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O conjunto dos números reais

O conjunto dos números reaisExercícios

7 Determine, se existirem, o supremo, ínfimo, máximo e mínimo em R dos seguintesconjuntos.

a)!

x ∈ R : x2 − 4x ≤ 0"

b)!

x ∈ R : x2 − 4x ≤ 0"

∩Q

c)!

1n

: n ∈ N"

d)#

(−1)n

n: n ∈ N

$

8 Sejam A = {−3,−2} ∪ (Q ∩ [0, 1]) e B =]− 4,−2] ∪ ([0, 1] ∩ (R \ Q)). Indique,caso existam, os supremos e os ínfimos em R dos conjuntos A, B, A ∪ B e A ∩ B.

9 Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições:

a) O ínfimo de um subconjunto não vazio de R formado apenas por númerosracionais é necessariamente um número racional.

b) O ínfimo de um subconjunto não vazio de R formado apenas por númerosnaturais é necessariamente um número natural.

c) Para todo o número real x ̸= 0 existe um número racional entre 0 e x .

d) Qualquer conjunto não vazio de racionais (estritamente) positivos tem ínfimo(estritamente) positivo.

Cálculo Infinitesimal I (M111) - 2015/2016 1. 23

Cálculo Infinitesimal I (M111)

Departamento de Matemática, FCUP

Ano lectivo 2015/16


Programa e Avaliação

O conjunto dos números reaisLimites e Continuidade

Sucessões. Limites. Continuidade.

Derivadas e PrimitivasDerivadas e Primitivas. Técnicas de primitivação.

IntegraisConceito de área. Integrais. Teorema Fundamental do Cálculo.Integrais impróprios.

Teoremas fundamentais do Cálculo Diferencial e AplicaçõesTeorema dos Valores Intermédios, Teoremas da Média e aplicações.Regra de L’Hôpital.

Aproximação polinomial e SériesPolinómio de Taylor. Séries numéricas e séries de potências.


Programa e Avaliação

Três testes (7,5 + 7,5 + 5 valores) permitindo dispensas parciais outotal de exame;

Testes não obrigatórios. No entanto, se um aluno entregar um teste,terá de obter 25 % da classificação para ser admitido ao seguinte.

Exame final.




O universo de suporte do Cálculo Diferencial e Integral, que vamosestudar, é o conjunto dos números reais - R.

Estes números são os objectos matemáticos que se usam genericamentepara medir: quantificar grandezas como distâncias, comprimentos, áreas,volumes, velocidade, ... - e no Cálculo desenvolvem-se ferramentas quepermitem dar resposta a necessidades muito concretas deste tipo.

Já após milénios de desenvolvimento, a abordagem moderna do Cálculo écreditada a Newton e Leibniz (séc. XVII) que, nomeadamente,relacionaram os conceitos de derivada e integral (medida de uma área).




1 Ordene os seguintes números reais:

14 ,−

12 , 1,−1, 2, π4 ,

π

3 , eπ

, e−π , log%

1√2

&

, log'√

2(

,− cos'

5π12

(

, sen'

5π12

(

.

2 Determine o conjunto dos números reais x que verificam cada uma das condições:

a) 4x + 4 < 5x < 4x + 2 b) 3x2 + 8x < 0 c) 3x(x − 1)2(x − 3)3 ≥ 0

d)(x − 1)2

x2 − 16≥ 0 e) −4 ≤ x2 ≤ 1 f) −2 <

1x≤ 1

g) |2x + 3| = |x − 1| h) |x2 − x − 3| = 3 i))

(x2 − 3)2 = 5

j) |x − 2x−1| = 3− x l) |2x2 + x − 1| ≥ 5 m)

)

(x + 3)2

x2 + 3≥ 1

n) |x − 1| = 1− x o) |x − 2| ≤ |x + 3| p) −1 ≤ |x | < 6q) 32x−1 =

√3 r) log(1− 3x) = 1 s) log(x2 − 4) = log(1− 4x)

t) e2−ln x

2 > 0 u) ex+1 ≥ ex2v)'

12

(x+1 ≥'

12

(x2

3 Mostre que, para quaisquer números reais a e b,

a) | |a|− |b| | ≤ |a − b| b) |2ab| ≤ a2 + b2

(Em a), usar de forma conveniente a desigualdade triangular |x + y| ≤ |x| + |y|)




4 a) Mostre que, para cada y ≥ 0, a equação |x − 1| = y |x + 1| tem sempre solução(na incógnita x). Dê exemplo de um valor de y para o qual a equação tenha maisde uma solução.

b) Verifique que a função f : R \ {−1}→ R+0 definida por f (x) = |x−1|

|x+1| ésobrejectiva mas não é injectiva.

