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6 a SÉRIE 7 o ANO ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS Caderno do Aluno Volume 1 MATEMÁTICA

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6a SÉRIE 7oANOENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAISCaderno do AlunoVolume 1

MATEMÁTICA

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MATERIAL DE APOIO AOCURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

CADERNO DO ALUNO

MATEMÁTICAENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS

6a SÉRIE/7o ANOVOLUME 1

Nova edição

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

São Paulo

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Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretário-Adjunto

João Cardoso Palma Filho

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretária de Articulação Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gestão da Educação Básica

Maria Elizabete da Costa

Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos

Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação

Educacional

Ione Cristina Ribeiro de Assunção

Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares

Ana Leonor Sala Alonso

Coordenadora de Orçamento e Finanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

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Caro(a) aluno(a),

Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conheci-mentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros.

Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo são um valio-sos tesouros que nos permitem compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esses tesouros. Sendo assim, este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.

O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar conhecimentos matemáticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas simplesmente exercícios ou problemas a serem resolvidos com técnicas trans-formadas em rotinas automatizadas. Pelo contrário, muitas dessas Situações podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.

Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas; além disso, é importante que você não se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que também dê sua opinião.

Neste Caderno, você estudará os seguintes assuntos: sistemas de numeração, frações e decimais, multiplicação e divisão com frações, números negativos e as regras de sinais, me-didas de ângulos, figuras planas e espaciais.

Se precisar, peça ajuda ao professor, pois ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos, assim você evita que eles se acumulem. Ajude e peça ajuda aos colegas, pois partilhar ideias é fundamental para construção do conhecimento.

Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que você vai descobrir isso.

Equipe Curricular de MatemáticaCoordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

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Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

INVESTIGANDO SISTEMAS DE NUMERAÇÃO:

DO EGITO AO COMPUTADOR

Observe, na tabela a seguir, alguns dos algarismos hieroglíficos utilizados pelos egípcios antigos.

100 101 102 103 104 105 106

O hieróglifo que representa o número 1 000 é uma flor de lótus, muito presente às margens do Rio Nilo. É curioso notar que o símbolo de 100 000 (um número grande) é um girino, que normalmente é encontrado em grandes quantidades nas margens dos rios.

A formação de números nesse sistema é muito simples, pois utiliza apenas o princípio aditivo, como se pode observar nos exemplos a seguir:

4 17 253 1 100

Leitura e análise de texto

Sistema egípcio antigo de numeração

Por volta de 3000 a.C., os egípcios já tinham um sistema de escrita para a represen-tação dos algarismos utilizando símbolos, muitos dos quais fazendo alguma referência à fauna e à flora das proximidades do Rio Nilo, local que habitavam. A base do sistema egípcio de numeração, assim como a do nosso sistema, é decimal, o que significa que os agrupamentos são feitos em potências de 10.

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Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1

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VOCÊ APRENDEU?

1. Explique em palavras as representações dos números 4, 17, 253 e 1 100 no sistema egípcio de numeração.

2. No sistema egípcio, a posição em que os algarismos são colocados interfere na formação do número? Utilize os exemplos apresentados no texto para justificar sua resposta.

3. Qual é o maior número que pode ser formado com os símbolos do sistema egípcio indicados no texto?

Leitura e análise de texto

Sistema mesopotâmico antigo de numeração

O sistema de numeração dos povos que viveram na Mesopotâmia por volta de 2000 a.C. é um dos mais antigos sistemas posicionais que conhecemos. Dizemos que um sistema de numeração é posicional quando as posições dos símbolos marcam os agrupamentos. Em nosso sistema, por exemplo, o símbolo colocado mais à direita de um número inteiro indica as unidades, em seguida vem o símbolo das dezenas, o das centenas e assim sucessivamente. Se por um lado o sistema mesopotâmico antigo de numeração era posicional, como o nosso, por outro ele não utilizava agrupamentos em potências de 10, como no caso do nosso sistema decimal de numeração. Os agrupamentos no sistema mesopotâmico eram feitos em potên-cias de 60, por isso dizemos que é um sistema de numeração sexagesimal, ou de base 60.

A escrita mesopotâmica era feita em placas de argila com o uso de bastonetes, cunhando-se o barro, daí o nome de escrita cuneiforme.

Compare a representação de alguns números nos sistemas de numeração indo-arábico e mesopotâmico:

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Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1

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Analisando com atenção a tabela, percebe-se que no sistema mesopotâmico só existem dois tipos de cunhagens, que são: , para o 1, e , para o 10. Essas marcas eram feitas com o mesmo bastonete, mudando-se apenas sua inclinação de vertical para horizontal. Do 1 ao 59, os números são formados usando-se apenas o princípio aditivo, e cada grupo de 10 marcas da unidade ( ) é substituído pela marca de uma dezena ( ), o que nos dá a falsa impressão de que se trata de um sistema decimal. Veja que o número 60 passa a ser representado novamente pela marca da unidade, sugerindo que os agrupamentos são feitos em potências de 60. De fato, o sistema mesopotâmico de numeração era posicional e sexagesimal (base 60). No nosso siste-ma de numeração, as casas, ou posições, são marcadas por potências de 10 (unidade, dezena, centena, milhar, dezena de milhar etc.), o que significa que um algarismo colocado na terceira casa da direita para a esquerda de um número inteiro representa o total de centenas do número. Comparativamente, no sistema mesopotâmico, as casas, ou posições, da direita para a esquerda representam as seguintes potências de 60: 600, 601, 602, 603,...

Observe a formação do número 952 escrito no sistema mesopotâmico, com potências de 60, e no indo-arábico, com potências de 10:

Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico

12

15

20

21

48

Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico

123

4

5

1011

Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico

84

119

120

559

600

Sistema indo-arábico Sistema mesopotâmico

59

60

61

63

72

601 600 102 101 100

9 5 2

(10 5) 601 (50 2) 600

15 60 52 1

900 52

952

9 102 5 101 2 100

9 100 5 10 2 1

900 50 2

952

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VOCÊ APRENDEU?

