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RACIOCÍNIO LÓGICO EM EXERCÍCIOS P/ O BNDES

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

1www.pontodosconcursos.com.br

Olá pessoal!

Saiu o edital de mais um concurso do BNDES. Desta vez, para o cargo de Engenheiro. A banca organizadora é a Fundação CESGRANRIO e as provas serão realizadas no dia 27/03/2011.

Meu nome é Guilherme Neves. Sou matemático e comecei a lecionar em cursos preparatórios para concursos aos 17 anos de idade, antes mesmo de iniciar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE. Minha vida como professor sempre esteve conectada com os concursos públicos nas matérias de índole matemática (matemática financeira, estatística e raciocínio lógico). Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial – Editora Campus-Elsevier.

Esta é a aula demonstrativa de Raciocínio Lógico em exercícios. Fiz uma grande seleção de provas de Raciocínio Lógico da CESGRANRIO dos anos 2007 – 2010. Este curso será composto por 4 aulas, além desta que é demonstrativa.

O edital não especifica quais são os “assuntos” de Raciocínio Lógico. Eles colocaram simplesmente assim: “Raciocínio Lógico”. Desta forma, abordaremos neste assunto tudo que poderá cair na sua prova, tendo como base as provas passadas da CESGRANRIO.

Esta aula dará apenas um “gostinho” de como será o nosso curso. Para tal efeito, escolhi a prova de Raciocínio Lógico do concurso do PROMINP, realizado em 2010 pela CESGRANRIO.

No final de todas as aulas, disponibilizo a lista de questões comentadas com os seus respectivos gabaritos. Como este é um curso de exercícios, acho muito interessante que você tente resolver as questões antes de estudar as minhas resoluções.

Sem mais delongas, vamos começar!

1. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Juca saiu de sua casa com 39 bolinhas de gude no bolso e foi andando para a casa do seu amigo, Pedro. Infelizmente, um furo no bolso fez com que Juca perdesse algumas bolinhas durante a caminhada. Ao chegar à casa de Pedro, Juca descobriu que seu amigo já possuía 15 bolinhas. Juca resolveu dar 8 das suas bolinhas para Pedro, de forma que ambos acabaram ficando com a mesma quantidade. A quantidade de bolinhas que Juca perdeu é um múltiplo de (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

Resolução

Vamos considerar que Juca perdeu bolinhas de gude. Como ele possuía 39 bolinhas de gude, então ficou com 39 bolas de gude.

Juca foi para a casa de Pedro e descobriu que este já possuía 15 bolinhas. Em seguida, Juca deu 8 bolinhas para Pedro.




Juca que possuía 39 bolas, ficou com 39 8 31 bolas (ele perdeu 8 bolinhas).

Pedro que possuía 15 bolinhas, ficou com 15 8 23 bolinhas.

Como ambos ficaram com a mesma quantidade de bolinhas, então:

31 23

8

Concluímos que Juca perdeu 8 bolinhas no caminho para a casa de Pedro. O gabarito é a letra B porque 8 é múltiplo de 4.

2. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) A média aritmética de 4 números é obtida somando-se os 4 números e dividindo-se essa soma por 4. Se acrescentarmos uma unidade a cada um desses quatro números, a média aritmética aumentará de quantas unidades? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Resolução

Há uma propriedade muito interessante sobre a média aritmética.

Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.

Esta propriedade é muito fácil de ser exemplificada. Imagine que a média das idades de 10 amigos é igual a 14 anos.

Daqui a 1 ano, a média será igual a 15 anos, pois cada um dos amigos ganhou 1 ano.

Daqui a 2 anos, a média será igual a 16 anos, pois cada um dos amigos ganhou 2 anos.

Daqui a 3 anos, a média será igual a 17 anos, pois cada um dos amigos ganhou 3 anos.

Vejamos outro exemplo: A média salarial dos funcionários de uma empresa é de R$ 1.200,00. O dono da empresa propôs um aumento de R$ 400,00 para TODOS os funcionários da empresa. Desta maneira, a nova média dos salários será de R$ 1.200,00 + R$ 400,00 = R$ 1.600,00.

Voltemos para o nosso problema.

A média aritmética de 4 números é obtida somando-se os 4 números e dividindo-se essa soma por 4. Se acrescentarmos uma unidade a cada um desses quatro números, a média aritmética aumentará de quantas unidades?




Ao acrescentar uma unidade a cada um dos 4 números, a média aritmética aumentará uma unidade (aplicação da propriedade).