5 Verifique que a função g : R \ {2} → R \ {−2}x *→ −2x+1

x−2

é invertível e determine a

função inversa g−1.

6 Verifique quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas.

a) A soma de um número racional com um irracional é irracional.

b) O produto de um número racional por um irracional é irracional.

c) A soma de dois números irracionais é irracional.

d) O produto de dois números irracionais é irracional.

e) O quociente de dois números irracionais é irracional.

f) O quociente de um número racional por um irracional é irracional.



O conjunto dos números reaisRepresentação decimal e completude

Em geral, o facto de toda a dízima x0, x1x2x3 . . . representar um númeroreal, está relacionado directamente com a completude de R:

! A sucessão%

*nk=1

xk

10k

&

n≥1é crescente e o conjunto dos seus termos,

as dízimas finitas correspondentes, é majorado (por 1, por exemplo);logo, este conjunto tem um supremo, que se mostra facilmente ser olimite da sucessão, e é por definição o número que admite a expansãodecimal 0, x1x2x3 . . ..

! Por outro lado, se S ⊆ R é não vazio e majorado, a expansão decimaly0, y1y2y3 . . . do seu supremo pode ser obtida indutivamente doseguinte modo:

y0 = max{n ∈ Z | existe n, . . . ∈ S} (existe porque S é majorado)y1 = max{k ∈ {0, 1, . . . , 9} | existe y0, k . . . ∈ S}y2 = max{k ∈ {0, 1, . . . , 9} | existe y0, y1k . . . ∈ S}y3 = max{k ∈ {0, 1, . . . , 9} | existe y0, y1y2k . . . ∈ S}. . .



O conjunto dos números reaisRepresentação decimal - dízimas periódicas e não periódicas

Finalmente, recorde-se que os números racionais são precisamente os queadmitem expansões em dízimas periódicas:

x0, x1 . . . xi(xi+1 . . . xi+p)

e existem algoritmos simples para passar da forma fraccionária para aforma decimal e vice-versa.

Os irracionais são então aqueles cuja expansão decimal não é periódica.Note-se que um número irracional, sendo o limite das correspondentesdízimas finitas, pode ser sempre visto como o limite de uma sucessão denúmeros racionais, ou seja, aproximado com a precisão que se pretendapor números racionais.



IntroduçãoO que são os números reais?

Mas, o que são os números reais, afinal?

Curiosamente, apesar de serem conceitos abstractos que servem de modeloa grandezas muito “reais”, sendo usados como tal desde a antiga Grécia,esta pergunta ocupou muitos grandes matemáticos do século XIX. Só nofim desse século, como parte integrante de um grande movimento defundamentação rigorosa da Matemática, foi estabelecida uma formalizaçãodo conceito de número real, como entidade matemática bem definida.

Mas uma abordagem destas questões terá de ficar para mais tarde, e sóem disciplinas mais avançadas serão desvendados todos os mistériosenvolvendo R.

Entretanto, para termos uma base de trabalho, admitimos como princípioum conjunto de propriedades que caracterizam os números reais e toda aestrutura matemática que lhes está associada, e que na maior parte é jábem conhecida desde o Ensino Secundário.



O conjunto dos números reaisA estrutura do conjunto dos números reais

Para o desenvolvimento dos conceitos e ferramentas do Cálculo Diferenciale Integral (ex: limites, derivadas, integrais, ...) conta-se com umaestrutura rica definida em R:

Uma estrutura algébrica, que permite operar com números reais;

Uma ordenação, compatível com as operações algébricas, que permitecomparar estas grandezas;

Uma propriedade, conhecida como completude, que garante apossibilidade de medir, para qualquer unidade pré-definida (1), ocomprimento de qualquer segmento de recta com um número real.