4. Assim como o nosso sistema de numeração, o mesopotâmico também era posicional, porém, apresenta certa ambiguidade na escrita dos números. Essa ambiguidade poderia ser eliminada com a utilização de um algarismo que era desconhecido dos mesopotâmicos. Que algarismo é esse?

Leitura e análise de texto

Sistema maia antigo de numeração

Vamos agora analisar o sistema de numeração do povo maia, que viveu por volta do ano 500 d.C. onde hoje se localizam o México e algumas regiões na América Central.

Assim como o sistema de numeração mesopotâmico e o nosso, o maia também era posicio-nal, porém de base 20. Para um sistema assim, espera-se que os alga rismos multipliquem potências de 20, que são 1, 20, 400, 8 000, ... porém, o sistema maia operava com uma irregularidade nesse padrão: na posição de 20² = 400, em que o algarismo deveria ser multiplicado por 400, ele era

multiplicado por 360. Em virtude dessa anomalia, o sistema maia deixou de ser funcional por ser posicional e ter um símbolo para representar o zero. No nosso sistema, colocar zero à direita de um número natural corresponde a multiplicá-lo por 10. Se o sistema maia fosse estritamente vigesimal (base 20), colocar zero à direita de um número natural corresponderia a multipli cá-lo por 20, o que não ocorre na prática em virtude do uso do 360 na casa que deveria ser ocupada pelo 400.

Observe atentamente alguns exemplos de números na escrita maia.

1

2

3

4

19

20

8

9

10

5

6

7

Observação!

As anotações das potências em vermelho não fazem parte da escrita maia. Elas foram indicadas apenas para facilitar sua leitura e compreensão dos exemplos.

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Um aspecto importante que diferencia o sistema mesopotâmico do maia é o fato de que o povo pré-colombiano concebeu um símbolo para o zero. Observando atentamente mais alguns exemplos de números na escrita maia, é possível investigar sua lógica de funcionamento.

21 24 27 30

22 25 28 79

23 26 29 258

VOCÊ APRENDEU?

5. Com base na lógica apresentada na tabela anterior, porém utilizando 360 no lugar do 400 (que seria a próxima potência de 20), descubra qual é o número maia indicado a seguir:

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Leitura e análise de texto

Sistema romano antigo de numeração

O sistema romano antigo de numeração, cujas marcas ainda são presentes em nosso tempo, não foi concebido para fazer contas, mas sim para o registro e a escrita dos números. Como você verá mais adiante, o sistema romano não era operacional para a realização de contas, o que de forma alguma quer dizer que os romanos antigos não faziam contas. Para fazer cálculos, eles utilizavam o ábaco de fichas, que é um instrumento semelhante ao soro-ban que você construiu na 5a série/6o ano.

Do mesmo modo que o sistema egípcio, o romano também era regido pela adição dos algarismos que compõem o número, com uma dificuldade adicional: os romanos também usavam o princípio subtrativo na composição dos números.

Veja a seguir os algarismos do sistema romano de numeração.

1510501005001 000

IVXLCDM

(I na origem do sistema romano)(CI na origem do sistema romano)

Observe agora alguns números escritos no sistema romano com o uso apenas do princípio aditivo:

237 CCXXXVII

1 865 MDCCCLXV

O uso do princípio subtrativo na composição de números do sistema romano é regido pela seguinte regra: a subtração na composição de um número só pode ser utilizada entre dois algarismos consecutivos da tabela ordenada dos algarismos romanos, e nunca podemos utilizar os algarismos V, L e D para retiradas. Dessa forma, 499 não pode ser escrito como ID porque do algarismo D só podemos retirar o algarismo C, que é o símbolo imediatamente anterior a ele na tabela; 45 não pode ser escrito com VL porque o algarismo V não pode ser utilizado para fazer retiradas etc. Veja a escrita correta dos números 499 e 45:

499 CDXCIX

45 XLV

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VOCÊ APRENDEU?

A regra de uso do princípio subtrativo na composição de números no sistema romano exige que:

o princípio subtrativo seja usado apenas entre algarismos consecutivos da tabela ordenada de algarismos;

os algarismos correspondentes aos nossos números 5, 50 e 500 (V, L e D) não podem ser usados para fazer subtrações. Assim, pode-se subtrair deles o 1, o 10 e o 100, respectivamente, mas eles não podem ser subtraídos do 10, do 100 e do 1 000, respectivamente.

6. Os números registrados na tabela a seguir foram escritos de forma incorreta. Justifique os erros de es-crita por uma das duas regras mencionadas na atividade anterior e escreva corretamente os números no sistema romano de numeração.

1549

1 500999

Escrita incorretaVXIL

DMMIM

7. Utilize corretamente o princípio subtrativo e escreva os números 99, 490 e 995 no sistema romano de numeração.

8. Podemos dizer que o sistema romano é decimal? É posicional? Em geral, a escri ta dos números no sistema romano de numeração é mais extensa ou curta em comparação à escrita em nosso sistema de numeração?

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Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1

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Leitura e análise de texto

Sistema chinês antigo de numeração

A história dos sistemas antigos de numeração da China é repleta de detalhes, o que pode ser encontrado na maioria dos livros de história da Matemática ou de história dos sistemas de numeração. Resumidamente, existem dois tipos de sistema de numeração ori-undos da China antiga, ambos posicionais como o nosso, porém com algumas diferenças.

Analisaremos brevemente os dois sistemas com o objetivo central de compará-los com o nosso.

