t) + b(t)y(t) = a(t)y01(t) + b(t)y1(t)

() a(t)(y0(t)� y01(t)) + b(t)(y(t)� y1(t)) = 0

() a(t)(y � y1)0(t) + b(t)(y � y1)(t) = 0

() y� = y � y1 est solution de (E�):


Ainsi, étant données la solution particulière y1 de (E) et la solution générale y� de (E�); la

solution générale de (E) est bien de la forme y = y� + y1:

5.2.2 Résolution de l�équation homogène

Coe¢ cients constants

On suppose ici que les deux fonctions a et b sont constantes, avec a 6= 0:Dans ce cas l�équation (E�) s�écrit ay0 + by = 0, et l�intervalle d�étude est R car a est

une constante. Supposons que y ne s�annule jamais. On peut alors écrirey0

y= � b

a: Ensuite,

puisque y ne s�annule pas, elle ne change pas de signe, et on peut supposer par exemple qu�elle

est toujours strictement positive. Ainsi, nous pouvons primitiver notre relation en ln jy(t)j =ln y(t) = � b

at+ k , où k est une constante. Ceci montre alors que y(t) = exp(� b

at+ k): Et si,

pour �nir, on note K = ek; alors y(t) = Ke�bat: Tout ceci nous conduit à énoncer :

5.2.2.1 Théorème Les solutions de ay0 + by = 0 sont de la forme Ke�bat; où K est une

constante réelle.

Preuve. Soit y(t) = Ke�bat: On véri�e aisément que y est solution de (E�) :

ay0(t) + by(t) = � baaKe�

bat + bKe�

bat = �bKe� b

at + bKe�

bat = 0:

Réciproquement, supposons que y soit solution de (E), ce qui signi�e que ay0 + by = 0:

Posons f(t) = y(t)ebat: Cette fonction est dérivable, et :

f 0(t) = y0(t)ebat + y(t)

b

aebat =

1

aebat(ay0 + by)(t) = 0:

Ainsi, f est une constante K sur l�intervalle R; i.e. f(t) = K; ou encore y(t) = Ke� bat:

5.2.2.2 Exemple Les solutions de l�équation 2x0 + x = 0 sont de la forme Ke�12t:

Cas général

Ici les deux fonctions a et b sont quelconques, avec a 6= 0 sur un intervalle I:Dans ce cas l�équation (E�) s�écrit a(t)y0(t) + b(t)y(t) = 0: On peut, pour t 2 I, écrire

y0(t)

y(t)= � b(t)

a(t); en supposant que y ne s�annule pas sur I: Notons F (t) une primitive de

b(t)

a(t):

Si y est strictement positive, on a comme dans le cas constant ln y(t) = �F (t) + k; et ainsiy(t) = exp(�F (t) + k): Si l�on note K = ek; alors y(t) = Ke�F (t): Tout ceci nous conduit à

énoncer :


5.2.2.3 Théorème Les solutions de a(t)y0(t) + b(t)y(t) = 0 sont de la forme Ke�F (t); où K

est une constante réelle et F (t) une primitive deb(t)

a(t):

Preuve. Exercice. La démarche est la même que celle de la preuve du théorème 5.2.2.1.

5.2.2.4 Exemple Soit l�équation, dé�nie sur I =] � 1;+1[; par (t + 1)w0 + (t � 1)w = 0:

On a icib(t)

a(t)=t� 1t+ 1

=t+ 1� 2t+ 1

= 1 � 2

t+ 1: Une primitive sur I est donnée par F (t) =

t� 2 ln jt + 1j = t� 2 ln(t + 1): Les solutions de l�équation di¤érentielle sont donc de la formew(t) = K exp(�t+ 2 ln(t+ 1)) = Ke�t(t+ 1)2:

5.2.3 Recherche d�une solution particulière et solution générale

On vient de voir que la résolution des équations homogènes ne pose pas problème. En suivant

le résultat du théorème 5.2.1.3, il nous reste donc à trouver une solution particulière de (E);

dans le cas où c(t) est un polynôme (exigible sans indication) ou un polynôme trigonométrique

(non exigible sans indication, mais très utile). La méthode de la variation de la constante n�est

pas au programme.

Le second membre est un polynôme

On cherche une solution particulière sous la forme d�un polynôme de même degré que c(t):

5.2.3.1 Exemple Soit (E) l�équation y0(x)� y(x) = x2 � x� 1:

1. L�équation homogène (E�) est y0 � y = 0; et ainsi ses solutions sont de la forme y�(x) =Kex:

2. Ici c(t) = x2�x�1; polynôme du second degré. On cherche donc une solution particulièrey1 sous la forme d�un polynôme du second degré y1(x) = �x2+�x+ : On remplace dans

(E) :

y01(x)� y1(x) = x2 � x� 1() 2�x+ � � �x2 � �x� = x2 � x� 1

()

8>><>>:�� = 1

2�� = �1� � = �1

()

8>><>>:� = �1� = �1 = 0

:

Ainsi y1(x) = �x2 � x est une solution particulière de (E):

3. La solution générale de (E) est donc donnée par y(x) = y�(x)+ y1(x) = Kex�x2�x; oùK est une constante réelle (qui ne pourra être déterminée qu�avec une condition initiale).


Le second membre est un polynôme trigonométrique

Ce cas se présente en particulier lorsqu�on procède comme dans le deuxième point de la

remarque 5.1.2.2.

5.2.3.2 Exemple Soit (E) l�équation y0(t)� 2y(t) = 13 sin 3t; sur l�intervalle I = R.

1. L�équation homogène (E�) est y0� 2y = 0; et ainsi ses solutions sont de la forme y�(x) =Ke2t:

2. Ici c(t) = 13 sin 3t; polynôme trigonométrique possédant une seule fréquence. On cherche

donc une solution particulière y1 sous la forme d�un polynôme trigonométrique de même

fréquence fondamentale y1(t) = A cos 3t+B sin 3t: On remplace dans (E) :

y01(t)� 2y1(t) = 13 sin 3t

() �3A sin 3t+ 3B cos 3t� 2A cos 3t� 2B sin 3t = 13 sin 3t

()(�3A� 2B = 133B � 2A = 0

()(A = �3B = �2

:

Ainsi y1(t) = �3 cos 3t� 2 sin 3t est une solution particulière de (E):

3. La solution générale de (E) est donc donnée par y(t) = y�(x) + y1(x) = Ke2t � 3 cos 3t�2 sin 3t; oùK est une constante réelle (qui ne pourra être déterminée qu�avec une condition

initiale).

