biob-003 biomatemática prof. marcos vinícius carneiro ... · 4. somatório e produtório. -...
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Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Ciências e Biológicas e da Saúde
BIOB-003 – Biomatemática
Prof. Marcos Vinícius Carneiro Vital
1. Escalas.
- Nominal: não há aspecto quantitativo.
- Classificar espécies biológicas por nomes.
- Ordinal: há diferença quantitativa entre os objetos classificados, mas o
intervalo não possui significado.
- Classificar um ambiente em regeneração em estágios que indiquem uma
ordem: inicial, intermediário, avançado.
- Escala graduada (ou intervalar): a escala é quantitativa, mas o ponto zero é
arbitrário, então as percentagens não têm significado.
- Temperatura, quando medida em graus Celsius, representa uma escala
graduada.
- 20 ºC não é duas vezes mais quente do que 10 ºC!
- A temperatura 0 ºC é arbitrariamente definida como a
temperatura na qual a água se congela.
- Escala de proporcionalidade: o ponto zero é “natural”, e as percentagens
podem ser aplicadas.
- O peso é uma escala de proporcionalidade. Existe um ponto zero
“natural” (mesmo que um pouco abstrato), e podemos dizer com segurança que 2 Kg
pesam o dobro do que 1 Kg.
2. Percentagens.
- A lógica de uma porcentagem é normalmente bastante intuitiva. Por exemplo,
imagine uma situação na qual estamos acompanhando o crescimento de uma planta. Na
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nossa primeira medida, ela apresenta 10 cm de altura. Uma semana depois, somos
informados de que ela cresceu 20%. Qual seria seu novo tamanho?
- 20% representa um aumento de proporção 20
100 baseado no tamanho
original. Ou seja, o novo tamanho é 10 cm mais a quantidade aumentada, que é 20
100 ∙ 10
= 2 cm. Então a nova altura é de 12 cm.
- Ainda seguindo o mesmo exemplo, podemos nos fazer duas perguntas: se a
planta crescer mais 20% na próxima semana, então qual teria sido sua porcentagem total
de aumento a partir de nossa medida inicial? E qual seria seu novo tamanho? Tentar
responder esta pergunta rapidamente pode nos levar à respostas erradas...
- Primeiro, não podemos dizer que ela cresceu 40%!
- E segundo, também não podemos dizer que sua nova altura é de 14
cm!
- A razão disto é simples.
- Se ao passar mais uma semana ela cresceu mais 20%, este novo
aumento já não será baseado na altura inicial, e sim nos 12 cm que ela tem ao final da
primeira semana.
- Ou seja, ela cresceu mais 20% a partir de 12 cm, então o novo
aumento é: 20
100 ∙ 12 = 2,4 cm; então a nova altura é de 14,4 cm.
- E qual a porcentagem de aumento nos daria 4,4 cm a mais do
que nossos 10 cm iniciais? 𝑝
100 ∙ 10 = 4,4, então p = 44%.
- Vamos chamar a medida inicial de w, e a porcentagem de aumento de p.
- E vamos tentar criar uma regra geral sobre como lidar com
porcentagens, que possa ser aplicada a qualquer situação!
- Pelo nosso exemplo, vimos que podemos saber a quantidade de aumento
dividindo p por cem e multiplicando por w. Ou seja, a quantidade aumentada é: 𝑝
100 ∙ 𝑤.
- E o valor final, após o aumento, seria: 𝑤 + 𝑝
100 ∙ 𝑤, que podemos
escrever como: 𝑤 ∙ (1 + 𝑝
100)
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- E como lidar com aumentos consecutivos? No nosso exemplo, a planta cresceu
20% por semana, indo de 10 para 12 cm após a primeira e de 12 para 14,4 após a
segunda semana. Bom, nós sabemos calcular qual o novo tamanho após a primeira
semana: 𝑤 ∙ (1 + 𝑝
100); se este é o novo tamanho, então a partir dele podemos calcular
o aumento após a segunda semana: (𝑤 ∙ (1 + 𝑝
100)) ∙ (1 +
𝑝
100).
- Mas existe uma maneira bem mais simples de representar a fórmula
acima: 𝑤 ∙ (1 + 𝑝
100)
2
.
- Generalizando ainda mais, se pensarmos em n aumentos consecutivos na
mesma porcentagem, podemos reescrever nossa fórmula assim:
𝑤 ∙ (1 + 𝑝
100)
𝑛
- Esta fórmula representa qual deveria ser a medida final de um valor
inicial w que aumentou uma porcentagem p em n vezes consecutivas.
- Caso esteja calculando uma redução, e não um aumento, lembre-
se de que o valor de p deverá ser negativo.
