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  • 2a SRIE ENSINO MDIOCaderno do AlunoVolume 1

    MATEMTICA

  • MATERIAL DE APOIO AOCURRCULO DO ESTADO DE SO PAULO

    CADERNO DO ALUNO

    MATEMTICAENSINO MDIO

    2a SRIEVOLUME 1

    Nova edio

    2014-2017

    GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO

    SECRETARIA DA EDUCAO

    So Paulo

  • Governo do Estado de So Paulo

    Governador

    Geraldo Alckmin

    Vice-Governador

    Guilherme Afif Domingos

    Secretrio da Educao

    Herman Voorwald

    Secretrio-Adjunto

    Joo Cardoso Palma Filho

    Chefe de Gabinete

    Fernando Padula Novaes

    Subsecretria de Articulao Regional

    Rosania Morales Morroni

    Coordenadora da Escola de Formao e Aperfeioamento dos Professores EFAP

    Silvia Andrade da Cunha Galletta

    Coordenadora de Gesto da Educao Bsica

    Maria Elizabete da Costa

    Coordenadora de Gesto de Recursos Humanos

    Cleide Bauab Eid Bochixio

    Coordenadora de Informao, Monitoramento e Avaliao

    Educacional

    Ione Cristina Ribeiro de Assuno

    Coordenadora de Infraestrutura e Servios Escolares

    Ana Leonor Sala Alonso

    Coordenadora de Oramento e Finanas

    Claudia Chiaroni Afuso

    Presidente da Fundao para o Desenvolvimento da Educao FDE

    Barjas Negri

  • Caro(a) aluno(a),

    Para viver no mundo atual com qualidade de vida preciso ter cada vez mais conhecimentos, res-peitar valores e desenvolver atitudes positivas em relao a si e aos outros. Os conhecimentos que a hu-manidade construiu ao longo do tempo um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decises... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se so algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi elaborado especialmente para ajudar voc a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.

    O objetivo das Situaes de Aprendizagem deste Caderno apresentar conhecimentos matemticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construda como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas no devem ser consideradas simplesmente exerccios ou problemas a serem resolvidos com tcnicas transformadas em rotinas automatizadas. Pelo contrrio, muitas dessas situaes podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noo ou propriedade matemtica.

    Aprender exige esforo e dedicao, mas tambm envolve curiosidade e criatividade, que es-timulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que voc participe das aulas, observe as explicaes do professor, faa anotaes, exponha suas dvidas; alm disso, importante que voc no se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que tambm d sua opinio.

    Voc estudar neste caderno os seguintes assuntos: periodicidade e o modelo da circunferncia trigonomtrica, grficos de funes peridicas envolvendo senos e cossenos, equaes trigonomtri-cas, matrizes (interpretao dos significados associados a cada elemento que as compem e notao matricial para representar figuras planas) e sistemas lineares (resoluo de problemas que exigem a determinao de mais uma incgnita).

    Se precisar, pea ajuda ao professor, pois ele pode orient-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informaes sobre um assunto. Reserve todos os dias um horrio para fazer as tarefas e rever os contedos, porque assim voc evita que eles se acumulem. Ajude e pea ajuda aos colegas, pois partilhar ideias fundamental para construo do conhecimento.

    Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que voc vai descobrir isso.

    Equipe Curricular de Matemtica Coordenadoria de Gesto da Educao Bsica CGEB

    Secretaria da Educao do Estado de So Paulo

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    5

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE

    Leitura e anlise de texto

    O movimento aparente do Sol e o comprimento das sombras

    O fenmeno peridico mais elementar que podemos observar o movimento apa-rente do Sol, do nascente ao poente, durante a passagem dos dias do ano. O registro dessa periodicidade pode ser realizado por intermdio da medio do comprimento da sombra de uma estaca enfiada verticalmente no solo. Essa situao pode ter estimulado as pessoas a elaborar os primeiros calendrios e a reconhecer as estaes do ano. Vamos imaginar um experimento em que fssemos medir o comprimento da sombra de uma estaca durante a passagem de determinado perodo de tempo, como, por exemplo, dois anos. A figura a seguir ilustra aproximadamente essa situao.