Letra A

Se você não soubesse esta propriedade, há ainda duas maneiras de resolver esta questão:

i) Atribuindo valores

Vamos considerar os números 1, 2, 3 4.

A média desses números é igual a:

1 2 3 44

104

2,5

Vamos acrescentar uma unidade a cada um dos 4 números. Ficamos com 2, 3, 4 5.

A nova média será igual a:

2 3 4 54

14

A média antiga era 2,5 e a nova é 3,5. Portanto, a média aumentou em uma unidade.

4 3,5

ii) Algebricamente

Vamos considerar os números , , , .

A média aritmética desses números é igual a:

4

Acrescentando uma unidade a cada um desses números, ficamos com 1, 1, 1, 1.

A nova média será igual a:

1 1 1 14

44

4

4 4

4 1

Que é igual a média aritmética antiga acrescida de uma unidade.

Letra A

3. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) A negação da proposição “x é positivo e y é ímpar” é (A) x é negativo e y é par. (B) x é negativo ou y é par. (C) x é negativo ou y não é ímpar. (D) x não é positivo e y é par. (E) x não é positivo ou y é par.




Resolução

É importante saber a negação das seguintes proposições compostas básicas.

Afirmação Negação

p q ∧ Negue as duas proposições e troque o conectivo “e” pelo conectivo “ou”

p q ∨ Negue as duas proposições e troque o conectivo “ou” pelo conectivo “e”

p q → Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo “e” e negue o

consequente.

As fórmulas de negação do conectivo “e” e do conectivo “ou” são comumente denominadas “Leis de De Morgan”.

Alguns alunos se mostram especialistas em construir processos mnemônicos. Um dos processos que aprendemos com esses mestres foi como distinguir os símbolos ∨ e ∧. Basta colocar uma letra O ao lado dos símbolos. Observe:

O∨ / O∧ Em qual das duas situações você consegue ler “OU”? Na “palavra da esquerda! Portanto, aquele símbolo é o “ou”. Consequentemente o outro é o “e”. Outro processo mnemônico consiste em colocar um “pontinho” em cima do símbolo. Vejamos:

Em qual das duas situações você consegue ver a letra cursiva “i”? No símbolo da direita! Portanto, aquele símbolo é o “e” (mesmo fonema do “i”).

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1: Conjunção qpqp ~~)(~ ∨⇔∧

Afirmação: Vou ao cinema e vou ao teatro.

Negação: Não vou ao cinema ou não vou ao teatro.

Exemplo 2: Disjunção qpqp ~~)(~ ∧⇔∨

Afirmação: Eu te ensino Lógica ou meu nome não é Guilherme.




Negação: Não te ensino Lógica e meu nome é Guilherme.

Exemplo 3: Condicional ~ ( ) ~p q p q→ ⇔ ∧

Afirmação: Se bebo, então não dirijo.

Negação: Bebo e dirijo.

Queremos negar a proposição composta “x é positivo e y é ímpar”. De acordo com a Lei de De Morgan, devemos negar as duas proposições simples componentes e trocar o conectivo por “ou”. Desta forma, a negação pedida é:

Esta é a negação RIGOROSAMENTE correta.

ã é ã é í

O gabarito oficial da CESGRANRIO foi a alternativa E, onde ele trocou a expressão ã é í por é .

Na verdade, esta é a alternativa menos errada. Isto porque se um número não é ímpar, não podemos garantir que ele seja par. Por exemplo, o número √2 1,4142135 … não é par e também não é ímpar.

Poderíamos aceitar a alternativa E, se o enunciado mandasse considerar e como números inteiros.

Minha opinião: SEM RESPOSTA

Gabarito oficial: Letra E

4. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Uma pesquisa foi feita em uma sala de aula para saber qual a utilização do jornal impresso e da TV na obtenção de notícias. Na figura abaixo, o retângulo representa a sala. O círculo da esquerda representa as pessoas dessa sala que se informam através do jornal impresso. O círculo da direita representa as pessoas dessa sala que se informam através da TV.




Nesse contexto, analise as afirmativas abaixo sobre as regiões assinaladas na figura. I - A região P corresponde às pessoas dessa sala que, para se informar, utilizam o jornal impresso, mas não utilizam a TV. II - A região Q corresponde às pessoas dessa sala que, para se informar, utilizam o jornal impresso e a TV. III - A região R corresponde às pessoas dessa sala que, para se informar, utilizam ou a TV ou o jornal impresso. Está correto APENAS o que se afirma em (A) I. (B) II. (C) III. (D) I e II. (E) II e III.