5.2.4 Utilisation d�une condition initiale

La donnée d�une condition initiale permet de déterminer exactement la solution de (E) +

condition initiale (appelé problème de Cauchy).

5.2.4.1 Théorème Etant donnée une condition initiale sur les solutions, une équation di¤é-

rentielle linéaire du premier ordre possède une unique solution.

Preuve. On rappelle que les solutions de (E) sont données par y(t) = Ke�F (t) + y1(t); où

F (t) est une primitive deb(t)

a(t)et y1 une solution particulière de (E): Il s�agit donc de �xer K

grâce à la condition initiale y(t0) = y0: On remplace : y0 = y(t0) = Ke�F (t0) + y1(t0)() K =y0 � y1(t0)e�F (t0)

: Ainsi la constante K est déterminée de manière unique.

5.2.4.2 Remarque Bien sûr il ne faut pas retenir par coeur la formule donnant K:


5.2.4.3 Exemple Cherchons la solution de l�équation de l�exemple 5.2.3.2 véri�ant y(0) = 1:

On remplace cette condition initiale dans la solution générale de (E) : 1 = y(0) = Ke0 �3 cos 0� 2 sin 0; ce qui donne 1 = K � 3; ou encore K = 4: Finalement la solution du problème

de Cauchy est y(t) = 4e2t � 3 cos 3t� 2 sin 3t:

5.3 Equations di¤érentielles linéaires du second ordre à

coe¢ cients constants

L�étude du cas général (coe¢ cients quelconques) n�est pas au programme.

5.3.1 Dé�nitions et structure des solutions

5.3.1.1 Dé�nition Une équation di¤érentielle linéaire d�ordre 2 à coe¢ cients constants

est une équation (E) de la forme :

ay00(t) + by0(t) + cy(t) = d(t);

où a; b et c sont des constantes; avec a 6= 0.

5.3.1.2 Dé�nition L�équation homogène associée à (E) est l�équation sans second membre

(E�) :

ay00(t) + by0(t) + cy(t) = 0:

5.3.1.3 Théorème La solution générale de (E) est obtenue en ajoutant une solution parti-

culière de (E) à la solution générale de (E�):

Preuve. Exercice. La démarche est identique à celle de la preuve du théorème 5.2.1.3.

5.3.2 Résolution de l�équation homogène

Espace des solutions

5.3.2.1 Théorème Si f et g sont deux solutions non proportionnelles de (E�); alors l�ensemble

des solutions de (E�) est composé des fonctions de la forme C1f +C2g; où C1 et C2 sont des

constantes réelles.

Preuve. Si f et g sont deux solutions, il est facile de véri�er que C1f + C2g est encore

solution. Réciproquement, toute solution est de cette forme (admis).


5.3.2.2 Remarque Ainsi, si l�on trouve deux fonctions solutions non proportionnelles, on

obtient toutes les solutions par combinaison linéaire de ces 2 fonctions.

Equation caractéristique

En se souvenant des fonctions solutions des équations di¤érentielles du premier ordre, on est

amené à chercher si des fonctions exponentielles sont solutions de (E�): Posons donc y(t) = ert

et supposons que cette fonction soit solution. On remplace dans (E�) et on obtient ar2ert +

brert + cert = 0; soit ert(ar2 + br + c) = 0: Puisqu�une exponentielle n�est jamais nulle, ceci

signi�e que ar2 + br + c = 0:

5.3.2.3 Dé�nition L�équation du second degré ar2+ br+ c = 0 est appelée équation carac-

téristique de l�équation homogène (E�):

Résolution de l�équation caractéristique et formes des solutions

Soit � le discriminant de l�équation caractéristique.

� > 0 Il y a donc deux solutions réelles r1 et r2: Les deux fonctions f1(t) = er1t et f2(t) = er2t

sont deux solutions de (E�) qui ne sont pas proportionnelles car le rapportf1(t)

f2(t)=er1t

er2t=

er1t�r2t = e(r1�r2)t n�est pas constant. Ainsi, les solutions de (E�) sont de la forme C1er1t+C2er2t;

où C1 et C2 sont des constantes réelles.

� = 0 Il y a une seule solution réelle double r = � b

2a; qui fournit déjà une solution f1(t) = ert

de (E�): On cherche (et c�est en fait une méthode de variation de la constante) une deuxième

solution sous la forme f2(t) = w(t)f1(t) = w(t)ert: On remplace dans (E�) :

y2 solution de (E�)

() ay002(t) + by02(t) + cy2(t) = 0

() a[w00(t)ert + 2w0(t)rert + w(t)r2ert] + b[w0(t)ert + w(t)rert] + cw(t)ert = 0

() a[w00(t) + 2w0(t)r + w(t)r2] + b[w0(t) + w(t)r] + cw(t) = 0

() aw00(t) + (2ar + b)w0(t) + (ar2 + br + c)w(t) = 0

() aw00(t) = 0 car r = � b

2aest solution de l�équation caractéristique

() w00(t) = 0 car a 6= 0:

Ainsi on peut prendre w(t) = t; et f2(t) = w(t)f1(t) = tert: On véri�e aisément que f1 et

f2 ne sont pas proportionnelles car le rapportf2(t)

f1(t)= t n�est pas constant. Par conséquent,


les solutions de (E�) sont de la forme C1ert + C2tert = ert(C1 + C2t); où C1 et C2 sont des

constantes réelles.

� < 0 Il y a deux solutions complexes conjuguées r1 = �+ i� et r2 = �� i�; où � et � sontdeux réels avec � 6= 0: Les fonctions g1(t) = er1t et g2(t) = er2t sont solutions de (E�) à valeurscomplexes. On obtient d�autres solutions par combinaison linéaire complexe, en particulier :(

f1(t) = e�t cos �t = 1

2(er1t + er2t)

f2(t) = e�t sin �t = 1

2i(er1t � er2t)

:

Ces deux nouvelles fonctions solutions sont à valeurs réelles et ne sont pas proportionnelles

car leur rapport n�est pas une constante. Ainsi, les solutions de (E�) sont de la forme C1f1(t)+

C2f2(t) = e�t(C1 cos �t+ C2 sin �t); où C1 et C2 sont des constantes réelles.