    znite

    caminho doSol no inverno

    caminho doSol no verosom

    bramnima

    (solstcio de vero)

    sombra mxima

    (solstcio de inverno)

    Sabemos que o percurso do Sol durante o inverno mais inclinado em relao linha zenital1 do que o percurso similar realizado durante o vero. O comprimento da sombra da estaca em determinado horrio do dia, ao meio-dia, por exemplo, varia du-rante o ano desde um valor mnimo at um mximo, correspondendo s datas que mar-cam, respectivamente, o incio do inverno (21 de junho) e o do vero (22 de dezembro), denominados solstcios.

    1 Znite: o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte.

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    6

    VOC APRENDEU?

    1. Imagine acompanhar o comprimento da sombra da estaca durante dois anos e que tais compri-mentos foram registrados em uma tabela. A tarefa agora ser imaginar como seria o formato de um grfico que representasse o comprimento da sombra de uma estaca em funo da passagem dos dias do ano, e desenhar aquilo que se imaginou para essa situao.

    Utilize o espao seguinte para desenhar seu grfico, assumindo que o comprimento mximo da sombra de 60 cm, e que o comprimento mnimo de 30 cm.

    Tamanho da sombra (cm)

    Estaes do ano

    15

    30

    45

    60

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    7

    2. Observe o grfico a seguir, em formato de onda, obtido pela observao de um fenmeno peridico.

    x765432

    A

    P

    10

    1

    2

    3

    4y

    1

    1

    2

    3

    4

    2 3 45 67

    Nesse grfico aparecem em destaque dois conceitos importantes, associados a fenmenos peridicos: a amplitude (A) e o perodo (P). Perodo a distncia horizontal entre dois picos sucessivos da onda, e amplitude a metade da distncia vertical entre dois picos. No grfico que voc desenhou na atividade anterior, deve ser possvel identificar o perodo e a ampli-tude, mesmo que ele no tenha o formato semelhante ao grfico apresentado nesta atividade. Escreva a seguir o perodo e a amplitude do fenmeno que voc registrou em seu grfico. Em seguida, escreva o perodo e a amplitude do grfico anterior.

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    8

    3. Imagem de uma funo o conjunto dos valores que a funo assume, ou, em outras palavras, o conjunto dos valores de y correspondentes aos valores de x. Observe a imagem de cada uma das seguintes funes representadas em seus grficos.

    y

    x0 1

    1

    2

    3

    4

    3 5 713

    3

    4

    57

    2

    1

    FUNO 1

    6 4 2 2 4 6

    Imagem (Funo 1) = {y IR | 3 y 3}

    y

    x0 1

    1

    2

    3

    3 4 5 6 7123

    3

    4

    4

    5

    567

    2

    1

    FUNO 2

    2

    4

    Imagem (Funo 2) = {y IR | y 4}

    Qual o conjunto imagem do grfico representativo do comprimento da sombra que voc desenhou anteriormente?

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    9

    As sombras longas

    4. Imagine agora se a mesma estaca fosse enfiada verticalmente no solo e a variao do compri-mento da sombra fosse observada durante alguns dias. Quando o Sol nasce e lentamente vai se elevando no horizonte, o comprimento da sombra da estaca, inicialmente muito grande, passa a diminuir at um valor mnimo, atingido, provavelmente, por volta do meio-dia.

    Comprimento da sombra diminuindo

    No perodo da tarde a sombra da estaca muda de lado, e, medida que o Sol inicia sua descida, o comprimento da sombra aumenta cada vez mais, at tornar-se novamente muito grande e no mais poder ser medido.

    Comprimento da sombra aumentando no sentido oposto ao inicial

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    10

    a) Haver um valor mximo para o comprimento da sombra? Por qu?

    b) Assuma que o comprimento da sombra positivo pela manh e negativo tarde, e utilize o sistema de eixos seguinte para representar, em um grfico, a variao do comprimento da sombra durante dois dias.

    Comprimento da sombra (m)

    Hora do dia

    c) O grfico que voc desenhou tem um perodo. Qual ele?

