bol¨ um 1¨ integralin uygulamaları -...

Bolum 1

Integralin Uygulamaları

1.1 Alan

f ve g, [a, b] aralıgındaki her x icin f(x) ≥ g(x) esitsizligini saglayan surekli fonksiyonlar olmak uzere y = f(x),y = g(x) egrileri, x = a ve x = b dusey dogruları arasındaki S bolgesini dusunelim.

S bolgesinin A alanı

A =

b∫a

(f(x)− g(x)

)dx (1.1)

olarak tanımlanır.g(x) = 0 ozel durumunda S, f nin grafiginin altında kalan bolge olur.

f ve g nin pozitif oldugu durumda, (1.1) nin neden dogru oldugunu sekilden gorebilirsiniz.

1

2 BOLUM 1. INTEGRALIN UYGULAMALARI

S =(y = f(x) in altında kalan alan

)−(y = g(x) in altında kalan alan

)=

b∫a

f(x) dx−b∫a

g(x) dx =

b∫a

(f(x)− g(x)

)dx

Ustten y = ex, alttan y = x ve kenarlardan x = 0 ve x = 1 ile sınırlı olan bolgenin alanını hesaplayınız.

Ornek 1.

Cozum: Bolge, Sekil 1.1 de gosterilmistir.

Sekil 1.1:

Ust sınır egrisi y = ex ve alt sınır egrisi y = x dir. Dolayısıyla, (1.1) deki formulde f(x) = ex, g(x) = x, a = 0,ve b = 1 kullanırız:

A =

1∫0

(ex − x) dx = ex − 1

2x2]10

= e− 1

2− 1 = e− 1.5

1.1. ALAN 3

y = 2x− x2 ve y = x2 parabolleriyle sınırlı olan bolgenin alanını bulunuz.

Ornek 2.

Cozum: Once verilen denklemleri ortak cozerek, parabollerin kesistikleri noktaları buluruz. Bu durumda,x2 = 2x − x2 veya 2x2 − 2x = 0 elde ederiz. Boylece, 2x(x − 1) = 0 ve dolayısıyla x = 0 veya x = 1buluruz. Kesisim noktaları (0, 0) ve (1, 1) dir.

Sekil 1.2:

Sekil 1.2 de gordugumuz gibi ust ve alt sınırlar

yust = 2x− x2 ve yalt = x2

dir. Dolayısıyla toplam alan

A =

1∫0

(2x− 2x2) dx = 2

1∫0

(x− x2) dx

= 2

[x2

2− x3

3

]10

= 2

(1

2− 1

3

)=

1

3

olur.


Bazı bolgelerle calısmak icin, x degiskenini y nin fonksiyonu olarak dusunmek gerekir. f ve g surekli ve herc ≤ y ≤ d icin f(y) ≥ g(y) olmak uzere, x = f(y), x = g(y), y = c ve y = d denklemleriyle sınırlı olan bolgeninalanı

A =

d∫c

(f(y)− g(y)

)dy

olur.

y = x− 1 dogrusu ve y2 = 2x+ 6 paraboluyle sınırlı olan bolgenin alanını bulunuz.

Ornek 3.

Cozum: Iki denklemi ortak cozersek, kesisim noktalarını (−1,−2) ve (5, 4) olarak buluruz.

Sekil 1.3:

Parabolun denklemini x icin cozeriz ve Sekil 1.3 den sag ve sol sınır egrilerini

xsol =1

2y2 − 3 ve xsag = y + 1

1.1. ALAN 5

olarak buluruz. Integrali, uygun y degerleri y = −2 ve y = 4 arasında hesaplamalıyız. Boylece

A =

4∫−2

(xsag − xsol) dy

=

4∫−2

[(y + 1)− (

1

2y2 − 3)

]dy =

4∫−2

(−1

2y2 + y + 4

)dy

= −1

2

(y3

3

)+y2

2+ 4y

]4−2

= −1

6(64) + 8 + 16− (

4

3+ 2− 8) = 18

olarak buluruz.

Sekil 1.4:

Ornekteki alanı, y yerine x e gore integral alarak da bulabilirdik ama bu durumda hesaplamalar daha karmasıkolurdu. Bolgeyi Sekil 1.4 de goruldugu gibi,A1 veA2 diye ikiye ayırmamız gerekirdi. Ornekte kullandıgımız yontem,cok daha basit.