Os algarismos do sistema tradicional chinês de numeração são:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1 000

Pela comparação entre o nosso sistema de numeração e o tradicional sistema chinês, no-ta-se que existem dois aspectos em comum: o princípio multiplicativo na composição dos números e a estrutura decimal. Observe, por exemplo, os números 26 e 5 400:

2 10 + 6

26

5 1 000 + 4 100

5 400

O segundo sistema de numeração chinês que abordaremos é o de barras, que foi con-cebido entre os séculos II a.C. e III d.C. Esse sistema é posicional, como o nosso, e cada posição é marcada por um único símbolo. Veja a seguir os 9 primeiros algarismos do siste-ma chinês de barras:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

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Para os números maiores que 9, a escrita passa a ser feita da seguinte maneira:

8 326 934

Observe, na escrita dos números anteriores, que o espaçamento entre as posições de

unidade, dezena, centena etc., deve ser dado de forma clara, caso contrário pode haver

ambiguidade na leitura e compreensão do número. Atentos a isso, ao longo dos anos

os chineses passaram a utilizar um sistema de barras horizontais e verticais intercaladas.

As unidades de casa ímpar (unidades simples, centenas, dezenas de milhar, unidades de

milhão etc.) eram expressas por meio do sistema de barras verticais, e as unidades

de casas pares (dezenas, unidades de milhar, centenas de milhar, dezenas de milhões etc.),

com barras horizontais. Veja alguns exemplos de números nessa nova forma de escrita:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

536

98 432

É interessante observar que o sistema chinês resolve bem a questão da ambiguidade

de significado dos símbolos, ao contrário do sistema mesopotâmico, porém, enfrentava a

dificuldade de não ter um símbolo para o zero. Por causa da ausência de símbolo para o

zero, era difícil distinguir as notações de números como 5 444, 54 440, 50 444, 544 000

etc. Além disso, uma única barra vertical podia corres ponder tanto ao 1, quanto ao 100,

ao 10 000, ao 100 000 etc.

Alguns resolveram esse problema deixando um espaço vazio na posição que corres-

ponderia ao zero, ao passo que outros escribas optavam por uma notação mista entre o

sistema de barras e o sistema tradicional, descrito no início desta apresentação.

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LIÇÃO DE CASA

9. Usando apenas três barras verticais, escreva todos os números possíveis no sistema posicional chinês de numeração. (Resolva essa atividade utilizando a escrita apenas com barras verticais.)

10. Escreva os números 238 e 4 575 no sistema chinês de numeração com barras verticais e hori-zontais para as casas ímpares e pares, respectivamente.

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Leitura e análise de texto

Sistema binário de numeração e os computadores

Conhecendo os sistemas de numeração posicionais de bases 10, 20 e 60, cabe fazer a seguinte pergunta: Será que existe alguma aplicação moderna para sistemas de outras bases?

A resposta a essa pergunta é sim, e a aplicação está muito mais perto de nós do que se possa imaginar: nos computadores. Veja em que contexto isso ocorre.

Os elementos radioeletrônicos (válvulas, semicondutores) empregados nos compu- tadores são dispositivos construídos para responder a sinais elétricos. Podemos dar dois tipos diferentes de comandos para um dispositivo com essa característica, que são: “deixe passar a corrente elétrica” (ligue) ou “não deixe passar a corrente elétrica” (desligue). Nesse caso, a linguagem mais adequada para programar uma máquina como essa é a binária (sistema de base 2), utilizando o algarismo 1 para o comando “liga” e 0 para “desliga”. Em um siste-ma binário, os algarismos 0 ou 1 multiplicam as potências de 2 para formar os números.

Veja alguns exemplos em que transformamos números do sistema decimal para o binário:

1 = 1 20 1 2 = 1 21 0 20 10 3 = 1 21 1 20 11

4 = 1 22 0 21 + 0 20 100

19 = 1 24 0 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 10011 1 024 = ... 10000000000

Na computação, os algarismos 0 e 1 do sistema binário são usados para representar quantidades mínimas de informação, chamadas bits. O termo bit deriva do inglês binary digit (dígito binário). Em geral, quando escrevemos os números no sistema binário gastamos mais bits do que a quantidade de dígitos que gastaríamos no sistema decimal; por exemplo, 1 024, que é escrito com 4 dígitos no sistema decimal, tem 11 bits no binário. Esse fato, que constituiria um imenso problema para a capacidade limitada de memória do homem, não é um problema para o computador, que possui enorme capacidade para armazenar dados.

VOCÊ APRENDEU?

11. Se um número binário termina em 0, o que podemos dizer sobre seu correspon-dente no sistema decimal?

12. Se um número binário termina em 00, o que podemos afirmar sobre seu correspon-dente no sistema decimal?

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13. Converta o número 11001101, escrito no sistema binário de numeração, para o sistema decimal.

14. (Atividade com uso de calculadora) – Para quantificar a “capacidade de memória” dos compu- tadores e dos periféricos que armazenam dados (CDs e pen drives), costumam-se usar múltiplos do byte (B), como indica a tabela a seguir:

Nome Símbolo Valor atribuído

Kilobyte KB 210 B

Megabyte MB 210 KB

Gigabyte GB 210 MB

Quantos bytes cabem em um CD de 700 MB?

PARA SABER MAIS

Sistemas de numeração. São Paulo: Atual, 1995.

Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1998.

Vivendo a Matemática: os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1989.

Vivendo a Matemática: a numeração indo-arábica. São Paulo: Scipione, 1989.

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VOCÊ APRENDEU?

1. Um professor propôs para seus alunos o seguinte problema:

Cláudia tem 18 metros de arame. Ela corta 1

5 do arame para fazer uma tela que será usada

na nova casa de seu cachorro. Qual é o comprimento de arame que ela vai utilizar na cons-trução dessa tela? Justifique sua resposta.

Veja a resposta dada por três estudantes:

João: 3,6 metros, porque 18 ÷ 5 é igual a 3,6.