Resolução

O item I está perfeitamente correto, pois a região P corresponde às pessoas que utilizam EXCLUSIVAMENTE o jornal impresso para se informar.

O item II também está correto, pois corresponde à interseção dos dois conjuntos dados.

O item III está errado, pois a região R corresponde às pessoas que utilizam EXCLUSIVAMENTE a TV para se informar.

Letra D

(PROMINP 2010/CESGRANRIO) Utilize as Informações abaixo para resolver as questões de nos 5 a 7. Proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada, unicamente, como VERDADEIRA ou FALSA. Proposições compostas são sentenças formadas por proposições simples relacionadas por conectivos. Se p e q são proposições simples, então ~p e ~q são, respectivamente, as suas negações. Os conectivos e e ou são representados, respectivamente, por � e �. A condicional (implicação) também é um conectivo e é representada por →.

5. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Assinale a alternativa que apresenta uma proposição composta cujo valor lógico é verdadeiro.




(A) (B)

4² 2 3 9

(C) 2 3 6 21 é prim

(D) 7 7 1 2

(E) 3² 8 1 23 2 1 4 3

Resolução

Para facilitar o processo mnemônico, podemos memorizar as regras que tornam as compostas verdadeiras.

Conjunção qp ∧ As duas proposições p, q devem ser verdadeiras

Disjunção qp ∨ Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas.

Condicional qp → Não pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem.

Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

(A) 4² 2 3 9

4² 2 e 3 916 16 e 9 9

V e F

Temos uma proposição composta pelo conectivo “e”. Para que a proposição composta fosse verdadeira, precisaríamos que os dois componentes fossem verdadeiros. Como isto não aconteceu, concluímos que a proposição composta é falsa.

(B) 2 3 6 21 é prim

2 3 6 ou 21 é prim5 6 ou 21 é primo

F ou F

Observe que 21 não é primo porque ele é múltiplo de 3 e de 7.




Bom, temos uma proposição composta pelo conectivo “ou”. Para que a proposição composta fosse verdadeira, precisaríamos que PELO MENOS um dos componentes fosse verdadeiro. Como isto não aconteceu, concluímos que a proposição composta é falsa.

(C) 7 7 1 2

7 7 1 2V F

Há um único caso em que a proposição composta pelo conectivo “se..., então...” é falso: quando o antecedente (a primeira proposição) é verdadeiro e o consequente (a segunda proposição) é falso.

É justamente isso que está acontecendo. Concluímos que a proposição dada é falsa.

(D) 3² 8 1 2

3² 8 1 29 8 1 2

F F

Há um único caso em que a proposição composta pelo conectivo “se..., então...” é falso: quando o antecedente (a primeira proposição) é verdadeiro e o consequente (a segunda proposição) é falso. Como isto não aconteceu, a proposição dada é VERDADEIRA.

Gabarito: D

(E) 3 2 1 4 3

3 2 1 4 31 1 4 3

V F

Há um único caso em que a proposição composta pelo conectivo “se..., então...” é falso: quando o antecedente (a primeira proposição) é verdadeiro e o consequente (a segunda proposição) é falso.

É justamente isso que está acontecendo. Concluímos que a proposição dada é falsa.

6. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) A negação de ~ é

(A) (B) ~ (C)




(D) ~(E)

Resolução

Coloquei um resuminho das negações das proposições básicas na questão 3. Lá, aprendemos como negar uma proposição composta pelo conectivo “se..., então...”.

p q → Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo “e” e negue o

consequente.

O passo a passo é este: afirmamos o antecedente, ou seja, a primeira proposição.

Negamos o consequente, ou seja, a segunda proposição.

Trocamos o conectivo condicional pelo conectivo “e”.

A proposição dada é ~ .

Devemos afirmar a primeira proposição : ficamos com .

Devemos negar a segunda proposição ~ :ficamos com .

Trocamos o conectivo por “e”.

Portanto, a negação pedida é .

Letra E

7. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Assinale a alternativa que apresenta uma proposição logicamente equivalente a ~ .

(A) (B) ~(C) ~(D) ~ (E)

Resolução

~ ~

Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se possuem a mesma tabela de valorações (tabela-verdade).

Numa linguagem coloquial, podemos dizer que duas proposições são equivalentes quando dizem “a mesma coisa, de formas diferentes”.

Quando p é equivalente a q escrevemos p q⇔ .




Há algumas equivalências notáveis que são muito cobradas em concursos. Vamos enunciar as equivalências e aplicá-las.