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    11

    5. Escreva o perodo, a imagem e a amplitude das funes representadas pelos grficos seguintes:

    a)

    y

    x

    0 1

    1

    2

    1

    2

    3

    1

    2 3 4 5 6 7234567

    b)

    y

    x

    0 1

    1

    2

    3

    4

    2 3 5 71

    1

    3

    4

    5

    5

    7 4 66 4 2

    2

    3

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    12

    c)

    y

    x

    4

    2468

    4

    6

    2

    0 2 4 6 8 10 12 1412 10

    2

    14

    6

    LIO DE CASA

    6. Uma mola tem comprimento de 40 cm e est com uma de suas extremidades presa ao teto (Figu ra 1). Na extremidade livre da mola colocado um bloco de metal, de tal maneira que a mola estique at que seu comprimento total atinja 60 cm (Figura 2). Se a mola for colocada a oscilar, seu comprimento variar entre um valor mximo e um valor mnimo (Figura 3).

    Figura 1 Figura 2 Figura 3

    40 cm 60 cm

    20 cm

    a) Desenhe um grfico para representar a variao no comprimento da mola, em 4 oscilaes, comeando pelo momento em que a mola est com seu comprimento mnimo. Lance os valores de comprimento no eixo vertical e coloque os valores de tempo no eixo horizontal, supondo que cada oscilao completa da mola demore 2 segundos.

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    13

    b) Complete:

    perodo

    amplitude

    7. Com base nas duas funes peridicas representadas a seguir, responda:

    a) qual funo tem o maior valor de perodo?

    b) qual funo tem o maior valor de amplitude?

    x0 1

    FUNO 2

    1

    2

    3

    4

    2 3 5 71

    1

    357 4 66 4 2

    2

    3

    FUNO 1

    y

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    14

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    15

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 A PERIODICIDADE E O MODELO DA CIRCUNFERNCIA TRIGONOMTRICA

    Leitura e anlise de texto

    Construindo o modelo

    Retomando o experimento realizado na Situao de Aprendizagem anterior, vamos agora fazer a sobreposio de um sistema de eixos cartesianos sobre a linha em que a som-bra da estaca caminha, de maneira que a origem do sistema coincida com a extremidade final do comprimento da sombra nos equincios2.

    znite

    Faixa d

    e varia

    o do

    compri

    mento

    da som

    bra

    caminho doSol no inverno

    caminho doSol no vero

    sombra

    mnima

    (solstcio

    de vero)

    (solstcio de inverno)

    Extremidade final do

    comprimento da sombra

    nos equincios

    sombra mxima

    2 Equincio o nome que se d ao dia que marca o incio da primavera ou ao dia que marca o incio do outono. Segundo o dicionrio Houaiss, equincio refere-se ao momento em que o Sol, em seu movimento anual aparente, corta o equador celeste, fazendo com que o dia e a noite tenham igual durao. (Instituto Antnio Houaiss)

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    16

    O comprimento dasombra mnimo

    no solstcio de vero.

    O comprimento dasombra mximo

    no solstcio de inverno.

    O comprimento dasombra nos equincios

    considerado nulo.

    Faixa de variao docomprimento da sombra

    Em seguida, a fim de acompanhar a evoluo do comprimento da sombra de um solstcio a outro, pode-se associar o movimento do Sol ao movimento de um ponto sobre uma circunferncia centrada no sistema de eixos cartesianos, de maneira que o compri-mento da sombra seja definido pela distncia entre a origem e a projeo do ponto sobre o eixo vertical.