1.1.1 Parametrik egrilerin Sınırladıgı Alanlar

F (x) ≥ 0 oldugu zaman, a dan b ye y = F (x) egrisinin altında kalan alanın A =

b∫a

F (x) dx oldugunu biliyoruz.

Eger egrix = f(t), y = g(t), α ≤ t ≤ β

parametrik denklemleriyle tanımlanmıssa, o zaman Belirli Integraller Icin Yerine Koyma Kuralı’nı kullanarak, alanformulunu soyle hesaplayabiliriz:

A =

b∫a

y dx =

β∫α

g(t) f ′(t) dt

ya da

α∫β

g(t) f ′(t) dt


x = r(θ − sin θ) y = r(1− cos θ)sikliodinin bir yayının altında kalan alanı bulunuz. (Bkz. Sekil 1.5)

Ornek 4.

Sekil 1.5:

Proof. Cozum: Sikliodin bir yayı, 0 ≤ θ ≤ 2π degerleriyle elde edilir. y = r(1− cos θ) ve dx = r(1− cos θ) dθ ileYerine Kouma Kuralı’nı kullanırsak,

A =

2π∫0

y dx =

2π∫0

r(1− cos θ)r(1− cos θ) dθ

= r22π∫0

(1− cos θ)2dθ = r22π∫0

(1− 2 cos θ + cos2 θ)dθ

= r22π∫0

[1− 2 cos θ +

1

2(1 + cos 2θ)

]dθ

= r2[3

2θ − 2 sin θ +

1

4sin 2θ

]2π0

= r2(3

2· 2π

)= 3πr2

olarak buluruz.

1.1. ALAN 7

AlıstırmalarAsagıda verilen grafiklerdeki taralı bolgelerin alanlarını hesaplayınız.


1.2 Hacimler

S yi bir duzlemle kesip, S nin kesiti dedigimiz duzlemsel bolgeyi elde ederek baslayacagız. a ≤ x ≤ b olmak uzere,x-eksenine dik ve x noktasından gecen Px duzlemindeki S nin kesitinin alanı A(x) olsun. (Bkz. Sekil 1.6. S yi xten gecen bir bıcakla dilimledigimizi ve bu dilimin alanını hesapladıgımız dusununuz.) x, a dan b ye arttıkca, kesitinalanı A(x) degisecektir.

Sekil 1.6:

S, x = a ve x = b arasında uzanan bir cisim olsun. A surekli bir fonksiyon olmak uzere, x den gecen vex-eksenine dik olan Px duzlemindeki S nin kesitinin alanı A(x) ise, o zaman S nin hacmi

V =

b∫a

A(x) dx

olarak tanımlanır.

V =b∫aA(x) dx formulunu kullandıgımız zaman hatırlamamız gereken onemli nokta, A(x) in, x den

gecen ve x-eksenine dik dilimlemeyle elde edilen kesitin alanı olmasıdır.

Tanım 1.

Yarıcapı r olan bir kurenin hacminin

V =4

3πr3

oldugunu gosteriniz.

Ornek 5.

Cozum: Kureyi, merkezi baslangıc noktasında olacak sekilde yerlestirirsek (bkz. Sekil 1.7), Px duzlemiyle kureninkesisimi, yarıcapı y =

√r2 − x2 olan bir cember olur (Pisagor Teoremi’nden).

Dolayısıyla, bu kesitin alanıA(x) = πy2 = π(r2 − x2)

1.2. HACIMLER 9

Sekil 1.7:

olur. a = −r ve b = r alarak hacim tanımını kullanırsak

V =

∫ r

−rA(x) dx =

∫ r

−rπ(r2 − x2) dx

= 2π

∫ r

0(r2 − x2) dx

= 2π

[r2x− x3

3

]r0

= 2π

(r3 − r3

3

)=

4

3πr3

y =√x egrisi, x-ekseni ve x = 1 dogrusuyla sınırlanan bolgeyi x-ekseni cevresinde dondurmekle elde

edilen cismin hacmini bulunuz.

Ornek 6.

Sekil 1.8:


Sekil 1.9:

Cozum: Bolge, Sekil 1.8 da gosterilmistir.Eger x-ekseni cevresinde dondurulurse, Sekil 1.9 deki cismi elde ederiz.x den gecen kesit, yarıcapı

√x olan bir cemberdir. Bu kesitin alanı

A(x) = π(√x)2 = πx

olur. Bu cisim x = 0 ile x = 1 arasındadır. Dolayısıyla hacmi

V =

∫ 1

0A(x) dx =

∫ 1

0πx dx = π

x2

2

]10

=π

2

y = x3, y = 8 ve x = 0 ile sınırlı olan bolgeyi y-ekseni cevresinde dondurerek elde edilen cismin hacminibulunuz.

