BOOK MAT-SPFE-2014 1S CAA VOL1 ?· Caderno do Aluno Volume 1 ... O objetivo das Situações de Aprendizagem…

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  • 1a SRIE ENSINO MDIOCaderno do AlunoVolume 1

    MATEMTICA

  • MATERIAL DE APOIO AOCURRCULO DO ESTADO DE SO PAULO

    CADERNO DO ALUNO

    MATEMTICAENSINO MDIO

    1a SRIEVOLUME 1

    Nova edio

    2014-2017

    GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO

    SECRETARIA DA EDUCAO

    So Paulo

  • Governo do Estado de So Paulo

    Governador

    Geraldo Alckmin

    Vice-Governador

    Guilherme Afif Domingos

    Secretrio da Educao

    Herman Voorwald

    Secretrio-Adjunto

    Joo Cardoso Palma Filho

    Chefe de Gabinete

    Fernando Padula Novaes

    Subsecretria de Articulao Regional

    Rosania Morales Morroni

    Coordenadora da Escola de Formao e Aperfeioamento dos Professores EFAP

    Silvia Andrade da Cunha Galletta

    Coordenadora de Gesto da Educao Bsica

    Maria Elizabete da Costa

    Coordenadora de Gesto de Recursos Humanos

    Cleide Bauab Eid Bochixio

    Coordenadora de Informao, Monitoramento e Avaliao

    Educacional

    Ione Cristina Ribeiro de Assuno

    Coordenadora de Infraestrutura e Servios Escolares

    Ana Leonor Sala Alonso

    Coordenadora de Oramento e Finanas

    Claudia Chiaroni Afuso

    Presidente da Fundao para o Desenvolvimento da Educao FDE

    Barjas Negri

  • Caro(a) aluno(a),

    Para viver no mundo atual com qualidade de vida preciso ter cada vez mais conhecimentos, res-peitar valores e desenvolver atitudes positivas em relao a si e aos outros. Os conhecimentos que a hu-manidade construiu ao longo do tempo um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decises... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se so algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi elaborado especialmente para ajudar voc a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.

    O objetivo das Situaes de Aprendizagem deste Caderno apresentar conhecimentos matemti-cos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construda como parte de sua vida cotidi-ana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas no devem ser consideradas simplesmente exerccios ou problemas a serem resolvidos com tcnicas transformadas em rotinas automatizadas. Pelo contrrio, muitas dessas situaes podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noo ou propriedade matemtica.

    Aprender exige esforo e dedicao, mas tambm envolve curiosidade e criatividade, que estimu-lam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que voc participe das aulas, observe as explicaes do professor, faa anotaes, exponha suas dvidas; alm disso, importante que voc no se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que tambm d sua opinio.

    Neste Caderno, voc estudar os seguintes assuntos: sistema de numerao decimal e suas ope-raes, sequncias numricas, mnimo mltiplo comum, divisores de um nmero natural, nmeros primos, fraes e medidas, equivalncia e operaes com fraes, nmeros decimais (agrupamentos e valor posicional, transformaes), equivalncia e operaes com nmeros decimais, uso da linguagem mista e localizaes desses nmeros na reta numrica, e tambm as medidas no padronizadas.

    Se precisar, pea ajuda ao professor, pois ele pode orient-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informaes sobre um assunto. Reserve todos os dias um horrio para fazer as tarefas e rever os contedos, porque assim voc evita que eles se acumulem. Ajude e pea ajuda aos colegas, pois partilhar ideias fundamental para a construo do conhecimento.

    Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que voc vai descobrir isso.

    Equipe Curricular de MatemticaCoordenadoria de Gesto da Educao Bsica CGEB

    Secretaria da Educao do Estado de So Paulo

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    5

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 CONJUNTOS NUMRICOS; REGULARIDADES NUMRICAS E GEOMTRICAS

    Leitura e anlise de texto

    Observando padres e regularidades

    Voc j reparou que as pessoas, em muitos momentos do dia, esto diante de situaes que envolvem uma sequncia de nmeros? O torcedor procura, em uma tabela no caderno de esportes do jornal, a posio de seu time no campeonato nacional. Para localizar uma de-terminada residncia em uma rua, o carteiro observa certa regra na numerao das casas: de um lado, esto dispostas as casas de numerao par em sequncia crescente ou decrescente, e, do outro lado, as de numerao mpar. Em um edifcio, a numerao dos apartamentos indica tambm o andar em que eles se localizam. No hospital, a enfermeira orientada sobre a sequncia de horrios em que deve administrar certo medicamento ao paciente.

    O ser humano tambm observa vrios movimentos naturais que seguem uma determi-nada sequncia, formando, assim, certo padro: os perodos do dia, as estaes do ano, as fases da Lua e o perodo de aparecimento de um cometa so alguns desses movimentos.

    Desde a Antiguidade, grande parte do trabalho dos matemticos e cientistas tem sido observar e registrar fenmenos que ocorrem segundo um padro. O encontro de um padro ou de uma regularidade ser uma das possibilidades de compreenso, previso e controle desses fenmenos.

    Para abordar esse assunto, este Caderno explora, inicialmente, as sequncias numricas que podemos construir a partir dos conjuntos numricos que conhecemos: os naturais, os inteiros, os racionais e os reais.

    Conjunto dos nmeros naturais IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}Conjunto dos nmeros inteiros = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}

    VOC APRENDEU?

    1. Dados os conjuntos a seguir, descritos em linguagem cotidiana, encontre, em cada caso, seus elementos e traduza a descrio dada para a linguagem matemtica.

    Para lembrar:

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    6

    a) O conjunto A formado por nmeros naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a 11.

    b) O conjunto B formado por nmeros naturais menores ou iguais a 6.

    c) O conjunto C formado por nmeros inteiros maiores ou iguais a 3 e menores do que 5.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    7

    d) O conjunto D formado por nmeros inteiros maiores ou iguais a 2.

    2. Quais so os cinco menores nmeros que pertencem a cada um dos seguintes conjuntos?

    a) E o conjunto dos cinco menores nmeros naturais que so divisveis por 4.

    b) F o conjunto dos cinco menores nmeros naturais mpares maiores do que 7.

    c) G o conjunto dos cinco menores nmeros inteiros que, elevados ao quadrado, resultam em um nmero menor do que 10.

    d) H o conjunto dos cinco menores nmeros naturais que, quando dobrados e somados a 1, resultam em um nmero maior do que 7.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    8

    3. Descreva, em linguagem matemtica, os conjuntos E, F, G e H, apresentados na atividade anterior.

    4. A seguir, so apresentadas trs sequncias numricas infinitas. Observando cada uma delas, responda:

    a) Qual o 100o termo nesta sequncia: 1, 1, 1, 1, 1, ...?

    b) Qual o 120o termo nesta sequncia: 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, ...?

    c) Qual o 25o termo nesta sequncia: 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, ...?

    5. A seguir, apresentada uma sequncia na forma figurativa. Descreva, em palavras, o padro de regularidade desta sequncia e indique qual deve ser a figura que ocupa a 152a- posio.

    1 2 3 4 5 6 7 8

    6. Observe a sequncia de figuras:

    1 2 3 4 5 6 7

    Supondo que a lei de formao continue a mesma, desenhe as figuras que devero ocupar as posies 38a e 149a nessa sequncia. Justifique sua resposta.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    9

    7. Observe a sequncia (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que a lei de for-mao dessa sequncia permanea, determine o 38o e o 149o termos.

    8. Hoje quarta-feira. Devo pagar uma dvida daqui a exatamente 90 dias. Em que dia da semana cair o 90o dia?

    9. Um processo de reflorestamento previa a plantao de certo nmero x de mudas de rvores. No primeiro dia, foram plantadas 120 rvores, e planejou-se que, nos dias seguintes, seriam planta-das, por dia, dez rvores a mais do que no dia anterior. Sendo assim:

    a) quantas rvores sero plantadas no stimo dia?

    b) qual o nmero x, se, no final do dcimo dia, havia sido plantada a metade do total previsto inicialmente?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    10

    10. Observe os seis primeiros termos de uma sequncia.

    1 2 3 4

    A

    B

    C

    D

    (I)1 2 3 4

    A

    B

    C

    D

    (II)1 2 3 4

    A

    B

    C

    D

    (III)1 2 3 4

    A

    B

    C

    D

    (IV)1 2 3 4

    A

    B

    C

    D

    (VI)1 2 3 4

    A

    B

    C

    D

    (V)

    Supondo que a regularidade observada na formao desses termos seja mantida para a forma-o dos demais, isto , que o termo (I) seja igual ao termo (VII), que o termo (II) seja igual ao termo (VIII), e assim por diante, responda:

    a) quais quadrculas estaro pintadas no termo (XXX)?

    b) quantas vezes a quadrcula B2 ter sido pintada desde o termo (I) at o termo (XIX)?

    LIO DE CASA

    11. Aproveitando as condies apresentadas na atividade 9 da seo anterior, crie trs questes acompanhadas de sua resoluo.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    11

    12. Atribui-se ao matemtico grego Hipsicles (240 a.C.-170 a.C.) uma regra para criar uma nova sequncia numrica a partir de outra. O mtodo consiste em tomar uma sequncia numrica (por exemplo,1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) e criar outra em que cada termo seja igual soma dos ante-riores. Isto :

    11 + 21 + 2 + 31 + 2 + 3 + 41 + 2 + 3 + 4 + 5...

    1361015...

    Sequncia nova

    Pela regra de Hipsicles, a sequncia (1, 2, 3, 4, ...) gerou a sequncia (1, 3, 6, 10, 15, 21, ...).

    Aplique a regra de Hipsicles e encontre os oito primeiros termos de duas novas sequncias numricas geradas a partir da sequncia (1, 3, 6, 10, 15, 21, ...).

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    12

    13. Uma sequncia numrica crescente composta por cinco termos. O terceiro termo o nmero1, e o quarto e quinto termos so as razes da equao x2 8x + 15 = 0. Encontre o primeiro e o segundo termos dessa sequncia, considerando que exista diferena constante entre dois termos consecutivos.

    VOC APRENDEU?

    Sequncias definidas por sentenas matemticas

    14. Em uma sequncia numrica, o primeiro termo uma frao de numerador 1 e denominador 4. Os termos seguintes ao primeiro podem ser obtidos adicionando sempre uma unidade ao nu-merador e ao denominador da frao do termo imediatamente anterior.

    a) Quais so os cinco primeiros termos dessa sequncia?

    b) Chamando o primeiro termo de a1, o segundo termo de a2, o terceiro de a3, e assim por diante, quanto o termo a9?

    c) Qual o termo a54?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    13

    d) Como se pode determinar um termo an qualquer?

