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  • 2a SRIE ENSINO MDIOCaderno do AlunoVolume 1

    MATEMTICA

  • MATERIAL DE APOIO AOCURRCULO DO ESTADO DE SO PAULO

    CADERNO DO ALUNO

    MATEMTICAENSINO MDIO

    2a SRIEVOLUME 1

    Nova edio

    2014-2017

    GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO

    SECRETARIA DA EDUCAO

    So Paulo

  • Governo do Estado de So Paulo

    Governador

    Geraldo Alckmin

    Vice-Governador

    Guilherme Afif Domingos

    Secretrio da Educao

    Herman Voorwald

    Secretrio-Adjunto

    Joo Cardoso Palma Filho

    Chefe de Gabinete

    Fernando Padula Novaes

    Subsecretria de Articulao Regional

    Rosania Morales Morroni

    Coordenadora da Escola de Formao e Aperfeioamento dos Professores EFAP

    Silvia Andrade da Cunha Galletta

    Coordenadora de Gesto da Educao Bsica

    Maria Elizabete da Costa

    Coordenadora de Gesto de Recursos Humanos

    Cleide Bauab Eid Bochixio

    Coordenadora de Informao, Monitoramento e Avaliao

    Educacional

    Ione Cristina Ribeiro de Assuno

    Coordenadora de Infraestrutura e Servios Escolares

    Ana Leonor Sala Alonso

    Coordenadora de Oramento e Finanas

    Claudia Chiaroni Afuso

    Presidente da Fundao para o Desenvolvimento da Educao FDE

    Barjas Negri

  • Caro(a) aluno(a),

    Para viver no mundo atual com qualidade de vida preciso ter cada vez mais conhecimentos, res-peitar valores e desenvolver atitudes positivas em relao a si e aos outros. Os conhecimentos que a hu-manidade construiu ao longo do tempo um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decises... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se so algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi elaborado especialmente para ajudar voc a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.

    O objetivo das Situaes de Aprendizagem deste Caderno apresentar conhecimentos matemticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construda como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas no devem ser consideradas simplesmente exerccios ou problemas a serem resolvidos com tcnicas transformadas em rotinas automatizadas. Pelo contrrio, muitas dessas situaes podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noo ou propriedade matemtica.

    Aprender exige esforo e dedicao, mas tambm envolve curiosidade e criatividade, que es-timulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que voc participe das aulas, observe as explicaes do professor, faa anotaes, exponha suas dvidas; alm disso, importante que voc no se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que tambm d sua opinio.

    Voc estudar neste caderno os seguintes assuntos: periodicidade e o modelo da circunferncia trigonomtrica, grficos de funes peridicas envolvendo senos e cossenos, equaes trigonomtri-cas, matrizes (interpretao dos significados associados a cada elemento que as compem e notao matricial para representar figuras planas) e sistemas lineares (resoluo de problemas que exigem a determinao de mais uma incgnita).

    Se precisar, pea ajuda ao professor, pois ele pode orient-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informaes sobre um assunto. Reserve todos os dias um horrio para fazer as tarefas e rever os contedos, porque assim voc evita que eles se acumulem. Ajude e pea ajuda aos colegas, pois partilhar ideias fundamental para construo do conhecimento.

    Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que voc vai descobrir isso.

    Equipe Curricular de Matemtica Coordenadoria de Gesto da Educao Bsica CGEB

    Secretaria da Educao do Estado de So Paulo

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    5

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE

    Leitura e anlise de texto

    O movimento aparente do Sol e o comprimento das sombras

    O fenmeno peridico mais elementar que podemos observar o movimento apa-rente do Sol, do nascente ao poente, durante a passagem dos dias do ano. O registro dessa periodicidade pode ser realizado por intermdio da medio do comprimento da sombra de uma estaca enfiada verticalmente no solo. Essa situao pode ter estimulado as pessoas a elaborar os primeiros calendrios e a reconhecer as estaes do ano. Vamos imaginar um experimento em que fssemos medir o comprimento da sombra de uma estaca durante a passagem de determinado perodo de tempo, como, por exemplo, dois anos. A figura a seguir ilustra aproximadamente essa situao.

    znite

    caminho doSol no inverno

    caminho doSol no verosom

    bramnima

    (solstcio de vero)

    sombra mxima

    (solstcio de inverno)

    Sabemos que o percurso do Sol durante o inverno mais inclinado em relao linha zenital1 do que o percurso similar realizado durante o vero. O comprimento da sombra da estaca em determinado horrio do dia, ao meio-dia, por exemplo, varia du-rante o ano desde um valor mnimo at um mximo, correspondendo s datas que mar-cam, respectivamente, o incio do inverno (21 de junho) e o do vero (22 de dezembro), denominados solstcios.