Ornek 7.

Sekil 1.10:

Cozum: Bolge, Sekil 1.10 de, cisim ise Sekil 1.11 de gosterilmistir. Bolge y-ekseni cevresinde donduruldugu iciny-eksenine dik bicimde dilimlemek ve integrali y ye gore almak daha mantıklı olur. y yuksekligindeki kesit, yarıcapıx olan cembersel bir disktir. x = 3

√y oldugu icin, y den gecen kesitin alanı

A(y) = πx2 = π( 3√y)2 = πy2/3

1.2. HACIMLER 11

Sekil 1.11:

Cisim, y = 0 ve y = 8 arasında kaldıgı icin hacmi

V =

∫ 8

0A(y) dy =

∫ 8

0πy2/3 dy

= π

[3

5y5/3

]80

=96π

5

olarak bulunur.

y = x ve y = x2 egrileriyle cevrili olan R bolgesi, x-ekseni cevresinde dondurulmustur. Olusan cisminhacmini bulunuz.

Ornek 8.


Sekil 1.12:

Cozum: y = x ve y = x2 egrileri, (0, 0) ve (1, 1) noktalarında kesisir. Aralarındaki bolge, donel cisim ve x-ekseninedik olan kesit Sekil 1.12 de gosterilmistir. Px duzlemindeki kesit, ic yarıcapı x2 ve dıs yarıcapı x olan bir halkaseklindedir. Dolayısıyla, alanını bulmak icin buyuk cemberin alanından kucuk cemberin alanını cıkarırız.

A(x) = πx2 − π(x2)2 = π(x2 − x4)

Bu durumda,

V =

∫ 1

0A(x) dx =

∫ 1

0π(x2 − x4) dx

= π

[x3

3− x5

5

]10

=2π

15

elde ederiz.

1.3 Yay Uzunlugu

Parametrik denklemleri x = f(t), y = g(t), a 6 t 6 b, olan bir duzgun egri, t parametresi a degerinden bdegerine dogru artarken tam olarak bir kez izleniyorsa, o zaman bu egrinin uzunlugu

L =

∫ b

a

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

dt dir. (1.2)

Tanım 2.

1.3. YAY UZUNLUGU 13

x = t2, y = t3 egrisinin (1, 1) ve (4, 8) noktaları arasındaki yayının uzunlugunu bulunuz. Bkz Sekil 1.13

Ornek 9.

Sekil 1.13:

Cozum: 1 6 t 6 2 degerlerinin, egrinin (1, 1) ve (4, 8) noktaları arasındaki parcasını verdigini x = t2 ve y = t3

denklemlerinden goruyoruz. Dolayısıyla, yay uzunlugu formulu

L =

∫ 2

1

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

dt =

∫ 2

1

√(2t)2 + (3t2)2 dt

=

∫ 2

1

√4t2 + 9t4 dt

=

∫ 2

1t√

4 + 9t2 dt

=

∫ 2

1t√

4 + 9t2 dt

u = 4 + 9t2 degisken degisikligini yaparsak, du = 18t dt olur. t = 1 oldugunda u = 13; t = 2 oldugunda u = 40dır. Boylece

L =1

18

∫ 40

13

√u du =

1

18· 23u3/2

]4013

=1

27

[403/2 − 133/2

]=

1

27

(80√10− 13

√13)

buluruz.


Elimizdeki egri y = f(x), a 6 x 6 b denklemleriyle verilmisse, x degiskenini parametre olarak alabili-riz. O zaman parametrik denklemler x = x, y = f(x) olur ve denklem 1.2

L =

∫ b

a

√1 +

(dy

dx

)2

dx (1.2)

bicimin alır.

Kural 1.

xy = 1 hiperbolunun (1, 1) noktasından (2, 1/2) noktasına kadar olan parcasının uzunlugunu yaklasıkolarak hesaplayınız.

Ornek 10.

Cozum: Elimizde

y =1

x

dy

dx= − 1

x2

oldugu icin formul (1) den uzunlugu

L =

∫ 2

1

√1 +

dy

dxdx =

∫ 2

1

√1 +

1

x4dx ∼= 1.1321

olarak elde ederiz.

Benzer bicimde bir egrinin denklemi x = f(y), a 6 y 6 b ise, y degiskenini parametre olarak alabiliriz.O zaman parametrik denklemler x = f(y), y = y olur ve uzunluk

L =

∫ b

a

√(dx

dy

)2

+ 1 dy (1.3)

olur.