    15. Em uma sequncia numrica, o primeiro termo igual a 2, e os seguintes so obtidos pelo acrscimo de trs unidades ao termo imediatamente anterior. Sendo assim, responda:

    a) quais so os cinco primeiros termos?

    b) qual o termo a10?

    c) qual o termo a20?

    d) como se pode determinar um termo an qualquer?

    16. Para se obter os termos de uma sequncia numrica, necessrio fazer o seguinte:

    I. Elevar a posio do termo ao quadrado, isto , calcular 12 para o primeiro termo, 22 para o segundo termo, 32 para o terceiro termo, e assim por diante.

    II. Adicionar duas unidades ao resultado obtido aps elevar ao quadrado a posio do termo.

    Para essa sequncia numrica, responda:

    a) quais so os cinco primeiros termos?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    14

    b) qual o 8o termo?

    c) qual o termo a20?

    d) como se pode determinar um termo an qualquer?

    17. Observe os cinco primeiros termos da seguinte sequncia numrica: 3, 2, 53

    , 32

    , 75

    .

    Demonstre que possvel determinar os termos dessa sequncia a partir da expresso an = n + 2 _____ n ,

    atribuindo a n valores naturais maiores do que zero.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    15

    18. A expresso an = n 1n +1

    a expresso do termo geral de uma sequncia numrica, isto , os

    termos da sequncia podem ser obtidos se forem atribudos a n valores naturais maiores do que zero. Sendo assim, encontre:

    a) o termo a1;

    b) o termo a5;

    c) o 8o termo;

    d) a posio do termo que igual a 911

    .

    19. Determinada sequncia numrica tem a1 = 9, a2 = 3, a3 = 1 e a4 = 13

    . Nessa sequncia, qual :

    a) o 5o termo?

    b) o termo a6?

    c) a posio do termo que igual a 181

    ?

    20. Qual das duas expresses listadas a seguir a expresso do termo geral da sequncia da atividade anterior? (Lembre-se de que n o nmero que d a posio do termo na sequncia, isto , se n = 2, temos o segundo termo; se n = 5, temos o quinto termo; e assim por diante.)

    a =93n n

    a = 3n3n

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    16

    21. Observe a seguinte sequncia dos nmeros pares positivos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... Nessa sequncia:

    a) qual o 10o termo?

    b) qual o 15o termo?

    c) qual o termo a35?

    d) qual o termo a101?

    e) qual a posio do termo que igual a 420?

    f ) como se pode determinar um termo an qualquer?

    22. Escreva os cinco primeiros termos da sequncia dos nmeros mpares positivos. Em seguida, responda:

    a) qual o 10o termo?

    b) qual o termo a13?

    c) qual o termo a25?

    d) como se pode determinar um termo an qualquer?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    17

    23. Observe a seguinte sequncia numrica: 1, 4, 9, 16, 25, ... Nessa sequncia, responda:

    a) qual o 6o termo?

    b) qual o termo a7?

    c) qual a expresso de seu termo geral?

    LIO DE CASA

    24. Uma sequncia numrica dada pelo seguinte termo geral: a = n +1n .

    Para essa sequncia, determine:

    a) os cinco primeiros termos;

    b) os cinco primeiros termos que sejam nmeros inteiros.

    25. Observe a sequncia de figuras. Em seguida, responda:

    a) Quantos quadrinhos brancos dever ter a 6a figura dessa sequncia?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    18

    b) Escreva uma frmula que permita calcular a quantidade de quadrinhos brancos, em funo da posio n da figura, na sequncia.

    (Sugesto: voc pode organizar os dados em uma tabela como a que segue.)

    Posio da figura na sequncia

    Nmero de quadrinhos pretos

    Nmero de quadrinhos brancos

    1 1 0234n

    c) Quantos quadrinhos brancos dever ter a 39a figura dessa sequncia?

    26. A seguir, esto os primeiros elementos de uma sequncia de figuras que representam os chama-dos nmeros quadrangulares. Analise-os e responda s questes propostas.

    1 2 3 4 5

    a) Quantos quadrinhos dever ter o 6o elemento dessa sequncia? E o 10o termo?

    b) Qual a expresso do termo geral dessa sequncia?

    27. Observe a figura:

    1 3 5 7 9

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    19

    Nessa representao, os nmeros escritos logo abaixo da figura indicam a quantidade de qua-drinhos de cada um desses conjuntos. Sendo assim, responda:

    a) qual a soma dos nmeros escritos abaixo da figura?

    b) que relao pode ser estabelecida entre esse resultado e a figura analisada?

    c) utilizando os resultados de suas observaes, determine, sem efetuar a adio, o resultado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15.

    28. Observe as linhas completas da tabela e complete as que estiverem em branco.

    Adio Descrio

    1 + 3 = 4 = 22 A soma dos dois primeiros nmeros mpares igual ao quadrado de 2.

    1 + 3 + 5 = 9 = 32 A soma dos trs primeiros nmeros mpares igual ao quadrado de 3.

    1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

    A soma dos cinco primeiros nmeros mpares igual ao quadrado de 5.

    1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2 n 1 = n2

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    20

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    21

    VOC APRENDEU?

    1. Considere as sequncias de (I) a (VI) para responder s questes propostas.

    (I) (0, 3, 6, 9, 12, ...)

    (II) (1, 4, 7, 10, 13, ...)

    (III) (2, 5, 8, 11, 14, ...)

    (IV) (2, 4, 8, 16, 32, ...)

    (V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...)

    (VI) (1, 4, 16, 64, 256, ...)

    a) Quais so os trs termos seguintes de cada uma dessas sequncias?

    b) verdade que o algarismo 8 no aparece em nenhum nmero da sequncia (II)? Justifique.

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 PROGRESSES ARITMTICAS E PROGRESSES GEOMTRICAS

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    22

    c) possvel que um mesmo nmero natural aparea em duas das trs primeiras sequncias? Justifique.

    d) O nmero 1 087 um termo de qual(is) sequncia(s)?

    e) Explique por que o nmero 137 no pertence sequncia (II).

    f ) Qual o termo geral da sequncia (I)?

    g) Qual o termo geral da sequncia (II)?

    h) Qual o termo geral da sequncia (III)?

    i) Qual o termo geral da sequncia (IV)?

    j) Qual o termo geral da sequncia (V)?

    k) Qual o termo geral da sequncia (VI)?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    23

    l) Escolha um critrio, justificando-o, e separe as seis sequncias em dois grupos.

    2. Sabe-se que as Olimpadas, a Copa do Mundo e os Jogos Pan-americanos ocorrem de quatro em quatro anos. Se essas competies ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 2007, respectivamente, e considerando que continuem a acontecer, segundo essa regra, por muito tempo, responda:

    a) Qual competio ocorrer em 2118? E em 2079 e 2017?

    b) Haver algum ano em que ocorrer mais de uma dessas trs competies? Explique.

    3. Determinada sequncia numrica obedece seguinte condio: a diferena entre dois termos consecutivos sempre a mesma e igual a 6. Considerando que o primeiro termo dessa sequn-cia 8, responda:

    a) quais so os cinco primeiros termos?

    b) qual o termo a9?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    24

    c) qual o 15o termo?

    d) qual o 20o termo?

    e) quanto a diferena entre a12 e a5?

    f ) qual a expresso de seu termo geral, isto , qual a frmula matemtica que relaciona um termo qualquer (an) posio do termo (n)?

    4. O primeiro termo de uma sequncia numrica 0,02. Para obter os termos seguintes, basta multiplicar o termo imediatamente anterior por 5. Sendo assim, responda:

    a) qual o 2o termo?

    b) qual o termo a3?

    c) qual o termo a4?

    d) qual o resultado da diviso entre a6 e a4?

    e) qual o termo geral da sequncia, isto , qual a frmula matemtica que relaciona um termo qualquer (an) posio do termo (n)?

    5. Considere que: uma PA uma sequncia (a1, a2, a3, ..., an, ...) de nmeros an, em que a dife-rena entre cada termo an+1 e seu antecedente an uma constante. Essa diferena constante chamada de razo da PA, e representada por r. Assim, em uma PA de razo r, temos: an+1 an = r; para todo n natural, n 1. De acordo com essa definio, indique quais das sequncias a seguir so PAs. Em caso afirmativo, determine a razo.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    25

    a) (2, 5, 8, 11, ...).

    b) (2, 3, 5, 8, ...).

    c) (7, 3, 1, 5, ...).

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    26

    d) 2 __ 3 , 2 __ 3 ,

    2 __ 3 , 2 __ 3 , ... .

    e) 3 __ 2 , 1, 1 __ 2 , 0, ... .

    f ) 6, 2, 2 __ 3 , 2 __ 9 , ... .

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    27

    6. Considere as sequncias dadas por seus termos gerais:

    I) an = 4 n + 1, com n IN, n 1; II) an = 4 n

    2 1, com n IN, n 1;

    III) a1 = 2 e an = an1 3, com n IN, n 2;

    IV) a1 = 2 e an = an1 + 3, com n IN, n 2.

    Obtenha os cinco primeiros termos de cada uma dessas sequncias e destaque a razo daquelas que forem PAs.

    7. Considere que: uma PG uma sequncia (a1, a2, a3, ..., an...), em que cada termo an, a partir do segundo, obtido pela multiplicao de seu antecedente an1 por uma constante diferente de zero. De acordo com essa definio, quais das sequncias a seguir so PGs? Justifique sua resposta.

    I) (1, 3, 9, 27, ...);

    II) (1, 2, 6, 24, ...);

    III) 36, 12, 4, 43

    , ... ;

    IV) (1, 2, 4, 8, ...);

    V) 3, 8 __ 3 , 7 __ 3 , 2, ... ; VI) (

    __ 2 , 2, 2

    __ 2 , 4, ... ) .

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    28

    8. Considere as sequncias:

    I) an = 3 n + 1, com n IN, n 1; II) an = 3 n

    2 1, com n IN, n 1; III) an = 3 n, com n IN, n 1; IV) a1 = 3 e an = an1 2, com n IN, n 2; V) a1 = 3 e an = an1 + 2, com n IN, n 2.