Conclusion

5.3.2.4 Théorème Les solutions de l�équation ay00 + by0 + cy = 0 avec a 6= 0 sont :

discriminant �

de ar2 + br + c = 0Solutions sur un intervalle

� > 0C1e

r1t + C2er2t

où r1 et r2 sont les deux solutions

� = 0ert(C1 + C2t)

où r est la solution double

� < 0e�t(C1 cos �t+ C2 sin �t)

où � et � sont les parties réelle et imaginaire des solutions

.

5.3.2.5 Remarque Si l�on pose C =pC1 + C2; alors

�C1C

�2+

�C2C

�2= 1 et on peut donc

trouver un nombre ' tel queC1C= sin' et

C2C= cos': Dans ces conditions :

e�t(C1 cos �t+ C2 sin �t) = Ce�t(C1Ccos �t+

C2Csin �t)

= Ce�t(sin' cos �t+ cos' sin �t)

= Ce�t sin(�t+ ');

qui est une forme assez commode pour l�expression des solutions dans le cas � < 0:


5.3.2.6 Exemple Revenons à notre circuit série RLC, dont l�équation homogène est Li00+Ri0+1

Ci = 0: Le discriminant de l�équation caractéristique est � = R2 � 4L

C; et ainsi il s�annule

lorsque R = 2

rL

C.

5.3.3 Recherche d�une solution particulière et solution générale

La recherche d�une solution particulière est exigible sans indication si le second membre est

un polynôme. Dans les autres cas, la démarche sera donnée mais elle n�est pas exigible.

Le second membre est un polynôme

On cherche une solution particulière sous la forme d�un polynôme de même degré que d(t):

On procède exactement de la même manière que dans l�exemple 5.2.3.1, par identi�cation des

coe¢ cients du polynôme-candidat.

Le second membre est un polynôme trigonométrique

Dans ce cas également, la méthode est identique à celle de l�exemple du premier degré

5.2.3.2. On cherche la solution sous la forme d�un polynôme trigonométrique semblable à d(t):

Le second membre est une fonction exponentielle-polynôme

Ici d(t) = e�tP (t); où P est un polynôme. On cherche les solutions sous la forme e�tQ(t);

où Q est un polynôme de dégré celui de P plus 1. On procède ensuite par identi�cation des

coe¢ cients de Q comme dans les cas précédents.

5.3.4 Utilisation d�une condition initiale

La donnée d�une condition initiale (généralement au temps t0 = 0) permet de déterminer

exactement la solution de (E) + condition initiale (appelé problème de Cauchy) :8>><>>:ay00(t) + by0(t) + cy(t) = d(t)(

y(t0) �xé

y0(t0) �xé

:

5.3.4.1 Théorème Etant données une condition initiale sur les solutions et une sur leurs

dérivées, une équation di¤érentielle linéaire du second ordre à coe¢ cients constants possède

une unique solution.


Preuve. On se place pour alléger dans le cas où t0 = 0: Supposons par exemple que

l�équation caractéristique possède deux solutions réelles r1 et r2 (cas � > 0): Les solutions de

(E) sont données par y(t) = y1(t) +C1er1t+C2er2t; où y1 est une solution particulière. Il s�agit

donc de déterminer exactement C1 et C2: Les conditions initiales donnent(C1 + C2 = y(0)� y1(0)

r1C1 + r2C2 = y0(0)� y01(0)

:

Ce système possède toujours une solution unique car son déterminant est 1:r2 � r1:1 6= 0

car r1 et r2 sont di¤érentes. Les cas � = 0 et � < 0 se traitent de la même manière.

5.3.4.2 Exemple Considérons (E) l�équation i00(t) � 2i0(t) + 5i(t) = 5 cos t; sur l�intervalle

I = [0;+1[: On suppose de plus que i(0) = i0(0) = 0:

1. L�équation homogène (E�) associée est i00 � 2i0 � 5i = 0: Ici � = (�2)2 � 4:1:5 = �16 <0: Les racines complexes conjuguées de l�équation caractéristique sont 1 � 2i: Ainsi lessolutions de l�équation (E�) sont de la forme i�(t) = et(C1 cos 2t+ C2 sin 2t):

2. On cherche une solution particulière de (E) sous la forme i1(t) = A cos t + B sin t (poly-

nôme trigonométrique). On obtient les équations 4A � 2B = 5 et 4B + 2A = 0; ce qui

donne A = 1 et B = �12; et �nalement i1(t) = cos t� 1

2sin t:

3. La solution générale de (E) est donc i(t) = cos t � 12sin t + et(C1 cos 2t + C2 sin 2t): On

doit avoir i(0) = 0; donc 0 = 1 + C1 soit C1 = �1: De plus, i0(0) = 0; ce qui donne

0 = �12+ C1 + 2C2 soit C2 = 3

4:

4. La solution du problème de Cauchy est donc i(t) = cos t� 12sin t+ et(� cos 2t+ 3

4sin 2t):

Chapitre 6

Développements limités

6.1 Introduction

6.1.1 Dérivée

6.1.1.1 Remarque Nous cherchons à approcher, localement, une fonction par un polynôme.

La dé�nition suivante nous rappelle que nous savons déjà le faire en degré 1.

6.1.1.2 Théorème Soit I un intervalle, soit f : I �! R, et soit x0 un point intérieur à I: Ondit que f est dérivable en x0 s�il existe un nombre a et une fonction " véri�ant :

f(x0 + h) = f(x0) + a:h+ h:"(h):

6.1.1.3 Remarque Ici le polynôme d�approximation est P (h) = a:h; et le reste est h:"(h):

Graphiquement, ceci signi�e que l�on approche au voisinage de x0 la courbe de f par sa tangente

en x0:

6.1.2 Compléments

6.1.2.1 Dé�nition Soit I un intervalle de R; et soit f : I �! R: On dit que f est de classeCn si f est n fois dérivable sur I et si ses n premières dérivées sont continues sur I:

6.1.2.2 Remarque Dans la dé�nition précédente, n peut prendre la valeur1; avec une signi-�cation évidente.

6.1.2.3 Proposition Soit P (x) = anxn+ an�1xn�1+ � � �+ a1x+ a0 un polynôme. Alors P estde classe C1 sur R; noté P 2 C1(R); et l�on a la formule de Taylor des polynômes :

P (x) =P (n)(0)

n!xn + � � �+ P 0(0)x+ P (0) =

nXk=0

P (k)(0)

k!xk:

38

6. Développements limités 39

Preuve. Un polynôme est dérivable, et sa dérivée est encore un polynôme. Ainsi tout

polynôme est C1: De plus, il est facile de voir que P (k)(0) = k!ak:

6.2 Formules de Taylor

6.2.1 Formule de Taylor avec reste intégral

6.2.1.1 Théorème Soit f : [a; b] �! R une application de classe Cn+1: Alors :

f(b) = f(a) + (b� a)f 0(a) + � � �+ (b� a)n

n!f (n)(a) +

Z b

a

(b� t)nn!

f (n+1)(t) dt.