Ana: 1

5 de 15 é igual a 3. Como eu quero

1

5 de 18, e 18 = 15 + 3, então o comprimento

usado de arame será “3 mais 1

5 de 3”.

Léo: 1

5 em decimal é 0,2, então, eu multipliquei 0,2 por 18 e obtive 3,6.

Qual(is) dos estudantes está(ão) certo(s)?

2. Pinte nas três malhas a seguir o correspondente às frações 2

10

20

100

1

5,     e , respectivamente. Em

seguida, responda: O que se pode concluir sobre essas frações?

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

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Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1

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3. Mostre, por meio de desenhos, que 2

5 é equivalente a 2 ÷ 5.

4. Com relação ao número 2,48, podemos fazer sua leitura de inúmeras maneiras diferentes, como:

a) 2 inteiros, 4 décimos e 8 centésimos;

b) 2 inteiros e 48 centésimos;

c) 248 centésimos.

Utilizando as sequências horizontais de quadrados a seguir, pinte-as corretamente para repre-sentar o número 2,48 de acordo com cada uma das três leituras, mostrando em seguida a equi-valência entre elas.

a)

b)

c)

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LIÇÃO DE CASA

5. Encontre números inteiros cuja divisão dê o mesmo quociente que o das seguintes divisões:

a) 4,3 ÷ 1,25

b) 0,005 ÷ 0,2

c) 12,28 ÷ 3,2

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Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1

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VOCÊ APRENDEU?

1. Escreva operações com frações que representem o que se pede:

a) 3

5 da metade c) de

5

6

b) a “terça parte” de 2

7 d) total de “terças partes da unidade” em

4

5

2. Um pintor utiliza 1

3 de uma lata de tinta e, em seguida,

1

4 do que restou de tinta na lata.

a) Escreva uma operação com frações que represente corretamente a fração da lata que foi utilizada da última vez.

b) Realize a operação indicada no item anterior utilizando “barrinhas”.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

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Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1

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VOCÊ APRENDEU?

3. Escreva a divisão de 3

4 por na forma de uma fração. Em seguida, multiplique o numerador

e o denominador dessa fração de forma que resulte em uma fração com numerador e denomi-nador inteiros.

4. Em relação à atividade 3, resolva-a novamente multiplicando o numerador e o denominador da fração inicial por outro número que não o escolhido na resolução anterior.

5. Registre quais são as regras práticas para fazer a multiplicação e a divisão de frações.

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Matemática – 6a série/7o ano – Volume 1

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LIÇÃO DE CASA

6. João colocou em uma jarra 3

4 de uma garrafa de refrigerante. O conteúdo da jarra foi re-

partido igualmente entre 6 pessoas. Calcule a fração do refrigerante que havia inicialmente

na garrafa.

Desafio!

Se 2

3 de uma lata de tinta dão para pintar

3

4 de uma parede, que fração da parede

conseguirei pintar com 1 lata de tinta?

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7. Laura tem 31

4 de hora para terminar suas 3 tarefas de casa. Se ela dividir igualmente o tempo

entre as tarefas, quantas horas ela terá de dedicar a cada uma?

8. Rita comprou chocolate a granel e pagou R$ 7,20 por 3

4 de quilo. Qual é o preço do quilo

do chocolate que Rita comprou?

9. Podemos encher do tanque A usando da água contida no tanque B. Supondo-se o tan -

que A completamente vazio, que fração do tanque B seria necessária para encher o tanque A?

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Leitura e análise de texto

Números negativos e as operações bancárias

Pensar em extratos bancários pode ajudar bastante no estudo das operações com núme-ros negativos; por isso, definiremos a seguir o significado de algumas palavras muito usadas nas operações bancárias:

Saldo: quanto a pessoa tem na conta, ou quanto ela deve ao banco (se o valor for negativo).

Saque: valor que a pessoa retira da sua conta, geralmente mediante operação no caixa do banco ou no caixa eletrônico.

Cheque: expressão do valor que será debitado (retirado) da conta do cliente em virtude de um pagamento a terceiros.

Depósito: valor que será acrescido à conta do cliente.

Outro tipo de operação que pode ser contextualizada por meio de extratos bancários é a

de “retirada de uma retirada”. Imagine que um banco tenha retirado indevidamente de um

clien te a quantia de 100 reais. Esse valor deve aparecer no extrato do cliente como “–100,00”.

Uma vez identificado que a retirada foi um equívoco, o banco deve devolver ao cliente os

100 reais, que do ponto de vista contábil deve ser registrado como uma correção equivalente

a “retirar a retirada” (indevida) que foi feita. Admitindo a conta de um cliente com 500 reais

de saldo, os registros da retirada indevida e da correção seriam assim:

Operação Saldo (em R$)

Saldo 500,00

Retirada – 100,00

Saldo 400,00

Correção – (–100,00)

Saldo 500,00

Com essa operação percebemos que retirar uma retirada, indicada por –(–100,00), é equivalente a devolver 100 reais, ou seja, – (–100) = 100.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

NÚMEROS NEGATIVOS: DESVENDANDO AS

REGRAS DE SINAIS

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VOCÊ APRENDEU?

1. Ao imprimir o extrato bancário, um cliente notou que dois campos saíram borrados. Analise atentamente as indicações do extrato e ajude o cliente a identificar os valores borrados.

Operação Saldo (em R$)

Saldo 528,00

Cheque 345 – 145,00

Cheque 346

Saldo 310,00

Depósito 295,00

Saque

Saldo – 420,00

2. Ao imprimir o extrato bancário, um cliente notou que dois campos saíram borrados. Analise atentamente as indicações do extrato e ajude o cliente a identificar os valores borrados.

Operação Saldo (em R$)

Saldo

Cheque 165 – 380,00

Depósito 560,00

Saldo – 250,00

Correção – (– 400,00)

Cheque 166 – 320,00

Depósito

Saldo – 80,00

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LIÇÃO DE CASA

ao longo dos oito primeiros meses de um certo ano. Considere que “lucro negativo” significa o mesmo que prejuízo. Analise o gráfico e responda às perguntas a seguir.