    Determine os cinco primeiros termos de cada sequncia e destaque a razo daquelas que forem PGs ou PAs.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    29

    9. Observe a sequncia de figuras e responda s questes propostas.

    1 32 4

    a) Quantos quadradinhos comporo a quinta figura dessa sequncia? E a sexta figura?

    b) Associe a essa sequncia uma outra que indique o nmero de quadradinhos de cada figura. Essa sequncia uma PG? Justifique.

    c) Construa uma frmula que possa ser utilizada para determinar um termo qualquer dessa sequncia. Para auxili-lo nessa tarefa, a tabela a seguir organiza os dados, a fim de que as regularidades sejam mais facilmente observadas, elemento necessrio construo da frmula:

    Posio de um termo na sequncia Clculo

    Quantidade de quadradinhos

    1 3 3

    2 3 . 2 = 3 . 21 6

    3

    4

    ...

    n

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    30

    10. Nesta figura, cada quadradinho formado por quatro palitos de comprimentos iguais.

    1 2 3 4 554321

    a) A sequncia formada pelas quantidades de palitos necessrios para a construo das figuras resulta em uma PA? Justifique sua resposta.

    b) Quantos palitos sero necessrios para a construo da sexta figura? E da stima?

    c) Quantos palitos sero necessrios para construir a 78a figura?

    d) Escreva uma frmula que expresse a quantidade de palitos da figura que ocupa a posio n nessa sequncia.

    11. Sabe-se que o 9o termo de uma PA de razo 4 29. Qual o 20o termo dessa PA?

    12. Sabe-se que a sequncia (8, x, 4, y) uma PA. Determine os valores de x e y.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    31

    LIO DE CASA

    13. Invente uma PA. Separe apenas os termos cuja posio n indicada por um nmero mltiplo de 6 e forme outra sequncia de nmeros. Essa nova sequncia tambm uma PA? Em caso de resposta afirmativa, determine a razo da PA. Justifique sua resposta.

    14. Determine o 8o termo de cada uma das PGs:

    I) (1, 3, 9, 27, ...)

    II) 8, 4, 2, 1, 1 __ 2 , ...

    15. Determine o 12o termo de uma PG de razo 2, sabendo que o quinto termo dessa sequncia 4.

    16. Uma bola lanada de uma altura de 18 m, e seu impacto no solo provoca saltos sucessivos, de tal forma que, em cada salto, a altura que ela atinge igual a 80% da altura alcanada no salto anterior. Que altura ser alcanada pela bola quando ocorrer o 5o salto? E o 10o salto? (Use uma calculadora.)

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    17. Dada a PG 1 __ 2 , x, 32, y , determine os valores de x e y.

    18. Suponha que a populao de uma cidade tenha uma taxa de crescimento constante e igual a 20% ao ano. No fim do ano 2007, a populao era de 50 mil habitantes.

    a) Calcule a populao da cidade ao fim de cada um dos quatro anos seguintes e escreva os resultados obtidos em forma de sequncia.

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    b) A sequncia obtida uma PG? Em caso afirmativo, qual a razo?

    c) Encontre uma frmula que permita calcular a populao dessa cidade daqui a n anos, con-tados a partir de 2007.

    19. Suponha que o valor de um automvel diminua a uma taxa constante de 10% ao ano. Hoje, o valor desse automvel de R$ 20 mil.

    a) Calcule o valor desse automvel daqui a quatro anos.

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    b) Encontre uma frmula que permita calcular o preo desse automvel daqui a n anos.

    VOC APRENDEU?

    Tratamento das progresses sob o ponto de vista funcional

    20. Um conjunto A formado apenas pelos seguintes elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Assim, pode-mos escrever: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Um conjunto B formado por elementos numricos obtidos a partir dos elementos do conjunto A, da seguinte forma: cada elemento de B 4unidades a mais do que o triplo do elemento correspondente de A. Dito de outra forma, se chamarmos cada elemento do conjunto A de n, e cada elemento do conjunto B de p, temos: p = 4 + 3n.

    a) Quais so os elementos do conjunto B?

    b) Qual o tipo de sequncia numrica formada pelos elementos do conjunto A?

    c) Qual o tipo de sequncia numrica formada pelos elementos do conjunto B?

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    21. Cada elemento de um conjunto D ser obtido a partir de um elemento correspondente do con-junto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da seguinte forma: d = 5c + 15, em que c representa um elemento do conjunto C e d representa um elemento do conjunto D.

    a) Quais so os elementos do conjunto D?

    b) Qual o tipo de sequncia numrica formada pelos elementos do conjunto D?

    22. Determinada regra matemtica transforma cada elemento do conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} em outro nmero, conforme mostra a seguinte representao:

    71R

    132E

    193G

    254R

    315 A

    a) Qual o resultado associado ao nmero 6?

    b) Qual o resultado associado ao nmero 10?

    c) Se cada elemento do conjunto E for identificado pela letra n, e cada resultado for identi-ficado pela letra p, qual ser a equao matemtica que relaciona p e n?

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    36

    d) Ordenando os resultados obtidos, qual ocupar a 9 posio?

    e) Qual o tipo de sequncia numrica formada pelos elementos do conjunto dos resultados?

    LIO DE CASA

    23. Na Antiguidade, era muito comum associar adivinhaes a problemas matemticos. Veja este exemplo:

    Quando ia a Bagd

    Encontrei um homem com 7 mulheres

    Cada mulher tinha 7 sacos

    Cada saco, 7 gatos

    Cada gato, 7 gatinhos.

    Gatinhos, gatos, sacos e mulheres

    Quantos iam a Bagd?

    Escreva uma sequncia com os elementos da charada e aponte que tipo de sequncia numrica formada.

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    37

    24. Um nmero chamado de palndromo quando o mesmo se lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda. Assim, os nmeros 55, 121 e 2 002 so palndromos.

    a) Um conjunto A formado por todos os nmeros palndromos de dois algarismos. Quais so os elementos de A e qual o tipo de sequncia numrica formada por esses elementos?

    b) Um conjunto B formado por todos os nmeros palndromos de trs algarismos. Observando os elementos do conjunto B, podemos dizer que eles formam uma PA? Justifique sua concluso.

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    38

    VOC APRENDEU?

    Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finitas

    1. Calcule a soma dos termos da progresso (10, 16, 22, ..., 70).

    2. Calcule a soma dos termos da progresso (13, 20, 27, ...) desde o 21o termo at o 51o.

    3. Calcule a soma dos nmeros inteiros, divisveis por 23, existentes entre 103 e 850.

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 SOMA DOS TERMOS DE UMA PA OU DE UMA PG FINITAS E APLICAES MATEMTICA FINANCEIRA

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    39

    4. A figura a seguir apresenta os primeiros elementos de uma sequncia de nmeros chamados nmeros triangulares.

    a) Escreva a sequncia numrica correspondente a essa figura, considerando o nmero de bolinhas que formam cada tringulo:

    1, 3, ........, ........., ........., ........., ........, ..........., .........., .........., ..........

    b) Que regularidade voc observou na construo desses nmeros triangulares?

    c) Escreva uma frmula que permita calcular um termo qualquer dessa sequncia utilizando a recorrncia, ou seja, definindo um termo a partir de seu precedente.

    d) Construa uma frmula que calcule um termo qualquer dessa sequncia, sem neces-sariamente recorrer ao termo anterior. Para auxili-lo nessa tarefa, voc pode organizar os dados na tabela a seguir.

    Posio de um termo na sequncia

    Processo de contagem das bolinhas

    Quantidade de bolinhas em cada termo

    1

    2

    3

    4

    ...

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    5. A seguir, esto os primeiros elementos de uma sequncia de figuras que representam os chama-dos nmeros pentagonais.

    1 2 3 4 5

    a) Quantas bolinhas deve ter a sexta figura dessa sequncia? E a stima?

    b) Observe as regularidades que existem no processo de construo da Figura 2 a partir da Figura 1, no processo de construo da Figura 3 a partir da Figura 2, e assim por diante. Organize os dados na tabela a seguir e, depois, procure construir uma frmula que permita determinar a quantidade de bolinhas da Figura n nessa sequncia.

    Posio da figura na sequncia Clculo Nmero de bolinhas

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    41

    6. Considere a PG (1, 2, 4, 8, ...). Calcule a soma dos 20 primeiros termos dessa PG, deixando indicada a potncia.

    7. Resolva a equao 2 + 4 + 8 + ... + x = 510, sabendo que as parcelas do primeiro membro da equao esto em PG.

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    42

    8. (Vunesp 2003) Vrias tbuas iguais esto em uma madeireira. A espessura de cada tbua 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tbuas colocando-se uma tbua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas j tiverem sido colocadas anteriormente.

    Pilha na 1a vez

    Pilha na 2a vez

    Pilha na 3a vez

    Ao final de nove operaes, responda:

    a) quantas tbuas ter a pilha?

    b) qual ser a altura da pilha (em metros)?

    9. Uma pessoa compra uma televiso para ser paga em 12 prestaes mensais. A primeira pres- tao de 50 reais e, a cada ms, o valor da prestao acrescido em 5% da primeira prestao. Quando acabar de pagar, quanto a pessoa ter pago pela televiso?

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    43

    10. A primeira parcela de um financiamento de seis meses de 200 reais, e as demais so decres-centes em 5%. Assim, a segunda parcela 5% menor do que a primeira, a terceira parcela 5% menor do que a segunda, e assim por diante. Adotando 0,955 = 0,77 e 0,956 = 0,73, calcule:

    a) Qual o valor da ltima parcela?

    b) Quanto aproximadamente ter sido pago quando a dvida for totalmente quitada?

    LIO DE CASA

    11. Dada a PA ( 4, 1, 6, 11, ...), responda:

    a) qual o termo geral da sequncia?

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    44

    b) qual a soma dos 12 primeiros termos?

    c) qual expresso pode representar o clculo da soma dos n primeiros termos?

    12. A soma de n termos de uma PA pode ser calculada pela expresso Sn = 3n2 5n. Sendo assim, responda:

    a) qual a soma dos seis primeiros termos?

    b) qual a soma dos sete primeiros termos?

    c) qual o stimo termo?

    d) quais so os cinco primeiros termos?

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    13. Um atleta fora de forma, desejando recuperar o tempo perdido, planeja correr, diariamente, uma determinada distncia de maneira que, a cada dia, a distncia percorrida aumente 20% em relao ao que foi percorrido no dia anterior. Se ele correr 10 quilmetros no primeiro dia:

    a) quantos quilmetros correr no quarto dia?

    b) quantos quilmetros ter percorrido em dez dias? (Observao: 1,210 6,2.)