6.2.1.2 Dé�nition Le polynôme f(a) + (b� a)f 0(a) + � � �+ (b� a)n

n!f (n)(a) est appelé partie

principale, et l�intégraleZ b

a

(b� t)nn!

f (n+1)(t) dt est appelée reste intégral d�ordre n.

Preuve. On procède par récurrence. Si n = 0; alors la formule devient :

f(b) = f(a) +

Z b

a

(b� t)00!

f (1)(t) dt = f(a) +

Z b

a

f 0(t) dt = f(a) + [f(b)� f(a)];

et ainsi elle est véri�ée. Supposons maintenant que la formule soit vraie pour un n donné,

et que f soit de classe Cn+2: On peut alors intégrer par parties le reste d�ordre n :Z b

a

(b� t)nn!

f (n+1)(t) dt =

��(b� t)

n+1

n!(n+ 1)f (n+1)(t)

�ba

�Z b

a

�(b� t)n+1

n!(n+ 1)f (n+2)(t) dt

=(b� a)n+1(n+ 1)!

f (n+1)(a) +

Z b

a

(b� t)n+1(n+ 1)!

f (n+2)(t) dt:

Ainsi nous obtenons bien la formule de Taylor avec un ordre supplémentaire.

6.2.2 Inégalité de Taylor-Lagrange

6.2.2.1 Théorème Soit f : [a; b] �! R une application de classe Cn+1; et soitM le maximum

de��f (n+1)�� sur [a; b] Alors :��f(b)� �f(a) + (b� a)f 0(a) + � � �+ (b� a)nn!

f (n)(a)

�� 6M (b� a)n+1(n+ 1)!

:

6.2.2.2 Remarque Cette formule permet de contrôler l�erreur commise lors de l�approxima-

tion de f(b) par la partie principale (polynôme).


Preuve. La formule de Taylor avec reste intégral permet de démarrer :��f(b)� �f(a) + (b� a)f 0(a) + � � �+ (b� a)nn!f (n)(a)

�� =

��Z b

a

(b� t)nn!

f (n+1)(t) dt

��6

Z b

a

��(b� t)nn!

�� f (n+1)(t)�� dt6 M

n!

Z b

a

(b� t)n dt

6 M

n!

��(b� t)

n+1

n+ 1

�ba

6 M

n!

(b� a)n+1n+ 1

6 M(b� a)n+1(n+ 1)!

:

Ce qui était bien la majoration recherchée.

6.2.3 Formule de Taylor-Young

6.2.3.1 Théorème Soit I = [�; �] un intervalle de R; soit a un point intérieur à I; et soitf : I �! R une application de classe Cn+1: Alors :

f(a+ h) = f(a) + f 0(a):h+ � � �+ f (n)(a)hn

n!+ hn"(h) avec "(h) �!

h!00.

6.2.3.2 Remarque Dans cette formule, on ne connaît pas explicitement le reste hn"(h): On

sait juste qu�il tend plus vite vers 0 que hn; ce qui signi�e que si h est petit, ce reste est

négligeable.

Preuve. On écrit d�abord la formule de Taylor avec reste intégral pour b = a+ h :

f(a+ h) = f(a) + h:f 0(a) + � � �+ hn

n!f (n)(a) +

Z a+h

a

(a+ h� t)nn!

f (n+1)(t) dt:

Ensuite, on note M le maximum de f (n+1) sur I; et on s�occupe du reste en reprenant la

preuve du théorème 6.2.2.1 :��Z a+h

a

(a+ h� t)nn!

f (n+1)(t) dt

�� 6M jhjn+1

(n+ 1)!:

Ceci signi�e bien que :

"(h)d�ef=

1

hn

�f(a+ h)�

�f(a) + f 0(a)h+ � � �+ f (n)(a)h

n

n!

��

tend vers 0 lorsque h tend vers 0, puisque j"(h)j 6 1

jhjnMjhjn+1

(n+ 1)!=

M

(n+ 1)!jhj :


6.2.3.3 Dé�nition Lorsqu�on a écrit une fonction grâce à la formule du théorème 6.2.3.1, on

dit que l�on a e¤ectué un développement limité (DL) de f en a d�ordre n:

6.2.3.4 Remarque 1. Le DL d�une fonction est unique.

2. Le "(h) du reste est une notation générique : il signi�e �une fonction qui tend vers 0

lorsque h tend vers 0�. Ce " ne sera pas forcément le même d�une fonction à l�autre !

3. On veut souvent le DL d�une fonction en 0 ; la formule du théorème 6.2.3.1 devient alors :

f(x) = f(0) + f 0(0):x+ � � �+ f(n)(0)

n!xn + xn"(x):

6.3 Opérations sur les développements limités

On peut obtenir assez facilement des DL de fonctions en les décomposant. Nous nous conten-

terons ici de traiter des DL en 0, dans l�optique de la section suivante.

6.3.1 Somme

Elle se fait naturellement. Par exemple, si f(x) = 1 + x + 2x2 � 5x3 + x3"(x); et si g(x) =�x+ x2 + x2"(x); alors f(x) + g(x) = 1 + 3x2 + x2"(x): On ne peut obtenir qu�un DL d�ordrele plus faible des deux (ici d�ordre 2, alors que celui de f est d�ordre 3).

6.3.2 Produit

Il su¢ t de multiplier classiquement les deux DL, en mettant dans le reste les termes de degrés

supérieurs au plus faible des deux ordres. Prenons un exemple très simple : f(x) = x+x2+x2"(x)

et g(x) = 2x+x:"(x): On obtient : f(x)g(x) = (x+ x2 + x2"(x)) : (2x+ x:"(x)) = 2x2+x2"(x)+

2x3+x3"(x)+2x3"(x)+x3"(x)"(x) = 2x2+x2"(x): Encore une fois, attention, les " ne sont pas

les mêmes ! Avec un miminum d�expérience, on ne développe même pas les termes de degrés

supérieurs à 2 (ici).