O conjunto dos números reaisSubconjuntos importantes

São já familiares as operações algébricas em R (adição, multiplicação,subtracção, divisão, radiciação, potência, ...), bem como a ordenaçãousual e respectivas propriedades.

Sabe-se também que R contém como subconjuntos importantes

N = {0, 1, 2, 3, . . .} (números naturais)

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} (números inteiros)

Q = {mn

: m, n ∈ Z, n ̸= 0} (números racionais)

e que há números reais que não são racionais - os irracionais - como, porexemplo,

√2, e e π.

!

1/2



O conjunto dos números reaisA irracionalidade de

√2

O Teorema de Pitágoras estabelece que, num triângulo rectângulo, a somados quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado docomprimento da hipotenusa.

2

1

1Podemos então pensar em

√2 como o comprimento

da hipotenusa de um triângulo rectângulo cujos catetostêm por comprimento 1. Será este um número racional?

Vejamos que não. Suponhamos, por redução ao absurdo, que existemp, q ∈ N tais que √

2 =p

q.

Sem perda de generalidade, podemos assumir que p e q são primos entresi, isto é, p e q não têm nenhum factor em comum. Temos que

2 =p2

q2



O conjunto dos números reaisRepresentação decimal

Exemplos:

54

= 1, 25 = 1 + (2× 10−1) + (5× 10−2);

13

= 0, 333 . . .notação

= 0, (3)

= (3× 10−1) + (3× 10−2) + (3× 10−3) + · · ·

Esta última expressão, uma “soma com um número infinito de parcelas”,pode representar-se por

+∞+

k=1

310k

e chama-se uma série; diz-se então que 13 é a soma desta série.

(As séries de números reais serão objecto de estudo, mais à frente, nesta disciplina)




Mas, que significado se atribui a esta “soma”? Precisamente,

13

= limn→+∞

n+

k=1

310k

ou seja, 13 pode ser arbitrariamente aproximado pelas sucessivas dízimas

finitas:13≈ 0, 3 (erro < 0, 1)

13≈ 0, 33 (erro < 0, 01)

13≈ 0, 333 (erro < 0, 001)

· · ·

Ainda dizendo de outra forma, 13 é o supremo de todos os termos da

sucessão crescente%

*nk=1

310k

&

n≥1= (0, 3; 0, 33; 0, 333; . . .).



O conjunto dos números reaisRepresentação geométrica de R - a recta real

2 = sup S

S

“falha” racional

A completude de R correspondeao facto de a todo o ponto darecta estar associado um número real.

A recta real funciona então como uma régua graduada capaz de medir ocomprimento de qualquer segmento de recta, com qualquer grau deprecisão pretendido.

Tanto os racionais como os irracionais estão distribuídos ao longo de todaa recta real de uma forma densa. Isto quer dizer que entre dois quaisquerreais há um racional e um irracional.

Esta afirmação percebe-se bem se tivermos em consideração a já familiarrepresentação dos números reais em forma de dízima.




É comum representarmos os números inteiros pela sua expansão decimal.Por exemplo: 2138 = (2× 103) + (1× 102) + (3× 101) + (8× 100).

Quanto aos números reais não inteiros, é bem conhecido que tambémpodem ser expressos na forma de uma dízima. De facto, prova-se que:

! toda a expressão da forma

x0, x1x2x3 . . . (x0 ∈ Z, x1, x2, . . . ∈ {0, . . . , 9})

define um único número real;

! todo o número real x admite uma descrição x = x0, x1x2x3 . . . destaforma.

Esta representação é única, excepto para os números que admitem umadízima que termina numa sequência infinita de 9’s: por exemplo, 0, 999 . . .e 1, 000 . . . definem ambos o número natural 1.



O conjunto dos números reaisA irracionalidade de

√2

e, portanto,p2 = 2q2

.

Daqui resulta que p é um número par (o produto de dois números ímparesé um número ímpar). Ou seja, existe algum k ∈ N tal que

p = 2k

Substituindo em (1)4k2 = 2q2

e, portanto,q2 = 2k2

.