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    46

    Leitura e anlise de texto

    Aplicaes na Matemtica Financeira

    O crescimento de um capital a uma taxa constante de juros simples se caracteriza por envolver uma srie de termos que formam uma PA. Por outro lado, no clculo do crescimento de um capital a uma taxa constante de juros compostos, aparece uma PG. No exemplo a seguir, podemos comparar a evoluo de um capital inicial quando submetido a juros simples e a juros compostos.

    VOC APRENDEU?

    14. Complete:

    Tabela A

    Capital = C

    Taxa de juros = 5% ao ms

    Evoluo do capital a juros simples

    Evoluo do capital a juros compostos

    Inicial C C

    Depois de um ms 1,05 . C 1,05 . C

    Depois de dois meses 1,10 . C 1,052 . C

    Depois de trs meses

    Depois de quatro meses

    15. Suponha que um cidado aplique mensalmente, durante 8 meses, uma quantia fixa de 200 reais a juros simples de 5%. Ao final, depois dos 8 meses de aplicao, quanto ter acumulado essa pessoa? A tabela de capitalizao a seguir pode ajud-lo a organizar o mtodo de resoluo:

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    47

    Tabela B

    Ms 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o FinalC

    apit

    al

    200 210 220 230 240 250 260 270 280

    200 210 220 230 240 250 260 270

    200 210 220 230 240 250 260

    200

    200

    200

    200

    200

    16. Em relao ao problema anterior, alterando apenas a forma de incidncia da taxa de juros, de simples para compostos, pode-se construir a Tabela C, que precisa ser completada:

    Tabela C

    Ms 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o Final

    Cap

    ital

    200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057 200 . 1,058

    200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057

    200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056

    200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055

    200

    200

    200

    200

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    48

    17. Uma financeira remunera os valores investidos base de 4% de juros simples. Quanto conse-guir resgatar nesse investimento uma pessoa que depositar, mensalmente, 500 reais durante 10 meses?

    18. Laura aderiu a um plano de capitalizao de um banco, depositando, mensalmente, mil reais duran-te 12 meses. Se o banco promete remunerar o dinheiro aplicado taxa de 2% de juros compostos ao ms, calcule quanto Laura resgatar ao final do perodo. (Observao: 1,0212 = 1,27.)

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    49

    19. Carlos deseja comprar um automvel que custar, daqui a dez meses, R$ 15 500,00. Para atin-gir seu objetivo, Carlos resolveu depositar uma quantia x em um investimento que promete remunerar o dinheiro aplicado razo de 10% de juros simples ao ms. Qual deve ser o valor mnimo de x para que Carlos consiga comprar o automvel ao final dos dez meses?

    20. Uma geladeira cujo preo vista de R$ 1 500,00 ser financiada em seis parcelas mensais fixas. Se os juros compostos cobrados no financiamento dessa geladeira so de 3% ao ms, qual o valor da parcela mensal? (Observao: 1,036 = 1,19.)

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    LIO DE CASA

    21. Julia guardou, mensalmente, 200 reais em um banco que remunerou seu dinheiro base de 4% ao ms de juros compostos. Ao final de 8 meses de aplicao, Julia usou o dinheiro que havia guardado para dar de entrada em um pacote de viagem que custava, vista, R$ 5 mil. Julia pretende financiar o saldo devedor em 5 vezes, em parcelas iguais e fixas, taxa de 2% ao ms. (Observao: 1,048 1,37; 1,025 1,10.)

    a) Quanto Julia deu de entrada no pacote de viagem?

    b) Qual o valor da parcela mensal fixa do financiamento do saldo do pacote de viagem?

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    51

    PESQUISA INDIVIDUAL

    A histria do jogo de xadrez um exemplo bastante interessante de como nossa percepo pode ser enganada quando somamos um grande nmero de termos de uma sequncia. Faa uma pesquisa sobre essa histria. Voc pode recorrer a sites de busca ou ao livro O homem que calculava, de Malba Tahan.

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    52

    Leitura e anlise de texto

    Na Grcia antiga, a contraposio entre discreto e contnuo j trazia alguns problemas de interpretao. Para os pitagricos, o nmero era a referncia de toda dvida e toda dificul-dade. Segundo eles, se no fosse pelo nmero e por sua natureza, nada do que existe poderia ser compreendido por algum, nem em si mesmo, nem com relao a outras coisas. Os nmeros constituam o verdadeiro elemento de que era feito o mundo. Chamavam um ao ponto, dois linha, trs superfcie e quatro ao slido. A partir de Um, Dois, Trs e Quatro, podiam construir um mundo.

    A concepo geomtrica dos gregos do sculo V a.C., influenciada pela viso dos pi-tagricos, entendia que o nmero de pontos de uma linha determinada seria finito, muito embora no fosse possvel quantific-los. Em outras palavras, a noo do contnuo no fazia parte das ideias geomtricas de ento. Essa concepo de uma srie de pontos justapostos, como uma grande fila, de maneira que qualquer segmento pudesse ser mensurvel, quanti-ficado como uma determinada quantidade de pontos, caiu por terra a partir da descoberta da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do quadrado.

    Para refletir:

    Dentre os conjuntos numricos que voc j estudou, qual deles nos permite representar grandezas contnuas?

    Desafio!

    O tringulo ABC da figura a seguir equiltero de lado 1 u. Unindo os pontos mdios dos lados desse tringulo, obtemos o segundo tringulo PQR. Unindo os pontos mdios dos lados do tringulo PQR, obtemos o terceiro tringulo STU, e assim sucessivamente. Determine a soma dos permetros dos infinitos tringulos construdos por esse processo.

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

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    53

    A

    PB

    C

    QR U

    TS

    a) Quanto mede o lado PQ do tringulo PQR? E os lados PR e RQ?

    b) Qual o permetro dos tringulos ABC, PQR e STU?

    c) Escreva uma sequncia numrica cujos termos so os permetros dos tringulos ABC, PQR, STU e de mais outros dois tringulos construdos segundo o mesmo critrio.

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    54

    VOC APRENDEU?

    1. Por mais que aumentemos o nmero de termos na adio

    S = 2 + 1 __ 2 + 1 __ 8 +

    1 ___ 32 + ...,

    existir um valor limite, isto , um valor do qual a soma se aproxima cada vez mais, sem nunca atingi-lo? Qual esse valor?

    2. Calcule o resultado limite das seguintes somas:

    a) S = 10 + 1 0,1 + 0,01 0,001 + 0,0001 ...

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    55

    b) S = 2 __ 5 + 1 __ 5 +

    1 ___ 10 + 1 ___ 20 +

    1 ___ 40

    + ...

    3. Uma bola de borracha cai da altura de 6 m, bate no solo e sobe at a tera parte da altura inicial. Em seguida, a bola cai novamente, bate no solo, inverte o sentido de movimento, e sobe at atingir a tera parte da altura anterior. Continuando seu movimento segundo essas condies, isto , atingindo, aps cada batida, a tera parte da altura que atingiu aps a batida imediata-mente anterior, qual ser a distncia vertical total percorrida pela bola at parar?

    6 m

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

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    56

    4. Resolva a equao em que o primeiro termo da igualdade o limite da soma dos termos de uma

    PG infinita: x2

    +x8

    +x

    32+...=18.

    LIO DE CASA

    5. (Adaptado do Paradoxo de Zeno) Uma corrida ser disputada entre Aquiles, grande atleta grego, e uma tartaruga. Como Aquiles dez vezes mais rpido do que a tartaruga, esta partir 10 m frente de Aquiles, conforme representado no esquema a seguir.

    10 m

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    57

    Quando Aquiles chegou ao ponto em que a tartaruga estava inicialmente, depois de percorrer 10 m, a tartaruga, dez vezes mais lenta, estava 1 m frente.

    1 m

    Aquiles, ento, correu 1 m, at o ponto em que a tartaruga estava, mas ela j no estava mais l: estava 10 cm frente, pois correu, no mesmo intervalo de tempo, dez vezes menos que Aquiles, e a dcima parte de 1 m corresponde a 10 cm.

    10 cm

    Repetindo esse raciocnio para os intervalos de tempo seguintes, parece que Aquiles nunca alcan- ar a tartaruga, pois ela sempre ter percorrido 1

    10 do que Aquiles percorrer. Ser mesmo verdade

    que ele nunca alcanar a tartaruga?

    a) Escreva a sequncia das distncias que Aquiles percorre at chegar ao ponto em que a tar-taruga estava a cada vez.

    b) A sequncia das distncias uma PG. Qual a razo dessa PG?

    c) Calcule a soma das infinitas distncias percorridas por Aquiles at chegar ao ponto em que se encontrava a tartaruga a cada vez.

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

    C

    onex

    o E

    dito

    rial

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    58

    d) Quantos metros percorrer Aquiles at alcanar a tartaruga? Ou voc acha que ele no a alcanar?

    6. Escreva a expresso 2 2 2 2 2 2... como um produto de potncias de dois e, em seguida, encontre o valor da expresso.

    7. Uma dvida foi paga, mensalmente, da seguinte maneira:

    1o ms: metade do valor inicial da dvida;

    2o ms: metade do valor restante aps o pagamento da parcela anterior;

    3o ms: metade do valor restante aps o pagamento da parcela anterior;

    4o ms: metade do valor restante aps o pagamento da parcela anterior;

    e assim sucessivamente, at a quitao total da dvida.

    Verifique que a soma das parcelas pagas corresponde ao valor total da dvida.

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    59

    8. Determine a geratriz da dzima 1,777...

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    60

    Leitura e anlise de texto

    Grandezas e funes

    A altura de uma rvore que plantamos no quintal ao longo do tempo, o peso de uma pessoa ao longo de sua vida, o preo do barril de petrleo a cada dia, a produo de au-tomveis de um pas ano aps ano, a temperatura de um refrigerante colocado em uma geladeira, o preo a pagar por uma corrida de txi so alguns exemplos de grandezas.

    Duas grandezas x e y podem variar de modo interdependente, de tal forma que assumam valores inter-relacionados. Quando, deixando variar livremente os valores de uma grandeza x, notamos que os valores de outra grandeza y tambm variam, de tal forma que a cada valor de x corresponde a um e somente um valor de y, ento dizemos que y uma funo de x; dizemos ainda que x a varivel independente e y a varivel dependente. Por exemplo:

    a) a rea A de um quadrado uma funo de seu lado x; se os valores de x variarem livremente (naturalmente, x no pode assumir valores negativos), ento os valores de A variaro em funo de x, portanto, A = f(x). Nesse caso, temos: A = f(x) = x2;

    b) a altura H de uma pessoa uma funo de sua idade t; podemos escrever H = f(t), pois a cada valor de t corresponde um nico valor de H. No caso, no sabemos exprimir a relao de interdependncia f(t) por meio de uma frmula.