Teorema: As proposições p q→ , ~ ~q p → e ~ p q∨ são logicamente equivalentes.

Em uma linguagem informal, poderíamos construir o seguinte algoritmo para construir essas proposições equivalentes notáveis, dada a proposição condicional p q→ .

~ ~q p → Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo “se...,então”

~ p q ∨ Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por “ou”.

Por exemplo, dada a proposição “Se bebo, então não dirijo”, temos que as seguintes proposições são equivalentes a ela:

i) Se dirijo, então não bebo.

ii) Não bebo ou não dirijo.

O problema forneceu uma proposição composta pelo “se..., então...”.

~

Ele pede uma proposição equivalente à proposição dada. Dando uma olhadinha nas alternativas, percebemos que a proposição equivalente pedida deve possuir o conectivo “se...,então...”.

Utilizaremos a primeira linha da tabela.

Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo “se...,então”

O antecedente é ~ . Ao negá-lo, ficamos com .

O consequente é . Ao negá-lo, ficamos com ~ .

Devemos agora trocar a ordem e colocar o conectivo “se...,então...”.




~

Letra D

8. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) 7 canetas foram distribuídas em 3 gavetas que estavam anteriormente vazias. Com base nessas informações conclui-se que (A) nenhuma gaveta ficou vazia. (B) em alguma gaveta há mais do que 3 canetas. (C) em alguma gaveta há mais do que 2 canetas. (D) em alguma gaveta há exatamente 3 canetas. (E) em alguma gaveta há exatamente 2 canetas.

Resolução

A alternativa A é obviamente falsa, porque poderíamos colocar as 7 canetas na mesma gaveta. Ficaríamos com 2 gavetas vazias.

A alternativa B é falsa, pois poderíamos colocar 3 canetas na primeira gaveta e 2 canetas nas gavetas restantes.

A alternativa C é verdadeira. Não há como distribuir as 7 canetas nas 3 gavetas, sem colocar pelo menos 3 canetas em uma mesma gaveta.

A alternativa D é falsa, pois poderíamos colocar as 7 canetas na mesma gaveta.

A alternativa E é falsa, pois poderíamos colocar as 7 canetas na mesma gaveta.

Gabarito: C

9. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Considere verdadeira a seguinte afirmação: “Todas as mulheres casadas gostam de viajar.” Com base na afirmação acima, conclui-se que (A) Alice gosta de viajar. (B) se uma mulher é solteira, então gosta de viajar. (C) Maria, que é solteira, não gosta de viajar. (D) Murilo não gosta de viajar. (E) a esposa de Murilo gosta de viajar.

Resolução

O enunciado afirma que “Todas as mulheres casadas gostam de viajar”.

Não sabemos a situação de Alice, então não podemos afirmar se ela viaja ou não.

Sobre as mulheres solteiras (alternativas B e C) nada podemos afirmar.

Murilo pode gostar de viajar ou não. Ele não é uma mulher casada, portanto, nada podemos afirmar sobre ele.

A única alternativa verdadeira é a letra E, já que a esposa de Murilo é casada (com Murilo), então ela gosta de viajar.

Gabarito: E




10. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Para votar é necessário ter título de eleitor e ser maior de 16 anos. Pessoas que tenham mais de 16 anos e menos do que 18 anos podem votar, mas não são obrigadas, ou seja, o voto para elas é facultativo. A partir do dia em que se completam 18 anos, o voto passa ser obrigatório. Uma pesquisa acerca da idade foi feita com 40 pessoas portadoras de título de eleitor próprio. A distribuição por faixa de idades é apresentada no gráfico abaixo.

Com base no gráfico, conclui-se que APENAS (A) 75% dos entrevistados podem votar. (B) 75% dos entrevistados são obrigados a votar. (C) 30% dos entrevistados são obrigados a votar. (D) 25% dos entrevistados não podem votar. (E) 10% dos entrevistados não são obrigados a votar.

Resolução

Como todos os entrevistados possuem o título de eleitor e possuem mais de 16 anos, então todos eles podem votar.

São obrigados a votar todos aqueles que têm 18 anos ou mais.




O total de pessoas que têm 18 anos ou mais, de acordo com o gráfico, é igual a 12 18 30.