3. Valores médios.
- Quando lidamos com várias medidas (por exemplo, tamanho corporal de vários
peixes), pode ser interessante condensar os dados em um único valor. Uma das maneiras
mais comuns de se fazer isso é calcular a média.
3.1. Média aritmética.
- A média aritmética é aquela que usamos usualmente, e é calculada somando
todos os valores medidos e dividindo pelo número de medias. Por exemplo, se tivermos
três medidas (x1, x2 e x3), então a nossa média aritmética seria: �̅� = 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥3
3
- Generalizando, podemos escrever uma fórmula da média aritmética:
�̅� = 𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑛
𝑛
- Mais adiante vamos reescrevê-la de uma maneira mais compacta.
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3.2 Média geométrica.
- Existem situações nas quais a média aritmética não representa bem o que
queremos demonstrar. Se tomarmos novamente o nosso exemplo da planta crescendo, e
calcularmos a média aritmética das alturas medidas, teríamos �̅� = 10+12+14,4
3= 12,133
- Neste caso, pode nos interessar mais uma medida que,
geometricamente, seja central. Então aplicamos a média geométrica, na qual
multiplicamos os valores e extraímos a raiz enésima do produto (onde n é o número de
medidas). Neste caso: √10 ∙ 12 ∙ 14,43 = 12
- Generalizando:
𝑥𝑔 = √𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛𝑛
- E também veremos uma maneira mais simples de representá-la.
4. Somatório e produtório.
- Quando escrevemos as fórmulas gerais das médias, logo acima, tivemos que
usar as reticências para representar a repetição de uma mesma operação. Existe uma
maneira muito mais compacta de fazer isso: o uso do somatório (no caso das somas) e
do produtório (no caso das multiplicações, ou produtos).
4.1 Somatório.
- Um somatório é representado pela letra grega maiúscula Sigma: Σ.
- Vamos chamar de i o índice que aparece “embaixo” do x. Ou seja, vamos falar
de xi, sendo que x1 é o valor de x quando i = 1.
- E vamos continuar chamando de n o número de valores.
- Então, podemos escrever, por exemplo:
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑥1 + 𝑥2 + … + 𝑥𝑛
- Que, em português, é o mesmo que dizer: a soma dos valores de x, indo
do valor x1 até o valor xn, onde n é o número de valores de x que queremos somar.
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- Então vamos voltar à fórmula da média, e dizer que:
�̅� = (∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
) /𝑛
- Compare com a maneira com a qual escrevemos a fórmula geral da
média anteriormente, e veja que o significado é o mesmo.
4.2 Produtório.
- A mesma lógica pode ser usada com uma seqüência de multiplicações, mas
trocamos o Sigma pela letra maiúscula Pi: Π.
- Usando a mesma notação do somatório, podemos escrever que:
∏ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ … ∙ 𝑥𝑛
- Que é o mesmo que dizer: a multiplicação dos valores de x, indo do
valor x1 até o valor xn, onde n é o número de valores de x que queremos multiplicar.
- Antes de reescrevermos a média geométrica usando o
produtório, vamos seguir adiante com algumas informações sobre potências.
5. Potências e potências fracionárias.
- Uma potência pode ser representada pela forma geral an, onde a é chamado de
base e n é chamado de expoente.
- O significado é simples: multiplicar a por ele mesmo n vezes.
- As potências podem ser bem úteis para representarmos de maneira compacta
números que são muito grandes ou pequenos. Normalmente fazemos isso usando a
potência de dez.
- 100 = 102, 1000 = 103, 10000 = 104, etc.
- Também podemos pensar em potências negativas, e é fácil compreendê-las se
pensarmos na “direção oposta”.
- 100 = 102, 10 = 101, 1 = 100, 1/10 = 0,1 = 10-1, 1/100 = 0,01 = 10-2, etc.
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5.1 Operações com potências.
- Existem algumas regras básicas que nos ajudam a lidar com operações
matemáticas que envolvem potências:
- 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
- 𝑎𝑛 / 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
- (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚
- 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛
- 𝑎−𝑛 = 1
𝑎𝑛
5.2 Potências fracionárias.
- Lidar com uma potência fracionária é mais simples do que parece. Vamos
tentar deduzir uma fórmula geral para trabalhar com isso.
- Sabemos que 23 = 8; podemos multiplicar o expoente por n nos dois
lados da equação, e teremos 23∙𝑛 = 8𝑛 (lembrando que 8 = 81).
- Agora vamos fazer o oposto: dividir os expoentes por n. O nosso
resultado seria que 23/𝑛 = 81/𝑛, e temos aí nossa potência feacionária. Para entendê-la,
vamos ver o que acontece quando n = 3: 23/3 = 81/3, então 81/3 = 2.