    Quando x e y so duas grandezas diretamente proporcionais, elas aumentam ou diminuem

    simultnea e proporcionalmente, ou seja, a razo y __ x constante, resultando em y = k x (k uma

    constante). Quando x e y so duas grandezas inversamente proporcionais, sempre que uma delas aumenta, a outra diminui na mesma proporo, e vice-versa, de modo que o produto

    das duas permanece constante: x y = k, ou seja, y = k __ x , onde k uma constante no nula. Quando observamos os valores de duas grandezas interdependentes, x e y, e notamos

    que um aumento no valor de x acarreta um aumento no valor de y, ou, ento, um aumento no valor de x provoca uma diminuio no valor de y, somos tentados a dizer que x e y va riam de modo diretamente proporcional, no primeiro caso, ou inversamente proporcional, no segundo. Entretanto, tais afirmaes nem sempre so corretas, uma vez que, como visto ante-riormente, a proporcionalidade direta exige mais do que um aumento simultneo nos valores de x e y; pois preciso que a razo y __ x seja constante e resulte em y = kx (k uma constante). Do mesmo modo, a proporcionalidade inversa mais do que uma diminuio nos valores de uma das grandezas quando o outro aumenta; em outras palavras, necessrio que o produto dos valores de x e y permanea constante, ou seja, x y = k (k constante).

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 5 FUNES COMO RELAES DE INTERDEPENDNCIA: MLTIPLOS EXEMPLOS

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    61

    VOC APRENDEU?

    1. Em cada um dos casos apresentados a seguir, verifique se h ou no proporcionalidade. Se exis-tir, expresse tal fato algebricamente, indicando o valor da constante de proporcionalidade. Em caso negativo, justifique sua resposta.

    a) A altura a de uma pessoa diretamente proporcional sua idade t?

    b) A massa m de uma pessoa diretamente proporcional sua idade t?

    c) O permetro p de um quadrado diretamente proporcional ao seu lado a?

    d) A diagonal d de um quadrado diretamente proporcional ao seu lado a?

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    62

    e) O comprimento C de uma circunferncia diretamente proporcional ao seu dimetro d?

    2. As tabelas a seguir relacionam pares de grandezas. Indique se existe ou no proporcionalidade (direta ou inversa).

    a) Produo de automveis e produo de tratores (anual, em milhares).

    Pases A B C D E F G H IAutomveis 100 150 200 225 250 300 350 400 450

    Tratores 8 12 16 18 20 24 28 32 36

    b) rea destinada agricultura e rea destinada pecuria (em 1 000 km2).

    Pases A B C D E F G H IAgricultura 80 100 110 120 150 160 180 200 250

    Pecuria 60 70 80 98 100 124 128 132 136

    c) Produto Interno Bruto (PIB, em milhes de dlares) e ndice de Desenvolvimento Humano (IDH).

    Pases A B C D E F G H IPIB 300 400 510 620 750 760 880 1 000 1 100IDH 0,90 0,92 0,80 0,88 0,78 0,89 0,91 0,80 0,86

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    63

    d) Expectativa de vida (em anos) e ndice de analfabetismo (percentual da populao).

    Pases A B C D E F G H IExpectativa de

    vida 67 68 69 70 71 72 73 74 75

    ndice de analfabetismo 11 10 9 8 7 6 5 4 3

    3. Um prmio P da loteria deve ser dividido em partes iguais, cabendo um valor x a cada um dos n ganhadores. Considerando um prmio P de R$ 400 mil, preencha a tabela a seguir e expresse a relao de interdependncia entre x e n.

    n 1 2 3 4 5 8 10 20x

    4. Para cortar a grama de um canteiro quadrado de 5 m de lado, um jardineiro cobrou 20 reais. Mantida a proporo, para cortar a grama de um canteiro quadrado de 15 m de lado, quanto o jardineiro dever cobrar? A quantia a cobrar C diretamente proporcional medida x do lado do canteiro quadrado?

    LIO DE CASA

    5. A tabela a seguir relaciona os valores de trs grandezas, x, y e z, que variam de modo inter-relacionado:

    x 1 3 4 5 10 15 40 50 150y 7 21 28 35 70 105 280 350 1 050z 300 100 75 60 30 20 7,5 6 2

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    64

    Verifique se os diversos pares de grandezas (x e y, y e z, x e z) so direta ou inversamente pro-porcionais. Justifique sua resposta.

    6. Quando uma pedra abandonada em queda livre (sem considerar a resistncia do ar ao movi-mento), a distncia vertical d que ela percorre em queda diretamente proporcional ao quadrado do tempo t de queda, ou seja, d = k . t2. Considere que, aps 1 segundo de queda, a pedra caiu 4,9 m e, ento, responda:

    a) qual o valor da constante de proporcionalidade k?

    b) qual ser a distncia vertical percorrida aps 5 segundos?

    c) quanto tempo a pedra levar para cair 49 metros?

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    65

    VOC APRENDEU?

    Grficos de funes

    7. O valor a ser pago por uma pessoa para abastecer com combustvel seu automvel varia proporcionalmente em funo da quantidade de litros de combustvel utilizada. Isso signi-fica dizer que o preo uma funo da quantidade de litros de combustvel que abastece o automvel. Vamos imaginar que o litro da gasolina custe R$ 2,50. Denotando por P o preo a ser pago e por a quantidade de litros de gasolina com que um automvel abastecido, pede-se:

    a) Complete a tabela a seguir, que relaciona P com .

    0 1 2 3 4 6P

    b) Qual o preo a ser pago quando se abastece o carro com 10 litros?

    c) Calcule a diferena entre os preos a serem pagos quando se abastece um carro com 15 e 16 litros.

    d) Observando a tabela, conclumos que P e so grandezas diretamente proporcionais, isto , P

    = constante = k, ou seja, P = f() = k . . Determine o valor de k.

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    66

    e) Na funo y = f(x), o conjunto de pontos (x,y) do plano cartesiano em que y = f(x) constitui o grfico da funo. Construa, em um plano cartesiano, o grfico da funo P = f().

    PESQUISA INDIVIDUAL

    8. As funes na forma y = f(x) = kx representam situaes em que esto envolvidas duas grandezas, x e y, diretamente proporcionais. Elabore quatro situaes distintas envol-vendo duas grandezas diretamente proporcionais e construa seus respectivos grficos cartesianos. Com base em sua observao a respeito dos grficos, mostre o que eles tm em comum.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    67

    9. Fixada a temperatura T, a presso P e o volume V de um gs, pode-se dizer que eles variam segundo a sentena P . V = k (k uma constante). Faa uma pesquisa sobre essa relao e esboce o grfico de P em funo de V.

    (Dica: voc poder pesquisar sobre esse assunto em livros de Qumica.)

    VOC APRENDEU?

    10. O preo P a ser cobrado em uma corrida de txi composto por uma quantia a fixada, igual para todas as corridas, mais uma parcela varivel, que diretamente proporcional ao nmero x de quilmetros rodados: P = a + bx (b o custo de cada quilmetro rodado).

    Em certa cidade, temos P = 15 + 0,8x (P em reais e x em quilmetros).

    a) Qual ser o preo a ser cobrado por uma corrida de 12 km?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    68

    b) Calcule a diferena entre os preos de duas corridas, uma de 20 km e outra, de 21 km.

    c) Esboce o grfico de P em funo de x.

    11. Na casa de uma famlia que gasta cerca de 0,5 kg de gs de cozinha por dia, a massa de gs m contida em um botijo domstico de 13 kg varia com o tempo de acordo com a frmula m = 13 0,5t, onde t o tempo em dias.

    a) Calcule o nmero de dias necessrios para um consumo de 6 kg de gs.

    b) Calcule a massa de gs que resta em um botijo aps 10 dias de uso.

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    69

    c) Esboce o grfico de m em funo de t.

    LIO DE CASA

    12. O grfico a seguir mostra o nvel da gua armazenada em uma barragem ao longo de um ano. Analise atentamente o grfico e responda s questes a seguir.

    tempo

    nvel (m)

    100

    90

    80

    10

    a) Qual foi o menor nvel de gua armazenada na barragem? E o maior?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    70

    b) Quantas vezes no ano a barragem atingiu o nvel de 40 m? E o nvel de 95 m?

    13. O nmero N de dias necessrios para esvaziar um reservatrio de gua de 20 000 litros depende do consumo dirio de gua. Se o consumo for de x litros por dia, ento os valores de N e x devem satisfazer condio N . x = 20 000.

    a) Calcule os valores de N para x1 = 500 por dia e para x2 = 800 por dia.

    b) Esboce o grfico de N em funo de x.

    14. Considere duas grandezas, x e y, diretamente proporcionais. Sabe-se que o ponto (4,12) per-tence ao grfico da funo que relaciona essas grandezas.

    a) Escreva a sentena que relaciona x e y.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    71

    b) Construa o grfico dessa funo.

    c) Qual o valor de f(2)?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    72

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 6 FUNES POLINOMIAIS DE 1o GRAU: SIGNIFICADO, GRFICOS, CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO E TAXAS

    VOC APRENDEU?

    Funes polinomiais de 1o grau: significado

    1. Sempre que expressamos por meio de variveis uma situao de interdependncia envolven-do duas grandezas diretamente proporcionais, chegamos a uma funo de 1o grau. De modo geral, uma funo de 1o grau expressa por uma frmula do tipo f(x) = ax + b, onde a e b so constantes, sendo a 0. Convm ressaltar que uma funo de 1o grau em que b = 0 representa uma proporcionalidade direta entre f(x) e x, pois f(x) = ax. Quando b 0, a diferena f(x) b diretamente proporcional a x, pois f(x) b = ax. As retas A, B, C, D e E so os grficos de funes do tipo f(x) = ax + b. Determine os valores de a e b em cada um dos cinco casos apresentados e indique o(s) que representa(m) a variao de grandezas diretamente proporcionais.

    22

    2

    10

    CB

    A

    D

    E

    x

    y

    4

    3

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    73

    2. O grfico a seguir mostra a relao entre a quantidade x de litros de xampu produzida e o custo C(x), em reais, da produo caseira.