15000

10000

5000

0

–5000

–10000

–15000

–20000

Lucro da sorveteria Ki-Fria

12 0007 500

4 000

2 400

–7 000

13 400

–18 000

Janeiro Fevereiro Março Abril Maio

Junho Julho Agosto

–16 500

nos 8 meses?

© C

on

exão

Ed

itori

al

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b) Qual foi o lucro médio mensal da sorveteria no período analisado?

c) Sabe-se que o lucro de janeiro foi publicado incorretamente e que, com a correção, o lucro nos 8 meses analisados passa a ser de R$ 1 500,00. Determine qual seria o lucro correto de janeiro após a correção.

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4. O gráfico indica o número de gols que um time fez e sofreu em 10 partidas do Campeonato

10 partidas.

6

5

4

3

2

1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gols pró Gols contra

Gols

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exão

Ed

itori

al

Partidas

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VOCÊ APRENDEU?

5. Observe a regularidade na sequência e responda às perguntas a seguir:

4 ( –3) = –12

3 ( –3) = –9

2 ( –3) = – 6

1 ( –3) = –3

0 ( –3) = 0

a) O que está ocorrendo com o fator da direita da multiplicação?

b) O que ocorre com o fator da esquerda?

c) O que está ocorrendo com o resultado da multiplicação quando comparado ao da multipli-cação da linha anterior?

d) Qual é a multiplicação esperada para a próxima linha da sequência?

6. Admita que os segmentos indicados em vermelho sejam paralelos. Determine a localização do ponto marcado em verde e, em seguida, mostre que –3 ( –2) = 6.

y

P

x– a 0

– b

1

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7. Imagine um tanque que possa ser esvaziado por uma torneira de vazão de –1 litro por minuto (o sinal de menos indica que o líquido é retirado do tanque) e enchido por torneiras de vazão de 1 litro por minuto. Se é possível despejar nesse tanque qualquer quantidade dessas torneiras, fica evidente que, para efeito de manutenção do fluxo de água no tanque, “retirar uma torneira de vazão de –1 ℓ/min” é equivalente a “acrescentar uma torneira de vazão de 1 ℓ/min”. Utilize o texto dessa questão para justificar que – (–1) = 1.

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8. Calcule o valor numérico das expressões indicadas:

a) –1,25 0,2 + 0,52 ÷ 0,4

b) –32 – (–6 –10) – (–2)2

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32

c) 32

– 89

+ 3

d) 25

– 14

2

– 18

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LIÇÃO DE CASA

9. Calcule o valor numérico das expressões indicadas:

a) 7 – (4 – 6) – 15

b) –5² – (–3)²

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c) 2,4 (–3) – 1,5 0,2

d) 1 + 1,92 + (– 0,32)

e) 15 – 23

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35

f ) – 25

– 254

g) – –23

132

+

h) 2

3 ÷

56– 5

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PARA SABER MAIS

Matemática e origami: trabalhando com frações. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.

Números com sinais: uma grande invenção. São Paulo: Ática, 1995. (Contando a história da Matemática, 7.)

Números negativos. São Paulo: Atual, 1996. (Para que serve a Matemática?)

Números. São Paulo: Scipione, 1995. (Investigação matemática).

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5

A GEOMETRIA DOS ÂNGULOS

VOCÊ APRENDEU?

1. Seguindo as orientações de seu professor e as indicações a seguir, construa um transferidor de papel com 16 subdivisões.

a) Recorte a folha em branco disponível no final deste Caderno (Anexo 1).

b) Usando os instrumentos geométricos (régua, compasso, esquadros ou transferidor), cons-trua um quadrado nessa folha. Caso tenha dúvidas sobre essa construção, consulte seu professor.

c) Dobre o quadrado ao meio por lados opostos e pelas diagonais de forma a fazer vincos visíveis.

d) Considere os pontos de A até H, conforme a Figura 1. Em seguida, dobre OA sobre OB, depois OB sobre OC, depois OC sobre OD, e assim sucessivamente até OH sobre OA, obtendo as marcas (dobras e vincos), conforme indicado na Figura 2.

Figura 1 Figura 2

A

B

H

C

O

G

D

F

E A

B

H

C

G

D

F

E O

e) Marque com uma caneta ou um lápis as linhas dos ângulos, faça uma circunferência no

quadrado utilizando o compasso e recorte-a (havendo dúvidas nesse passo, consulte

seu professor). O transferidor com unidade de medida igual a 116

da circunfe rência está pronto.

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2. Chamaremos cada uma das 16 subdivisões do transferidor de 1 tuti, cuja abreviação será 1 t. Meça cada um dos ângulos indicados nas figuras a seguir com seu transferidor e indique as medidas em tutis.

a)

b)

c)

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3. Construa um ângulo de medida 6 t.

4. Construa um ângulo de medida aproximadamente igual a 2,5 t.

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5. Construa, com o auxílio de uma régua, um triângulo qualquer; meça cada um dos seus ângulos em tutis e, em seguida, calcule a soma das medidas dos ângulos internos desse seu triângulo (em tutis).

6. Construa um triângulo diferente do que construiu na atividade anterior. Repita todos os pas-sos e compare as somas das medidas dos ângulos internos dos triângulos construídos. O que você observou? Com base nos resultados de sua observação, levante uma hipótese a respeito da soma dos ângulos internos de qualquer triângulo e busque uma forma de justificá-la com argumentos lógicos.

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7. Construa um quadrilátero convexo qualquer, meça cada um dos seus ângulos internos em tutis e, em seguida, calcule a soma dos ângulos internos desse quadrilátero.