6.3.3 Quotient

Au niveau BTS, cette méthode n�est pas exigible sans indications. Il faut e¤ectuer une

division par puissances croissantes des parties principales des deux DL. Voir le DL de la fonction

tangente pour un exemple.


6.3.4 Intégration

On intégre terme à terme. Plus précisément, si f(x) = a0+a1x+ � � �+anxn+xn"(x); et si F

est une primitive de f; alors F (x) = F (0) + a0x+ a1x2

2+ � � �+ an

xn+1

n+ 1+ xn+1"(x): Voir le DL

de la fonction logarithme pour un exemple. La preuve de cette a¢ rmation se fait simplement

en e¤ectuant le DL de F par la formule de Taylor-Young.

6.3.5 Composition

Au niveau BTS, cette méthode n�est pas exigible sans indications. Pour obtenir un DL de

f � g; on substitue le DL de g dans celui de f: Voir la remarque sur (ln � exp) dans le DL de lafonction logarithme pour un exemple.

6.4 Développements limités usuels

Ce sont les DL en 0 qui sont au programme.

6.4.1 Exponentielle

Ici c�est facile, car exp0 = exp et e0 = 1. La formule de Taylor-Young donne (pour tout n ) :

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ � � �+ x

n

n!+ xn"(x) :

6.4.2 Logarithme

Rappelons (penser aux séries géométriques) que (pour x < 1 )1

1 + x= 1�x+x2�x3+� � � =

1�x+x2�x3+ � � �+(�1)n�1xn�1+xn�1"(x): On intègre tout c�a et on obtient (en se souvenantque ln(1 + 0) = 0 ) :

ln(1 + x) = x� x2

2+x3

3+ � � �+ (�1)n�1x

n

n+ xn"(x) :

Remarquons que ln(et) = ln

�1 +

�t+

t2

2!+t3

3!+ � � �+ t

n

n!+ tn"(t)

��= � � � = t + tn"(t)

en remplac�ant x par�t+

t2

2!+t3

3!+ � � �+ t

n

n!+ tn"(t)

�dans la formule précédente. Ce qui est

normal, puisque ln(et) = t... !


6.4.3 Puissance

On peut calculer que [(1 + x)�](n) = �(� � 1) � � � (� � n + 1)(1 + x)��n: La formule deTaylor-Young donne :

(1 + x)� = 1 + �:x+ � � �+ �(�� 1) � � � (�� n+ 1)n!

xn + xn"(x) :

6.4.4 Fonctions trigonométriques

Les dérivées successives du (co)sinus sont, soit un sinus, soit un cosinus. La formule de

Taylor-Young donne :

sin(x) = x� x3

3!+x5

5!+ � � �+ (�1)n x2n+1

(2n+ 1)!+ x2n+1"(x) ;

cos(x) = 1� x2

2!+x4

4!+ � � �+ (�1)n x

2n

(2n)!+ x2n"(x) :

Remarquons que :

1. en intégrant cos(x); on obtient bien sin(x) ;

2. le DL de sin(x) ne comporte que des puissances impaires (le sinus est impair !) ;

3. le DL de cos(x) ne comporte que des puissances paires (le cosinus est pair !) ;

4. on retrouve la formule bien connue sin(x) ' x si x est petit ;

5. on pourrait retrouver ces DL à partir des formules d�Euler complexes.

Ensuite, par division euclidienne par puissances croissantes de sin(x) et cos(x); on trouve :

tan(x) = x+1

3x3 +

2

15x5 +

17

315x7 + x8"(x):

Les calculs dans cette formule deviennent vite complexes...

Chapitre 7

Transformation de Laplace

7.1 Introduction et compléments

7.1.1 Pierre Simon de Laplace

:/windows/TEMP/graphics/Laplace15:jpg�:=windows=TEMP=graphics=Laplace15:jpgwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=Laplace

15:jpgwidth�:=windows=TEMP=graphics=Laplace

15:jpgheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=Laplace15:jpgheight

Pierre Simon, marquis de Laplace (1749-1827), fut professeur de mathématiques à l�Ecole Mi-

litaire de Paris, puis enseigna à l�Ecole Polytechnique. Passionné d�astronomie, il développa de

nombreux concepts et outils utiles à la mécanique céleste, notamment les équations di¤éren-

tielles. A Napoléon, lui demandant pourquoi il n�avait pas évoqué Dieu dans son Traité de

Mécanique Céleste, il répondit �Je n�ai pas eu besoin de cette hypothèse�.

7.1.2 Systèmes linéaires

Le bon cadre mathématique pour étudier des signaux est celui de la convolution et des

distributions. Ces notions sont hors-programme malheureusement. Ceci dit, le principe de

l�idée est assez simple.

Considérons un système linéaire, c�est-à-dire tel que la sortie soit une fonction linéaire et

continue de l�entrée (signi�ant que ce système véri�e le principe de superposition, ce qui

est par exemple le cas d�un circuit RLC). On peut démontrer qu�alors il existe une fonction

h(t) telle que s(t) = h(t) � e(t); où l�étoile est le produit de convolution, dé�ni par h(t) � e(t) =Rh(t� u)e(u) du:Ce que l�on recherche, c�est cette fontion h(t); appelée fonction de transfert, qui caracté-

rise la réponse du système. En l�état, résoudre une telle équation paraît peu envisageable ! Il se

trouve qu�il existe un opérateur L; qui transforme le produit de convolution en multiplication :

L(s(t)) = L(h(t)):L(e(t)); de sorte que l�on obtient L(h(t)) par simple division. Il ne reste

44

7. Transformation de Laplace 45

�plus�qu�à retrouver h(t); ce qui sera en général un problème de fractions rationnelles, et le

tour est joué.