    0 x

    C(x)

    520

    10

    500

    a) Qual o possvel motivo de um gasto de 500 reais quando ainda no se est produ- zindo xampu?

    b) Qual a funo C(x) = ax + b representada no grfico? Essa sentena da interdependncia entre o custo C e a quantidade produzida x vlida para qualquer valor de x?

    c) Qual o gasto para se produzir 1 500 litros de xampu?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    74

    d) Quantos litros de xampu podem ser produzidos com R$ 10 mil?

    e) Qual a variao no gasto para a produo de cada litro adicional de xampu?

    3. As funes de custos simples para um negcio consistem em duas partes: o custo fixo, cujo valor independente de quantas unidades de certo produto so produzidas (exemplo: aluguel), e os custos variveis, que dependem do nmero de produtos produzidos. Considerando C(x) o custo total da produo de um nmero x de produtos, CF(x) o custo fixo e CV(x) o custo varivel, podemos escrever que C = CF + CV. Suponha que, para uma fotocopiadora, o custo por cpia reproduzida seja de 5 centavos e que o custo fixo de seu negcio seja de R$ 2 mil.

    a) Escreva a expresso relativa ao custo fixo, CF.

    b) Escreva a sentena que relaciona CV e x.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    75

    c) Escreva a sentena que relaciona C e x.

    d) Em um mesmo plano cartesiano, construa os grficos de cada funo apresentada nos itens anteriores.

    4. As retas A, B e C so representaes grficas da funo f(x) = mx, que um caso particular da funo f(x) = mx + n, com n = 0. Determine o valor de m, em cada um dos trs casos, no espao a seguir.

    A

    B

    C

    y

    x

    4

    2 5 3

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    76

    5. Analisando as funes obtidas na atividade anterior, responda:

    a) As funes f(x) = mx que tm como grficos as retas B e C possuem m > 0. Em casos assim, quanto maior o valor de m, a reta estar mais em p ou mais deitada?

    b) Como podemos saber se uma reta est inclinada para a direita ou para a esquerda apenas observando o valor de m na sua equao?

    6. A conta de certo almoo em um restaurante composta pelo valor total das despesas com comida e bebida, mais 10% sobre esse valor, que correspondem aos gastos com servios, alm de uma taxa fixa de 10 reais de couvert artstico para os msicos.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    77

    a) Chamando de x os gastos com comida e bebida (em reais) e de y o valor total da conta (em reais), determine uma sentena do tipo y = mx + n que represente a relao entre x e y.

    b) Faa um grfico no plano cartesiano para representar a funo encontrada no item anterior.

    7. A empresa Negcios da China S.A. tem um custo dirio de 200 reais com salrios e manuteno. Cada item produzido custa 2 reais e vendido a 5 reais.

    a) Escreva a sentena matemtica que relaciona o custo dirio de produo C para x itens produzidos.

    b) A receita R da empresa representa o dinheiro recolhido pela venda de seus produtos. Escreva a sentena matemtica que relaciona a receita R para x itens produzidos.

    c) Construa, em um mesmo plano, os grficos das funes custo C e receita R.

    d) O ponto de interseo entre os grficos de R e C, em Economia, chama-se ponto de equilbrio, isto , quando o custo e a receita so iguais: R = C.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    78

    Encontre o ponto de equilbrio dessa empresa, ou seja, a quantidade de produtos que devem ser produzidos diariamente para garantir que no haja prejuzo. Analise o grfico e indique esse ponto.

    8. O grfico a seguir indica o valor de um determinado tributo territorial em funo da rea de uma propriedade.

    Tributo(R$)

    rea da propriedade(m2)

    1 000800

    800

    3 8004 000

    500200

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    79

    a) Qual o valor do imposto a ser pago por uma propriedade de 800 m?

    b) Existe algum tamanho de propriedade (em m) cujo imposto cobrado seja exatamente 500 reais?

    c) Determine uma sentena do tipo y = mx + n, com y sendo o tributo em reais, e x a rea em m, vlida para o intervalo 800 x < 3 800.

    Desafio!

    Analise a situao da atividade 8, apresentada na seo Voc aprendeu?, para o interva-lo x 3 800. Com base no grfico, verdadeira a afirmao de que a inteno desse tributo territorial cobrar mais imposto por m2 para propriedades maiores do que 3 800 m2?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    80

    LIO DE CASA

    9. Celsius, Fahrenheit e Kelvin so as trs escalas de temperatura mais utilizadas. Sendo C o valor da temperatura em graus Celsius, F a mesma temperatura medida em graus Fahrenheit e K, a temperatura em Kelvin, para converter uma temperatura de uma escala para outra, considere os seguintes fatos fundamentais:

    -mento da origem: na escala Celsius no 0, e na escala Kelvin no 273;

    e a de ebulio da gua 100; e a de ebulio da gua 212.

    Com base nessas informaes:

    373

    K C F

    273

    100

    0

    212

    32

    Kelvin Celsius Fahrenheit

    ebulio da gua

    fuso do gelo

    a) Demonstre que, para se transformar uma temperatura dada em graus Celsius para graus Kelvin, a regra K = C + 273.

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    81

    b) Demonstre que, para se transformar uma temperatura apresentada em graus Celsius para graus Fahrenheit, a regra F = 1,8C + 32.

    c) Calcule a quantos graus Celsius corresponde uma temperatura de 95 F.

    d) Calcule a quantos graus correspondem 300 K na escala Fahrenheit.

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    82

    10. O grfico a seguir indica a produo brasileira de petrleo, em milhes de barris, nos anos de 2004 e 2005:

    Produo (milhes de barris)

    Ano

    596

    535

    2004 2005

    Admitindo que a taxa de crescimento do perodo 2004-2005 se manteve no perodo 2005-2006, calcule o valor aproximado da produo mdia anual, em milhes de barris, no ano de 2006.

    11. A figura a seguir ilustra uma folha de lato que ser usada na montagem de uma pea:

    x + 10

    2x + 4 2x + 4

    x x

    xx

    a) Determine todos os valores possveis de x (em metros) para que o permetro da folha seja maior ou igual a 64 metros.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    83

    b) Determine todos os valores possveis de x (em metros) para que a soma dos comprimentos representados em vermelho seja menor que a soma dos demais comprimentos que comple-tam o permetro da folha.

    12. A velocidade V de um carro varia conforme o grfico a seguir:

    V(m/s)

    tempo (s)

    10

    100 20 30

    Escreva as trs sentenas matemticas que representam a velocidade do carro em funo do tempo como descrito no grfico apresentado.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    84

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 7 FUNES POLINOMIAIS DE 2o GRAU: SIGNIFICADO, GRFICOS, INTERSEES COM OS EIXOS, VRTICES E SINAIS

    Leitura e anlise de texto

    Grandeza proporcional ao quadrado de outra: a funo de 2o grau f(x) = ax2

    possvel obter um exemplo da relao de interdependncia entre duas grandezas x e y em que y diretamente proporcional ao quadrado de x, isto , y __

    x2 = constante = k, ou

    seja, y = kx2, quando uma pedra abandonada em queda livre. A distncia vertical d que a pedra percorre diretamente proporcional ao quadrado do tempo de queda, ou seja, temos d = kt2; sendo, neste caso, o valor de k = 4,9 (metade da acelerao da gravidade do local).

    De modo geral, a relao y = kx2 serve de base para iniciar o estudo das funes de 2o grau, cuja forma geral f(x) = ax2 + bx + c (a 0).

    Este ser o tema desta Situao de Aprendizagem. Acompanhe, atentamente, as dis-cusses propostas pelo seu professor.

    VOC APRENDEU?

    1. Construa, no espao a seguir, em um mesmo plano cartesiano, os grficos das seguintes funes a, b, c e d, e, em outro plano, os grficos das funes e, f, g e h.

    a) f(x) = x2 e) f(x) = x2

    b) f(x) = 2x2 f ) f(x) = 2x2

    c) f(x) = 10x2 g) f(x) = 10x2

    d) f(x) = 110

    x2 h) f(x) = 110

    x2

    Procure esboar os grficos compa-rando uns aos outros, sem necessaria-mente recorrer a tabelas com valores de x e de y. Em vez disso, leve em considerao os valores relativos aos coeficientes de x2.

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    85

    Desafio!

    Mostre que a curva do grfico de f(x) = x2 no tem um bico na origem do sistema de coordenadas, ou seja, ela apenas tangencia o eixo x.

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    86

    Deslocamentos verticais: a funo f(x) = ax2 + v

    Quando a proporcionalidade entre y e x2 ocorre a partir de um valor inicial v, entoy v = kx2, ou seja, y = kx2 + v.

    Nesses casos, o grfico de f(x) = kx2 + v continua a ser uma parbola, mas seus pontos so deslocados, em relao ao conhecido grfico de y = kx2, na direo do eixo y de um valor v: para cima, se v > 0, ou para baixo, se v < 0.

    x

    y

    v v

    f(x) = kx2 + v

    y = kx2

    0

    Uma situao como esta ocorre, por exemplo, quando calculamos a distncia d de uma pedra abandonada a certa altura h at o solo:

    4,9t2

    d = h 4,9t2

    h

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    87

    Neste caso, temos, ento, d = h 4,9t2, ou seja, h d = 4,9t2. Podemos observar, a seguir, alguns grficos de funes desse tipo.

    2. Construa os grficos das funes a, b, c e d em um mesmo plano cartesiano e os grficos das funes e, f e g em outro plano cartesiano, indicando, em cada caso, as coordenadas do vrtice.

    a) f(x) = x2 + 1 c) f(x) = x2 1 e) f(x) = 2x2 + 1 g) f(x) = 0,5x2 + 7

    b) f(x) = x2 + 3 d) f(x) = x2 3 f ) f(x) = 3x2 5

    y

    x

    y = 3x2 + 7

    y = 3x2 5

    222018161412108642

    2468

    10121416

    01 1 2 3 4234

    y = 3x2

    y = 3x2 + 5

    y = 3x2 4

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    88

    Deslocamentos horizontais: a funo f(x) = a(x h)2

    Outra proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra gran-deza ocorre quando temos y diretamente proporcional no a x2, mas a (x h)2. Neste caso, temos y = k(x h)2 e o grfico correspondente anlogo ao de y = kx2, deslocado horizontalmente de h unidades, para a direita, se h > 0, ou para a esquerda, se h < 0.

    y

    x

    9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    19181716151413121110987654321

    1 2 3 4 5 6

    0

    Um exemplo de situao semelhante quela apresentada anteriormente ocorre quando a grandeza y diretamente proporcional ao quadrado da variao no valor de x a partir de certo valor inicial h. Por exemplo, sendo E a energia elstica armazenada em uma mola dis-tendida de x unidades a partir de seu comprimento normal, ento E = kx2; naturalmente, se x=0, ento E = 0. Entretanto, se a escala para medir a distenso da mola tal que temos E = 0 para x = h, ento, quando a mola estiver distendida de (x h), sua energia E ser tal que E = k(x h)2.