    Comprimento da sombra em um dia entre o equincio de

    outono e o solstcio de inverno

    Sentido do movimento

    aparente do Sol

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    17

    Comprimento da sombra no solstcio de

    inverno

    Sentido do movimento

    aparente do Sol

    Comprimento nulo da sombra no equinciode primavera

    Sentido do movimento

    aparente do Sol

    Comprimento da sombra em um dia entre o equincio de primavera e o solstcio de vero

    Sentido do movimento

    aparente do Sol

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    18

    Assim, uma volta completa do Sol em torno da circunferncia corresponder ao perodo de um ano e, desenhando uma escala sobre o eixo vertical, ser possvel associar ngulos de giro do Sol a medidas de segmentos. Veja como podemos implementar uma escala simpli-ficada no eixo vertical, medida em fraes do raio da circunferncia (R):

    R

    R

    0,75R

    0,5R0,25R

    0,25R

    0,75R0,5R

    Comprimento da sombra no

    solstcio de vero

    Sentido do movimento

    aparente do Sol

    Comprimento da sombra em um dia entre o solstcio de vero e o equincio

    de outono

    Sentido do movimento

    aparente do Sol

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    19

    VOC APRENDEU?

    1. Imagine uma volta completa do Sol sobre a circunferncia. Preencha a tabela seguinte associando o ngulo de elevao do Sol ( ) em relao ao eixo horizontal com a medida aproximada da projeo no eixo vertical. Se achar necessrio, utilize um transferidor.

    R

    R

    0,75R

    0,5R

    0,25R

    0,25R

    0,75R

    0,5R

    60

    30

    4590

    ngulo () 0 30 45 60 90 120 135 150 180

    Projeo (kR)

    ngulo () 210 225 240 270 300 315 330 360

    Projeo (kR)

    2. H ngulos que permitem medidas iguais para a projeo vertical, como se pode perceber pelas figuras seguintes.

    0,75R

    30

    0,25R

    0,75R

    0,5R

    0,5R

    R

    R

    0,25R

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    20

    45

    0,25R

    0,75R

    0,5R

    0,5R

    0,75R

    R

    R

    0,25R

    Quais so as medidas dos ngulos e ?

    3. H pares de ngulos que permitem medidas simtricas para os valores da projeo horizontal, como se pode perceber pelas figuras seguintes.

    0,5R

    0,5R

    0,75R

    300,25R

    0,25R

    0,75R

    R

    R

    R

    0,5R60

    0,75R

    0,25R

    0,5R

    0,75R

    0,25R

    R

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    21

    Quais so as medidas dos ngulos e ?

    4. Adotando a escala de 1 unidade de malha equivalente a 15 para a representao de valores no eixo horizontal, e de 10 unidades de malha equivalentes a 1R para a representao de valores no eixo ver-tical, desenhe no sistema de eixos a seguir o grfico da projeo vertical em funo da medida do ngulo de acordo com os valores da tabela que voc preencheu na atividade 1.

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    22

    LIO DE CASA

    5. Complete a tabela seguinte associando a medida do ngulo de elevao do Sol com a medida da projeo sobre o eixo horizontal. Em seguida, desenhe um grfico cartesiano para representar os dados tabelados. Escolha a escala que julgar mais adequada para cada um dos eixos cartesianos.

    R R

    0,75R

    0,5R

    0,25R0,25R

    0,5R

    0,75R

    ngulo () 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

    Projeo (kR)

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    23

    6. H pares de ngulos que alternam os valores das medidas das projees horizontal e vertical, como o caso, por exemplo, da projeo vertical do ngulo de 60, que igual medida da projeo horizontal do ngulo de 30. Encontre mais um par de valores nessas condies.

    7. H ngulos que apresentam valores iguais para projees horizontal e vertical, como o caso, por exemplo, do ngulo de 45. Encontre dois valores de ngulos nessas condies.

    VOC APRENDEU?

    Os grficos das funes y = senx e y = cosx

    8. Observe como as razes trigonomtricas seno e cosseno podem ser associadas ao ngulo de giro de um ponto sobre a circunferncia.

    Raio (R)

    Medida da projeo vertical

    Medida da projeo horizontal

    mR

    kR

    Frao do raio (kR)

    Frao do raio (mR)

    sen = kRR

    = k cos = mRR = m

    Antes de continuar, ser importante retomar os valores do seno e do cosseno de alguns ngulos, chamados ngulos notveis. So eles: 30, 45 e 60.

    Para cada item a seguir, calcule o valor de x em funo de m (sugesto: utilize o Teorema de Pitgoras).

    Em seguida, utilizando os valores encontrados, calcu...

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