7.1.3 Fonctions

7.1.3.1 Dé�nition Une fonction est causale si f(t) = 0 lorsque t < 0:

7.1.3.2 Remarque Un signal causal est un signal qui démarre à un instant donné.

7.1.3.3 Dé�nition La fonction échelon-unité est dé�nie par :

U(t) =

(1 si t > 00 si t < 0

:

:/windows/TEMP/graphics/heaviside16:pdf�:=windows=TEMP=graphics=heaviside16:pdfwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=heaviside

16:pdfwidth�:=windows=TEMP=graphics=heaviside

16:pdfheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=heaviside16:pdfheight

7.1.3.4 Remarque 1. Ce signal est causal ; il est parfois appelé fonction de Heaviside.

2. Si f(t) est une fonction quelconque, alors f(t)U(t) est causale.

7.1.4 Intégrales généralisées

7.1.4.1 Remarque Par exemple, lors du calcul des coe¢ cients de Fourier d�un signal pério-

dique, on est amené à calculer des intégrales sur un intervalle borné. Cela n�est pas le cas

général, où l�on cherche souvent à intégrer jusqu�à un temps in�ni.

7.1.4.2 Dé�nition Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; +1[: Si la fonction x 7�!R xaf(t) dt admet une limite �nie quand x ! +1; alors on dit que l�intégrale converge vers

cette limite. Dans le cas contraire, on dit que l�intégrale diverge.

7.1.4.3 Remarque 1. Attention, la convergence deR +10

f(t) dt n�implique pas la conver-

gence de f(t) vers 0 lorsque t ! +1 (penser à une courbe composée de petits pics se

rétrécissant, exercice).

2. On pourra parfois préciser la divergence. Par exemple on écrira abusivement :Z +1

0

1 dt = [t]+10 = +1:


7.1.5 Impulsion de Dirac

7.1.5.1 Remarque Paul Dirac (1902-1984), physicien et mathématicien britannique, fut l�un

des grands fondateurs de la mécanique quantique.

7.1.5.2 Dé�nition La fonction porte de Dirac est dé�nie de la manière suivante :

�"(t) =

8<:1

"si jtj 6 "

20 sinon

:

:/windows/TEMP/graphics/porteDirac17:pdf�:=windows=TEMP=graphics=porteDirac17:pdfwidthbp0�:=windows=TEMP=graphics=porteDirac

17:pdfwidth�:=windows=TEMP=graphics=porteDirac

17:pdfheightbp0�:=windows=TEMP=graphics=porteDirac17:pdfheight

7.1.5.3 Remarque Notons que : Z +1

�1�"(t) dt = ":

1

"= 1:

7.1.5.4 Dé�nition L�impulsion de Dirac est la limite de la fonction porte lorsque l�on fait

tendre " vers 0 :

�(t) = lim"!0

�"(t):

7.1.5.5 Remarque 1. L�impulsion de Dirac est un signal d�intensité in�nie pendant un

temps in�niment court.

2. La limitation de la notion de fonction est une conséquence de cette dé�nition. En e¤et, �

n�est pas une fonction (c�est par contre une distribution). Ceci dit, on peut abusivement

écrire :

�(t) =

(+1 si t = 0

0 si t 6= 0et

Z +1

�1�(t) dt = 1:

7.2 Transformée de Laplace d�une fonction causale

7.2.1 Dé�nitions

7.2.1.1 Dé�nition Soit f : R �! R une fonction causale et continue (éventuellement par

morceaux). La transformée de Laplace de f est la fonction Lf dé�nie par :

(Lf)(p) =

Z +1

0

f(t)e�pt dt :

7.2.1.2 Notation On écrira souvent Lf = F; ou parfois f A F: De plus, on utilisera fréquem-ment l�écriture incorrecte mais pratique L(f(t)), dans laquelle la variable p est sous-entendue.


7.2.1.3 Dé�nition On dit que f est l�original de F:

7.2.1.4 Remarque 1. Le nombre traditionnellement noté p est réel (en fait c�est un com-

plexe, mais on se retreint au cas réel en BTS).

2. Toutes les fonctions n�admettent pas une TL, par exemple f(t) = et2(exercice).

3. S�il existe des réels � et M tels que jf(t)j 6 M:e�t; alors F (p) est dé�nie pour p > �

(exercice). Cette condition sera parfois sous-entendue dans les hypothèses des résultats

de la suite.

4. Véri�er l�existence de la TL ne sera pas notre obsession en BTS...

7.2.2 Résultats essentiels

Linéarité

7.2.2.1 Théorème Soient a et b deux complexes, et f et g causales. On a alors :

L(af + bg)(p) = aF (p) + bG(p):

Preuve. Evidente, elle découle de la linéarité de l�intégrale.

Transformée d�une dérivée

7.2.2.2 Théorème Soit f dérivable sur R+ et causale; admettant une dérivée continue parmorceaux. Alors :

L(f 0)(p) = pF (p)� f(0+) :

Preuve. On fait une intégration par parties :

L(f 0)(p) =

Z +1

0

f 0(t)e�pt dt

=�f(t)e�pt

�+10

�Z +1

0

f(t)(�pe�pt) dt

= 0� f(0+)e0 + pZ +1

0

f(t)e�pt dt car f(t)e�pt �!t!+1

0 (si f dominée par un eat)

= pF (p)� f(0+):

C�est bien ce qu�on voulait.

7.2.2.3 Remarque Ce résultat est fondamental pour la résolution des équations di¤érentielles

à l�aide de la TL. En e¤et, la TL transforme une dérivation en simple multiplication par p:


7.2.2.4 Corollaire Soit f de classe C2 et causale. Alors :

L(f 00)(p) = p2F (p)� pf(0+)� f 0(0+):

Preuve. D�après le théorème précédent, L(f 00)(p) = L((f 0)0)(p) = p [pF (p)� f(0+)] �f 0(0+); et on obtient bien la formule recherchée.

7.2.2.5 Remarque Ce corollaire se révèlera utile lorsqu�on aura a¤aire à des équations di¤é-

rentielles du second ordre.

Transformée d�une primitive

7.2.2.6 Théorème Soit f une fonction continue et causale. Alors :

L

�Z t

0

f(u) du

�=F (p)

p:

Preuve. On utilise le théorème 7.2.2.2. Posons '(t) =R t0f(u) du: On a trivialement '0 = f;

et '(0) = 0: Ainsi L('0)(p) = pL'(p)� '(0+); soit Lf(p) = pL'(p)� 0: Et �nalement il suit :L'(p) =

F (p)

p:

7.2.2.7 Remarque Là aussi, ce résultat est fondamental, et on verra toute son utilité lors de

la résolution de l�équation intégro-di¤érentielle d�un circuit RLC (section 7.3.3).