    1 Znite: o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte.

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    6

    VOC APRENDEU?

    1. Imagine acompanhar o comprimento da sombra da estaca durante dois anos e que tais compri-mentos foram registrados em uma tabela. A tarefa agora ser imaginar como seria o formato de um grfico que representasse o comprimento da sombra de uma estaca em funo da passagem dos dias do ano, e desenhar aquilo que se imaginou para essa situao.

    Utilize o espao seguinte para desenhar seu grfico, assumindo que o comprimento mximo da sombra de 60 cm, e que o comprimento mnimo de 30 cm.

    Tamanho da sombra (cm)

    Estaes do ano

    15

    30

    45

    60

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    7

    2. Observe o grfico a seguir, em formato de onda, obtido pela observao de um fenmeno peridico.

    x765432

    A

    P

    10

    1

    2

    3

    4y

    1

    1

    2

    3

    4

    2 3 45 67

    Nesse grfico aparecem em destaque dois conceitos importantes, associados a fenmenos peridicos: a amplitude (A) e o perodo (P). Perodo a distncia horizontal entre dois picos sucessivos da onda, e amplitude a metade da distncia vertical entre dois picos. No grfico que voc desenhou na atividade anterior, deve ser possvel identificar o perodo e a ampli-tude, mesmo que ele no tenha o formato semelhante ao grfico apresentado nesta atividade. Escreva a seguir o perodo e a amplitude do fenmeno que voc registrou em seu grfico. Em seguida, escreva o perodo e a amplitude do grfico anterior.

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    8

    3. Imagem de uma funo o conjunto dos valores que a funo assume, ou, em outras palavras, o conjunto dos valores de y correspondentes aos valores de x. Observe a imagem de cada uma das seguintes funes representadas em seus grficos.

    y

    x0 1

    1

    2

    3

    4

    3 5 713

    3

    4

    57

    2

    1

    FUNO 1

    6 4 2 2 4 6

    Imagem (Funo 1) = {y IR | 3 y 3}

    y

    x0 1

    1

    2

    3

    3 4 5 6 7123

    3

    4

    4

    5

    567

    2

    1

    FUNO 2

    2

    4

    Imagem (Funo 2) = {y IR | y 4}

    Qual o conjunto imagem do grfico representativo do comprimento da sombra que voc desenhou anteriormente?

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    9

    As sombras longas

    4. Imagine agora se a mesma estaca fosse enfiada verticalmente no solo e a variao do compri-mento da sombra fosse observada durante alguns dias. Quando o Sol nasce e lentamente vai se elevando no horizonte, o comprimento da sombra da estaca, inicialmente muito grande, passa a diminuir at um valor mnimo, atingido, provavelmente, por volta do meio-dia.

    Comprimento da sombra diminuindo

    No perodo da tarde a sombra da estaca muda de lado, e, medida que o Sol inicia sua descida, o comprimento da sombra aumenta cada vez mais, at tornar-se novamente muito grande e no mais poder ser medido.

    Comprimento da sombra aumentando no sentido oposto ao inicial

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    10

    a) Haver um valor mximo para o comprimento da sombra? Por qu?

    b) Assuma que o comprimento da sombra positivo pela manh e negativo tarde, e utilize o sistema de eixos seguinte para representar, em um grfico, a variao do comprimento da sombra durante dois dias.

    Comprimento da sombra (m)

    Hora do dia

    c) O grfico que voc desenhou tem um perodo. Qual ele?

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    11

    5. Escreva o perodo, a imagem e a amplitude das funes representadas pelos grficos seguintes:

    a)

    y

    x

    0 1

    1

    2

    1

    2

    3

    1

    2 3 4 5 6 7234567

    b)

    y

    x

    0 1

    1

    2

    3

    4

    2 3 5 71

    1

    3

    4

    5

    5

    7 4 66 4 2

    2

    3

  • Matemtica 2a srie Volume 1

    12

    c)

    y

    x

    4

    2468

    4

    6

    2

    0 2 4 6 8 10 12 1412 10

    2

    14

    6

    LIO DE CASA

    6. Uma mola tem comprimento de 40 cm e est com uma de suas extremidades presa ao teto (Figu ra 1). Na extremidade livre da mola colocado um bloco de metal, de tal maneira que a mola estique at que seu comprimento total atinja 60 cm (Figura 2). Se a mola for

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