LIÇÃO DE CASA

8. Construa um quadrilátero convexo diferente daquele construído na atividade 7, da seção Você aprendeu?. Meça os ângulos internos em tutis e, em seguida, determine sua soma.

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9. Comparando o resultado obtido na atividade anterior com o que você observou nas duas últi-mas atividades realizadas na seção Você aprendeu?, formule uma hipótese sobre a relação entre a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer e a soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo qualquer. Em seguida, apresente um argumento lógico que possa justifi-car sua hipótese.

10. Compare o transferidor que você construiu com um transferidor convencional. Cada subdi-visão indicada no transferidor convencional recebe o nome de 1 grau, cuja abreviação é 1o. Observando e comparando os dois transferidores, complete a tabela a seguir.

Transferidor convencional Transferidor tuti

90º

2 t

135º

1 t

30º

5 t

4,5º

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Para auxiliá-lo, registre no espaço a seguir as contas efetuadas para a resolução da atividade.

VOCÊ APRENDEU?

11. Jogo Anguloteria: quem consegue estimar melhor a medida de um ângulo?

a) Dividam-se em grupos de, aproximadamente, cinco alunos. Seu professor vai orientá-los nessa divisão.

b) Cada grupo deve observar atentamente os 40 ângulos indicados nas figuras a seguir e estimar suas medidas (em graus) sem o uso do transferidor. Em seguida, o grupo deve preencher a tabela do jogo com as medidas estimadas.

c) Com a tabela de Estimativa da medida (a seguir), cada grupo deve apresentar um critério, que ache justo, para atribuir pontos aos jogadores.

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d) Depois de recolhidas as tabelas e conferidas as medidas dos ângulos com o auxílio do trans-feridor, seu professor escolherá um dos critérios de pontuação propostos pelos alunos e iniciará a contagem dos pontos. E que vença a melhor estimativa!

1413

2627

5

19

8

9

18

11

12

23

24

25

4

17

7

10

20

21

22

16

15

6

12

3

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45

36

31

32

33

29

3534

40

39

38

37

30

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28

30

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Ângulo Estimativa da medida (em graus)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

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Ângulo Estimativa da medida (em graus)

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

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LIÇÃO DE CASA

Caso você desconheça algum termo geométrico mencionado nas atividades desta seção, consulte um dicionário, a internet ou o seu professor em classe.

12. Desenhe as seguintes figuras:

a) Triângulo com três ângulos agudos.

b) Quadrilátero com dois ângulos agudos e dois ângulos obtusos.

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c) Quadrilátero com exatamente três ângulos agudos.

d) Quadrilátero com quatro ângulos retos.

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50

e) Polígono de cinco lados (pentágono) com um ângulo maior do que 180º e menor que 360º (chamado ângulo reflexo), dois ângulos agudos e dois ângulos obtusos.

13. Qual é o maior número de ângulos agudos que um triângulo pode ter? E um quadrilátero convexo?

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51

VOCÊ APRENDEU?

14. Qual é a medida do ângulo BÂC indicado na figura a seguir?

1 2 3 4 51020

30

40

50

6060

50

40

3020

10170

160

150

140130

120

110100

1800

7070

80

80

90

100110

120

130

140

150

160

170

1800

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Ed

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al

15. Determine a medida dos ângulos W V̂ X, QP̂ R, R ̂P S e QP̂ S.

1 2 3 4 51020

30

40

50

6060

50

40

3020

10170

160

150

140

130

120

110100

1800

7070

80

80

90

100110

120

130

140

150

160

170

1800

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1 2 3 4 51020

30

40

50

6060

50

40

3020

10170

160

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130

120

110100

1800

7070

80

80

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100110

120

130

140

150

160

170

1800

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W

X

S

R

Q

B

C

A

V

P

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16. Construa os ângulos solicitados, nos itens a seguir, com os instrumentos geométricos indicados:

a) Ângulo SÔL medindo 135º (com os esquadros).

b) Ângulo MÂR medindo 15º (com compasso e régua).

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c) Ângulo LÛA medindo 285º (com o transferidor).

Seu professor vai discutir uma estratégia de orientação para a navegação de embarcações, envol-vendo ângulos, que vai auxiliá-lo na atividade a seguir:

17. Usando a escala de 1 cm para 10 km, construa a seguinte rota de um barco:

a) inicie na rota 40 e navegue 50 km;

b) gire 10º, pegando a rota 50, e navegue 40 km;

c) pegue a rota 150 e navegue 30 km.

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54

Leitura e análise de texto

Alguns programas de computador que fazem construções geométricas de ângulos e polígonos exigem dois tipos de comando do programador:

1. avance “tantos centímetros”;

2. gire “tantos graus” para a direita (ou para a esquerda).

Esses programas permitem também que uma sequência de comandos se repita deter-minado número de vezes. Para que o usuário do programa possa construir a figura dese-jada, é necessário que ele saiba planejar uma sequência correta de instruções, o que é uma competência muito explorada no estudo da programação de computadores.

Observe duas possíveis sequências de comandos para a construção de um triângulo equilátero de lado 5 cm e, em seguida, faça as atividades propostas:

Primeira sequência:

1. avance 5 cm;

2. gire 120º para a esquerda;

3. avance 5 cm;

4. gire 120º para a esquerda;

5. avance 5 cm.

Segunda sequência:

1. avance 5 cm;

2. gire 120º para a esquerda.

Repita os comandos 1 e 2, duas vezes.

120º

Ponto de partida

120º

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55

VOCÊ APRENDEU?

18. Apresente uma sequência de comandos para a construção da figura a seguir:

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19. Usando a régua e o transferidor, construa a figura determinada pelo seguinte programa de computador:

1. avance 2 cm para a direita;

2. gire 144º para a direita;

3. avance 2 cm;

4. gire 72º para a esquerda;

5. repita quatro vezes os comandos de 1 a 4.

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57

VOCÊ APRENDEU?