    E = 0 E = k(x h)2

    E = 0 E = kx2

    h

    0

    x

    x

    y = x2

    y = (x + 3)2

    y = (x 3)2

    0

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    89

    E

    0 hx

    E

    0x

    3. Construa, em um mesmo plano cartesiano, os grficos das funes a, b, c e d e, em outro plano cartesiano, os grficos das funes e, f e g, indicando as coordenadas do vrtice de cada uma delas.

    a) f(x) = (x + 1)2 d) f(x) = (x 3)2 g) f(x) = 3(x 1)2

    b) f(x) = (x + 3)2 e) f(x) = (x 5)2

    c) f(x) = (x 1)2 f ) f(x) = 2(x + 3)2

    E = kx2

    E = k(x h)2

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    90

    Deslocamentos verticais e/ou horizontais: a funo f(x) = a(x h)2 + v

    No caso mais geral possvel, podemos ter a variao nos valores de uma grandeza y, a partir de certo valor v, diretamente proporcional ao quadrado da variao nos valores de x, a partir de certo valor h: em outras palavras, y v = k (x h)2. Uma funo deste tipo tal que f(x) = k (x h)2 + v, e tem como grfico tambm uma parbola, deslocada horizontalmente de um valor h em relao parbola y = kx2 e deslocada verticalmente de um valor v em relao parbola y = k (x h)2. O vrtice da parbola o ponto de coordenadas (h,v). O grfico a seguir traduz o que se afirmou anteriormente.

    y

    x

    Observe, a seguir, alguns exemplos de grficos desse tipo de funo:

    x

    y

    5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    161412108642

    2 4 6 8

    10 12 14 16

    0

    f(x) = k(x h)2 + v

    f(x) = kx2 f(x) = k(x h)2v

    h

    y = 3x2 7

    y = 3(x + 1)2 + 9

    y = 3x2 + 7

    y = 5(x 6)2 + 3

    y = 5(x 3)2 8

    y = 5(x 3)2 + 8

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    91

    4. Construa os grficos das seguintes funes e indique as coordenadas do vrtice de cada uma delas:

    a) f(x) = (x + 1)2 + 1 c) f(x) = (x 1)2 1

    b) f(x) = (x + 3)2 1 d) f(x) = (x 3)2 + 2

    LIO DE CASA

    5. Determine as coordenadas do vrtice dos grficos das seguintes funes e verifique se a funo assume um valor mximo ou um valor mnimo em cada uma delas.

    a) f(x) = (x + 3)2 12

    b) f(x) = (x 2)2 52

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    92

    c) f(x) = (x 1)2 + 2 d) f(x) = x 12

    2

    34

    e) f(x) = (x 4)2 f ) f(x) = x2 + 2

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    93

    VOC APRENDEU?

    6. Sabemos que o grfico de f(x) = ax2 + bx + c, sendo a 0, uma parbola. A reta vertical que passa pelo vrtice da parbola seu eixo de simetria. Observe os grficos a seguir:

    (I) f(x) = x2 4 (II) f(x) = x2 + 2x = (x + 1)2 1

    Eixo de simetria em x = 0

    0 1

    1

    1

    2 3

    4

    2

    3

    4

    5

    2 3 4 1 2 3 4 x

    y

    0 1

    1

    12

    23456789

    2 3 43 4 x

    y

    Eixo de simetria em x = 1

    2 1

    a) Na funo (I), quando x = 1, qual o valor correspondente de y?

    b) Na funo (II), quando x = 3, qual o valor correspondente de y?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    94

    c) Complete a tabela com o valor correspondente de x ou de y.

    Funo Ix 2 2 4 5

    y 12 21

    Funo IIx 3 1 6 5

    y 16 27

    7. A seguir est representado o grfico da funo f(x) = x2 + 4x = (x 2)2 + 4.

    y

    0 1 4

    x

    m

    n

    V

    a) Quais so as coordenadas do ponto V, vrtice da parbola?

    b) Quais so os valores de m e n, indicados no grfico?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    95

    8. Determine a expresso algbrica de cada uma das funes de 2o grau representadas pelas seguintes figuras:

    4

    yy

    8

    2 4 0 x

    x2

    4

    0

    0

    1

    2

    4

    8

    3 x

    y

    Figura 1 Figura 2

    Figura 3

    9. Considere as funes de 2o grau f(x) = ax2 + bx + c indicadas a seguir. Descubra se as equaes de 2o grau correspondentes tm duas, uma ou nenhuma raiz real, calculando o valor da orde-nada yv do vrtice da parbola, que o grfico da funo. Ou seja, determine o nmero de razes de cada equao sem resolv-las.

    a) f(x) = 3x2 + 12x + 11

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    96

    b) f(x) = 3x2 12x + 15

    c) f(x) = 2x2 16x + 5

    d) f(x) = 2x2 + 10x 13

    e) f(x) = 11x2 5x + 12

    f ) f(x) = 4x2 + 12x 9

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    97

    10. Determine as razes da equao de 2o grau ax2 + bx + c = 0 e o sinal da funo f(x) = ax2 + bx + + c, para todos os valores possveis de x, em cada um dos casos apresentados:

    a) 3x2 + 12x + 11 = 0

    b) 4x2 + 12x 9 = 0

    c) 2x2 + 10x 13 = 0

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    98

    LIO DE CASA

    11. O grfico a seguir representa o rendimento bruto R(q) de uma empresa em funo da quantidade q de produtos fabricados mensalmente. Os valores de R so expressos em milhares de reais, e a quan-tidade produzida q, em milhares de unidades. Sabe-se que a curva representada uma parbola.

    q

    64

    160

    R(q)

    A partir das informaes contidas no grfico, responda:

    a) Qual a expresso algbrica da funo R(q)?

    b) Qual o rendimento bruto mximo?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    99

    c) Qual a quantidade produzida que maximiza o rendimento bruto da empresa?

    d) Qual o rendimento bruto que a empresa obtm para a produo de 15 mil unidades? E de 20 mil unidades? Como interpretar este ltimo resultado?

    12. Determine, para as funes a seguir, os valores mximos ou mnimos atingidos em cada caso, indicando o valor de x em tais extremos.

    a) f(x) = 3(x 12)2 + 100

    b) f(x) = x2 + 10

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    100

    c) f(x) = x2 + 6x + 9

    d) f(x) = 3x2 + 30x + 75

    e) f(x) = x2 + 10x

    f ) f(x) = x2 + 8x + 21

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    101

    SITUAO DE APRENDIZAGEM 8 PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNES DE 2o GRAU EM MLTIPLOS CONTEXTOS; PROBLEMAS DE MXIMOS E MNIMOS

    So vrios os contextos de nossa vida em que o conhecimento sobre as funes po-linomiais de 2o grau nos permite organizar, avaliar e prever o comportamento de certos fenmenos, sejam eles sociais ou naturais.

    O foco desta Situao de Aprendizagem abordar alguns desses problemas, aplicando o que foi aprendido na Situao de Aprendizagem anterior.

    VOC APRENDEU?

    1. Na administrao de uma empresa, procura-se estabelecer relaes matemticas entre as grande-zas envolvidas, tendo em vista a otimizao da produo, ou seja, a busca de um custo mnimo ou de um rendimento mximo. Naturalmente, as relaes obtidas decorrem de certas hipteses sobre o modo de produo, que envolvem tanto a proporcionalidade direta quanto a inversa, a proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado de outra, o crescimento exponencial, entre outras possibilidades. Uma disciplina que trata da formulao de modelos ma te mticos (frmulas) para representar tais relaes de interdependncia chama-se Pesquisa operacional.

    Suponha que, em certa empresa de produtos eletrnicos, a organizao da produo seja tal que o custo total C para produzir uma quantidade q de determinado produto seja apresentado pela funo C(q) = q2 1 000q + 800 000 (C em reais, q em unidades do produto).

    a) Determine o nvel de produo (valor de q) que minimiza o custo total C e calcule o valor do custo mnimo.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    102

    b) Represente o grfico de C(q).

    c) Para q = 0, o custo igual a R$ 800 mil. Como pode ser interpretado tal fato?

    d) Qual o nvel de produo que corresponde a um custo de R$ 800 mil?

    e) Do ponto de vista do custo, tanto faz um nvel de produo q = 300 ou um nvel de produo q = 700. E do ponto de vista do rendimento bruto (faturamento da empresa)?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    103

    2. Para delimitar um galinheiro em um amplo quintal, dispe-se de 80 m (lineares) de uma tela. Deseja-se usar completamente a tela disponvel, e a regio cercada deve ser um retngulo. Fi-xado o permetro, so inmeras as possibilidades para os lados do retngulo, como podemos perceber nos exemplos a seguir.

    25 m 23 m

    10 m

    30 m

    15 m 17 m

    A rea A do retngulo uma funo do comprimento de seus lados. Entre todas as possibilidades para os lados, procura-se, naturalmente, aquela que corresponde maior rea possvel para o retngulo.

    x

    40 x

    Dessa forma:

    a) Quais devem ser as medidas dos lados do retngulo para que sua rea seja a maior possvel?

    b) Qual o valor da rea mxima?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    104

    3. Deseja-se murar (cercar com muros) um terreno retangular utilizando-se de uma parede j existente no terreno. Sabe-se que o comprimento do muro que ser construdo para cercar os outros trs lados do terreno dever ter 36 metros de comprimento.

    x

    Parede

    a) Expresse a rea A desse terreno em funo de x (medida de um dos lados do retngulo).

    b) Construa o grfico de A em funo do lado x.

    c) Calcule a rea mxima que o terreno cercado pode ter e suas respectivas dimenses.