E¤et d�une translation

7.2.2.8 Théorème (du retard) Soit f une fonction continue, et soit a un réel positif. Alors :

L [f(t� a)U(t� a)] = e�apF (p):

Preuve. On calcule en faisant un changement de variable :

L [f(t� a)U(t� a)] =Z +1

0

f(t� a)U(t� a)e�pt dt

=

Z +1

�af(s)U(s)e�p(s+a) ds

=

Z +1

0

f(s)e�p(s+a) ds car U(s) est nulle si s < 0

= e�paZ +1

0

f(s)e�ps ds

= e�paF (p):

Et le résultat est démontré.


E¤et d�un changement d�échelle

7.2.2.9 Théorème Soit f une fonction continue, et soit a un réel strictement positif. Alors :

L [f(at)U(t)] =1

aF (p

a):

Preuve. Il s�agit encore une fois de faire un simple changement de variable :

L [f(at)U(t)] =

Z +1

0

f(at)e�pt dt

=

Z +1

0

f(s)e�psads

a(a > 0 assure la convergence de cette intégrale)

=1

a

Z +1

0

f(s)e�pas ds

=1

aF (p

a):

C�est ce qu�il fallait démontrer.

Multiplication par une exponentielle

7.2.2.10 Théorème Soit f une fonction continue, et soit a un réel. Alors :

L�e�atf(t)U(t)

�= F (p+ a):

Preuve. Le calcul est direct :

L�e�atf(t)U(t)

�=

Z +1

0

e�atf(t)e�pt dt

=

Z +1

0

f(t)e�(p+a)t dt

= F (p+ a):

Et le théorème est démontré.

7.2.3 Transformées fondamentales usuelles

Echelon-unité

7.2.3.1 Proposition L(U(t)) =1

p:

Preuve. Le calcul est direct :

L(U(t)) =

Z +1

0

e�pt dt =

�e�pt

�p

�+10

= 0� e0

�p =1

p:

On remarquera au passage que cette TL est seulement dé�nie pour p > 0:


7.2.3.2 Corollaire L(U(t� a)) = e�ap

p:

Preuve. Il su¢ t de prendre f = U dans le théorème 7.2.2.8.

Impulsion de Dirac

7.2.3.3 Remarque Cette TL n�est pas la plus facile à calculer (d�autant que � n�est pas une

fonction !), mais le résultat obtenu montre bien qu�elle est fondamentale. L�impulsion � joue le

rôle d�élément neutre pour la convolution.

7.2.3.4 Proposition L(�(t)) = 1:

Preuve. Déterminons d�abord la TL d�une fonction porte (cf 7.1.5.2), que l�on prendra ici

sur [0; "] au lieu deh�"2;"

2

i(a�n qu�elle soit causale) :

L�e�"(t)� = Z "

0

e�pt dt =

�e�pt

�p

�"0

= �e�p" � 1p"

:

Il faut ensuite faire tendre " vers 0 (cf 7.1.5.4). Remarquons déjà que :

ex � 1x

=ex � e0x� 0 �!

x!0exp0(0) = 1:

Il suit :

L�e�"(t)� = �e�p" � 1

p"�!"!0

1:

On admet ensuite que :

L(�(t)) = L�lim"!0

e�"(t)� = lim"!0

L�e�"(t)� = 1:

La justi�cation de cette permutation des limites (se souvenir qu�une intégrale est une limite)

n�est pas au programme de BTS.

Fonctions puissances

7.2.3.5 Proposition Pour n 2 N; L(tnU(t)) = n!

pn+1:

Preuve. On fait un raisonnement par récurrence. La formule est véri�ée pour n = 0; cf


7.2.3.1. Ensuite, supposons-la vraie au rang n: Il vient, en intégrant par parties :

L(tn+1U(t)) =

Z +1

0

tn+1e�pt dt

=

�tn+1

e�pt

�p

�+10| {z }

=0

�Z +1

0

(n+ 1)tne�pt

�p dt

=n+ 1

pL(tnU(t))

=(n+ 1)!

pn+2:

Ainsi la formule est vraie au rang n+ 1; et donc par récurrence pour tout n:

7.2.3.6 Remarque On aurait pu utiliser le théorème 7.2.2.2 dans la récurrence (exercice).

Fonctions exponentielles

7.2.3.7 Proposition L(e�atU(t)) =1

p+ a:

Preuve. Il su¢ t de remarquer que L(U(t)) =1

p; puis d�utiliser le théorème 7.2.2.10.

Fonctions trigonométriques

7.2.3.8 Proposition L(cos!tU(t)) =p

p2 + !2et L(sin!tU(t)) =

!

p2 + !2:

Preuve. On fait une intégration complexe :

L(cos!tU(t)) + iL(sin!tU(t)) = L(cos!tU(t) + i sin!tU(t))

= L(ei!tU(t))

=1

p� i! d�après 7.2.3.7

=p+ i!

p2 + !2:

En identi�ant parties réelles et imaginaires, L(cos!tU(t)) vautp

p2 + !2; et L(sin!tU(t))

vaut!

p2 + !2: C�est ce qu�il fallait démontrer.

7.2.4 Théorèmes complémentaires

Fonctions périodiques

7.2.4.1 Remarque Le résultat suivant n�est pas au programme de BTS, mais la preuve est

intéressante.


7.2.4.2 Proposition Soit f une fonction causale, continue par morceaux et T -périodique.

Alors :

F (p) =

R T0f(t)e�pt dt

1� e�pT :

Preuve. Posons K =R T0f(t)e�pt dt: On calcule ensuite :Z (n+1)T

nT

f(t)e�pt dt =

Z T

0

f(s+ nT )e�p(s+nT ) ds

=

Z T

0

f(s)e�pse�npT ds car f est T -périodique

=�e�pT

�nK:

On découpe R en intervalles de longueur T pour calculer :

F (p) =+1Xn=0

Z (n+1)T

nT

f(t)e�pt dt =+1Xn=0

�e�pT

�nK =

K

1� e�pT ;

où l�on a utiliséP+1

n=0 an =

1

1� a: La proposition est démontrée.

Dérivation d�une transformée

7.2.4.3 Proposition Soit f une fonction continue. Alors F est dérivable, et :

F 0(p) = L [�tf(t)U(t)] :

Preuve. Hors-programme. Sans justi�cation, on peut cependant écrire :

F 0(p) =

�Z +1

0

f(t)e�pt dt

�0=

Z +1

0

�f(t)e�pt

�0dt =

Z +1

0

�tf(t)e�pt dt:

Ce qui est bien le résultat recherché.