1. Trabalhando com simetrias:

a) Trace uma linha, em cada uma das figuras apresentadas a seguir, para indicar a simetria axial.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6

REFLETINDO E GIRANDO COM SIMETRIA

© Jo

hn

Foxx

/Sto

ckbyt

e/T

hin

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ock

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al

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58

b) Sem a ajuda do transferidor, determine a medida do ângulo de simetria rotacional das figuras a seguir:

2. A placa indica uma figura com simetria axial, porém, o carro que ela representa não possui simetria axial. Justifique essa afirmação.

© A

rte

Kow

alsk

y/A

lam

y/G

low

Im

ages

© J

. L

. B

ulc

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uls

ar I

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Ed

itori

al

Eixo de simetria

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59

3. Desprezando os pequenos detalhes de cada uma das figuras a seguir, determine o ângulo de simetria rotacional (com centro marcado em vermelho).

LIÇÃO DE CASA

4. Qual(is) das figuras a seguir possui(em) simetria axial? Para aquela(s) que possui(em), in-dique onde estaria o eixo de simetria; para a(s) outra(s), indique por que ela(s) não possui(em) simetria axial.

a)

b)

© S

amu

el S

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ran

d X

Pic

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s/T

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Get

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b) c)

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60

c)

d)

5. Complete as figuras de forma que haja simetria em relação ao eixo indicado.

a) b)

c) d)

© B

obo/A

lam

y/G

low

Im

ages

© P

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Obje

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net

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Get

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mag

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61

6. Complete as figuras apresentadas a seguir para que tenham simetria rotacional de 180º (com centro de rotação marcado no ponto azul).

a)

b) c)

d) e)

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62

VOCÊ APRENDEU?

7. Translade em 3 unidades as figuras na direção e sentido indicados pela(s) seta(s) na malha de pontos.

b)

a)

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63

8. Determine as coordenadas dos vértices dos polígonos simétricos ABCDE em relação ao eixo vertical, ao eixo horizontal e à origem O, para que a figura indicada translade de forma simé-

trica para os demais quadrantes do plano.

c)

B(– 4,3)

A(– 1,4)

E(– 2,2)

D(– 2,1)C(– 3,1)

O

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64

VOCÊ APRENDEU?

1. Escolha um vértice em cada um dos polígonos a seguir e, ligando-o com outros vértices do polígono, trace todos os triângulos possíveis. Depois de traçar os triângulos, marque os ân-gulos internos de um triângulo com lápis de cor azul, os ângulos internos de outro triângulo com lápis de cor vermelho, e assim por diante, usando outras cores. Em seguida, preencha a tabela indicada.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7

POLÍGONOS E LADRILHAMENTO DO PLANO

Figura EFigura D

Figura B Figura CFigura A

Figura Nome do polígonoNúmero de lados

Número de triângulos a partir de um vértice

Soma dos ângulos internos

A

B

C

D

E

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65

2. Polígonos regulares são aqueles que possuem lados de mesma medida e ângulos de mesma medida. A medida do ângulo externo de um polígono é o suplemento da medida do ângulo interno correspondente. Como um pentágono tem 540º de soma dos ângulos internos, um pen-tágono regular terá ângulos internos de medida 540º ÷ 5 = 108º e ângulos externos de medida 180º 108º = 72º. Usando os dados obtidos na atividade anterior, complete a tabela a seguir:

Polígono regular Medida de cada ângulo interno Medida de cada ângulo externo

Triângulo equilátero

Quadrado

Pentágono regular 540º ÷ 5 = 108º 180º – 108º = 72º

Hexágono regular

Heptágono regular

Octógono regular

3. Observe atentamente o padrão nas tabelas das duas atividades anteriores e responda: Qual é a fórmula para calcular a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados?

Atividade experimental

Quais são os polígonos regulares que recobrem perfeitamente o plano sem lacunas nem espaços?

Devemos entender por “recobrir perfeitamente o plano” a colocação de certo número de polígo-nos idênticos ao redor de um vértice de tal forma que não haja sobreposição dos polígonos nem espaços em relação a um giro completo de 360º.

Recorte os polígonos disponíveis no final do Caderno (Anexo 2), forme grupos com seus colegas e experimente fazer o recobrimento (ladrilhamento) do plano com cada um deles. Em seguida, responda:

Quais são os polígonos que ladrilham perfeitamente o plano?

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66

LIÇÃO DE CASA

4. Para haver um encaixe perfeito dos polígonos regulares em torno de um vértice, é necessário que a soma das medidas dos ângulos agrupados nele seja igual a 360º (ângulos replementares). Dessa forma, só haverá um encaixe perfeito se a medida do ângulo interno de um polígono regular divi-dir 360º. Considerando isso, faça o que se pede:

a) Liste todos os divisores positivos de 360º.

b) Os divisores que você listou são os “candidatos” à medida do ângulo interno do polígono regular que estamos procurando. Substitua a letra n na fórmula indicada na tabela pelos valores listados e, em seguida, determine quais são os polígonos regulares que ladrilham o plano. Liste quais valores de n indicam os lados dos polígonos que ladrilham o plano.

(Dica: se necessário, utilize a calculadora.)

n [(n – 2) 180º] ÷ n n [(n – 2) 180º] ÷ n

3 8

4 9

5 10

6 11

7 12

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67

VOCÊ APRENDEU?

5. Com o uso do lápis de cor, construa mosaicos nas malhas quadriculada; com triângulos equi-láteros; com hexágonos regulares; e com hexágonos regulares, quadrados e triângulos regulares.

Malha quadriculada

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Malha com triângulos equiláteros

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Malha com hexágonos regulares

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Malha com hexágonos regulares, quadrados e triângulos regulares

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8

CLASSIFICAÇÃO, MONTAGEM E DESENHO DE POLIEDROS

VOCÊ APRENDEU?