    4. Um criador de gado tem um bezerro de determinada raa para vender. Esse bezerro pesa atualmente 200 quilos e engorda 2 quilos por dia. Inicialmente, o criador acha que, quanto mais tempo esperar para vender o bezerro, melhor ser, pois o bezerro ganhar mais peso. Entretanto, um de seus funcionrios lembra o criador de que o preo de venda, que hoje de 50 reais por quilo, est caindo R$ 0,40 por dia. A escolha da melhor data para vender o bezerro depende,

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    105

    ento, de duas variveis: a engorda diria e a queda nos preos pagos por quilo. Com base nas informaes fornecidas, mantida a situao atual, pede-se:

    a) Determine a melhor data para se vender o bezerro, contada a partir de hoje.

    b) Calcule o valor em reais que ser arrecadado em tal venda.

    c) Construa um grfico que represente o valor y a ser arrecadado pelo criador na venda do bezerro (em reais) em funo do tempo x de espera (em dias).

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    106

    d) Determine quantos dias levar para que o total arrecadado pelo criador seja igual a zero.

    5. Um foguete, que lanado de uma base militar, apresenta um defeito em pleno voo e, segundo os clculos, dever cair sobre uma regio habitada. O grfico a seguir representa a trajetria desse foguete, sendo x e y dados em metros. O grfico tambm apresenta a trajetria pratica-mente retilnea de um mssil que foi lanado da mesma base para interceptar o foguete e evitar um possvel desastre. Suponha que a trajetria do mssil seja dada pela funo y = 40x.

    3 600

    y

    60 120

    y = 40x

    x

    a) Com base nos dados do grfico, encontre a sentena que representa a trajetria do foguete.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    107

    b) Calcule a que altura do solo o mssil interceptar o foguete.

    LIO DE CASA

    6. Em determinado pas ocorreu uma epidemia provocada por uma espcie de vrus. Inicialmente, foram detectadas 2 mil pessoas infectadas. A estimativa dos epidemiologistas a de que o nmero N de doentes cresa at o valor mximo L, que dever ocorrer aps seis semanas do aparecimento do vrus, devendo decrescer a partir de ento. Supe-se que a diferena N(t) L seja diretamente proporcional ao quadrado da diferena entre t e 6, ou seja, quando dobra a distncia entre t e 6 (valor que ser o pico da doena), a queda no nmero de infectados torna-se quatro vezes maior:

    N(t) = k(t 6)2 + L (k uma constante)

    Com base nesse modelo, e sabendo que duas semanas aps o incio da epidemia havia 2 100 pessoas infectadas, responda:

    a) Quais so os valores de k e L?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    108

    b) Como ser o grfico de N(t)?

    c) Qual ser o nmero mximo de pessoas infectadas?

    d) Depois de quantas semanas o nmero de infectados cair a zero?

    7. Em certo ambiente, a velocidade V de crescimento de uma populao N , em cada instan-te, diretamente proporcional ao valor de N, e tambm diferena entre um valor limite L, estimado como o mximo admissvel para uma vida sustentvel no ambiente em questo. O valor de N em cada instante corresponde a V = k . N . (L N), sendo k uma constante positiva. Podemos dizer, ento, que a velocidade V uma funo de N, expressa pela fr-mula V = f(N) = k . N . (L N), ou seja, V = f(N) = kN2 + kL . N.

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    109

    Supondo que L = 100 000 habitantes e sabendo que, para N = 10 000, a velocidade de cresci-mento igual a 900 habitantes por ano, responda:

    a) qual o valor da constante k?

    b) para quais valores de N a velocidade de crescimento igual a zero?

    c) para quais valores de N a velocidade de crescimento da populao positiva, ou seja, a populao cresce, e para quais valores de N a velocidade de crescimento negativa, ou seja, a populao decresce?

  • Matemtica 1a srie Volume 1

    110

    d) para qual valor de N a velocidade de crescimento mxima?

    e) qual o grfico de V em funo de N?

    8. Um empresrio possui duas lojas de roupas. Entre os anos de 2000 e 2005, a receita R1 de uma das lojas, em milhares de reais, foi modelada pela funo R1 = 0,7t

    2+ 3,4t + 4, onde t representa o tempo em anos. Durante o mesmo perodo, a receita R2, da segunda loja, em milhares de reais, foi modelada pela funo R2 = 0,8t + 300. Escreva uma funo que representa a receita to-tal das duas lojas, indicada por Rt, verifique se essa receita possui um valor mximo ou mnimo e determine esse valor.

  • CONCEPO E COORDENAO GERALNOVA EDIO 2014-2017

    COORDENADORIA DE GESTO DA EDUCAO BSICA CGEB

    Coordenadora Maria Elizabete da Costa

    Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gesto da Educao Bsica Joo Freitas da Silva

    Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Mdio e Educao Profissional CEFAF Valria Tarantello de Georgel

    Coordenadora Geral do Programa So Paulo faz escolaValria Tarantello de Georgel

    Coordenao Tcnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o

    EQUIPES CURRICULARES

    rea de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Ktia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.

    Educao Fsica: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosngela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

    Lngua Estrangeira Moderna (Ingls e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Slvia Cristina Gomes Nogueira.

    Lngua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Id Moraes dos Santos, Joo Mrio Santana, Ktia Regina Pessoa, Mara Lcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

    rea de Matemtica Matemtica: Carlos Tadeu da Graa Barros, Ivan Castilho, Joo dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de S, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

    rea de Cincias da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

    Cincias: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graa de Jesus Mendes.

    Fsica: Carolina dos Santos Batista, Fbio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade

    Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

    Qumica: Ana Joaquina Simes S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, Joo Batista Santos Junior e Natalina de Ftima Mateus.

    rea de Cincias Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tnia Gonalves e Tenia de Abreu Ferreira.

    Geografia: Andria Cristina Barroso Cardoso, Dbora Regina Aversan e Srgio Luiz Damiati.

    Histria: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

    Sociologia: Alan Vitor Corra, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

    PROFESSORES COORDENADORES DO NCLEO PEDAGGICO

    rea de Linguagens Educao Fsica: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mnica Antonia Cucatto da Silva, Patrcia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

    Lngua Estrangeira Moderna (Ingls): Clia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Edna Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldo, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Ktia Vitorian Gellers, Ldia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tpias, Patrcia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato Jos de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

    Lngua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letcia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Mrcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria Jos de Miranda Nascimento, Maria Mrcia Zamprnio Pedroso, Patrcia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Slvia Regina Peres.

    rea de Matemtica Matemtica: Carlos Alexandre Emdio, Clvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glria, Everaldo Jos Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Ins Chiarelli Dias, Ivan Castilho, Jos Maria Sales Jnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mrio Jos Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de S, Rosana Jorge Monteiro,

    Rosngela Teodoro Gonalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Igns Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

    rea de Cincias da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvrio, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

    Cincias: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Lus Prati.

    Fsica: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, Andr Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simes e Rui Buosi.

    Qumica: Armenak Bolean, Ctia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antnio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Slvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

    rea de Cincias Humanas Filosofia: lex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e Jos Aparecido Vidal.

    Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Clio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Mrcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mnica Estevan, Regina Clia Batista, Rita de Cssia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Librio, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

    Histria: Aparecida de Ftima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin SantAna Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Loureno, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

    Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonalves, Celso Francisco do , Lucila Conceio Pereira e Tnia Fetchir.

    Apoio:Fundao para o Desenvolvimento da Educao - FDE

    CTP, Impresso e acabamentoGr ca e Editora Posigraf

  • A Secretaria da Educao do Estado de So Paulo autoriza a reproduo do contedo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educao do pas, desde que mantida a integri-dade da obra e dos crditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*devero ser diretamente negociados com seus prprios titulares, sob pena de infrao aos artigos da Lei no 9.610/98.

    * Constituem direitos autorais protegidos todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que no estejam em domnio pblico nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

    * Nos Cadernos do Programa So Paulo faz escola so indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos contedos apresentados e como referncias bibliogrficas. Todos esses endereos eletrnicos foram checados. No entanto, como a internet um meio dinmico e sujeito a mudanas, a Secretaria da Educao do Estado de So Paulo no garante que os sites indicados permaneam acessveis ou inalterados.* Os mapas reproduzidos no material so de autoria de terceiros e mantm as caractersticas dos originais, no que diz respeito grafia adotada e incluso e composio dos elementos cartogrficos (escala, legenda e rosa dos ventos).

    Cincias Humanas Coordenador de rea: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Lus Martins e Ren Jos Trentin Silveira.

    Geografia: Angela Corra da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimares, Regina Araujo e Srgio Adas.

    Histria: Paulo Miceli, Diego Lpez Silva, Glaydson Jos da Silva, Mnica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

    Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

    Cincias da Natureza Coordenador de rea: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabola Bovo Mendona, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

    Cincias: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, Joo Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Czar Foschini Lisba, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Mara Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogrio Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordo, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

    Fsica: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Iv Gurgel, Lus Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurcio Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Puri cao Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

    Qumica: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valena de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidio.

    Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

    GESTO DO PROCESSO DE PRODUO EDITORIAL 2014-2017

    FUNDAO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

    Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

    Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

    GESTO DE TECNOLOGIAS APLICADAS EDUCAO

    Direo da rea Guilherme Ary Plonski

    Coordenao Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

    Gesto Editorial Denise Blanes

    Equipe de Produo

    Editorial: Amarilis L. Maciel, Anglica dos Santos Angelo, Bris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cntia Leito, Eloiza Lopes, rika Domingues do Nascimento, Flvia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Cmara, Leslie Sandes, Main Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natlia S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpo Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

    Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, rica Marques, Jos Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhes de Alencastro e Vanessa Leite Rios.

    Edio e Produo editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Gr co e Occy Design projeto gr co .

    CONCEPO DO PROGRAMA E ELABORAO DOS CONTEDOS ORIGINAIS

    COORDENAO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEDOS PROGRAMTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

    CONCEPO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Ins Fini coordenadora e Ruy Berger em memria .

    AUTORES

    Linguagens Coordenador de rea: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

    Educao Fsica: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Srgio Roberto Silveira.

    LEM Ingls: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lvia de Arajo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

    LEM Espanhol: Ana Maria Lpez Ramrez, Isabel Gretel Mara Eres Fernndez, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia Gonzlez.

    Lngua Portuguesa: Alice Vieira, Dbora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, Jos Lus Marques Lpez Landeira e Joo Henrique Nogueira Mateos.

    Matemtica Coordenador de rea: Nlson Jos Machado. Matemtica: Nlson Jos Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, Jos Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moiss, Rogrio Ferreira da Fonseca, Ruy Csar Pietropaolo e Walter Spinelli.

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