Kural 2.

Formul (1.2),(1) ve (1.3) teki karekokten oturu, yay uzunlugu hesabında ortaya cıkan integrali kesin olarak hesaplamakcogu zaman cok zordur veya olanaksızdır.

y2 = x parabolunun (0, 0) noktasından (1, 1) noktasına kadar olan yayının uzunlugunu bulunuz.

Ornek 11.

Cozum: x = y2 oldugu icin dxdy = 2y olur ve formul (1.3)

L =

∫ 1

0

√(dx

dy

)2

+ 1 dy =

∫ 1

0

√4y2 + 1 dy ∼= 1.478943

verir.

1.4. BIR FONKSIYONUN ORTALAMA DEGERI 15

x = r(θ − sin θ), y = r(1− cos θ) sikloidinin bir yayının uzunlugunu bulunuz.

Ornek 12.

Sekil 1.14:

Proof. Cozum: Cozum: Bir yayı 0 6 θ 6 2π parametre aralıgıyla elde edildigini daha once gormustuk.

dx

dθ= r(1− cos θ) ve

dy

dθ= r sin θ

oldugu icin

L =

∫ 2π

0

√(dx

dθ

)2

+

(dy

dθ

)2

dθ

=

∫ 2π

0

√r2(1− cos θ)2 + r2 sin2 θ dθ

=

∫ 2π

0

√r2(1− 2 cos θ + cos2 θ + sin2 θ) dθ

= r

∫ 2π

0

√2(1− cos θ) dθ = 8r.

1.4 Bir Fonksiyonun Ortalama Degeri

Sonlu sayıda y1, y2, · · · , yn sayılarının ortalama degerini hesaplamak cok kolaydır:

yort =y1 + y2 + · · ·+ yn

n

Ancak, sonsuz tane sıcaklık olcumunun olanaklı oldugu bir durumda bir gunun ortalama sıcaklıgını nasıl hesaplay-acagız?


Bir sıcaklık fonksiyonu T (t) nin grafigi ve ortalama sıcaklık Tort icin bir tahmin sekil 1.15 de verilmistir.

Sekil 1.15:

Burada t saat cinsinden T ◦C cinsinden olculmustur. T (t) fonksiyonu t anındaki sıcaklıgı gosteriyorsa, sıcaklıgınortalama sıcaklıga esit oldugu belirli bir an olup olmadıgını merak edebiliriz. Sekil 1.15 deki sıcaklık fonksiyonuicin boyle iki an oldugunu goruyoruz.Genel olarak, bir f fonksiyonunun degerini tam olarak o fonksiyonun ortalamadegerine esit oldugu, yani f(c) = fort oldugu bir c sayısı varmıdır.

f, [a, b] aralıgında surekli bir fonksiyon ise [a, b] aralıgında

f(c) = fort =1

b− a

∫ b

af(x) dx

esitligini yani ∫ b

af(x) dx = f(c)(b− a)

esitligini saglayan bir c sayısı vardır.

Theorem 1 (Integraller icin Ortalama Deger Teoremi).

Ornegin f(x) = 1 + x2 fonksiyonu [−1, 2] aralıgında surekli oldugu icin, integraller icin ortalama deger teoreminegore, [−1, 2] aralıgında ∫ 2

−1(1 + x2) dx = f(c)[2− (−1)]

esitligini saglayan bir c sayısı vardır. Bu ozel durumda, c sayısını kesin olarak bulabiliriz.[x+

x3

3

]2−1

= 3f(c)

esitliginden f(c) = fort = 2 bulunur. Dolayısıyla 1 + c2 = 2 oldugundan c = ±1 olarak bulunur.

1.4. BIR FONKSIYONUN ORTALAMA DEGERI 17

Bir cismin hızı asagıdaki parametrik denklemle verilmistir.(t zaman)

x = t, y = t3/2

Harekete baslayıp 4sn hareket ederse, bu sure icerisindeki ortalama hızı nedir?

Ornek 13.

Cozum: Ortalama hız1

b− a

∫ b

ay dx

formuluyle bulunabilir. Parametrik denklem kullanılırsa x = t⇒ dx = dt

Vort =1

4− 0

∫ 4

0t3/2 dt =

1

4

(t5/2

5/2

∣∣∣40

)= 16/5

bol¨ um 1¨ integralin uygulamaları -...

Documents