Isto implica que q é também um número par, o que é absurdo, visto que,por hipótese, p e q não têm factores em comum.



O conjunto dos números reaisIntervalos

Outro tipo de subconjuntos de R que ocupam um lugar de destaque sãoos intervalos: I ⊆ R é um intervalo sse

∀a, b, c ∈ R, (a, b ∈ I ∧ a ≤ c ≤ b)⇒ c ∈ I.

Podem ser da forma: ∅, {a}, ]a, b[, ]a, b], [a, b[, [a, b], ]a,+∞[, [a,+∞[,]−∞, b[, ]−∞, b] ou R =]−∞,+∞[.

A terminologia seguinte, embora seja aplicável em contextos mais gerais, éjá bem conhecida a respeito de intervalos:

Os intervalos dos tipos ∅, ]a, b[, ]a,+∞[, ]−∞, b[ e R dizem-se abertos;∅, [a, b], [a,+∞[, ]−∞, b] e R dizem-se fechados;e ]a, b] ou [a, b[ não são abertos nem fechados.



O conjunto dos números reaisSubconjuntos limitados, majorados e minorados

Por outro lado, um intervalo, por exemplo, do tipo [a, b[ é limitado; umintervalo como [a,+∞[ é limitado inferiormente mas não superiormente.

Em geral,

! S ⊆ R diz-se limitado superiormente ou majorado sse existe a ∈ R talque a ≥ x para todo o x ∈ S; e um tal a diz-se um majorante de S.

! S ⊆ R diz-se limitado inferiormente ou minorado sse existe a ∈ R talque a ≤ x para todo o x ∈ S; e um tal a diz-se um minorante de S.

! S ⊆ R diz-se limitado quando é majorado e minorado.

Exemplos:]0, 1] é majorado e o conjunto dos majorantes é [1,+∞[; é minorado e oconjunto dos minorantes é ]−∞, 0]; é portanto limitado.N é minorado mas não majorado em R; não é limitado.



O conjunto dos números reaisSupremo e ínfimo

Dados S ⊆ R não vazio e a ∈ R,

! a é o supremo de S se a é um majorante de S e a ≤ M para todo omajorante M de S;

! a é o ínfimo de S se a é um minorante de S e m ≤ a para todo ominorante m de S.

Por exemplo, sup ]0, 1] = 1 e inf ]0, 1] = 0.É claro que o supremo e o ínfimo de um subconjunto S, caso existam, sãoúnicos. Se pertencerem a S, dizem-se o máximo e o mínimo de S,respectivamente. O termo genérico extremo designa máximos e mínimosindiscriminadamente.



O conjunto dos números reaisAxioma do supremo

Usando o conhecimento empírico que temos dos reais, facilmente nosconvencemos que o supremo de um subconjunto majorado S ̸= ∅ de R

existe sempre: vemos que o conjunto dos majorantes de S é sempre umintervalo fechado do tipo [a,+∞[ e este tem um mínimo, a = sup S.

No entanto, isto não é verdade em qualquer conjunto. Por exemplo,[0,√

2[ ∩ Q é não vazio e majorado em Q mas não tem supremo em Q.De facto, esta é uma das possíveis formas de formular a já referidacompletude de R e é a propriedade estrutural que distingue R de Q.

Admitimos então que em R é válido o seguinte princípio:

(Axioma do supremo)

Seja S ⊆ R não vazio.

! Se S tem um majorante, então S tem supremo;

! Se S tem um minorante, então S tem ínfimo.



O conjunto dos números reaisRepresentação geométrica de R - a recta real

As propriedades de R tornam possível estabelecer uma correspondênciabĳectiva entre este conjunto e os pontos de uma recta, de forma que aordenação e a distância entre os números seja reflectida na posição relativados respectivos pontos da recta. Em geral, representamos os pontos darecta pelos números reais que lhe correspondem:

Recta Real

0 1 2< < <-1 2

R+R-

ba|a|

|b-a|

Aos intervalos de R correspondem segmentos de recta, semi-rectas ou todaa recta real.


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