- O que seria o mesmo que dizer que √83
= 2.
- Em outras palavras, uma potência fracionária é o que nos conhecemos como
raiz. E uma fórmula geral seria:
𝑎1/𝑛 = √𝑎𝑛
- Vamos sempre dar preferência pela notação em potência fracionária do que
pela notação em raiz.
- Primeiro, por ser mais fácil de digitar em um computador.
- Segundo, porque é mais fácil de resolvemos operações, uma vez que
podemos aplicar aquelas regras de potências que vimos logo acima!
5.3 Voltando ao produtório e à média geométrica.
Agora podemos dizer que:
𝑥𝑔 = (∏ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
)
1/𝑛
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Exercício 1
Um pesquisador criou um pequeno projeto para estudar o crescimento de uma
árvore ameaçada de extinção, visando obter informações para planejar sua conservação.
Na primeira etapa do trabalho, ele mediu 10 mudas de um mês de idade, e encontrou os
seguintes valores (medidos em centímetros):
15; 18; 22; 23; 20; 17; 21; 25; 19; 20.
1.1. Calcule a altura média das mudas medidas, usando a equação:
�̅� = ∑ 𝑥𝑖/𝑛
𝑛
𝑖=1
Expresse, na resposta, a etapa na qual a equação acima é desdobrada.
Aqui basta calcular a média. O detalhe de desdobramento da fórmula está presente
apenas para exercitarmos a lógica de um somatório, e a resposta deveria estar mais ou
menos assim:
�̅� = 15 + 18 + 22 + 23 + 20 + 17 + 21 + 25 + 19 + 20
10= 20
Dando continuidade ao experimento, o pesquisador realizou uma nova medida
de altura das mudas após mais um mês (isto é, quando as mudas tinham dois meses de
idade). Como resultado, ele descobriu que a altura média aumentou em 20%.
1.2. Qual seria a altura média das mudas de dois meses? Assumindo que a cada mês a
altura média aumenta outros 20%, qual seria a altura média das mudas de três meses?
A maneira mais simples é aplicar a fórmula de uso de porcentagens vista nesta aula.
Para o primeiro aumento, nossa conta seria:
20 ∙ (1 + 20
100) = 24
E, para o segundo aumento:
20 ∙ (1 + 20
100)
2
= 28,8
1.3. Qual é a porcentagem total de aumento das mudas desde o primeiro mês de idade
até o terceiro?
A maneira mais simples de chegarmos ao resultado é novamente aplicar a fórmula, o
que nos levaria a:
28,8 = 20 ∙ (1 +𝑝
100)
E encontrar o valor de p, o que faremos passo a passo a seguir. Perceba que desta vez
não elevamos a fórmula ao quadrado, pois estamos tentando descobrir qual o aumento
total desde o tamanho inicial até o tamanho final, então não precisamos cobrir todas as
etapas de aumento no nosso cálculo.
Resolvendo as contas:
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28,8 = 20 ∙ (1 +𝑝
100)
28,8
20= (1 +
𝑝
100)
1,44 = (1 +𝑝
100)
1,44 − 1 = 𝑝
100
0,44 = 𝑝
100
𝑝 = 44
Ou seja, o aumento total foi de 44%.
Exercício 2
Um entomólogo estava realizando um trabalho de descrição de uma nova espécie de
inseto. Em uma das etapas do seu projeto, ele mediu o comprimento de dez indivíduos
em estágio larval, recém eclodidos dos ovos. As medidas que ele encontrou foram (em
milímetros):
35; 26; 27; 33; 29; 31; 33; 27; 28; 31.
2.1. Calcule o comprimento médio dos insetos medidos, usando a equação:
�̅� = ∑ 𝑥𝑖/𝑛
𝑛
𝑖=1
Expresse, na resposta, a etapa na qual a equação acima é desdobrada.
�̅� = 35 + 26 + 27 + 33 + 29 + 31 + 33 + 27 + 28 + 31
10= 30
Dando continuidade ao seu trabalho, o pesquisador passou a investigar o
desenvolvimento das larvas. Ele constatou que a cada semana o tamanho dos indivíduos
aumentava em 15%, até eles completarem o desenvolvimento algumas semanas depois.
2.2. Qual seria o tamanho de uma larva deste inseto que eclodiu com o tamanho médio
(ou seja, 30 mm) após uma semana de desenvolvimento? E qual seria o seu tamanho
após duas semanas?