Como o total de pessoas entrevistadas é 40, então, em termos percentuais, são obrigados a votar:

3040

0,75 75%

Letra B

Relação das questões comentadas

1. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Juca saiu de sua casa com 39 bolinhas de gude no bolso e foi andando para a casa do seu amigo, Pedro. Infelizmente, um furo no bolso fez com que Juca perdesse algumas bolinhas durante a caminhada. Ao chegar à casa de Pedro, Juca descobriu que seu amigo já possuía 15 bolinhas. Juca resolveu dar 8 das suas bolinhas para Pedro, de forma que ambos acabaram ficando com a mesma quantidade. A quantidade de bolinhas que Juca perdeu é um múltiplo de (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

2. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) A média aritmética de 4 números é obtida somando-se os 4 números e dividindo-se essa soma por 4. Se acrescentarmos uma unidade a cada um desses quatro números, a média aritmética aumentará de quantas unidades? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

3. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) A negação da proposição “x é positivo e y é ímpar” é (A) x é negativo e y é par. (B) x é negativo ou y é par. (C) x é negativo ou y não é ímpar. (D) x não é positivo e y é par. (E) x não é positivo ou y é par.

4. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Uma pesquisa foi feita em uma sala de aula para saber qual a utilização do jornal impresso e da TV na obtenção de notícias. Na figura abaixo, o retângulo representa a sala. O círculo da esquerda representa as pessoas dessa sala que se informam através do jornal impresso. O círculo da direita representa as pessoas dessa sala que se informam através da TV.




Nesse contexto, analise as afirmativas abaixo sobre as regiões assinaladas na figura. I - A região P corresponde às pessoas dessa sala que, para se informar, utilizam o jornal impresso, mas não utilizam a TV. II - A região Q corresponde às pessoas dessa sala que, para se informar, utilizam o jornal impresso e a TV. III - A região R corresponde às pessoas dessa sala que, para se informar, utilizam ou a TV ou o jornal impresso. Está correto APENAS o que se afirma em (A) I. (B) II. (C) III. (D) I e II. (E) II e III.

Utilize as Informações abaixo para resolver as questões de nos 5 a 7. Proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada, unicamente, como VERDADEIRA ou FALSA. Proposições compostas são sentenças formadas por proposições simples relacionadas por conectivos. Se p e q são proposições simples, então ~p e ~q são, respectivamente, as suas negações. Os conectivos e e ou são representados, respectivamente, por � e �. A condicional (implicação) também é um conectivo e é representada por →.

5. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Assinale a alternativa que apresenta uma proposição composta cujo valor lógico é verdadeiro. (A) 4² 2 � 3 9(B) 2 3 6 � 21 é prim(C) (D)

7 7 1 23²

(E) 8 1 2

3 2 1 4 3

6. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) A negação de ~ é

(A) (B) ~ (C) � (D) � ~(E) �




7. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Assinale a alternativa que apresenta uma proposição logicamente equivalente a ~ .

(A) (B) ~(C) ~(D) ~ (E) ~ ~

8. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) 7 canetas foram distribuídas em 3 gavetas que estavam anteriormente vazias. Com base nessas informações conclui-se que (A) nenhuma gaveta ficou vazia. (B) em alguma gaveta há mais do que 3 canetas. (C) em alguma gaveta há mais do que 2 canetas. (D) em alguma gaveta há exatamente 3 canetas. (E) em alguma gaveta há exatamente 2 canetas.

9. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Considere verdadeira a seguinte afirmação: “Todas as mulheres casadas gostam de viajar.” Com base na afirmação acima, conclui-se que (A) Alice gosta de viajar. (B) se uma mulher é solteira, então gosta de viajar. (C) Maria, que é solteira, não gosta de viajar. (D) Murilo não gosta de viajar. (E) a esposa de Murilo gosta de viajar.

10. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Para votar é necessário ter título de eleitor e ser maior de 16 anos. Pessoas que tenham mais de 16 anos e menos do que 18 anos podem votar, mas não são obrigadas, ou seja, o voto para elas é facultativo. A partir do dia em que se completam 18 anos, o voto passa ser obrigatório. Uma pesquisa acerca da idade foi feita com 40 pessoas portadoras de título de eleitor próprio. A distribuição por faixa de idades é apresentada no gráfico abaixo.

Com base no gráfico, conclui-se que APENAS (A) 75% dos entrevistados podem votar.




(B) 75% dos entrevistados são obrigados a votar. (C) 30% dos entrevistados são obrigados a votar. (D) 25% dos entrevistados não podem votar. (E) 10% dos entrevistados não são obrigados a votar.

Gabaritos

1. B 2. A 3. E 4. D 5. D 6. E 7. D 8. C 9. E 10. B

bndes racioc logico_exe_guilherme_neves_aula 00

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