Valeurs initiale et �nale

7.2.4.4 Remarque Les résultats suivants permettent d�exploiter les conditions aux limites.

7.2.4.5 Théorème Soit f une fonction continue et causale. Alors :

limp!+1

pF (p) = f(0+) (valeur initiale),

limp!0

pF (p) = f(+1) (valeur �nale).


Preuve. Hors-programme. En utilisant le théorème 7.2.2.2, on peut cependant écrire sans

justi�cation :

pF (p) = L(f 0(t)) + f(0+) =

Z +1

0

f 0(t)e�pt dt+ f(0+):

Ensuite, si p tend vers +1; alors f 0(t)e�pt tend vers 0; d�où :

limp!+1

pF (p) =

Z +1

0

0 dt+ f(0+) = f(0+):

De même, si p tend vers 0; alors f 0(t)e�pt tend vers f 0(t); d�où :

limp!0

pF (p) =

Z +1

0

f 0(t) dt+ f(0+) =�f(+1)� f(0+)

�+ f(0+) = f(+1):

Les permutations des limites ne sont pas justi�ables au niveau BTS.

7.3 Applications à l�analyse du signal

7.3.1 Transformée inverse

7.3.1.1 Théorème Si une fonction F admet un original (causal) f , alors celui-ci est unique,

et l�on note f = L�1(F ):

Preuve. Admise, totalement hors de portée au niveau BTS.

7.3.1.2 Dé�nition L�application L�1 est appelée transformation de Laplace inverse.

7.3.1.3 Remarque Ainsi, si l�on se débrouille pour trouver un original de F; alors c�est le

bon !

7.3.1.4 Proposition La transformation inverse est linéaire :

L�1 (aF + bG) = af + bg:

7.3.1.5 Remarque Généralement, F (p) est une fraction rationnelle. On est amené à la dé-

composer en éléments simples, puis à utiliser une table des transformées (voir le formulaire).

7.3.2 Equations di¤érentielles linéaires à coe¢ cients constants

7.3.2.1 Remarque 1. On rappelle que la clef est le théorème 7.2.2.2.

2. L�utilisation de la TL pour résoudre des équations di¤érentielles peut être plus ou moins

astucieuse.

3. La recherche de la solution particulière est en général facilitée.

4. Les conditions initiales ou �nales apparaissent naturellement.


Premier ordre

7.3.2.2 Exemple Considérons l�équation y0 + 2y = (t + 1)U(t) � tU(t � 1) avec la conditioninitiale y(0) = 0. On remarque que tU(t� 1) = (t� 1)U(t� 1) + U(t� 1); puis on applique latransformation de Laplace :

pY (p)� y(0) + 2Y (p) =1

p2+1

p� e�p 1

p2� e�p1

p

(p+ 2)Y (p) =1

p2+1

p� e�p 1

p2� e�p1

p

Y (p) =1

p2(p+ 2)+

1

p(p+ 2)� e�p 1

p2(p+ 2)� e�p 1

p(p+ 2)

Y (p) =

��14

1

p+1

4

1

p+ 2+1

2

1

p2

�+

�1

2

1

p� 12

1

p+ 2

��e�p

��14

1

p+1

4

1

p+ 2+1

2

1

p2

�� e�p

�1

2

1

p� 12

1

p+ 2

�=

�1

4

1

p� 14

1

p+ 2+1

2

1

p2

�� e�p

�1

4

1

p� 14

1

p+ 2+1

2

1

p2

�:

Le facteur e�p va induire un retard de 1 sur l�original correspondant. On obtient :

y(t) =

�1

4� 14e�2t +

1

2t

�U(t)�

�1

4� 14e�2(t�1) +

1

2(t� 1)

�U(t� 1):

Tout simplement... Notons que pour t > 1; on a U(t) = U(t� 1) = 1, et donc :

y(t) =1

4

�e2 � 1

�e�2t +

1

2:

Second ordre

7.3.2.3 Remarque La méthode est ici identique au premier ordre, il su¢ t de penser au co-

rollaire 7.2.2.4 pour compléter le théorème 7.2.2.2. L�exemple du circuit série RLC est traité

ici.

7.3.3 Circuit RLC

7.3.3.1 Exemple Considérons un circuit RLC série. Nous avons déjà vu que celui-ci est régi

par l�équation intégro-di¤érentielle linéaire à coe¢ cients constants (attention à ne pas confondre

les \L"...) :

Ldi

dt(t) +Ri(t) +

1

C

Z t

0

i(u)du = e(t);

que nous avions résolue (chapitre Equations di¤érentielles) en la dérivant :

Li00(t) +Ri0(t) +1

Ci(t) = e0(t):


Or, si le signal e(t) n�est pas dérivable, cette méthode n�est pas mathématiquement correcte.

Revenons donc à notre première équation. Appliquons-lui la transformation de Laplace (on

suppose que les fonctions présentes admettent une TL) :

L�pI(p)� i(0+)

�+RI(p) +

1

C

I(p)

p= E(p)

soit�Lp+R +

1

Cp

�I(p)� Li(0+) = E(p):

Ceci permet de trouver ensuite I(p); puis d�en déduire i(t) si tout se passe bien.

7.3.4 Systèmes di¤érentiels linéaires

7.3.4.1 Exemple Considérons le système di¤érentiel linéaire du premier ordre à coe¢ cients

constants : (x0 = 3x+ 2y

y0 = x+ 2y:

Rappelons que la méthode classique de résolution consiste à dériver la deuxième équation, ce

qui donne y00 = x0+2y0 soit x0 = y00�2y0; puis à substituer le tout dans la première équation. Onobtient alors l�équation di¤érentielle linéaire du second ordre à coe¢ cients constants y00�2y0 =3 (y0 � 2y) + 2y:Revenons à notre système. Appliquons-lui la TL (en supposant qu�on puisse le faire) :(

pX(p)� x(0+) = 3X(p) + 2Y (p)pY (p)� y(0+) = X(p) + 2Y (p)

:

C�est maintenant un système (non linéaire) classique, que l�on résout par substitution. Il

reste ensuite à retrouver les originaux, comme d�habitude.

Bibliographie

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