Para uma semana:
30 ∙ (1 + 15
100) = 34,5
E para duas semanas:
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34,5 ∙ (1 + 15
100) = 39,675
Ou, como alternativa para as duas semanas:
30 ∙ (1 + 15
100)
2
= 39,675
2.3. Qual a porcentagem total de aumento de uma larva de 30 mm que cresceu por duas
semanas seguidas?
39,675 = 30 ∙ (1 +𝑝
100)
1,3225 = (1 +𝑝
100)
𝑝 = 32,25 %
Exercício 3
Um cientista constatou que, ao serem alimentadas com um tipo de ração, as
cobaias criadas em seu laboratório tinham um ganho de peso de 7% por semana.
Considerando uma cobaia com o peso inicial de 350 gramas, responda:
3.1. Quais seriam os seus pesos após uma, duas, e três semanas?
Uma
350 ∙ (1 + 7
100) = 374.5
Duas
374.5 ∙ (1 + 7
100) = 400.715
Três
400.715 ∙ (1 + 7
100) = 428.765
Lembrando que para duas e três semanas podemos usar o cálculo a partir do valor
inicial (350) e elevar à potência correspondente aos aumentos consecutivos.
3.2. Qual a porcentagem total de aumento da cobaia após as três semanas?
428.765 = 350 ∙ (1 +𝑝
100)
1,225 = (1 +𝑝
100)
𝑝 = 22,5 %
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Exercício 4
Um mofo na parede da sala de um professor de matemática teve a sua área
medida em 127 cm2. Se a mancha crescer 1,5% ao dia:
A resolução é a mesma, então serei mais direto com as respostas. Fiquem apenas atentos
ao valor da porcentagem, que é pequeno neste exemplo.
4.1. Qual será o tamanho da mancha a cada dia ao longo de uma semana (7 dias)?
Dia Mofo
0 (inicial) 127
1 128.90
2 130.83
3 132.80
4 134.79
5 136.81
6 138.86
7 140.95
4.2. Qual a porcentagem total de aumento do mofo após a semana?
𝑝 = 10,98 %
4.3. Se mais uma semana se passar, qual será o tamanho do mofo?
140.95 ∙ (1 + 1,5
100)
7
= 156,46
Ou
127 ∙ (1 + 1,5
100)
14
= 156,46
Exercício 5
O rótulo de um produto de limpeza informava que o seu uso reduziria o número
de bactérias de uma superfície qualquer em 99%. Considere uma superfície com 10
bilhões de bactérias, e responda:
A diferença crucial neste exemplo é que estamos falando de uma redução, então nosso
valor de p deve ser negativo na fórmula. Fora isso, nada muda.
5.1. Quantas bactérias devem ser encontradas na superfície após o produto ser usado
uma vez? E se o produto for usado novamente uma segunda vez sobre a mesma
superfície, quantas bactérias devem sobrar? E se for usado novamente, uma terceira
vez?
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Primeira
10000000 ∙ (1 − 99
100) = 100000
Segunda
100000 ∙ (1 − 99
100) = 1000
Terceira
1000 ∙ (1 − 99
100) = 10
5.2. Qual a redução total do número de bactérias após os três usos consecutivos?
10 = 10000000 ∙ (1 +𝑝
100)
0,000001 = (1 +𝑝
100)
𝑝 = −99,99990 %
Exercício 6
Um fragmento de Mata Atlântica com uma área de 250 km2 passa por um processo
contínuo de desmatamento, que remove 10% de sua área ao ano.
Novamente, temos uma redução, então atenção para o p negativo.
6.1. Qual será o tamanho deste fragmento daqui a 10 anos?
Aqui a solução mais prática é calcular de uma única vez:
250 ∙ (1 − 10
100)
10
= 87,17
6.2. Qual a porcentagem total de redução da área ocorreu neste período?
87,17 = 250 ∙ (1 +𝑝
100)
𝑝 = −65,13 %
Exercício 7.
Um pesquisador relatou a existência de uma área desertificada em expansão dentro de
uma Unidade de Conservação de Mata Atlântica. A área desertificada foi medida em
200 km2, e foi constatado que ela estava em crescimento em uma taxa de 15% ao ano.
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7.1. Qual será o tamanho da área desertificada daqui a três anos? E daqui a cinco
anos?
𝑤𝑛 = 200 ∙ (1 +15
100)
3
= 200 ∙ 1.52 = 304.17
𝑤𝑛 = 200 ∙ (1 +15
100)
5
= 200 ∙ 2.01 = 402.27
7.2. Qual o percentual total de aumento da área desertificada após cinco anos?
402.27 = 200 ∙ (1 +𝑝
100)
2.011 = (1 +𝑝
100)
1.011 =𝑝
100
𝑝 = 101.1%