1. Com base nas figuras indicadas, desenhe na malha de pontos a seguir:

a) os sólidos formados quando se eliminam os blocos cor-de-rosa da figura.

b) os sólidos que serão representados ao acrescentarmos um bloco junto às faces indicadas em cor-de-rosa.

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Malha de pontos

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73

2. Desenhe no plano as vistas lateral esquerda, lateral direita, frontal e superior do sólido indicado na malha:

lateral esquerda

frontal

a) Vista lateral esquerda.

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b) Vista lateral direita.

c) Vista frontal.

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d) Vista superior.

3. Desenhe as vistas do poliedro da figura indicadas pelas setas no espaço a seguir:

Vista

lateral

Vista

frontal

Vista

superior

Prisma

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Antes de iniciar a próxima atividade, seu professor vai explicar o que é um ângulo poliédrico.

4. Para formar um ângulo poliédrico juntando polígonos, necessitamos de, ao menos, três polígo-nos. Calcule as medidas dos ângulos internos de um octógono regular e de um eneágono regular e, em seguida, justifique por que não podemos formar ângulos poliédricos usando três octógonos regulares, ou usando três eneágonos regulares.

Atividade experimental

5. Em uma folha avulsa, construa triângulos equiláteros de 6 cm de lado com régua e com-passo. Em seguida, forme grupos de cinco ou seis alunos. Cada grupo deverá formar todos os po-liedros que conseguir com os triângulos construídos. Para fixar as arestas dos poliedros, utilize fita adesiva, fita-crepe ou faça uma alça de fixação e utilize cola.

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Leitura e análise de texto

Utilizando apenas quadrados como faces, o único poliedro regular que podemos montar é o hexaedro regular (cubo); e, com pentágonos regulares só podemos montar o dodecaedro regular (12 faces, 20 vértices, 30 arestas). As figuras a seguir indicam os cinco poliedros regulares que existem: tetraedro regular, hexaedro regular (cubo), octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular.

Cubo

Octaedro

Tetraedro

IcosaedroDodecaedro

Os cinco poliedros regulares.

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78

Para que tenhamos um poliedro regular, basta que ele seja formado apenas por polígo-nos regulares de um mesmo tipo e que exista o mesmo arranjo de polígonos em cada vér-tice. Para que seja um poliedro de Platão, todas as faces do poliedro devem ser polígonos com o mesmo número de lados (regulares ou não), e todos os ângulos poliédricos formados pelo mesmo número de arestas.

Tendo por base a classificação dos poliedros, pode-se concluir que, embora todo po-liedro regular seja poliedro de Platão, nem todo poliedro de Platão é um poliedro regular.

Pode-se verificar que, apesar de existirem mais poliedros de Platão do que poliedros regulares, também os poliedros de Platão só podem ser poliedros regulares dos seguintes tipos: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. A imagem a seguir mostra a classificação dos sólidos:

Poliedros de Platão

Poliedros regulares

Poliedros convexos

Poliedros

Sólidos

Em 1750, depois de analisar extensamente vários tipos de sólidos, o matemático Leonhard Euler conjecturou a validade da fórmula V + F – A = 2, relacionando vértices (V), faces (F) e arestas (A) de um poliedro, mas não fez propriamente uma demonstra-ção. Anos depois, acabou apresentando uma demonstração da validade de sua hipótese para todos os tipos de poliedros. No entanto, vários matemáticos encontraram exem-plos de poliedros que contradizem a fórmula de Euler. Muito provavelmente, Euler não considerava poliedros sólidos os que são apresentados na figura a seguir, para os quais seu teorema não seria válido:

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79

VOCÊ APRENDEU?

6. Determine o número de faces (F), arestas (A) e vértices (V) dos poliedros representados nas figuras a seguir, preencha a tabela e verifique se é válida a relação de Euler.

Depois de Euler, gerações de geômetras tentaram demonstrar o teorema, tarefa que só foi concluída de forma satisfatória pelo matemático Henri Poincaré, em 1893.

c) d)

a) b)

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e) f )

Poliedro convexo Faces (F) Arestas (A) Vértices (V)

a)

b)

c)

d)

e)

f )

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ANEXO 1: FOLHA EM BRANCO PARA SER DESTACADA

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ANEXO 2: POLÍGONOS REGULARES

Triângulo regular

(equilátero)

Pentágono regular

Heptágono regular Eneágono regular

Quadrilátero regular Hexágono regular

Octógono regular Decágono regular

Triângulo regular

(equilátero)

Pentágono regular

Heptágono regular Eneágono regular

Quadrilátero regular Hexágono regular

Octógono regular Decágono regular

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ANEXO 2: POLÍGONOS REGULARES (CONTINUAÇÃO)

Triângulo regular

(equilátero)

Pentágono regular

Heptágono regular Eneágono regular

Quadrilátero regular

Octógono regular Decágono regular

Triângulo regular

(equilátero)

Pentágono regular

Heptágono regular Eneágono regular

Quadrilátero regular

Octógono regular Decágono regular

Hexágono regular

Hexágono regular

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CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERALNOVA EDIÇÃO 2014-2017

COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel

Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escolaValéria Tarantello de Georgel

Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o

EQUIPES CURRICULARES

Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.

Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.

Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.

Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade

Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.

Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.

História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO

Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.

Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,

Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.

Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.

Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.

Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir.

Apoio:Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE

CTP, Impressão e acabamentoEsdeva Indústria Grá ca Ltda.

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Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017

FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO

Direção da Área Guilherme Ary Plonski

Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gestão Editorial Denise Blanes

Equipe de Produção

Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e Vanessa Leite Rios.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grá co e Occy Design projeto grá co .

CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora e Ruy Berger em memória .

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

Page 90: BOOK MAT SPFE 2014 CAA VOL1 · egípcio de numeração, assim como a do nosso sistema, é decimal, o que significa que os agrupamentos são feitos em potências de 10. ... são marcadas